Hva spør oppgaven om? Vi skal finne både median og gjennomsnitt for de ti sidetallene.

Steg 1 — Sorter datamaterialet

\[15,15,15,20,20,20,25,25,25,100\]

Medianen finnes fra den sorterte listen.

Steg 2 — Finn medianen

Det er 10 observasjoner, så medianen er gjennomsnittet av verdi nummer 5 og 6.

\[\dfrac{20+20}{2}=20\]

Steg 3 — Finn gjennomsnittet

Summen av alle observasjonene er 280.

\[\overline{x}=\dfrac{280}{10}=28\]

Tolkning

Medianen er 20 sider, mens gjennomsnittet er 28 sider per dag.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

data = [20, 15, 15, 25, 20, 15, 25, 100, 25, 20]
sortert = sorted(data)
median = (sortert[4] + sortert[5]) / 2
gjennomsnitt = sum(data) / len(data)
print("Sortert liste:", sortert)
print("Median:", median)
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)

Sortert liste: [15, 15, 15, 20, 20, 20, 25, 25, 25, 100]
Median: 20.0
Gjennomsnitt: 28.0

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge det mest representative sentralmålet.

Steg 1 — Se etter avvikende observasjoner

De fleste verdiene ligger mellom 15 og 25, mens verdien 100 skiller seg kraftig ut.

Steg 2 — Vurder gjennomsnittet

Gjennomsnittet blir 28. Det er høyere enn 9 av de 10 observasjonene.

Steg 3 — Vurder medianen

Medianen 20 ligger midt i hovedgruppen av verdier.

Tolkning

Medianen beskriver datamaterialet best fordi én ekstrem verdi trekker gjennomsnittet opp.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne både hvor mange som er opptil 25 sider, og hvor stor andel som er nøyaktig 25 sider.

Steg 1 — Tell observasjoner lik 25

Tallet 25 forekommer 3 ganger.

\[f_{25}=3\]

Steg 2 — Finn relativ frekvens

Det er 10 observasjoner totalt.

\[\dfrac{3}{10}=0{,}30=30\,\%\]

Steg 3 — Finn kumulativ frekvens for 25

Kumulativ frekvens for 25 betyr antall observasjoner som er mindre enn eller lik 25. Alle observasjonene er \(\le 25\), bortsett fra 100. Her er de sorterte tallene \(15,15,15,20,20,20,25,25,25,100\).

\[F_{\le 25}=9\]

Tolkning

Den relative frekvensen sier at Maia leste nøyaktig 25 sider på 30 % av dagene. Den kumulative frekvensen sier at hun leste 25 sider eller mindre på 9 av 10 dager.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

data = [20, 15, 15, 25, 20, 15, 25, 100, 25, 20]
frekvens_25 = data.count(25)
relativ = frekvens_25 / len(data)
kumulativ_25 = sum(1 for verdi in data if verdi <= 25)
print("Frekvens for 25 sider:", frekvens_25)
print("Relativ frekvens:", relativ)
print("Relativ frekvens i prosent:", relativ * 100)
print("Kumulativ frekvens for 25 sider:", kumulativ_25)

Frekvens for 25 sider: 3
Relativ frekvens: 0.3
Relativ frekvens i prosent: 30.0
Kumulativ frekvens for 25 sider: 9

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor stor 4,0 % av den opprinnelige prisen er.

Steg 1 — Finn opprinnelig pris

Når 1,5 % tilsvarer 300 kroner, er

\[0{,}015\cdot P=300\]

\[P=\dfrac{300}{0{,}015}=20000\]

Steg 2 — Finn 4,0 % av prisen

\[0{,}04\cdot 20000=800\]

Tolkning

En prisøkning på 4,0 % ville tilsvart 800 kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

pris = 300 / 0.015
prisokning_4_prosent = 0.04 * pris
print("Opprinnelig pris:", pris)
print("Prisøkning ved 4,0 prosent:", prisokning_4_prosent)

Opprinnelig pris: 20000.0
Prisøkning ved 4,0 prosent: 800.0

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne stigningstallene til de to rette linjene.

Steg 1 — Les av stigningstallet til A

Linje A går omtrent gjennom \((0,0)\) og \((10,220)\).

\[a_A=\dfrac{220-0}{10-0}=22\]

Steg 2 — Les av stigningstallet til B

Linje B går omtrent gjennom \((0,0)\) og \((20,160)\).

\[a_B=\dfrac{160-0}{20-0}=8\]

Steg 3 — Finn forskjellen

\[22-8=14\]

Tolkning

Type A koster omtrent 14 kroner mer per hektogram enn type B.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

stigning_A = (220 - 0) / (10 - 0)
stigning_B = (160 - 0) / (20 - 0)
forskjell = stigning_A - stigning_B
print("Pris per hg for A:", stigning_A)
print("Pris per hg for B:", stigning_B)
print("Prisforskjell per hg:", forskjell)

Pris per hg for A: 22.0
Pris per hg for B: 8.0
Prisforskjell per hg: 14.0

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive tallene på sammenliknbar form.

Steg 1 — Skriv tallene som desimaltall

\[480\text{ millioner}=480000000\]

\[4800\cdot10^7=48000000000\]

\[0{,}048\cdot10^{-2}=0{,}00048\]

\[0{,}48\cdot10^{10}=4800000000\]

\[0{,}480\cdot10^{-5}=0{,}00000480\]

\[0{,}0048\,\%=0{,}000048\]

Steg 2 — Sorter fra minst til størst

\[0{,}00000480<0{,}000048<0{,}00048<480000000<4800000000<48000000000\]

Tolkning

Prosenttallet må deles på 100 før det sammenliknes med vanlige desimaltall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

tall = {
    "480 millioner": 480_000_000,
    "4800*10^7": 4800*10**7,
    "0,048*10^(-2)": 0.048*10**(-2),
    "0,48*10^10": 0.48*10**10,
    "0,480*10^(-5)": 0.480*10**(-5),
    "0,0048 prosent": 0.0048/100,
}
for navn, verdi in sorted(tall.items(), key=lambda element: element[1]):
    print(navn, "=", verdi)

0,480*10^(-5) = 4.800000000000001e-06
0,0048 prosent = 4.7999999999999994e-05
0,048*10^(-2) = 0.00048
480 millioner = 480000000
0,48*10^10 = 4800000000.0
4800*10^7 = 48000000000

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær modell.

Steg 1 — Startverdi

Når \(x=0\), er verdien 5 200 000 kroner.

Steg 2 — Årlig økning

Verdien øker med 80 000 kroner per år. Dette er stigningstallet.

Steg 3 — Sett opp modellen

\[f(x)=5200000+80000x\]

Tolkning

Modellen beskriver konstant kroneøkning hvert år.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentiell modell med fast prosentvis vekst.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

En økning på 1,4 % gir vekstfaktoren

\[1+\dfrac{1{,}4}{100}=1{,}014\]

Steg 2 — Bruk startverdien

Startverdien er 5 200 000 kroner.

Steg 3 — Sett opp modellen

\[g(x)=5200000\cdot1{,}014^x\]

Tolkning

Modellen beskriver rentes rente-effekt, fordi prosentøkningen regnes av ny verdi hvert år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

startverdi = 5_200_000
vekstfaktor = 1 + 1.4/100
print("Startverdi:", startverdi)
print("Vekstfaktor:", vekstfaktor)
print("Modell: g(x) = 5200000 * 1.014**x")

Startverdi: 5200000
Vekstfaktor: 1.014
Modell: g(x) = 5200000 * 1.014**x

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et tilnærmet gjennomsnitt fra gruppert materiale.

Steg 1 — Bruk klassemidtpunkt

Midtpunktene er 5, 15, 25, 40, 55 og 70.

Steg 2 — Multipliser midtpunkt med frekvens

\[5\cdot40+15\cdot20+25\cdot60+40\cdot20+55\cdot20+70\cdot40=6700\]

Steg 3 — Del på totalt antall personer

\[\overline{x}=\dfrac{6700}{200}=33{,}5\]

Tolkning

Gjennomsnittsalderen er omtrent 33,5 år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

midtpunkt = [5, 15, 25, 40, 55, 70]
frekvens = [40, 20, 60, 20, 20, 40]
sum_alder = sum(m*f for m, f in zip(midtpunkt, frekvens))
antall = sum(frekvens)
gjennomsnitt = sum_alder / antall
print("Sum av midtpunkt ganger frekvens:", sum_alder)
print("Antall personer:", antall)
print("Gjennomsnittsalder:", gjennomsnitt)

Sum av midtpunkt ganger frekvens: 6700
Antall personer: 200
Gjennomsnittsalder: 33.5

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage histogram for klasser med ulik bredde.

Steg 1 — Finn klassebreddene

Breddene er 10, 10, 10, 20, 10 og 20 år.

Steg 2 — Finn søylehøydene

I histogram bruker vi frekvenstetthet når klassebreddene er ulike.

\[\text{høyde}=\dfrac{\text{frekvens}}{\text{klassebredde}}\]

Høydene blir 4, 2, 6, 1, 2 og 2.

Steg 3 — Tegn histogrammet

Tolkning

Det største bidraget ligger i intervallet \([20,30)\), siden denne søylen har høyest frekvenstetthet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke ett moteksempel.

Steg 1 — Regn venstre side

\[2a+3a^2=2\cdot2+3\cdot2^2=4+12=16\]

Steg 2 — Regn høyre side

\[5a^3=5\cdot2^3=5\cdot8=40\]

Steg 3 — Sammenlikn

\[16 e40\]

Tolkning

Fordi uttrykkene gir ulike verdier når \(a=2\), kan de ikke være like uttrykk.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

a = 2
venstre_side = 2*a + 3*a**2
hoyre_side = 5*a**3
print("Venstre side:", venstre_side)
print("Høyre side:", hoyre_side)
print("Er uttrykkene like for a = 2?", venstre_side == hoyre_side)

Venstre side: 16
Høyre side: 40
Er uttrykkene like for a = 2? False

Hva spør oppgaven om? Vi skal videreføre mønsteret fra figur 1, 2 og 3.

Steg 1 — Del figuren i deler

I figur \(n\) kan vi se en grunnlinje, et tak og \(n\) loddrette rekker under.

Steg 2 — Tell delene for figur 4

Grunnlinjen får \(2\cdot4+3=11\) sirkler. Taket får \(2\cdot4+1=9\) sirkler. De fire loddrette rekkene under har \(4+1=5\) sirkler hver, altså \(4\cdot5=20\).

Steg 3 — Legg sammen

\[11+9+20=40\]

Tolkning

Figur 4 vil ha 40 små sirkler.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en generell formel.

Steg 1 — Tell grunnlinjen

Grunnlinjen har \(2n+3\) sirkler.

Steg 2 — Tell taket

Taket har \(2n+1\) sirkler.

Steg 3 — Tell de loddrette rekkene

Det er \(n\) loddrette rekker under grunnlinjen, og hver har \(n+1\) sirkler.

\[n(n+1)\]

Steg 4 — Legg sammen og forenkle

\[(2n+3)+(2n+1)+n(n+1)=n^2+5n+4\]

Tolkning

Formelen gir 10, 18 og 28 for figur 1, 2 og 3, og 40 for figur 4.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def antall_sirkler(n):
    grunnlinje = 2*n + 3
    tak = 2*n + 1
    loddrette_rekker = n*(n + 1)
    return grunnlinje + tak + loddrette_rekker

for n in [1, 2, 3, 4]:
    print(f"Figur {n}: {antall_sirkler(n)} sirkler")

Figur 1: 10 sirkler
Figur 2: 18 sirkler
Figur 3: 28 sirkler
Figur 4: 40 sirkler

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne modellen i gyldighetsområdet \(0\le x\le16\).

Steg 1 — Finn noen punkter

\[h(0)=50\]

\[h(5)\approx114{,}7\]

\[h(16)\approx168{,}4\]

Steg 2 — Tegn grafen i riktig intervall

Steg 3 — Vurder formen

Grafen stiger, men stigningen avtar. Det passer med at barn vokser raskt tidlig og langsommere etter hvert.

Tolkning

Grafen viser høyde i cm som funksjon av alder i år fra fødsel til 16 år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def h(x):
    return 50 + 28*x**0.52

for x in [0, 5, 16]:
    print(f"h({x}) = {h(x):.2f} cm")

h(0) = 50.00 cm
h(5) = 114.66 cm
h(16) = 168.39 cm

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig vekstfart de første fem årene.

Steg 1 — Finn funksjonsverdiene

\[h(0)=50\]

\[h(5)=50+28\cdot5^{0{,}52}\approx114{,}66\]

Steg 2 — Bruk formelen for stigningstall

\[a=\dfrac{h(5)-h(0)}{5-0}\]

\[a\approx\dfrac{114{,}66-50}{5}\approx12{,}93\]

Tolkning

Emma vokste i gjennomsnitt omtrent 12,9 cm per år de første fem årene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def h(x):
    return 50 + 28*x**0.52

stigningstall = (h(5) - h(0)) / (5 - 0)
print("h(0) =", round(h(0), 2))
print("h(5) =", round(h(5), 2))
print("Gjennomsnittlig vekstfart fra 0 til 5 år =", round(stigningstall, 2), "cm per år")

h(0) = 50.0
h(5) = 114.66
Gjennomsnittlig vekstfart fra 0 til 5 år = 12.93 cm per år

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne momentan vekstfart når Emma er 5 år.

Steg 1 — Deriver modellen

\[h'(x)=28\cdot0{,}52\cdot x^{-0{,}48}\]

Steg 2 — Sett inn \(x=5\)

\[h'(5)=28\cdot0{,}52\cdot5^{-0{,}48}\approx6{,}72\]

Steg 3 — Tolk stigningstallet

Dette er vekstfarten akkurat når Emma er 5 år.

Tolkning

Ifølge modellen vokser Emma med omtrent 6,7 cm per år når hun er 5 år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, N
x = symbols("x")
h = 50 + 28*x**0.52
derivert = diff(h, x)
verdi = derivert.subs(x, 5)
print("h'(x) =", derivert)
print("h'(5) =", N(verdi, 6))
print("Momentan vekstfart ved 5 år:", round(float(verdi), 2), "cm per år")

h'(x) = 14.56/x**0.48
h'(5) = 6.72443
Momentan vekstfart ved 5 år: 6.72 cm per år

Hva spør oppgaven om? Vi skal koble form på beholder med form på graf.

Steg 1 — Beholder A

A har omtrent samme tverrsnitt hele veien. Da stiger vannhøyden jevnt, og grafen blir en rett linje.

Steg 2 — Beholder B

B er smal nederst og bredere øverst. Vannhøyden stiger raskt først, deretter saktere. Grafen blir først bratt og så slakere.

Steg 3 — Sammenlikn med grafene

De to grafene som er vist, er en rett linje og en graf som først er bratt og deretter slakere.

Tolkning

Grafene passer med beholder A og beholder B.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne grafen for den beholderen som mangler.

Steg 1 — Finn manglende beholder

Fra oppgave a mangler beholder C.

Steg 2 — Vurder formen

C er bred nederst og smalere øverst. I den brede delen stiger vannhøyden sakte. I den smale delen stiger den raskere.

Steg 3 — Tegn grafen

Tolkning

Grafen for C skal først være slak og deretter bli brattere.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva som er galt med diagrammet.

Steg 1 — Se på \(x\)-aksen

Årstallene 2013, 2015, 2016, 2017, 2018 og 2021 er tegnet med omtrent lik avstand.

Steg 2 — Sammenlikn med faktisk tid

Avstanden fra 2018 til 2021 er tre år, mens avstanden fra 2017 til 2018 er ett år.

Steg 3 — Forklar konsekvensen

Når tidsintervallene tegnes likt, blir stigningene misvisende.

Tolkning

Diagrammet kan gi feil inntrykk av hvor raskt antallet e-poster økte.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et bedre diagram.

Steg 1 — Bruk riktig avstand mellom årstallene

Årstallene må plasseres etter faktisk tid.

Steg 2 — Behold samme verdier

Vi endrer ikke antallet e-poster, bare plasseringen langs tidsaksen.

Steg 3 — Tegn diagrammet

Tolkning

Dette diagrammet viser bedre hvor lang tid det faktisk går mellom observasjonene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere påstanden ut fra både total økning og økning per år.

Steg 1 — Les av omtrentlige verdier

Fra diagrammet kan vi lese omtrent \(62\) tusen i 2017, \(108\) tusen i 2018 og \(189\) tusen i 2021.

Steg 2 — Finn økning fra 2017 til 2018

\[108-62=46\]

Økningen er omtrent 46 tusen på ett år.

Steg 3 — Sammenlikn med 2018 til 2021

\[189-108=81\]

Dette er større totalt, men det er over tre år. Per år blir det omtrent

\[\dfrac{81}{3}=27\]

Tolkning

Påstanden kan være riktig hvis Jens mener størst økning per år. Hvis han mener størst total økning mellom to nabopunkter, er 2018–2021 større.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en modell for antall registrerte personbiler.

Steg 1 — Velg variabel

La \(x\) være antall år etter 2008.

Steg 2 — Velg modelltype

Grafen er forholdsvis rettlinjet, så en lineær modell passer rimelig godt.

Steg 3 — Lag en modell

Med omtrent \(2\,200\,000\) personbiler i 2008 og \(2\,880\,000\) i 2021 får vi

\[P(x)\approx2200000+52300x\]

Steg 4 — Tolk modellen

Modellen sier at antallet registrerte personbiler økte med omtrent 52 300 per år i perioden.

Vurdering av modellen

Modellen er en forenkling. Grafen er ikke helt rett, men lineær modell gir en grei oversikt for perioden 2008–2021.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

x0, y0 = 0, 2_200_000
x1, y1 = 13, 2_880_000
stigning = (y1 - y0) / (x1 - x0)
konstantledd = y0
print("Stigningstall:", round(stigning))
print("Konstantledd:", konstantledd)
print(f"Modell: P(x) = {konstantledd} + {stigning:.0f}*x")

Stigningstall: 52308
Konstantledd: 2200000
Modell: P(x) = 2200000 + 52308*x

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en modell for elbiler.

Steg 1 — Velg variabel

La \(x\) være antall år etter 2008.

Steg 2 — Velg modelltype

Grafen øker stadig raskere. Derfor passer en eksponentiell modell bedre enn en lineær modell.

Steg 3 — Bruk startverdien og et punkt i 2021

Fra diagrammet leser vi omtrent \(460000\) elbiler i 2021. Med \(E(0)=1693\) får vi

\[E(x)=1693\cdot b^x\]

der

\[b=\left(\dfrac{460000}{1693}\right)^{\frac{1}{13}}\approx1{,}539\]

Altså

\[E(x)\approx1693\cdot1{,}539^x\]

Tolkning

Modellen forteller at antallet elbiler vokste kraftig, med omtrent samme prosentvise vekst fra år til år i denne forenklede modellen.

Vurdering av modellen

Eksponentiell modell passer til den sterke veksten i perioden, men bør brukes forsiktig framover fordi veksten kan flate ut.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

start = 1693
verdi_2021 = 460_000
antall_ar = 13
b = (verdi_2021/start)**(1/antall_ar)
print("Startverdi E(0):", start)
print("Omtrentlig verdi i 2021:", verdi_2021)
print("Vekstfaktor:", round(b, 3))
print(f"Modell: E(x) = {start} * {b:.3f}**x")

Startverdi E(0): 1693
Omtrentlig verdi i 2021: 460000
Vekstfaktor: 1.539
Modell: E(x) = 1693 * 1.539**x

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke modellene til å lage prognoser for 2025 og vurdere dem.

Steg 1 — Finn \(x\)-verdien for 2025

\[x=2025-2008=17\]

Steg 2 — Bruk personbilmodellen

\[P(17)\approx2200000+52300\cdot17\approx3089000\]

Steg 3 — Bruk elbilmodellen

\[E(17)\approx1693\cdot1{,}539^{17}\approx2580000\]

Steg 4 — Vurder svarene

Personbilmodellen gir en moderat framskriving og kan være brukbar noen få år framover. Elbilmodellen gir svært rask vekst og bør vurderes kritisk, fordi eksponentiell vekst sjelden fortsetter uendret lenge.

Tolkning

Modellene gir omtrent 3,09 millioner personbiler og 2,58 millioner elbiler i 2025, men særlig elbilprognosen er usikker.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

P_2025 = 2_200_000 + 52_300*17
E_2025 = 1693 * 1.539**17
print("x for 2025:", 17)
print("P(17), antall personbiler:", round(P_2025))
print("E(17), antall elbiler:", round(E_2025))
print("Kommentar: Elbilmodellen bør brukes forsiktig utenfor perioden 2008-2021.")

x for 2025: 17
P(17), antall personbiler: 3089100
E(17), antall elbiler: 2580557
Kommentar: Elbilmodellen bør brukes forsiktig utenfor perioden 2008-2021.

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne tre statistiske mål for 15 verdier.

Steg 1 — Finn gjennomsnittet

Summen er 74 644.

\[\overline{x}=\dfrac{74644}{15}\approx4976{,}3\]

Steg 2 — Finn medianen

Det er 15 verdier, så medianen er verdi nummer 8 i sortert rekkefølge. Tabellen er sortert synkende, og verdi nummer 8 er 4575.

\[\text{median}=4575\]

Steg 3 — Finn standardavviket

Med standardavvik for hele datamaterialet får vi

\[\sigma\approx990{,}5\]

I regneark kan dette beregnes med =STDAV.P(...) eller =STDEV.P(...), avhengig av språkinnstilling.

Tolkning

Gjennomsnittet er høyere enn medianen fordi de to største verdiene trekker gjennomsnittet opp.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import statistics as st
verdier = [7286, 6926, 5832, 5713, 5050, 4890, 4806, 4575, 4403, 4369, 4332, 4221, 4142, 4095, 4004]
gjennomsnitt = sum(verdier) / len(verdier)
median = sorted(verdier)[len(verdier)//2]
standardavvik = st.pstdev(verdier)
print("Antall verdier:", len(verdier))
print("Sum:", sum(verdier))
print("Gjennomsnitt:", round(gjennomsnitt, 1))
print("Median:", median)
print("Standardavvik:", round(standardavvik, 1))

Antall verdier: 15
Sum: 74644
Gjennomsnitt: 4976.3
Median: 4575
Standardavvik: 990.5

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere hva som kan bestemmes uten å ha de neste 15 tallene.

Steg 1 — Gjennomsnitt

Alle regionene på plass 16–30 må ha \(4004\) hytter/fritidsbygg eller færre. Derfor må gjennomsnittet for disse 15 være lavere enn gjennomsnittet i oppgave a, som var omtrent \(4976{,}3\).

Steg 2 — Forskjell mellom median og gjennomsnitt

Dette kan vi ikke vite. De neste 15 tallene kan ligge tett samlet, eller de kan være mer spredt.

Steg 3 — Standardavvik

Dette kan vi heller ikke vite sikkert. Selv om tallene er lavere, kan de være enten jevnt fordelt eller svært spredt.

Tolkning

Vi kan si sikkert at gjennomsnittet blir lavere. For forskjell mellom median og gjennomsnitt og for standardavvik mangler vi data.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne utgangspunktet før en økning på 250 %.

Steg 1 — Tolk 250 % økning

En økning på 250 % betyr at ny verdi er

\[100\,\%+250\,\%=350\,\%\]

av gammel verdi.

Steg 2 — Skriv som vekstfaktor

\[350\,\%=3{,}5\]

Steg 3 — Regn baklengs

\[\dfrac{15\,000\,000}{3{,}5}\approx4\,285\,714\]

Tolkning

Det var omtrent 4,3 millioner personer i samme periode i 2021.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

ny_verdi = 15_000_000
vekstfaktor = 1 + 250/100
gammel_verdi = ny_verdi / vekstfaktor
print("Ny verdi:", ny_verdi)
print("Vekstfaktor:", vekstfaktor)
print("Omtrentlig gammel verdi:", round(gammel_verdi))

Ny verdi: 15000000
Vekstfaktor: 3.5
Omtrentlig gammel verdi: 4285714

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne baklengs gjennom flere prosentendringer.

Steg 1 — Finn samlet vekstfaktor

Tre økninger på 10 % gir faktoren \(1{,}10^3\). To nedganger på 20 % gir faktoren \(0{,}80^2\).

\[\text{samlet faktor}=1{,}10^3\cdot0{,}80^2\]

Steg 2 — Sett opp likning

La \(x\) være opprinnelig pris.

\[x\cdot1{,}10^3\cdot0{,}80^2=4680\]

Steg 3 — Løs for \(x\)

\[x=\dfrac{4680}{1{,}10^3\cdot0{,}80^2}\approx5493{,}99\]

Tolkning

Varen kostet omtrent 5494 kroner før prisendringene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

sluttpris = 4680
samlet_faktor = 1.10**3 * 0.80**2
startpris = sluttpris / samlet_faktor
print("Sluttpris:", sluttpris)
print("Samlet vekstfaktor:", samlet_faktor)
print("Startpris:", startpris)
print("Startpris avrundet til nærmeste krone:", round(startpris))

Sluttpris: 4680
Samlet vekstfaktor: 0.8518400000000004
Startpris: 5493.989481592785
Startpris avrundet til nærmeste krone: 5494

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise hvordan nedbetalingen kan settes opp i regneark.

Steg 1 — Lag kolonner

Bruk kolonnene Måned, Startlån, Renter, Avdrag, Betaling og Restlån.

Steg 2 — Bruk formler

Hvis startlånet i rad 2 står i celle B2, kan vi bruke:

C2 = B2*0,85%

D2 = MIN(5000;B2)

E2 = C2+D2

F2 = B2-D2

Neste rad starter med B3 = F2.

Steg 3 — Eksempel på nedbetalingsplan

Tolkning

Renten synker hver måned fordi restlånet blir lavere.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne antall avdrag når hvert avdrag er 5000 kroner.

Steg 1 — Del lånet på avdraget

\[\dfrac{150000}{5000}=30\]

Steg 2 — Kontroller at siste avdrag ikke blir mindre

150 000 er delelig med 5000, så alle avdragene blir 5000 kroner.

Tolkning

Det tar 30 måneder før lånet er betalt ned.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

laan = 150_000
avdrag = 5_000
maaneder = laan // avdrag
print("Lån:", laan)
print("Avdrag per måned:", avdrag)
print("Antall måneder:", maaneder)

Lån: 150000
Avdrag per måned: 5000
Antall måneder: 30

Hva spør oppgaven om? Vi skal summere alle månedlige renter.

Steg 1 — Finn restlånene ved starten av månedene

Restlånet ved starten av månedene er

\[150000,145000,140000,\ldots,5000\]

Dette er en aritmetisk rekke med 30 ledd.

Steg 2 — Finn summen av restlånene

\[S=\dfrac{30(150000+5000)}{2}=2325000\]

Steg 3 — Beregn samlet rente

Renten er \(0{,}85\,\%=0{,}0085\) av restlånet hver måned.

\[2325000\cdot0{,}0085=19762{,}5\]

Tolkning

Sondre må betale 19 762,50 kroner i renter totalt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

laan = 150_000
rente_per_maaned = 0.0085
avdrag = 5_000
maaned = 0
samlet_rente = 0

while laan > 0:
    maaned += 1
    rente = laan * rente_per_maaned
    samlet_rente += rente
    print(f"Måned {maaned:2d}: startlån = {laan:8.2f}, rente = {rente:7.2f}")
    laan -= avdrag

print("Samlet rente:", round(samlet_rente, 2))

Måned  1: startlån = 150000.00, rente = 1275.00
Måned  2: startlån = 145000.00, rente = 1232.50
Måned  3: startlån = 140000.00, rente = 1190.00
Måned  4: startlån = 135000.00, rente = 1147.50
Måned  5: startlån = 130000.00, rente = 1105.00
Måned  6: startlån = 125000.00, rente = 1062.50
Måned  7: startlån = 120000.00, rente = 1020.00
Måned  8: startlån = 115000.00, rente =  977.50
Måned  9: startlån = 110000.00, rente =  935.00
Måned 10: startlån = 105000.00, rente =  892.50
Måned 11: startlån = 100000.00, rente =  850.00
Måned 12: startlån = 95000.00, rente =  807.50
Måned 13: startlån = 90000.00, rente =  765.00
Måned 14: startlån = 85000.00, rente =  722.50
Måned 15: startlån = 80000.00, rente =  680.00
Måned 16: startlån = 75000.00, rente =  637.50
Måned 17: startlån = 70000.00, rente =  595.00
Måned 18: startlån = 65000.00, rente =  552.50
Måned 19: startlån = 60000.00, rente =  510.00
Måned 20: startlån = 55000.00, rente =  467.50
Måned 21: startlån = 50000.00, rente =  425.00
Måned 22: startlån = 45000.00, rente =  382.50
Måned 23: startlån = 40000.00, rente =  340.00
Måned 24: startlån = 35000.00, rente =  297.50
Måned 25: startlån = 30000.00, rente =  255.00
Måned 26: startlån = 25000.00, rente =  212.50
Måned 27: startlån = 20000.00, rente =  170.00
Måned 28: startlån = 15000.00, rente =  127.50
Måned 29: startlån = 10000.00, rente =   85.00
Måned 30: startlån =  5000.00, rente =   42.50
Samlet rente: 19762.5