ifingo · Matematikk 2P

Matematikk 2P eksamen Vår 2018 (K06) – løsningsforslag

Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Løsningene viser metode, mellomregning, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll med realistisk terminaloutput.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 · 3 poengStatistikk

Oppgave 1

Oppgave:

Markus og vennene hans spiller kort. Tabellen viser poengsummene Markus fikk i de siste åtte rundene: 20, -15, 5, 15, -8, -3, -24 og 30. Bestem variasjonsbredden og gjennomsnittet for poengsummene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne spredningen fra laveste til høyeste poengsum og den gjennomsnittlige poengsummen.

Steg 1 — Finn minste og største verdi

Laveste poengsum er \(-24\), og høyeste poengsum er \(30\).

Steg 2 — Regn variasjonsbredden

\[30-(-24)=54\]

Variasjonsbredden viser avstanden mellom laveste og høyeste verdi.

Steg 3 — Finn summen

\[20-15+5+15-8-3-24+30=20\]

Steg 4 — Del på antall runder

\[\dfrac{20}{8}=2{,}5\]

Tolkning

Markus hadde i gjennomsnitt 2,5 poeng per runde, selv om poengene varierte mye.

Vanlig feil: Å regne variasjonsbredden som \(30-24\). Den laveste verdien er \(-24\), så vi må trekke fra et negativt tall.

Python

poeng = [20, -15, 5, 15, -8, -3, -24, 30]
minste = min(poeng)
storste = max(poeng)
variasjonsbredde = storste - minste
gjennomsnitt = sum(poeng) / len(poeng)
print("Poengsummer:", poeng)
print("Minste verdi:", minste)
print("Største verdi:", storste)
print("Variasjonsbredde:", variasjonsbredde)
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)

Output

Poengsummer: [20, -15, 5, 15, -8, -3, -24, 30]
Minste verdi: -24
Største verdi: 30
Variasjonsbredde: 54
Gjennomsnitt: 2.5

Fasit: Variasjonsbredden er \(54\), og gjennomsnittet er \(2{,}5\) poeng.

Del 1 · Oppgave 2 · 2 poengStandardform

Oppgave 2

Oppgave:

I en kjøkkensvamp er det 40 milliarder bakterier per kubikkcentimeter. Svampen har et volum på 0,15 dm3. Hvor mange bakterier er det i hele svampen? Skriv svaret på standardform.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal multiplisere bakterietetthet med volum, men først må volumet gjøres om til kubikkcentimeter.

Steg 1 — Gjør om volumet

\[1\textext{ dm}^3=1000\textext{ cm}^3\]

\[0{,}15\textext{ dm}^3=150\textext{ cm}^3\]

Steg 2 — Skriv bakterietallet per kubikkcentimeter

40 milliarder er

\[40\cdot 10^9=4{,}0\cdot 10^{10}\]

Steg 3 — Multipliser

\[150\cdot 4{,}0\cdot 10^{10}=600\cdot 10^{10}=6{,}0\cdot 10^{12}\]

Tolkning

Det er omtrent seks billioner bakterier i hele svampen.

Vanlig feil: Å bruke \(0{,}15\) direkte som kubikkcentimeter. Volumet må først gjøres om fra \(\textext{dm}^3\) til \(\textext{cm}^3\).

Python

bakterier_per_cm3 = 40e9
volum_dm3 = 0.15
volum_cm3 = volum_dm3 * 1000
totalt = bakterier_per_cm3 * volum_cm3
print("Volum i cm^3:", volum_cm3)
print("Totalt antall bakterier:", totalt)
print("På standardform: {:.1e}".format(totalt))

Output

Volum i cm^3: 150.0
Totalt antall bakterier: 6000000000000.0
På standardform: 6.0e+12

Fasit: Antall bakterier er \(6{,}0\cdot 10^{12}\).

Del 1 · Oppgave 3a · 5 poengFrekvenstabell

Oppgave 3a

Oppgave:

Et år deltok 1000 personer i en undersøkelse av BMI. Tabellen har intervallene [17,18,5), [18,5,25), [25,30) og [30,32). Noen celler mangler. Tegn av tabellen, og fyll inn tallene som mangler.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal fylle ut frekvens, kumulativ frekvens, relativ frekvens og kumulativ relativ frekvens.

Steg 1 — Bruk at totalen er 1000

Relativ frekvens er frekvens delt på 1000.

Steg 2 — Finn frekvensene

Første rad har frekvens 20. Andre rad har kumulativ frekvens 520, derfor er frekvensen \(520-20=500\). Tredje rad har relativ frekvens 0,4, derfor er frekvensen 400. Siste rad har frekvens 80.

Steg 3 — Fullfør tabellen

Utfylt tabell for 1000 personer. Relative frekvenser er skrevet som desimaltall.

Tolkning

Tabellen viser både hvor mange personer som ligger i hvert BMI-intervall, og hvor stor del av gruppen dette utgjør.

Vanlig feil: Å blande relativ frekvens og kumulativ relativ frekvens. Relativ frekvens gjelder én rad, mens kumulativ relativ frekvens gjelder denne raden og alle radene over.

Python

frekvenser = [20, 500, 400, 80]
total = sum(frekvenser)
kumulativ = []
sum_hittil = 0
for f in frekvenser:
    sum_hittil += f
    kumulativ.append(sum_hittil)
print("Total:", total)
print("Frekvens | Kumulativ | Relativ | Kumulativ relativ")
for f, k in zip(frekvenser, kumulativ):
    print(f"{f:8d} | {k:10d} | {f/total:7.2f} | {k/total:17.2f}")

Output

Total: 1000
Frekvens | Kumulativ | Relativ | Kumulativ relativ
      20 |         20 |    0.02 |              0.02
     500 |        520 |    0.50 |              0.52
     400 |        920 |    0.40 |              0.92
      80 |       1000 |    0.08 |              1.00

Fasit: Tabellen fylles ut med frekvensene \(20,500,400,80\), kumulative frekvenser \(20,520,920,1000\), relative frekvenser \(0{,}02,0{,}50,0{,}40,0{,}08\) og kumulative relative frekvenser \(0{,}02,0{,}52,0{,}92,1{,}00\).

Del 1 · Oppgave 3b-cStatistisk tolkning

Oppgave 3b-c

Oppgave:

b) Forklar hva hvert av tallene i de grå cellene forteller om personene som deltok i undersøkelsen. c) Forklar hvordan vi kan se at medianen ligger i kategorien «Normal vekt».

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke tallene i tabellen og bruke kumulativ frekvens til å plassere medianen.

Steg 1 — Tolk frekvensen 20

Det betyr at 20 personer hadde BMI i intervallet \([17,18{,}5)\).

Steg 2 — Tolk kumulativ frekvens 520

Det betyr at 520 personer hadde BMI lavere enn 25.

Steg 3 — Tolk relativ frekvens 0,4

Det betyr at 40 % av personene hadde BMI i intervallet \([25,30)\).

Steg 4 — Tolk kumulativ relativ frekvens 0,92

Det betyr at 92 % av personene hadde BMI lavere enn 30.

Steg 5 — Medianen

Det er 1000 personer, så medianen ligger mellom person nummer 500 og 501 når personene sorteres. Etter første intervall er vi bare kommet til 20 personer. Etter intervallet \([18{,}5,25)\) er vi kommet til 520 personer.

Dermed ligger både person nummer 500 og 501 i kategorien Normal vekt.

Vanlig feil: Å se på det intervallet med størst frekvens og automatisk kalle det medianintervallet. Medianen bestemmes av plasseringen i den kumulative frekvensen.

Fasit: De grå tallene tolkes som antall, samlet antall, andel eller samlet andel. Medianen ligger i kategorien Normal vekt.

Del 1 · Oppgave 4a-bMønster

Oppgave 4a-b

Oppgave:

Figurene er satt sammen av små sirkler. Hans starter med figur nummer 2 og ser på sirklene i de ytterste sekskantene. Tabellen starter slik: figur 2 har 1 sekskant og 6 sirkler i ytterste sekskant, figur 3 har 2 sekskanter og 12 sirkler i ytterste sekskant. a) Fyll ut tabellen. b) En figur har 246 sirkler i den ytterste sekskanten. Hvor mange sekskanter er det i denne figuren?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne mønsteret i antall sekskanter og sirkler i den ytterste sekskanten.

Steg 1 — Finn sammenhengen

Fra figurtall 2, 3 og 4 ser vi at antall sekskanter er én mindre enn figurnummeret.

\[\textext{antall sekskanter}=n-1\]

Steg 2 — Finn antall sirkler i ytterste sekskant

Hver sekskant bidrar med 6 sirkler i dette mønsteret.

\[\textext{antall sirkler}=6(n-1)\]

Steg 3 — Fyll ut tabellen

Figurnummer	Antall sekskanter	Antall sirkler i ytterste sekskant
2	1	6
3	2	12
4	3	18
5	4	24
n	\(n-1\)	\(6(n-1)\)

Steg 4 — Bruk 246 sirkler

\[6(n-1)=246\]

\[n-1=41\]

Det er altså 41 sekskanter i figuren.

Vanlig feil: Å svare 42 fordi figurnummeret er 42. Spørsmålet spør om antall sekskanter, ikke figurnummeret.

Python

for n in [2, 3, 4, 5]:
    sekskanter = n - 1
    sirkler_ytre = 6 * sekskanter
    print(f"Figur {n}: sekskanter = {sekskanter}, sirkler ytterst = {sirkler_ytre}")
print("Når ytterste sekskant har 246 sirkler:")
print("Antall sekskanter =", 246 // 6)
print("Figurnummer =", 246 // 6 + 1)

Output

Figur 2: sekskanter = 1, sirkler ytterst = 6
Figur 3: sekskanter = 2, sirkler ytterst = 12
Figur 4: sekskanter = 3, sirkler ytterst = 18
Figur 5: sekskanter = 4, sirkler ytterst = 24
Når ytterste sekskant har 246 sirkler:
Antall sekskanter = 41
Figurnummer = 42

Fasit: Tabellen får \(n-1\) sekskanter og \(6(n-1)\) sirkler ytterst. Figuren med 246 ytterste sirkler har 41 sekskanter.

Del 1 · Oppgave 4c-dMønster

Oppgave 4c-d

Oppgave:

Grete ser at sirklene ligger på rader. Tabellen starter med figur 1: 1 rad, 1 sirkel i hver rad og 1 sirkel i figuren; figur 2: 3 rader, 2 sirkler i hver rad og 6 sirkler i figuren; figur 3: 5 rader, 3 sirkler i hver rad og 15 sirkler i figuren. c) Fyll ut tabellen. d) Hvor mange sirkler vil det være i figur nummer 100?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en generell formel for totalt antall sirkler i figur nummer \(n\).

Steg 1 — Finn antall rader

Antall rader er 1, 3, 5, 7, ...

\[\textext{antall rader}=2n-1\]

Steg 2 — Finn antall sirkler i hver rad

I figur nummer \(n\) er det \(n\) sirkler i hver rad.

Steg 3 — Finn totalt antall sirkler

\[\textext{totalt}=n(2n-1)\]

Figurnummer	Antall rader	Antall sirkler i hver rad	Antall sirkler i figuren
1	1	1	1
2	3	2	6
3	5	3	15
4	7	4	28
n	\(2n-1\)	\(n\)	\(n(2n-1)\)

Steg 4 — Figur 100

\[100(2\cdot 100-1)=100\cdot 199=19900\]

Vanlig feil: Å bruke \(2n+1\) for antall rader. For figur 1 må formelen gi 1, og da passer \(2n-1\).

Python

for n in [1, 2, 3, 4, 100]:
    rader = 2*n - 1
    per_rad = n
    totalt = rader * per_rad
    print(f"Figur {n}: rader = {rader}, per rad = {per_rad}, totalt = {totalt}")

Output

Figur 1: rader = 1, per rad = 1, totalt = 1
Figur 2: rader = 3, per rad = 2, totalt = 6
Figur 3: rader = 5, per rad = 3, totalt = 15
Figur 4: rader = 7, per rad = 4, totalt = 28
Figur 100: rader = 199, per rad = 100, totalt = 19900

Fasit: Figur \(n\) har \(n(2n-1)\) sirkler. Figur 100 har \(19900\) sirkler.

Del 2 — med hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 5 · 6 poengLineær og eksponentiell modell

Oppgave 5

Oppgave:

En dyrebestand består i dag av 12 000 dyr. En gruppe forskere antar at bestanden vil avta lineært, og at det vil være 6000 dyr igjen om 10 år. a) Sett opp en lineær modell. En annen gruppe forskere antar eksponentiell nedgang, og at det vil være 11 400 dyr igjen om ett år. b) Sett opp en eksponentiell modell. c) Ifølge hvilken modell vil det være færrest dyr igjen om 10 år?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette opp to modeller og sammenlikne dem etter 10 år.

Steg 1 — Lineær modell

Bestanden synker fra 12000 til 6000 på 10 år. Det er en nedgang på

\[\dfrac{6000-12000}{10}=-600\]

Lineær modell:

\[L(x)=12000-600x\]

Steg 2 — Eksponentiell modell

Etter ett år er bestanden 11400. Vekstfaktoren er

\[\dfrac{11400}{12000}=0{,}95\]

Eksponentiell modell:

\[E(x)=12000\cdot 0{,}95^x\]

Steg 3 — Sammenlikn etter 10 år

\[L(10)=6000\]

\[E(10)=12000\cdot 0{,}95^{10}\approxpprox 7185\]

Tolkning

Den lineære modellen gir færrest dyr etter 10 år.

Vanlig feil: Å bruke \(0{,}05\) som vekstfaktor i den eksponentielle modellen. En nedgang på 5 % betyr vekstfaktor \(0{,}95\), ikke \(0{,}05\).

GeoGebra · CAS

L(x):=12000-600x

→ \(L(x)=12000-600x\)

E(x):=12000*0.95^x

→ \(E(x)=12000\cdot 0{,}95^x\)

L(10)

→ \(6000\)

E(10)

→ \(7185\)

Python

start = 12000
L10 = 6000
stigningstall = (L10 - start) / 10
print("Lineært stigningstall:", stigningstall)
print("Lineær modell: L(x) = 12000 - 600*x")
vekstfaktor = 11400 / 12000
print("Eksponentiell vekstfaktor:", vekstfaktor)
print("Eksponentiell modell: E(x) = 12000 * 0.95**x")
print("L(10) =", start + stigningstall*10)
print("E(10) =", start * vekstfaktor**10)

Output

Lineært stigningstall: -600.0
Lineær modell: L(x) = 12000 - 600*x
Eksponentiell vekstfaktor: 0.95
Eksponentiell modell: E(x) = 12000 * 0.95**x
L(10) = 6000.0
E(10) = 7184.728102539061

Fasit: \(L(x)=12000-600x\), \(E(x)=12000\cdot 0{,}95^x\). Den lineære modellen gir færrest dyr etter 10 år.

Del 2 · Oppgave 1 · 8 poengFunksjon og vekstfart

Oppgave 1

Oppgave:

Funksjonen \(A\) gitt ved \[A(x)=-0{,}08x^3+1{,}29x^2-3{,}9x+6{,}2,\quad 0\le x\le 12\] viser hvor mange millioner kvadratkilometer \(A(x)\) rundt Antarktis som var dekket av havis \(x\) måneder etter 1. januar 2017. a) Bruk graftegner til å tegne grafen til \(A\). b) Hvor lenge var mer enn 10 millioner kvadratkilometer dekket av havis? c) Hvor mange kvadratkilometer økte området som var dekket av havis, i gjennomsnitt med per måned fra 1. mars til 1. september? d) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen \(A\) når \(x=5\). Gi en praktisk tolkning.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke en tredjegradsmodell, lese av et intervall, finne gjennomsnittlig vekstfart og finne momentan vekstfart.

Skisse av grafen til modellen. Linjen ved 10 millioner km² viser tidsintervallet der havisområdet er større enn 10 millioner km².

Steg 1 — Tegn grafen

I GeoGebra kan vi skrive funksjonen direkte og begrense definisjonsområdet.

Steg 2 — Løs \(A(x)>10\)

Skjæringene med \(y=10\) i intervallet \([0,12]\) er omtrent

\[x=5{,}35\quad \textext{og}\quad x=11{,}55\]

Da var området større enn 10 millioner km² i omtrent

\[11{,}55-5{,}35=6{,}20\]

måneder.

Steg 3 — Gjennomsnittlig vekstfart fra 1. mars til 1. september

1. mars svarer til \(x=2\), og 1. september svarer til \(x=8\).

\[A(2)=2{,}92\]

\[A(8)=16{,}60\]

\[\dfrac{A(8)-A(2)}{8-2}=\dfrac{16{,}60-2{,}92}{6}=2{,}28\]

Dette er i millioner km² per måned, altså omtrent \(2\,280\,000\) km² per måned.

Steg 4 — Momentan vekstfart ved \(x=5\)

\[A'(5)=3{,}00\]

Det betyr at havisområdet økte med omtrent 3,0 millioner km² per måned på dette tidspunktet.

Vanlig feil: Å gi svaret i c) som 2,28 km² per måned. Funksjonen er målt i millioner kvadratkilometer.

GeoGebra · CAS

A(x):=-0.08x^3+1.29x^2-3.9x+6.2

→ \(A(x)\)

Løs(A(x)=10,0<=x<=12)

→ \(x\approxpprox 5{,}35 \lor x\approxpprox 11{,}55\)

(A(8)-A(2))/(8-2)

→ \(2{,}28\)

Derivert(A,5)

→ \(3{,}00\)

Python

from sympy import symbols, nroots, diff
x = symbols("x")
A = -0.08*x**3 + 1.29*x**2 - 3.9*x + 6.2
print("A(2) =", A.subs(x, 2))
print("A(8) =", A.subs(x, 8))
print("Gjennomsnittlig vekstfart fra x=2 til x=8:", (A.subs(x, 8) - A.subs(x, 2)) / 6)
print("Skjæringer med A(x)=10:")
for rot in nroots(A - 10):
    if abs(rot.as_real_imag()[1]) < 1e-10 and 0 <= float(rot.as_real_imag()[0]) <= 12:
        print(float(rot.as_real_imag()[0]))
print("A'(5) =", diff(A, x).subs(x, 5))

Output

A(2) = 2.92000000000000
A(8) = 16.6000000000000
Gjennomsnittlig vekstfart fra x=2 til x=8: 2.28000000000000
Skjæringer med A(x)=10:
5.347496361133731
11.546779723103825
A'(5) = 3.00000000000000

Fasit: Grafen tegnes for \(0\le x\le 12\). Mer enn 10 millioner km² var dekket i omtrent \(6{,}20\) måneder. Gjennomsnittlig økning fra mars til september var ca. \(2\,280\,000\) km² per måned. \(A\prime(5)=3{,}00\), altså ca. 3,0 millioner km² per måned.

Del 2 · Oppgave 2 · 3 poengProsent

Oppgave 2

Oppgave:

I klassen til Mats er det 25 elever. 20 % av elevene har bodd i Norge i mindre enn fire år. a) Hvor mange elever er dette? Skolen Mats går på, er pusset opp og bygd ut. Nå er det 1500 elevplasser ved skolen. Dette er 150 % flere elevplasser enn før utbyggingen. b) Hvor mange elevplasser var det ved skolen før utbyggingen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke prosent både som del av en mengde og som økning fra en ukjent startverdi.

Steg 1 — Finn 20 % av 25

\[0{,}20\cdot 25=5\]

Steg 2 — Tolk 150 % flere

150 % flere enn før betyr at ny verdi er

\[100\,\%+150\,\%=250\,\%\]

av gammel verdi.

Steg 3 — Finn gammel verdi

\[2{,}5\cdot \textext{gammel verdi}=1500\]

\[\textext{gammel verdi}=\dfrac{1500}{2{,}5}=600\]

Vanlig feil: Å dele 1500 på 1,5. Da tolker man «150 % flere» som «150 % av», men ny verdi er 250 % av gammel verdi.

Python

elever = 25
andel = 0.20
under_fire_aar = elever * andel
print("20 % av 25 elever:", under_fire_aar)
nytt_antall_plasser = 1500
vekstfaktor = 1 + 1.50
gammelt_antall_plasser = nytt_antall_plasser / vekstfaktor
print("Vekstfaktor ved 150 % flere:", vekstfaktor)
print("Elevplasser før utbyggingen:", gammelt_antall_plasser)

Output

20 % av 25 elever: 5.0
Vekstfaktor ved 150 % flere: 2.5
Elevplasser før utbyggingen: 600.0

Fasit: a) 5 elever. b) Det var 600 elevplasser før utbyggingen.

Del 2 · Oppgave 3 · 2 poengProsentvis endring

Oppgave 3

Oppgave:

Diagrammet viser gjennomsnittlig CO2-utslipp for registrerte nye personbiler i 2016 og 2017. Hvor mange prosent gikk gjennomsnittlig CO2-utslipp for bensinbiler ned med fra januar 2016 til oktober 2017?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av to verdier fra diagrammet og finne prosentvis nedgang.

Steg 1 — Les av verdiene

For bensinbiler er januar 2016 omtrent \(105\) g/km. Oktober 2017 er omtrent \(90\) g/km.

Steg 2 — Finn nedgangen

\[105-90=15\]

Steg 3 — Regn prosentvis nedgang

\[\dfrac{15}{105}\cdot 100\,\%\approxpprox 14{,}3\,\%\]

Tolkning

Gjennomsnittlig utslipp for bensinbiler gikk ned med omtrent 14 %.

Vanlig feil: Å dele på sluttverdien 90. Prosentvis endring fra januar 2016 skal regnes i forhold til startverdien.

Python

januar_2016 = 105
oktober_2017 = 90
nedgang = januar_2016 - oktober_2017
prosent_nedgang = nedgang / januar_2016 * 100
print("Januar 2016:", januar_2016, "g/km")
print("Oktober 2017:", oktober_2017, "g/km")
print("Nedgang:", nedgang, "g/km")
print("Prosentvis nedgang:", prosent_nedgang)

Output

Januar 2016: 105 g/km
Oktober 2017: 90 g/km
Nedgang: 15 g/km
Prosentvis nedgang: 14.285714285714285

Fasit: Gjennomsnittlig CO2-utslipp for bensinbiler gikk ned med omtrent \(14{,}3\,\%\).

Del 2 · Oppgave 4 · 2 poengEksponentiell endring

Oppgave 4

Oppgave:

Verdien av en bil har avtatt med 12 % hvert år siden den var ny. Vi antar at verdien vil fortsette å avta med 12 % hvert år framover. I dag er bilen verd 300 000 kroner. a) Hvor mye vil bilen være verd om fem år? b) Hvor mye var bilen verd for fem år siden?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke vekstfaktor framover og bakover i tid.

Steg 1 — Finn vekstfaktor

En nedgang på 12 % gir vekstfaktor

\[1-0{,}12=0{,}88\]

Steg 2 — Verdi om fem år

\[300000\cdot 0{,}88^5\approxpprox 158320\]

Steg 3 — Verdi for fem år siden

Når vi går bakover, må vi dele på vekstfaktoren fem ganger.

\[\dfrac{300000}{0{,}88^5}\approxpprox 568470\]

Vanlig feil: Å bruke \(300000\cdot 1{,}12^5\) bakover. Den opprinnelige prosentvise nedgangen skjer med faktor 0,88, så vi må dele på \(0{,}88^5\).

Python

verdi_i_dag = 300000
vekstfaktor = 0.88
verdi_om_5 = verdi_i_dag * vekstfaktor**5
verdi_for_5 = verdi_i_dag / vekstfaktor**5
print("Vekstfaktor:", vekstfaktor)
print("Verdi om 5 år:", verdi_om_5)
print("Verdi for 5 år siden:", verdi_for_5)
print("Avrundet om 5 år:", round(verdi_om_5))
print("Avrundet for 5 år siden:", round(verdi_for_5))

Output

Vekstfaktor: 0.88
Verdi om 5 år: 158319.57504
Verdi for 5 år siden: 568470.4495780839
Avrundet om 5 år: 158320
Avrundet for 5 år siden: 568470

Fasit: Bilen vil være verd ca. 158 000 kroner om fem år. For fem år siden var den verd ca. 568 000 kroner.

Del 2 · Oppgave 5 · 6 poengHistogram

Oppgave 5

Oppgave:

Per og Kari vil lage et diagram som viser aldersfordelingen til innbyggerne i et boligområde. Per lager et histogram der klassene er 0-15, 15-20, 20-30, 30-50 og 50-80 år, med frekvenstetthetene 3, 5, 7, 5 og 1. a) Hvor mange personer bor i boligområdet? b) Lag et søylediagram som viser hvor mange personer det er i hver aldersgruppe. c) Mener du et søylediagram eller et histogram er best egnet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke arealet av søylene i histogrammet. Når klassene har ulik bredde, er det ikke høyden alene som viser frekvensen.

Frekvens = klassebredde \(\cdot\) høyde. Derfor gir arealet av hver søyle antall personer.

Steg 1 — Regn frekvensene

Aldersgruppe	Klassebredde	Høyde	Frekvens
0-15	15	3	45
15-20	5	5	25
20-30	10	7	70
30-50	20	5	100
50-80	30	1	30

Steg 2 — Finn totalt antall personer

\[45+25+70+100+30=270\]

Steg 3 — Lag søylediagram

Søylediagrammet viser frekvensen i hver aldersgruppe direkte.

Steg 4 — Vurder diagramtypen

Alder er en kontinuerlig variabel, og klassene har ulik bredde. Derfor er histogrammet matematisk mest korrekt for fordelingen. Søylediagrammet kan likevel være lettere å lese når målet bare er å se antall personer i hver aldersgruppe.

Vanlig feil: Å legge sammen høydene \(3+5+7+5+1\). I histogrammet er det arealet, ikke bare høyden, som gir frekvensen.

Python

klasser = [(0, 15), (15, 20), (20, 30), (30, 50), (50, 80)]
hoyder = [3, 5, 7, 5, 1]
frekvenser = []
print("Klasse | Bredde | Høyde | Frekvens")
for (a, b), h in zip(klasser, hoyder):
    bredde = b - a
    frekvens = bredde * h
    frekvenser.append(frekvens)
    print(f"{a:2d}-{b:<2d} | {bredde:6d} | {h:5d} | {frekvens:8d}")
print("Totalt antall personer:", sum(frekvenser))

Output

Klasse | Bredde | Høyde | Frekvens
 0-15 |     15 |     3 |       45
15-20 |      5 |     5 |       25
20-30 |     10 |     7 |       70
30-50 |     20 |     5 |      100
50-80 |     30 |     1 |       30
Totalt antall personer: 270

Fasit: Det bor 270 personer i boligområdet. Frekvensene er 45, 25, 70, 100 og 30. Histogrammet er best egnet for aldersfordeling med ulike klassebredder, men søylediagrammet viser antallene mer direkte.

Del 2 · Oppgave 6 · 7 poengEksponentiell regresjon

Oppgave 6

Oppgave:

Tabellen viser folketallet i verden i millioner i utvalgte år: 1920: 1902, 1940: 2285, 1960: 2991, 1980: 4401, 2000: 6088, 2010: 6889, 2017: 7474. a) La \(x\) være antall år etter 1. januar 1920, og bruk regresjon til å vise at \(f(x)=1775{,}6\cdot 1{,}015^x\) passer godt. b) Hvor mange prosent har folketallet økt per år ifølge modellen? c) Bestem gjennomsnittlig vekstfart fra \(x=70\) til \(x=95\), og tolk svaret. d) FN-prognoser sier 9,8 milliarder i 2050 og 11,2 milliarder i 2100. Vurder modellen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage og vurdere en eksponentiell modell for verdens folketall.

Steg 1 — Regresjon

Med \(x=0,20,40,60,80,90,97\) får vi en eksponentiell modell som omtrent er

\[f(x)=1775{,}6\cdot 1{,}015^x\]

Modellen passer rimelig godt til punktene, men den er ikke perfekt, særlig fordi veksten ikke er nøyaktig eksponentiell over så lang tid.

Steg 2 — Årlig prosentvis vekst

Vekstfaktoren er \(1{,}015\). Det betyr en årlig økning på

\[(1{,}015-1)\cdot 100\,\%=1{,}5\,\%\]

Steg 3 — Gjennomsnittlig vekstfart fra \(x=70\) til \(x=95\)

\[\dfrac{f(95)-f(70)}{95-70}\approxpprox 90{,}8\]

Det betyr at modellen gir en gjennomsnittlig økning på omtrent 90,8 millioner mennesker per år i perioden 1990-2015.

Steg 4 — Sammenlikn med FN-prognoser

År 2050 svarer til \(x=130\), og år 2100 svarer til \(x=180\).

\[f(130)\approxpprox 12301\]

\[f(180)\approxpprox 25896\]

Dette betyr omtrent 12,3 milliarder i 2050 og 25,9 milliarder i 2100. Det er langt over FN-prognosene på 9,8 og 11,2 milliarder.

Vanlig feil: Å bruke modellen ukritisk langt utenfor dataintervallet. Eksponentielle modeller kan gi urimelig store verdier ved lang framskriving.

GeoGebra · CAS

RegEksp({(0,1902),(20,2285),(40,2991),(60,4401),(80,6088),(90,6889),(97,7474)})

→ \(1775{,}6\cdot 1{,}015^x\)

(1.015-1)*100

→ \(1{,}5\)

(f(95)-f(70))/(95-70)

→ \(90{,}8\)

f(130), f(180)

→ \(12301,25896\)

Python

import numpy as np
x = np.array([0, 20, 40, 60, 80, 90, 97], dtype=float)
y = np.array([1902, 2285, 2991, 4401, 6088, 6889, 7474], dtype=float)
log_b, log_a = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
b = np.exp(log_b)
a = np.exp(log_a)
print("a =", a)
print("b =", b)
print("Årlig prosentvis økning:", (b - 1) * 100)
def f(t):
    return 1775.6 * 1.015**t
print("Gjennomsnittlig vekstfart 1990-2015:", (f(95) - f(70)) / 25)
print("Modellverdi 2050:", f(130))
print("Modellverdi 2100:", f(180))

Output

a = 1775.6295490203728
b = 1.015027707830228
Årlig prosentvis økning: 1.5027707830227997
Gjennomsnittlig vekstfart 1990-2015: 90.81383208795982
Modellverdi 2050: 12300.722717411118
Modellverdi 2100: 25896.003268823813

Fasit: Modellen passer rimelig godt historisk. Den gir ca. 1,5 % årlig vekst, ca. 90,8 millioner mennesker per år fra 1990 til 2015, men samsvarer dårlig med FN-prognosene for 2050 og 2100.

Del 2 · Oppgave 7 · 8 poengKarakterstatistikk

Oppgave 7

Oppgave:

Diagrammet viser karakterfordelingen ved en matematikkeksamen et år. Avlest fordeling er karakter 1: 15 elever, 2: 55 elever, 3: 65 elever, 4: 40 elever, 5: 20 elever og 6: 5 elever. a) Hvor mange prosent fikk karakteren 4 eller bedre? b) Lag et regneark og bruk det til å bestemme gjennomsnittskarakteren og standardavviket. c) Året etter var det 180 elever med gjennomsnitt 3,25. Hva var gjennomsnittskarakteren for de to årene under ett?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese en frekvensfordeling, regne prosent, gjennomsnitt, standardavvik og vektet gjennomsnitt.

Avlest karakterfordeling: 1: 15, 2: 55, 3: 65, 4: 40, 5: 20, 6: 5.

Steg 1 — Finn totalen

\[15+55+65+40+20+5=200\]

Steg 2 — Karakter 4 eller bedre

\[40+20+5=65\]

\[\dfrac{65}{200}\cdot 100\,\%=32{,}5\,\%\]

Steg 3 — Regnearkformler

Rad	Innhold/formel
C3	`=A3*B3`
B9	`=SUM(B3:B8)`
C9	`=SUM(C3:C8)`
B11	`=C9/B9`
D3	`=(A3-B11)^2*B3`
B13	`=ROT(SUM(D3:D8)/B9)`

Dette gir gjennomsnitt \(3{,}05\) og standardavvik omtrent \(1{,}18\).

Steg 4 — Vektet gjennomsnitt for to år

Første år hadde 200 elever med gjennomsnitt 3,05. Andre år hadde 180 elever med gjennomsnitt 3,25.

\[\dfrac{200\cdot 3{,}05+180\cdot 3{,}25}{200+180}\approxpprox 3{,}14\]

Vanlig feil: Å ta gjennomsnittet av 3,05 og 3,25 direkte. Årene har ulikt antall elever, så vi må bruke vektet gjennomsnitt.

Python

import math
karakterer = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
frekvenser = [15, 55, 65, 40, 20, 5]
total = sum(frekvenser)
sum_xf = sum(x*f for x, f in zip(karakterer, frekvenser))
gjennomsnitt = sum_xf / total
varians = sum(((x - gjennomsnitt)**2) * f for x, f in zip(karakterer, frekvenser)) / total
standardavvik = math.sqrt(varians)
antall_4_eller_bedre = sum(f for x, f in zip(karakterer, frekvenser) if x >= 4)
prosent_4_eller_bedre = antall_4_eller_bedre / total * 100
samlet_gjennomsnitt = (total*gjennomsnitt + 180*3.25) / (total + 180)
print("Total:", total)
print("Antall med karakter 4 eller bedre:", antall_4_eller_bedre)
print("Prosent med karakter 4 eller bedre:", prosent_4_eller_bedre)
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)
print("Standardavvik:", standardavvik)
print("Samlet gjennomsnitt for to år:", samlet_gjennomsnitt)

Output

Total: 200
Antall med karakter 4 eller bedre: 65
Prosent med karakter 4 eller bedre: 32.5
Gjennomsnitt: 3.05
Standardavvik: 1.182159041753689
Samlet gjennomsnitt for to år: 3.1447368421052633

Fasit: a) \(32{,}5\,\%\). b) Gjennomsnittet er \(3{,}05\), og standardavviket er omtrent \(1{,}18\). c) Samlet gjennomsnitt er omtrent \(3{,}14\).

Matematikk 2P eksamen – vår 2018

Matematikk 2P eksamen Vår 2018 (K06) – løsningsforslag

Del 1 — uten hjelpemidler

Oppgave 1

Steg 1 — Finn minste og største verdi

Steg 2 — Regn variasjonsbredden

Steg 3 — Finn summen

Steg 4 — Del på antall runder

Tolkning

Python

Oppgave 2

Steg 1 — Gjør om volumet

Steg 2 — Skriv bakterietallet per kubikkcentimeter

Steg 3 — Multipliser

Tolkning

Python

Oppgave 3a

Steg 1 — Bruk at totalen er 1000

Steg 2 — Finn frekvensene

Steg 3 — Fullfør tabellen

Tolkning

Python

Oppgave 3b-c

Steg 1 — Tolk frekvensen 20

Steg 2 — Tolk kumulativ frekvens 520

Steg 3 — Tolk relativ frekvens 0,4

Steg 4 — Tolk kumulativ relativ frekvens 0,92

Steg 5 — Medianen

Oppgave 4a-b

Steg 1 — Finn sammenhengen

Steg 2 — Finn antall sirkler i ytterste sekskant

Steg 3 — Fyll ut tabellen

Steg 4 — Bruk 246 sirkler

Python

Oppgave 4c-d

Steg 1 — Finn antall rader

Steg 2 — Finn antall sirkler i hver rad

Steg 3 — Finn totalt antall sirkler

Steg 4 — Figur 100

Python

Del 2 — med hjelpemidler

Oppgave 5

Steg 1 — Lineær modell

Steg 2 — Eksponentiell modell

Steg 3 — Sammenlikn etter 10 år

Tolkning

Python

Oppgave 1

Steg 1 — Tegn grafen

Steg 2 — Løs \(A(x)>10\)

Steg 3 — Gjennomsnittlig vekstfart fra 1. mars til 1. september

Steg 4 — Momentan vekstfart ved \(x=5\)

Python

Oppgave 2

Steg 1 — Finn 20 % av 25

Steg 2 — Tolk 150 % flere

Steg 3 — Finn gammel verdi

Python

Oppgave 3

Steg 1 — Les av verdiene

Steg 2 — Finn nedgangen

Steg 3 — Regn prosentvis nedgang

Tolkning

Python

Oppgave 4

Steg 1 — Finn vekstfaktor

Steg 2 — Verdi om fem år

Steg 3 — Verdi for fem år siden

Python

Oppgave 5

Steg 1 — Regn frekvensene

Steg 2 — Finn totalt antall personer

Steg 3 — Lag søylediagram

Steg 4 — Vurder diagramtypen

Python

Oppgave 6

Steg 1 — Regresjon

Steg 2 — Årlig prosentvis vekst

Steg 3 — Gjennomsnittlig vekstfart fra \(x=70\) til \(x=95\)

Steg 4 — Sammenlikn med FN-prognoser