Hva spør oppgaven om? Vi skal finne 20 prosent av 5200 egg.

Steg 1 — Skriv prosent som brøk eller desimaltall

\[20\% = \dfrac{20}{100}=0{,}20\]

Vi bruker prosentfaktoren for å finne delen.

Steg 2 — Multipliser med totalt antall egg

\[5200\cdot 0{,}20=1040\]

Dette gir antall egg som er brune.

Tolkning

Av 5200 egg er én femdel brune.

print(5200*0.20)

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive datasettet med fire sentral- og spredningsmål.

Steg 1 — Sorter observasjonene

\[1,1,3,5,5,6,6,6,20,30\]

Sortering gjør median, typetall og variasjonsbredde enklere.

Steg 2 — Finn medianen

Det er 10 observasjoner, så medianen er gjennomsnittet av observasjon 5 og 6.

\[\dfrac{5+6}{2}=5{,}5\]

Steg 3 — Finn gjennomsnittet

\[\dfrac{3+1+5+30+5+6+1+6+20+6}{10}=\dfrac{83}{10}=8{,}3\]

Steg 4 — Finn variasjonsbredde og typetall

\[30-1=29\]

Tallet 6 forekommer flest ganger, derfor er typetallet \(6\).

Tolkning

Gjennomsnittet trekkes opp av togene med 20 og 30 vogner, mens medianen bedre beskriver et typisk tog i denne lille registreringen.

data = [3,1,5,30,5,6,1,6,20,6]
print(sorted(data))
print(sum(data)/len(data))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor stor del av togene som hadde 6 vogner.

Steg 1 — Tell gunstige observasjoner

Tallet 6 forekommer 3 ganger.

Steg 2 — Del på totalt antall observasjoner

\[\dfrac{3}{10}=0{,}30=30\%\]

Tolkning

I denne registreringen hadde 30 prosent av togene 6 vogner.

data = [3,1,5,30,5,6,1,6,20,6]
print(data.count(6)/len(data))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette mellom vekstfaktor og prosentvis endring.

Steg 1 — Bruk regelen

\[\text{vekstfaktor}=1+\dfrac{p}{100}\]

Her er \(p\) positiv ved økning og negativ ved nedgang.

Steg 2 — Fyll ut tabellen

Tolkning

Vekstfaktor over 1 betyr økning, og vekstfaktor under 1 betyr nedgang.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere to prosentendringer etter hverandre.

Steg 1 — Bruk en startpris

La startprisen være \(100\) kroner. Nedgang på \(20\%\) gir

\[100\cdot 0{,}80=80\]

Steg 2 — Øk den nye prisen med 20 prosent

\[80\cdot 1{,}20=96\]

Steg 3 — Sammenlign

\[96<100\]

Varen er derfor billigere enn før.

Tolkning

De to prosentene tas av ulike grunnlag. Oppgangen på 20 prosent tas av 80, ikke av 100.

pris = 100
ny = pris*0.80*1.20
print(ny)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke vekstfaktorene i uttrykket.

Steg 1 — Se på telleren

Tallet \(40\ 000\) er prisen etter de tre prisendringene.

Steg 2 — Tolk faktorene i nevneren

\[1{,}05\]

betyr en økning på \(5\%\), og

\[0{,}85^2\]

betyr to nedganger på \(15\%\).

Steg 3 — Hvorfor deler vi?

Når uttrykket viser prisen før endringene, regner vi baklengs fra sluttprisen.

Tolkning

Varen har først blitt endret med faktorene \(1{,}05\), \(0{,}85\) og \(0{,}85\), og sluttprisen er \(40\ 000\) kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke indeks til å finne ny pris.

Steg 1 — Skriv sammenhengen

\[\text{ny pris}=\text{basispris}\cdot\dfrac{\text{ny indeks}}{100}\]

Steg 2 — Sett inn tall

\[160\cdot\dfrac{125}{100}=200\]

Tolkning

Indeks 125 betyr at prisen er \(25\%\) høyere enn i basisåret.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva basisår betyr.

Steg 1 — Identifiser basisåret

Når KPI er \(100\) i 2015, er 2015 valgt som basisår.

Steg 2 — Tolk indeksen

Alle andre indeksverdier sammenlignes med prisnivået i 2015.

Tolkning

KPI 100 er ikke et mål på kroner, men et referansenivå.

Hva spør oppgaven om? Oppgaven bruker ordet reallønn. Reallønn er lønn målt i kjøpekraft.

Steg 1 — Bruk definisjonen

Lik kjøpekraft betyr lik reallønn.

Steg 2 — Overfør verdien

\[\text{reallønn i 2025}=500\ 000\]

Tolkning

Dersom det i stedet hadde stått nominell lønn, måtte vi justert med KPI. Her står det reallønn, og da er kjøpekraften allerede tatt hensyn til.

Hva spør oppgaven om? Vi skal KPI-justere en nominell lønn fra basisåret 2015 til 2025.

Steg 1 — Finn riktig indeksforhold

\[\dfrac{137{,}7}{100}=1{,}377\]

Steg 2 — Juster lønnen

\[1\ 000\ 000\cdot 1{,}377=1\ 377\ 000\]

Tolkning

Benjamin måtte hatt høyere nominell lønn i 2025 for å kjøpe omtrent det samme som i 2015.

print(1000000*137.7/100)

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne lengden på tegningen med virkelig lengde.

Steg 1 — Gjør om til samme enhet

\[5{,}0\text{ cm}=50\text{ mm}\]

Steg 2 — Finn forholdet

\[\dfrac{50}{2{,}0}=25\]

Tolkning

Tegningen er 25 ganger så stor som virkeligheten.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese mål fra koordinatsystemet og bruke arealformler.

Steg 1 — Første figur

Første figur er en trekant med grunnlinje \(6\) og høyde \(4\).

\[A_1=\dfrac{6\cdot 4}{2}=12\]

Steg 2 — Andre figur

Andre figur er en trekant med grunnlinje \(2\) og høyde \(4\).

\[A_2=\dfrac{2\cdot 4}{2}=4\]

Steg 3 — Tredje figur

Tredje figur er et trapes med parallelle sider \(9\) og \(6\), og høyde \(4\).

\[A_3=\dfrac{9+6}{2}\cdot 4=30\]

Steg 4 — Fjerde figur

Fjerde figur er tre firedeler av en sirkel med radius \(2\).

\[A_4=\dfrac{3}{4}\cdot \pi\cdot 2^2=3\pi\approx 9{,}42\]

Tolkning

Arealene er i kvadratenheter fordi koordinatsystemet ikke oppgir en fysisk enhet.

from sympy import pi
print(6*4/2, 2*4/2, (9+6)/2*4, 3*pi)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke nullproduktregelen.

Steg 1 — Bruk nullproduktregelen

Når et produkt er null, må minst én faktor være null.

\[x-2=0 \quad \text{eller} \quad x+3=0\]

Steg 2 — Løs de to enkle likningene

\[x=2 \quad \text{eller} \quad x=-3\]

Tolkning

Begge verdiene gjør én av faktorene lik null.

from sympy import symbols, solve
x = symbols("x")
print(solve((x-2)*(x+3), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(x\) og \(y\) som passer i begge likningene.

Steg 1 — Legg sammen likningene

\[(4x+y)+(3x-y)=8+6\]

Da faller \(y\)-leddene bort.

Steg 2 — Løs for \(x\)

\[7x=14\]

\[x=2\]

Steg 3 — Sett inn i én av likningene

\[4\cdot 2+y=8\]

\[8+y=8\]

\[y=0\]

Tolkning

Løsningen er punktet der de to linjene skjærer hverandre.

from sympy import symbols, solve
x,y = symbols("x y")
print(solve([4*x+y-8, 3*x-y-6], [x,y]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne begge linjene og lese av skjæringspunktet.

Steg 1 — Skriv likningene som funksjoner

\[4x+y=8 \Rightarrow y=8-4x\]

\[3x-y=6 \Rightarrow y=3x-6\]

Steg 2 — Tegn linjene

Steg 3 — Les av skjæringspunktet

Grafene skjærer hverandre i punktet \((2,0)\).

Tolkning

Skjæringspunktet har samme \(x\)- og \(y\)-verdi i begge likningene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke hva programmet beregner.

Steg 1 — Tolk variablene

a = len(L) gir antall tall i listen. Her er \(a=5\).

s = sum(L) gir summen av tallene. Her er \(s=50\).

Steg 2 — Tolk regnestykket

\[g=\dfrac{s}{a}=\dfrac{50}{5}=10\]

Tolkning

Verdien som skrives ut, er gjennomsnittet av tallene i listen.

L = [2, 4, 8, 16, 20]
a = len(L)
s = sum(L)
g = s/a
print(g)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke et punkt på en kumulativ frekvenskurve.

Steg 1 — Tolk første koordinat

\(50\) betyr alder \(50\) år.

Steg 2 — Tolk andre koordinat

\(70\) betyr kumulativ frekvens \(70\%\).

Steg 3 — Gjør om til antall personer

\[0{,}70\cdot 200=140\]

Tolkning

Punktet forteller at omtrent 70 prosent, altså 140 personer, er yngre enn 50 år eller høyst 50 år avhengig av hvordan intervallgrensen tolkes.

Hva spør oppgaven om? Medianen ligger der den kumulative frekvensen er \(50\%\).

Steg 1 — Finn intervallet der medianen ligger

Opp til 20 år er kumulativ frekvens \(30\%\), og opp til 30 år er den \(60\%\).

Medianen ligger derfor i intervallet \([20,30)\).

Steg 2 — Interpoler i intervallet

Fra \(30\%\) til \(60\%\) er det \(30\) prosentpoeng. Medianen \(50\%\) ligger \(20\) prosentpoeng over \(30\%\).

\[20+\dfrac{20}{30}\cdot 10\approx 26{,}7\]

Steg 3 — Si hvilken antakelse som trengs

Hun må anta at alderene er jevnt fordelt i intervallet fra 20 til 30 år.

Tolkning

Medianalderen kan anslås til omtrent \(27\) år.

print(20 + (50-30)/(60-30)*10)

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare vekstfaktoren i en eksponentiell modell.

Steg 1 — Start med generell modell

\[U(x)=16000\cdot b^x\]

Her er \(b\) årlig vekstfaktor.

Steg 2 — Bruk halvering etter 6 år

\[16000\cdot b^6=8000\]

\[b^6=\dfrac{1}{2}\]

Steg 3 — Løs for \(b\)

\[b=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{6}}\approx 0{,}8909\]

Avrundet til to desimaler blir dette \(0{,}89\).

Tolkning

Modellen kommer fra at samme prosentvise reduksjon hvert år skal gi en halvering etter seks år.

from sympy import Rational, N
b = Rational(1,2)**Rational(1,6)
print(N(b, 6))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke vekstfaktoren \(0{,}89\).

Steg 1 — Sammenlign vekstfaktoren med 1

\[1-0{,}89=0{,}11\]

Steg 2 — Gjør om til prosent

\[0{,}11=11\%\]

Tolkning

Hvert år er utslippet \(89\%\) av året før, altså \(11\%\) lavere.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig årlig reduksjon i tonn, ikke prosent.

Steg 1 — Finn utslippet ved start

\[U(0)=16000\]

Steg 2 — Finn utslippet etter 5 år

\[U(5)=16000\cdot 0{,}89^5\approx 8934{,}5\]

Steg 3 — Finn total reduksjon og del på 5

\[\dfrac{16000-8934{,}5}{5}\approx 1413{,}1\]

Tolkning

I løpet av de fem første årene reduseres utslippet i gjennomsnitt med omtrent \(1413\) tonn per år.

U0 = 16000
U5 = 16000*0.89**5
print(U5)
print((U0-U5)/5)

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive fraværet med gjennomsnitt, median og standardavvik.

Steg 1 — Sorter dataene

\[0,0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,4,5,12,15\]

Steg 2 — Finn gjennomsnitt

Summen er \(45\), og det er \(15\) ansatte.

\[\dfrac{45}{15}=3\]

Steg 3 — Finn median

Den midterste verdien i 15 sorterte observasjoner er observasjon 8.

\[\text{median}=1\]

Steg 4 — Finn standardavvik med digitalt verktøy

Med standardavvik for hele gruppen får vi omtrent

\[\sigma\approx 4{,}38\]

Tolkning

Gjennomsnittet er høyere enn medianen fordi noen få ansatte har svært mange fraværsdager.

import statistics
data = [2,0,0,5,4,1,1,12,15,0,0,1,1,2,1]
print(sum(data)/len(data))
print(statistics.median(data))
print(statistics.pstdev(data))

Hva spør oppgaven om? Vi skal telle hvor mange som har høyst 5 fraværsdager.

Steg 1 — Bruk sortert liste

\[0,0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,4,5,12,15\]

Steg 2 — Tell observasjoner til og med 5

Det er \(13\) observasjoner som er \(\le 5\).

Steg 3 — Eventuell relativ kumulativ frekvens

\[\dfrac{13}{15}\approx 0{,}867=86{,}7\%\]

Tolkning

13 av 15 ansatte hadde 5 eller færre fraværsdager i 2025.

data = [2,0,0,5,4,1,1,12,15,0,0,1,1,2,1]
print(sum(1 for x in data if x <= 5))
print(sum(1 for x in data if x <= 5)/len(data))

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne fordelingene kvalitativt.

Steg 1 — Samme gjennomsnitt

Samme gjennomsnitt betyr at det totale fraværet per ansatt i gjennomsnitt er likt i de to bedriftene.

Steg 2 — Høyere median

Høyere median betyr at den midterste ansatte i bedrift B har flere fraværsdager enn den midterste ansatte i bedrift A.

Steg 3 — Lavere standardavvik

Lavere standardavvik betyr at fraværet i bedrift B er mindre spredt.

Tolkning

Bedrift A har noen få svært høye fraværstall. Bedrift B har trolig fraværet jevnere fordelt mellom de ansatte.

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om påstanden må være sann.

Steg 1 — Finn nivået i bedrift A

I bedrift A er kumulativ frekvens for 5 fraværsdager \(13\).

Steg 2 — Lag et moteksempel

Et mulig datasett for bedrift B er

\[0,0,0,0,0,0,0,2,2,2,7,8,8,8,8\]

Dette har sum \(45\), altså samme gjennomsnitt \(3\), median \(2\), som er høyere enn \(1\), og standardavvik omtrent \(3{,}48\), som er lavere enn \(4{,}38\).

Steg 3 — Sjekk kumulativ frekvens for 5

I dette moteksempelet er det bare \(10\) verdier som er \(\le 5\).

Tolkning

Påstanden må derfor ikke være riktig. Opplysningene om gjennomsnitt, median og standardavvik bestemmer ikke entydig den kumulative frekvensen for 5.

import statistics
B = [0,0,0,0,0,0,0,2,2,2,7,8,8,8,8]
print(sum(B)/len(B), statistics.median(B), statistics.pstdev(B))
print(sum(1 for x in B if x <= 5))

Hva spør oppgaven om? Dette er en åpen Del 2-oppgave. Vi må vise relevante beregninger, sammenligne 2019 og 2025 og foreslå/tegne egnede diagrammer.

Steg 1 — Sammenlign kildebruk i prosentpoeng

Steg 2 — Lag et egnet diagram for 2019 og 2025

Et gruppert stolpediagram er godt egnet fordi det viser to år ved siden av hverandre for hver kilde.

Steg 3 — Presenter nyhetsunngåelse i 2025

Andelen som aktivt unngår nyheter minst en gang iblant er

\[29\%+23\%+7\%=59\%\]

Andelen som ofte unngår nyheter, er \(7\%\). Andelen som aldri unngår nyheter, er \(37\%\).

Steg 4 — Vurder diagramvalg

For nyhetsunngåelse kan et sektordiagram vise fordelingen i 2025, mens et stolpediagram ofte er mer presist når klassen skal lese av prosentverdier.

Tolkning

Smarttelefonen har styrket posisjonen som første nyhetskilde. Samtidig oppgir et klart flertall at de aktivt unngår nyheter minst av og til.

sources = {"Smarttelefon": (32,50), "Radio": (19,14), "PC": (15,12), "TV": (13,11), "Nettbrett": (6,5), "Papiravis": (7,2), "Ingen av disse": (4,4), "Vet ikke": (4,2)}
for k,(a,b) in sources.items():
    print(k, b-a, round((b-a)/a*100, 1) if a else None)
print(29+23+7)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en månedlig nedbetalingsplan der renter beregnes av restgjelden før betaling.

Steg 1 — Bruk formelen for rente per måned

\[\text{rente}=\text{restgjeld}\cdot 0{,}00975\]

Steg 2 — Finn avdraget

\[\text{avdrag}=\text{terminbeløp}-\text{rente}\]

Steg 3 — Oppdater restgjelden

\[\text{ny restgjeld}=\text{gammel restgjeld}-\text{avdrag}\]

Steg 4 — Nedbetalingsplan

Tolkning

Renteandelen blir mindre etter hvert fordi restgjelden går ned. Siste termin blir lavere enn \(3520\) kroner fordi lånet da er nesten nedbetalt.

balance = 75000
r = 0.00975
term = 3520
month = 0
while balance > 0.005:
    month += 1
    interest = round(balance*r, 2)
    payment = min(term, round(balance + interest, 2))
    principal = round(payment - interest, 2)
    balance = round(balance - principal, 2)
print(month, balance)