Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hele klassen når vi vet at de som ikke deltar, er resten etter at 88 % deltar.

Steg 1 — Finn prosentdelen som ikke deltar

Når 88 % deltar, er det

\[100\,\%-88\,\%=12\,\%\]

som ikke deltar.

Steg 2 — Sett opp sammenhengen

De 3 elevene utgjør altså 12 % av klassen.

\[0{,}12\cdot x=3\]

Steg 3 — Løs for hele klassen

\[x=\dfrac{3}{0{,}12}=25\]

Tolkning

Det må være 25 elever i klassen. Da deltar 22 elever, og 3 elever deltar ikke.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(0.12*x - 3, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne to mål for typisk antall personer per vogn: median og gjennomsnitt.

Steg 1 — Sorter tallene

For å finne medianen må observasjonene stå i stigende rekkefølge.

\[2,2,3,4,4,6,6,7,8,8\]

Steg 2 — Finn medianen

Det er 10 observasjoner. Medianen er gjennomsnittet av observasjon 5 og 6.

\[\dfrac{4+6}{2}=5\]

Steg 3 — Finn summen

\[6+3+2+4+4+6+2+7+8+8=50\]

Steg 4 — Finn gjennomsnittet

\[\overline{x}=\dfrac{50}{10}=5\]

Tolkning

Både medianen og gjennomsnittet er 5 personer per vogn.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import statistics as st
x = [6,3,2,4,4,6,2,7,8,8]
print(st.median(x))
print(sum(x)/len(x))

Hva spør oppgaven om? Kumulativ frekvens for 6 betyr hvor mange observasjoner som er mindre enn eller lik 6.

Steg 1 — Sorter observasjonene

\[2,2,3,4,4,6,6,7,8,8\]

Steg 2 — Tell observasjoner til og med 6

Observasjonene \(2,2,3,4,4,6,6\) er mindre enn eller lik 6.

\[7 ext{ observasjoner}\]

Steg 3 — Tolk praktisk

Det betyr at 7 av de 10 vognene de observerte, hadde høyst 6 personer.

Tolkning

Den kumulative frekvensen viser hvor mange vogner som er kommet med når vi teller opp til en bestemt verdi.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

x = [6,3,2,4,4,6,2,7,8,8]
print(sum(1 for v in x if v <= 6))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne to ukjente vekter, men vi kan uttrykke begge ved hjelp av vekten til den lille sekken.

Steg 1 — Definer ukjent

La \(x\) være vekten til en liten sekk. Da veier en stor sekk \(x+7\).

Steg 2 — Sett opp likningen

Lotta har fire små og to store sekker.

\[4x+2\left(x+7\right)=44\]

Steg 3 — Løs likningen

\[4x+2x+14=44\]

\[6x=30\]

\[x=5\]

Steg 4 — Finn vekten til stor sekk

\[x+7=5+7=12\]

Tolkning

Fire små sekker veier \(4\cdot5=20\) kg, og to store veier \(2\cdot12=24\) kg. Til sammen blir det 44 kg.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(4*x + 2*(x+7) - 44, x))

Hva spør oppgaven om? Vi må sammenlikne både areal og omkrets for to ulike figurer.

Steg 1 — Areal av halvsirkelen

En hel sirkel med radius \(1{,}0\) m har areal \(\pi r^2\). Halvsirkelen har halvparten.

\[A_{ ext{halvsirkel}}=\dfrac{\pi\cdot1^2}{2}\approx1{,}57 ext{ m}^2\]

Steg 2 — Areal av trekanten

\[A_{ ext{trekant}}=\dfrac{3{,}0\cdot1{,}0}{2}=1{,}5 ext{ m}^2\]

Halvsirkelen har derfor størst areal.

Steg 3 — Omkrets av halvsirkelen

Omkretsen er halvsirkelbuen pluss diameteren.

\[O_{ ext{halvsirkel}}=\pi\cdot1+2\cdot1=\pi+2\approx5{,}14 ext{ m}\]

Steg 4 — Omkrets av trekanten

I en likebeint trekant deler høyden grunnlinjen i to like deler. Hver halvdel er \(1{,}5\) m.

\[s=\sqrt{1{,}5^2+1^2}=\sqrt{3{,}25}\approx1{,}80\]

\[O_{ ext{trekant}}=3{,}0+2\cdot1{,}80\approx6{,}61 ext{ m}\]

Tolkning

Halvsirkelen har litt større areal, mens trekanten har klart større omkrets.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
A_halv = math.pi/2
A_trekant = 3*1/2
O_halv = math.pi + 2
O_trekant = 3 + 2*math.sqrt(1.5**2 + 1**2)
print(A_halv, A_trekant, O_halv, O_trekant)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese avdragene i nedbetalingsplanen og finne lånebeløpet.

Steg 1 — Les av avdragene

I figuren er avdraget likt hvert år og ser ut til å være \(10000\) kroner per termin.

Steg 2 — Tell antall terminer

Lånet betales over 10 år, med én termin per år. Det er altså 10 avdrag.

Steg 3 — Regn ut samlet avdrag

Hele lånet betales ned gjennom avdragene.

\[10\cdot10000=100000\]

Tolkning

Lånet Marco tok opp, var på 100000 kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

avdrag_per_termin = 10_000
antall_terminer = 10
print(avdrag_per_termin * antall_terminer)

Hva spør oppgaven om? Vi skal kjenne igjen lånetypen fra grafen.

Steg 1 — Se på avdragene

De blå søylene for avdrag er like store i alle terminer.

Steg 2 — Se på rentene

Rentene blir mindre etter hvert, fordi restlånet blir mindre.

Steg 3 — Bruk kjennetegn på serielån

I et serielån er avdragene like store, mens terminbeløpet vanligvis går ned fordi rentene minker.

Tolkning

Figuren viser et serielån, ikke et annuitetslån.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

avdrag = [10000]*10
print(len(set(avdrag)) == 1)

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at verdiene kan stemme for et gruppert datamateriale. Da må vi gjøre antakelser om hvor personene ligger inne i intervallene.

Steg 1 — Velg representativ alder i hvert intervall

En vanlig antakelse er å bruke klassemidtpunktet.

\[18,\ 30,\ 50,\ 75\]

Steg 2 — Beregn estimert gjennomsnitt

\[\overline{x}\approx\dfrac{20\cdot18+40\cdot30+30\cdot50+10\cdot75}{100}\]

\[\overline{x}\approx\dfrac{3810}{100}=38{,}1\]

Dette er omtrent 38 år.

Steg 3 — Finn medianintervallet

Det er 100 personer, så medianen ligger mellom person nummer 50 og 51. Etter første intervall har vi 20 personer. Etter andre intervall har vi 60 personer. Medianen ligger derfor i intervallet \([20,40\rangle\).

Steg 4 — Interpoler i medianintervallet

Vi trenger 30 personer inn i intervallet \([20,40\rangle\), som inneholder 40 personer og har bredde 20 år.

\[20+\dfrac{30}{40}\cdot20=35\]

Steg 5 — Forklar antakelsen

Trine kan ha antatt at medlemmene er jevnt fordelt i hvert aldersintervall. Hun kan også ha brukt klassemidtpunktene ved gjennomsnittsberegningen.

Tolkning

Påstandene kan være riktige, men de er basert på en modell for dataene, ikke nøyaktige enkeltobservasjoner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

mean = (20*18 + 40*30 + 30*50 + 10*75)/100
median_est = 20 + (30/40)*20
print(mean, median_est)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke et program, ikke bare regne ut et tall.

matsvinn = 160
mål = matsvinn / 2
vf = 0.87

år = 2025

while matsvinn > mål:
    matsvinn = matsvinn * vf
    år = år + 1

print(år)
print(matsvinn)

Steg 1 — Tolk startverdiene

Programmet starter med \(160\) kg matsvinn. Målet settes til halvparten:

\[\dfrac{160}{2}=80\]

Steg 2 — Tolk vekstfaktoren

Vekstfaktoren \(0{,}87\) betyr at matsvinnet hvert år blir 87 % av året før. Det tilsvarer en reduksjon på 13 % per år.

Steg 3 — Tolk løkken

Løkken fortsetter så lenge matsvinnet er større enn målet. For hvert år multipliseres matsvinnet med \(0{,}87\), og årstallet økes med 1.

Steg 4 — Tolk utskriften

Programmet skriver ut \(2030\) og omtrent \(79{,}75\). Det betyr at matsvinnet første gang kommer under 80 kg i 2030.

Tolkning

Sofie undersøker hvilket år matsvinnet er redusert til mindre enn halvparten, dersom det reduseres med 13 % hvert år fra 2025.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

matsvinn = 160
maal = matsvinn / 2
vf = 0.87
aar = 2025
while matsvinn > maal:
    matsvinn = matsvinn * vf
    aar = aar + 1
print(aar)
print(matsvinn)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke leddene i modellen.

Steg 1 — Tolk startverdien

Når \(x=0\), får vi

\[U(0)=5000\cdot0{,}95^0+1000=6000\]

Det stemmer med dagens utslipp: \(5000+1000=6000\) tonn per år.

Steg 2 — Tolk vekstfaktoren

Faktoren \(0{,}95\) betyr at utslippet fra den ene prosessen skal bli 95 % av året før, altså reduseres med 5 % per år.

Steg 3 — Tolk konstantleddet

Leddet \(1000\) er et fast utslipp som modellen ikke reduserer.

Tolkning

Planen er å redusere utslippet på 5000 tonn med 5 % hvert år, mens utslippet på 1000 tonn blir uendret.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def U(x):
    return 5000*0.95**x + 1000
print(U(0), U(1))

Hva spør oppgaven om? Dagens utslipp er \(6000\) tonn. Halvparten er \(3000\) tonn.

Steg 1 — Sett opp likningen

Vi løser

\[5000\cdot0{,}95^x+1000=3000\]

Steg 2 — Isoler eksponentialleddet

\[5000\cdot0{,}95^x=2000\]

\[0{,}95^x=0{,}4\]

Steg 3 — Løs med logaritmer eller digitalt verktøy

\[x=\dfrac{\ln\left(0{,}4\right)}{\ln\left(0{,}95\right)}\approx17{,}9\]

Steg 4 — Tolk antall år

Bedriften har halvert utslippet etter omtrent 18 år ifølge modellen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
x = math.log(0.4)/math.log(0.95)
print(x)

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne utslippet i dag med utslippet etter 10 år.

Steg 1 — Finn dagens utslipp

\[U(0)=6000\]

Steg 2 — Finn utslippet etter 10 år

\[U(10)=5000\cdot0{,}95^{10}+1000\approx3993{,}7\]

Steg 3 — Finn reduksjonen i tonn

\[6000-3993{,}7\approx2006{,}3\]

Steg 4 — Regn reduksjonen i prosent

\[\dfrac{2006{,}3}{6000}\cdot100\,\%\approx33{,}4\,\%\]

Tolkning

Utslippet er redusert med omtrent en tredel etter 10 år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def U(x):
    return 5000*0.95**x + 1000
reduction_pct = (U(0) - U(10))/U(0)*100
print(U(10), reduction_pct)

Hva spør oppgaven om? Vi skal ikke bare løse en likning, men vurdere modellen.

Steg 1 — Se på modellen

\[U(x)=5000\cdot0{,}95^x+1000\]

Eksponentialleddet blir mindre når \(x\) øker, men det blir aldri negativt.

Steg 2 — Finn nedre grense

Når \(x\) blir veldig stor, nærmer \(5000\cdot0{,}95^x\) seg 0.

\[U(x) o1000\]

Steg 3 — Sammenlikn med kravet

Kravet er \(800\) tonn per år, men modellen går aldri under \(1000\) tonn per år.

Tolkning

Med denne modellen kan bedriften ikke oppfylle kravet. De må også redusere den delen som modellen holder fast på 1000 tonn.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

# U(x) = 5000*0.95**x + 1000 er alltid større enn 1000
for x in [10, 50, 100, 500]:
    print(x, 5000*0.95**x + 1000)

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere en påstand for alle mulige aldre på den nye personen.

Steg 1 — Sorter alderen til de 10 personene

\[5,5,12,14,28,30,40,42,67,70\]

Steg 2 — Finn nåværende median

Det er 10 personer, så medianen er gjennomsnittet av tall nummer 5 og 6.

\[\dfrac{28+30}{2}=29\]

Steg 3 — Finn et moteksempel

Hvis den nye personen er 29 år, blir den sorterte lista

\[5,5,12,14,28,29,30,40,42,67,70\]

Da er medianen tall nummer 6, altså \(29\).

Tolkning

Påstanden sier at medianen alltid vil endres. Ett moteksempel er nok til å vise at påstanden er feil.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import statistics as st
x = [12,14,40,42,70,67,5,5,28,30]
print(st.median(x))
y = x + [29]
print(st.median(y))

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke om det finnes en alder som gjør at gjennomsnittet for 11 personer blir 30 år.

Steg 1 — Finn summen av de 10 aldrene

\[12+14+40+42+70+67+5+5+28+30=313\]

Steg 2 — Finn ønsket totalsum for 11 personer

Hvis gjennomsnittet skal være 30 år, må summen være

\[11\cdot30=330\]

Steg 3 — Finn alderen til den nye personen

\[330-313=17\]

Tolkning

Hvis den nye personen er 17 år, blir gjennomsnittsalderen 30 år. Påstanden er derfor riktig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

x = [12,14,40,42,70,67,5,5,28,30]
new_age = 11*30 - sum(x)
print(new_age)
print((sum(x)+new_age)/11)

Hva spør oppgaven om? Vi skal begrunne at to trekanter har samme form, slik at forholdet mellom samsvarende sider er likt.

Steg 1 — Sammenlikn vinkelen ved A

Begge trekantene har vinkel \(A\) felles.

Steg 2 — Bruk parallelle linjer

I skissen er \(DE\) parallell med \(BC\). Derfor blir vinklene ved \(D\) og \(B\) like, og vinklene ved \(E\) og \(C\) like.

Steg 3 — Konkluder med formlikhet

Når to trekanter har parvis like vinkler, er trekantene formlike.

Tolkning

Det betyr at sidene i den store trekanten er en fast faktor ganger sidene i den lille trekanten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke forholdet mellom samsvarende sider i formlike trekanter.

Steg 1 — Finn målestokk mellom liten og stor trekant

De horisontale sidene svarer til hverandre: \(DE=10\) m og \(BC=40\) m.

\[\dfrac{BC}{DE}=\dfrac{40}{10}=4\]

Steg 2 — Bruk samme faktor på den vertikale siden

\(AD\) svarer til \(AB\), og \(AD=5\) m.

\[AB=4\cdot5=20 ext{ m}\]

Steg 3 — Finn \(BD\)

\(BD\) er den delen av \(AB\) som ligger over \(D\).

\[BD=AB-AD=20-5=15 ext{ m}\]

Tolkning

Avstanden fra \(B\) til \(D\) er 15 m.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

scale = 40/10
AD = 5
AB = scale * AD
BD = AB - AD
print(AB, BD)

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at vekstfaktoren \(0{,}87\) passer omtrent med halvering på fem år.

Steg 1 — Finn årlig vekstfaktor ved halvering på fem år

La \(k\) være årlig vekstfaktor. Da må

\[k^5=0{,}5\]

Steg 2 — Løs for \(k\)

\[k=0{,}5^{1/5}\approx0{,}87055\]

Steg 3 — Sammenlikn med modellen

\[0{,}87055\approx0{,}87\]

Derfor er \(0{,}87\) en god avrundet årlig vekstfaktor.

Steg 4 — Tolk startverdien

\(12000\) er antallet fugler i dag, altså når \(x=0\).

Tolkning

Modellen beskriver en bestand som synker med omtrent 13 % per år, som til sammen gir omtrent halvering på fem år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

k = 0.5**(1/5)
print(k)
print(0.87**5)

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette \(x=7\) inn i modellen.

Steg 1 — Skriv modellen

\[F(x)=12000\cdot0{,}87^x\]

Steg 2 — Sett inn \(x=7\)

\[F(7)=12000\cdot0{,}87^7\]

Steg 3 — Regn ut

\[F(7)\approx4533\]

Tolkning

Etter 7 år vil bestanden være omtrent 4500 fugler ifølge modellen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

F7 = 12000*0.87**7
print(F7)

Hva spør oppgaven om? En reduksjon på 35 % betyr at 65 % av bestanden er igjen.

Steg 1 — Sett opp likningen

Vi trenger ikke bruke 12000 eksplisitt, fordi vi kan sammenlikne vekstfaktoren direkte.

\[0{,}87^x=0{,}65\]

Steg 2 — Løs med logaritmer

\[x=\dfrac{\ln\left(0{,}65\right)}{\ln\left(0{,}87\right)}\]

Steg 3 — Regn ut

\[x\approx3{,}1\]

Tolkning

Det tar omtrent 3,1 år før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
x = math.log(0.65)/math.log(0.87)
print(x)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne maksimal lovlig økning fra oktober 2023 til oktober 2024 basert på KPI.

Steg 1 — Finn KPI-faktoren fra 2023 til 2024

\[\dfrac{134{,}5}{131{,}1}\approx1{,}02593\]

Steg 2 — Finn høyeste lovlige husleie

\[8500\cdot\dfrac{134{,}5}{131{,}1}\approx8720\]

Steg 3 — Sammenlikn med 9000 kroner

\[9000>8720\]

Tolkning

Huseieren kunne ikke sette leien opp til 9000 kroner på dette tidspunktet dersom økningen skulle følge KPI-regelen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

maks_leie = 8500 * 134.5 / 131.1
print(maks_leie)

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne prosentvis økning fra ett år til det neste.

Steg 1 — Fra 2021 til 2022

\[\dfrac{126{,}0-117{,}2}{117{,}2}\cdot100\,\%\approx7{,}5\,\%\]

Steg 2 — Fra 2022 til 2023

\[\dfrac{131{,}1-126{,}0}{126{,}0}\cdot100\,\%\approx4{,}0\,\%\]

Steg 3 — Fra 2023 til 2024

\[\dfrac{134{,}5-131{,}1}{131{,}1}\cdot100\,\%\approx2{,}6\,\%\]

Steg 4 — Oversikt

Tolkning

KPI økte hvert år, men den årlige prosentøkningen ble mindre i perioden.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

kpi = {2021:117.2, 2022:126.0, 2023:131.1, 2024:134.5}
for y in [2022, 2023, 2024]:
    pct = (kpi[y] - kpi[y-1]) / kpi[y-1] * 100
    print(y-1, y, pct)

Hva spør oppgaven om? Her finnes det ikke ett fasitsvar uten en antakelse om framtidig KPI. Vi må velge og forklare en rimelig modell.

Steg 1 — Velg antakelse

Vi antar at KPI fortsetter å øke med samme gjennomsnittlige årlige vekstfaktor som fra 2021 til 2024.

Steg 2 — Finn gjennomsnittlig årlig vekstfaktor

Fra 2021 til 2024 går KPI fra 117,2 til 134,5 over tre år.

\[v=\left(\dfrac{134{,}5}{117{,}2}\right)^{1/3}\approx1{,}0470\]

Steg 3 — Estimer KPI i 2026

Fra 2024 til 2026 er det to år.

\[ ext{KPI}_{2026}\approx134{,}5\cdot1{,}0470^2\approx147{,}46\]

Steg 4 — Finn estimert husleie fra oktober 2026

Vi bruker leien i oktober 2023 som utgangspunkt.

\[8500\cdot\dfrac{147{,}46}{131{,}1}\approx9560\]

Tolkning

Med denne antakelsen må Felix regne med omtrent 9560 kroner per måned fra oktober 2026. Svaret er modellavhengig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

kpi_2021 = 117.2
kpi_2024 = 134.5
v = (kpi_2024/kpi_2021)**(1/3)
kpi_2026 = kpi_2024 * v**2
rent_2026 = 8500 * kpi_2026 / 131.1
print(v, kpi_2026, rent_2026)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en faglig god presentasjon av datasettet, ikke bare regne ett tall. Derfor bør vi kombinere diagrammer, prosentvise endringer og korte tolkninger.

Steg 1 — Velg diagramtyper

For utvikling over tid passer linjediagram godt. For å sammenlikne fødte og døde samme år kan man også bruke gruppert stolpediagram. I en presentasjon ville jeg vist ett linjediagram for antall fødte og døde, og ett linjediagram for fødselsrate, dødsrate og fruktbarhetstall.

Steg 2 — Prosentvis endring i antall fødte

\[\dfrac{51980-49937}{49937}\cdot100\,\%\approx4{,}1\,\%\]

Antall fødte er litt høyere i 2023 enn i 1983, men tabellen viser store variasjoner underveis.

Steg 3 — Prosentvis endring i antall døde

\[\dfrac{43803-42224}{42224}\cdot100\,\%\approx3{,}7\,\%\]

Steg 4 — Prosentvis endring i rater

Fødselsraten:

\[\dfrac{9{,}4-12{,}1}{12{,}1}\cdot100\,\%\approx-22{,}3\,\%\]

Dødsraten:

\[\dfrac{7{,}9-10{,}2}{10{,}2}\cdot100\,\%\approx-22{,}5\,\%\]

Steg 5 — Prosentvis endring i fruktbarhetstall

\[\dfrac{1{,}40-1{,}66}{1{,}66}\cdot100\,\%\approx-15{,}7\,\%\]

Steg 6 — Lag en kort presentasjonstolkning

Tolkning

Et viktig poeng i foredraget er at antall fødte og fødselsrate ikke forteller det samme. Antall fødte kan være omtrent stabilt eller litt høyere, samtidig som fødselsraten faller, fordi folketallet kan ha endret seg.

Kontroll (regneark / Python)

data = {
    "fødte": (49937, 51980),
    "døde": (42224, 43803),
    "fødselsrate": (12.1, 9.4),
    "dødsrate": (10.2, 7.9),
    "fruktbarhetstall": (1.66, 1.40),
}
for navn, (start, slutt) in data.items():
    print(navn, (slutt - start)/start*100)