ifingo - Matematikk 2P

Matematikk 2P eksamen Vår 2022 - løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål til Udir-settet MAT1023 Vår 2022. Alle deloppgaver er transkribert, løst stegvis og kontrollert digitalt der det passer.

Del 1uten hjelpemidler

Del 2med hjelpemidler

19deloppgavekort

CAS + Pythonkontroll

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 dekker lineære kostnader, eksponentiell nedgang, KPI/kjøpekraft, programmering og ulikhet fra graf.

Del 1 - Oppgave 1alineær modell

Oppgave 1a

Oppgave:

Den grafiske framstillingen ovenfor viser hvor mye det koster for en fabrikk å produsere stoler.

Linjens modell er lest fra grafen som omtrent \(K(x)=15\ 000+500x\).

a) Hvor mye koster det totalt å produsere 20 stoler?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av kostnaden på grafen når antall produserte stoler er 20.

Steg 1 - Les av punktet på grafen

Linjen går gjennom punktet der \(x=20\). Fra rutenettet ser vi at \(y=25\ 000\).

Steg 2 - Tolk aksene

Førsteaksen viser antall stoler, og andreaksen viser totale kostnader i kroner.

Tolkning

Det totale beløpet er ikke kostnaden per stol, men hele produksjonskostnaden for 20 stoler.

Vanlig feil: Å lese av \(20\ 000\) fordi tallet 20 står på førsteaksen. Beløpet må leses på andreaksen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

15000 + 500*20

→ \(25\ 000\)

💻 Python

K = 15000 + 500*20
print(K)

Fasit: \(25\ 000\) kroner (bekreftet digitalt).

Del 1 - Oppgave 1blineær modell

Oppgave 1b

Oppgave:

b) Hvor mye koster det totalt å produsere 120 stoler?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke den lineære sammenhengen videre fra grafen.

Steg 1 - Finn stigningstallet

Grafen øker fra \(15\ 000\) til \(20\ 000\) når antall stoler øker fra 0 til 10.

Det gir \(500\) kroner per stol.

Steg 2 - Sett opp modellen

Startkostnaden er \(15\ 000\), og hver stol øker kostnaden med \(500\).

\[K(x)=15\ 000+500x\]

Steg 3 - Sett inn \(x=120\)

\[K(120)=15\ 000+500\cdot120=75\ 000\]

Tolkning

Modellen gir en ekstrapolering utenfor området som er tydelig tegnet i grafen. Den passer hvis den lineære trenden fortsetter.

Vanlig feil: Å stoppe ved grafens siste synlige verdi og ikke bruke stigningstallet videre.

Kontroll

GeoGebra - CAS

K(x):=15000+500x

→ \(K(x)=15\ 000+500x\)

K(120)

→ \(75\ 000\)

💻 Python

def K(x):
    return 15000 + 500*x
print(K(120))

Fasit: \(75\ 000\) kroner (forutsatt at modellen fortsetter lineært).

Del 1 - Oppgave 1cgjennomsnittskostnad

Oppgave 1c

Oppgave:

c) Hva blir kostnadene per stol dersom bedriften produserer 50 stoler?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først finne total kostnad for 50 stoler og deretter dele på antall stoler.

Steg 1 - Finn total kostnad

Fra grafen eller modellen får vi

\[K(50)=15\ 000+500\cdot50=40\ 000\]

Steg 2 - Del på antall stoler

\[\dfrac{40\ 000}{50}=800\]

Tolkning

Gjennomsnittskostnaden blir \(800\) kroner per stol når fabrikken produserer 50 stoler.

Vanlig feil: Å svare \(500\) kroner. Det er merkostnaden per ekstra stol, ikke gjennomsnittskostnaden når startkostnaden tas med.

Kontroll

GeoGebra - CAS

(15000+500*50)/50

→ \(800\)

💻 Python

print((15000 + 500*50)/50)

Fasit: \(800\) kroner per stol.

Del 1 - Oppgave 2ahalveringstid

Oppgave 2a

Oppgave:

Etter avsluttet behandling med et legemiddel vil mengden av legemiddelet i blodet avta eksponentielt. Mengden vil avta med 50 % i løpet av én halveringstid. Etter to halveringstider vil mengden være redusert til 25 % av opprinnelig mengde, etter tre halveringstider til 12,5 %, og så videre.

a) Hvor mange prosent av legemiddelet vil være igjen i blodet etter fem halveringstider?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal halvere mengden fem ganger.

Steg 1 - Skriv som vekstfaktor

Å halvere betyr å multiplisere med \(0{,}5\) for hver halveringstid.

Steg 2 - Bruk fem halveringstider

\[100\cdot0{,}5^5=3{,}125\]

Tolkning

Etter fem halveringstider er bare en liten del av den opprinnelige mengden igjen.

Vanlig feil: Å trekke fra \(5\cdot50\ \%\). Eksponentiell nedgang betyr gjentatt multiplikasjon, ikke gjentatt subtraksjon.

Kontroll

GeoGebra - CAS

100*0.5^5

→ \(3{,}125\)

💻 Python

print(100*0.5**5)

Fasit: \(3{,}125\ \%\) er igjen.

Del 1 - Oppgave 2bgrafisk framstilling

Oppgave 2b

Oppgave:

b) Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom antall halveringstider og hvor mange prosent av legemiddelet som vil være igjen i blodet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en graf for prosentandelen som funksjon av antall halveringstider.

Steg 1 - Lag tabell

Halveringstider	0	1	2	3	4	5
Prosent igjen	100	50	25	12,5	6,25	3,125

Steg 2 - Tegn punktene og forbind dem med en fallende kurve

Punktene viser \(100\cdot0{,}5^x\) for \(x=0,1,2,3,4,5\).

Steg 3 - Skriv modellen

\[P(x)=100\cdot0{,}5^x\]

Tolkning

Grafen faller raskt først og deretter langsommere, fordi vi hele tiden tar halvparten av det som er igjen.

Vanlig feil: Å tegne en rett linje. Halveringstid gir eksponentiell kurve.

Kontroll

GeoGebra - CAS

P(x):=100*0.5^x

→ \(P(x)=100\cdot0{,}5^x\)

P(5)

→ \(3{,}125\)

💻 Python

for x in range(6):
    print(x, 100*0.5**x)

Fasit: En korrekt graf kan tegnes fra punktene i tabellen, for eksempel med modellen \(P(x)=100\cdot0{,}5^x\).

Del 1 - Oppgave 3KPI og kjøpekraft

Oppgave 3

Oppgave:

Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for årene 2015-2021.

År	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021
KPI	100	103,6	105,5	108,4	110,8	112,2	116,1

I 2015 hadde Elin en nominell lønn på 400 000 kroner. I 2021 hadde hun en nominell lønn på 460 000 kroner.

I hvilket av disse to årene hadde hun størst kjøpekraft?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må sammenlikne lønn målt i samme kroneverdi, ikke bare nominelle kroner.

Steg 1 - Regn 2015-lønnen om til 2021-kroner

\[400\ 000\cdot\dfrac{116{,}1}{100}=464\ 400\]

Steg 2 - Sammenlikn med faktisk lønn i 2021

Elin hadde \(460\ 000\) kroner i 2021.

\[464\ 400>460\ 000\]

Steg 3 - Alternativ kontroll i 2015-kroner

\[460\ 000\cdot\dfrac{100}{116{,}1}\approx396\ 210\]

Tolkning

Selv om Elin tjente flere nominelle kroner i 2021, hadde 400 000 kroner i 2015 litt høyere kjøpekraft.

Vanlig feil: Å se bare på nominell lønn. Kjøpekraft må justeres for prisnivået.

Kontroll

GeoGebra - CAS

400000*116.1/100

→ \(464\ 400\)

460000*100/116.1

→ \(396\ 210{,}16\)

💻 Python

print(400000*116.1/100)
print(460000*100/116.1)

Fasit: Hun hadde størst kjøpekraft i 2015.

Del 1 - Oppgave 4programmering

Oppgave 4

Oppgave:

Ada har skrevet programkoden nedenfor.

beløp = 0
vekstfaktor = 1.02
innskudd = 20000
år = 0

while beløp < 500000:
    beløp = beløp + innskudd
    beløp = beløp * vekstfaktor
    år = år + 1

print(år)
print(beløp)

Hva ønsker Ada å finne ut? Forklar hva som skjer når programmet kjøres.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke variablene og løkken i programmet.

Steg 1 - Tolk startverdiene

Ada starter med \(0\) kroner. Hvert år settes det inn \(20\ 000\) kroner.

Steg 2 - Tolk vekstfaktoren

Vekstfaktoren \(1{,}02\) betyr \(2\ \%\) rente eller vekst per år.

Steg 3 - Tolk løkken

Så lenge beløpet er mindre enn \(500\ 000\), legger programmet til innskuddet, ganger med \(1{,}02\), og øker antall år med 1.

Steg 4 - Finn utskriften

Programmet stopper første gang beløpet har passert \(500\ 000\).

Da skrives \(21\) og omtrent \(525\ 980\) ut.

Tolkning

Ada ønsker å finne hvor mange år det tar før sparebeløpet passerer \(500\ 000\) kroner når hun setter inn \(20\ 000\) kroner hvert år og får \(2\ \%\) vekst.

Vanlig feil: Å tro at renten legges til før innskuddet. I denne koden blir innskuddet lagt inn først, og deretter ganges hele beløpet med vekstfaktoren.

Kontroll

💻 Python

belop = 0
vekstfaktor = 1.02
innskudd = 20000
aar = 0
while belop < 500000:
    belop = belop + innskudd
    belop = belop * vekstfaktor
    aar = aar + 1
print(aar)
print(belop)

Fasit: Programmet viser at det tar \(21\) år, og at beløpet da er omtrent \(525\ 980\) kroner.

Del 1 - Oppgave 5ulikhet fra graf

Oppgave 5

Oppgave:

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til en andregradsfunksjon \(f\) og en lineær funksjon \(g\). Funksjonen \(f\) er gitt ved

\[f(x)=x^2-5x+5\]

Skisse av \(f(x)=x^2-5x+5\) og \(g(x)=x-3\). De møtes ved \(x=2\) og \(x=4\).

Bruk grafene til å sette opp en ulikhet som har løsningen \(2<x<4\). Husk å begrunne svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en ulikhet der løsningen er intervallet mellom skjæringspunktene.

Steg 1 - Les den lineære funksjonen fra grafen

Den blå linjen går gjennom for eksempel \((0,-3)\) og \((4,1)\). Derfor er

\[g(x)=x-3\]

Steg 2 - Finn hvor grafene møtes

Grafene møtes ved \(x=2\) og \(x=4\).

Steg 3 - Se hvilken graf som ligger lavest mellom skjæringspunktene

For \(2<x<4\) ligger grafen til \(f\) under grafen til \(g\).

Steg 4 - Skriv ulikheten

\[f(x)<g(x)\]

Altså

\[x^2-5x+5<x-3\]

Tolkning

Ulikheten sier at parabelens funksjonsverdi er mindre enn linjens funksjonsverdi akkurat mellom skjæringspunktene.

Vanlig feil: Å velge \(f(x)>g(x)\). Da får man områdene utenfor intervallet, ikke \(2<x<4\).

Kontroll

GeoGebra - CAS

Løs(x^2-5x+5 < x-3)

→ \(2

💻 Python

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
print(sp.solve_univariate_inequality(x**2 - 5*x + 5 < x - 3, x))

Fasit: En mulig ulikhet er \(x^2-5x+5

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 legger vekt på prosentregning, geometri i koordinatsystem, eksponentiell modell, diagrammer, statistikk og personlig økonomi. Regneark, GeoGebra og Python er vist der det passer.

Del 2 - Oppgave 1prosent og vekstfaktor

Oppgave 1

Oppgave:

Linus har fått denne oppgaven:

En vare koster like mye i butikk A og i butikk B.

I butikk A blir prisen først satt opp med 25 %, og etter noen uker blir den så satt opp med 15 % til.

I butikk B blir prisen først satt opp med 35 %, og etter noen uker blir den så satt opp med 5 % til.

I hvilken butikk koster varen mest nå?

Linus har satt opp regnestykkene nedenfor, men han er usikker på hvordan han kan bruke svarene til å løse oppgaven.

\[1{,}25\cdot1{,}15=1{,}4375\]

\[1{,}35\cdot1{,}05=1{,}4175\]

Forklar Linus hva han har regnet ut, og hvordan han kan bruke svarene til å løse oppgaven han har fått.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva produktene betyr som samlede vekstfaktorer.

Steg 1 - Tolk butikk A

\[1{,}25\cdot1{,}15=1{,}4375\]

Dette betyr at sluttprisen i butikk A blir \(1{,}4375\) ganger startprisen, altså en økning på \(43{,}75\ \%\).

Steg 2 - Tolk butikk B

\[1{,}35\cdot1{,}05=1{,}4175\]

Dette betyr at sluttprisen i butikk B blir \(1{,}4175\) ganger startprisen, altså en økning på \(41{,}75\ \%\).

Steg 3 - Sammenlikn vekstfaktorene

\[1{,}4375>1{,}4175\]

Butikk A får derfor høyest sluttpris.

Tolkning

Fordi varen kostet like mye i utgangspunktet, kan vi sammenlikne vekstfaktorene direkte.

Vanlig feil: Å legge prosentene sammen og svare \(40\ \%\) i begge butikker. Prosentvis endring etter hverandre skal multipliseres med vekstfaktorer.

Kontroll

GeoGebra - CAS

1.25*1.15

→ \(1{,}4375\)

1.35*1.05

→ \(1{,}4175\)

💻 Python

A = 1.25*1.15
B = 1.35*1.05
print(A, B, A > B)

Fasit: Varen koster mest i butikk A.

Del 2 - Oppgave 2areal i koordinatsystem

Oppgave 2

Oppgave:

I koordinatsystemet ser du et rektangel og tre hvite trekanter.

Rektangelet har bredde 11 og høyde 4. De tre hvite trekantene har grunnlinjer 4, 3 og 2.

Bestem arealet av det grønne området.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne arealet av rektangelet og trekke fra de tre hvite trekantene.

Steg 1 - Finn arealet av rektangelet

Rektangelet har bredde \(11\) og høyde \(4\).

\[A_{rektangel}=11\cdot4=44\]

Steg 2 - Finn arealet av de hvite trekantene

De tre trekantene har høyde \(4\), og grunnlinjene er \(4\), \(3\) og \(2\).

\[A_{hvit}=\dfrac{4\cdot4}{2}+\dfrac{3\cdot4}{2}+\dfrac{2\cdot4}{2}=8+6+4=18\]

Steg 3 - Trekk fra

\[A_{grønn}=44-18=26\]

Tolkning

Det grønne området dekker 26 arealenheter i koordinatsystemet.

Vanlig feil: Å bruke skråsidene som grunnlinjer. Bruk vannrette grunnlinjer og loddrett høyde.

Kontroll

GeoGebra - CAS

11*4 - (4*4/2 + 3*4/2 + 2*4/2)

→ \(26\)

💻 Python

rect = 11*4
white = 4*4/2 + 3*4/2 + 2*4/2
print(rect - white)

Fasit: Arealet av det grønne området er \(26\) arealenheter.

Del 2 - Oppgave 3eksponentiell modell

Oppgave 3

Oppgave:

I en bydel er det i dag 30 000 innbyggere. Anta at innbyggertallet vil øke med en fast prosent hvert år, og at det i løpet av 10 år vil være doblet.

Lag en modell \(f\) som illustrerer situasjonen. Tegn grafen til \(f\), og marker punktet \((5,f(5))\). Forklar hva koordinatene til dette punktet forteller om situasjonen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentiell modell med startverdi 30 000 og dobling etter 10 år.

Steg 1 - Sett opp modellen

La \(x\) være antall år etter i dag. Vi trenger en vekstfaktor \(a\) slik at \(a^{10}=2\).

\[a=2^{\dfrac{1}{10}}\approx1{,}0718\]

Steg 2 - Skriv modellen

\[f(x)=30\ 000\cdot2^{\dfrac{x}{10}}\]

Modellen kan også skrives som \(f(x)=30\ 000\cdot1{,}0718^x\).

Steg 3 - Finn punktet etter 5 år

\[f(5)=30\ 000\cdot2^{\dfrac{5}{10}}=30\ 000\sqrt{2}\approx42\ 426\]

Eksponentiell modell som dobler seg på 10 år.

Tolkning

Punktet \((5,f(5))\) betyr at modellen anslår omtrent \(42\ 426\) innbyggere etter 5 år.

Vanlig feil: Å bruke vekstfaktor \(2\) hvert år. Doblingen skjer i løpet av 10 år, ikke hvert år.

Kontroll

GeoGebra - CAS

f(x):=30000*2^(x/10)

→ \(f(x)=30\ 000\cdot2^{x/10}\)

f(5)

→ \(42\ 426{,}41\)

💻 Python

import math
def f(x):
    return 30000*2**(x/10)
print(f(5))
print(2**(1/10))

Fasit: En passende modell er \(f(x)=30\ 000\cdot2^{x/10}\), og \(f(5)\approx42\ 426\).

Del 2 - Oppgave 4aprosentandel

Oppgave 4a

Oppgave:

Diagrammene viser utgifter på statsbudsjettet i 2020, 2021 og 2022. Alle tall er gitt i milliarder kroner.

År	Totale utgifter	Høyere utdanning, forskning og fagskoler
2020	1443	50
2021	1515	54
2022	1576	55

a) Hvor mange prosent av de totale utgiftene utgjorde utgiftene til høyere utdanning, forskning og fagskoler hvert av disse årene?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor stor del posten utgjør av totalbudsjettet i hvert år.

Steg 1 - Bruk prosentformelen

\[\text{prosentandel}=\dfrac{\text{del}}{\text{helhet}}\cdot100\ \%\]

Steg 2 - Regn for 2020

\[\dfrac{50}{1443}\cdot100\ \%\approx3{,}47\ \%\]

Steg 3 - Regn for 2021 og 2022

\[\dfrac{54}{1515}\cdot100\ \%\approx3{,}56\ \%\]

\[\dfrac{55}{1576}\cdot100\ \%\approx3{,}49\ \%\]

Tolkning

Andelen ligger rundt \(3{,}5\ \%\) alle tre årene.

Vanlig feil: Å sammenlikne bare 50, 54 og 55. Oppgaven spør om prosentandel av de totale utgiftene.

Kontroll

GeoGebra - CAS

50/1443*100

→ \(3{,}465\)

54/1515*100

→ \(3{,}564\)

55/1576*100

→ \(3{,}490\)

💻 Python

for part,total in [(50,1443),(54,1515),(55,1576)]:
    print(part/total*100)

Fasit: 2020: ca. \(3{,}47\ \%\), 2021: ca. \(3{,}56\ \%\), 2022: ca. \(3{,}49\ \%\).

Del 2 - Oppgave 4bKPI og realverdi

Oppgave 4b

Oppgave:

I tabellen nedenfor finner du konsumprisindeksen (KPI) for 2020 og 2021. Statistisk sentralbyrå anslår at konsumprisindeksen vil øke med 3,3 % fra 2021 til 2022.

År	2020	2021	2022
KPI	112,2	116,1

b) Sammenlikn beløpene som ble satt av til høyere utdanning, forskning og fagskoler i 2020, 2021 og 2022.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne både nominelle beløp og beløp justert for prisvekst.

Steg 1 - Finn KPI for 2022

\[116{,}1\cdot1{,}033\approx119{,}9\]

Steg 2 - Sammenlikn nominelle beløp

Beløpene var \(50\), \(54\) og \(55\) milliarder kroner. Nominelt økte beløpet hvert år.

Steg 3 - Regn om til 2020-kroner

\[2020:\quad 50\]

\[2021:\quad 54\cdot\dfrac{112{,}2}{116{,}1}\approx52{,}2\]

\[2022:\quad 55\cdot\dfrac{112{,}2}{119{,}9}\approx51{,}5\]

Tolkning

Justert for prisvekst var 2021 høyest. Fra 2021 til 2022 økte beløpet nominelt, men realverdien gikk litt ned.

Vanlig feil: Å konkludere bare ut fra nominelle tall. Når prisnivået endrer seg, bør beløpene sammenliknes i samme kroneverdi.

Kontroll

GeoGebra - CAS

116.1*1.033

→ \(119{,}9313\)

54*112.2/116.1

→ \(52{,}186\)

55*112.2/(116.1*1.033)

→ \(51{,}454\)

💻 Python

kpi2022 = 116.1*1.033
for year,amount,kpi in [(2020,50,112.2),(2021,54,116.1),(2022,55,kpi2022)]:
    print(year, amount*112.2/kpi)

Fasit: Nominelt økte beløpet fra \(50\) til \(55\) milliarder, men målt i 2020-kroner var 2021 høyest.

Del 2 - Oppgave 5diagram og prosentfordeling

Oppgave 5

Oppgave:

Tabellen viser fordelingen av representanter på Stortinget etter valget i 2017 og etter valget i 2021.

Parti	2017	2021
Arbeiderpartiet	49	48
Høyre	45	36
Fremskrittspartiet	27	21
Senterpartiet	19	28
Sosialistisk Venstreparti	11	13
Kristelig Folkeparti	8	3
Venstre	8	8
Miljøpartiet De Grønne	1	3
Rødt	1	8
Pasientfokus	0	1

Bruk opplysningene i tabellen som utgangspunkt og lag ulike diagrammer. Ved hjelp av diagrammene skal du tydelig få fram endring i antall representanter fra hvert parti fra 2017 til 2021 og prosentvis fordeling av representanter fra hvert parti i 2017 og i 2021. Det skal gå tydelig fram hva hvert diagram viser, og du skal begrunne ditt valg av diagram.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Dette er en representasjonsoppgave. Vi skal velge diagramtyper som viser både endring og fordeling tydelig.

Steg 1 - Finn endringene

Parti	Endring 2017 til 2021
Arbeiderpartiet	-1
Høyre	-9
Fremskrittspartiet	-6
Senterpartiet	+9
Sosialistisk Venstreparti	+2
Kristelig Folkeparti	-5
Venstre	0
Miljøpartiet De Grønne	+2
Rødt	+7
Pasientfokus	+1

Steg 2 - Velg diagram for endring

Et stolpediagram med positive og negative søyler er best for endringer, fordi det viser hvem som gikk opp og ned.

Steg 3 - Velg diagram for prosentvis fordeling

Siden Stortinget har \(169\) representanter, finner vi prosentene med \(\dfrac{\text{representanter}}{169}\cdot100\ \%\). To sektordiagrammer eller to stablede stolpediagrammer kan brukes.

Steg 4 - Eksempel på prosentfordeling

Arbeiderpartiet hadde \(\dfrac{49}{169}\cdot100\ \%\approx29{,}0\ \%\) i 2017 og \(\dfrac{48}{169}\cdot100\ \%\approx28{,}4\ \%\) i 2021.

Tolkning

Senterpartiet og Rødt økte tydelig, mens Høyre og Fremskrittspartiet gikk ned. Prosentdiagrammene viser hvordan mandatene fordelte seg av hele Stortinget.

Vanlig feil: Å bruke sektordiagram til endringer. Endringer med både pluss og minus vises bedre med stolper.

Kontroll i regneark / Python

Regnearkformel for endring i rad 2: =C2-B2. Regnearkformel for prosent i 2017: =B2/169.

💻 Python

partier = {"Ap":(49,48),"H":(45,36),"Frp":(27,21),"Sp":(19,28),"SV":(11,13),"KrF":(8,3),"V":(8,8),"MDG":(1,3),"R":(1,8),"Pasientfokus":(0,1)}
for p,(a,b) in partier.items():
    print(p, b-a, round(a/169*100,1), round(b/169*100,1))

Fasit: Bruk stolpediagram for endringer og sektordiagram eller stablede stolper for prosentvis fordeling.

Del 2 - Oppgave 6astatistikk

Oppgave 6a

Oppgave:

Kari og Ola kommer ofte for sent til matematikktimene. Nedenfor ser du hvor mange minutter Kari kom for sent hver av de siste 24 matematikktimene.

\[4,5,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9\]

a) Bestem medianen, gjennomsnittet og standardavviket for datamaterialet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tre sentral- og spredningsmål for Karis forsentkomminger.

Steg 1 - Median

Det er \(24\) observasjoner. Medianen er gjennomsnittet av observasjon nummer 12 og 13.

Begge er \(7\), så medianen er \(7\).

Steg 2 - Gjennomsnitt

Summen av observasjonene er \(168\).

\[\bar{x}=\dfrac{168}{24}=7\]

Steg 3 - Standardavvik

Bruker vi standardavvik for hele datamaterialet, får vi

\[\sigma\approx1{,}41\]

Tolkning

Kari kommer typisk omtrent 7 minutter for sent, og forsinkelsene varierer som regel med litt over ett minutt rundt gjennomsnittet.

Vanlig feil: Å bruke bare én av de to midterste observasjonene uten å sjekke at det er partall antall observasjoner.

Kontroll

GeoGebra - CAS

Median({4,5,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9})

→ \(7\)

Gjennomsnitt({4,5,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9})

→ \(7\)

StandardavvikP({4,5,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9})

→ \(1{,}41\)

💻 Python

import statistics as st
data = [4,5,5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9]
print(st.median(data))
print(sum(data)/len(data))
print(st.pstdev(data))

Fasit: Medianen er \(7\), gjennomsnittet er \(7\), og standardavviket er omtrent \(1{,}41\) minutter.

Del 2 - Oppgave 6btolkning av statistikk

Oppgave 6b

Oppgave:

Ola har regnet ut medianen, gjennomsnittet og standardavviket for sine forsentkomminger de siste 24 matematikktimene. Han får en lavere median enn Kari, men et høyere gjennomsnitt og et høyere standardavvik.

b) Hva kan du si om forsentkommingene til Ola sammenliknet med forsentkommingene til Kari ut fra disse opplysningene om median, gjennomsnitt og standardavvik?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke tre statistiske opplysninger samlet.

Steg 1 - Tolk lavere median

Lavere median betyr at Olas midterste forsinkelse er lavere enn Karis. Ola kommer altså ofte mindre for sent enn Kari.

Steg 2 - Tolk høyere gjennomsnitt

Høyere gjennomsnitt betyr at Olas totale forsinkelsestid er større per time i gjennomsnitt.

Steg 3 - Tolk høyere standardavvik

Høyere standardavvik betyr at Olas forsinkelser varierer mer enn Karis.

Steg 4 - Samlet konklusjon

Ola er trolig ofte lite forsinket, men noen ganger svært mye forsinket. Disse store forsinkelsene trekker gjennomsnittet opp og gir større spredning.

Tolkning

Medianen beskriver det typiske nivået, mens gjennomsnitt og standardavvik avslører store enkeltforsinkelser.

Vanlig feil: Å konkludere med at Ola alltid kommer mer for sent. Lavere median viser at det ikke stemmer.

Kontroll med eksempel

💻 Python

kari_mean = 7
# Eksempeldata med lavere median, men høyere snitt og større spredning kan lages ved noen få store verdier.
print("Lav median + høyt snitt betyr ofte ekstremverdier.")

Fasit: Ola kommer ofte mindre for sent enn Kari, men har noen større forsinkelser som gir høyere gjennomsnitt og større spredning.

Del 2 - Oppgave 7geometri og likning

Oppgave 7

Oppgave:

Du skal sette opp et gjerde rundt et rektangelformet område. Området er dobbelt så langt som det er bredt. Arealet av området er \(77\ \text{m}^2\).

Hvor langt gjerde trenger du?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne omkretsen av rektangelet.

Steg 1 - Sett bredde og lengde

La bredden være \(x\). Da er lengden \(2x\).

Steg 2 - Bruk arealet

\[x\cdot2x=77\]

\[2x^2=77\]

\[x=\sqrt{38{,}5}\approx6{,}20\]

Steg 3 - Finn lengden

\[2x\approx12{,}41\]

Steg 4 - Finn omkretsen

\[O=2(x+2x)=6x\]

\[O=6\sqrt{38{,}5}\approx37{,}2\]

Tolkning

Du trenger omtrent \(37{,}2\) meter gjerde, eventuelt litt mer i praksis til skjøter og porter.

Vanlig feil: Å sette lengden lik \(x+2\) i stedet for \(2x\). «Dobbelt så langt» betyr to ganger så langt.

Kontroll

GeoGebra - CAS

Løs(2x^2=77,x)

→ \(x=\sqrt{38{,}5}\)

6*sqrt(38.5)

→ \(37{,}23\)

💻 Python

import math
x = math.sqrt(77/2)
print(x, 2*x, 2*(x+2*x))

Fasit: Du trenger omtrent \(37{,}2\) meter gjerde.

Del 2 - Oppgave 8apersonlig økonomi

Oppgave 8a

Oppgave:

Marius har fast jobb og god inntekt. Likevel har han problemer med økonomien. For å klare å betale regninger har han tatt opp flere lån. Han har også flere kredittkort som han bruker.

Marius har en brutto årslønn på 680 000 kroner og får i gjennomsnitt utbetalt 36 000 kroner hver måned.
I løpet av tre år har han tatt opp 24 kreditt- og forbrukslån og har en samlet gjeld på 1,4 millioner kroner. Renten på lånene er i gjennomsnitt 22 % per år. Den siste tiden har han ikke klart å betale avdrag.
Marius bor i en leilighet og betaler 10 000 kroner per måned i leie. Strøm og bredbånd er inkludert i leien.
Marius eier en bil. Bilen har en verdi på 400 000 kroner.
Marius handler ofte klær, sko og utstyr til leiligheten og bilen på nettet. I gjennomsnitt bruker han 6000 kroner hver måned på dette.
De dagene Marius jobber, kjører han innom den lokale bensinstasjonen for å kjøpe frokost, lunsj og noe å bite i på vei hjem. Han betaler vanligvis mellom 300 og 400 kroner for dette.
I helgene går Marius ofte på byen både fredag og lørdag. Han bruker da mellom 600 og 1000 kroner i løpet av en kveld.
Marius bruker cirka 60 000 kroner i året på feriereiser.
I tillegg har han andre månedlige utgifter på cirka 15 000 kroner. Dette er penger han bruker på dagligvarer, drift og vedlikehold av bilen, forsikringer, telefon og frisør.

a) Gjør nødvendige beregninger og lag en oversikt som viser Marius sine månedlige inntekter og utgifter.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et realistisk månedlig budsjett. Noen beløp må anslås, så antakelsene må vises.

Steg 1 - Månedlig inntekt

Marius får utbetalt \(36\ 000\) kroner per måned.

Steg 2 - Rentekostnad på gamle lån

\[1\ 400\ 000\cdot0{,}22=308\ 000\]

\[\dfrac{308\ 000}{12}\approx25\ 667\]

Steg 3 - Gjør rimelige anslag

Jeg bruker \(350\) kroner per arbeidsdag på bensinstasjonen og \(22\) arbeidsdager per måned. For helgene bruker jeg \(800\) kroner per kveld, to kvelder per uke og ca. \(4{,}33\) uker per måned.

Steg 4 - Lag budsjettoversikt

Post	Kr per måned
Inntekt	36 000
Renter på lån	-25 667
Husleie	-10 000
Netthandel	-6 000
Bensinstasjon	-7 700
Byturer	-6 933
Feriereiser	-5 000
Andre månedlige utgifter	-15 000
Resultat	-40 300

Tolkning

Med disse anslagene bruker Marius omtrent \(76\ 300\) kroner per måned og går omtrent \(40\ 300\) kroner i minus.

Vanlig feil: Å overse at 22 % rente av 1,4 millioner kroner gir svært høy månedlig rentekostnad selv uten avdrag.

Kontroll i regneark / Python

Regnearkformler: =1400000*22%/12, =350*22, =800*2*4,33.

💻 Python

income = 36000
interest = 1400000*0.22/12
rent = 10000
shopping = 6000
station = 350*22
weekend = 800*2*4.33
travel = 60000/12
other = 15000
expenses = interest + rent + shopping + station + weekend + travel + other
print(round(expenses), round(income-expenses))

Fasit: Marius bruker omtrent \(76\ 300\) kroner per måned og har et underskudd på omtrent \(40\ 300\) kroner per måned, med de viste anslagene.

Del 2 - Oppgave 8bbudsjett og lån

Oppgave 8b

Oppgave:

Marius får tilbud om å samle alle lånene i ett lån. Renten vil være 8 % per år.

b) Marius benytter seg av dette tilbudet. Ta utgangspunkt i oversikten fra oppgave a) og vis hvilke endringer han kan gjøre for å unngå å bruke mer penger enn han tjener, og klare å betjene og betale ned det nye lånet.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise et realistisk forslag til endringer. Det finnes flere riktige løsninger, men tallene må henge sammen.

Steg 1 - Finn ny månedlig rentekostnad

Hvis han samler \(1{,}4\) millioner kroner til \(8\ \%\) rente, blir renten første år

\[1\ 400\ 000\cdot0{,}08=112\ 000\]

\[\dfrac{112\ 000}{12}\approx9\ 333\]

Steg 2 - Vurder bilen

Bilen er verdt \(400\ 000\) kroner. Selger han bilen og bruker beløpet til å nedbetale gjeld, kan gjelden reduseres til ca. \(1\ 000\ 000\) kroner.

Da blir første års månedlige rente omtrent

\[\dfrac{1\ 000\ 000\cdot0{,}08}{12}\approx6\ 667\]

Steg 3 - Lag et mulig nytt budsjett

Post etter tiltak	Kr per måned
Inntekt	36 000
Husleie	-10 000
Nytt samlet lån, renter og avdrag	-10 000
Dagligvarer, forsikringer, telefon og nødvendige utgifter	-12 000
Transport etter bilsalg	-1 000
Klær/netthandel	-1 000
Fritid	-1 000
Resultat	+1 000

Steg 4 - Forklar tiltakene

Han må stoppe eller kraftig redusere netthandel, bensinstasjonskjøp, byturer og feriereiser. Å selge bilen kan redusere både gjeld og løpende bilutgifter.

Tolkning

Forslaget gir et lite overskudd og en månedlig betaling på lånet. Det er viktig at betalingen er større enn rentene, ellers betales ikke lånet ned.

Vanlig feil: Å bare regne lavere rente og ikke sette av penger til avdrag. Da blir lånet ikke nedbetalt.

Kontroll i regneark / Python

Regnearkformel for renten etter bilsalg: =(1400000-400000)*8%/12.

💻 Python

income = 36000
new_budget = 10000 + 10000 + 12000 + 1000 + 1000 + 1000
print(income - new_budget)
print((1400000-400000)*0.08/12)

Fasit: Et mulig tiltak er å samle lånene, selge bilen, kutte kraftig i forbruket og betale ca. \(10\ 000\) kroner per måned på det nye lånet. Da kan budsjettet gå omtrent \(1\ 000\) kroner i pluss.

Matematikk 2P eksamen – vår 2022

Matematikk 2P eksamen Vår 2022 - løsningsforslag

Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Steg 1 - Les av punktet på grafen

Steg 2 - Tolk aksene

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

💻 Python

Oppgave 1b

Steg 1 - Finn stigningstallet

Steg 2 - Sett opp modellen

Steg 3 - Sett inn \(x=120\)

Tolkning

Kontroll

💻 Python

Oppgave 1c

Steg 1 - Finn total kostnad

Steg 2 - Del på antall stoler

Tolkning

Kontroll

💻 Python

Oppgave 2a

Steg 1 - Skriv som vekstfaktor

Steg 2 - Bruk fem halveringstider

Tolkning

Kontroll

💻 Python

Oppgave 2b

Steg 1 - Lag tabell

Steg 2 - Tegn punktene og forbind dem med en fallende kurve

Steg 3 - Skriv modellen

Tolkning

Kontroll

💻 Python

Oppgave 3

Steg 1 - Regn 2015-lønnen om til 2021-kroner

Steg 2 - Sammenlikn med faktisk lønn i 2021

Steg 3 - Alternativ kontroll i 2015-kroner

Tolkning

Kontroll

💻 Python

Oppgave 4

Steg 1 - Tolk startverdiene

Steg 2 - Tolk vekstfaktoren

Steg 3 - Tolk løkken

Steg 4 - Finn utskriften

Tolkning

Kontroll

💻 Python

Oppgave 5

Steg 1 - Les den lineære funksjonen fra grafen

Steg 2 - Finn hvor grafene møtes

Steg 3 - Se hvilken graf som ligger lavest mellom skjæringspunktene

Steg 4 - Skriv ulikheten

Tolkning

Kontroll

💻 Python

Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

Steg 1 - Tolk butikk A

Steg 2 - Tolk butikk B

Steg 3 - Sammenlikn vekstfaktorene

Tolkning

Kontroll

💻 Python

Oppgave 2

Steg 1 - Finn arealet av rektangelet

Steg 2 - Finn arealet av de hvite trekantene

Steg 3 - Trekk fra

Tolkning

Kontroll

💻 Python

Oppgave 3

Steg 1 - Sett opp modellen

Steg 2 - Skriv modellen

Steg 3 - Finn punktet etter 5 år

Tolkning

Kontroll

💻 Python