Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et typisk nivå for tidsbruken på to måter: gjennomsnitt og median.

Steg 1 — Finn summen

Vi legger sammen alle observasjonene.

\[1+3+4+0+4+5+2+7+12+2=40\]

Steg 2 — Del på antall observasjoner

Det er \(10\) ungdommer.

\[\overline{x}=\dfrac{40}{10}=4\]

Steg 3 — Sorter tallene

For median må tallene stå i stigende rekkefølge.

\[0,1,2,2,3,4,4,5,7,12\]

Steg 4 — Finn midten

Det er et partall antall observasjoner, så medianen er gjennomsnittet av observasjon 5 og 6.

\[\dfrac{3+4}{2}=3{,}5\]

Tolkning

Gjennomsnittet er høyere enn medianen fordi én ungdom brukte hele 12 timer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import statistics as st
x = [1,3,4,0,4,5,2,7,12,2]
print(sum(x)/len(x))
print(st.median(x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke KPI som vekstfaktor fra indeks \(100\) til indeks \(129{,}6\).

Steg 1 — Skriv vekstfaktoren

Når indeksen går fra \(100\) til \(129{,}6\), blir vekstfaktoren

\[\dfrac{129{,}6}{100}=1{,}296\]

Steg 2 — Multipliser gammel pris med vekstfaktoren

Prisen i 2015 var 500 kroner.

\[500\cdot1{,}296=648\]

Steg 3 — Vurder svaret

Indeksen har økt med \(29{,}6\,\%\), så prisen skal bli omtrent 30 prosent høyere enn 500 kroner.

Tolkning

Varen ville kostet 648 kroner dersom den fulgte KPI nøyaktig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

pris_2015 = 500
pris_2023 = pris_2015 * 129.6 / 100
print(pris_2023)

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne kartlengde og virkelig lengde i samme enhet.

Steg 1 — Gjør om meter til centimeter

\(1\) meter er \(100\) centimeter.

\[300\text{ m}=300\cdot100\text{ cm}=30000\text{ cm}\]

Steg 2 — Skriv forholdet kart : virkelighet

På kartet er avstanden \(2\) cm.

\[2:30000\]

Steg 3 — Forkort forholdet

Vi deler begge tall på \(2\).

\[2:30000=1:15000\]

Tolkning

Målestokken betyr at \(1\) cm på kartet tilsvarer \(15000\) cm, altså \(150\) m, i virkeligheten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

virkelig_cm = 300 * 100
kart_cm = 2
print(virkelig_cm // kart_cm)

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette opp en likning der prisen på ispinne er ukjent.

Steg 1 — Definer ukjent

La \(x\) være prisen for én ispinne. Da koster mineralvann \(x+6\).

Steg 2 — Sett opp likningen

De kjøper 30 av hver.

\[30x+30\left(x+6\right)=900\]

Steg 3 — Løs likningen

\[30x+30x+180=900\]

\[60x=720\]

\[x=12\]

Steg 4 — Finn mineralvannprisen

\[x+6=12+6=18\]

Tolkning

Kontroll: \(30\cdot12+30\cdot18=360+540=900\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(30*x + 30*(x+6) - 900, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne stykkprisene, ikke totalprisene.

Steg 1 — Finn stykkpris ved 2 for 32

\[\dfrac{32}{2}=16\]

Steg 2 — Finn stykkpris ved 4 for 48

\[\dfrac{48}{4}=12\]

Steg 3 — Finn prisnedgangen per bagett

\[16-12=4\]

Steg 4 — Regn prosentvis nedgang

Den opprinnelige stykkprisen er \(16\) kroner.

\[\dfrac{4}{16}\cdot100\,\%=25\,\%\]

Tolkning

Å kjøpe fire gir en fjerdedel lavere pris per bagett.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

pris_to = 32/2
pris_fire = 48/4
print((pris_to - pris_fire)/pris_to * 100)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentiell modell med startverdi i november og vekstfaktor for 35 prosent månedlig økning.

Steg 1 — Finn startverdien

Når \(x=0\), er måneden november 2023. Da er antallet følgere \(5335\).

Steg 2 — Gjør prosent til vekstfaktor

En økning på \(35\,\%\) betyr vekstfaktoren

\[1+\dfrac{35}{100}=1{,}35\]

Steg 3 — Skriv modellen

\[f\left(x\right)=5335\cdot1{,}35^x\]

Steg 4 — Vurder modellen mot april

April er fem måneder etter november.

\[f\left(5\right)=5335\cdot1{,}35^5\approx23922\]

Tabellen har \(24008\), så modellen passer godt, men ikke helt nøyaktig.

Tolkning

Modellen er en avrundet vekstmodell. Den beskriver utviklingen rimelig godt i perioden.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = 5335 * 1.35**x
print(round(f.subs(x, 5)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke april-tallet \(24008\) og øke vekstprosenten fra \(35\,\%\) til \(40\,\%\) i mai og \(45\,\%\) i juni.

Steg 1 — Mai får 40 prosent økning

\[24008\cdot1{,}40=33611{,}2\]

Rundet til hele følgere blir dette \(33611\).

Steg 2 — Juni får 45 prosent økning fra mai

\[33611{,}2\cdot1{,}45=48736{,}24\]

Rundet til hele følgere blir dette \(48736\).

Steg 3 — Vurder avrundingen

Følgere telles i hele personer, derfor runder vi til nærmeste hele tall.

Tolkning

De oppgitte tallene stemmer med vekst på \(40\,\%\) og \(45\,\%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

april = 24008
mai = april * 1.40
juni = mai * 1.45
print(round(mai), round(juni))

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne to modeller fra april til august: konstant \(35\,\%\) og økning med 5 prosentpoeng hver måned.

Steg 1 — Konstant 35 prosent til august

Fra april til august er det fire månedlige økninger.

\[24008\cdot1{,}35^4\approx79742{,}72\]

Steg 2 — Ny plan til august

Vekstfaktorene blir \(1{,}40\), \(1{,}45\), \(1{,}50\) og \(1{,}55\).

\[24008\cdot1{,}40\cdot1{,}45\cdot1{,}50\cdot1{,}55\approx113311{,}76\]

Steg 3 — Finn prosentvis forskjell

\[\dfrac{113311{,}76-79742{,}72}{79742{,}72}\cdot100\,\%\approx42{,}1\,\%\]

Steg 4 — Vurder modellen

Resultatet bygger på svært høy månedlig vekst. Modellen kan være nyttig for målet, men den blir raskt usikker når vi bruker den framover i tid.

Tolkning

Med den nye planen får hun omtrent \(42\,\%\) flere følgere i august enn ved fortsatt \(35\,\%\) vekst.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

april = 24008
konstant = april * 1.35**4
ny = april * 1.40 * 1.45 * 1.50 * 1.55
print(konstant, ny, (ny/konstant - 1)*100)

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive forskjeller i nivå og spredning.

Steg 1 — Finn Solveigs gjennomsnitt

Summen av timene er \(143\), og hun har \(20\) turer.

\[\overline{x}=\dfrac{143}{20}=7{,}15\]

Steg 2 — Finn Solveigs median

Sortert ligger de to midterste verdiene ved \(7\) og \(8\).

\[\text{median}=\dfrac{7+8}{2}=7{,}5\]

Steg 3 — Finn Solveigs standardavvik

Med digitalt verktøy får vi standardavvik omtrent \(2{,}46\) når vi bruker populasjonsstandardavvik.

Steg 4 — Sammenlikn med Miriam

Miriam har gjennomsnitt \(4{,}7\), median \(4\) og standardavvik \(4{,}2\). Hun har altså kortere turer typisk sett, men større variasjon.

Tolkning

Solveig går jevnere og vanligvis lengre turer. Miriam har flere korte turer, men også noen lange turer som trekker standardavviket opp.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import statistics as st
s = [8,4,7,5,10,3,12,6,8,9,6,5,8,9,11,5,3,7,9,8]
print(sum(s)/len(s), st.median(s), st.pstdev(s))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese frekvenser fra en kumulativ frekvenstabell.

Steg 1 — Bruk forskjell mellom kumulative frekvenser

Antallet turer på akkurat \(5\) timer er kumulativ frekvens ved \(5\) minus kumulativ frekvens ved forrige verdi, \(3\).

\[14-11=3\]

Steg 2 — Påstand 1

Dette viser at de gikk \(3\) turer på \(5\) timer sammen.

Steg 3 — Finn antall fellesturer på 8 timer

\[17-14=3\]

Steg 4 — Sammenlikn med Solveigs egne 8-timersturer

I Solveigs liste står tallet \(8\) fire ganger.

Tabellen viser bare \(3\) fellesturer på \(8\) timer. Derfor var Miriam ikke med på alle Solveigs 8-timersturer.

Tolkning

Kumulativ frekvens viser antall til og med en verdi. For nøyaktig én verdi må vi trekke fra forrige kumulative frekvens.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from collections import Counter
solveig = [8,4,7,5,10,3,12,6,8,9,6,5,8,9,11,5,3,7,9,8]
print('Felles 5-timersturer:', 14-11)
print('Felles 8-timersturer:', 17-14)
print('Solveigs 8-timersturer:', Counter(solveig)[8])

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at arealet av en søyle i histogrammet gir frekvensen.

Steg 1 — Les klassene og høydene

Fra histogrammet kan vi lese klassene \(0\text{–}40\), \(40\text{–}60\), \(60\text{–}100\) og \(100\text{–}150\). Høydene er henholdsvis \(2\), \(6\), \(5\) og \(2\).

Steg 2 — Regn frekvenser

\[40\cdot2=80,\quad 20\cdot6=120,\quad 40\cdot5=200,\quad 50\cdot2=100\]

Totalt er det \(80+120+200+100=500\) elever.

Steg 3 — Påstand 1 og 2

Påstand 1 stemmer fordi frekvensen i intervallet \(0\text{–}40\) er \(80\). Påstand 2 stemmer fordi

\[\dfrac{100}{500}=\dfrac{1}{5}\]

Steg 4 — Påstand 3

Elever under \(60\) minutter er i de to første klassene. Frekvensene er \(80\) og \(120\). Hvis gjennomsnittet i første klasse er omtrent \(20\) minutter, kan gjennomsnittet i andre klasse være omtrent \(50\) minutter. Da får vi

\[\dfrac{80\cdot20+120\cdot50}{200}=38\]

Dermed kan påstand 3 være riktig.

Steg 5 — Påstand 4

For de \(200\) elevene under \(60\) minutter ligger medianen mellom observasjon 100 og 101. Siden \(80\) elever er under \(40\), ligger medianen i intervallet \(40\text{–}60\). Den kan derfor være høyere enn \(38\) minutter.

Tolkning

Alle fire påstandene kan være riktige fordi histogrammet gir intervaller, ikke nøyaktige enkelttider.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

freq = [40*2, 20*6, 40*5, 50*2]
print(freq, sum(freq))
print(freq[-1]/sum(freq))
print((80*20 + 120*50)/(80+120))

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvordan programmet gjør likningssystemet om til et søk etter skjæringspunkter.

Steg 1 — Skriv om første likning

\[4x=-12+y\quad\Rightarrow\quad y=4x+12\]

Dette er funksjonen \(f\left(x\right)\).

Steg 2 — Skriv om andre likning

\[2x+24-y=2x^2\quad\Rightarrow\quad y=-2x^2+2x+24\]

Dette er funksjonen \(g\left(x\right)\).

Steg 3 — Test mulige heltallsverdier

Programmet går gjennom heltallene fra \(-5\) til \(4\) og undersøker om \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\).

Steg 4 — Skriv ut løsningen

Når de to funksjonsverdiene er like, har vi samme \(x\)- og \(y\)-verdi i begge likningene. Da er punktet en løsning.

Tolkning

Sara finner skjæringspunktene mellom en rett linje og en parabel. Løsningene er \(\left(-3,0\right)\) og \(\left(2,20\right)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
print(solve([Eq(4*x, -12+y), Eq(2*x+24-y, 2*x**2)], [x,y]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive om Oles likninger til to funksjoner og endre programmet tilsvarende.

Steg 1 — Skriv om første likning

\[2x=y-8\quad\Rightarrow\quad y=2x+8\]

Ole bør derfor bruke return 2*x + 8 i den første funksjonen.

Steg 2 — Skriv andre likning som funksjon

Den andre likningen står allerede som

\[y=x^2+x-48\]

Ole bør derfor bruke return x**2 + x - 48 i den andre funksjonen.

Steg 3 — Velg stort nok søkeintervall

Løsningene er \(x=-7\) og \(x=8\), så intervallet range(-5, 5) er for lite. Et passende valg er for eksempel range(-10, 11).

Steg 4 — Programendring

def f(x):
    return 2*x + 8

def g(x):
    return x**2 + x - 48

for x in range(-10, 11):
    if f(x) == g(x):
        print("Jeg har funnet løsningen x =", x, "og y =", f(x))

Tolkning

Programmet vil skrive ut \(x=-7, y=-6\) og \(x=8, y=24\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x, y = symbols('x y')
print(solve([Eq(2*x, y-8), Eq(x**2+x-48, y)], [x,y]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal foreslå én mulig rettavkortet kjegle som oppfyller kravene. Det finnes flere riktige forslag.

Steg 1 — Velg maksimal grunnflate innenfor kvadratet

Et kvadratisk område med areal \(20\text{ m}^2\) har sidelengde

\[s=\sqrt{20}\text{ m}\]

Hvis den sirkelformede grunnflaten skal få plass i kvadratet, kan vi velge diameter \(\sqrt{20}\), altså radius

\[R=\dfrac{\sqrt{20}}{2}=\sqrt{5}\approx2{,}24\text{ m}\]

Steg 2 — Finn radius på plattformen

Plattformarealet skal være \(10\text{ m}^2\).

\[\pi r^2=10\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{\dfrac{10}{\pi}}\approx1{,}78\text{ m}\]

Steg 3 — Velg høyde

Høyden må ikke være over \(2{,}5\) m. Vi velger

\[h=2{,}5\text{ m}\]

Steg 4 — Kontroller kravene

Grunnflatediameteren er \(2R=\sqrt{20}\), så den passer akkurat i kvadratet. Plattformen har areal \(10\text{ m}^2\), og høyden er ikke over \(2{,}5\) m.

Tolkning

Dette er en mulig modell. Andre valg med mindre grunnflate eller lavere høyde kan også oppfylle kravene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
R = math.sqrt(20)/2
r = math.sqrt(10/math.pi)
h = 2.5
print(R, r, h)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne volumet av den rettavkortede kjeglen fra forslaget i a.

Steg 1 — Bruk volumformelen

For en rettavkortet kjegle er volumet

\[V=\dfrac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)\]

Steg 2 — Sett inn målene

Vi bruker \(R=\sqrt{5}\), \(r=\sqrt{\dfrac{10}{\pi}}\) og \(h=2{,}5\).

\[V=\dfrac{\pi\cdot2{,}5}{3}\left(\left(\sqrt{5}\right)^2+\sqrt{5}\cdot\sqrt{\dfrac{10}{\pi}}+\left(\sqrt{\dfrac{10}{\pi}}\right)^2\right)\]

Steg 3 — Regn ut volumet

\[V\approx31{,}87\text{ m}^3\]

Steg 4 — Vurder svaret

Volumet er mindre enn volumet av en sylinder med radius \(\sqrt{5}\) og høyde \(2{,}5\), som ville vært \(\pi\cdot5\cdot2{,}5\approx39{,}3\text{ m}^3\). Svaret er derfor rimelig.

Tolkning

Med denne utformingen trengs omtrent \(32\text{ m}^3\) betong, før eventuell svinn og praktiske marginer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math
R = math.sqrt(5)
r = math.sqrt(10/math.pi)
h = 2.5
V = math.pi*h/3*(R**2 + R*r + r**2)
print(V)

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke lånekalkulatoren og egenkapitalkravet.

Steg 1 — Kjennetegn på annuitetslån

I et annuitetslån betaler man samme terminbeløp hver termin, så lenge renten er uendret. Kalkulatoren viser en fast månedlig lånekostnad, \(10495\) kr per måned.

Steg 2 — Finn kravet til egenkapital

Johannes må ha minst \(15\,\%\) av kjøpesummen selv.

\[2000000\cdot0{,}15=300000\]

Steg 3 — Finn maksimal lånesum

Hvis han må ha \(300000\) kr i egenkapital, kan han maksimalt låne

\[2000000-300000=1700000\]

Tolkning

Derfor stopper kalkulatoren på \(1700000\) kr som ønsket lånebeløp.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

pris = 2_000_000
egenkapital = 0.15 * pris
maks_lan = pris - egenkapital
print(egenkapital, maks_lan)

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare rentes rente og finne månedsrenten som gir samme årsvekst som \(5{,}49\,\%\).

Steg 1 — Forklar uttrykket

Hvis månedsrenten er \(1{,}5\,\%\), er månedlig vekstfaktor \(1{,}015\). Etter 12 måneder blir årsvekstfaktoren

\[1{,}015^{12}\approx1{,}1956\]

Dette tilsvarer \(19{,}56\,\%\) årlig rente.

Steg 2 — Sett opp likning for ukjent månedsrente

La \(r\) være månedsrenten skrevet som desimaltall.

\[\left(1+r\right)^{12}=1{,}0549\]

Steg 3 — Løs likningen

\[1+r=1{,}0549^{1/12}\]

\[r=1{,}0549^{1/12}-1\approx0{,}004464\]

Steg 4 — Gjør om til prosent

\[0{,}004464\cdot100\,\%\approx0{,}446\,\%\]

Tolkning

En effektiv årsrente på \(5{,}49\,\%\) svarer til omtrent \(0{,}45\,\%\) per måned når renten forrentes månedlig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

r = 1.0549**(1/12) - 1
print(r, r*100)

Hva spør oppgaven om? Vi skal dele det første terminbeløpet i rentedel og avdragsdel.

Steg 1 — Bruk månedsrenten fra b

Månedsrenten er omtrent \(0{,}004464\).

Steg 2 — Regn rentene første måned

Før første betaling er lånet omtrent \(1700000\) kr.

\[1700000\cdot0{,}004464\approx7588\]

Steg 3 — Bruk terminbeløpet fra kalkulatoren

Terminbeløpet er \(10495\) kr per måned.

\[10495-7588\approx2907\]

Tolkning

Første termin består av omtrent \(7588\) kr i renter og \(2907\) kr i avdrag. Senere blir rentedelen mindre og avdragsdelen større dersom renten er den samme.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

lan = 1_700_000
termin = 10_495
r = 1.0549**(1/12) - 1
renter = lan * r
avdrag = termin - renter
print(round(renter), round(avdrag))

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette opp et månedlig budsjett og vurdere betalingsevnen.

Steg 1 — Finn disponibel inntekt

Trekkene utgjør \(1{,}2\,\%+2\,\%+32\,\%=35{,}2\,\%\).

\[52000\cdot\left(1-0{,}352\right)=33696\]

Steg 2 — Finn faste utgifter uten boliglån

\[8683+3610+1600+2000=15893\]

Steg 3 — Legg til boliglånet

Med terminbeløpet fra kalkulatoren:

\[15893+10495=26388\]

Da har han igjen

\[33696-26388=7308\]

Steg 4 — Vurder renteøkning

Banken krever at han også tåler at renten øker med 3 prosentpoeng. Et grovt annuitetsoverslag gir da et terminbeløp rundt \(13300\) kr per måned. Da har han fortsatt omtrent

\[33696-\left(15893+13300\right)\approx4500\]

igjen per måned.

Tolkning

Beregningene tyder på at Johannes kan ha råd, også med renteøkning, men marginen blir ikke veldig stor. Han bør i tillegg vurdere vedlikehold, strøm, kommunale avgifter, uforutsette kostnader og om budsjettet er realistisk for ham.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

brutto = 52_000
netto = brutto * (1 - 0.012 - 0.02 - 0.32)
utgifter_uten_lan = 8683 + 3610 + 1600 + 2000
termin = 10_495
print(netto, utgifter_uten_lan + termin, netto - (utgifter_uten_lan + termin))
# Grovt annuitetsoverslag ved 8,49 % effektiv årsrente:
L = 1_700_000
m = 1.0849**(1/12) - 1
n = 25*12
A = L*m/(1-(1+m)**(-n))
print(round(A), round(netto - (utgifter_uten_lan + A)))