Komplett løsningsforslag på bokmål til Matematikk 2P, Høst 2022 (LK20). Oppgavene er transkribert fra Udir-PDF-en, og løsningene er skrevet originalt med trinnvis forklaring, tolkning, vanlige feil og digital kontroll der det passer.
25PDF-er i zip-filen
10LK20-eksamener/sett identifisert
H22første LK20-sett løst her
14oppgaver totalt i settet
Del 1 — uten hjelpemidler
Del 1 består av 4 oppgaver. Her brukes hoderegning, grunnleggende statistikk, KPI/kjøpekraft, enkel programmeringsforståelse og grafisk løsning av likninger og ulikheter.
Del 1 · Oppgave 1aStatistikk
Oppgave 1a
Oppgave:
I sommerferien liker Maia å lese bøker. Nedenfor ser du hvor mange sider hun leste hver av de 10 første dagene i ferien.
20 15 15 25 20 15 25 100 25 20
a) Bestem medianen og gjennomsnittet for datamaterialet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne medianen og gjennomsnittet for antall sider Maia leste de ti første dagene.
Steg 1 — Sorter tallene
Vi setter tallene i stigende rekkefølge:
\[15,15,15,20,20,20,25,25,25,100\]
Medianen finnes lettest når tallene er sortert.
Steg 2 — Finn medianen
Det er 10 observasjoner. Medianen er derfor gjennomsnittet av observasjon nummer 5 og 6:
Jens har seks rektangler. Alle rektanglene har samme areal.
Hvilket av diagrammene nedenfor viser sammenhengen mellom lengden \((x)\) og bredden \((y)\) i hvert rektangel?
Husk å begrunne svaret ditt.
Svaralternativene A-E i oppgave 4.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal kjenne igjen sammenhengen mellom lengde og bredde når arealet er konstant.
Steg 1 — Skriv formelen for areal
Arealet til et rektangel er
\[A=x\cdot y\]
Steg 2 — Bruk at arealet er konstant
Når alle rektanglene har samme areal, er \(A\) et fast tall. Da er
\[y=\dfrac{A}{x}\]
Steg 3 — Tolk formen på grafen
Når \(x\) øker, må \(y\) minke. Sammenhengen er ikke lineær, men omvendt proporsjonal.
Steg 4 — Velg diagram
Diagram E viser en fallende, krummet sammenheng der \(y\) avtar når \(x\) øker.
Tolkning
Et langt rektangel må være smalt for å ha samme areal som et kortere og bredere rektangel.
Vanlig feil: Å velge en rett linje som synker. Konstant areal gir ikke lineær sammenheng.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
y=A/x
→ \(y=\dfrac{A}{x}\)
💻 Python
A = 24
for x in [2, 3, 4, 6, 8, 12]:
print(x, A/x)
Fasit: Diagram E viser sammenhengen best.
Del 2 · Oppgave 5aModellering med grafer
Oppgave 5a
Oppgave:
Per skal fylle de tre beholderne ovenfor med vann. Vannet renner inn i hver beholder med samme konstante hastighet.
Beholderne A, B og C i oppgave 5.
a) Grafene nedenfor viser sammenhengen mellom tid og vannhøyde for to av beholderne. Hvilke to? Husk å begrunne svaret ditt.
Grafene som viser vannhøyde som funksjon av tid.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal koble formen på beholderen til hvordan vannhøyden øker.
Steg 1 — Bruk prinsippet om tverrsnitt
Når vannet renner inn med konstant hastighet, stiger vannhøyden raskt der beholderen er smal, og saktere der beholderen er bred.
Steg 2 — Vurder beholder A
Beholder A har omtrent samme bredde hele veien. Da blir vannhøyden en lineær funksjon av tiden.
Den rette grafen passer derfor med beholder A.
Steg 3 — Vurder beholder B
Beholder B er smal nederst og bred øverst. Vannhøyden øker raskt først, og saktere etterpå.
Grafen med bratt stigning først og slakere stigning etter knekkpunktet passer derfor med beholder B.
Tolkning
De to grafene viser beholder A og beholder B.
Vanlig feil: Å tro at konstant vannmengde per sekund alltid gir rett linje. Det er bare riktig når tverrsnittet er konstant.
Fasit: Grafene viser beholder A og beholder B.
Del 2 · Oppgave 5bModellering med grafer
Oppgave 5b
Oppgave:
b) Tegn av koordinatsystemet ovenfor med de to grafene. Tegn også inn grafen som viser sammenhengen mellom tid og vannhøyde når den tredje beholderen blir fylt. Forklar hvordan du tenker når du tegner den siste grafen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive hvordan grafen til den tredje beholderen, C, må se ut.
Steg 1 — Finn hvilken beholder som mangler
Fra oppgave a vet vi at grafene gjelder A og B. Den tredje grafen må derfor gjelde beholder C.
Steg 2 — Vurder formen til C
Beholder C har en bred del nederst og en smalere del øverst. Når den brede delen fylles, stiger vannet sakte. Når vannet kommer til den smale delen, stiger vannhøyden raskere.
Steg 3 — Tegn grafen
Grafen skal derfor starte med liten stigning og deretter få større stigning etter et knekkpunkt.
Tolkning
Grafen til C blir motsatt av grafen til B: først slak, deretter bratt.
Vanlig feil: Å tegne C som en rett linje. Formen endrer tverrsnittet, og da endrer også stigningen seg.
Fasit: Grafen for C skal være slak først og brattere etterpå.
Del 2 · Oppgave 6aMisvisende diagram
Oppgave 6a
Oppgave:
Jens har laget et linjediagram som skal vise hvor mange e-poster som i gjennomsnitt ble sendt hver dag i et firma i årene 2013–2021. Se ovenfor.
Linjediagrammet i oppgave 6.
a) Hvorfor er diagrammet misvisende?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvorfor den grafiske framstillingen kan gi et feil inntrykk.
Steg 1 — Se på årstallene på \(x\)-aksen
Avstanden mellom årstallene er tegnet omtrent like stor, selv om tidsintervallene ikke er like lange.
For eksempel er avstanden fra 2018 til 2021 tre år, mens avstanden fra 2017 til 2018 er ett år.
Steg 2 — Vurder konsekvensen
Når ulike tidsintervaller tegnes med samme avstand, blir stigningen i grafen misvisende.
Det kan se ut som økningen skjer raskere eller langsommere enn den faktisk gjør.
Tolkning
Diagrammet er misvisende fordi \(x\)-aksen ikke har riktig målestokk for tid.
Vanlig feil: Å bare se på linjen og ikke kontrollere om aksene har riktig målestokk.
Fasit: Diagrammet er misvisende fordi avstanden mellom årstallene på \(x\)-aksen ikke følger faktisk tid.
Del 2 · Oppgave 6bMisvisende diagram
Oppgave 6b
Oppgave:
b) Lag et linjediagram du mener er mindre misvisende. Begrunn hvorfor du mener diagrammet ditt illustrerer de gitte opplysningene på en bedre måte.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive et bedre diagram og begrunne valg av akser.
Steg 1 — Bruk riktig tidsakse
Et bedre diagram bør plassere årstallene med riktig avstand: 2013, 2015, 2016, 2017, 2018 og 2021 må ligge etter faktisk tidsforskjell.
Steg 2 — Behold en jevn \(y\)-akse
Antall tusen e-poster bør fortsatt ha en jevn skala, for eksempel 0, 50, 100, 150 og 200.
Steg 3 — Tegn punktene og bind dem sammen
Punktene fra det opprinnelige diagrammet kan tegnes inn med samme \(y\)-verdier, men med korrekte \(x\)-avstander.
Tolkning
Da viser diagrammet både antall e-poster og hvor lang tid økningene faktisk tok.
Vanlig feil: Å lage et nytt diagram med penere utseende, men fortsatt feil avstand mellom årstallene.
Fasit: Et mindre misvisende diagram har årstallene plassert med riktig avstand på \(x\)-aksen.
Del 2 · Oppgave 6cVekst og endring
Oppgave 6c
Oppgave:
Jens påstår at antallet e-poster som i gjennomsnitt ble sendt hver dag, økte mest fra 2017 til 2018.
c) Vurder om denne påstanden kan være riktig.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal skille mellom størst økning i antall og størst økning per år.
Steg 1 — Les av omtrentlige verdier
Fra diagrammet kan vi lese omtrent at antallet er rundt \(62\) tusen i 2017, rundt \(108\) tusen i 2018 og rundt \(189\) tusen i 2021.
Steg 2 — Sammenlikn total økning
Fra 2017 til 2018 er økningen omtrent
\[108-62=46\]
tusen e-poster. Fra 2018 til 2021 er totaløkningen omtrent
\[189-108=81\]
tusen e-poster.
Steg 3 — Sammenlikn økning per år
Men perioden 2018–2021 varer tre år. Den gjennomsnittlige økningen per år er omtrent
\[\dfrac{81}{3}=27\]
tusen e-poster per år.
Tolkning
Påstanden kan være riktig dersom Jens mener størst økning per år. Hvis han mener størst total økning mellom to nabopunkter i diagrammet, er perioden 2018–2021 større.
Vanlig feil: Å behandle alle avstandene på \(x\)-aksen som ett år.
Fasit: Påstanden kan være riktig når vi vurderer økning per år, men ikke nødvendigvis når vi vurderer total økning mellom nabopunktene.
Del 2 · Oppgave 7aFormlikhet
Oppgave 7a
Oppgave:
Edvard er anleggsgartner og skal lage et blomsterbed med form som vist på figuren ovenfor.
Figuren til blomsterbedet i oppgave 7.
Avstanden fra A til B er 8 meter, avstanden fra C til D er 20 meter, DC er parallell med AB, og høyden fra E ned på AB er 5 meter.
Edvard påstår at \( riangle ABE\) og \( riangle CDE\) er formlike.
a) Argumenter for at Edvards påstand er riktig.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal argumentere geometrisk for at to trekanter har samme form.
Steg 1 — Bruk at linjene er parallelle
Vi vet at \(AB\parallel DC\).
Parallelle linjer gir like samsvarende vinkler.
Steg 2 — Sammenlikn vinklene
Vinkelen ved \(A\) i \( riangle ABE\) er lik vinkelen ved \(D\) i \( riangle CDE\), og vinkelen ved \(B\) er lik vinkelen ved \(C\).
Steg 3 — Bruk toppvinkler ved E
Vinklene ved \(E\) er toppvinkler og er derfor like.
Tolkning
Trekantene har parvis like vinkler. Derfor er \( riangle ABE\) og \( riangle CDE\) formlike.
Vanlig feil: Å påstå formlikhet bare fordi figurene ser like ut. Begrunnelsen må bruke vinkler eller sideforhold.
Fasit: \( riangle ABE\sim riangle CDE\).
Del 2 · Oppgave 7bFormlikhet og areal
Oppgave 7b
Oppgave:
b) Vis hvordan du kan bruke formlikhet til å bestemme hvor stort areal blomsterbedet vil få.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke formlikhet til å finne høyden i hele trapeset og deretter arealet.
Steg 1 — Finn målestokken mellom trekantene
De parallelle sidene er \(AB=8\) m og \(DC=20\) m. Forholdet er
\[\dfrac{DC}{AB}=\dfrac{20}{8}=2{,}5\]
Steg 2 — Bruk høydene i formlike trekanter
Høyden fra \(E\) ned på \(AB\) er 5 m. Den tilsvarende høyden fra \(E\) opp til \(DC\) blir
import statistics
data = [7286,6926,5832,5713,5050,4890,4806,4575,4403,4369,4332,4221,4142,4095,4004]
print(sum(data)/len(data))
print(statistics.median(data))
print(statistics.pstdev(data))
Fasit: Gjennomsnittet er \(4976{,}3\), medianen er \(4575\), og standardavviket er omtrent \(990{,}5\).
Del 2 · Oppgave 8bStatistisk vurdering
Oppgave 8b
Oppgave:
Ingrid vil regne ut medianen, gjennomsnittet og standardavviket for regionene som kommer på de neste 15 plassene i denne oversikten. Hun vil sammenlikne svarene hun får, med resultatene fra oppgave a).
Ingrid lurer på
om hun vil få et høyere eller lavere gjennomsnitt
om det vil være større forskjell mellom median og gjennomsnitt
om hun vil få et høyere eller lavere standardavvik
b) Vurder om det er mulig å si noe om det Ingrid lurer på. Husk å begrunne svarene dine.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere hva som kan konkluderes uten å kjenne de neste 15 tallene.
Steg 1 — Vurder gjennomsnittet
De neste 15 regionene kommer etter Asker på listen. Derfor kan ingen av dem ha flere enn \(4004\) hytter/fritidsbygg.
Siden alle verdiene i neste gruppe er lavere enn alle verdiene i den første gruppen, må gjennomsnittet bli lavere.
Steg 2 — Vurder forskjellen mellom median og gjennomsnitt
Dette kan vi ikke vite uten de faktiske tallene. Neste gruppe kan være jevn, eller den kan ha noen verdier som skiller seg mye ut.
Steg 3 — Vurder standardavviket
Standardavviket sier noe om spredningen innad i gruppen. Selv om alle tallene er lavere, kan de enten ligge tett sammen eller være spredt langt fra hverandre.
Tolkning
Vi kan si sikkert at gjennomsnittet blir lavere. Vi kan ikke si sikkert hva som skjer med forskjellen mellom median og gjennomsnitt, eller med standardavviket.
Vanlig feil: Å tro at lavere tall automatisk betyr lavere standardavvik. Standardavvik handler om spredning, ikke nivå.
Fasit: Gjennomsnittet blir lavere. For forskjellen mellom median og gjennomsnitt og for standardavviket kan vi ikke konkludere sikkert uten flere data.
Del 2 · Oppgave 9Prosentvis vekst
Oppgave 9
Oppgave:
Avsnittet ovenfor er hentet fra en artikkel som ble publisert på nrk.no 18. juni 2022.
Tekstutdraget i oppgave 9.
Omtrent hvor mange personer reiste til og fra norske flyplasser i samme periode i 2021?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tallet før en prosentvis økning på 250 %.
Steg 1 — Tolk 250 % økning
En økning på \(250\,\%\) betyr at det nye tallet er
\[100\,\%+250\,\%=350\,\%\]
av tallet året før.
Steg 2 — Sett opp likningen
La \(x\) være antall personer i 2021. Da er
\[3{,}5xpprox15000000\]
Steg 3 — Løs likningen
\[xpprox\dfrac{15000000}{3{,}5}pprox4285714\]
Tolkning
Det var omtrent \(4{,}3\) millioner personer i samme periode i 2021.
Vanlig feil: Å dele på \(2{,}5\). En økning på 250 % gir et sluttall på 350 % av starttallet.
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
15000000/3.5
→ \(4285714{,}29\)
💻 Python
x = 15_000_000 / 3.5
print(x)
Fasit: Omtrent \(4{,}3\) millioner personer.
Del 2 · Oppgave 10aEksponentiell vekst
Oppgave 10a
Oppgave:
Jonas og Margrete arbeider med et problem. De skal prøve å finne ut hvor lang tid det vil ta før et beløp blir doblet på en sparekonto. Banken tilbyr en fast rentesats på 2 % per år.
Jonas vil bruke et regneark. Margrete vil tegne en graf.
a) Hjelp Jonas og Margrete. Vis hvordan du kan bruke et regneark, og hvordan du kan lage en grafisk framstilling, som gir dem svar på problemet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal vise både en regnearkmetode og en grafisk metode for å finne doblingstid ved 2 % rente.
Steg 1 — Lag en modell
Hvis startbeløpet er \(K_0\), er beløpet etter \(x\) år
\[K(x)=K_0\cdot1{,}02^x\]
Vi kan velge \(K_0=1\), fordi dobling bare handler om forholdet mellom startbeløp og sluttbeløp.
Steg 2 — Regnearkmetode
Sett år i kolonne A og beløp i kolonne B. For eksempel:
A2=0, B2=1, A3=A2+1 og B3=B2*1,02. Kopier nedover til beløpet passerer 2.
Steg 3 — Grafisk metode
Tegn grafen til
\[y=1{,}02^x\]
og linjen \(y=2\). Skjæringspunktet gir doblingstiden.
Steg 4 — Finn svaret
Eksakt likning er
\[1{,}02^x=2\]
og den gir
\[x=\dfrac{\ln(2)}{\ln(1{,}02)}pprox35{,}0\]
Tolkning
Beløpet blir omtrent doblet etter 35 år. Dersom regnearket bare viser hele år, vil første hele år med minst dobbelt beløp være år 36.
Vanlig feil: Å bruke lineær vekst \(1+0{,}02x\) i stedet for eksponentiell vekst \(1{,}02^x\).
Kontroll (GeoGebra CAS / Python)
GeoGebra · CAS
1
Løs(1.02^x=2)
→ \(x=35{,}0028\)
💻 Python
import math
x = math.log(2) / math.log(1.02)
print(x)
print(1.02**35, 1.02**36)
Fasit: Doblingstiden er omtrent \(35\) år, eller første hele år etter start er år 36.
Del 2 · Oppgave 10b72-regelen
Oppgave 10b
Oppgave:
72-regelen er en tommelfingerregel som hjelper deg å finne ut hvor lang tid det tar å doble et sparebeløp, gitt en fast årlig rentesats og uten nye innskudd.
Dersom du deler 72 på rentesatsen, finner du ut hvor mange år det vil gå før sparebeløpet er doblet.
b) Lag en oversikt som viser hvor godt denne regelen stemmer for ulike rentesatser.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne tommelfingerregelen \(72/r\) med den nøyaktige doblingstiden.
Steg 1 — Bruk nøyaktig modell
For rentesats \(r\,\%\) per år er nøyaktig doblingstid
Oversikten viser at 72-regelen er ganske god for mange vanlige rentesatser, spesielt rundt 6–10 %.
Tolkning
72-regelen er ikke en eksakt formel, men en praktisk tommelfingerregel.
Vanlig feil: Å bruke 72-regelen som et eksakt svar uten å vurdere avviket.
Kontroll (Python)
💻 Python
import math
for r in [1,2,4,6,8,10]:
exact = math.log(2)/math.log(1+r/100)
rule72 = 72/r
print(r, round(exact,1), round(rule72,1), round(abs(rule72-exact),1))
Fasit: 72-regelen stemmer godt for flere rentesatser, men er en tilnærming.
Del 2 · Oppgave 10c70-regelen og modellvurdering
Oppgave 10c
Oppgave:
Margrete påstår at det kan være lurere å bruke 70 i stedet for 72.
c) Undersøk om dette kan være riktig.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke om \(70/r\) noen ganger gir bedre tilnærming enn \(72/r\).
