Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tre sentrale statistiske mål: median, gjennomsnitt og variasjonsbredde.

Steg 1 — Sorter datamaterialet

Sortert får vi

\[0,0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,4,5,5,6,8,9\]

Det gjør det lettere å finne median og ytterverdier.

Steg 2 — Finn medianen

Det er 20 observasjoner, så medianen er gjennomsnittet av observasjon nummer 10 og 11.

\[\dfrac{2+2}{2}=2\]

Steg 3 — Finn gjennomsnittet

Summen er 60, og antallet observasjoner er 20.

\[\dfrac{60}{20}=3\]

Steg 4 — Finn variasjonsbredden

Største verdi er 9 og minste verdi er 0.

\[9-0=9\]

data = [0, 4, 2, 6, 3, 2, 1, 1, 3, 5, 3, 8, 1, 9, 5, 2, 0, 2, 2, 1]
data_sortert = sorted(data)
sum_data = sum(data)
antall = len(data)
median = (data_sortert[9] + data_sortert[10]) / 2
gjennomsnitt = sum_data / antall
variasjonsbredde = max(data) - min(data)
print("Sortert data:", data_sortert)
print("Sum:", sum_data)
print("Antall:", antall)
print("Median:", median)
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)
print("Variasjonsbredde:", variasjonsbredde)

Sortert data: [0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9]
Sum: 60
Antall: 20
Median: 2.0
Gjennomsnitt: 3.0
Variasjonsbredde: 9

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner prisen etter et prosentavslag og skal finne gammel pris.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

Når prisen settes ned med \(20\,\%\), betaler vi \(80\,\%\) av gammel pris.

\[80\,\%=0{,}80\]

Steg 2 — Sett opp likning

La gammel pris være \(x\).

\[0{,}80x=640\]

Steg 3 — Løs likningen

\[x=\dfrac{640}{0{,}80}=800\]

Tolkning

Varen kostet 800 kroner før prisnedsettelsen.

ny_pris = 640
vekstfaktor = 0.80
gammel_pris = ny_pris / vekstfaktor
print("Ny pris:", ny_pris)
print("Vekstfaktor etter 20 % avslag:", vekstfaktor)
print("Gammel pris:", gammel_pris)

Ny pris: 640
Vekstfaktor etter 20 % avslag: 0.8
Gammel pris: 800.0

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne ut differansen og skrive svaret på standardform.

Steg 1 — Skriv tallene som vanlige tall

\[7{,}03\cdot 10^7=70\,300\,000\]

Steg 2 — Trekk fra

\[70\,300\,000-7\,000\,000=63\,300\,000\]

Steg 3 — Skriv på standardform

\[63\,300\,000=6{,}33\cdot 10^7\]

tall = 7.03 * 10**7 - 7_000_000
print("Utregnet verdi:", tall)
print("Standardform: 6.33 * 10**7")

Utregnet verdi: 63300000.0
Standardform: 6.33 * 10**7

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke potensregler og regnerekkefølge.

Steg 1 — Regn ut delene i telleren

\[2^0=1,\quad 2^3\cdot 2^2=2^5=32,\quad \left(2^3\right)^2=2^6=64\]

Steg 2 — Regn brøken

\[\dfrac{1+32+64-2}{2\cdot 4}=\dfrac{95}{8}\]

Steg 3 — Legg til siste ledd

\[2^{-3}=\dfrac{1}{8}\]

\[\dfrac{95}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{96}{8}=12\]

from fractions import Fraction
verdi = (2**0 + 2**3 * 2**2 + (2**3)**2 - 2) / (2 * 2**2) + 2**(-3)
eksakt = Fraction(verdi).limit_denominator()
print("Desimalverdi:", verdi)
print("Eksakt verdi:", eksakt)

Desimalverdi: 12.0
Eksakt verdi: 12

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne stigningstall og konstantledd fra to punkter.

Steg 1 — Finn stigningstallet

\[a=\dfrac{550-350}{8-4}=\dfrac{200}{4}=50\]

Steg 2 — Finn konstantleddet

Sett inn punktet \((4,350)\):

\[350=50\cdot 4+b\]

\[b=150\]

Steg 3 — Skriv modellen

\[y=50x+150\]

Tolkning

Forretningen betaler 150 kroner i fast pris, og 50 kroner per pakke.

x1, y1 = 4, 350
x2, y2 = 8, 550
a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
b = y1 - a * x1
print("Stigningstall a:", a)
print("Konstantledd b:", b)
print(f"Modell: y = {a:.0f}x + {b:.0f}")

Stigningstall a: 50.0
Konstantledd b: 150.0
Modell: y = 50x + 150

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke gruppert datamateriale. Da bruker vi klassemidtpunkter for gjennomsnitt og frekvenstetthet for histogram.

Steg 1 — Bruk klassemidtpunkter

\[\bar{x}=\dfrac{3600}{200}=18\]

Steg 2 — Forklar medianpåstanden

Medianen ligger mellom observasjon 100 og 101. Første klasse har 60 elever. Dermed ligger medianen i klassen \([10,20)\). Hvis elevene antas jevnt fordelt i denne klassen, ligger medianen omtrent midt i klassen, altså ca. 15 minutter.

Steg 3 — Histogram

Høydene blir frekvens delt på klassebredde: \(6\), \(8\), \(2{,}5\) og \(0{,}25\).

klasser = [(0, 10, 60), (10, 20, 80), (20, 40, 50), (40, 80, 10)]
sum_bidrag = 0
print("Intervall, midtpunkt, frekvens, bidrag, frekvenstetthet")
for start, slutt, frekvens in klasser:
    midtpunkt = (start + slutt) / 2
    bidrag = midtpunkt * frekvens
    tetthet = frekvens / (slutt - start)
    sum_bidrag += bidrag
    print((start, slutt), midtpunkt, frekvens, bidrag, tetthet)
print("Sum bidrag:", sum_bidrag)
print("Gjennomsnitt:", sum_bidrag / 200)

Intervall, midtpunkt, frekvens, bidrag, frekvenstetthet
(0, 10) 5.0 60 300.0 6.0
(10, 20) 15.0 80 1200.0 8.0
(20, 40) 30.0 50 1500.0 2.5
(40, 80) 60.0 10 600.0 0.25
Sum bidrag: 3600.0
Gjennomsnitt: 18.0

Hva spør oppgaven om? Vi skal kjenne igjen mønster i figurer og lage algebraiske uttrykk.

Steg 1 — Fyll inn blå tabell

Differansene er oddetallene \(3,5,7,9,11,13,15\). Antall kvadrater blir

Steg 2 — Kontroller Rikkes uttrykk

For figur 2, 3 og 4 får vi

\[2^2+1=5,\quad 3^2+1=10,\quad 4^2+1=17\]

Dette stemmer med tabellen.

Steg 3 — Finn uttrykk for grønn figur

I den grønne figuren kan vi se én vannrett rad med \(2n+1\) kvadrater og én loddrett rad med \(2n\) kvadrater som ikke er telt fra før. Da blir

\[(2n+1)+2n=4n+1\]

print("Blå figurer:")
for n in range(1, 9):
    antall = n**2 + 1
    print(f"Figur {n}: {antall}")
print("Grønne figurer:")
for n in range(1, 5):
    antall_gronne = 4*n + 1
    print(f"Figur {n}: {antall_gronne}")

Blå figurer:
Figur 1: 2
Figur 2: 5
Figur 3: 10
Figur 4: 17
Figur 5: 26
Figur 6: 37
Figur 7: 50
Figur 8: 65
Grønne figurer:
Figur 1: 5
Figur 2: 9
Figur 3: 13
Figur 4: 17

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke en funksjonsmodell, lese av/løse likning og bruke både gjennomsnittlig og momentan vekstfart.

Steg 1 — Startvolum

\[V(0)=\left(10-0{,}1\cdot 0^2\right)^3=10^3=1000\]

Tanken inneholder 1000 L vann når kranen åpnes.

Steg 2 — Graf

Steg 3 — Når er det 400 L igjen?

Vi løser \(V(x)=400\) i definisjonsområdet:

\[\left(10-0{,}1x^2\right)^3=400\]

\[x\approx 5{,}13\]

Steg 4 — Gjennomsnittlig uttømming

Tanken går fra 1000 L til 0 L på 10 minutter.

\[\dfrac{1000}{10}=100\]

Det renner i gjennomsnitt ut 100 L per minutt.

Steg 5 — Momentan vekstfart

Den deriverte ved \(x=3\) er

\[V'(3)\approx -149{,}1\]

Volumet minker altså med omtrent 149 L per minutt etter 3 minutter.

from sympy import symbols, nroots, diff
x = symbols("x")
V = (10 - 0.1*x**2)**3
print("V(0) =", V.subs(x, 0))
print("Løsninger av V(x)=400:")
for rot in nroots(V - 400):
    if abs(rot.as_real_imag()[1]) < 1e-10:
        print(float(rot.as_real_imag()[0]))
print("Gjennomsnittlig uttømming:", (1000 - 0) / 10)
print("V'(3) =", float(diff(V, x).subs(x, 3)))

V(0) = 1000
Løsninger av V(x)=400:
-5.130240737742462
5.130240737742462
Gjennomsnittlig uttømming: 100.0
V'(3) = -149.05800000000002

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av verdier fra diagrammet og lage to ulike framstillinger.

Steg 1 — Les av tallene

Steg 2 — Diagrammer

Tolkning

Alle grupper unntatt 65+ ser mindre på vanlig tv i 2017 enn i 2015. Den største prosentvise nedgangen er i gruppen 12-19 år.

grupper = ["2-11", "12-19", "20-29", "30-39", "40-49", "50-64", "65+"]
verdier_2015 = [80, 73, 119, 146, 175, 212, 252]
verdier_2017 = [51, 46, 78, 111, 134, 191, 260]
print("Aldersgruppe | endring i minutter | endring i prosent")
for gruppe, gammel, ny in zip(grupper, verdier_2015, verdier_2017):
    endring = ny - gammel
    prosent = endring / gammel * 100
    print(f"{gruppe:>7} | {endring:>5} min | {prosent:>6.1f} %")

Aldersgruppe | endring i minutter | endring i prosent
   2-11 |   -29 min |  -36.2 %
  12-19 |   -27 min |  -37.0 %
  20-29 |   -41 min |  -34.5 %
  30-39 |   -35 min |  -24.0 %
  40-49 |   -41 min |  -23.4 %
  50-64 |   -21 min |   -9.9 %
    65+ |     8 min |    3.2 %

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne med store tall og passe på enhetene.

Steg 1 — Finn antall poser per år

\[5{,}3\cdot 10^6\cdot 180=954\,000\,000\]

Steg 2 — Finn høyden i millimeter og meter

\[954\,000\,000\cdot 0{,}035=33\,390\,000\text{ mm}\]

\[33\,390\,000\text{ mm}=33\,390\text{ m}\]

Steg 3 — Finn tiden til 324 m

Et helt år gir 33 390 m. Andelen som trengs for 324 m, er

\[\dfrac{324}{33390}\]

Antall timer blir

\[\dfrac{324}{33390}\cdot 365\cdot 24\approx 85\]

Tolkning

Stabelen for et helt år ville blitt over 33 km høy. Det tar bare omtrent 85 timer før den blir like høy som Eiffeltårnet.

innbyggere = 5.3e6
poser_per_innbygger = 180
tykkelse_mm = 0.035
poser_per_aar = innbyggere * poser_per_innbygger
hoyde_mm = poser_per_aar * tykkelse_mm
hoyde_meter = hoyde_mm / 1000
timer_per_aar = 365 * 24
tid_til_eiffel = 324 / hoyde_meter * timer_per_aar
print("Poser per år:", poser_per_aar)
print("Høyde i mm:", hoyde_mm)
print("Høyde i meter:", hoyde_meter)
print("Timer til 324 m:", tid_til_eiffel)

Poser per år: 954000000.0
Høyde i mm: 33390000.000000004
Høyde i meter: 33390.00000000001
Timer til 324 m: 85.00269541778974

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en potensmodell og tolke hva modellen sier om prosentvis endring.

Steg 1 — Utfør potensregresjon

Med regresjon av typen \(a\cdot x^b\) får vi omtrent

\[V(x)=0{,}0100\cdot x^{3{,}004}\]

Steg 2 — Vurder modellen

Eksponenten er nær 3. Det er rimelig fordi vekt ofte øker omtrent som volum, og volum øker omtrent med tredje potens av lengde.

Steg 3 — Finn prosentvis vektøkning ved 25 % lengdeøkning

Når lengden multipliseres med \(1{,}25\), multipliseres vekten med

\[1{,}25^{3{,}004}\approx 1{,}955\]

Det svarer til omtrent \(95{,}5\,\%\) økning.

import numpy as np
lengde = np.array([50, 60, 70, 80, 90, 100, 105], dtype=float)
vekt = np.array([1290, 2190, 3470, 5110, 7450, 10260, 11950], dtype=float)
b, log_a = np.polyfit(np.log(lengde), np.log(vekt), 1)
a = np.exp(log_a)
faktor = 1.25**b
prosent_okning = (faktor - 1) * 100
print("a =", a)
print("b =", b)
print("Vektfaktor ved 25 % lengdeøkning:", faktor)
print("Prosentvis vektøkning:", prosent_okning)

a = 0.01000384759907513
b = 3.0043227118093467
Vektfaktor ved 25 % lengdeøkning: 1.9550098645047398
Prosentvis vektøkning: 95.50098645047398

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke en eksponentiell prisreduksjon der prisen halveres hver time.

Steg 1 — Finn startverdi

Fra punktet \((0,800)\) ser vi at \(f(0)=800\).

Steg 2 — Finn vekstfaktor

Fra 800 til 400 til 200 ser vi at prisen multipliseres med \(0{,}5\) hver time.

Steg 3 — Skriv funksjonen

\[f(x)=800\cdot 0{,}5^x\]

Steg 4 — Klokka 02.00

Fra 20.00 til 02.00 er det 6 timer.

\[f(6)=800\cdot 0{,}5^6=12{,}5\]

startpris = 800
vekstfaktor = 0.5
for x in range(0, 7):
    pris = startpris * vekstfaktor**x
    print(f"x = {x}: pris = {pris} kroner")
print("Funksjonsuttrykk: f(x) = 800 * 0.5**x")

x = 0: pris = 800.0 kroner
x = 1: pris = 400.0 kroner
x = 2: pris = 200.0 kroner
x = 3: pris = 100.0 kroner
x = 4: pris = 50.0 kroner
x = 5: pris = 25.0 kroner
x = 6: pris = 12.5 kroner
Funksjonsuttrykk: f(x) = 800 * 0.5**x

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnitt og standardavvik, og deretter bruke betydningen av målene til å vurdere påstander.

Steg 1 — Gjennomsnitt

Summen av Emils mandler er 860.

\[\bar{x}=\dfrac{860}{20}=43\]

Steg 2 — Standardavvik

Med digitalt verktøy får vi standardavviket omtrent

\[s\approx 3{,}18\]

Steg 3 — Vurder påstand 1

Ida har lavere gjennomsnitt enn Emil og like mange poser. Da må hun ha lavere totalsum. Påstand 1 kan ikke være riktig.

Steg 4 — Vurder påstand 2

Hvis Ida har like mange mandler i hver pose, er standardavviket 0. Det kan ikke være høyere enn Emils. Påstand 2 kan ikke være riktig.

Steg 5 — Vurder påstand 3

Det kan godt hende at halvparten av posene har likt antall, mens resten varierer mye. Da kan standardavviket bli høyere. Påstand 3 kan være riktig.

import statistics
mandler = [42, 45, 39, 46, 47, 41, 38, 44, 43, 40, 45, 46, 49, 39, 40, 41, 42, 40, 45, 48]
sum_mandler = sum(mandler)
gjennomsnitt = statistics.mean(mandler)
standardavvik_populasjon = statistics.pstdev(mandler)
standardavvik_utvalg = statistics.stdev(mandler)
print("Antall poser:", len(mandler))
print("Sum mandler:", sum_mandler)
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)
print("Standardavvik, populasjon:", standardavvik_populasjon)
print("Standardavvik, utvalg:", standardavvik_utvalg)

Antall poser: 20
Sum mandler: 860
Gjennomsnitt: 43
Standardavvik, populasjon: 3.1780497164141406
Standardavvik, utvalg: 3.2606102108912713

Hva spør oppgaven om? Vi skal koble praktiske situasjoner til grafiske kjennetegn.

Steg 1 — Situasjon 1

Pris = fast pris + pris per hektogram. Det er en lineær funksjon med positivt konstantledd. Grafen skal være en rett linje som starter over origo.

Steg 2 — Situasjon 2

Sparekonto med fast rente gir eksponentiell vekst. Grafen øker mer og mer, men starter med et innskudd.

Steg 3 — Situasjon 3

Dyrebestanden vokser først raskt, men flater ut når mattilgangen begrenser veksten. Dette er en S-formet/logistisk utvikling.

Steg 4 — Situasjon 4

Porto etter tabell gir trappefunksjon: prisen er konstant innenfor et intervall og hopper opp ved neste vektgrense.

Tolkning

Det viktigste er ikke bokstaven alene, men begrunnelsen: rett linje, eksponentiell vekst, utflating og trappetrinn.

situasjoner = {
    1: "lineær graf med positivt konstantledd",
    2: "eksponentiell vekst",
    3: "S-formet graf som flater ut",
    4: "trappegraf"
}
for nummer, kjennetegn in situasjoner.items():
    print(f"Situasjon {nummer}: {kjennetegn}")

Situasjon 1: lineær graf med positivt konstantledd
Situasjon 2: eksponentiell vekst
Situasjon 3: S-formet graf som flater ut
Situasjon 4: trappegraf

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne rente på rente, dokumentere regnearkformler og finne en ekvivalent fast rente.

Steg 1 — Tilbud 1

\[850000\cdot 1{,}04^{10}-850000\approx 408208\]

Steg 2 — Regneark for tilbud 2

Bruk for eksempel disse formlene:

Tilbud 2 gir samlet rente ca. \(226\,783\) kroner.

Steg 3 — Ekvivalent fast rente

Sluttbeløpet i tilbud 2 er ca. \(1\,076\,783\). Vi løser

\[850000\cdot x^{10}=1\,076\,783\]

\[x\approx 1{,}02393\]

Fast rente er derfor ca. \(2{,}39\,\%\).

Tolkning

Tilbud 1 med 4 % fast rente er klart bedre enn tilbud 2. For at et fast-rente-tilbud skulle matche tilbud 2, måtte renten bare vært omtrent 2,39 %.

startbelop = 850_000
renter = [0.054, 0.035, 0.023, 0.024, 0.022, 0.022, 0.021, 0.016, 0.012, 0.011]
belop = startbelop
sum_renter = 0
print("År | før renter | rentesats | renter | etter renter")
for aar, rente in zip(range(2008, 2018), renter):
    for_renter = belop
    rentebelop = for_renter * rente
    belop = for_renter + rentebelop
    sum_renter += rentebelop
    print(f"{aar} | {for_renter:10.2f} | {rente*100:5.1f} % | {rentebelop:9.2f} | {belop:10.2f}")
print("Sum renter tilbud 2:", round(sum_renter, 2))
tilbud1_slutt = startbelop * 1.04**10
tilbud1_renter = tilbud1_slutt - startbelop
print("Renter tilbud 1:", round(tilbud1_renter, 2))
ekvivalent_vekstfaktor = (belop / startbelop)**(1/10)
ekvivalent_rente = (ekvivalent_vekstfaktor - 1) * 100
print("Ekvivalent fast rente:", ekvivalent_rente)

År | før renter | rentesats | renter | etter renter
2008 |  850000.00 |   5.4 % |  45900.00 |  895900.00
2009 |  895900.00 |   3.5 % |  31356.50 |  927256.50
2010 |  927256.50 |   2.3 % |  21326.90 |  948583.40
2011 |  948583.40 |   2.4 % |  22766.00 |  971349.40
2012 |  971349.40 |   2.2 % |  21369.69 |  992719.09
2013 |  992719.09 |   2.2 % |  21839.82 | 1014558.91
2014 | 1014558.91 |   2.1 % |  21305.74 | 1035864.64
2015 | 1035864.64 |   1.6 % |  16573.83 | 1052438.48
2016 | 1052438.48 |   1.2 % |  12629.26 | 1065067.74
2017 | 1065067.74 |   1.1 % |  11715.75 | 1076783.49
Sum renter tilbud 2: 226783.49
Renter tilbud 1: 408207.64
Ekvivalent fast rente: 2.3931599807061276