Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fire statistiske mål. Da må vi først sortere tallene.

Steg 1 — Sorter datamaterialet

\[0,0,5,5,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,10,10,10,10,14,14\]

Det er \(20\) observasjoner.

Steg 2 — Median

Medianen er gjennomsnittet av observasjon nummer \(10\) og \(11\):

\[\dfrac{7+8}{2}=7{,}5\]

Steg 3 — Gjennomsnitt

Summen er \(152\), så

\[\bar{x}=\dfrac{152}{20}=7{,}6\]

Steg 4 — Typetall og variasjonsbredde

Verdien \(7\) forekommer flest ganger, så typetallet er \(7\). Variasjonsbredden er

\[14-0=14\]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from statistics import mean, median, multimode
from collections import Counter

data = [10, 14, 14, 8, 5, 10, 10, 10, 0, 8, 8, 7, 7, 0, 8, 7, 7, 7, 5, 7]
sortert = sorted(data)
print("Sortert liste:", sortert)
print("Median:", median(data))
print("Gjennomsnitt:", mean(data))
print("Typetall:", multimode(data))
print("Variasjonsbredde:", max(data) - min(data))
print("Frekvenser:", Counter(data))

Sortert liste: [0, 0, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 14, 14]
Median: 7.5
Gjennomsnitt: 7.6
Typetall: [7]
Variasjonsbredde: 14
Frekvenser: Counter({7: 6, 10: 4, 8: 4, 14: 2, 5: 2, 0: 2})

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage frekvens, kumulativ frekvens, relativ frekvens og relativ kumulativ frekvens.

Steg 1 — Tell frekvensene

Steg 2 — Tolk nest siste rad

Nest siste rad gjelder verdien \(10\). Frekvensen \(4\) betyr at fire elever hjalp til \(10\) ganger. Relativ frekvens \(0{,}20\) betyr \(20\,\%\). Relativ kumulativ frekvens \(0{,}90\) betyr at \(90\,\%\) hjalp til \(10\) ganger eller mindre.

Hva spør oppgaven om? Vi må bruke riktig sammenligningsgrunnlag.

Steg 1 — Billigere sammenlignet med flybussen

\[\dfrac{100-40}{100}\cdot 100\,\%=60\,\%\]

Steg 2 — Dyrere sammenlignet med bybanen

\[\dfrac{100-40}{40}\cdot 100\,\%=150\,\%\]

Tolkning

Prosentene blir ulike fordi vi sammenligner med ulike priser.

flybuss = 100
bybane = 40
billigere = (flybuss - bybane) / flybuss * 100
dyrere = (flybuss - bybane) / bybane * 100
print(f"Bybanen er {billigere:.0f} % billigere enn flybussen.")
print(f"Flybussen er {dyrere:.0f} % dyrere enn bybanen.")

Bybanen er 60 % billigere enn flybussen.
Flybussen er 150 % dyrere enn bybanen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skille mellom fast tillegg og fast faktor.

Steg 1 — Lineær vekst

Lineær vekst betyr at størrelsen øker eller minker med samme antall hver periode. Eksempel:

\[f(x)=200+30x\]

Her øker verdien med \(30\) hver gang \(x\) øker med \(1\).

Steg 2 — Eksponentiell vekst

Eksponentiell vekst betyr at størrelsen øker eller minker med samme prosent, altså samme faktor. Eksempel:

\[g(x)=200\cdot 1{,}30^x\]

Her øker verdien med \(30\,\%\) per periode.

Tolkning

Lineær vekst gir rett linje. Eksponentiell vekst gir en krum graf når veksten fortsetter over tid.

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre om total masse til gram og dele på massen per hengelås.

Steg 1 — Gjør om tonn til gram

\[45\text{ tonn}=45\cdot 1\,000\,000\text{ g}=45\,000\,000\text{ g}\]

Steg 2 — Del på \(50\text{ g}\)

\[\dfrac{45\,000\,000}{50}=900\,000\]

Steg 3 — Standardform

\[900\,000=9{,}0\cdot 10^5\]

total_tonn = 45
gram_per_tonn = 1_000_000
masse_per_hengelaas = 50

total_gram = total_tonn * gram_per_tonn
antall = total_gram / masse_per_hengelaas
print("Total masse i gram:", total_gram)
print("Antall hengelåser:", antall)
print("Standardform: 9.0 * 10**5")

Total masse i gram: 45000000
Antall hengelåser: 900000.0
Standardform: 9.0 * 10**5

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke klassemidtpunkt for gjennomsnitt og frekvenstetthet for histogram.

Steg 1 — Gjennomsnitt

\[\bar{x}=\dfrac{3100}{100}=31\]

Steg 2 — Histogram

Siste klasse har bredde \(20\), mens de andre har bredde \(10\). Derfor må vi bruke frekvenstetthet.

intervaller = [(0, 10, 4), (10, 20, 12), (20, 30, 34), (30, 40, 30), (40, 60, 20)]
sum_bidrag = 0
sum_frekvens = 0
for nedre, ovre, frekvens in intervaller:
    midtpunkt = (nedre + ovre) / 2
    bidrag = midtpunkt * frekvens
    tetthet = frekvens / (ovre - nedre)
    print(f"[{nedre}, {ovre}): midtpunkt={midtpunkt}, frekvens={frekvens}, bidrag={bidrag}, tetthet={tetthet}")
    sum_bidrag += bidrag
    sum_frekvens += frekvens
print("Gjennomsnitt:", sum_bidrag / sum_frekvens)

[0, 10): midtpunkt=5.0, frekvens=4, bidrag=20.0, tetthet=0.4
[10, 20): midtpunkt=15.0, frekvens=12, bidrag=180.0, tetthet=1.2
[20, 30): midtpunkt=25.0, frekvens=34, bidrag=850.0, tetthet=3.4
[30, 40): midtpunkt=35.0, frekvens=30, bidrag=1050.0, tetthet=3.0
[40, 60): midtpunkt=50.0, frekvens=20, bidrag=1000.0, tetthet=1.0
Gjennomsnitt: 31.0

Hva spør oppgaven om? Verdien minker prosentvis, så vi bruker vekstfaktor.

Steg 1 — Vekstfaktor

\[1-0{,}05=0{,}95\]

Steg 2 — Uttrykk

\[200\,000\cdot 0{,}95^{10}\]

Steg 3 — Vurder påstanden

\[200\,000\cdot 0{,}95^{10}\approx 119\,747\]

Det er ikke \(100\,000\). Anders har tenkt som om verdien synker lineært med \(5\,\%\) av startverdien hvert år.

startverdi = 200_000
vekstfaktor = 0.95
antall_aar = 10
verdi = startverdi * vekstfaktor**antall_aar
print("Uttrykk: 200000 * 0.95**10")
print(f"Verdi etter 10 år: {verdi:.2f} kroner")
print(f"Avrundet: {round(verdi)} kroner")

Uttrykk: 200000 * 0.95**10
Verdi etter 10 år: 119747.39 kroner
Avrundet: 119747 kroner

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese mønsteret som en grønn ramme rundt et hvitt kvadrat.

Steg 1 — Se sammenhengen

Figur \(1\) har hvitt kvadrat \(1^2\), figur \(2\) har \(2^2\), og figur \(3\) har \(3^2\). Hele figuren har sidelengde to større enn det hvite kvadratet.

Steg 2 — Figur 10

Hele figuren har sidelengde \(12\), mens det hvite feltet har sidelengde \(10\):

\[12^2-10^2=144-100=44\]

Steg 3 — Generelt uttrykk

Når det er \(n^2\) hvite kvadrater, er hele figuren \((n+2)^2\). Antall grønne blir

\[(n+2)^2-n^2=4n+4\]

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke graf, skjæringspunkt, gjennomsnittlig vekstfart og momentan vekstfart.

Steg 1 — Graf og skjæring

I GeoGebra legges funksjonene inn med definisjonsområde \(0\le x\le 190\). Skjæring finnes ved \(M(x)=T(x)\):

\[x\approx 78{,}9\]

Dette er omtrent 20. mars 2019.

Steg 2 — Gjennomsnittlig vekstfart i Mandal

Fra 31. desember til 1. mai er det \(121\) døgn:

\[\dfrac{M(121)-M(0)}{121}\approx 4{,}64\]

Steg 3 — Momentan vekstfart i Trondheim

\[T'(60)\approx 7{,}10\]

Rundt \(60\) døgn etter 31. desember økte daglengden i Trondheim med omtrent \(7{,}10\) minutter per døgn.

from sympy import symbols, nroots, diff
x = symbols("x")
M = -0.0002*x**3 + 0.046*x**2 + 2*x + 396
T = -0.00028*x**3 + 0.066*x**2 + 2.2*x + 295

print("Skjæringspunkter:")
for rot in nroots(M - T):
    print(rot)
print("Gjennomsnittlig vekstfart Mandal:", float((M.subs(x, 121) - M.subs(x, 0)) / 121))
print("T'(60):", float(diff(T, x).subs(x, 60)))

Skjæringspunkter:
-67.1568780601749
78.9050084563621
238.251869603813
Gjennomsnittlig vekstfart Mandal: 4.637799999999999
T'(60): 7.096000000000002

Hva spør oppgaven om? Vi må beregne både endring i antall og prosentvis andel.

Steg 1 — Endring

Steg 2 — Prosentvis fordeling i 2019

\[215\,615+255\,117+263\,853=734\,585\]

Andelene blir omtrent \(29{,}4\,\%\), \(34{,}7\,\%\) og \(35{,}9\,\%\).

Tolkning

Et stolpediagram passer for endring, mens et sektordiagram eller stablet prosentdiagram passer for fordelingen i 2019.

ruter = {
    "Oslo-Stavanger": (223653, 215615),
    "Oslo-Bergen": (270427, 255117),
    "Oslo-Trondheim": (281429, 263853),
}
print("Endring fra 2018 til 2019:")
for rute, (y2018, y2019) in ruter.items():
    print(f"{rute}: {y2019 - y2018}")

total_2019 = sum(y2019 for y2018, y2019 in ruter.values())
print("Totalt 2019:", total_2019)
for rute, (y2018, y2019) in ruter.items():
    print(f"{rute}: {y2019 / total_2019 * 100:.1f} %")

Endring fra 2018 til 2019:
Oslo-Stavanger: -8038
Oslo-Bergen: -15310
Oslo-Trondheim: -17576
Totalt 2019: 734585
Oslo-Stavanger: 29.4 %
Oslo-Bergen: 34.7 %
Oslo-Trondheim: 35.9 %

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne rente bakover.

Steg 1 — Vekstfaktor

\[1+0{,}0185=1{,}0185\]

Steg 2 — Likning

\[K\cdot 1{,}0185^5=100\,000\]

Steg 3 — Løs for startbeløpet

\[K=\dfrac{100\,000}{1{,}0185^5}\approx 91\,242\]

sluttbelop = 100_000
rente = 0.0185
antall_aar = 5
startbelop = sluttbelop / (1 + rente)**antall_aar
print(f"Startbeløp: {startbelop:.2f} kroner")
print(f"Avrundet: {round(startbelop)} kroner")

Startbeløp: 91242.01 kroner
Avrundet: 91242 kroner

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage tre modeller og vurdere dem.

Steg 1 — Lineær modell

Bruk første og siste punkt:

\[a=\dfrac{120\,000-10\,000}{6}=18\,333{,}3\]

\[L(x)=18\,333x+10\,000\]

Steg 2 — Eksponentiell modell

\[10\,000\cdot b^6=120\,000\]

\[b=12^{1/6}\approx 1{,}513\]

\[E(x)=10\,000\cdot 1{,}513^x\]

Dette betyr omtrent \(51{,}3\,\%\) vekst per dag.

Steg 3 — Kubisk regresjon i GeoGebra

Skriv punktene som liste og bruk RegPoly(liste,3).

Steg 4 — Vurder modellene

Den lineære modellen har fast økning per dag. Den eksponentielle modellen har fast prosent per dag. Den kubiske modellen passer observasjonspunktene godt, men kan være usikker utenfor måleområdet.

import numpy as np

xverdier = np.array([0, 3, 4, 6], dtype=float)
yverdier = np.array([10000, 20000, 30000, 120000], dtype=float)

stigning = (120000 - 10000) / 6
print(f"Lineær modell: L(x) = {stigning:.3f}*x + 10000")

b = (120000 / 10000)**(1 / 6)
print(f"Eksponentiell modell: E(x) = 10000 * {b:.6f}**x")
print(f"Daglig prosentvis vekst: {(b - 1) * 100:.2f} %")

koeff = np.polyfit(xverdier, yverdier, 3)
print("Kubisk regresjon:", koeff)

Lineær modell: L(x) = 18333.333*x + 10000
Eksponentiell modell: E(x) = 10000 * 1.513086**x
Daglig prosentvis vekst: 51.31 %
Kubisk regresjon: [  1666.66666667 -10000.          18333.33333333  10000.        ]

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke karakterene som verdier og prosentene som vekter.

Steg 1 — Gjennomsnitt

Fra diagrammet får vi

\[\bar{x}_{mat}\approx 3{,}73\]

\[\bar{x}_{norsk}\approx 3{,}90\]

Steg 2 — Standardavvik

Matematikk har større andel i ytterkantene, særlig karakter \(2\) og \(6\). Norsk er mer samlet rundt \(3\), \(4\) og \(5\). Derfor er standardavviket større i matematikk.

Steg 3 — Påstander

Påstand 1 er feil. Høyere gjennomsnitt sier ikke automatisk at standardavviket er lavere. Påstand 2 er riktig: Hvis standardavviket er \(0\), er alle verdiene like.

matematikk = {1: 1.8, 2: 16.6, 3: 26.0, 4: 26.3, 5: 21.5, 6: 7.8}
norsk = {1: 0.6, 2: 8.1, 3: 26.4, 4: 35.5, 5: 24.1, 6: 5.3}

def gjennomsnitt(fordeling):
    return sum(k * p for k, p in fordeling.items()) / 100

def standardavvik(fordeling):
    mu = gjennomsnitt(fordeling)
    varians = sum((p / 100) * (k - mu)**2 for k, p in fordeling.items())
    return varians**0.5

print(f"Gjennomsnitt matematikk: {gjennomsnitt(matematikk):.3f}")
print(f"Gjennomsnitt norsk: {gjennomsnitt(norsk):.3f}")
print(f"Standardavvik matematikk: {standardavvik(matematikk):.3f}")
print(f"Standardavvik norsk: {standardavvik(norsk):.3f}")

Gjennomsnitt matematikk: 3.725
Gjennomsnitt norsk: 3.903
Standardavvik matematikk: 1.240
Standardavvik norsk: 1.042

Hva spør oppgaven om? Vi skal modellere innskudd og rente år for år.

Steg 1 — Regnearkformler

Kolonner kan være År, Saldo før innskudd, Innskudd, Etter innskudd, Rentesats, Renter, Sluttbeløp. En rentesatsformel kan være =HVIS(D2<100000;2,5%;3,5%).

Steg 2 — Resultat fra regnearket

Etter 10 år er sluttbeløpet omtrent \(301\,564\) kroner, og samlet rente er omtrent \(51\,564\) kroner.

saldo = 0
samlet_rente = 0
print("År | Etter innskudd | Rente | Renter | Sluttbeløp")
for aar in range(1, 11):
    etter_innskudd = saldo + 25_000
    if etter_innskudd < 100_000:
        rentesats = 0.025
    else:
        rentesats = 0.035
    renter = etter_innskudd * rentesats
    sluttbelop = etter_innskudd + renter
    samlet_rente += renter
    print(f"{aar:2d} | {etter_innskudd:14.2f} | {rentesats*100:5.1f}% | {renter:8.2f} | {sluttbelop:10.2f}")
    saldo = sluttbelop
print("Samlet rente:", round(samlet_rente, 2))
print("Sluttbeløp etter 10 år:", round(saldo, 2))

År | Etter innskudd | Rente | Renter | Sluttbeløp
 1 |       25000.00 |   2.5% |   625.00 |   25625.00
 2 |       50625.00 |   2.5% |  1265.62 |   51890.62
 3 |       76890.62 |   2.5% |  1922.27 |   78812.89
 4 |      103812.89 |   3.5% |  3633.45 |  107446.34
 5 |      132446.34 |   3.5% |  4635.62 |  137081.96
 6 |      162081.96 |   3.5% |  5672.87 |  167754.83
 7 |      192754.83 |   3.5% |  6746.42 |  199501.25
 8 |      224501.25 |   3.5% |  7857.54 |  232358.79
 9 |      257358.79 |   3.5% |  9007.56 |  266366.35
10 |      291366.35 |   3.5% | 10197.82 |  301564.18
Samlet rente: 51564.18
Sluttbeløp etter 10 år: 301564.18

Hva spør oppgaven om? Vi skal kjenne igjen formen til eksponentiell nedgang.

Steg 1 — Kjennetegn

En eksponentielt avtakende funksjon kan skrives

\[f(x)=a\cdot b^x\quad \text{der}\quad 0<b<1\]

Den synker raskt først og flater deretter ut mot \(x\)-aksen.

Steg 2 — Velg graf

Graf C illustrerer dette best.

Hva spør oppgaven om? Startlønnen er lik, så vi kan sammenligne vekstfaktorene.

Steg 1 — Svein

\[1{,}04\cdot 1{,}06=1{,}1024\]

Steg 2 — Tore

\[1{,}08\cdot 1{,}02=1{,}1016\]

Steg 3 — Sammenlign

\[1{,}1024>1{,}1016\]

Svein hadde derfor høyest lønn i 2019.

startlonn = 100
svein = startlonn * 1.04 * 1.06
tore = startlonn * 1.08 * 1.02
print("Svein etter to år dersom startlønn er 100:", svein)
print("Tore etter to år dersom startlønn er 100:", tore)
if svein > tore:
    print("Svein hadde høyest lønn i 2019.")

Svein etter to år dersom startlønn er 100: 110.24000000000001
Tore etter to år dersom startlønn er 100: 110.16000000000001
Svein hadde høyest lønn i 2019.