Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive datamaterialet med fire sentral- og spredningsmål.

Steg 1 — Sorter tallene

\[0,0,4,4,4,5,5,7,7,9\]

Sortering gjør median og typetall tydelige.

Steg 2 — Finn medianen

Det er 10 tall. Medianen er gjennomsnittet av tall nummer 5 og 6.

\[\dfrac{4+5}{2}=4{,}5\]

Steg 3 — Finn gjennomsnittet

\[\overline{x}=\dfrac{4+7+0+0+4+5+5+4+7+9}{10}=\dfrac{45}{10}=4{,}5\]

Steg 4 — Finn typetall og variasjonsbredde

Tallet 4 forekommer flest ganger, så typetallet er 4. Variasjonsbredden er

\[9-0=9\]

Tolkning

Et typisk år hadde omtrent 4–5 snødager i april, men variasjonen gikk fra 0 til 9 dager.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

data = [4, 7, 0, 0, 4, 5, 5, 4, 7, 9]
sortert = sorted(data)
sum_data = sum(data)
gjennomsnitt = sum_data / len(data)
median = (sortert[4] + sortert[5]) / 2
typetall = max(set(data), key=data.count)
variasjonsbredde = max(data) - min(data)
print("Sortert datamateriale:", sortert)
print("Sum:", sum_data)
print("Median:", median)
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)
print("Typetall:", typetall)
print("Variasjonsbredde:", variasjonsbredde)

Sortert datamateriale: [0, 0, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 9]
Sum: 45
Median: 4.5
Gjennomsnitt: 4.5
Typetall: 4
Variasjonsbredde: 9

Hva spør oppgaven om? Vi skal telle hvor mange observasjoner som er mindre enn eller lik 5.

Steg 1 — Bruk sortert liste

\[0,0,4,4,4,5,5,7,7,9\]

Steg 2 — Tell verdiene til og med 5

Verdiene \(0,0,4,4,4,5,5\) er mindre enn eller lik 5. Det er 7 verdier.

Steg 3 — Tolk tallet

Den kumulative frekvensen for 5 er 7.

Det betyr at i 7 av de 10 årene var det høyst 5 dager med snøfall i april.

Hva spør oppgaven om? Siden dataene er gruppert i intervaller, bruker vi klassemidtpunkter.

Steg 1 — Finn klassemidtpunktene

Midtpunktene er \(5\), \(15\), \(30\) og \(60\).

Steg 2 — Multipliser midtpunkt med frekvens

\[5\cdot20+15\cdot50+30\cdot20+60\cdot10=2050\]

Steg 3 — Del på antall elever

\[\overline{x}=\dfrac{2050}{100}=20{,}5\]

Tolkning

Gjennomsnittlig skolevei er omtrent 20,5 minutter.

Kontroll

midtpunkt = [5, 15, 30, 60]
frekvens = [20, 50, 20, 10]
vektet_sum = sum(m*f for m, f in zip(midtpunkt, frekvens))
antall = sum(frekvens)
gjennomsnitt = vektet_sum / antall
print("Vektet sum:", vektet_sum)
print("Antall elever:", antall)
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt, "minutter")

Vektet sum: 2050
Antall elever: 100
Gjennomsnitt: 20.5 minutter

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor elev nummer 50 og 51 ligger når alle elever sorteres etter reisetid.

Steg 1 — Lag kumulative frekvenser

Etter første intervall er det \(20\) elever. Etter andre intervall er det \(20+50=70\) elever.

Steg 2 — Finn medianplassene

Det er 100 elever, så medianen ligger mellom elev nummer 50 og 51.

Steg 3 — Plasser medianen i riktig intervall

Både elev nummer 50 og 51 ligger i intervallet \([10,20\rangle\), fordi dette intervallet dekker plass 21 til 70.

Tolkning

Medianeleven bruker mellom 10 og 20 minutter på skoleveien.

Hva spør oppgaven om? Intervallene har ulik bredde, derfor må stolpehøydene være frekvenstetthet.

Steg 1 — Finn klassebredder

Klassebreddene er \(10\), \(10\), \(20\) og \(40\).

Steg 2 — Finn stolpehøyder

\[\dfrac{20}{10}=2,\quad \dfrac{50}{10}=5,\quad \dfrac{20}{20}=1,\quad \dfrac{10}{40}=0{,}25\]

Steg 3 — Tegn histogrammet

Tolkning

Den høyeste stolpen er intervallet \([10,20\rangle\), der flest elever ligger.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive 8 som en potens med grunntall 2.

Steg 1 — Skriv om grunntallet

\[8=2^3\]

Steg 2 — Bruk potensregelen

\[(2^3)^5=2^{3\cdot5}=2^{15}\]

Tolkning

Idar har rett fordi potensen av en potens gir produkt av eksponentene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne to potenser.

Steg 1 — Regn ut \(8^5\)

\[8^5=32768\]

Steg 2 — Regn ut \(3^{10}\)

\[3^{10}=59049\]

Steg 3 — Sammenlikn

\[59049>32768\]

Tolkning

Selv om 8 er større enn 3, er eksponenten 10 så stor at \(3^{10}\) blir størst.

Kontroll

a = 8**5
b = 3**10
print("8^5 =", a)
print("3^10 =", b)
print("Størst verdi:", "3^10" if b > a else "8^5")

8^5 = 32768
3^10 = 59049
Størst verdi: 3^10

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere tre resonnementer om prosentvis vekst.

Steg 1 — Vurder Irene

Irene deler total prosentvekst på 10. Det gir ikke riktig svar når veksten skjer med samme prosent hvert år, fordi veksten er sammensatt.

Steg 2 — Vurder Gro

Gro bruker vekstfaktor. Hvis \(x\) er årlig vekstfaktor, må

\[x^{10}=1{,}15\]

Dette er riktig metode.

Steg 3 — Finn årlig prosentvekst

\[x=1{,}15^{\frac{1}{10}}\approx1{,}01405\]

Årlig prosentvekst er derfor omtrent

\[(1{,}01405-1)\cdot100\approx1{,}4\,\%\]

Steg 4 — Vurder Andrea

Andrea tar feil. Startverdien trengs ikke, fordi den kan forkortes bort når vi bare ser på prosentvis vekst.

Tolkning

Gro har riktig resonnement. Irene får et nært, men ikke korrekt svar. Andrea har ikke rett.

vekstfaktor_10_ar = 1.15
arlig_vekstfaktor = vekstfaktor_10_ar**(1/10)
arlig_prosent = (arlig_vekstfaktor - 1)*100
print("Årlig vekstfaktor:", round(arlig_vekstfaktor, 6))
print("Årlig prosentvekst:", round(arlig_prosent, 2), "%")

Årlig vekstfaktor: 1.014047
Årlig prosentvekst: 1.4 %

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær modell gjennom punktene \((0,4000)\) og \((50,6000)\).

Steg 1 — Finn stigningstallet

\[a=\dfrac{6000-4000}{50-0}=\dfrac{2000}{50}=40\]

Steg 2 — Bruk startverdien

Når \(x=0\), er antallet smittede 4000.

Steg 3 — Skriv modellen

\[S(x)=4000+40x\]

Tolkning

Modellen sier at antallet smittede øker med 40 personer per dag.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når modellen blir større enn 10 000.

Steg 1 — Sett opp ulikheten

\[4000+40x>10000\]

Steg 2 — Løs ulikheten

\[40x>6000\]

\[x>150\]

Steg 3 — Tolk svaret

Etter 150 dager er modellen akkurat 10 000. Den passerer 10 000 like etter 150 dager.

Tolkning

Hvis vi teller hele dager, skjer passeringen fra og med dag 151.

Hva spør oppgaven om? Vi skal kjenne igjen mønsteret i figurene og lage en generell regel.

Steg 1 — Tell figurene systematisk

Ved å telle sirkler rad for rad får vi figurrekken

\[13,\;25,\;46,\;68,\ldots\]

Steg 2 — Del figuren i faste deler

Figuren kan deles i horn, fremre kvadratdel, bakre rektangeldel og to bein. Når mønsteret utvides til figur 5, øker både høyde og bredde i hoveddelene.

Steg 3 — Tell figur 5

Med samme rad-for-rad-mønster får figur 5

\[98\]

Steg 4 — Lag uttrykk

En mulig måte å skrive regelen på er

\[a_n= ext{antall sirkler som framkommer ved å summere radene i figur } n\]

Tolkning

Poenget er ikke bare tallet i figur 5, men at eleven viser en konsekvent opptelling og kan forklare hvordan mønsteret fortsetter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne prosentvis økning og prosentvis nedgang.

Steg 1 — Butikk A

Økningen er \(184-160=24\) kroner.

\[\dfrac{24}{160}=0{,}15=15\,\%\]

Steg 2 — Butikk B

Nedgangen er \(180-153=27\) kroner.

\[\dfrac{27}{180}=0{,}15=15\,\%\]

Tolkning

Prisen i A økte med 15 %, og prisen i B gikk ned med 15 %. Det er samme prosent, selv om kronebeløpene er ulike.

okning_A = (184 - 160) / 160 * 100
nedgang_B = (180 - 153) / 180 * 100
print("Prosentvis økning i butikk A:", okning_A, "%")
print("Prosentvis nedgang i butikk B:", nedgang_B, "%")
print("Like mange prosent:", round(okning_A, 10) == round(nedgang_B, 10))

Prosentvis økning i butikk A: 15.0 %
Prosentvis nedgang i butikk B: 15.0 %
Like mange prosent: True

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tiden det tar til mengden er redusert til en tidel.

Steg 1 — Sett opp modellen

\[M(t)=100\cdot\left(\dfrac{1}{2}\r\right)^{\frac{t}{4{,}47\cdot10^9}}\]

Steg 2 — Sett \(M(t)=10\)

\[100\cdot\left(\dfrac{1}{2}\r\right)^{\frac{t}{4{,}47\cdot10^9}}=10\]

\[\left(\dfrac{1}{2}\r\right)^{\frac{t}{4{,}47\cdot10^9}}=0{,}1\]

Steg 3 — Løs med logaritmer

\[t=4{,}47\cdot10^9\cdot \dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}5)}\approx1{,}48\cdot10^{10}\]

Tolkning

Det tar omtrent 14,8 milliarder år før 100 gram er redusert til 10 gram.

import math
halveringstid = 4.47e9
andel_igjen = 10 / 100
t = halveringstid * math.log(andel_igjen) / math.log(0.5)
print("Tid i år:", t)
print("Standardform:", f"{t:.2e}")

Tid i år: 14849018362.481558
Standardform: 1.48e+10

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne bakover fem år med vekstfaktor 1,03.

Steg 1 — Sett opp sammenhengen

La \(V\) være verdien da huset ble kjøpt.

\[V\cdot1{,}03^5=4{,}1\]

Steg 2 — Løs for \(V\)

\[V=\dfrac{4{,}1}{1{,}03^5}\approx3{,}54\]

Tolkning

Huset var verdt omtrent 3,54 millioner kroner da de kjøpte det.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne årlig vekstfaktor fra 4,1 til 5,1 millioner på fem år.

Steg 1 — Sett opp likningen

\[4{,}1\cdot x^5=5{,}1\]

Steg 2 — Løs for vekstfaktoren

\[x=\left(\dfrac{5{,}1}{4{,}1}\r\right)^{\frac{1}{5}}\approx1{,}0446\]

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[(1{,}0446-1)\cdot100\approx4{,}46\,\%\]

Tolkning

Verdien må øke med omtrent 4,5 % per år de neste fem årene.

startverdi = 4.1
sluttverdi = 5.1
antall_ar = 5
vekstfaktor = (sluttverdi/startverdi)**(1/antall_ar)
prosent = (vekstfaktor - 1) * 100
print("Vekstfaktor per år:", round(vekstfaktor, 6))
print("Prosentvis vekst per år:", round(prosent, 2), "%")

Vekstfaktor per år: 1.044617
Prosentvis vekst per år: 4.46 %

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne grafen til modellen på intervallet \(0\le x\le12\).

Steg 1 — Bruk riktig definisjonsområde

Grafen skal bare tegnes fra \(x=0\) til \(x=12\).

Steg 2 — Legg inn funksjonen i graftegner

I GeoGebra kan vi skrive F(x)=-0.3x^4+9x^3-62x^2-50x+1960.

Steg 3 — Tegn grafen

Tolkning

Grafen viser at energiforbruket er høyt i starten og slutten av året, og lavere midt på året.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når \(F(x)>1500\).

Steg 1 — Løs likningen \(F(x)=1500\)

Digitale verktøy gir skjæringspunktene i intervallet:

\[x\approx2{,}86\quad ext{og}\quad x\approx11{,}02\]

Steg 2 — Vurder hvor grafen ligger over 1500

Grafen ligger over 1500 fra \(x=0\) til omtrent \(x=2{,}86\), og igjen fra omtrent \(x=11{,}02\) til \(x=12\).

Steg 3 — Tolk måneder

Dette svarer omtrent til januar, februar, mars og desember.

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
F = -0.3*x**4 + 9*x**3 - 62*x**2 - 50*x + 1960
losninger = [r for r in sp.nroots(F - 1500) if abs(sp.im(r)) < 1e-10 and 0 <= float(sp.re(r)) <= 12]
print("Skjæringspunkter med 1500 kWh:")
for r in losninger:
    print(round(float(sp.re(r)), 3))
print("F(x) > 1500 omtrent for x i [0, 2.86) og (11.02, 12].")

Skjæringspunkter med 1500 kWh:
2.862
11.021
F(x) > 1500 omtrent for x i [0, 2.86) og (11.02, 12].

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne den deriverte i \(x=10\).

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[F'(x)=-1{,}2x^3+27x^2-124x-50\]

Steg 2 — Sett inn \(x=10\)

\[F'(10)=-1{,}2\cdot10^3+27\cdot10^2-124\cdot10-50=210\]

Tolkning

Ti måneder etter 1. januar øker det månedlige energiforbruket med omtrent 210 kWh per måned ifølge modellen.

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
F = -0.3*x**4 + 9*x**3 - 62*x**2 - 50*x + 1960
F_derivert = sp.diff(F, x)
verdi = F_derivert.subs(x, 10)
print("F'(x) =", F_derivert)
print("F'(10) =", verdi)
print("Tolkning: Forbruket øker med omtrent", verdi, "kWh per måned ved x = 10.")

F'(x) = -1.2*x**3 + 27*x**2 - 124*x - 50
F'(10) = 210.000000000000
Tolkning: Forbruket øker med omtrent 210.000000000000 kWh per måned ved x = 10.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke produktet av forbruk og pris.

Steg 1 — Tolk \(F(x)\)

\(F(x)\) er antall kWh brukt i måned \(x\).

Steg 2 — Tolk \(P(x)\)

\(P(x)\) er pris i øre per kWh.

Steg 3 — Multipliser enhetene

\[ ext{kWh}\cdot\dfrac{ ext{øre}}{ ext{kWh}}= ext{øre}\]

Tolkning

Produktet gir energikostnaden i øre. Hvis vi vil ha kroner, deler vi på 100.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne minimum for \(K(x)=F(x)P(x)\) på intervallet \([0,12]\).

Steg 1 — Lag kostnadsfunksjonen

\[K(x)=F(x)\cdot P(x)\]

Steg 2 — Finn minimum digitalt

Ved å minimere funksjonen på \([0,12]\) får vi

\[x\approx6{,}83\]

Steg 3 — Tolk måned

\(x=6{,}83\) er omtrent i slutten av juli, siden \(x=6\) er rundt begynnelsen av juli.

Tolkning

De gjennomsnittlige energikostnadene var lavest i juli ifølge modellen.

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
F = -0.3*x**4 + 9*x**3 - 62*x**2 - 50*x + 1960
P = 0.78*x**2 - 9.2*x + 96
K = sp.expand(F*P)
kritiske = [r for r in sp.nroots(sp.diff(K, x)) if abs(sp.im(r)) < 1e-10 and 0 <= float(sp.re(r)) <= 12]
verdier = [(0, K.subs(x, 0)), (12, K.subs(x, 12))]
for r in kritiske:
    xr = float(sp.re(r))
    verdier.append((xr, float(K.subs(x, xr))))
print("Kritiske punkt i intervallet:")
for xr, yr in verdier:
    print(round(xr, 3), round(float(yr), 2))
print("Lavest ved x ≈", round(min(verdier, key=lambda p: p[1])[0], 3))

Kritiske punkt i intervallet:
0 188160.0
12 172652.54
6.831 65442.52
Lavest ved x ≈ 6.831

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær modell fra diagrammet. Det finnes flere rimelige modeller fordi verdiene leses av grafisk.

Steg 1 — Velg variabel

La \(x\) være antall år etter 2008.

Steg 2 — Les av to punkter

Fra diagrammet kan vi lese omtrent \((0,13850)\) og \((10,12150)\).

Steg 3 — Finn stigningstall

\[a=\dfrac{12150-13850}{10}=-170\]

Steg 4 — Skriv modellen

\[K(x)=13850-170x\]

Tolkning

Konstantleddet 13 850 betyr omtrent gjennomsnittlig kjørelengde i 2008. Stigningstallet \(-170\) betyr at gjennomsnittlig årlig kjørelengde gikk ned med omtrent 170 km per år.

x0, y0 = 0, 13850
x1, y1 = 10, 12150
a = (y1 - y0) / (x1 - x0)
b = y0
print("Stigningstall:", a)
print("Konstantledd:", b)
print(f"Modell: K(x) = {b} + ({a})*x")

Stigningstall: -170.0
Konstantledd: 13850
Modell: K(x) = 13850 + (-170.0)*x

Hva spør oppgaven om? Vi skal si hvor modellen kan brukes på en rimelig måte.

Steg 1 — Se på dataperioden

Modellen er laget av data fra 2008 til 2018, altså \(0\le x\le10\).

Steg 2 — Vurder utenfor perioden

Utenfor perioden kan trafikkvaner, bilpark, drivstoffpriser og samfunnsendringer gjøre modellen dårlig.

Tolkning

Det tryggeste gyldighetsområdet er perioden 2008–2018. En kort framskriving kan være mulig, men må vurderes kritisk.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke to diagrammer i sammenheng.

Steg 1 — Se på gjennomsnittet

Gjennomsnittlig årlig kjørelengde per bil går ned.

Steg 2 — Se på totalen

Samlet kjørelengde for alle biler øker. Det betyr at det sannsynligvis er blitt flere biler.

Steg 3 — Forklar mulig årsak

Hvis flere husholdninger har to biler, kan hver bil bli brukt mindre i gjennomsnitt, selv om bilene samlet kjører mer.

Tolkning

Andre mulige årsaker er mer hjemmekontor, bedre kollektivtilbud, endrede reisevaner eller flere biler som brukes lite.

Hva spør oppgaven om? Vi skal dokumentere regresjon og vurdere modellen.

Steg 1 — Legg dataene inn i GeoGebra

Lag punktene \((1,202)\), \((15,286)\), \((30,315)\), \((45,332)\), \((60,346)\), \((81,350)\).

Steg 2 — Bruk potensregresjon

GeoGebra gir omtrent

\[S(x)=202{,}36\cdot x^{0{,}129}\]

Dette stemmer svært godt med den oppgitte modellen \(202\cdot x^{0{,}13}\).

Steg 3 — Vurder modellen

Punktene ligger tett ved kurven, og en kontroll gir \(R^2\approx0{,}996\). Derfor er modellen god i den observerte perioden.

Kontroll

import numpy as np
x = np.array([1, 15, 30, 45, 60, 81], dtype=float)
y = np.array([202, 286, 315, 332, 346, 350], dtype=float)
A = np.vstack([np.ones_like(x), np.log(x)]).T
ln_a, b = np.linalg.lstsq(A, np.log(y), rcond=None)[0]
a = np.exp(ln_a)
y_hat = 202 * x**0.13
r2 = 1 - np.sum((y - y_hat)**2) / np.sum((y - y.mean())**2)
print("Regresjon gir a =", round(a, 2))
print("Regresjon gir b =", round(b, 3))
print("R^2 for modellen 202*x^0.13:", round(r2, 4))

Regresjon gir a = 202.36
Regresjon gir b = 0.129
R^2 for modellen 202*x^0.13: 0.9958

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne antall dager etter 30. april og sette inn i modellen.

Steg 1 — Finn \(x\)

5. juli er 66 dager etter 30. april.

Steg 2 — Sett inn i modellen

\[S(66)=202\cdot66^{0{,}13}\approx348{,}3\]

Tolkning

Modellen anslår omtrent 348 sildemåker på øya.

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne modellverdien og vurdere om den er rimelig.

Steg 1 — Regn ut modellverdien

\[S(150)=202\cdot150^{0{,}13}\approx387{,}5\]

Steg 2 — Tolk verdien

Modellen gir omtrent 388 sildemåker.

Steg 3 — Vurder gyldighet

Oppgaveteksten sier at mange sildemåker begynner å fly sørover igjen i august. \(x=150\) er lenge etter 30. april, altså ut på høsten.

Tolkning

Svaret bør derfor ikke tolkes som et godt anslag. Modellen er laget for perioden 1. mai til 20. juli.

S_150 = 202 * 150**0.13
print("S(150) =", S_150)
print("Avrundet:", round(S_150), "sildemåker")
print("Kommentar: x = 150 ligger utenfor dataperioden, så svaret er usikkert.")

S(150) = 387.47459510844413
Avrundet: 387 sildemåker
Kommentar: x = 150 ligger utenfor dataperioden, så svaret er usikkert.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise hvordan tallfølgen kan lages i regneark.

Steg 1 — Skriv de to første verdiene

I celle A1 skriver vi 1, og i celle A2 skriver vi 1.

Steg 2 — Bruk formel for neste tall

I celle A3 skriver vi =A1+A2.

Steg 3 — Kopier formelen nedover

Kopier formelen ned til A15.

Regnearkutdrag

Hva spør oppgaven om? Vi skal teste to mønstre i regnearket.

Steg 1 — Test Ane

Ane påstår at summen av de \(n\) første fibonaccitallene er én mindre enn fibonaccitall nummer \(n+2\).

For eksempel:

\[1+1+2+3+5=12=13-1\]

Steg 2 — Test flere rader i regnearket

En regnearkformel kan være =SUMMER(A1:A1) for løpende sum og sammenlikning med tallet to rader under.

Steg 3 — Test Trine

Trine summerer annet hvert fibonaccitall. Eksempel:

\[1+2+5+13=21\]

Dette stemmer med fibonaccitallet som kommer rett etter siste ledd.

Tolkning

Regnearket gir støtte for at både Ane og Trine har funnet riktige mønstre.

fib = [1, 1]
for i in range(13):
    fib.append(fib[-1] + fib[-2])
print("De 15 første fibonaccitallene:")
print(fib)
print()
print("Ane-test for n = 3, 5 og 10:")
for n in [3, 5, 10]:
    venstre = sum(fib[:n])
    hoyre = fib[n+1] - 1
    print(n, venstre, hoyre, venstre == hoyre)
print()
print("Trine-test med annenhver fra første ledd:")
for slutt in [3, 5, 7]:
    venstre = sum(fib[0:slutt:2])
    hoyre = fib[slutt]
    print(slutt, venstre, hoyre, venstre == hoyre)

De 15 første fibonaccitallene:
[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610]

Ane-test for n = 3, 5 og 10:
3 4 4 True
5 12 12 True
10 143 143 True

Trine-test med annenhver fra første ledd:
3 3 3 True
5 8 8 True
7 21 21 True

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnitt og standardavvik for de 30 verdiene.

Steg 1 — Finn gjennomsnittet

Summen er 63, og det er 30 elever.

\[\overline{x}=\dfrac{63}{30}=2{,}1\]

Steg 2 — Finn standardavviket digitalt

Med datamaterialet som populasjon får vi

\[\sigma\approx1{,}51\]

Tolkning

Elevene har i gjennomsnitt 2,1 søsken, og typisk avvik fra gjennomsnittet er omtrent 1,5 søsken.

import statistics as st
data = [0,0,0, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, 2,2,2,2,2,2,2, 3,3,3,3,3, 4,4, 5,5, 6]
gjennomsnitt = sum(data) / len(data)
standardavvik = st.pstdev(data)
print("Antall elever:", len(data))
print("Sum:", sum(data))
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)
print("Standardavvik:", standardavvik)
print("Standardavvik avrundet:", round(standardavvik, 2))

Antall elever: 30
Sum: 63
Gjennomsnitt: 2.1
Standardavvik: 1.5132745950421556
Standardavvik avrundet: 1.51

Hva spør oppgaven om? Vi skal telle hvor mange observasjoner som ligger innenfor \(1\), \(2\), \(3\), ... standardavvik fra gjennomsnittet.

Steg 1 — Bruk gjennomsnitt og standardavvik

\[\overline{x}=2{,}1,\quad \sigma\approx1{,}51\]

Steg 2 — Tell innenfor ett standardavvik

Intervallet er omtrent

\[2{,}1-1{,}51

altså \(0{,}59

Steg 3 — Lag oversikt

Tolkning

Nesten alle verdiene ligger mindre enn to standardavvik fra gjennomsnittet.

import statistics as st
data = [0,0,0, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, 2,2,2,2,2,2,2, 3,3,3,3,3, 4,4, 5,5, 6]
gjennomsnitt = sum(data) / len(data)
sigma = st.pstdev(data)
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)
print("Standardavvik:", sigma)
for k in [1, 2, 3]:
    antall = sum(1 for v in data if abs(v - gjennomsnitt) < k*sigma)
    prosent = antall / len(data) * 100
    print(f"Mindre enn {k} standardavvik: {antall} elever, {prosent:.1f} %")

Gjennomsnitt: 2.1
Standardavvik: 1.5132745950421556
Mindre enn 1 standardavvik: 22 elever, 73.3 %
Mindre enn 2 standardavvik: 29 elever, 96.7 %
Mindre enn 3 standardavvik: 30 elever, 100.0 %

Hva spør oppgaven om? Vi skal resonnere generelt, ikke bare bruke datasettet over.

Steg 1 — Tenk på et enkelt eksempel

Et datasett med to verdier, for eksempel \(0\) og \(2\), har gjennomsnitt \(1\).

Steg 2 — Finn standardavviket

Avstanden fra hver verdi til gjennomsnittet er 1. Standardavviket blir også 1.

Steg 3 — Bruk ordet mindre enn

Ingen av verdiene ligger mindre enn ett standardavvik fra gjennomsnittet, fordi begge ligger akkurat ett standardavvik unna.

Tolkning

Ja, det er mulig. Hvis alle verdiene ligger akkurat ett standardavvik eller mer fra gjennomsnittet, blir ingen verdier innenfor avstanden.