Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke en indeks der 2015 er basisåret med indeks 100.

Steg 1 - Les av start- og sluttindeks

I 2015 er indeksen \(100{,}0\). I 2021 er indeksen \(113{,}3\).

Steg 2 - Bruk prosentvis endring

\[\dfrac{113{,}3-100{,}0}{100{,}0}\cdot100\ \% =13{,}3\ \%\]

Vi sammenlikner økningen med startverdien.

Steg 3 - Tolk indeksen

Indeks \(113{,}3\) betyr at prisnivået er \(13{,}3\ \%\) høyere enn i basisåret.

Tolkning

Brødprisene steg med litt over tretten prosent fra 2015 til 2021.

Kontroll

increase = (113.3 - 100.0)/100.0*100
print(increase)

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne prosentvis prisøkning for ett brød med prosentvis økning i prisindeksen fra 2017 til 2019.

Steg 1 - Finn prosentøkningen for brødet

\[\dfrac{42-40}{40}\cdot100\ \%=5\ \%\]

Prisen økte med 2 kroner fra 40 kroner.

Steg 2 - Finn prosentøkningen for indeksen

Indeksen gikk fra \(104{,}5\) i 2017 til \(109{,}2\) i 2019.

\[\dfrac{109{,}2-104{,}5}{104{,}5}\cdot100\ \%\approx4{,}5\ \%\]

Steg 3 - Sammenlikn

\(5\ \%\) er større enn omtrent \(4{,}5\ \%\).

Tolkning

Dette bestemte brødet steg litt mer i pris enn prisindeksen for brød i samme periode.

Kontroll

bread = (42-40)/40*100
index = (109.2-104.5)/104.5*100
print(round(bread, 2), round(index, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en mulig skisse og begrunne den med forholdet mellom lengder og arealer.

Steg 1 - Bruk at trekantene er formlike

Formlike trekanter har samme vinkler og samme form. Derfor kan \(\triangle DEF\) være en forstørret kopi av \(\triangle ABC\).

Steg 2 - Knytt arealforhold til lengdeforhold

Når alle lengder multipliseres med en faktor \(k\), multipliseres arealet med \(k^2\).

Her er arealforholdet \(4\), så

\[k^2=4\]

\[k=2\]

Steg 3 - Lag en konkret skisse

En riktig skisse kan vise en likebeint trekant og en annen likebeint trekant der alle sider er dobbelt så lange.

Tolkning

Den store trekanten får fire ganger så stort areal fordi både grunnlinje og høyde blir dobbelt så store.

Kontroll

k = 2
area_factor = k**2
print(area_factor)

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare forskjellen på nominell lønn og reallønn og bruke dette til å vurdere lønnsøkningen.

Steg 1 - Forklar nominell lønn

Nominell lønn er lønnen målt i kroner. Hvis lønnen har økt med \(16\ \%\), har kronebeløpet økt med \(16\ \%\).

Steg 2 - Forklar reallønn

Reallønn handler om kjøpekraft: hvor mye varer og tjenester lønnen faktisk kan kjøpe.

Steg 3 - Ta hensyn til prisvekst

Truls må sammenlikne lønnsøkningen med prisveksten i samme seksårsperiode. En modell for reallønnsendring er

\[\dfrac{\text{lønn etter økning}}{\text{prisnivå etter økning}}-1\]

Hvis prisnivået for eksempel har økt med \(20\ \%\), blir reallønnsendringen

\[\dfrac{1{,}16}{1{,}20}-1\approx -0{,}033\]

Da har kjøpekraften gått ned med omtrent \(3{,}3\ \%\).

Steg 4 - Gi et presist svar til Truls

Thea kan si at \(16\ \%\) nominell lønnsøkning bare er bra dersom prisene har økt mindre enn \(16\ \%\).

Tolkning

Det avgjørende er ikke bare hvor mange kroner Truls tjener, men hvor mye lønnen er verdt i praksis.

Kontroll med eksempel

real_change = 1.16/1.20 - 1
print(round(real_change*100, 1))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en likning med to løsninger ved å sette to funksjoner lik hverandre.

Steg 1 - Velg to grafer som skjærer hverandre to ganger

Linjen \(f\) og parabelen \(g\) skjærer hverandre to steder.

Steg 2 - Lag likningen

\[f(x)=g(x)\]

Det betyr

\[x+1=x^2-4x+5\]

Steg 3 - Les av løsningene grafisk

Av grafen ser vi at skjæringspunktene har \(x\)-verdiene \(1\) og \(4\).

Steg 4 - Kontroller algebraisk

\[x+1=x^2-4x+5\]

\[0=x^2-5x+4\]

\[0=(x-1)(x-4)\]

Dermed er \(x=1\) eller \(x=4\).

Tolkning

Løsningene er de \(x\)-verdiene der grafene til \(f\) og \(g\) har samme \(y\)-verdi.

Kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols("x")
print(solve((x+1) - (x**2 - 4*x + 5), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en ulikhet der løsningsmengden bare består av positive \(x\)-verdier.

Steg 1 - Velg to grafer med skjæring i \(x=0\) og \(x=3\)

Grafene til \(h\) og \(g\) skjærer hverandre ved \(x=0\) og \(x=3\).

Steg 2 - Lag en ulikhet

Vi kan velge

\[h(x)>g(x)\]

Altså

\[-x+5>x^2-4x+5\]

Steg 3 - Les av grafisk

Mellom skjæringspunktene ligger grafen til \(h\) over grafen til \(g\). Derfor er løsningen

\[0

Steg 4 - Kontroller algebraisk

\[-x+5>x^2-4x+5\]

\[0>x^2-3x\]

\[0>x(x-3)\]

Produktet er negativt mellom nullpunktene. Derfor er \(0

Tolkning

Alle løsningene er positive, fordi intervallet starter rett etter \(0\).

Kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols("x")
print(solve_univariate_inequality(-x + 5 > x**2 - 4*x + 5, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne to ukjente priser fra to opplysninger.

Steg 1 - Definer ukjente

La \(T\) være prisen for én T-skjorte og \(B\) være prisen for én bukse.

Steg 2 - Sett opp likninger

Fra bildet får vi

\[2T+2B=1496\]

\[3T+B=1046\]

Den første likningen kan deles på 2:

\[T+B=748\]

Steg 3 - Løs systemet

Fra \(T+B=748\) får vi \(B=748-T\). Sett dette inn i den andre likningen:

\[3T+748-T=1046\]

\[2T=298\]

\[T=149\]

Steg 4 - Finn bukseprisen

\[B=748-149=599\]

Tolkning

Prisene passer i begge bildene: \(2\cdot149+2\cdot599=1496\) og \(3\cdot149+599=1046\).

Kontroll

from sympy import symbols, solve
T, B = symbols("T B")
print(solve([2*T+2*B-1496, 3*T+B-1046], [T, B]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke hvor stor den manglende verdien må være for at gjennomsnittet skal bli større enn 4.

Steg 1 - Summer de kjente verdiene

\[4+5+0+4+2+6+5+7+5+5+3=46\]

Steg 2 - La den skjulte verdien være \(x\)

Da er summen av alle 12 verdiene \(46+x\).

Steg 3 - Sett opp kravet til gjennomsnitt

Tore antar at gjennomsnittet er mer enn 4:

\[\dfrac{46+x}{12}>4\]

\[46+x>48\]

\[x>2\]

Steg 4 - Kommenter antakelsen

Hvis den skjulte verdien er større enn 2, er gjennomsnittet mer enn 4. Hvis den skjulte verdien er 0, 1 eller 2, stemmer ikke antakelsen.

Tolkning

Tore kan ikke vite sikkert at gjennomsnittet er mer enn 4 uten å vite tallet som er skjult av kaffeflekken.

Kontroll

known = [4,5,0,4,2,6,5,7,5,5,3]
print(sum(known))
for x in [2,3]:
    print(x, (sum(known)+x)/12)

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne prisen på A tre måneder etter mai med prisen på B tre måneder før mai.

Steg 1 - Velg en felles pris i mai

La begge varene koste \(P\) kroner i mai.

Steg 2 - Finn prisen på A om tre måneder

A øker med \(7\ \%\) per måned, altså vekstfaktor \(1{,}07\).

\[A_{\text{om 3 mnd}}=P\cdot1{,}07^3\]

\[A_{\text{om 3 mnd}}\approx1{,}225P\]

Steg 3 - Finn prisen på B for tre måneder siden

B har gått ned med \(7\ \%\) per måned, altså vekstfaktor \(0{,}93\) framover i tid. Hvis prisen i mai er \(P\), må prisen tre måneder før mai ha vært

\[B_{\text{for 3 mnd siden}}\cdot0{,}93^3=P\]

Dermed

\[B_{\text{for 3 mnd siden}}=\dfrac{P}{0{,}93^3}\approx1{,}243P\]

Steg 4 - Sammenlikn

\(1{,}225P\) er ikke lik \(1{,}243P\). Prisen til B for tre måneder siden var litt høyere.

Tolkning

Malin blander sammen \(7\ \%\) opp og \(7\ \%\) ned som om de var motsatte handlinger. Det er de ikke, fordi vekstfaktorene \(1{,}07\) og \(0{,}93\) ikke er inverse.

Kontroll

A = 1.07**3
B = 1/(0.93**3)
print(round(A, 4), round(B, 4), round((B/A-1)*100, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en ryddig presentasjon av datamaterialet med både beregninger og diagram.

Steg 1 - Finn totalt antall syklister

\[10+15+11+12+15=63\]

Steg 2 - Finn totalt antall med hjelm

\[7+9+6+7+12=41\]

Antall uten hjelm er

\[63-41=22\]

Steg 3 - Finn samlet prosentandel med hjelm

\[\dfrac{41}{63}\cdot100\ \%\approx65{,}1\ \%\]

Steg 4 - Finn prosentandel per dag

Steg 5 - Vurder diagramvalg

Et gruppert stolpediagram passer godt fordi hun kan sammenlikne totalt antall syklister og antall med hjelm for hver dag. Et sektordiagram kan brukes for samlet fordeling: \(41\) med hjelm og \(22\) uten hjelm.

Tolkning

Omtrent to av tre syklister brukte hjelm denne uken. Fredag hadde høyest hjelmprosent, mens onsdag hadde lavest.

Kontroll i regneark / Python

Regneark: =SUMMER(B2:B6), =SUMMER(C2:C6), =C2/B2.

days = ["Mandag", "Tirsdag", "Onsdag", "Torsdag", "Fredag"]
total = [10, 15, 11, 12, 15]
helmet = [7, 9, 6, 7, 12]
print(sum(total), sum(helmet), round(sum(helmet)/sum(total)*100, 1))
for d, t, h in zip(days, total, helmet):
    print(d, round(h/t*100, 1))

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne sentralmål fra grupperte data. Derfor må vi gjøre forutsetninger om hvordan lønningene er fordelt inne i hvert intervall.

Steg 1 - Gjør forutsetning

For gjennomsnitt antar vi at alle ansatte i et intervall kan representeres ved midtpunktet i intervallet. For median antar vi jevn fordeling innenfor medianintervallet.

Steg 2 - Finn antall ansatte

\[8+42+40+20+15+3+2+1+15=146\]

Steg 3 - Bruk midtpunkter til gjennomsnitt

Summen av produktene er \(83\ 975\) tusen kroner.

\[\bar{x}=\dfrac{83\ 975}{146}\approx575\]

Gjennomsnittet er omtrent \(575\ 000\) kroner.

Steg 4 - Finn medianintervallet

Det er \(146\) ansatte. Medianen ligger mellom observasjon nummer \(73\) og \(74\).

Kumulativ frekvens etter de to første intervallene er \(8+42=50\). Etter neste intervall er kumulativ frekvens \(90\). Medianen ligger derfor i intervallet \([450,500)\).

Steg 5 - Anslå medianen

Medianposisjonen er omtrent nummer \(73\). Det er \(23\) observasjoner inn i medianintervallet etter de første \(50\).

\[450+\dfrac{23}{40}\cdot50=478{,}75\]

Medianen er omtrent \(479\ 000\) kroner.

Tolkning

Gjennomsnittet blir mye høyere enn medianen fordi noen ansatte har svært høy lønn.

Kontroll i regneark / Python

Regneark for gjennomsnitt: =SUMMERPRODUKT(midtpunkter;frekvenser)/SUMMER(frekvenser).

freq = [8,42,40,20,15,3,2,1,15]
mid = [300,400,475,525,575,625,700,875,1500]
mean = sum(f*m for f,m in zip(freq, mid))/sum(freq)
median_est = 450 + (23/40)*50
print(round(mean, 2), round(median_est, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere om gjennomsnitt eller median beskriver lønnsnivået best.

Steg 1 - Sammenlikn sentralmålene

Vi fant omtrent

\[\text{gjennomsnitt}\approx575\ 000\]

\[\text{median}\approx479\ 000\]

Forskjellen er stor.

Steg 2 - Se på fordelingen

Det siste intervallet \([1000,2000)\) har \(15\) ansatte. Disse høye lønningene trekker gjennomsnittet opp.

Steg 3 - Vurder hva brosjyren skal beskrive

Hvis målet er å beskrive en typisk ansatt, er medianen bedre. Medianen påvirkes lite av noen få svært høye lønninger.

Steg 4 - Gi begrunnet konklusjon

Jeg mener medianen er best egnet til å beskrive lønnsnivået til de ansatte, fordi lønnsfordelingen er skjev mot høye verdier.

Tolkning

Gjennomsnittet kan være nyttig for totale lønnskostnader, men medianen gir et mer representativt bilde av hva en typisk ansatt tjener.

Kontroll med tankeeksperiment

salaries_without_high_group = 83975 - 22500
employees_without_high_group = 146 - 15
print(round(salaries_without_high_group/employees_without_high_group, 1))
print("Når høyinntektsgruppen fjernes, faller gjennomsnittet kraftig.")

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre hva som skjer med arealet når én side øker med en prosentandel og den andre siden minker med samme prosentandel.

Steg 1 - Sett opp opprinnelig areal

La opprinnelig lengde være \(L\) og opprinnelig bredde være \(B\). Da er arealet

\[A=L\cdot B\]

Steg 2 - La prosentandelen være \(p\)

Hvis lengden øker med andelen \(p\), blir ny lengde \(L(1+p)\).

Hvis bredden minsker med samme andel, blir ny bredde \(B(1-p)\).

Steg 3 - Finn nytt areal

\[A_{\text{ny}}=L(1+p)\cdot B(1-p)\]

\[A_{\text{ny}}=LB(1+p)(1-p)\]

\[A_{\text{ny}}=LB(1-p^2)\]

Steg 4 - Sammenlikn med opprinnelig areal

Siden \(p^2>0\) for en positiv prosentandel, er

\[1-p^2<1\]

Dermed er

\[LB(1-p^2)

Tolkning

Det nye arealet blir alltid mindre, så lenge prosentandelen er større enn 0.

Kontroll med eksempel

Velg \(p=0{,}10\). Da blir arealfaktoren

\[(1+0{,}10)(1-0{,}10)=1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99\]

Arealet blir \(1\ \%\) mindre.

for p in [0.1, 0.25, 0.5]:
    print(p, (1+p)*(1-p))

Hva spør oppgaven om? Vi skal rette programmet slik at renter, avdrag og restlån beregnes hver måned, og slik at programmet fortsetter til lånet er betalt ned.

Steg 1 - Finn formelen for renter

Rentefoten er \(2\ \%\) per måned, så rentene i en måned er

\[\text{renter}=\text{restlån}\cdot\dfrac{2}{100}\]

Steg 2 - Finn formelen for avdrag

Avdrag er det som blir igjen av terminbeløpet etter at rentene er betalt:

\[\text{avdrag}=\text{terminbeløp}-\text{renter}\]

Steg 3 - Oppdater restlånet

Restlånet skal reduseres med avdraget:

\[\text{restlån}_{\text{ny}}=\text{restlån}_{\text{gammel}}-\text{avdrag}\]

Steg 4 - Endre løkken

I stedet for for måned in range(1, 5): bør programmet bruke en løkke som går til restlånet er betalt. En trygg løsning er while restlan > 0:.

Steg 5 - Unngå negativt restlån i siste måned

Siste betaling kan være mindre enn vanlig terminbeløp. Derfor kan vi bruke min(terminbelop, restlan + renter).

Korrigert program

# Definerer variabler
restlan = 100000
terminbelop = 6378
rentefot = 2

# Overskrifter
print("Måned	Terminbeløp	Renter	Avdrag	Restlån")

maaned = 0
while restlan > 0:
    maaned = maaned + 1
    renter = restlan*rentefot/100
    betaling = min(terminbelop, restlan + renter)
    avdrag = betaling - renter
    restlan = restlan - avdrag
    print(maaned,
          round(betaling, 2),
          round(renter, 2),
          round(avdrag, 2),
          round(restlan, 2), sep="	")

Tolkning

Programmet beregner rentene først, finner avdraget og trekker avdraget fra restlånet. Dette gjentas til restlånet er null.

Kontroll av første måned

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke nedbetalingsregelen fra programmet til å telle antall måneder.

Steg 1 - Start med restlånet

Før første betaling er restlånet \(100\ 000\) kroner.

Steg 2 - Regn måned for måned

I hver måned beregnes først renter. Deretter trekkes avdraget fra restlånet.

Første måned blir

\[\text{renter}=100\ 000\cdot0{,}02=2000\]

\[\text{avdrag}=6378-2000=4378\]

\[\text{restlån}=100\ 000-4378=95\ 622\]

Steg 3 - Bruk programmet til hele planen

Når vi gjentar beregningen, er restlånet etter 19 ordinære betalinger omtrent \(4{,}03\) kroner.

Steg 4 - Vurder siste måned

Det gjenstår da litt restlån og renter. Det trengs en 20. måned, men siste betaling blir bare omtrent \(4{,}12\) kroner dersom betalingen justeres.

Tolkning

Lånet er ikke helt betalt etter 19 måneder, så svaret blir 20 måneder.

Kontroll i Python

restlan = 100000
terminbelop = 6378
rentefot = 2
maaned = 0
while restlan > 0:
    maaned += 1
    renter = restlan*rentefot/100
    betaling = min(terminbelop, restlan + renter)
    avdrag = betaling - renter
    restlan = restlan - avdrag
    print(maaned, round(betaling, 2), round(renter, 2), round(avdrag, 2), round(restlan, 2))
print("Antall måneder:", maaned)