ifingo · Matematikk 2P

Matematikk 2P Vår 2017 (K06) – komplett løsningsforslag

Løsningsforslaget er skrevet på bokmål med Del 1 og Del 2, trinnvise løsninger, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS-bokser og Python-kontroll i nøytral terminalstil.

Kilde: opplastet Udir-PDF for MAT1015 Matematikk 2P, 31.05.2017.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1 · 3 poengStatistikk

Oppgave 1

Oppgave:

I en klasse er det 16 elever. Tabellen nedenfor viser hvor mange søsken de 16 elevene har.

Antall søsken	Frekvens
0	5
1	6
2	2
3	2
4	1

Bestem gjennomsnittet, medianen, typetallet og variasjonsbredden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive datasettet med fire sentral- og spredningsmål.

Steg 1 — Finn totalt antall søsken

Vi multipliserer verdi med frekvens:

\[0\cdot 5+1\cdot 6+2\cdot 2+3\cdot 2+4\cdot 1=20\]

Steg 2 — Finn gjennomsnittet

Det er 16 elever, derfor er

\[\bar{x}=\dfrac{20}{16}=1{,}25\]

Steg 3 — Finn medianen

Når 16 tall sorteres, er medianen gjennomsnittet av tall nummer 8 og 9. Begge er 1, så medianen er 1.

Steg 4 — Finn typetall og variasjonsbredde

Verdien 1 har størst frekvens, så typetallet er 1. Variasjonsbredden er

\[4-0=4\]

Vanlig feil: Å finne gjennomsnittet av bare 0, 1, 2, 3 og 4 uten å ta hensyn til frekvensene.

Python

verdier = [0, 1, 2, 3, 4]
frekvenser = [5, 6, 2, 2, 1]
data = []
for verdi, frekvens in zip(verdier, frekvenser):
    data.extend([verdi] * frekvens)
print("Datasett:", data)
print("Antall elever:", len(data))
print("Sum søsken:", sum(data))
print("Gjennomsnitt:", sum(data) / len(data))
print("Median:", (data[7] + data[8]) / 2)
print("Typetall:", max(set(data), key=data.count))
print("Variasjonsbredde:", max(data) - min(data))

Output

Datasett: [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4]
Antall elever: 16
Sum søsken: 20
Gjennomsnitt: 1.25
Median: 1.0
Typetall: 1
Variasjonsbredde: 4

Fasit: Gjennomsnittet er \(1{,}25\), medianen er 1, typetallet er 1 og variasjonsbredden er 4.

Del 1 · Oppgave 2 · 1 poengProsent

Oppgave 2

Oppgave:

Ved en skole er det 125 elever. En dag tok 25 av elevene buss til skolen. Hvor mange prosent av elevene tok buss til skolen denne dagen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor stor del 25 er av 125.

Steg 1 — Skriv som brøk

\[\dfrac{25}{125}=0{,}20\]

Steg 2 — Gjør om til prosent

\[0{,}20\cdot 100\,\%=20\,\%\]

Tolkning

Hver femte elev tok buss denne dagen.

Vanlig feil: Å skrive 25 % bare fordi tallet 25 står i oppgaven. Prosenten må regnes i forhold til 125.

Python

antall_elevar = 125
buss = 25
andel = buss / antall_elevar
prosent = andel * 100
print("Andel:", andel)
print("Prosent:", prosent)

Output

Andel: 0.2
Prosent: 20.0

Fasit: \(20\,\%\) av elevene tok buss.

Del 1 · Oppgave 3 · 2 poengPotenser

Oppgave 3

Oppgave:

Regn ut \[5^0\cdot 2^3\cdot 8^{-2}\cdot \left(4^{-1}\right)^{-3}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke potensregler og skrive uttrykket som ett tall.

Steg 1 — Regn hver faktor

\[5^0=1\]

\[2^3=8\]

\[8^{-2}=\dfrac{1}{8^2}=\dfrac{1}{64}\]

Steg 2 — Bruk regelen for potens av potens

\[\left(4^{-1}\right)^{-3}=4^3=64\]

Steg 3 — Multipliser

\[1\cdot 8\cdot \dfrac{1}{64}\cdot 64=8\]

Vanlig feil: Å glemme at en negativ eksponent betyr den omvendte verdien, ikke et negativt tall.

Python

from fractions import Fraction
verdi = 5**0 * 2**3 * Fraction(1, 8**2) * (Fraction(1, 4))**(-3)
print("Eksakt verdi:", verdi)
print("Som heltall:", int(verdi))

Output

Eksakt verdi: 8
Som heltall: 8

Fasit: Uttrykket er lik \(8\).

Del 1 · Oppgave 4 · 2 poengStandardform

Oppgave 4

Oppgave:

I 10 L vann er det omtrent \(3{,}0\cdot 10^{25}\) vannmolekyler. Hvor mange vannmolekyler er det i 1,5 dL vann?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal skalere antall molekyler fra 10 L til 1,5 dL.

Steg 1 — Gjør om til samme enhet

\[10 ext{ L}=100 ext{ dL}\]

Steg 2 — Finn andelen

\[\dfrac{1{,}5}{100}=0{,}015\]

Steg 3 — Multipliser med antall molekyler

\[3{,}0\cdot 10^{25}\cdot 0{,}015=4{,}5\cdot 10^{23}\]

Vanlig feil: Å sammenligne 1,5 dL direkte med 10 L uten å gjøre om enhetene først.

Python

molekyler_i_10_liter = 3.0e25
volum_dl = 1.5
ti_liter_i_dl = 100
andel = volum_dl / ti_liter_i_dl
molekyler = molekyler_i_10_liter * andel
print("Andel av 10 L:", andel)
print("Antall molekyler:", molekyler)
print("På standardform: 4.5e23")

Output

Andel av 10 L: 0.015
Antall molekyler: 4.5e+23
På standardform: 4.5e23

Fasit: Det er omtrent \(4{,}5\cdot 10^{23}\) vannmolekyler i 1,5 dL vann.

Del 1 · Oppgave 5 · 3 poengLineær og eksponentiell modell

Oppgave 5

Oppgave:

I 2017 er verdien av en leilighet 1 200 000 kroner. Per antar at verdien vil stige med 80 000 kroner hvert år. a) Sett opp en modell som viser verdien \(f(x)\) av leiligheten \(x\) år etter 2017 dersom det går slik Per antar. Kari antar at verdien vil stige med 8 % hvert år. b) Sett opp en modell som viser verdien \(g(x)\) av leiligheten \(x\) år etter 2017 dersom det går slik Kari antar. c) Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til \(f\)? Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til \(g\)? Begrunn svarene dine.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette opp én lineær modell og én eksponentiell modell, og koble dem til riktig graf.

Graf B er lineær vekst. Graf A er eksponentiell vekst med økende stigning.

Steg 1 — Pers modell

Verdien øker med samme kronebeløp hvert år. Det gir lineær modell:

\[f(x)=1200000+80000x\]

Steg 2 — Karis modell

En økning på 8 % gir vekstfaktor

\[1+0{,}08=1{,}08\]

Derfor er

\[g(x)=1200000\cdot 1{,}08^x\]

Steg 3 — Velg graf

\(f\) har konstant stigningstall, så den passer med graf B. \(g\) vokser raskere etter hvert, så den passer med graf A.

Vanlig feil: Å skrive \(1200000+0{,}08x\) for Kari. Prosentvis vekst må modelleres med multiplikasjon, ikke addisjon.

Python

startverdi = 1200000
per_okning = 80000
karis_vekstfaktor = 1.08
for x in [0, 1, 2, 5]:
    f = startverdi + per_okning * x
    g = startverdi * karis_vekstfaktor**x
    print(f"x = {x}: f(x) = {f:.0f}, g(x) = {g:.0f}")

Output

x = 0: f(x) = 1200000, g(x) = 1200000
x = 1: f(x) = 1280000, g(x) = 1296000
x = 2: f(x) = 1360000, g(x) = 1399680
x = 5: f(x) = 1600000, g(x) = 1763194

Fasit: \(f(x)=1200000+80000x\), \(g(x)=1200000\cdot 1{,}08^x\). Graf B passer med \(f\), og graf A passer med \(g\).

Del 1 · Oppgave 6 · 6 poengStatistikk med grupperte data

Oppgave 6

Oppgave:

Et år deltok 1 000 elever i en konkurranse. Besvarelsene ble vurdert, og lærerne laget en tabell. Tabellen ser du nedenfor, men her mangler noen av tallene lærerne satte inn.

Poengsum	Frekvens	Relativ frekvens
\([0,30)\)	100
\([30,50)\)
\([50,70)\)		0,6
\([70,100)\)	200

a) Tegn av tabellen ovenfor, og fyll inn tallene som mangler. b) Bestem gjennomsnittlig poengsum for elevene som deltok i konkurransen. Et annet år deltok 3 525 elever i konkurransen. Tabellen viser poengfordelingen: \([0,30):563\), \([30,50):700\), \([50,70):2000\), \([70,100):262\). c) Bestem medianen for poengsummene til elevene som deltok dette året.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal fylle ut en frekvenstabell, bruke klassemidtpunkt til gjennomsnitt og finne median i gruppert materiale.

Steg 1 — Fyll ut frekvensene

Relativ frekvens 0,6 av 1000 gir

\[0{,}6\cdot 1000=600\]

Da må den manglende frekvensen være

\[1000-100-600-200=100\]

Steg 2 — Fullfør tabellen

Poengsum	Frekvens	Relativ frekvens	Klassemidtpunkt
\([0,30)\)	100	0,1	15
\([30,50)\)	100	0,1	40
\([50,70)\)	600	0,6	60
\([70,100)\)	200	0,2	85

Steg 3 — Finn gjennomsnittlig poengsum

\[\dfrac{100\cdot 15+100\cdot 40+600\cdot 60+200\cdot 85}{1000}=58{,}5\]

Steg 4 — Median for det andre året

Halvparten av 3525 er

\[\dfrac{3525}{2}=1762{,}5\]

Kumulativ frekvens før intervallet \([50,70)\) er \(563+700=1263\). Medianen ligger derfor i \([50,70)\).

Lineær interpolasjon gir

\[50+\dfrac{1762{,}5-1263}{2000}\cdot 20\approx 55{,}0\]

Vanlig feil: Å bruke 50 eller 70 direkte som median. Medianen ligger inne i intervallet, og vi må vurdere hvor langt inn i intervallet den ligger.

Python

total = 1000
frekvenser = [100, 100, 600, 200]
midtpunkt = [15, 40, 60, 85]
relativ = [f / total for f in frekvenser]
print("Frekvens | Relativ frekvens | Klassemidtpunkt")
for f, r, m in zip(frekvenser, relativ, midtpunkt):
    print(f"{f:8d} | {r:16.1f} | {m:15d}")
gjennomsnitt = sum(f*m for f, m in zip(frekvenser, midtpunkt)) / total
print("Gjennomsnittlig poengsum:", gjennomsnitt)
total2 = 3525
halvpart = total2 / 2
foran_median = 563 + 700
median = 50 + (halvpart - foran_median) / 2000 * 20
print("Halvparten av elevene:", halvpart)
print("Kumulativ frekvens før medianklassen:", foran_median)
print("Median:", median)

Output

Frekvens | Relativ frekvens | Klassemidtpunkt
     100 |              0.1 |              15
     100 |              0.1 |              40
     600 |              0.6 |              60
     200 |              0.2 |              85
Gjennomsnittlig poengsum: 58.5
Halvparten av elevene: 1762.5
Kumulativ frekvens før medianklassen: 1263
Median: 54.995

Fasit: Tabellen fylles ut med frekvensene 100, 100, 600 og 200. Gjennomsnittet er \(58{,}5\) poeng. Medianen for det andre året er omtrent \(55{,}0\) poeng.

Del 1 · Oppgave 7 · 7 poengMønster og uttrykk

Oppgave 7

Oppgave:

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små, blå pinner. Hver pinne har lengden 2,5 cm. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster. a) Hvor mange pinner trenger du for å lage figur 4? Bestem omkretsen av figur 4. b) Bestem et uttrykk for antall pinner i figur \(n\) uttrykt ved \(n\). c) Bestem et uttrykk for omkretsen av figur \(n\) uttrykt ved \(n\). En figur som følger samme mønster som ovenfor, har en omkrets på 105 cm. d) Bestem antall pinner i denne figuren.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive et voksende mønster både med antall pinner og omkrets.

Mønsteret øker med to pinner hver gang. Figur n har \(2n+1\) pinner, mens omkretsen består av \(n+2\) ytterpinner.

Steg 1 — Tell de første figurene

Figur 1 har 3 pinner, figur 2 har 5 pinner og figur 3 har 7 pinner. Antall pinner øker med 2 hver gang.

Steg 2 — Figur 4

Da har figur 4

\[7+2=9\]

pinner. Omkretsen består av ytterpinnene. For figur 4 er det 6 ytterpinner, så

\[6\cdot 2{,}5=15 ext{ cm}\]

Steg 3 — Uttrykk for antall pinner

Rekken \(3,5,7,9,\ldots\) gir

\[p_n=2n+1\]

Steg 4 — Uttrykk for omkrets

Ytterkanten består av \(n+2\) pinner. Derfor er

\[O_n=2{,}5\left(n+2\right)\]

Steg 5 — Bruk omkretsen 105 cm

\[2{,}5\left(n+2\right)=105\]

\[n+2=42\]

\[n=40\]

Antall pinner i figur 40 er

\[2\cdot 40+1=81\]

Vanlig feil: Å bruke alle pinnene som omkrets. De indre diagonalene teller som pinner, men de er ikke en del av omkretsen.

Python

for n in range(1, 5):
    antall_pinner = 2*n + 1
    ytterpinner = n + 2
    omkrets = 2.5 * ytterpinner
    print(f"Figur {n}: {antall_pinner} pinner, omkrets {omkrets} cm")
omkrets = 105
n = omkrets / 2.5 - 2
antall_pinner = 2*n + 1
print("Figurnummer ved omkrets 105 cm:", n)
print("Antall pinner:", antall_pinner)

Output

Figur 1: 3 pinner, omkrets 7.5 cm
Figur 2: 5 pinner, omkrets 10.0 cm
Figur 3: 7 pinner, omkrets 12.5 cm
Figur 4: 9 pinner, omkrets 15.0 cm
Figurnummer ved omkrets 105 cm: 40.0
Antall pinner: 81.0

Fasit: Figur 4 har 9 pinner og omkrets 15 cm. \(p_n=2n+1\), \(O_n=2{,}5\left(n+2\right)\). Figuren med omkrets 105 cm har 81 pinner.

Del 2 — med hjelpemidler

Del 2 · Oppgave 1 · 8 poengFunksjon og vekstfart

Oppgave 1

Oppgave:

Funksjonen \(V\) gitt ved \[V(x)=0{,}064x^4-2{,}41x^3+28{,}4x^2-105x+39,\quad 0\le x\le 18\] viser vannstanden \(V(x)\) centimeter over eller under middelvann \(x\) timer etter midnatt i Tromsø en dag. a) Bruk graftegner til å tegne grafen til \(V\). b) Vis at vannstanden er ca. 40 cm under middelvann én time etter midnatt og ca. 31 cm over middelvann 12 timer etter midnatt. c) Bestem forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand i perioden fra midnatt og fram til klokka 18.00. d) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen \(V\) klokken 07.00. Gi en praktisk tolkning av dette svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne en fjerdegradsmodell, regne funksjonsverdier, finne ekstremalverdier og tolke momentan vekstfart.

Skisse av vannstandsmodellen. Verdier under aksen betyr under middelvann.

Steg 1 — Graftegner

I GeoGebra kan vi skrive funksjonen med definisjonsområde \(0\le x\le 18\).

Steg 2 — Kontroller verdiene i b)

\[V(1)=0{,}064-2{,}41+28{,}4-105+39=-39{,}946\]

Dette er omtrent 40 cm under middelvann.

\[V(12)=31{,}224\]

Dette er omtrent 31 cm over middelvann.

Steg 3 — Finn høyeste og laveste vannstand

Grafen viser laveste verdi omtrent \(-81{,}51\) cm og høyeste verdi omtrent \(59{,}72\) cm.

Forskjellen er

\[59{,}72-\left(-81{,}51\right)=141{,}23\]

Steg 4 — Momentan vekstfart kl. 07.00

Klokka 07.00 svarer til \(x=7\). Derivasjon gir

\[V'(7)\approx 26{,}14\]

Vannstanden økte da med omtrent 26 cm per time.

Vanlig feil: Å tolke \(V'(7)\) som vannstanden. \(V'(7)\) er endringen per time, ikke selve vannstanden.

GeoGebra · CAS

V(x):=0.064x^4-2.41x^3+28.4x^2-105x+39

→ \(V(x)\)

V(1)

→ \(-39{,}946\)

V(12)

→ \(31{,}224\)

Ekstremalpunkt(V,0,18)

→ \((2{,}67,-81{,}51), (9{,}64,59{,}72), (15{,}93,-47{,}71)\)

Derivert(V,7)

→ \(26{,}14\)

Python

from sympy import symbols, diff, nroots
x = symbols("x")
V = 0.064*x**4 - 2.41*x**3 + 28.4*x**2 - 105*x + 39
print("V(1) =", V.subs(x, 1))
print("V(12) =", V.subs(x, 12))
V_derivert = diff(V, x)
print("V'(x) =", V_derivert)
print("Kritiske punkter i intervallet 0 <= x <= 18:")
verdier = []
for rot in nroots(V_derivert):
    if abs(rot.as_real_imag()[1]) < 1e-10 and 0 <= float(rot.as_real_imag()[0]) <= 18:
        xr = float(rot.as_real_imag()[0])
        yr = float(V.subs(x, xr))
        verdier.append((xr, yr))
        print(xr, yr)
verdier.extend([(0, float(V.subs(x, 0))), (18, float(V.subs(x, 18)))])
lavest = min(verdier, key=lambda punkt: punkt[1])
hoyest = max(verdier, key=lambda punkt: punkt[1])
print("Laveste punkt:", lavest)
print("Høyeste punkt:", hoyest)
print("Forskjell:", hoyest[1] - lavest[1])
print("V'(7) =", V_derivert.subs(x, 7))

Output

V(1) = -39.9460000000000
V(12) = 31.2240000000000
V'(x) = 0.256*x**3 - 7.23*x**2 + 56.8*x - 105
Kritiske punkter i intervallet 0 <= x <= 18:
2.670557865302702 -81.50901873867595
9.64056805547434 59.72127836521349
15.931061579222959 -47.70729119196767
Laveste punkt: (2.670557865302702, -81.50901873867595)
Høyeste punkt: (9.64056805547434, 59.72127836521349)
Forskjell: 141.23029710388943
V'(7) = 26.1380000000000

Fasit: a) Graf tegnes i graftegner. b) \(V(1)\approx -39{,}95\) og \(V(12)\approx 31{,}22\). c) Forskjellen er ca. 141 cm. d) \(V\prime(7)\approx 26{,}14\), altså steg vannstanden med ca. 26 cm per time kl. 07.00.

Del 2 · Oppgave 2 · 2 poengProsent

Oppgave 2

Oppgave:

Emil betalte 3 703 000 kroner for en leilighet. Han betalte 15 % mer enn prisantydningen. Hva var prisantydningen for denne leiligheten?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne startverdien før en økning på 15 %.

Steg 1 — Tolk prosentøkningen

15 % mer enn prisantydningen betyr at betalt pris er

\[1{,}15\]

ganger prisantydningen.

Steg 2 — Sett opp likning

\[1{,}15\cdot p=3703000\]

Steg 3 — Løs

\[p=\dfrac{3703000}{1{,}15}=3220000\]

Vanlig feil: Å trekke 15 % direkte fra 3 703 000. De 15 prosentene er regnet av prisantydningen, ikke av sluttprisen.

Python

betalt_pris = 3703000
vekstfaktor = 1.15
prisantydning = betalt_pris / vekstfaktor
print("Betalt pris:", betalt_pris)
print("Vekstfaktor:", vekstfaktor)
print("Prisantydning:", prisantydning)

Output

Betalt pris: 3703000
Vekstfaktor: 1.15
Prisantydning: 3220000.0

Fasit: Prisantydningen var 3 220 000 kroner.

Del 2 · Oppgave 3 · 2 poengRenter og eksponentiell vekst

Oppgave 3

Oppgave:

For 20 år siden arvet Ida penger. Hun satte alle pengene inn på en ny bankkonto. Hun har fått en fast rente på 4,25 % per år. I dag har hun 1 724 180 kroner på kontoen. Hvor mye penger arvet Ida?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner sluttverdien og skal finne startverdien før 20 år med rente.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

\[1+0{,}0425=1{,}0425\]

Steg 2 — Sett opp modellen

Hvis Ida arvet \(K\) kroner, er

\[K\cdot 1{,}0425^{20}=1724180\]

Steg 3 — Løs for \(K\)

\[K=\dfrac{1724180}{1{,}0425^{20}}\approx 750000\]

Vanlig feil: Å dele på \(20\cdot 4{,}25\,\%\). Rente legges til med rentes rente, altså eksponentielt.

Python

sluttverdi = 1724180
rente = 0.0425
antall_aar = 20
vekstfaktor = 1 + rente
arv = sluttverdi / vekstfaktor**antall_aar
print("Sluttverdi:", sluttverdi)
print("Vekstfaktor:", vekstfaktor)
print("Antall år:", antall_aar)
print("Arv:", arv)
print("Avrundet arv:", round(arv))

Output

Sluttverdi: 1724180
Vekstfaktor: 1.0425
Antall år: 20
Arv: 750000.1153345506
Avrundet arv: 750000

Fasit: Ida arvet omtrent 750 000 kroner.

Del 2 · Oppgave 4 · 2 poengGraf og praktisk tolkning

Oppgave 4

Oppgave:

Grafen viser avstand \(y\) som funksjon av tid \(x\). Beskriv en praktisk situasjon som passer med grafen ovenfor.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive hva grafens form kan bety i virkeligheten.

Steg 1 — Første stigende del

Avstanden øker. Personen beveger seg bort fra startstedet.

Steg 2 — Horisontal del

Avstanden er konstant. Personen står stille eller holder seg på samme avstand fra startstedet.

Steg 3 — Synkende del

Avstanden minker. Personen beveger seg tilbake mot startstedet.

Praktisk situasjon

En elev går hjemmefra til butikken, står en stund utenfor butikken, og går deretter tilbake mot hjemmet.

Vanlig feil: Å si at grafen viser at farten først går opp og så ned. Aksen viser avstand, ikke fart.

Fasit: En mulig situasjon: En person går bort fra et startsted, stopper en stund, og går deretter tilbake mot startstedet.

Del 2 · Oppgave 5 · 4 poengHistogram og gjennomsnitt

Oppgave 5

Oppgave:

Ved en skole kom alle elevene som hadde valgt 2P, opp til skriftlig eksamen. Histogrammet viser poengfordelingen. a) Vis at det til sammen var 230 elever i 2P-gruppene. b) Bestem gjennomsnittlig poengsum for elevene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal hente frekvenser fra histogrammet ved å bruke klassebredde ganger høyde.

Arealene gir frekvensene: \([0,10):10\), \([10,40):180\), \([40,60):40\).

Steg 1 — Finn frekvensene

Poengintervall	Klassebredde	Høyde	Frekvens
\([0,10)\)	10	1	10
\([10,40)\)	30	6	180
\([40,60)\)	20	2	40

Steg 2 — Totalt antall elever

\[10+180+40=230\]

Steg 3 — Bruk klassemidtpunkter

Klassemidtpunktene er 5, 25 og 50.

\[\bar{x}=\dfrac{10\cdot 5+180\cdot 25+40\cdot 50}{230}\]

\[\bar{x}\approx 28{,}5\]

Tolkning

Gjennomsnittlig poengsum er omtrent 28,5 poeng. Dette er et anslag, siden dataene er grupperte.

Vanlig feil: Å bruke søylehøydene 1, 6 og 2 som frekvenser. I histogram er det arealet av søylen som gir frekvensen.

Python

intervaller = [(0, 10), (10, 40), (40, 60)]
hoyder = [1, 6, 2]
frekvenser = []
midtpunkt = []
print("Intervall | Bredde | Høyde | Frekvens | Midtpunkt")
for (a, b), h in zip(intervaller, hoyder):
    bredde = b - a
    f = bredde * h
    m = (a + b) / 2
    frekvenser.append(f)
    midtpunkt.append(m)
    print(f"[{a},{b}) | {bredde:6d} | {h:5d} | {f:8d} | {m:8.1f}")
total = sum(frekvenser)
gjennomsnitt = sum(f*m for f, m in zip(frekvenser, midtpunkt)) / total
print("Totalt antall elever:", total)
print("Gjennomsnittlig poengsum:", gjennomsnitt)

Output

Intervall | Bredde | Høyde | Frekvens | Midtpunkt
[0,10) |     10 |     1 |       10 |      5.0
[10,40) |     30 |     6 |      180 |     25.0
[40,60) |     20 |     2 |       40 |     50.0
Totalt antall elever: 230
Gjennomsnittlig poengsum: 28.47826086956522

Fasit: Det var 230 elever. Gjennomsnittlig poengsum var omtrent \(28{,}5\) poeng.

Del 2 · Oppgave 6 · 4 poengLineær modell

Oppgave 6

Oppgave:

Temperaturen blir lavere jo høyere over havet vi kommer. Spiterstulen ligger 1 106 m over havet. Toppen av Galdhøpiggen ligger 2 469 m over havet. En dag er temperaturen på Spiterstulen 12,0 °C. Vi antar at temperaturen \(T(x)\) °C, \(x\) meter over Spiterstulen denne dagen er gitt ved \[T(x)=-0{,}0065x+12,\quad 0\le x\le 1400\] a) Hvor høyt over Spiterstulen vil du være når temperaturen er 5 °C denne dagen? b) Bestem temperaturen på toppen av Galdhøpiggen denne dagen. c) Hvor mange grader synker temperaturen med per 100 m stigning denne dagen?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke en lineær temperaturmodell og tolke stigningstallet.

Steg 1 — Finn høyden når temperaturen er 5 °C

\[-0{,}0065x+12=5\]

\[0{,}0065x=7\]

\[x\approx 1076{,}9\]

Dette er omtrent 1077 m over Spiterstulen.

Steg 2 — Finn høydeforskjellen til Galdhøpiggen

\[2469-1106=1363\]

Steg 3 — Temperaturen på toppen

\[T(1363)=-0{,}0065\cdot 1363+12\approx 3{,}14\]

Steg 4 — Temperaturfall per 100 m

Stigningstallet \(-0{,}0065\) betyr 0,0065 °C lavere per meter. Per 100 meter blir det

\[0{,}0065\cdot 100=0{,}65\]

Vanlig feil: Å sette \(x=2469\) i modellen. \(x\) er meter over Spiterstulen, ikke meter over havet.

GeoGebra · CAS

Løs(-0.0065x+12=5)

→ \(x\approx 1076{,}9\)

T(2469-1106)

→ \(3{,}14\)

0.0065*100

→ \(0{,}65\)

Python

from sympy import symbols, solve
x = symbols("x")
T = -0.0065*x + 12
hoyde_over_spiterstulen = solve(T - 5, x)[0]
hoydeforskjell = 2469 - 1106
temperatur_topp = T.subs(x, hoydeforskjell)
fall_per_100m = 0.0065 * 100
print("Høyde over Spiterstulen når T = 5:", hoyde_over_spiterstulen)
print("Høydeforskjell til Galdhøpiggen:", hoydeforskjell)
print("Temperatur på toppen:", temperatur_topp)
print("Temperaturfall per 100 m:", fall_per_100m)

Output

Høyde over Spiterstulen når T = 5: 1076.92307692308
Høydeforskjell til Galdhøpiggen: 1363
Temperatur på toppen: 3.14050000000000
Temperaturfall per 100 m: 0.65

Fasit: a) Omtrent 1077 m over Spiterstulen. b) Omtrent 3,1 °C. c) Temperaturen synker med 0,65 °C per 100 m.

Del 2 · Oppgave 7 · 5 poengRegresjon og funksjonsvurdering

Oppgave 7

Oppgave:

Tabellen viser hvor høy Per var 0, 1, 3, 6 og 12 år etter fødselen.

Alder (år)	0	1	3	6	12
Høyde (cm)	52	76	97	118	148

a) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en tredjegradsfunksjon \(f\) som tilnærmet viser høyden til Per de første 12 leveårene. Espen er 12 år. Funksjonen \(g\) gitt ved \[g(x)=0{,}13x^3-2{,}8x^2+23x+52\] viser høyden hans \(g(x)\) cm, \(x\) år etter fødselen. b) Bestem Espens gjennomsnittlige vekstfart fra han var 7 år, til han ble 12 år. c) Ta utgangspunkt i sitatet om at gutter har maksimal høydevekst på ca. 10 cm per år midt i puberteten, og vurder om funksjonen \(g\) kan brukes til å bestemme høyden til Espen etter at han har fylt 12 år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre tredjegradsregresjon, finne gjennomsnittlig vekstfart og vurdere om modellen kan brukes utenfor datagrunnlaget.

Steg 1 — Regresjon for Per

Med tredjegradsregresjon får vi omtrent

\[f(x)=0{,}117x^3-2{,}565x^2+21{,}817x+53{,}563\]

Modellen er en tilnærming basert på tabellverdiene.

Steg 2 — Gjennomsnittlig vekstfart for Espen

\[g(7)=120{,}39\]

\[g(12)=149{,}44\]

\[\dfrac{g(12)-g(7)}{12-7}=\dfrac{149{,}44-120{,}39}{5}=5{,}81\]

Steg 3 — Vurder modellen etter 12 år

Regner vi videre, gir modellen stadig økende vekst etter 12 år. For eksempel er

\[g'(12)\approx 11{,}96\]

\[g'(14)\approx 21{,}04\]

Dette passer dårlig med sitatet, som sier at vekstfarten etter hvert avtar ned mot null.

Tolkning

Modellen kan brukes til å beskrive dataene i området den er laget for, men er ikke egnet til sikre høydeprognoser etter at Espen har fylt 12 år.

Vanlig feil: Å bruke modellen langt utenfor området uten å vurdere om resultatene er realistiske.

GeoGebra · CAS

RegPoly({(0,52),(1,76),(3,97),(6,118),(12,148)},3)

→ \(0{,}117x^3-2{,}565x^2+21{,}817x+53{,}563\)

(g(12)-g(7))/(12-7)

→ \(5{,}81\)

Derivert(g,12)

→ \(11{,}96\)

Derivert(g,14)

→ \(21{,}04\)

Python

import numpy as np
from sympy import symbols, diff
alder = np.array([0, 1, 3, 6, 12], dtype=float)
hoyde = np.array([52, 76, 97, 118, 148], dtype=float)
koeff = np.polyfit(alder, hoyde, 3)
print("Regresjonskoeffisienter a, b, c, d:")
print(koeff)
x = symbols("x")
g = 0.13*x**3 - 2.8*x**2 + 23*x + 52
print("g(7) =", g.subs(x, 7))
print("g(12) =", g.subs(x, 12))
print("Gjennomsnittlig vekstfart:", (g.subs(x, 12) - g.subs(x, 7)) / 5)
print("g'(12) =", diff(g, x).subs(x, 12))
print("g'(14) =", diff(g, x).subs(x, 14))

Output

Regresjonskoeffisienter a, b, c, d:
[ 0.11694291 -2.56524599 21.81689029 53.56274665]
g(7) = 120.390000000000
g(12) = 149.440000000000
Gjennomsnittlig vekstfart: 5.81000000000000
g'(12) = 11.9600000000000
g'(14) = 21.0400000000000

Fasit: En mulig regresjonsmodell er \(f(x)\approx 0{,}117x^3-2{,}565x^2+21{,}817x+53{,}563\). Espens gjennomsnittlige vekstfart fra 7 til 12 år er ca. \(5{,}81\) cm per år. \(g\) bør ikke brukes ukritisk etter 12 år, fordi vekstfarten i modellen øker videre i stedet for å avta.

Del 2 · Oppgave 8 · 4 poengGjennomsnitt, median og standardavvik

Oppgave 8

Oppgave:

Tabellene viser hvor mange mål Liverpool FC og Newcastle United FC skåret per kamp i sesongen 2015-2016.

Liverpool FC: antall mål per kamp	Frekvens
0	8
1	14
2	7
3	4
4	3
5	1
6	1

Newcastle United FC: antall mål per kamp	Frekvens
0	14
1	13
2	7
3	2
4	0
5	1
6	1

a) Bestem gjennomsnittet og medianen for antall skårede mål per kamp for begge klubbene. b) Bestem standardavviket for antall skårede mål per kamp for begge klubbene. Hva forteller dette oss?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne to fordelinger ved hjelp av gjennomsnitt, median og standardavvik.

Steg 1 — Gjennomsnitt

Liverpool:

\[\bar{x}\approx 1{,}66\]

Newcastle:

\[\bar{x}\approx 1{,}16\]

Steg 2 — Median

Begge lag har 38 kamper. Medianen er gjennomsnittet av observasjon nummer 19 og 20 i sortert liste. For begge lag blir medianen 1.

Steg 3 — Standardavvik

Med digitalt verktøy får vi omtrent

\[s_{ ext{Liverpool}}\approx 1{,}47\]

\[s_{ ext{Newcastle}}\approx 1{,}35\]

Tolkning

Liverpool skåret i gjennomsnitt flere mål per kamp. Standardavvikene er nokså like, men Liverpool hadde litt større spredning i antall mål.

Vanlig feil: Å regne gjennomsnitt av måltallene 0, 1, 2, 3, 4, 5 og 6 uten å bruke frekvensene.

Python

import statistics
liverpool_frekvenser = {0: 8, 1: 14, 2: 7, 3: 4, 4: 3, 5: 1, 6: 1}
newcastle_frekvenser = {0: 14, 1: 13, 2: 7, 3: 2, 4: 0, 5: 1, 6: 1}
def lag_liste(frekvenser):
    data = []
    for maal, frekvens in frekvenser.items():
        data.extend([maal] * frekvens)
    return sorted(data)
for navn, frekvenser in [("Liverpool", liverpool_frekvenser), ("Newcastle", newcastle_frekvenser)]:
    data = lag_liste(frekvenser)
    print(navn)
    print("Antall kamper:", len(data))
    print("Gjennomsnitt:", sum(data) / len(data))
    print("Median:", statistics.median(data))
    print("Standardavvik, populasjon:", statistics.pstdev(data))
    print("Standardavvik, utvalg:", statistics.stdev(data))

Output

Liverpool
Antall kamper: 38
Gjennomsnitt: 1.6578947368421053
Median: 1.0
Standardavvik, populasjon: 1.4739191542042576
Standardavvik, utvalg: 1.4937041892009326
Newcastle
Antall kamper: 38
Gjennomsnitt: 1.1578947368421053
Median: 1.0
Standardavvik, populasjon: 1.3480261552490207
Standardavvik, utvalg: 1.366121275718796

Fasit: Liverpool: gjennomsnitt ca. \(1{,}66\), median 1, standardavvik ca. \(1{,}47\). Newcastle: gjennomsnitt ca. \(1{,}16\), median 1, standardavvik ca. \(1{,}35\). Liverpool skåret flere mål i gjennomsnitt og hadde litt større spredning.

Del 2 · Oppgave 9 · 5 poengRegneark og rente

Oppgave 9

Oppgave:

Elise og Ådne opprettet hver sin bankkonto 1. januar 2017. Elise satte inn 20 000 kroner. Ådne satte inn 25 000 kroner. Begge får en rente på 2,75 % per år, og begge lar pengene stå urørt. a) Lag et regneark som gir en oversikt over hvor mye Elise og Ådne vil ha i banken hvert år fram til og med 31. desember 2036. b) Hvor mange år vil det gå før de til sammen har mer enn 70 000 kroner i banken? c) Hvor mye vil Elise og Ådne til sammen få i renter disse 20 årene?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en regnearkmodell med årlig rente og bruke den til å finne når samlet saldo passerer 70 000 kroner.

Steg 1 — Vekstfaktor

Rente 2,75 % gir vekstfaktor

\[1+0{,}0275=1{,}0275\]

Steg 2 — Regnearkoppsett

A	B	C	D
År	Elise	Ådne	Sum
2017	20000	25000	`=B2+C2`
2018	`=B2*1,0275`	`=C2*1,0275`	`=B3+C3`

Formlene kopieres ned til 2036.

Steg 3 — Når passerer summen 70 000 kroner?

Samlet startbeløp er 45 000 kroner, så vi undersøker

\[45000\cdot 1{,}0275^n>70000\]

Digital beregning viser at dette skjer etter 17 år.

Steg 4 — Renter i 20 år

Etter 20 år har de til sammen

\[45000\cdot 1{,}0275^{20}\approx 77419\]

Renten de har fått er derfor

\[77419-45000\approx 32419\]

Vanlig feil: Å legge til samme rentebeløp hvert år. Renten regnes av ny saldo, så dette er rentes rente.

Python

rente = 0.0275
vekstfaktor = 1 + rente
elise = 20000
adne = 25000
print("År | Elise | Ådne | Sum")
for aar in range(0, 21):
    saldo_elise = elise * vekstfaktor**aar
    saldo_adne = adne * vekstfaktor**aar
    total = saldo_elise + saldo_adne
    print(f"{2017 + aar:4d} | {saldo_elise:10.2f} | {saldo_adne:10.2f} | {total:10.2f}")
print("---")
for aar in range(0, 21):
    total = (elise + adne) * vekstfaktor**aar
    if total > 70000:
        print("Første år med mer enn 70 000 kr samlet:", aar, "år etter 2017")
        print("Samlet beløp:", total)
        break
etter_20 = (elise + adne) * vekstfaktor**20
renter = etter_20 - (elise + adne)
print("Samlet beløp etter 20 år:", etter_20)
print("Samlet rente etter 20 år:", renter)

Output

År | Elise | Ådne | Sum
2017 |   20000.00 |   25000.00 |   45000.00
2018 |   20550.00 |   25687.50 |   46237.50
2019 |   21115.13 |   26393.91 |   47509.03
2020 |   21695.79 |   27119.74 |   48815.53
2021 |   22292.43 |   27865.53 |   50157.96
2022 |   22905.47 |   28631.83 |   51537.30
2023 |   23535.37 |   29419.21 |   52954.58
2024 |   24182.59 |   30228.24 |   54410.83
2025 |   24847.61 |   31059.51 |   55907.12
2026 |   25530.92 |   31913.65 |   57444.57
2027 |   26233.02 |   32791.28 |   59024.30
2028 |   26954.43 |   33693.04 |   60647.46
2029 |   27695.68 |   34619.59 |   62315.27
2030 |   28457.31 |   35571.63 |   64028.94
2031 |   29239.88 |   36549.85 |   65789.74
2032 |   30043.98 |   37554.97 |   67598.95
2033 |   30870.19 |   38587.74 |   69457.92
2034 |   31719.12 |   39648.90 |   71368.02
2035 |   32591.39 |   40739.24 |   73330.64
2036 |   33487.66 |   41859.57 |   75347.23
2037 |   34408.57 |   43010.71 |   77419.28
---
Første år med mer enn 70 000 kr samlet: 17 år etter 2017
Samlet beløp: 71368.01753933998
Samlet beløp etter 20 år: 77419.27940786768
Samlet rente etter 20 år: 32419.27940786768

Fasit: a) Regnearkmodellen bruker vekstfaktor \(1{,}0275\). b) Det går 17 år før de har mer enn 70 000 kroner samlet. c) De får omtrent 32 419 kroner i renter i løpet av 20 år.

Matematikk 2P eksamen – vår 2017

Matematikk 2P Vår 2017 (K06) – komplett løsningsforslag

Del 1 — uten hjelpemidler

Oppgave 1

Steg 1 — Finn totalt antall søsken

Steg 2 — Finn gjennomsnittet

Steg 3 — Finn medianen

Steg 4 — Finn typetall og variasjonsbredde

Python

Oppgave 2

Steg 1 — Skriv som brøk

Steg 2 — Gjør om til prosent

Tolkning

Python

Oppgave 3

Steg 1 — Regn hver faktor

Steg 2 — Bruk regelen for potens av potens

Steg 3 — Multipliser

Python

Oppgave 4

Steg 1 — Gjør om til samme enhet

Steg 2 — Finn andelen

Steg 3 — Multipliser med antall molekyler

Python

Oppgave 5

Steg 1 — Pers modell

Steg 2 — Karis modell

Steg 3 — Velg graf

Python

Oppgave 6

Steg 1 — Fyll ut frekvensene

Steg 2 — Fullfør tabellen

Steg 3 — Finn gjennomsnittlig poengsum

Steg 4 — Median for det andre året

Python

Oppgave 7

Steg 1 — Tell de første figurene

Steg 2 — Figur 4

Steg 3 — Uttrykk for antall pinner

Steg 4 — Uttrykk for omkrets

Steg 5 — Bruk omkretsen 105 cm

Python

Del 2 — med hjelpemidler

Oppgave 1

Steg 1 — Graftegner

Steg 2 — Kontroller verdiene i b)

Steg 3 — Finn høyeste og laveste vannstand

Steg 4 — Momentan vekstfart kl. 07.00

Python

Oppgave 2

Steg 1 — Tolk prosentøkningen

Steg 2 — Sett opp likning

Steg 3 — Løs

Python

Oppgave 3

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

Steg 2 — Sett opp modellen

Steg 3 — Løs for \(K\)

Python

Oppgave 4

Steg 1 — Første stigende del

Steg 2 — Horisontal del

Steg 3 — Synkende del

Praktisk situasjon

Oppgave 5

Steg 1 — Finn frekvensene

Steg 2 — Totalt antall elever

Steg 3 — Bruk klassemidtpunkter

Tolkning

Python

Oppgave 6

Steg 1 — Finn høyden når temperaturen er 5 °C

Steg 2 — Finn høydeforskjellen til Galdhøpiggen

Steg 3 — Temperaturen på toppen

Steg 4 — Temperaturfall per 100 m

Python

Oppgave 7

Steg 1 — Regresjon for Per

Steg 2 — Gjennomsnittlig vekstfart for Espen

Steg 3 — Vurder modellen etter 12 år