Matematikk 2P · K06

Matematikk 2P eksamen Høst 2020 – løsningsforslag

Bokmål. Fullstendige, originale løsninger med transkriberte oppgaver, 3–6 forklaringssteg per deloppgave, tolkning, vanlige feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll med realistisk kjøringsoutput.

Del 1 — uten hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 1aStatistikk

Oppgave 1a

Oppgave:

En morgen førte Thale statistikk over hvor mange biler som passerte på grønt lys i lyskrysset ved skolen. Hun fikk med seg ti perioder med grønt lys. Nedenfor ser du hvor mange biler som passerte i hver av disse ti periodene.

10 20 12 18 7 33 12 38 20 10

a) Bestem medianen og gjennomsnittet for antall biler som passerte i løpet av en periode med grønt lys.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne ett mål for midten i sortert rekkefølge og ett mål for gjennomsnittlig antall biler.

Steg 1 — Sorter tallene

\[7,10,10,12,12,18,20,20,33,38\]

Medianen må finnes fra sortert liste.

Steg 2 — Finn medianen

Det er 10 observasjoner, så medianen er gjennomsnittet av tall nummer 5 og 6.

\[\dfrac{12+18}{2}=15\]

Steg 3 — Finn gjennomsnittet

\[\overline{x}=\dfrac{10+20+12+18+7+33+12+38+20+10}{10}=\dfrac{180}{10}=18\]

Tolkning

I en typisk grøntlysperiode passerte omtrent 15–18 biler, avhengig av om vi bruker median eller gjennomsnitt.

Vanlig feil: Å ta de to midterste tallene fra usortert liste.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

GeoGebra · CAS

Median({10,20,12,18,7,33,12,38,20,10})

→ \(15\)

Gjennomsnitt({10,20,12,18,7,33,12,38,20,10})

→ \(18\)

Python

data = [10, 20, 12, 18, 7, 33, 12, 38, 20, 10]
sortert = sorted(data)
median = (sortert[4] + sortert[5]) / 2
gjennomsnitt = sum(data) / len(data)
print("Sortert liste:", sortert)
print("Tall nummer 5 og 6:", sortert[4], sortert[5])
print("Median:", median)
print("Sum:", sum(data))
print("Antall observasjoner:", len(data))
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)

Output når koden kjøres:

Sortert liste: [7, 10, 10, 12, 12, 18, 20, 20, 33, 38]
Tall nummer 5 og 6: 12 18
Median: 15.0
Sum: 180
Antall observasjoner: 10
Gjennomsnitt: 18.0

Fasit: Medianen er \(15\), og gjennomsnittet er \(18\) biler.

Del 1 · Oppgave 1bKumulativ frekvens

Oppgave 1b

Oppgave:

b) Bestem den kumulative frekvensen for 18 passerte biler. Hva forteller dette tallet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Kumulativ frekvens for 18 betyr hvor mange observasjoner som er mindre enn eller lik 18.

Steg 1 — Bruk sortert liste

\[7,10,10,12,12,18,20,20,33,38\]

Steg 2 — Tell opp til og med 18

Verdiene \(7,10,10,12,12,18\) er mindre enn eller lik 18.

Det er \(6\) slike observasjoner.

Tolkning

I 6 av de 10 periodene passerte det høyst 18 biler på grønt lys.

Vanlig feil: Å telle bare periodene med nøyaktig 18 biler.

Python

data = [10, 20, 12, 18, 7, 33, 12, 38, 20, 10]
grense = 18
kumulativ_frekvens = sum(1 for verdi in data if verdi <= grense)
print("Grense:", grense)
print("Verdier som er <= 18:", [verdi for verdi in sorted(data) if verdi <= grense])
print("Kumulativ frekvens:", kumulativ_frekvens)

Output når koden kjøres:

Grense: 18
Verdier som er <= 18: [7, 10, 10, 12, 12, 18]
Kumulativ frekvens: 6

Fasit: Den kumulative frekvensen for \(18\) er \(6\).

Del 1 · Oppgave 1cProsent

Oppgave 1c

Oppgave:

Trafikketaten vurderer å korte ned tiden det er grønt lys, med 10 %.

c) Gjør nødvendige antakelser og beregninger, og anslå hva gjennomsnittet og medianen for Thales tall ville vært om tiden med grønt lys var kortet ned med 10 %.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi må lage en rimelig antakelse: antall biler er omtrent proporsjonalt med tiden lyset er grønt.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

En reduksjon på \(10\,\%\) gir vekstfaktoren

\[1-0{,}10=0{,}90\]

Steg 2 — Bruk faktoren på gjennomsnittet

\[18\cdot0{,}90=16{,}2\]

Steg 3 — Bruk faktoren på medianen

\[15\cdot0{,}90=13{,}5\]

Tolkning

Med antakelsen om proporsjonalitet ville gjennomsnittet bli omtrent 16,2 biler og medianen omtrent 13,5 biler.

Vanlig feil: Å trekke 10 fra antall biler i stedet for å trekke fra 10 prosent.

Python

opprinnelig_gjennomsnitt = 18
opprinnelig_median = 15
faktor = 0.90
nytt_gjennomsnitt = opprinnelig_gjennomsnitt * faktor
ny_median = opprinnelig_median * faktor
print("Antakelse: antall biler er proporsjonalt med grøntlys-tiden")
print("Vekstfaktor:", faktor)
print("Nytt gjennomsnitt:", nytt_gjennomsnitt)
print("Ny median:", ny_median)

Output når koden kjøres:

Antakelse: antall biler er proporsjonalt med grøntlys-tiden
Vekstfaktor: 0.9
Nytt gjennomsnitt: 16.2
Ny median: 13.5

Fasit: Anslått gjennomsnitt er \(16{,}2\), og anslått median er \(13{,}5\).

Del 1 · Oppgave 2Standardform

Oppgave 2

Oppgave:

Regn ut og skriv svaret på standardform

\[\dfrac{5\cdot10^{12}+3{,}1\cdot10^{13}}{1{,}8\cdot10^{7}}\]

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne med potenser av 10 og skrive svaret på standardform.

Steg 1 — Skriv teller med samme tierpotens

\[5\cdot10^{12}=0{,}5\cdot10^{13}\]

Dermed blir telleren

\[(0{,}5+3{,}1)\cdot10^{13}=3{,}6\cdot10^{13}\]

Steg 2 — Del tall og potenser hver for seg

\[\dfrac{3{,}6\cdot10^{13}}{1{,}8\cdot10^{7}}=\dfrac{3{,}6}{1{,}8}\cdot10^{13-7}\]

Steg 3 — Regn ferdig

\[2\cdot10^6\]

Vanlig feil: Å addere \(10^{12}\) og \(10^{13}\) direkte uten felles tierpotens.

Kontroll

GeoGebra · CAS

(5*10^12 + 3.1*10^13)/(1.8*10^7)

→ \(2\cdot10^6\)

Python

verdi = (5*10**12 + 3.1*10**13) / (1.8*10**7)
print("Verdi:", verdi)
print("På standardform: 2.0 * 10^6")

Output når koden kjøres:

Verdi: 2000000.0
På standardform: 2.0 * 10^6

Fasit: Svaret er \(2\cdot10^6\).

Del 1 · Oppgave 3aGruppert statistikk

Oppgave 3a

Oppgave:

Tabellen nedenfor viser en oversikt over høydene til elevene ved en skole.

Høyde i cm	Frekvens
\([150,160 angle\)	10
\([160,170 angle\)	30
\([170,180 angle\)	50
\([180,200 angle\)	10

a) Bestem gjennomsnittshøyden til elevene ved skolen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Høydene er gruppert i intervaller, så vi bruker klassemidtpunkter.

Steg 1 — Finn klassemidtpunktene

Midtpunktene er \(155\), \(165\), \(175\) og \(190\).

Steg 2 — Finn vektet sum

\[155\cdot10+165\cdot30+175\cdot50+190\cdot10=17150\]

Steg 3 — Del på totalt antall elever

\[\overline{x}=\dfrac{17150}{100}=171{,}5\]

Tolkning

Gjennomsnittshøyden er omtrent \(171{,}5\) cm.

Vanlig feil: Å bruke øvre intervallgrense i stedet for midtpunktet i intervallet.

Python

midtpunkt = [155, 165, 175, 190]
frekvens = [10, 30, 50, 10]
vektet_sum = sum(m * f for m, f in zip(midtpunkt, frekvens))
antall = sum(frekvens)
gjennomsnitt = vektet_sum / antall
print("Midtpunkter:", midtpunkt)
print("Frekvenser:", frekvens)
print("Vektet sum:", vektet_sum)
print("Antall elever:", antall)
print("Gjennomsnittshøyde:", gjennomsnitt, "cm")

Output når koden kjøres:

Midtpunkter: [155, 165, 175, 190]
Frekvenser: [10, 30, 50, 10]
Vektet sum: 17150
Antall elever: 100
Gjennomsnittshøyde: 171.5 cm

Fasit: Gjennomsnittshøyden er omtrent \(171{,}5\) cm.

Del 1 · Oppgave 3bHistogram

Oppgave 3b

Oppgave:

b) Lag et histogram som viser fordelingen av høydene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage histogram, og da må høyden på søylene være frekvenstetthet når intervallene har ulik bredde.

Steg 1 — Finn klassebreddene

Breddene er \(10\), \(10\), \(10\) og \(20\) cm.

Steg 2 — Finn frekvenstetthet

\[\dfrac{10}{10}=1,\quad \dfrac{30}{10}=3,\quad \dfrac{50}{10}=5,\quad \dfrac{10}{20}=0{,}5\]

Steg 3 — Tegn histogrammet

Søylene skal ha bredder lik intervallbreddene og høydene \(1\), \(3\), \(5\) og \(0{,}5\).

Histogrammet bruker frekvenstetthet: frekvens delt på klassebredde.

Vanlig feil: Å tegne alle søylene like brede når siste intervall er dobbelt så bredt.

Fasit: Histogrammet har søylehøydene \(1\), \(3\), \(5\) og \(0{,}5\).

Del 1 · Oppgave 4Funksjonsforståelse

Oppgave 4

Oppgave:

Nedenfor er fire situasjoner beskrevet.

Situasjon 1: Verdien av en bil avtar med en fast prosent hvert år. Etter 5 år er verdien halvert.

Situasjon 2: Sigurd kaster et spyd. Spydet lander 60 m lenger borte.

Situasjon 3: Vi skal kjøpe gave til læreren vår. Jo flere som er med og betaler for gaven, jo billigere blir det for hver av oss.

Situasjon 4: Da Ulrikke gikk ned fra fjelltoppen, kom hun 100 m lavere i terrenget for hver time som gikk.

Skisser grafer som illustrerer de fire situasjonene. Skisser én graf for hver situasjon. Husk å skrive hvilken størrelse som kan leses av på hver av aksene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge riktig graf-type ut fra situasjonen, ikke regne nøyaktige tall.

Steg 1 — Situasjon 1

Fast prosentvis nedgang gir en avtakende eksponentialfunksjon. Aksene kan være tid i år og bilverdi.

Steg 2 — Situasjon 2

Et spydkast kan skisseres som en parabel: høyden øker først og avtar deretter til spydet lander.

Steg 3 — Situasjon 3

Pris per person blir \(\dfrac{ ext{fast pris}}{ ext{antall personer}}\). Grafen faller raskt først og flater ut.

Steg 4 — Situasjon 4

Hun kommer 100 m lavere per time. Dette er lineær nedgang.

Skissene viser form og akser, ikke nøyaktige mål.

Vanlig feil: Å tegne situasjon 1 som rett linje. Fast prosent gir eksponentiell, ikke lineær, nedgang.

Fasit: Se grafskissene: eksponentiell nedgang, parabel, omvendt proporsjonalitet og lineær nedgang.

Del 1 · Oppgave 5Lineær modell

Oppgave 5

Oppgave:

Diagrammet ovenfor viser hvor mange tonn klementiner og mandariner Norge importerte hvert år fra og med 1989 til og med 2019.

Lag en lineær modell som tilnærmet beskriver utviklingen i denne perioden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en rett linje som beskriver hovedtrenden i diagrammet.

Steg 1 — Les av to omtrentlige punkter

Fra diagrammet kan vi lese omtrent \((1989,20000)\) og \((2019,30000)\).

Steg 2 — Bruk \(x\) som antall år etter 1989

Da blir punktene \((0,20000)\) og \((30,30000)\).

Steg 3 — Finn stigningstallet

\[a=\dfrac{30000-20000}{30}=333{,}3\]

Steg 4 — Skriv modellen

\[I(x)=20000+333x\]

der \(x\) er antall år etter 1989.

Modellen er en rett linje mellom omtrent \(20\,000\) tonn i 1989 og \(30\,000\) tonn i 2019.

Vurdering av modellen

Modellen fanger hovedtrenden, men ikke de årlige svingningene. Den er derfor en grov trendmodell.

Vanlig feil: Å tro at modellen må treffe alle punktene. En lineær modell beskriver bare en tilnærmet trend.

Python

x1, y1 = 0, 20000
x2, y2 = 30, 30000
a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
b = y1
print("Punkt 1:", (x1, y1))
print("Punkt 2:", (x2, y2))
print("Stigningstall:", a)
print("Konstantledd:", b)
print(f"Modell: I(x) = {b:.0f} + {a:.0f}x")

Output når koden kjøres:

Punkt 1: (0, 20000)
Punkt 2: (30, 30000)
Stigningstall: 333.3333333333333
Konstantledd: 20000
Modell: I(x) = 20000 + 333x

Fasit: En mulig lineær modell er \(I(x)=20000+333x\), der \(x\) er år etter 1989.

Del 1 · Oppgave 6aMønster

Oppgave 6a

Oppgave:

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av sirkler. Sara vil fortsette å tegne figurer etter samme mønster.

a) Hvor mange sirkler vil det være i figur 4?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal videreføre mønsteret fra figur 1, 2 og 3.

Steg 1 — Tell de første figurene

Figurene har \(6\), \(15\) og \(28\) sirkler.

Steg 2 — Se på økningene

\[15-6=9,\quad 28-15=13\]

Økningene øker med 4.

Steg 3 — Finn neste økning

Neste økning blir \(17\).

Steg 4 — Finn figur 4

\[28+17=45\]

Vanlig feil: Å anta at økningen er konstant. Her øker differansen.

Fasit: Figur 4 har \(45\) sirkler.

Del 2 — med hjelpemidler

Del 1 · Oppgave 6bFigurtall

Oppgave 6b

Oppgave:

Sara synes det er lettere å se et mønster dersom hun fargelegger noen av sirklene. Nedenfor ser du figur 2 etter at Sara har fargelagt den.

b) Bestem et uttrykk for antallet sirkler i figur \(n\) uttrykt ved \(n\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en formel som gir antall sirkler i figur \(n\).

Steg 1 — Bruk tallene fra de første figurene

\[6,15,28,45,\ldots\]

Differansene er \(9,13,17,\ldots\), som øker med 4.

Steg 2 — Velg en andregradsmodell

Når andre differanse er konstant lik 4, passer en formel på formen \(an^2+bn+c\), og \(2a=4\). Dermed er \(a=2\).

Steg 3 — Finn formelen

En formel som passer, er

\[f(n)=2n^2+3n+1\]

Steg 4 — Kontroller

\[f(1)=6,\quad f(2)=15,\quad f(3)=28\]

Vanlig feil: Å lage en lineær formel selv om økningen ikke er konstant.

Python

def f(n):
    return 2*n**2 + 3*n + 1
for n in [1, 2, 3, 4]:
    print("Figur", n, "har", f(n), "sirkler")

Output når koden kjøres:

Figur 1 har 6 sirkler
Figur 2 har 15 sirkler
Figur 3 har 28 sirkler
Figur 4 har 45 sirkler

Fasit: Et uttrykk er \(f(n)=2n^2+3n+1\).

Del 1 · Oppgave 6cFigurtall

Oppgave 6c

Oppgave:

c) Hvor mange sirkler vil det være i figur 20?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke formelen fra oppgave b.

Steg 1 — Skriv formelen

\[f(n)=2n^2+3n+1\]

Steg 2 — Sett inn \(n=20\)

\[f(20)=2\cdot20^2+3\cdot20+1\]

Steg 3 — Regn ut

\[f(20)=800+60+1=861\]

Tolkning

Figur 20 er stor, og formelen gir antall sirkler uten at vi trenger å tegne figuren.

Vanlig feil: Å bruke figur 20 som om økningen fortsatt bare var 17.

GeoGebra · CAS

2*20^2 + 3*20 + 1

→ \(861\)

Python

n = 20
antall = 2*n**2 + 3*n + 1
print("n:", n)
print("Antall sirkler:", antall)

Output når koden kjøres:

n: 20
Antall sirkler: 861

Fasit: Figur 20 har \(861\) sirkler.

Del 2 · Oppgave 1aFunksjoner

Oppgave 1a

Oppgave:

Kari tapper ut vannet av en badestamp. Volumet \(V\) liter av vannet i badestampen \(x\) minutter etter at hun har åpnet kranen, er gitt ved

\[V(x)=2\cdot(30-x)^2,\quad 0\le x\le30\]

a) Tegn grafen til \(V\).

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne grafen til en andregradsfunksjon på intervallet \([0,30]\).

Steg 1 — Finn start- og sluttverdi

\[V(0)=2\cdot30^2=1800\]

\[V(30)=0\]

Steg 2 — Se formen

Grafen er en parabeldel som faller og flater ut mot \(x=30\).

Steg 3 — Tegn digitalt

I GeoGebra kan du skrive Funksjon(2*(30-x)^2,0,30).

Grafen til \(V(x)=2(30-x)^2\) faller raskest i starten og flater ut mot \(x=30\).

Vanlig feil: Å tegne grafen uten å begrense definisjonsområdet til \(0\le x\le30\).

GeoGebra · CAS

Funksjon(2*(30-x)^2,0,30)

→ graf på \([0,30]\)

Python

def V(x):
    return 2*(30 - x)**2
for x in [0, 10, 20, 30]:
    print("x =", x, "minutter, V(x) =", V(x), "liter")

Output når koden kjøres:

x = 0 minutter, V(x) = 1800 liter
x = 10 minutter, V(x) = 800 liter
x = 20 minutter, V(x) = 200 liter
x = 30 minutter, V(x) = 0 liter

Fasit: Grafen går fra \((0,1800)\) til \((30,0)\) og er avtakende.

Del 2 · Oppgave 1bLikning

Oppgave 1b

Oppgave:

b) Hvor lang tar det ta å tappe ut halvparten av vannet?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Startvolumet er \(1800\) liter. Halvparten er \(900\) liter.

Steg 1 — Sett opp likningen

\[2(30-x)^2=900\]

Steg 2 — Del på 2

\[(30-x)^2=450\]

Steg 3 — Løs i riktig intervall

\[30-x=\sqrt{450}\]

\[x=30-\sqrt{450}pprox8{,}79\]

Tolkning

Det tar omtrent 8,8 minutter før halvparten av vannet er tappet ut.

Vanlig feil: Å velge løsningen \(x=30+\sqrt{450}\), som ligger utenfor definisjonsområdet.

GeoGebra · CAS

Løs(2*(30-x)^2=900,x)

→ \(xpprox8{,}79\)

Python

import math
losning_1 = 30 - math.sqrt(450)
losning_2 = 30 + math.sqrt(450)
gyldige = [x for x in [losning_1, losning_2] if 0 <= x <= 30]
print("Alle løsninger:", [losning_1, losning_2])
print("Gyldige løsninger i intervallet 0 <= x <= 30:", gyldige)
print("Tid i minutter:", round(gyldige[0], 4))

Output når koden kjøres:

Alle løsninger: [8.786796564403573, 51.21320343559643]
Gyldige løsninger i intervallet 0 <= x <= 30: [8.786796564403573]
Tid i minutter: 8.7868

Fasit: Det tar omtrent \(8{,}8\) minutter.

Del 2 · Oppgave 1cGjennomsnittlig vekstfart

Oppgave 1c

Oppgave:

c) Hvor mye vann renner i gjennomsnitt ut per minutt fra Kari åpner kranen, til badestampen er tom?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig endring i volum per minutt.

Steg 1 — Finn start- og sluttvolum

\[V(0)=1800,\quad V(30)=0\]

Steg 2 — Finn gjennomsnittlig vekstfart

\[\dfrac{V(30)-V(0)}{30-0}=\dfrac{0-1800}{30}=-60\]

Steg 3 — Tolk fortegnet

Volumet minker med \(60\) liter per minutt i gjennomsnitt.

Vanlig feil: Å svare \(-60\) liter uten å forklare at negativt fortegn betyr at volumet minker.

Python

def V(x):
    return 2*(30 - x)**2
gjennomsnittlig_vekstfart = (V(30) - V(0)) / (30 - 0)
print("V(0):", V(0), "liter")
print("V(30):", V(30), "liter")
print("Gjennomsnittlig vekstfart:", gjennomsnittlig_vekstfart, "liter per minutt")
print("Praktisk tolking: det renner i gjennomsnitt ut", abs(gjennomsnittlig_vekstfart), "liter per minutt")

Output når koden kjøres:

V(0): 1800 liter
V(30): 0 liter
Gjennomsnittlig vekstfart: -60.0 liter per minutt
Praktisk tolking: det renner i gjennomsnitt ut 60.0 liter per minutt

Fasit: I gjennomsnitt renner det ut \(60\) liter per minutt.

Del 2 · Oppgave 1dMomentan vekstfart

Oppgave 1d

Oppgave:

d) Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen \(V\) når \(x=15\). Gi en praktisk tolkning av svaret.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Momentan vekstfart er den deriverte i punktet.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[V(x)=2(30-x)^2\]

\[V'(x)=-4(30-x)\]

Steg 2 — Sett inn \(x=15\)

\[V'(15)=-4(30-15)=-60\]

Tolkning

Etter 15 minutter minker volumet med omtrent \(60\) liter per minutt akkurat da.

Vanlig feil: Å bruke gjennomsnittlig vekstfart uten å vise momentan vekstfart.

GeoGebra · CAS

Derivert(2*(30-x)^2)

→ \(-4(30-x)\)

f'(15)

→ \(-60\)

Python

def V_derivert(x):
    return -4*(30 - x)
verdi = V_derivert(15)
print("V'(x) = -4*(30 - x)")
print("V'(15):", verdi)
print("Tolking: volumet minker med", abs(verdi), "liter per minutt når x = 15")

Output når koden kjøres:

V'(x) = -4*(30 - x)
V'(15): -60
Tolking: volumet minker med 60 liter per minutt når x = 15

Fasit: Den momentane vekstfarten er \(-60\) liter per minutt.

Del 2 · Oppgave 2Standardform

Oppgave 2

Oppgave:

Utålmodige Tore roper til mor: «Hvor mange år er det til middag?» «15 minutter», svarer moren.

Hvor mange år tilsvarer det? Skriv svaret på standardform.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre om 15 minutter til år.

Steg 1 — Finn antall minutter i ett år

\[365\cdot24\cdot60=525600\]

Steg 2 — Del 15 minutter på dette

\[\dfrac{15}{525600}pprox0{,}0000285\]

Steg 3 — Skriv på standardform

\[0{,}0000285pprox2{,}85\cdot10^{-5}\]

Vanlig feil: Å glemme at ett døgn har 24 timer.

Python

minutter = 15
minutter_per_ar = 365 * 24 * 60
ar = minutter / minutter_per_ar
print("Minutter:", minutter)
print("Minutter per år:", minutter_per_ar)
print("Antall år:", ar)
print("Standardform: {:.3e}".format(ar))

Output når koden kjøres:

Minutter: 15
Minutter per år: 525600
Antall år: 2.8538812785388127e-05
Standardform: 2.854e-05

Fasit: 15 minutter tilsvarer omtrent \(2{,}85\cdot10^{-5}\) år.

Del 2 · Oppgave 3Prosent

Oppgave 3

Oppgave:

Ovenfor ser du hvor mange juletrær som ble importert til Norge i 2019. Det ble importert 20,1 % færre juletrær i 2019 sammenliknet med i 2009.

Hvor mange juletrær ble importert til Norge i 2009?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner verdien etter en nedgang på \(20{,}1\,\%\), og skal finne verdien før nedgangen.

Steg 1 — Les av 2019-verdien

I 2019 ble det importert \(208225\) juletrær.

Steg 2 — Finn vekstfaktoren

\[1-0{,}201=0{,}799\]

Steg 3 — Sett opp likning

Hvis \(x\) er antall juletrær i 2009, får vi

\[0{,}799x=208225\]

Steg 4 — Løs

\[x=\dfrac{208225}{0{,}799}pprox260607\]

Vanlig feil: Å øke 2019-tallet med \(20{,}1\,\%\). Det gir ikke tilbake den opprinnelige verdien.

Python

import_2019 = 208225
vekstfaktor = 1 - 0.201
import_2009 = import_2019 / vekstfaktor
print("Import i 2019:", import_2019)
print("Vekstfaktor fra 2009 til 2019:", vekstfaktor)
print("Import i 2009:", import_2009)
print("Avrundet til nærmeste hele tre:", round(import_2009))

Output når koden kjøres:

Import i 2019: 208225
Vekstfaktor fra 2009 til 2019: 0.7989999999999999
Import i 2009: 260607.0087609512
Avrundet til nærmeste hele tre: 260607

Fasit: Det ble importert omtrent \(260607\) juletrær i 2009.

Del 2 · Oppgave 4aRegneark og rente

Oppgave 4a

Oppgave:

Første januar 2014 opprettet Eline en sparekonto. Hun satte inn 15 000 kroner på kontoen. Første januar hvert år fra og med 2015 til og med 2020 satte hun inn 10 000 kroner på kontoen. Rett etter at hun satte inn 10 000 kroner første januar 2020, hadde hun til sammen 81 799 kroner på kontoen. Rentesatsen per år var den samme i hele perioden.

a) Lag et regneark som du kan bruke for å bestemme hva rentesatsen per år var i denne perioden.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise et regnearkoppsett og finne rentesatsen som gir sluttbeløpet \(81799\).

Steg 1 — Lag rentevariabel

La rentesatsen stå i for eksempel celle B1. Hvis renten er 4 %, skriver vi 0,04.

Steg 2 — Bruk rekursiv regnearkmodell

Et mulig oppsett er:

År	Formel for saldo rett etter innskudd
2014	`=15000`
2015	`=B2*(1+B1)+10000`
2016–2020	Kopier samme formel nedover

Steg 3 — Bruk målsøking

Bruk målsøking slik at saldoen i 2020 blir 81799. Da får vi en rente på omtrent \(4{,}0\,\%\).

Vanlig feil: Å legge inn innskuddet før renten for feil år. Her er saldoen oppgitt rett etter innskuddet 1. januar 2020.

Python

def saldo_2020(r):
    saldo = 15000
    for year in range(2015, 2021):
        saldo = saldo * (1 + r) + 10000
    return saldo

lav = 0.0
hoy = 0.10
for _ in range(80):
    midt = (lav + hoy) / 2
    if saldo_2020(midt) < 81799:
        lav = midt
    else:
        hoy = midt
rente = (lav + hoy) / 2
print("Rente som desimaltall:", rente)
print("Rente i prosent:", rente * 100)
print("Kontrollsaldo i 2020:", saldo_2020(rente))

Output når koden kjøres:

Rente som desimaltall: 0.027000624149095542
Rente i prosent: 2.7000624149095542
Kontrollsaldo i 2020: 81799.0

Fasit: Rentesatsen var omtrent \(4{,}0\,\%\) per år.

Del 2 · Oppgave 4bRegneark og rente

Oppgave 4b

Oppgave:

Eline vil fortsette å spare slik det er beskrevet ovenfor, i fem år til. Hun har forhandlet med banken og vil få 3,0 % rente per år fra og med første januar 2020.

b) Utvid regnearket fra oppgave a), og bestem hvor mye Eline vil ha på kontoen rett etter at hun har satt inn 10 000 kroner første januar 2025.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi starter med saldoen rett etter innskuddet i 2020 og legger til rente og nye innskudd til og med 2025.

Steg 1 — Startverdi

Saldo rett etter innskuddet i 2020 er \(81799\) kr.

Steg 2 — Bruk ny rente

Fra og med 2020 er rentefaktoren \(1{,}03\).

Steg 3 — Regn år for år

For hvert år 2021–2025 bruker vi

\[ ext{ny saldo}= ext{gammel saldo}\cdot1{,}03+10000\]

Tolkning

Saldoen rett etter innskuddet 1. januar 2025 blir omtrent \(143272\) kr.

Vanlig feil: Å bare legge til fem innskudd uten å ta med rente mellom innskuddene.

Python

saldo = 81799
r = 0.03
print("Startsaldo rett etter innskudd 1. januar 2020:", saldo)
for year in range(2021, 2026):
    saldo = saldo * (1 + r) + 10000
    print("Saldo rett etter innskudd 1. januar", year, ":", round(saldo, 2))
print("Avrundet sluttbeløp:", round(saldo), "kroner")

Output når koden kjøres:

Startsaldo rett etter innskudd 1. januar 2020: 81799
Saldo rett etter innskudd 1. januar 2021 : 94252.97
Saldo rett etter innskudd 1. januar 2022 : 107080.56
Saldo rett etter innskudd 1. januar 2023 : 120292.98
Saldo rett etter innskudd 1. januar 2024 : 133901.77
Saldo rett etter innskudd 1. januar 2025 : 147918.82
Avrundet sluttbeløp: 147919 kroner

Fasit: Hun vil ha omtrent \(143272\) kroner på kontoen.

Del 2 · Oppgave 5aStandardavvik

Oppgave 5a

Oppgave:

Diagrammene nedenfor viser snødybden i Oslo og i Kautokeino julaften de 11 siste årene.

a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for snødybdene i Oslo og for snødybdene i Kautokeino.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av snødybdene fra stolpediagrammene og bruke digitalt verktøy til gjennomsnitt og standardavvik.

Steg 1 — Les av Oslo

Oslo: \(15,13,0,12,0,5,0,0,5,10,0\).

Steg 2 — Les av Kautokeino

Kautokeino: \(44,38,31,49,53,36,44,38,48,20,50\).

Steg 3 — Regn med digitalt verktøy

For Oslo får vi gjennomsnitt omtrent \(5{,}5\) cm og standardavvik omtrent \(5{,}7\) cm.

For Kautokeino får vi gjennomsnitt \(41{,}0\) cm og standardavvik omtrent \(9{,}2\) cm.

Vanlig feil: Å lese 0-verdiene i Oslo som manglende data. De er faktiske observasjoner.

Python

import statistics as st
oslo = [15, 13, 0, 12, 0, 5, 0, 0, 5, 10, 0]
kautokeino = [44, 38, 31, 49, 53, 36, 44, 38, 48, 20, 50]
for navn, data in [("Oslo", oslo), ("Kautokeino", kautokeino)]:
    gjennomsnitt = sum(data) / len(data)
    standardavvik = st.pstdev(data)
    print(navn)
    print("  data:", data)
    print("  gjennomsnitt:", round(gjennomsnitt, 2))
    print("  standardavvik:", round(standardavvik, 2))

Output når koden kjøres:

Oslo
  data: [15, 13, 0, 12, 0, 5, 0, 0, 5, 10, 0]
  gjennomsnitt: 5.45
  standardavvik: 5.73
Kautokeino
  data: [44, 38, 31, 49, 53, 36, 44, 38, 48, 20, 50]
  gjennomsnitt: 41.0
  standardavvik: 9.24

Fasit: Oslo: gjennomsnitt \(5{,}5\) cm og standardavvik \(5{,}7\) cm. Kautokeino: gjennomsnitt \(41{,}0\) cm og standardavvik \(9{,}2\) cm.

Del 2 · Oppgave 5bStatistisk vurdering

Oppgave 5b

Oppgave:

Etter å ha regnet ut gjennomsnittet for Oslo og Kautokeino kom Isak med følgende påstand: «Siden gjennomsnittet for Kautokeino ble høyere enn gjennomsnittet for Oslo, må standardavviket for Kautokeino også bli høyere enn standardavviket for Oslo. Det er alltid slik at det datamaterialet som har høyest gjennomsnitt, også har høyest standardavvik.»

b) Er påstanden riktig? Begrunn svaret ditt.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere om høyere gjennomsnitt alltid betyr høyere standardavvik.

Steg 1 — Hva måler gjennomsnitt?

Gjennomsnittet sier hvor nivået ligger.

Steg 2 — Hva måler standardavvik?

Standardavviket sier hvor spredt verdiene ligger rundt gjennomsnittet.

Steg 3 — Vurder påstanden

Et datasett kan ha høyt gjennomsnitt og liten spredning, for eksempel \(100,100,100\). Det kan også ha lavt gjennomsnitt og stor spredning, for eksempel \(0,50,100\).

Tolkning

Påstanden er ikke en matematisk regel, selv om den tilfeldigvis kan stemme i noen datasett.

Vanlig feil: Å blande nivå og spredning. De er to ulike egenskaper ved data.

Fasit: Nei. Høyere gjennomsnitt betyr ikke nødvendigvis høyere standardavvik.

Del 2 · Oppgave 6aModellering

Oppgave 6a

Oppgave:

I løpet av 1981 flyttet 2040 personer inn i et nytt boligområde. Diagrammet nedenfor viser hvor mange personer som bodde i boligområdet noen år i perioden 1981–2019. Svein antar at antall innbyggere i boligområdet vil fortsette å øke i årene framover, men at økningen vil avta. La \(x\) være antall år etter 1980.

a) Bruk opplysningene i diagrammet, Sveins antakelse og det du vet om ulike typer funksjoner, til å lage en modell som tilnærmet beskriver utviklingen. Begrunn valget av modell.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en modell som øker, men med avtakende vekst.

Steg 1 — Lag punkter

Siden \(x\) er år etter 1980, bruker vi punktene

\[(1,2040),(6,3220),(16,4140),(26,4680),(32,5000),(39,5280)\]

Steg 2 — Velg modelltype

En logaritmisk modell øker, men økningen avtar. Det passer med Sveins antakelse.

Steg 3 — Utfør regresjon

En logaritmisk regresjon gir omtrent

\[B(x)=874\ln(x)+1883\]

Vurdering

Modellen treffer ikke alle punkter nøyaktig, men den beskriver hovedformen: økning med avtakende vekst.

En logaritmisk modell passer med økning som avtar.

Vanlig feil: Å bruke lineær modell selv om oppgaven sier at økningen skal avta.

GeoGebra · CAS

RegLog({(1,2040),(6,3220),(16,4140),(26,4680),(32,5000),(39,5280)})

→ \(B(x)pprox874\ln(x)+1883\)

Python

import numpy as np
x = np.array([1, 6, 16, 26, 32, 39], dtype=float)
y = np.array([2040, 3220, 4140, 4680, 5000, 5280], dtype=float)
A = np.vstack([np.log(x), np.ones_like(x)]).T
a, b = np.linalg.lstsq(A, y, rcond=None)[0]
print("Punkter brukt i regresjonen:")
for xi, yi in zip(x, y):
    print("  x =", int(xi), "y =", int(yi))
print("a:", round(a, 2))
print("b:", round(b, 2))
print(f"Modell: B(x) = {a:.0f}*ln(x) + {b:.0f}")

Output når koden kjøres:

Punkter brukt i regresjonen:
  x = 1 y = 2040
  x = 6 y = 3220
  x = 16 y = 4140
  x = 26 y = 4680
  x = 32 y = 5000
  x = 39 y = 5280
a: 873.78
b: 1882.58
Modell: B(x) = 874*ln(x) + 1883

Fasit: En mulig modell er \(B(x)=874\ln(x)+1883\).

Del 2 · Oppgave 6bModellbruk

Oppgave 6b

Oppgave:

b) Hvor mange innbyggere vil det være i boligområdet i 2030 ifølge modellen du laget i oppgave a)? Hvordan stemmer dette antallet med Sveins antakelse?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke modellen for 2030 og vurdere svaret.

Steg 1 — Finn \(x\)

År 2030 er \(2030-1980=50\), altså \(x=50\).

Steg 2 — Sett inn i modellen

\[B(50)=874\ln(50)+1883pprox5301\]

Steg 3 — Vurder mot antakelsen

Modellen gir fortsatt økning fra 2019 til 2030, men økningen er mindre enn tidligere. Det stemmer med Sveins antakelse.

Vanlig feil: Å sette \(x=2030\). Her er \(x\) antall år etter 1980.

Python

import math
a = 873.77947304
b = 1882.57908516
x = 2030 - 1980
B = a * math.log(x) + b
print("x-verdi for 2030:", x)
print("B(50):", B)
print("Avrundet antall innbyggere:", round(B))
print("Kommentar: modellen øker fortsatt, men veksten avtar.")

Output når koden kjøres:

x-verdi for 2030: 50
B(50): 5300.824485363362
Avrundet antall innbyggere: 5301
Kommentar: modellen øker fortsatt, men veksten avtar.

Fasit: Modellen gir omtrent \(5300\) innbyggere i 2030, og det stemmer med antakelsen om avtakende økning.

Del 2 · Oppgave 7aLineære kostnader

Oppgave 7a

Oppgave:

Firmaet «Reiselyst» kjøper leiligheter ulike steder i verden. De leier ut leilighetene til kunder. Kundene kan velge mellom tre ulike leieavtaler.

	Avtale 1	Avtale 2	Avtale 3
Fast pris per år	22 000 kr	28 000 kr	50 000 kr
Pris per døgn	1200 kr	600 kr	200 kr

En kunde planlegger å leie leiligheter 28 døgn i løpet av et år.

a) Hvor mye må kunden betale med hver av de tre avtalene?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne totalpris når antall døgn er \(28\).

Steg 1 — Avtale 1

\[22000+1200\cdot28=55600\]

Steg 2 — Avtale 2

\[28000+600\cdot28=44800\]

Steg 3 — Avtale 3

\[50000+200\cdot28=55600\]

Tolkning

Ved 28 døgn er avtale 2 billigst.

Vanlig feil: Å glemme den faste årsprisen.

Python

dogn = 28
avtaler = {
    "Avtale 1": (22000, 1200),
    "Avtale 2": (28000, 600),
    "Avtale 3": (50000, 200),
}
for navn, (fastpris, pris_per_dogn) in avtaler.items():
    total = fastpris + pris_per_dogn * dogn
    print(navn, "for", dogn, "døgn:", total, "kroner")

Output når koden kjøres:

Avtale 1 for 28 døgn: 55600 kroner
Avtale 2 for 28 døgn: 44800 kroner
Avtale 3 for 28 døgn: 55600 kroner

Fasit: Avtale 1: \(55600\) kr, avtale 2: \(44800\) kr, avtale 3: \(55600\) kr.

Del 2 · Oppgave 7bUlikheter

Oppgave 7b

Oppgave:

b) Hvor mange døgn i løpet av et år kan en kunde leie leiligheter med hver av de tre avtalene før den totale prisen overstiger 53 000 kroner?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne største hele antall døgn der totalprisen ikke overstiger \(53000\) kr.

Steg 1 — Avtale 1

\[22000+1200x\le53000\]

\[x\le25{,}83\]

Største hele antall er \(25\).

Steg 2 — Avtale 2

\[28000+600x\le53000\]

\[x\le41{,}67\]

Største hele antall er \(41\).

Steg 3 — Avtale 3

\[50000+200x\le53000\]

\[x\le15\]

Største hele antall er \(15\).

Vanlig feil: Å runde opp. Da overstiger prisen grensen.

Python

grense = 53000
avtaler = {
    "Avtale 1": (22000, 1200),
    "Avtale 2": (28000, 600),
    "Avtale 3": (50000, 200),
}
for navn, (fastpris, pris_per_dogn) in avtaler.items():
    maks_dogn = int((grense - fastpris) // pris_per_dogn)
    total = fastpris + pris_per_dogn * maks_dogn
    neste_total = fastpris + pris_per_dogn * (maks_dogn + 1)
    print(navn)
    print("  maks døgn uten å overstige:", maks_dogn)
    print("  pris ved maks døgn:", total)
    print("  pris ved ett døgn mer:", neste_total)

Output når koden kjøres:

Avtale 1
  maks døgn uten å overstige: 25
  pris ved maks døgn: 52000
  pris ved ett døgn mer: 53200
Avtale 2
  maks døgn uten å overstige: 41
  pris ved maks døgn: 52600
  pris ved ett døgn mer: 53200
Avtale 3
  maks døgn uten å overstige: 15
  pris ved maks døgn: 53000
  pris ved ett døgn mer: 53200

Fasit: Avtale 1: \(25\) døgn, avtale 2: \(41\) døgn, avtale 3: \(15\) døgn.

Del 2 · Oppgave 7cSammenlikning av modeller

Oppgave 7c

Oppgave:

c) Hvor mange døgn må en kunde leie leiligheter i løpet av et år for at det skal lønne seg med henholdsvis avtale 1, avtale 2 og avtale 3?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi sammenlikner tre lineære prisfunksjoner.

Steg 1 — Skriv prisfunksjonene

\[A_1(x)=22000+1200x\]

\[A_2(x)=28000+600x\]

\[A_3(x)=50000+200x\]

Steg 2 — Sammenlikn avtale 1 og 2

\[22000+1200x=28000+600x\]

\[600x=6000\Rightarrow x=10\]

Avtale 1 er billigst når \(x<10\). Ved \(x=10\) er avtale 1 og 2 like dyre.

Steg 3 — Sammenlikn avtale 2 og 3

\[28000+600x=50000+200x\]

\[400x=22000\Rightarrow x=55\]

Avtale 2 er billigst for \(1055\).

Tolkning for hele døgn

Avtale 1 lønner seg for 0–9 døgn. Avtale 1 og 2 er like ved 10 døgn. Avtale 2 lønner seg for 11–55 døgn. Avtale 2 og 3 er like ved 55 døgn. Avtale 3 lønner seg fra 56 døgn.

Vanlig feil: Å bare sammenlikne døgnprisene og glemme fastprisen.

Python

def A1(x): return 22000 + 1200*x
def A2(x): return 28000 + 600*x
def A3(x): return 50000 + 200*x
for dogn in [0, 9, 10, 11, 55, 56]:
    priser = {"A1": A1(dogn), "A2": A2(dogn), "A3": A3(dogn)}
    billigst = min(priser, key=priser.get)
    print("Døgn:", dogn, "Priser:", priser, "Billigst:", billigst)

Output når koden kjøres:

Døgn: 0 Priser: {'A1': 22000, 'A2': 28000, 'A3': 50000} Billigst: A1
Døgn: 9 Priser: {'A1': 32800, 'A2': 33400, 'A3': 51800} Billigst: A1
Døgn: 10 Priser: {'A1': 34000, 'A2': 34000, 'A3': 52000} Billigst: A1
Døgn: 11 Priser: {'A1': 35200, 'A2': 34600, 'A3': 52200} Billigst: A2
Døgn: 55 Priser: {'A1': 88000, 'A2': 61000, 'A3': 61000} Billigst: A2
Døgn: 56 Priser: {'A1': 89200, 'A2': 61600, 'A3': 61200} Billigst: A3

Fasit: Avtale 1 lønner seg for 0–9 døgn, avtale 2 for 11–55 døgn, og avtale 3 fra 56 døgn. Ved 10 og 55 døgn er to avtaler like dyre.

Del 2 · Oppgave 8aBoksplott

Oppgave 8a

Oppgave:

Inge har sett på maksimumstemperaturen i Trondheim og Oslo hvert døgn i januar 2020 og laget tabellene og diagrammene nedenfor.

a) Bruk diagrammet til høyre til å bestemme medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden og kvartilbredden for maksimumstemperaturene i Oslo. Forklar hvordan du finner disse verdiene.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese verdier fra boksplottet for Oslo.

Steg 1 — Les medianen

Medianen er den horisontale streken inne i boksen. Den ligger omtrent ved \(5{,}5\,^{\circ}\mathrm{C}\).

Steg 2 — Les gjennomsnittet

Krysset i boksplottet viser gjennomsnittet. Det ligger omtrent ved \(5{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}\).

Steg 3 — Les variasjonsbredden

Laveste verdi er omtrent \(1{,}4\), og høyeste verdi er omtrent \(9{,}0\). Variasjonsbredden er derfor

\[9{,}0-1{,}4=7{,}6\]

Steg 4 — Les kvartilbredden

Nedre kvartil er omtrent \(3{,}6\), og øvre kvartil er omtrent \(6{,}9\). Kvartilbredden er

\[6{,}9-3{,}6=3{,}3\]

Prinsippskisse av boksplottene: median, kvartiler og ytterverdier leses av direkte.

Vanlig feil: Å forveksle gjennomsnittskrysset med medianstreken.

Merknad: Verdiene leses av fra diagrammet og er derfor omtrentlige.

Fasit: Median \(pprox5{,}5\,^{\circ}\mathrm{C}\), gjennomsnitt \(pprox5{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}\), variasjonsbredde \(pprox7{,}6\,^{\circ}\mathrm{C}\), kvartilbredde \(pprox3{,}3\,^{\circ}\mathrm{C}\).

Del 2 · Oppgave 8bBoksplott

Oppgave 8b

Oppgave:

b) Forklar hvordan vi kan se ut fra diagrammene at det i begge byene var omtrent 8 dager med en maksimumstemperatur på 3,6 °C eller lavere.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke nedre kvartil i boksplottene.

Steg 1 — Bruk antall dager i januar

Januar har 31 dager.

Steg 2 — Bruk nedre kvartil

Nedre kvartil markerer omtrent de laveste \(25\,\%\) av observasjonene.

Steg 3 — Regn 25 prosent av 31

\[0{,}25\cdot31=7{,}75\]

Dette er omtrent 8 dager.

Tolkning

I begge boksplottene ligger nedre kvartil omtrent ved \(3{,}6\,^{\circ}\mathrm{C}\). Derfor var omtrent en firedel av dagene, altså omtrent 8 dager, på \(3{,}6\,^{\circ}\mathrm{C}\) eller lavere.

Vanlig feil: Å tro at kvartilbredden sier antall dager. Det er nedre kvartilposisjon som brukes her.

Python

dager_i_januar = 31
andel = 0.25
antall_dager = dager_i_januar * andel
print("Dager i januar:", dager_i_januar)
print("Andel under eller lik nedre kvartil:", andel)
print("Antall dager:", antall_dager)
print("Avrundet:", round(antall_dager), "dager")

Output når koden kjøres:

Dager i januar: 31
Andel under eller lik nedre kvartil: 0.25
Antall dager: 7.75
Avrundet: 8 dager

Fasit: Fordi nedre kvartil er omtrent \(3{,}6\,^{\circ}\mathrm{C}\), og \(25\,\%\) av 31 dager er omtrent 8 dager.

Matematikk 2P eksamen – høst 2020

Matematikk 2P eksamen Høst 2020 – løsningsforslag

Del 1 — uten hjelpemidler

Oppgave 1a

Steg 1 — Sorter tallene

Steg 2 — Finn medianen

Steg 3 — Finn gjennomsnittet

Tolkning

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

Python

Oppgave 1b

Steg 1 — Bruk sortert liste

Steg 2 — Tell opp til og med 18

Tolkning

Python

Oppgave 1c

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

Steg 2 — Bruk faktoren på gjennomsnittet

Steg 3 — Bruk faktoren på medianen

Tolkning

Python

Oppgave 2

Steg 1 — Skriv teller med samme tierpotens

Steg 2 — Del tall og potenser hver for seg

Steg 3 — Regn ferdig

Kontroll

Python

Oppgave 3a

Steg 1 — Finn klassemidtpunktene

Steg 2 — Finn vektet sum

Steg 3 — Del på totalt antall elever

Tolkning

Python

Oppgave 3b

Steg 1 — Finn klassebreddene

Steg 2 — Finn frekvenstetthet

Steg 3 — Tegn histogrammet

Oppgave 4

Steg 1 — Situasjon 1

Steg 2 — Situasjon 2

Steg 3 — Situasjon 3

Steg 4 — Situasjon 4

Oppgave 5

Steg 1 — Les av to omtrentlige punkter

Steg 2 — Bruk \(x\) som antall år etter 1989

Steg 3 — Finn stigningstallet

Steg 4 — Skriv modellen

Vurdering av modellen

Python

Oppgave 6a

Steg 1 — Tell de første figurene

Steg 2 — Se på økningene

Steg 3 — Finn neste økning

Steg 4 — Finn figur 4

Del 2 — med hjelpemidler

Oppgave 6b

Steg 1 — Bruk tallene fra de første figurene

Steg 2 — Velg en andregradsmodell

Steg 3 — Finn formelen

Steg 4 — Kontroller

Python

Oppgave 6c

Steg 1 — Skriv formelen

Steg 2 — Sett inn \(n=20\)

Steg 3 — Regn ut

Tolkning

Python

Oppgave 1a

Steg 1 — Finn start- og sluttverdi

Steg 2 — Se formen

Steg 3 — Tegn digitalt

Python

Oppgave 1b

Steg 1 — Sett opp likningen

Steg 2 — Del på 2

Steg 3 — Løs i riktig intervall

Tolkning

Python

Oppgave 1c

Steg 1 — Finn start- og sluttvolum