Hva spør oppgaven om? Vi skal finne fra hvilket antall bussreiser fleksikortet koster mindre enn enkeltbilletter.

Steg 1 — Lag uttrykk for de to prisene

For \(n\) reiser koster enkeltbilletter \(25n\) kroner. Fleksikortet koster \(415\) kroner.

Steg 2 — Sett opp kravet for at fleksikort skal lønne seg

Fleksikortet lønner seg når enkeltbillettene ville kostet mer enn fleksikortet:

\[25n>415\]

Steg 3 — Løs ulikheten

\[n>\dfrac{415}{25}=16{,}6\]

Siden antall reiser må være et helt tall, må hun reise minst \(17\) ganger.

Tolkning

Ved \(16\) reiser koster enkeltbilletter \(400\) kroner, altså mindre enn fleksikortet. Ved \(17\) reiser koster enkeltbilletter \(425\) kroner, og da er fleksikortet billigere.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import ceiling, Rational
n = ceiling(Rational(415, 25))
print(n)
print(25*n)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor stor prosentvis besparelsen er når Selma bruker alle \(20\) reisene på fleksikortet.

Steg 1 — Finn prisen for 20 enkeltbilletter

\[20\cdot25=500\]

Uten fleksikort ville de 20 reisene kostet \(500\) kroner.

Steg 2 — Finn hvor mange kroner hun sparer

\[500-415=85\]

Steg 3 — Regn besparelsen i prosent av opprinnelig pris

\[\dfrac{85}{500}\cdot100\,\%=17\,\%\]

Tolkning

Selma betaler \(415\) kroner i stedet for \(500\) kroner. Det betyr at hun sparer \(17\,\%\) sammenliknet med 20 enkeltbilletter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational
sparing = Rational(20*25 - 415, 20*25)*100
print(sparing)

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive målestokken som forholdet mellom avstand på kartet og avstand i virkeligheten, med samme enhet.

Steg 1 — Skriv avstandene

Kartavstanden er \(40\) cm. Virkelig avstand er \(20\) km.

Steg 2 — Gjør kilometer om til centimeter

\[20 ext{ km}=20\cdot1000\cdot100 ext{ cm}=2\,000\,000 ext{ cm}\]

Steg 3 — Sett opp forholdet

\[40:2\,000\,000\]

Steg 4 — Forkort forholdet

\[40:2\,000\,000=1:50\,000\]

Tolkning

\(1\) cm på kartet svarer til \(50\,000\) cm i virkeligheten, altså \(500\) meter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational
print(Rational(2000000, 40))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage to datasett med \(10\) tall. Begge må ha typetall \(5\), median \(8\) og gjennomsnitt \(9\).

Steg 1 — Bruk gjennomsnittet til å finne totalsummen

\[ ext{sum}=10\cdot9=90\]

De ti tallene må altså ha sum \(90\).

Steg 2 — Lag første alternativ med 8 km

Et mulig sortert datasett er

\[5,5,5,7,8,8,10,12,14,16\]

Her er \(5\) brukt flest ganger, så typetallet er \(5\).

Steg 3 — Kontroller median og gjennomsnitt for første alternativ

For \(10\) tall er medianen gjennomsnittet av tall nummer \(5\) og \(6\):

\[\dfrac{8+8}{2}=8\]

Summen er \(90\), så gjennomsnittet er \(90/10=9\).

Steg 4 — Lag andre alternativ uten 8 km

Et mulig sortert datasett er

\[3,5,5,6,7,9,10,12,15,18\]

Her er ingen av tallene \(8\), og minst fem av verdiene er nye sammenliknet med første alternativ.

Steg 5 — Kontroller median og gjennomsnitt for andre alternativ

Medianen blir

\[\dfrac{7+9}{2}=8\]

Summen er også \(90\), så gjennomsnittet er \(9\).

Tolkning

Oppgaven viser at typetall, median og gjennomsnitt ikke bestemmer datasettet entydig. Flere helt ulike datasett kan ha de samme sentralmålene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from statistics import mean, median, multimode
A = [5,5,5,7,8,8,10,12,14,16]
B = [3,5,5,6,7,9,10,12,15,18]
for data in [A, B]:
    print(sum(data), mean(data), median(data), multimode(data))

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvorfor nullproduktregelen kan brukes i den første likningen, og hvorfor Tobines metode ikke kan brukes direkte i den andre.

Steg 1 — Kommenter Selma

Selma bruker nullproduktregelen. Hvis et produkt er lik null, må minst én av faktorene være null:

\[(x+4)(x-1)=0\]

Da får vi \(x+4=0\) eller \(x-1=0\), altså \(x=-4\) eller \(x=1\). Selmas metode er riktig.

Steg 2 — Kommenter Tobine

Tobines resonnement er ikke riktig. Hvis et produkt er lik \(-6\), trenger ikke én av faktorene være lik \(-6\). For eksempel er \(2\cdot(-3)=-6\).

Steg 3 — Løs den andre likningen ved å utvide venstresiden

\[(x+2)(x-3)=x^2-x-6\]

Steg 4 — Sett lik \(-6\) og forenkle

\[x^2-x-6=-6\]

\[x^2-x=0\]

Steg 5 — Faktoriser og bruk nullproduktregelen

\[x(x-1)=0\]

Dermed er \(x=0\) eller \(x=1\).

Tolkning

Nullproduktregelen gjelder bare når produktet er lik null. Når høyresiden ikke er null, må vi først flytte alt til én side eller forenkle likningen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x = symbols("x")
print(solve((x + 2)*(x - 3) + 6, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne prisen på én vase og én rose fra tre prisopplysninger.

Steg 1 — Definer variabler

La \(v\) være prisen på én vase og \(r\) prisen på én rose.

Steg 2 — Skriv to av prisopplysningene som likninger

Fra bildene får vi

\[v+3r=261\]

\[2v+2r=474\]

Steg 3 — Forenkle den andre likningen

\[2v+2r=474 \Rightarrow v+r=237\]

Steg 4 — Trekk likningene fra hverandre

\[(v+3r)-(v+r)=261-237\]

\[2r=24\Rightarrow r=12\]

Steg 5 — Finn vaseprisen

\[v+12=237\Rightarrow v=225\]

Tolkning

Én rose koster \(12\) kroner, og én vase koster \(225\) kroner. Den tredje prisopplysningen gir \(3\cdot225+6\cdot12=747\), så svaret passer med alle bildene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
v, r = symbols("v r")
print(solve([v + 3*r - 261, 2*v + 2*r - 474], [v, r]))
print(3*225 + 6*12)

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne prisveksten på ett konkret produkt med utviklingen i prisindeksen fra 2019 til 2022.

Steg 1 — Finn prosentvis prisøkning for produktet

Prisen steg fra \(35{,}90\) kroner til \(39{,}90\) kroner.

\[\dfrac{39{,}90-35{,}90}{35{,}90}\cdot100\,\%\approx11{,}1\,\%\]

Steg 2 — Finn prosentvis økning i prisindeksen

Indeksen steg fra \(99{,}9\) til \(119{,}8\).

\[\dfrac{119{,}8-99{,}9}{99{,}9}\cdot100\,\%\approx19{,}9\,\%\]

Steg 3 — Sammenlikn økningene

Produktets pris steg med omtrent \(11{,}1\,\%\), mens prisindeksen steg med omtrent \(19{,}9\,\%\).

Tolkning

Prisen på dette sjokoladepålegget steg mindre enn prisindeksen for sjokoladepålegg i perioden 2019 til 2022.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import N
produkt = (39.90 - 35.90)/35.90*100
indeks = (119.8 - 99.9)/99.9*100
print(round(produkt, 2), round(indeks, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tre sprednings- og sentralmål fra måltallene.

Steg 1 — Skriv måltallene sortert

\[11,11,12,12,13,14,15,15,15,16,25\]

Steg 2 — Finn typetallet

Tallet \(15\) forekommer tre ganger, mer enn de andre tallene. Typetallet er derfor \(15\).

Steg 3 — Finn variasjonsbredden

\[25-11=14\]

Steg 4 — Finn medianen

Det er \(11\) observasjoner. Medianen er derfor observasjon nummer \(6\) i sortert liste, altså \(14\).

Tolkning

Halvparten av spillerne i denne gruppen skåret \(14\) mål eller mindre, og halvparten skåret \(14\) mål eller mer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from statistics import median, multimode
data = [25,16,15,15,15,14,13,12,12,11,11]
print(multimode(data), max(data)-min(data), median(data))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnitt og standardavvik for antall mål.

Steg 1 — Finn summen

\[25+16+15+15+15+14+13+12+12+11+11=159\]

Steg 2 — Finn gjennomsnittet

\[\bar x=\dfrac{159}{11}\approx14{,}45\]

Steg 3 — Bruk digitalt verktøy for standardavvik

Med populasjonsstandardavvik får vi

\[\sigma\approx3{,}73\]

Steg 4 — Rund av hensiktsmessig

Gjennomsnittet er omtrent \(14{,}5\) mål, og standardavviket er omtrent \(3{,}7\) mål.

Tolkning

Spillerne skåret i gjennomsnitt omtrent \(14{,}5\) mål. Standardavviket \(3{,}7\) viser at måltallene vanligvis ligger noen mål fra gjennomsnittet, men toppscoreren på \(25\) mål trekker spredningen opp.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import statistics as st
data = [25,16,15,15,15,14,13,12,12,11,11]
print(round(st.mean(data), 4))
print(round(st.pstdev(data), 4))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke 2022-resultatene opp mot opplysningene for 2021.

Steg 1 — Sammenlikn medianene

Medianen var \(11\) i 2021 og \(14\) i 2022. Den midterste spilleren blant topp \(11\) skåret altså flere mål i 2022.

Steg 2 — Sammenlikn gjennomsnittene

Gjennomsnittet var \(14{,}5\) i 2021 og omtrent \(14{,}5\) i 2022. Gjennomsnittsnivået var derfor nesten likt.

Steg 3 — Sammenlikn standardavvikene

Standardavviket var \(6{,}7\) i 2021 og omtrent \(3{,}7\) i 2022. Det betyr at målene var mer spredt i 2021.

Steg 4 — Lag en samlet vurdering

2021 hadde omtrent samme gjennomsnitt, men større variasjon. Det tyder på at noen få spillere i 2021 skåret særlig mange mål, mens flere av spillerne i 2022 lå tettere rundt midten.

Tolkning

2022-listen virker jevnere enn 2021-listen, selv om gjennomsnittet er nesten likt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

median_2021 = 11
mean_2021 = 14.5
sd_2021 = 6.7
median_2022 = 14
mean_2022 = 159/11
sd_2022 = 3.7261639148943995
print(round(mean_2022, 1), round(sd_2022, 1))
print(median_2022 > median_2021, sd_2022 < sd_2021)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en måned-for-måned-oversikt for lånet de første \(24\) månedene.

Steg 1 — Finn hva som faktisk reduserer lånet

Terminbeløpet er \(13\,385\) kroner, men \(50\) kroner er gebyr. Det som går til rente og avdrag er derfor

\[13\,385-50=13\,335\]

Steg 2 — Lag rekursiv modell

Hvis \(L_n\) er lånet etter \(n\) terminer, og \(L_0=2\,500\,000\), blir

\[L_n=L_{n-1}\cdot1{,}0033-13\,335\]

Steg 3 — Dokumenter regnearkoppsett

Et egnet regneark kan ha kolonnene måned, lån ved start, rente, innbetaling til lån og lån ved slutt. I første datarad kan du bruke:

=B2*0,0033 for rente og =B2+C2-13335 for nytt lån.

Steg 4 — Oversikt for de to første årene

Tolkning

Etter \(24\) måneder er lånet omtrent \(2\,373\,215\) kroner. Lånet går ned hver måned, men ikke med hele terminbeløpet, fordi renter og gebyr må betales først.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

L = 2500000.0
r = 0.0033
terminbelop = 13385
gebyr = 50
for m in range(1, 25):
    rente = L*r
    L = L + rente - (terminbelop - gebyr)
    print(m, round(rente, 2), round(L, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om det finnes én eller flere trekanter med \(\angle B=60^\circ\), \(BC=8\) cm og \(AC=6\) cm.

Steg 1 — Tegn situasjonen prinsipielt

Legg \(BC=8\) cm fra punkt \(B\) til punkt \(C\). Fra \(B\) går en stråle som danner \(60^\circ\) med \(BC\). Punkt \(A\) må ligge på denne strålen.

Steg 2 — Finn minste mulige avstand fra \(C\) til strålen

Den korteste avstanden fra \(C\) til strålen er høyden ned på strålen:

\[8\cdot\sin 60^\circ=8\cdot\dfrac{\sqrt 3}{2}=4\sqrt 3\approx6{,}93\]

Steg 3 — Sammenlikn med kravet \(AC=6\)

Kravet er at \(AC=6\) cm, men den minste mulige avstanden er omtrent \(6{,}93\) cm.

Steg 4 — Konkluder

Siden \(6<6{,}93\), finnes det ingen slik trekant.

Tolkning

Trym og Torgeir kan ikke begge ha tegnet riktig. Faktisk kan ingen av dem ha tegnet en trekant som oppfyller alle tre kravene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import sqrt, N
minste_avstand = 4*sqrt(3)
print(N(minste_avstand))
print(6 < minste_avstand)

Hva spør oppgaven om? Dette er en åpen presentasjonsoppgave. Vi må velge relevante beregninger og diagrammer som viser utviklingen i datamaterialet.

Steg 1 — Lag en utvidet tabell

Steg 2 — Sammenlikn vekst fra 2015 til 2022

Menn:

\[\dfrac{7317-2232}{2232}\cdot100\,\%\approx227{,}8\,\%\]

Kvinner:

\[\dfrac{40472-17493}{17493}\cdot100\,\%\approx131{,}4\,\%\]

Totalt antall helsefagarbeidere økte fra \(19\,725\) til \(47\,789\), altså med omtrent \(142{,}3\,\%\).

Steg 3 — Sammenlikn kjønnsfordelingen

Mennenes andel økte fra omtrent \(11{,}3\,\%\) i 2015 til omtrent \(15{,}3\,\%\) i 2022. Kvinner er fortsatt klart flest, men mennenes andel har økt.

Steg 4 — Velg diagrammer

Til et foredrag ville jeg brukt et linjediagram for utviklingen over tid og et stablet stolpediagram for kjønnsfordelingen. Linjediagrammet viser vekst, mens det stablede stolpediagrammet viser at kvinner utgjør størst andel hvert år.

Steg 5 — Dokumenter regneark

I regneark kan total i rad 2 beregnes med =B2+C2, og menns prosentandel med =B2/D2 formatert som prosent.

Tolkning

Datamaterialet viser sterk vekst for begge kjønn. Den relative veksten er størst blant menn, men antallet kvinner øker mest i absolutte tall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

years = list(range(2015, 2023))
men = [2232,2911,3558,3957,4698,5511,6447,7317]
women = [17493,21439,24785,27327,30733,33958,37357,40472]
for y, m, w in zip(years, men, women):
    total = m + w
    print(y, total, round(100*m/total, 1))
print(round((men[-1]-men[0])/men[0]*100, 1))
print(round((women[-1]-women[0])/women[0]*100, 1))

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise samlet omkrets for de tre første kvadratene når hvert nytt kvadrat har sidekant \(10\,\%\) kortere enn det forrige.

Steg 1 — Finn sidekantene

Første sidekant er \(10\) cm. Neste er \(90\,\%\) av forrige:

\[10,\quad 10\cdot0{,}9=9,\quad 9\cdot0{,}9=8{,}1\]

Steg 2 — Finn omkretsene

\[4\cdot10=40\]

\[4\cdot9=36\]

\[4\cdot8{,}1=32{,}4\]

Steg 3 — Summer omkretsene

\[40+36+32{,}4=108{,}4\]

Tolkning

De tre første kvadratene har samlet omkrets \(108{,}4\) cm.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

sider = [10, 10*0.9, 10*0.9**2]
omkretser = [4*s for s in sider]
print(omkretser, sum(omkretser))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et program som summerer omkretsene for veldig mange kvadrater.

Steg 1 — Se rekken

Omkretsene danner en geometrisk rekke:

\[40+36+32{,}4+\cdots\]

Kvotienten er \(0{,}9\).

Steg 2 — Lag programidé

Start med side \(10\), legg til \(4\cdot ext{side}\), og gang sidekanten med \(0{,}9\) hver gang.

Steg 3 — Program

side = 10
sum_omkrets = 0

while side > 0.000001:
    sum_omkrets += 4*side
    side *= 0.9

print(round(sum_omkrets, 2))

Steg 4 — Resultat

Programmet gir omtrent \(400\) cm. Det stemmer med formelen for en uendelig geometrisk rekke:

\[S=\dfrac{40}{1-0{,}9}=400\]

Tolkning

Selv om det er uendelig mange kvadrater, blir samlet omkrets endelig fordi omkretsene blir mindre med fast faktor \(0{,}9\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke sammenhengen mellom største sidekant \(s\) og samlet omkrets når hvert nytt kvadrat har sidekant \(10\,\%\) kortere.

Steg 1 — Skriv første omkrets

Det største kvadratet har omkrets \(4s\).

Steg 2 — Skriv rekken

Sidekantene ganges med \(0{,}9\), og det gjør omkretsene også:

\[4s+4s\cdot0{,}9+4s\cdot0{,}9^2+\cdots\]

Steg 3 — Bruk uendelig geometrisk sum

\[T=\dfrac{4s}{1-0{,}9}=\dfrac{4s}{0{,}1}=40s\]

Steg 4 — Beskriv sammenhengen

Den samlede omkretsen er proporsjonal med sidekanten i det største kvadratet. Dobles \(s\), dobles \(T\).

Tolkning

Sammenhengen er lineær: \(T=40s\). For \(s=10\) får vi \(T=400\), som i oppgave b).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
s = symbols("s", positive=True)
T = 4*s/(1 - 0.9)
print(simplify(T))

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke Oles generelle formel \(T=\dfrac{4s}{p}\cdot100\), der neste sidekant er \(p\,\%\) kortere.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

Når sidekanten blir \(p\,\%\) kortere, blir vekstfaktoren

\[1-\dfrac{p}{100}\]

Steg 2 — Skriv omkretsrekken

\[T=4s+4s\left(1-\dfrac{p}{100}\right)+4s\left(1-\dfrac{p}{100}\right)^2+\cdots\]

Steg 3 — Bruk sumformelen

\[T=\dfrac{4s}{1-\left(1-\dfrac{p}{100}\right)}\]

\[T=\dfrac{4s}{\dfrac{p}{100}}=\dfrac{4s}{p}\cdot100\]

Steg 4 — Vurder når formelen gir mening

Formelen gjelder når \(p>0\) og sidekantene faktisk blir kortere. For geometriske lengder er det naturlig med \(0

Tolkning

Ole har en riktig formel for slike serier. For \(s=10\) og \(p=10\) får vi \(T=400\), som stemmer med de tidligere deloppgavene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
s, p = symbols("s p", positive=True)
T = 4*s/(1 - (1 - p/100))
print(simplify(T))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentiell modell fra 2022 til 2030 som når målet om \(55\,\%\) reduksjon fra 1990-nivået.

Steg 1 — Finn målet for 2030

En reduksjon på \(55\,\%\) betyr at \(45\,\%\) av 1990-utslippet står igjen:

\[0{,}45\cdot51{,}3=23{,}085\]

Målet er altså \(23{,}085\) millioner tonn CO\(_2\)-ekvivalenter.

Steg 2 — Sett opp modellen

La \(x\) være antall år etter 2022. Startverdien er \(48{,}9\), så

\[U(x)=48{,}9\cdot a^x\]

Steg 3 — Bruk kravet i 2030

Fra 2022 til 2030 er det \(8\) år:

\[48{,}9\cdot a^8=23{,}085\]

Steg 4 — Løs for vekstfaktoren

\[a=\left(\dfrac{23{,}085}{48{,}9}\right)^{1/8}\approx0{,}9104\]

Steg 5 — Finn årlig reduksjon i prosent

\[1-0{,}9104=0{,}0896\]

Den årlige reduksjonen må være omtrent \(9{,}0\,\%\).

Tolkning

En modell som når 2030-målet er \(U(x)=48{,}9\cdot0{,}9104^x\). Den viser en fast årlig reduksjon på omtrent \(9{,}0\,\%\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational, N
start = Rational(489, 10)
target = Rational(45, 100)*Rational(513, 10)
a = (target/start)**Rational(1, 8)
print(N(target, 6))
print(N(a, 6))
print(N((1-a)*100, 5))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke modellen fra a) til å vurdere 2050-målet om \(90\)–\(95\,\%\) reduksjon fra 1990.

Steg 1 — Finn utslippsintervallet for 2050-målet

Hvis utslippet skal reduseres med \(90\)–\(95\,\%\), skal \(5\)–\(10\,\%\) av 1990-utslippet stå igjen:

\[0{,}05\cdot51{,}3=2{,}565\]

\[0{,}10\cdot51{,}3=5{,}13\]

2050-målet tilsvarer altså mellom \(2{,}565\) og \(5{,}13\) millioner tonn.

Steg 2 — Bruk modellen for 2050

Året 2050 er \(28\) år etter 2022, så vi setter \(x=28\):

\[U(28)=48{,}9\cdot0{,}9104^28\approx3{,}53\]

Steg 3 — Sammenlikn med målet

Verdien \(3{,}53\) ligger mellom \(2{,}565\) og \(5{,}13\). Modellen gir derfor et utslipp som er innenfor 2050-målet.

Steg 4 — Vurder modellen kritisk

Modellen forutsetter at Norge klarer omtrent samme prosentvise reduksjon hvert år helt til 2050. Det er en sterk antakelse. I virkeligheten kan reduksjonstakten endre seg på grunn av teknologi, politikk, økonomi og tiltak i ulike sektorer.

Tolkning

Matematisk sett er modellen forenlig med 2050-målet. Som prognose bør den likevel brukes varsomt, fordi den bygger på en jevn prosentvis reduksjon over lang tid.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

start = 48.9
a = (23.085/48.9)**(1/8)
U2050 = start*a**28
print(round(U2050, 2))
print(round((1 - U2050/51.3)*100, 1))
print(0.05*51.3, 0.10*51.3)