Hva spør oppgaven om? Vi skal finne prosentvis økning fra gammel pris til ny pris.

Steg 1 - Finn økningen i kroner

\[315-300=15\]

Steg 2 - Del på gammel pris

\[\dfrac{15}{300}=0{,}05\]

Steg 3 - Gjør om til prosent

\[0{,}05\cdot100\ \%=5\ \%\]

Tolkning

Prisen øker med 5 prosent av den opprinnelige prisen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

print((315 - 300)/300*100)

Hva spør oppgaven om? Vi bruker at pris og indeks er proporsjonale.

Steg 1 - Sett opp forholdet

\[\dfrac{x}{90}=\dfrac{400}{120}\]

Steg 2 - Løs for \(x\)

\[x=90\cdot\dfrac{400}{120}=300\]

Tolkning

Indeksen 90 er \(\dfrac{90}{120}\) av indeksen i 2024, så prisen blir tilsvarende lavere.

Kontroll

print(90*400/120)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke målestokken til å finne modellhøyden.

Steg 1 - Tolk målestokken

Målestokk \(1:1100\) betyr at modellen er \(\dfrac{1}{1100}\) av virkelig størrelse.

Steg 2 - Del virkelig høyde på 1100

\[\dfrac{330\ \text{m}}{1100}=0{,}30\ \text{m}\]

Steg 3 - Gjør om til centimeter

\[0{,}30\ \text{m}=30\ \text{cm}\]

Tolkning

Modellen er 30 cm høy.

Kontroll

print(330/1100, "meter")

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange vogner som ikke er gjort rede for.

Steg 1 - Summer kjente vogner

\[2+3+4+6=15\]

Steg 2 - Trekk fra totalt antall vogner

\[20-15=5\]

Tolkning

De fem manglende vognene må være tomme.

Kontroll

Hva spør oppgaven om? Vi bruker datasettet med \(0\) fem ganger, \(1\) to ganger, \(2\) tre ganger, \(3\) fire ganger og \(4\) seks ganger.

Steg 1 - Finn totalt antall personer

\[0\cdot5+1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+4\cdot6=44\]

Steg 2 - Finn gjennomsnitt

\[\bar x=\dfrac{44}{20}=2{,}2\]

Steg 3 - Finn median

Det er 20 vogner, så medianen er gjennomsnittet av observasjon nummer 10 og 11. Nummer 10 er \(2\), og nummer 11 er \(3\).

\[\text{median}=\dfrac{2+3}{2}=2{,}5\]

Tolkning

Gjennomsnittet er \(2{,}2\), mens midten av datasettet ligger mellom \(2\) og \(3\).

Kontroll

import statistics as st
data = [0]*5 + [1]*2 + [2]*3 + [3]*4 + [4]*6
print(sum(data)/len(data), st.median(data))

Hva spør oppgaven om? Kumulativ frekvens for \(2\) betyr andelen vogner med høyst \(2\) personer.

Steg 1 - Tell opp til og med 2

\[5+2+3=10\]

Steg 2 - Del på totalen

\[\dfrac{10}{20}=0{,}50\]

Steg 3 - Gjør om til prosent

\[0{,}50=50\ \%\]

Tolkning

Halvparten av vognene hadde to personer eller færre.

Kontroll

print((5+2+3)/20)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne diameteren og deretter sirkelarealet.

Steg 1 - Finn hypotenusen

\[h^2=6^2+8^2=100\]

\[h=10\]

Steg 2 - Finn radiusen

Hypotenusen er diameteren, så \(r=5\).

Steg 3 - Finn arealet

\[A=\pi r^2=\pi\cdot5^2=25\pi\approx78{,}5\]

Tolkning

Arealet er større enn \(75\ \text{cm}^2\).

Kontroll

from math import pi, sqrt
h = sqrt(6**2 + 8**2)
A = pi*(h/2)**2
print(h, A)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tre ukjente priser.

Steg 1 - Sett opp likninger

La \(s\) være sukkerspinn, \(p\) popkorn og \(i\) softis.

\[s+p=90,\quad p+i=80,\quad s+i=70\]

Steg 2 - Summer likningene

\[2s+2p+2i=240\]

\[s+p+i=120\]

Steg 3 - Finn prisene

\[i=120-90=30\]

\[s=120-80=40\]

\[p=120-70=50\]

Tolkning

Prisene stemmer med alle kjøpene.

Kontroll

Hva spør oppgaven om? I et serielån er avdragene like store.

Steg 1 - Del lånet på antall terminer

\[\dfrac{400\ 000}{8}=50\ 000\]

Tolkning

Kaja betaler ned \(50\ 000\) kroner av selve lånet hvert år.

Kontroll

print(400000/8)

Hva spør oppgaven om? Terminbeløp er avdrag pluss renter.

Steg 1 - Første termin

\[0{,}05\cdot400\ 000=20\ 000\]

\[50\ 000+20\ 000=70\ 000\]

Steg 2 - Andre termin

Restlånet etter første avdrag er \(350\ 000\).

\[0{,}05\cdot350\ 000=17\ 500\]

\[50\ 000+17\ 500=67\ 500\]

Tolkning

Terminbeløpet går ned fordi rentene beregnes av et lavere restlån.

Kontroll

avdrag = 400000/8
for rest in [400000, 350000]:
    print(avdrag + 0.05*rest)

Hva spør oppgaven om? Nå skal nedbetalingstiden være 5 år.

Steg 1 - Finn nytt avdrag

\[\dfrac{400\ 000}{5}=80\ 000\]

Steg 2 - Finn restlån før tredje termin

\[400\ 000-2\cdot80\ 000=240\ 000\]

Steg 3 - Finn renten

\[0{,}05\cdot240\ 000=12\ 000\]

Tolkning

Renten i tredje termin beregnes av restlånet før tredje innbetaling.

Kontroll

print(0.05*(400000 - 2*(400000/5)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke variablene, løkken og utskriften.

Steg 1 - Tolk startverdiene

Johann starter med \(1\ 500\ 000\) kroner og planlegger å ta ut \(120\ 000\) kroner per år.

Steg 2 - Tolk vekstfaktoren

\(1{,}056\) betyr at kontoen øker med \(5{,}6\ \%\) per år før uttaket trekkes fra.

Steg 3 - Tolk løkken

Løkken kjører så lenge kontoen har minst \(120\ 000\) kroner.

Steg 4 - Tolk resultatet

Utskriften \(22\) betyr 22 år med uttak. Beløpet \(11183{,}70\) er omtrent det som står igjen etter siste uttak.

Kontroll

konto = 1500000
uttak = 120000
vf = 1.056
aar = 0
while konto >= 120000:
    konto = konto*vf - uttak
    aar += 1
print(aar)
print(konto)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentiell modell med februar som \(x=0\).

Steg 1 - Legg inn punktene

\((0,1267)\), \((1,1431)\), \((2,1619)\), \((3,1788)\), \((4,2032)\).

Steg 2 - Bruk regresjon

I GeoGebra: RegEksp({(0,1267),(1,1431),(2,1619),(3,1788),(4,2032)})

Steg 3 - Les av modellen

\[f(x)=1271{,}12\cdot1{,}12383^x\]

Steg 4 - Vurder modellen

Punktene ligger svært nær en eksponentiell kurve i den korte perioden. Modellen er derfor rimelig kortsiktig, men usikker langt fram fordi prosentvis vekst i en nettbutikk sjelden er konstant over lang tid.

Kontroll

import numpy as np, math
x = np.array([0,1,2,3,4], dtype=float)
y = np.array([1267,1431,1619,1788,2032], dtype=float)
B, A = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
print(math.exp(A), math.exp(B))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke vekstfaktoren i modellen.

Steg 1 - Finn vekstfaktoren

\[b=1{,}12383\]

Steg 2 - Gjør om til prosent

\[(1{,}12383-1)\cdot100\ \%=12{,}383\ \%\]

Steg 3 - Rund av

\[12{,}383\ \%\approx12{,}4\ \%\]

Tolkning

Omsetningen øker med omtrent \(12{,}4\ \%\) per måned ifølge modellen.

Kontroll

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når \(f(x)=20\ 000\).

Steg 1 - Sett opp likningen

\[1271{,}12\cdot1{,}12383^x=20\ 000\]

Steg 2 - Løs digitalt

GeoGebra: Løs(1271.12*1.12383^x=20000)

\[x\approx23{,}6\]

Steg 3 - Tolk tidspunktet

Februar 2025 er \(x=0\). Omtrent \(24\) måneder senere er rundt februar 2027.

Steg 4 - Vurder modellen

Dette er en fremskriving basert på fem måneder, og svaret bør derfor tolkes som et anslag.

Kontroll

import math
a = 1271.119705648054
b = 1.123834100651884
print(math.log(20000/a)/math.log(b))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne nødvendig månedlig vekst fra juni til desember.

Steg 1 - Bruk startverdien i juni

\[2032\]

Steg 2 - Tell vekstperioder

Fra juni til desember er det seks månedlige vekstperioder.

Steg 3 - Sett opp likningen

\[2032\cdot v^6=20\ 000\]

Steg 4 - Løs for \(v\)

\[v=\left(\dfrac{20\ 000}{2032}\right)^{\frac16}\approx1{,}4639\]

Steg 5 - Gjør om til prosent

\[(1{,}4639-1)\cdot100\ \%\approx46{,}4\ \%\]

Tolkning

Dette er mye høyere enn veksten i modellen, så målet krever svært kraftig vekst.

Kontroll

v = (20000/2032)**(1/6)
print(v, (v-1)*100)

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne fire statistiske mål.

Steg 1 - Median

Medianen er gjennomsnittet av tall nummer 5 og 6.

\[\dfrac{124\ 540+121\ 679}{2}=123\ 109{,}5\]

Steg 2 - Gjennomsnitt

\[\bar x=\dfrac{2\ 329\ 927}{10}=232\ 992{,}7\]

Steg 3 - Standardavvik

Digitalt får vi populasjonsstandardavviket

\[\sigma\approx297\ 326\]

Steg 4 - Variasjonsbredde

\[1\ 098\ 061-55\ 684=1\ 042\ 377\]

Tolkning

Oslo gjør datasettet svært skjevt og trekker gjennomsnittet opp.

Kontroll

import numpy as np
data = np.array([1098061,272125,239055,198777,124540,121679,96695,67372,55939,55684])
print(np.median(data), data.mean(), data.std(ddof=0), data.max()-data.min())

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere hvilket sentralmål som passer best.

Steg 1 - Sammenlikn tallene

Gjennomsnittet er \(232\ 992{,}7\), mens medianen er \(123\ 109{,}5\).

Steg 2 - Se på ekstremverdi

Oslo har \(1\ 098\ 061\) innbyggere og er mye større enn de andre tettstedene.

Steg 3 - Vurder representativitet

Gjennomsnittet blir sterkt påvirket av Oslo. Medianen er mer robust.

Tolkning

Jeg er mest enig med Kine. Medianen beskriver et typisk tettsted bedre her.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne Norge og Danmark statistisk.

Steg 1 - Gjennomsnitt

Norge har \(232\ 993\), Danmark har \(235\ 549\). Gjennomsnittene er omtrent like.

Steg 2 - Median

Norge har median \(123\ 110\), Danmark \(67\ 832\). Den typiske danske verdien er lavere.

Steg 3 - Standardavvik

Danmark har større standardavvik, \(388\ 000\), mot omtrent \(297\ 326\) for Norge.

Tolkning

Danmark har større spredning og et mer skjevt datasett. En eller flere store danske tettsteder trekker gjennomsnittet opp.

Hva spør oppgaven om? Dette er en åpen presentasjonsoppgave. Et godt svar bør inneholde beregninger, diagramvalg og kommentarer.

Steg 1 - Endring fra 2020 til 2024

Steg 2 - Sammenlikn 2024

Høyest i 2024 er 16-24 år med \(440\) minutter. Lavest er 65-79 år med \(127\) minutter.

\[440-127=313\]

Steg 3 - Gjennomsnitt per år

Steg 4 - Diagrammer

Et linjediagram passer for utvikling over tid. Et stolpediagram passer for å sammenlikne aldersgruppene i 2024.

Steg 5 - Oppsummering

Funn 1: Alle aldersgruppene økte fra 2020 til 2024. Funn 2: Gruppen 65-79 år økte mest prosentvis, men hadde fortsatt lavest nivå i 2024.

Kontroll

Regnearkformel for prosentvis økning kan være =(F2-B2)/B2.

import numpy as np
data = np.array([[180,198,256,273,245],[318,340,408,388,440],[245,269,294,312,338],[177,181,226,218,260],[60,77,111,109,127]])
print(data[:,4]-data[:,0])
print((data[:,4]/data[:,0]-1)*100)
print(data.mean(axis=0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne tre sluttverdier.

Steg 1 - Fatima

\[100\ 000\cdot1{,}36=136\ 000\]

Steg 2 - Adrian

\[100\ 000\cdot1{,}057^5\approx131\ 939{,}53\]

Steg 3 - Vegard

\[100\ 000\cdot1{,}20\cdot0{,}89\cdot0{,}90\cdot1{,}23\cdot1{,}17\approx138\ 326{,}29\]

Steg 4 - Oversikt

Tolkning

Vegard ender høyest, selv med to år med negativ utvikling.

Kontroll

fatima = 100000*1.36
adrian = 100000*1.057**5
vegard = 100000*1.20*0.89*0.90*1.23*1.17
print(fatima, adrian, vegard)

Hva spør oppgaven om? Tabellen gir intervaller, ikke eksakte aldre.

Steg 1 - Se hva som mangler

Vi vet ikke nøyaktig alder til hver person.

Steg 2 - Anta fordeling i intervaller

Vi må anta at personene er jevnt fordelt innenfor hvert intervall.

Steg 3 - Bruk klassemidtpunkt

For gjennomsnitt bruker vi midtpunktet i hvert intervall som representativ alder.

Tolkning

Sentralmålene blir anslag, ikke eksakte verdier.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et veid gjennomsnitt med klassemidtpunkt.

Steg 1 - Klassemidtpunkt

Midtpunktene er \(9\), \(34\), \(58{,}5\), \(73{,}5\), \(85\) og \(95\).

Steg 2 - Totalt antall personer

\[188+347+237+103+33+15=923\]

Steg 3 - Veid gjennomsnitt

\[\bar x=\dfrac{9\cdot188+34\cdot347+58{,}5\cdot237+73{,}5\cdot103+85\cdot33+95\cdot15}{923}\]

Steg 4 - Regn ut

\[\bar x\approx42{,}42\]

Tolkning

Gjennomsnittsalderen er omtrent \(42{,}4\) år.

Kontroll

mid = [9,34,58.5,73.5,85,95]
f = [188,347,237,103,33,15]
print(sum(m*c for m,c in zip(mid,f))/sum(f))

Hva spør oppgaven om? Vi skal anslå andelen eldre enn \(42{,}42\) år.

Steg 1 - Plasser gjennomsnittet

\(42{,}42\) ligger i intervallet \([18,50)\).

Steg 2 - Ta med alle over 50 år

\[237+103+33+15=388\]

Steg 3 - Ta med delen av \([18,50)\) over gjennomsnittet

\[347\cdot\dfrac{50-42{,}42}{50-18}\approx82{,}2\]

Steg 4 - Finn prosent

\[\dfrac{388+82{,}2}{923}\cdot100\ \%\approx50{,}9\ \%\]

Tolkning

Omtrent halvparten var eldre enn gjennomsnittsalderen.

Kontroll

mean = 42.42145178764897
total = 923
above = 237+103+33+15 + 347*(50-mean)/(50-18)
print(above/total*100)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne volumet av gruslaget.

Steg 1 - Gjør om enheter

\[60\ \text{cm}=0{,}60\ \text{m}\]

\[75\ \text{mm}=0{,}075\ \text{m}\]

Steg 2 - Bruk volumformel

\[V=25\cdot0{,}60\cdot0{,}075\]

Steg 3 - Regn ut

\[V=1{,}125\]

Tolkning

De trenger \(1{,}125\ \text{m}^3\) grus.

Kontroll

print(25*0.60*0.075)

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne levert volum med behovet.

Steg 1 - Finn radiusen

\[r=\dfrac{2{,}5}{2}=1{,}25\]

Steg 2 - Bruk kjegleformelen

\[V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h\]

Steg 3 - Sett inn tall

\[V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot1{,}25^2\cdot1{,}0\approx1{,}636\]

Steg 4 - Sammenlikn

Behovet var \(1{,}125\ \text{m}^3\), og levert volum er omtrent \(1{,}636\ \text{m}^3\).

\[1{,}636>1{,}125\]

Tolkning

De har fått levert nok grus, med en margin på omtrent \(0{,}511\ \text{m}^3\).

Kontroll

import math
levert = (1/3)*math.pi*(2.5/2)**2*1.0
behov = 25*0.60*0.075
print(levert, behov, levert-behov)