ifingo - Matematikk 2P

Matematikk 2P eksamen Vår 2016 (K06) - løsningsforslag

Komplett løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst med håndregning. Del 2 viser digitale metoder med regneark, GeoGebra CAS og Python-kontroll. Python-boksene har nøytral terminalstil og viser realistisk output.

Del 1 - uten hjelpemidler

Del 1 - Oppgave 1Statistikk

Oppgave 1

Oppgave:

(3 poeng) Guro målte temperaturen utenfor hytta de seks første dagene i mars.

Dato	01.03	02.03	03.03	04.03	05.03	06.03
Temperatur	\(2\ ^\circ\text{C}\)	\(0\ ^\circ\text{C}\)	\(-4\ ^\circ\text{C}\)	\(-6\ ^\circ\text{C}\)	\(2\ ^\circ\text{C}\)	\(6\ ^\circ\text{C}\)

Bestem variasjonsbredden, gjennomsnittet og medianen for temperaturmålingene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne variasjonsbredde, gjennomsnitt og median.

Steg 1 - Variasjonsbredde

Laveste temperatur er \(-6\ ^\circ\text{C}\), og høyeste er \(6\ ^\circ\text{C}\).

\[6-\left(-6\right)=12\]

Steg 2 - Gjennomsnitt

\[\dfrac{2+0+\left(-4\right)+\left(-6\right)+2+6}{6}=0\]

Steg 3 - Median

Sortert liste er \(-6,-4,0,2,2,6\). Medianen blir

\[\dfrac{0+2}{2}=1\]

Tolkning

Temperaturene varierte med \(12\ ^\circ\text{C}\), men gjennomsnittet var \(0\ ^\circ\text{C}\).

Vanlig feil: Medianen må finnes etter at tallene er sortert.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra - CAS

Maks({2,0,-4,-6,2,6})-Min({2,0,-4,-6,2,6})

-> \(12\)

Gjennomsnitt({2,0,-4,-6,2,6})

-> \(0\)

Median({2,0,-4,-6,2,6})

-> \(1\)

Python

temperaturer = [2, 0, -4, -6, 2, 6]
sortert = sorted(temperaturer)
variasjonsbredde = max(temperaturer) - min(temperaturer)
gjennomsnitt = sum(temperaturer) / len(temperaturer)
median = (sortert[2] + sortert[3]) / 2

print("Sorterte temperaturer:", sortert)
print("Variasjonsbredde:", variasjonsbredde)
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)
print("Median:", median)

Output

Sorterte temperaturer: [-6, -4, 0, 2, 2, 6]
Variasjonsbredde: 12
Gjennomsnitt: 0.0
Median: 1.0

Fasit: Variasjonsbredden er \(12\ ^\circ\text{C}\), gjennomsnittet er \(0\ ^\circ\text{C}\), og medianen er \(1\ ^\circ\text{C}\).

Del 1 - Oppgave 2Standardform

Oppgave 2

Oppgave:

(2 poeng) Det er ca. 7,5 milliarder mennesker på jorda. Anta at hvert menneske trenger 2 L drikkevann hver dag. Omtrent hvor mange liter drikkevann vil da alle menneskene på jorda til sammen trenge hver måned? Skriv svaret på standardform.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre et overslag og skrive svaret på standardform.

Steg 1 - Per dag

\[7,5\cdot10^9\cdot2=15\cdot10^9=1,5\cdot10^{10}\]

Steg 2 - Per måned

Vi bruker omtrent 30 dager:

\[1,5\cdot10^{10}\cdot30=45\cdot10^{10}=4,5\cdot10^{11}\]

Tolkning

Dette er et overslag, fordi både folketallet og antall dager i en måned er avrundet.

Vanlig feil: Standardform krever at tallet foran tierpotensen er minst 1 og mindre enn 10.

Kontroll

GeoGebra - CAS

7.5*10^9*2*30

-> \(4,5\cdot10^{11}\)

Python

mennesker = 7.5 * 10**9
liter_per_person_per_dag = 2
dager = 30

liter = mennesker * liter_per_person_per_dag * dager
print("Liter per måned:", liter)
print("Standardform: {:.2e}".format(liter))

Output

Liter per måned: 450000000000.0
Standardform: 4.50e+11

Fasit: Omtrent \(4,5\cdot10^{11}\) liter.

Del 1 - Oppgave 3Prosent

Oppgave 3

Oppgave:

(2 poeng) I butikk A koster en vare 150 kroner. I butikk B koster den samme varen 120 kroner.

a) Hvor mange prosent høyere er prisen i butikk A sammenliknet med prisen i butikk B?

b) Hvor mange prosent lavere er prisen i butikk B sammenliknet med prisen i butikk A?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Samme kroneforskjell skal vurderes med to ulike grunnlag.

Steg 1 - Prisforskjell

\[150-120=30\]

Steg 2 - A sammenliknet med B

\[\dfrac{30}{120}\cdot100\ \%=25\ \%\]

Steg 3 - B sammenliknet med A

\[\dfrac{30}{150}\cdot100\ \%=20\ \%\]

Tolkning

Prosenttallene blir ulike fordi grunnlaget er ulikt.

Vanlig feil: Å bruke samme grunnlag i begge deloppgaver.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

(150-120)/120*100

-> \(25\)

(150-120)/150*100

-> \(20\)

Python

pris_A = 150
pris_B = 120
forskjell = pris_A - pris_B

print("A høyere enn B:", forskjell / pris_B * 100, "%")
print("B lavere enn A:", forskjell / pris_A * 100, "%")

Output

A høyere enn B: 25.0 %
B lavere enn A: 20.0 %

Fasit: a) \(25\ \%\). b) \(20\ \%\).

Del 1 - Oppgave 4Merverdiavgift

Oppgave 4

Oppgave:

(1 poeng) Merverdiavgiften på klær er 25 %. En jakke koster 750 kroner med merverdiavgift. Hvor mange kroner betaler vi i merverdiavgift dersom vi kjøper denne jakken?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne avgiftsdelen av en pris der avgiften allerede er inkludert.

Steg 1 - Totalprisen er 125 %

Når merverdiavgiften er 25 %, består totalprisen av 100 % varepris og 25 % avgift.

Steg 2 - Avgiftsdelen

\[750\cdot\dfrac{25}{125}=150\]

Tolkning

Av de 750 kronene er 150 kroner merverdiavgift.

Vanlig feil: Å ta 25 % av 750. Det gir for høyt svar.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

750*25/125

-> \(150\)

Python

pris_med_mva = 750
mva = pris_med_mva * 25 / 125
print("Merverdiavgift:", mva, "kr")

Output

Merverdiavgift: 150.0 kr

Fasit: Merverdiavgiften er 150 kroner.

Del 1 - Oppgave 5Histogram og gruppert statistikk

Oppgave 5

Oppgave:

(5 poeng) Tabellen viser aldersfordelingen for de 200 personene i blokk Z.

Alder	Frekvens
\([0,10)\)	40
\([10,20)\)	20
\([20,30)\)	60
\([30,50)\)	20
\([50,60)\)	20
\([60,80)\)	40
Sum	200

a) Lag et histogram. b) Bestem gjennomsnittsalderen. c) Aurora er 32 år og påstår at hennes alder er lavere enn medianalderen. Vurder påstanden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal håndtere grupperte data med ulike klassebredder.

Steg 1 - Histogram

Søylehøyden er frekvens delt på klassebredde.

Intervall	Frekvens	Bredde	Høyde
\([0,10)\)	40	10	4
\([10,20)\)	20	10	2
\([20,30)\)	60	10	6
\([30,50)\)	20	20	1
\([50,60)\)	20	10	2
\([60,80)\)	40	20	2

Steg 2 - Gjennomsnitt

Vi bruker klassemidtpunktene \(5,15,25,40,55,70\).

\[\bar x=\dfrac{5\cdot40+15\cdot20+25\cdot60+40\cdot20+55\cdot20+70\cdot40}{200}=33,5\]

Steg 3 - Median

Kumulativ frekvens er \(40,60,120,140,160,200\). Person nr. 100 og 101 ligger i intervallet \([20,30)\).

Tolkning

Medianen er under 30 år. Aurora er 32 år, så hun er ikke lavere enn medianalderen.

Vanlig feil: Å bruke frekvens som histogramhøyde når klassene har ulik bredde.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

(5*40+15*20+25*60+40*20+55*20+70*40)/200

-> \(33,5\)

40+20+60

-> \(120\)

Python

klasser = [(0, 10, 40), (10, 20, 20), (20, 30, 60),
           (30, 50, 20), (50, 60, 20), (60, 80, 40)]

sum_vektet = 0
antall = 0
print("Intervall | Frekvens | Bredde | Histogramhøyde")
for nedre, ovre, frekvens in klasser:
    bredde = ovre - nedre
    hoyde = frekvens / bredde
    midtpunkt = (nedre + ovre) / 2
    sum_vektet += midtpunkt * frekvens
    antall += frekvens
    print(f"[{nedre}, {ovre}) | {frekvens:8d} | {bredde:6d} | {hoyde:15.2f}")

print("Gjennomsnitt:", sum_vektet / antall)

Output

Intervall | Frekvens | Bredde | Histogramhøyde
[0, 10) |       40 |     10 |            4.00
[10, 20) |       20 |     10 |            2.00
[20, 30) |       60 |     10 |            6.00
[30, 50) |       20 |     20 |            1.00
[50, 60) |       20 |     10 |            2.00
[60, 80) |       40 |     20 |            2.00
Gjennomsnitt: 33.5

Fasit: Histogramhøyder: 4, 2, 6, 1, 2 og 2. Gjennomsnittet er ca. \(33,5\) år. Auroras påstand er ikke riktig.

Del 1 - Oppgave 6Lineær modell

Oppgave 6

Oppgave:

(4 poeng) Marte har fast grunnlønn per time og et fast beløp per produkt hun selger. En time solgte hun 2 produkter og tjente 170 kroner. Neste time solgte hun 4 produkter og tjente 220 kroner.

a) Lag en grafisk framstilling. b) Bestem grunnlønn og beløp per produkt. c) Hvor mange produkter må hun selge for å tjene 370 kroner?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær modell.

Steg 1 - Punkter

Punktene er \((2,170)\) og \((4,220)\).

Steg 2 - Stigningstall

\[a=\dfrac{220-170}{4-2}=25\]

Hun får 25 kroner per produkt.

Steg 3 - Grunnlønn

\[170=25\cdot2+b\]

\[b=120\]

Steg 4 - 370 kroner

\[370=25x+120\]

\[x=10\]

Tolkning

Modellen er \(y=25x+120\).

Vanlig feil: Å tro at 170 kroner er grunnlønnen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Linje((2,170),(4,220))

-> \(y=25x+120\)

Løs(25x+120=370)

-> \(x=10\)

Python

from sympy import symbols, Eq, solve

x = symbols("x")
stigningstall = (220 - 170) / (4 - 2)
grunnlonn = 170 - stigningstall * 2
losning = solve(Eq(stigningstall*x + grunnlonn, 370), x)

print("Stigningstall:", stigningstall)
print("Grunnlønn:", grunnlonn)
print("Modell: y =", stigningstall, "* x +", grunnlonn)
print("Antall produkter:", losning[0])

Output

Stigningstall: 25.0
Grunnlønn: 120.0
Modell: y = 25.0 * x + 120.0
Antall produkter: 10.0000000000000

Fasit: Grunnlønn 120 kroner, 25 kroner per produkt, og 10 produkter for 370 kroner.

Del 1 - Oppgave 7Eksponentiell vekst

Oppgave 7

Oppgave:

(2 poeng) a) Forklar hva det vil si at en størrelse øker eksponentielt. b) Tre grafer er gitt. Hvilken eller hvilke illustrerer eksponentiell vekst? Begrunn svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare begrepet og kjenne igjen grafen.

Steg 1 - Definisjon

Eksponentiell vekst betyr at størrelsen multipliseres med samme vekstfaktor i like lange tidsrom. En modell er

\[f(x)=a\cdot b^x\]

der \(b>1\).

Steg 2 - Grafisk kjennetegn

Grafen øker sakte først og deretter raskere. Den er ikke rett.

Steg 3 - Valg av graf

Graf A passer med eksponentiell vekst. Graf B er lineær. Graf C viser ikke vekst.

Vanlig feil: Å velge en rett linje bare fordi den stiger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

f(x):=2*1.3^x

-> \(f(x)=2\cdot1,3^x\)

f(5)/f(4)

-> \(1,3\)

Python

def f(x):
    return 2 * 1.3**x

for x in range(0, 6):
    print(f"x = {x}, f(x) = {f(x):.3f}")
print("Fast vekstfaktor:", f(5) / f(4))

Output

x = 0, f(x) = 2.000
x = 1, f(x) = 2.600
x = 2, f(x) = 3.380
x = 3, f(x) = 4.394
x = 4, f(x) = 5.712
x = 5, f(x) = 7.426
Fast vekstfaktor: 1.3

Fasit: a) Fast vekstfaktor i like tidsrom. b) Graf A.

Del 1 - Oppgave 8Standardform

Oppgave 8

Oppgave:

(2 poeng) Sorter tallene i stigende rekkefølge: \(0,046\cdot10^{11}\), \(\dfrac{46}{1000000}\), \(46\cdot10^{-7}\), 4600000, \(4,6\cdot10^8\), \(0,46\cdot10^{-6}\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne tall skrevet på ulike former.

Steg 1 - Skriv om

\[0,46\cdot10^{-6}=4,6\cdot10^{-7}\]

\[46\cdot10^{-7}=4,6\cdot10^{-6}\]

\[\dfrac{46}{1000000}=4,6\cdot10^{-5}\]

\[4600000=4,6\cdot10^6\]

\[4,6\cdot10^8=4,6\cdot10^8\]

\[0,046\cdot10^{11}=4,6\cdot10^9\]

Steg 2 - Sorter

\[0,46\cdot10^{-6}<46\cdot10^{-7}<\dfrac{46}{1000000}<4600000<4,6\cdot10^8<0,046\cdot10^{11}\]

Vanlig feil: Å overse tierpotensen i \(0,046\cdot10^{11}\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Sorter({0.46*10^(-6),46*10^(-7),46/1000000,4600000,4.6*10^8,0.046*10^11})

-> \(4,6\cdot10^{-7},...,4,6\cdot10^9\)

Python

tall = {
    "0,046*10^11": 0.046 * 10**11,
    "46/1000000": 46 / 1000000,
    "46*10^(-7)": 46 * 10**(-7),
    "4600000": 4600000,
    "4,6*10^8": 4.6 * 10**8,
    "0,46*10^(-6)": 0.46 * 10**(-6),
}

for navn, verdi in sorted(tall.items(), key=lambda par: par[1]):
    print(f"{navn:15s} = {verdi:.10g}")

Output

0,46*10^(-6)  = 4.6e-07
46*10^(-7)     = 4.6e-06
46/1000000     = 4.6e-05
4600000         = 4600000
4,6*10^8        = 460000000
0,046*10^11     = 4600000000

Fasit: \(0,46\cdot10^{-6}\), \(46\cdot10^{-7}\), \(\dfrac{46}{1000000}\), 4600000, \(4,6\cdot10^8\), \(0,046\cdot10^{11}\).

Del 1 - Oppgave 9Frekvenstabell

Oppgave 9

Oppgave:

(3 poeng) Ole har undersøkt hvor mange land hver elev i en 2P-gruppe har besøkt. Fyll inn tallene som mangler.

Antall land	Frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens
\([1,6)\)	5
\([6,11)\)			15
\([11,16)\)	2	0,1
\([16,21)\)			19
\([21,26)\)			20

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sammenhengen mellom frekvens, relativ frekvens og kumulativ frekvens.

Steg 1 - Totalt antall elever

Frekvens 2 har relativ frekvens 0,1:

\[\dfrac{2}{N}=0,1\]

\[N=20\]

Steg 2 - Frekvenser

Andre rad: \(15-5=10\). Tredje kumulative frekvens: \(15+2=17\). Fjerde frekvens: \(19-17=2\). Femte frekvens: \(20-19=1\).

Steg 3 - Full tabell

Antall land	Frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens
\([1,6)\)	5	0,25	5
\([6,11)\)	10	0,50	15
\([11,16)\)	2	0,10	17
\([16,21)\)	2	0,10	19
\([21,26)\)	1	0,05	20

Vanlig feil: Kumulativ frekvens er en løpende sum, ikke en ny relativ frekvens.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

2/0.1

-> \(20\)

15-5

-> \(10\)

20-19

-> \(1\)

Python

total = 20
frekvenser = [5, 10, 2, 2, 1]
kumulativ = 0

print("Rad | Frekvens | Relativ frekvens | Kumulativ")
for rad, frekvens in enumerate(frekvenser, start=1):
    kumulativ += frekvens
    print(f"{rad:3d} | {frekvens:8d} | {frekvens/total:16.2f} | {kumulativ:9d}")

Output

Rad | Frekvens | Relativ frekvens | Kumulativ
  1 |        5 |             0.25 |         5
  2 |       10 |             0.50 |        15
  3 |        2 |             0.10 |        17
  4 |        2 |             0.10 |        19
  5 |        1 |             0.05 |        20

Fasit: Frekvenser: \(5,10,2,2,1\). Relative frekvenser: \(0,25,0,50,0,10,0,10,0,05\). Kumulative frekvenser: \(5,15,17,19,20\).

Del 2 - med hjelpemidler

Del 2 - Oppgave 1Regneark og sektordiagram

Oppgave 1

Oppgave:

(2 poeng) Ved en skole er det 440 elever. Elevene ble spurt om hvor ofte de bruker sykkelhjelm.

Svar	Antall
Alltid	88
Nesten alltid	176
Noen ganger	110
Aldri	22
Sykler ikke	44

Bruk regneark til å lage et sektordiagram der prosentene går klart fram.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne prosentandeler og lage sektordiagram.

Steg 1 - Prosentandelene

Svar	Antall	Prosent
Alltid	88	20 %
Nesten alltid	176	40 %
Noen ganger	110	25 %
Aldri	22	5 %
Sykler ikke	44	10 %

Steg 2 - Regneark

Bruk for eksempel =B2/SUMMER(B2:B6) og formater som prosent. Sett inn sektordiagram med prosentetiketter.

Tolkning

Den største sektoren er «Nesten alltid» med 40 %.

Vanlig feil: Å levere diagram uten prosentetiketter.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

88/440*100

-> \(20\)

176/440*100

-> \(40\)

44/440*100

-> \(10\)

Python

svar = ["Alltid", "Nesten alltid", "Noen ganger", "Aldri", "Sykler ikke"]
antall = [88, 176, 110, 22, 44]
total = sum(antall)

print("Svar              Antall   Prosent")
for navn, verdi in zip(svar, antall):
    print(f"{navn:15s} {verdi:6d} {verdi/total*100:8.1f} %")

Output

Svar              Antall   Prosent
Alltid              88     20.0 %
Nesten alltid      176     40.0 %
Noen ganger        110     25.0 %
Aldri               22      5.0 %
Sykler ikke         44     10.0 %

Fasit: Sektorene er 20 %, 40 %, 25 %, 5 % og 10 %.

Del 2 - Oppgave 2Standardavvik

Oppgave 2

Oppgave:

(3 poeng) Hans brukte disse minuttene på turene: 25 30 26 24 32 25 27 30 28 31 24 35 32 33.

a) Bestem gjennomsnitt og standardavvik. b) Grete har samme gjennomsnitt, men standardavvik 1,2. Sammenlikn.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne nivå og spredning.

Steg 1 - Gjennomsnitt

\[\bar x=\dfrac{402}{14}\approx28,7\]

Steg 2 - Standardavvik

Med hele datamaterialet som populasjon får vi omtrent

\[\sigma\approx3,5\]

Med utvalgsstandardavvik får vi omtrent \(3,6\). Regnearkmetoden må være tydelig.

Steg 3 - Sammenlikning

Grete har samme gjennomsnitt, men lavere standardavvik. Tidene hennes varierer derfor mindre.

Vanlig feil: Lavere standardavvik betyr ikke lavere gjennomsnitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

Gjennomsnitt({25,30,26,24,32,25,27,30,28,31,24,35,32,33})

-> \(28,714...\)

StandardavvikP({25,30,26,24,32,25,27,30,28,31,24,35,32,33})

-> \(3,49...\)

Python

import statistics

tider = [25, 30, 26, 24, 32, 25, 27, 30, 28, 31, 24, 35, 32, 33]
print("Antall turer:", len(tider))
print("Sum minutter:", sum(tider))
print("Gjennomsnitt:", round(statistics.mean(tider), 1))
print("Standardavvik, populasjon:", round(statistics.pstdev(tider), 1))
print("Standardavvik, utvalg:", round(statistics.stdev(tider), 1))

Output

Antall turer: 14
Sum minutter: 402
Gjennomsnitt: 28.7
Standardavvik, populasjon: 3.5
Standardavvik, utvalg: 3.6

Fasit: Gjennomsnitt ca. \(28,7\) minutter og standardavvik ca. \(3,5\) minutter. Gretes tider varierer mindre.

Del 2 - Oppgave 3Funksjon og graf

Oppgave 3

Oppgave:

(6 poeng) Funksjonen \(B\) gitt ved

\[B(x)=0,006x^4-0,33x^3+5,7x^2-32,1x+59,3\quad 5\le x\le23\]

viser solhøyden \(x\) timer etter midnatt. a) Tegn grafen. b) Finn høyeste solhøyde. c) Når var sola 20 grader over horisonten? d) Finn gjennomsnittlig stigning fra kl. 05.00 til 12.00.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke graftegner og tolke en polynommodell.

Steg 1 - Graftegner

GeoGebra: B(x)=Funksjon(0.006x^4-0.33x^3+5.7x^2-32.1x+59.3,5,23).

Steg 2 - Maksimum

Toppunktet ligger ved \(x\approx13,69\), og

\[B(13,69)\approx52,2\]

Steg 3 - 20 grader

Vi løser \(B(x)=20\) i intervallet og får

\[x\approx7,63\quad\text{eller}\quad x\approx19,67\]

Dette er omtrent kl. 07.38 og 19.40.

Steg 4 - Gjennomsnittlig stigning

\[\dfrac{B(12)-B(5)}{12-5}=\dfrac{49,076-3,8}{7}\approx6,47\]

Vanlig feil: Å bare finne ett tidspunkt for \(B(x)=20\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

B(x):=0.006x^4-0.33x^3+5.7x^2-32.1x+59.3

-> \(B\)

Ekstremalpunkt(B,5,23)

-> \((13,69,52,18)\)

Skjæring(B,y=20)

-> \(x\approx7,63\lor x\approx19,67\)

Python

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
B = 0.006*x**4 - 0.33*x**3 + 5.7*x**2 - 32.1*x + 59.3
kritiske = [r for r in sp.nroots(sp.diff(B, x)) if abs(sp.im(r)) < 1e-10]
rotter = [r for r in sp.nroots(B - 20) if abs(sp.im(r)) < 1e-10 and 5 <= float(sp.re(r)) <= 23]

print("Toppunkt i intervallet:")
for r in kritiske:
    xr = float(sp.re(r))
    if 5 <= xr <= 23:
        print(round(xr, 3), round(float(B.subs(x, xr)), 3))
print("B(x)=20:", [round(float(sp.re(r)), 3) for r in rotter])
print("Gjennomsnittlig stigning:", round(float((B.subs(x, 12)-B.subs(x, 5))/7), 3))

Output

Toppunkt i intervallet:
13.691 52.182
B(x)=20: [7.635, 19.67]
Gjennomsnittlig stigning: 6.468

Fasit: b) ca. \(52,2\) grader. c) ca. kl. 07.38 og 19.40. d) ca. \(6,5\) grader per time.

Del 2 - Oppgave 4Figurtall

Oppgave 4

Oppgave:

(6 poeng) Figurer lages av blå og hvite rektangler. Tabellen starter med figur 1: 1 hvit, 8 blå, 9 totalt. Figur 2 har 4 hvite. a) Fyll ut tabellen for figur 1, 2, 3, 4 og \(n\). b) Hvor mange hvite trengs ved 81 totalt? c) Hvor mange blå trengs ved 1296 totalt?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne mønsteret.

Steg 1 - Formler

Hvite rektangler: \(n^2\). Totalt: \(\left(n+2\right)^2\). Blå:

\[\left(n+2\right)^2-n^2=4n+4\]

Steg 2 - Tabell

Figur	Hvite	Blå	Totalt
1	1	8	9
2	4	12	16
3	9	16	25
4	16	20	36
\(n\)	\(n^2\)	\(4n+4\)	\(\left(n+2\right)^2\)

Steg 3 - 81 totalt

\[\left(n+2\right)^2=81\Rightarrow n=7\]

Hvite: \(7^2=49\).

Steg 4 - 1296 totalt

\[\left(n+2\right)^2=1296\Rightarrow n=34\]

Blå: \(4\cdot34+4=140\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

(7+2)^2

-> \(81\)

7^2

-> \(49\)

4*34+4

-> \(140\)

Python

for n in range(1, 5):
    hvite = n**2
    totalt = (n + 2)**2
    blaa = totalt - hvite
    print(n, hvite, blaa, totalt)

print("Hvite ved 81 totalt:", 7**2)
print("Blå ved 1296 totalt:", 4*34 + 4)

Output

1 1 8 9
2 4 12 16
3 9 16 25
4 16 20 36
Hvite ved 81 totalt: 49
Blå ved 1296 totalt: 140

Fasit: a) \(n^2\), \(4n+4\), \(\left(n+2\right)^2\). b) 49 hvite. c) 140 blå.

Del 2 - Oppgave 5Eksponentiell nedgang

Oppgave 5

Oppgave:

(6 poeng) En bedrift slapp ut 20000 tonn \(\text{CO}_2\) i 2015 og skal redusere utslippet med 8 % hvert år i 10 år. a) Lag regnearkoversikt. b) Hvor mange prosent er utslippet redusert etter 10 år? c) En annen bedrift skal halvere utslippet på 5 år med fast prosentsats. Bestem prosentsatsen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke vekstfaktor for reduksjon.

Steg 1 - Modell

8 % reduksjon gir vekstfaktor \(0,92\):

\[U_n=20000\cdot0,92^n\]

Steg 2 - Oversikt

År	Maks utslipp
2016	18400
2017	16928
2018	15574
2019	14328
2020	13182
2021	12127
2022	11157
2023	10264
2024	9443
2025	8688

Steg 3 - Total reduksjon

\[\left(1-0,92^{10}\right)\cdot100\ \%\approx56,6\ \%\]

Steg 4 - Halvering på 5 år

\[p^5=0,5\]

\[p=0,5^{\frac{1}{5}}\approx0,8706\]

Reduksjonen er ca. \(12,9\ \%\) per år.

Vanlig feil: Å dele 50 % på 5. Fast prosentsats betyr eksponentiell modell.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

20000*0.92^10

-> \(8687,77\)

(1-0.92^10)*100

-> \(56,56\)

(1-0.5^(1/5))*100

-> \(12,94\)

Python

start = 20000
vekstfaktor = 0.92

print("År   Utslipp")
for aar in range(2016, 2026):
    n = aar - 2015
    utslipp = start * vekstfaktor**n
    print(f"{aar} {utslipp:8.0f}")

total_reduksjon = (1 - vekstfaktor**10) * 100
halveringsfaktor = 0.5**(1/5)
aarleg_reduksjon = (1 - halveringsfaktor) * 100
print("Total reduksjon:", round(total_reduksjon, 1), "%")
print("Årlig reduksjon:", round(aarleg_reduksjon, 1), "%")

Output

År   Utslipp
2016    18400
2017    16928
2018    15574
2019    14328
2020    13182
2021    12127
2022    11157
2023    10264
2024     9443
2025     8688
Total reduksjon: 56.6 %
Årlig reduksjon: 12.9 %

Fasit: Total reduksjon ca. \(56,6\ \%\). Fast årlig reduksjon ved halvering på 5 år er ca. \(12,9\ \%\).

Del 2 - Oppgave 6Volum og maksimum

Oppgave 6

Oppgave:

(5 poeng) Et rektangel er 20 cm langt og 14 cm bredt. I hvert hjørne klippes et kvadrat bort, og det brettes til en eske uten lokk. a) Fyll ut tabellen. b) Bruk graftegner til å finne størst mulig volum.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke lengde, bredde, høyde og volum.

Steg 1 - Dimensjoner

\[\text{lengde}=20-2x\]

\[\text{bredde}=14-2x\]

\[\text{høyde}=x\]

Steg 2 - Tabell

Side	Lengde	Bredde	Høyde	Volum
4 cm	12 cm	6 cm	4 cm	288 \(\text{cm}^3\)
3 cm	14 cm	8 cm	3 cm	336 \(\text{cm}^3\)
2,5 cm	15 cm	9 cm	2,5 cm	337,5 \(\text{cm}^3\)
\(x\) cm	\(20-2x\)	\(14-2x\)	\(x\)	\(x\left(20-2x\right)\left(14-2x\right)\)

Steg 3 - Maksimum

\[V(x)=x\left(20-2x\right)\left(14-2x\right)\]

Grafen for \(0\lt x\lt7\) har toppunkt ved ca. \(x=2,70\). Da er volumet ca. \(339\ \text{cm}^3\).

Vanlig feil: Lengde og bredde reduseres med \(2x\), ikke bare \(x\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

V(x):=x*(20-2x)*(14-2x)

-> \(V(x)=x(20-2x)(14-2x)\)

Ekstremalpunkt(V,0,7)

-> \((2,70,339,01)\)

Python

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
V = x * (20 - 2*x) * (14 - 2*x)
derivert = sp.diff(V, x)
kritiske = sp.solve(derivert, x)

print("Volumfunksjon:", sp.expand(V))
print("Kritiske x-verdier:", kritiske)
for verdi in kritiske:
    if 0 < float(verdi) < 7:
        print("Maksimum ved x =", round(float(verdi), 3))
        print("Maksimalt volum =", round(float(V.subs(x, verdi)), 1), "cm^3")

Output

Volumfunksjon: 4*x**3 - 68*x**2 + 280*x
Kritiske x-verdier: [17/3 - sqrt(79)/3, sqrt(79)/3 + 17/3]
Maksimum ved x = 2.704
Maksimalt volum = 339.0 cm^3

Fasit: Se tabellen. Størst volum får vi ved \(x\approx2,70\) cm, og volumet blir ca. \(339\ \text{cm}^3\).

Del 2 - Oppgave 7Modellering og regresjon

Oppgave 7

Oppgave:

(8 poeng) Ved havets overflate er lufttrykket ca. 1000 hPa. Bruk sitatene om 12 % reduksjon per km, halvering for hver 5,5 km, lineær reduksjon 1 hPa per 8 m og Mount Everest for å lage og sammenlikne modellene \(f\), \(g\) og \(h\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette opp modeller og vurdere gyldighetsområde.

Steg 1 - Modell fra 12 % reduksjon

Hvis 12 % forsvinner per km, står 88 % igjen:

\[f(x)=1000\cdot0,88^x\]

Steg 2 - Modell fra halvering

Tabellen \((0,1000),(5,5,500),(11,250),(16,5,125)\) gir med eksponentiell regresjon omtrent

\[g(x)=1000\cdot0,8816^x\]

Dette er svært nær \(f\).

Steg 3 - Lineær modell

1 hPa per 8 meter betyr 125 hPa per km:

\[h(x)=1000-125x\]

Denne modellen skal bare brukes for lave høyder.

Steg 4 - Mount Everest

8848 meter er \(8,848\) km.

\[f(8,848)\approx323\]

\[g(8,848)\approx328\]

\[h(8,848)\approx-106\]

Tolkning

En tredjedel av 1000 hPa er ca. 333 hPa. Modellene \(f\) og \(g\) passer godt med sitat 4, mens \(h\) er urimelig ved Mount Everest.

Vanlig feil: Å bruke lineær modell langt utenfor området sitatet sier at den gjelder.

Kontroll (GeoGebra CAS)

GeoGebra - CAS

RegEksp({(0,1000),(5.5,500),(11,250),(16.5,125)})

-> \(g(x)\approx1000\cdot0,8816^x\)

1000*0.88^8.848

-> \(322,69\)

1000-125*8.848

-> \(-106\)

Python

import math
import numpy as np

def f(x):
    return 1000 * 0.88**x

xverdier = np.array([0, 5.5, 11, 16.5])
yverdier = np.array([1000, 500, 250, 125])
koeff = np.polyfit(xverdier, np.log(yverdier), 1)
b = math.exp(koeff[0])
a = math.exp(koeff[1])

def g(x):
    return a * b**x

def h(x):
    return 1000 - 125*x

x_everest = 8.848
print("Regresjonsmodell g(x) = a*b^x")
print("a =", round(a, 3))
print("b =", round(b, 4))
print("f(8.848) =", round(f(x_everest), 1), "hPa")
print("g(8.848) =", round(g(x_everest), 1), "hPa")
print("h(8.848) =", round(h(x_everest), 1), "hPa")
print("En tredjedel av 1000 hPa =", round(1000/3, 1), "hPa")

Output

Regresjonsmodell g(x) = a*b^x
a = 1000.0
b = 0.8816
f(8.848) = 322.7 hPa
g(8.848) = 327.9 hPa
h(8.848) = -106.0 hPa
En tredjedel av 1000 hPa = 333.3 hPa

Fasit: \(f(x)=1000\cdot0,88^x\), \(g(x)\approx1000\cdot0,8816^x\), \(h(x)=1000-125x\). Ved Everest gir \(f\approx323\) hPa, \(g\approx328\) hPa og \(h\approx-106\) hPa.

Matematikk 2P eksamen – vår 2016

Matematikk 2P eksamen Vår 2016 (K06) - løsningsforslag

Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

Steg 1 - Variasjonsbredde

Steg 2 - Gjennomsnitt

Steg 3 - Median

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 2

Steg 1 - Per dag

Steg 2 - Per måned

Tolkning

Kontroll

Python

Oppgave 3

Steg 1 - Prisforskjell

Steg 2 - A sammenliknet med B

Steg 3 - B sammenliknet med A

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python

Oppgave 4

Steg 1 - Totalprisen er 125 %

Steg 2 - Avgiftsdelen

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python

Oppgave 5

Steg 1 - Histogram

Steg 2 - Gjennomsnitt

Steg 3 - Median

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python

Oppgave 6

Steg 1 - Punkter

Steg 2 - Stigningstall

Steg 3 - Grunnlønn

Steg 4 - 370 kroner

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python

Oppgave 7

Steg 1 - Definisjon

Steg 2 - Grafisk kjennetegn

Steg 3 - Valg av graf

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python

Oppgave 8

Steg 1 - Skriv om

Steg 2 - Sorter

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python

Oppgave 9

Steg 1 - Totalt antall elever

Steg 2 - Frekvenser

Steg 3 - Full tabell

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python

Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

Steg 1 - Prosentandelene

Steg 2 - Regneark

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python

Oppgave 2

Steg 1 - Gjennomsnitt

Steg 2 - Standardavvik

Steg 3 - Sammenlikning

Kontroll (GeoGebra CAS)

Python

Oppgave 3

Steg 1 - Graftegner

Steg 2 - Maksimum

Steg 3 - 20 grader

Steg 4 - Gjennomsnittlig stigning

Kontroll (GeoGebra CAS)