Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Hver deloppgave har transkribert oppgave, plan, trinnvis løsning, tolkning, vanlig feil, GeoGebra CAS der det passer, og Python-kontroll i nøytral terminalstil med realistisk output.
Del 1 — uten hjelpemidler
Del 1 · Oppgave 1aStatistikk
Oppgave 1a
Oppgave:
Arne har spurt 20 elever i videregående skole hvor mange timer de bruker foran en skjerm i løpet av en vanlig dag. Resultatene ser du nedenfor.
8 4 3 2 5 6 1 1 2 2 3 4 3 4 3 4 3 5 5 6
a) Bestem medianen og gjennomsnittet for dette datamaterialet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne ett sentralt mål fra sortering og ett fra summen av alle verdier.
Steg 1 — Sorter tallene
\[1,1,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,6,6,8\]
Sortering gjør medianen lett å lese av.
Steg 2 — Finn medianen
Det er 20 observasjoner. Medianen er gjennomsnittet av observasjon nummer 10 og 11.
\[
\dfrac{3+4}{2}=3{,}5
\]
Steg 3 — Finn gjennomsnittet
Summen av alle observasjonene er 76.
\[
\dfrac{76}{20}=3{,}8
\]
Tolkning
Typisk skjermtid ligger rundt 3,5 til 3,8 timer per dag.
Vanlig feil: Å velge bare ett av de to midterste tallene når antallet observasjoner er partall.
Fasit: Medianen er \(3{,}5\) timer, og gjennomsnittet er \(3{,}8\) timer.
Del 1 · Oppgave 1bFrekvens
Oppgave 1b
Oppgave:
b) Bestem den kumulative frekvensen og den relative frekvensen for 3 timer foran skjerm i løpet av en vanlig dag blant disse elevene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Kumulativ frekvens for 3 timer betyr hvor mange som har 3 timer eller mindre. Relativ frekvens for 3 timer betyr andelen som har akkurat 3 timer.
Steg 1 — Tell verdier til og med 3
Det er 2 elever med 1 time, 3 elever med 2 timer og 5 elever med 3 timer.
\[
2+3+5=10
\]
Steg 2 — Tell akkurat 3 timer
Verdien 3 forekommer 5 ganger.
Steg 3 — Regn relativ frekvens
\[
\dfrac{5}{20}=0{,}25=25\,\%
\]
Tolkning
Halvparten har 3 timer eller mindre, mens en firedel har akkurat 3 timer.
Vanlig feil: Å blande kumulativ frekvens og vanlig frekvens.
Python
data = [8, 4, 3, 2, 5, 6, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 5, 5, 6]
kumulativ = sum(1 for verdi in data if verdi <= 3)
frekvens_3 = data.count(3)
relativ = frekvens_3 / len(data)
print("Kumulativ frekvens for 3 timer:", kumulativ)
print("Frekvens for akkurat 3 timer:", frekvens_3)
print("Relativ frekvens:", relativ)
print("Relativ frekvens i prosent:", relativ * 100, "%")
Output når koden kjøres:
Kumulativ frekvens for 3 timer: 10
Frekvens for akkurat 3 timer: 5
Relativ frekvens: 0.25
Relativ frekvens i prosent: 25.0 %
Fasit: Kumulativ frekvens er \(10\), og relativ frekvens for 3 timer er \(25\,\%\).
Del 1 · Oppgave 2Prosent
Oppgave 2
Oppgave:
I en eske ligger det hvite og røde terninger. Av disse er 15 hvite og 40 % røde.
Hvor mange terninger er det totalt i esken?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne totalen når 15 hvite terninger utgjør resten etter at 40 % er røde.
Steg 1 — Finn prosentandelen hvite
Når 40 % er røde, er 60 % hvite.
Steg 2 — Sett opp likning
La \(x\) være totalt antall terninger.
\[
0{,}60x=15
\]
Steg 3 — Løs likningen
\[
x=\dfrac{15}{0{,}60}=25
\]
Tolkning
Det er 25 terninger totalt. Da er 10 røde og 15 hvite.
Vanlig feil: Å tro at 15 er 40 % i stedet for 60 %.
GeoGebra · CAS
1
Løs(0.60x=15)
→ \(x=25\)
Python
hvite = 15
andel_rode = 0.40
andel_hvite = 1 - andel_rode
total = hvite / andel_hvite
print("Andel hvite:", andel_hvite)
print("Totalt antall terninger:", total)
print("Kontroll, røde terninger:", total * andel_rode)
Output når koden kjøres:
Andel hvite: 0.6
Totalt antall terninger: 25.0
Kontroll, røde terninger: 10.0
Hva spør oppgaven om? Vi skal regne ut hver potens før vi sorterer.
Steg 1 — Regn hvert tall
\[
75^0=1
\]
\[
2^3\cdot2^2=8\cdot4=32
\]
\[
\left(2^3\right)^2=8^2=64
\]
\[
2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}
\]
\[
\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{16}
\]
Steg 2 — Sorter
\[
\dfrac{1}{16}<\dfrac{1}{8}<1<32<64
\]
Tolkning
Negative eksponenter og brøker gir de minste verdiene her.
Vanlig feil: Å tolke \(2^{-3}\) som et negativt tall. Det er positivt og lik \(\dfrac{1}{8}\).
Python
verdier = {
"75**0": 75**0,
"2**3 * 2**2": 2**3 * 2**2,
"(2**3)**2": (2**3)**2,
"2**(-3)": 2**(-3),
"1/(4**2)": 1/(4**2),
}
print("Utregnede verdier:")
for uttrykk, verdi in verdier.items():
print(uttrykk, "=", verdi)
print("Sortert fra minst til størst:")
for uttrykk, verdi in sorted(verdier.items(), key=lambda item: item[1]):
print(uttrykk, "=", verdi)
Iris jobber som telefonselger noen kvelder i uka. Hun har en fast lønn på 60 kroner per time. I tillegg tjener hun 40 kroner for hvert produkt hun selger.
a) Lag en modell som viser sammenhengen mellom antall produkter Iris selger i løpet av én time, og timelønnen hennes denne timen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær modell for timelønn.
Steg 1 — Definer variabel
La \(x\) være antall produkter Iris selger i løpet av én time.
Steg 2 — Fast lønn
Hun får alltid 60 kroner per time.
Steg 3 — Provisjon
For hvert produkt får hun 40 kroner, altså \(40x\).
Steg 4 — Lag modellen
\[
L(x)=60+40x
\]
Tolkning
Stigningstallet 40 betyr at timelønnen øker med 40 kroner for hvert ekstra produkt.
Vanlig feil: Å glemme den faste lønnen på 60 kroner.
GeoGebra · CAS
1
L(x):=60+40x
→ \(L(x)=60+40x\)
Fasit: \(L(x)=60+40x\).
Del 1 · Oppgave 5bUlikhet
Oppgave 5b
Oppgave:
b) Hvor mange produkter må Iris selge for å få en timelønn som er høyere enn 200 kroner?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne minste hele antall produkter som gir lønn over 200 kroner.
Steg 1 — Sett opp ulikhet
\[
60+40x>200
\]
Steg 2 — Trekk fra 60
\[
40x>140
\]
Steg 3 — Del på 40
\[
x>3{,}5
\]
Steg 4 — Velg helt antall
Siden Iris må selge et helt antall produkter, må hun selge minst 4 produkter.
Vanlig feil: Å svare 3,5 produkter. Antall produkter må være et helt tall.
Python
for produkter in range(0, 7):
lonn = 60 + 40 * produkter
print(produkter, "produkter gir", lonn, "kroner per time")
print("Første antall som gir mer enn 200 kroner er 4 produkter.")
Output når koden kjøres:
0 produkter gir 60 kroner per time
1 produkter gir 100 kroner per time
2 produkter gir 140 kroner per time
3 produkter gir 180 kroner per time
4 produkter gir 220 kroner per time
5 produkter gir 260 kroner per time
6 produkter gir 300 kroner per time
Første antall som gir mer enn 200 kroner er 4 produkter.
Fasit: Hun må selge minst \(4\) produkter.
Del 1 · Oppgave 5cSammenlikning av modeller
Oppgave 5c
Oppgave:
Iris har forhandlet om høyere lønn og fått to alternative tilbud.
Alternativ 1: Hun får 50 kroner mer i fast lønn per time, men fremdeles 40 kroner for hvert produkt hun selger.
Alternativ 2: Hun får fremdeles en fast lønn på 60 kroner per time, men beløpet hun får for hvert produkt hun selger, økes med 20 %.
c) Gjør beregninger, og gi Iris noen råd om hvilket alternativ hun bør velge.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne to lønnsmodeller og gi et råd.
Steg 1 — Modell for alternativ 1
Fastlønnen øker fra 60 til 110 kroner.
\[
L_1(x)=110+40x
\]
Steg 2 — Modell for alternativ 2
Provisjonen øker med 20 %.
\[
40\cdot1{,}20=48
\]
\[
L_2(x)=60+48x
\]
Steg 3 — Finn når de er like
\[
110+40x=60+48x
\]
\[
50=8x
\]
\[
x=6{,}25
\]
Tolkning
Hvis hun vanligvis selger 0 til 6 produkter per time, lønner alternativ 1 seg. Fra 7 produkter per time lønner alternativ 2 seg.
Vanlig feil: Å tro at 20 % økning betyr 20 kroner mer. Her er \(20\,\%\) av 40 kroner lik 8 kroner.
GeoGebra · CAS
1
Løs(110+40x=60+48x)
→ \(x=6.25\)
Python
print("Sammenlikning av alternativene:")
for x in range(0, 11):
alt1 = 110 + 40 * x
alt2 = 60 + 48 * x
best = "Alt. 1" if alt1 > alt2 else ("Alt. 2" if alt2 > alt1 else "Like")
print(x, "produkter:", "alt1 =", alt1, "alt2 =", alt2, "best:", best)
print("Skjæringspunktet ligger ved x = 6.25 produkter.")
som en modell for seibestanden \(S(x)\) tonn i Arktis \(x\) år etter 1960.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til \(S\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal dokumentere graftegning av en polynomfunksjon på intervallet \([0,50]\).
Steg 1 — Skriv inn funksjonen
I GeoGebra kan vi bruke kommandoen nedenfor.
GeoGebra · CAS
1
S(x):=-3x^4+305x^3-9000x^2+66000x+495000
→ \(S(x)=-3x^4+305x^3-9000x^2+66000x+495000\)
2
Funksjon(S,0,50)
→ graf på \([0,50]\)
Steg 2 — Velg passende vindu
En passende \(x\)-akse er fra 0 til 50. \(y\)-aksen bør dekke omtrent 0 til 800000 tonn.
Skissen viser hovedformen til modellen og nivålinjen \(450000\).
Tolkning
Grafen viser at bestanden varierer kraftig: først opp, deretter ned til et lavpunkt, og så opp igjen.
Vanlig feil: Å tegne grafen uten å avgrense til \(0\le x\le50\).
Python
def S(x):
return -3*x**4 + 305*x**3 - 9000*x**2 + 66000*x + 495000
print("Noen verdier fra modellen:")
for x in [0, 10, 20, 30, 40, 50]:
print("x =", x, "S(x) =", round(S(x)))
print("Disse punktene kan brukes til å kontrollere grafen.")
Output når koden kjøres:
Noen verdier fra modellen:
x = 0 S(x) = 495000
x = 10 S(x) = 530000
x = 20 S(x) = 175000
x = 30 S(x) = 180000
x = 40 S(x) = 575000
x = 50 S(x) = 670000
Disse punktene kan brukes til å kontrollere grafen.
Fasit: Grafen til \(S\) er tegnet på intervallet \(0\le x\le50\).
Del 2 · Oppgave 1bLikning og modell
Oppgave 1b
Oppgave:
b) I hvor mange år var seibestanden lavere enn 450 000 tonn?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor lenge grafen ligger under nivået \(450000\).
Steg 1 — Sett opp nivålikning
\[
S(x)=450000
\]
Steg 2 — Finn skjæringspunkter digitalt
I intervallet \([0,50]\) får vi omtrent
\[
x=12{,}15\quad ext{og}\quad x=37{,}16
\]
Steg 3 — Finn tidslengden
\[
37{,}16-12{,}15=25{,}01
\]
Tolkning
Bestanden var lavere enn 450000 tonn i omtrent 25 år.
Vanlig feil: Å telle bare hele år visuelt uten å bruke skjæringspunktene med nivålinjen.
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
S = -3*x**4 + 305*x**3 - 9000*x**2 + 66000*x + 495000
losninger = [r for r in sp.nroots(S - 450000) if abs(sp.im(r)) < 1e-8 and 0 <= float(sp.re(r)) <= 50]
print("Skjæringspunkter med 450000 tonn:")
for r in losninger:
print(float(sp.re(r)))
lengde = float(sp.re(losninger[1]) - sp.re(losninger[0]))
print("Antall år under 450000 tonn:", lengde)
print("Avrundet:", round(lengde), "år")
Output når koden kjøres:
Skjæringspunkter med 450000 tonn:
12.149294271298562
37.16323870996962
Antall år under 450000 tonn: 25.013944438671057
Avrundet: 25 år
Fasit: Bestanden var lavere enn \(450000\) tonn i omtrent \(25\) år.
Del 2 · Oppgave 1cGjennomsnittlig vekstfart
Oppgave 1c
Oppgave:
c) Hvor mange tonn steg seibestanden i gjennomsnitt med per år fra den var på sitt laveste, til den var på sitt høyeste?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne laveste og høyeste punkt på modellen og beregne gjennomsnittlig vekstfart mellom dem.
Steg 1 — Finn ekstremalpunktene
Digitalt finner vi lavpunktet omtrent ved \(x=24{,}93\) og toppunktet omtrent ved \(x=46{,}59\).
Fasit: Gjennomsnitt \(37{,}75\) år, median \(33\) år, variasjonsbredde \(40\) år og standardavvik omtrent \(12{,}4\) år.
Del 2 · Oppgave 2bStatistisk sammenlikning
Oppgave 2b
Oppgave:
Tabellen nedenfor viser tilsvarende verdier for skuespillere som har vunnet Oscar for beste mannlige hovedrolle de siste 20 årene.
Gjennomsnitt
44 år
Median
43,5 år
Variasjonsbredde
31 år
Standardavvik
8 år
b) Hva kan du si om aldersfordelingen blant de mannlige skuespillerne sammenliknet med de kvinnelige ut fra disse verdiene og resultatene fra oppgave a)?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne nivå og spredning.
Steg 1 — Sammenlikn nivå
Mennene har gjennomsnitt 44 år og median 43,5 år. Kvinnene har gjennomsnitt 37,75 år og median 33 år.
Steg 2 — Sammenlikn spredning
Mennene har variasjonsbredde 31 år og standardavvik 8 år. Kvinnene har variasjonsbredde 40 år og standardavvik omtrent 12,4 år.
Steg 3 — Tolk
De mannlige prisvinnerne var gjennomgående eldre, og alderen deres var mindre spredt. De kvinnelige prisvinnerne hadde lavere typisk alder, men større variasjon.
Vanlig feil: Å bare sammenlikne gjennomsnittet og overse standardavvik og variasjonsbredde.
Fasit: Mennene var typisk eldre, mens alderen blant kvinnene var mer spredt.
Del 2 · Oppgave 3aPotensregresjon
Oppgave 3a
Oppgave:
Ronny lager ballongdekorasjoner. Tabellen viser hvor bred en ballong i gjennomsnitt er hvert sekund de fem første sekundene etter at han begynner å blåse den opp.
Tid (sekunder)
1
2
3
4
5
Bredde (cm)
13,5
17,9
20,3
23,3
25,2
Ronny antar at sammenhengen mellom tiden \(x\) sekunder og bredden \(B\) cm kan beskrives med en modell av typen \(B(x)=p\cdot x^q\).
a) Bruk datamaterialet i tabellen til å bestemme tallene \(p\) og \(q\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke potensregresjon til å bestemme \(p\) og \(q\).
Steg 1 — Velg regresjonstype
Modellen er på formen \(p\cdot x^q\), så vi bruker potensregresjon.
import numpy as np
import math
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5], dtype=float)
y = np.array([13.5, 17.9, 20.3, 23.3, 25.2], dtype=float)
A = np.vstack([np.log(x), np.ones_like(x)]).T
q, log_p = np.linalg.lstsq(A, np.log(y), rcond=None)[0]
p = math.exp(log_p)
print("Punkter brukt i regresjonen:")
for xi, yi in zip(x, y):
print(" x =", xi, "B =", yi)
print("p =", round(p, 4))
print("q =", round(q, 4))
print(f"Modell: B(x) = {p:.2f} * x**{q:.3f}")
Output når koden kjøres:
Punkter brukt i regresjonen:
x = 1.0 B = 13.5
x = 2.0 B = 17.9
x = 3.0 B = 20.3
x = 4.0 B = 23.3
x = 5.0 B = 25.2
p = 13.5297
q = 0.3862
Modell: B(x) = 13.53 * x**0.386
Fasit: \(p\approx13{,}53\) og \(q\approx0{,}386\).
Del 2 · Oppgave 3bModellbruk
Oppgave 3b
Oppgave:
b) Hvor lang tid vil det gå fra han begynner å blåse opp en ballong, til den er 30 cm bred, ifølge modellen i oppgave a)?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løse \(B(x)=30\) med modellen fra oppgave a.
Steg 1 — Sett opp likning
\[
13{,}53\cdot x^{0{,}386}=30
\]
Steg 2 — Løs digitalt
\[
x\approx7{,}86
\]
Steg 3 — Tolk
Ifølge modellen tar det omtrent 7,9 sekunder før ballongen er 30 cm bred.
Vurdering
Dette er en ekstrapolasjon litt utenfor de fem første sekundene. Svaret er derfor et modellanslag.
Vanlig feil: Å lese av direkte i tabellen selv om 30 cm ikke finnes i datamaterialet.
Punkt 1: (20, 225.9)
Punkt 2: (40, 451.8)
Stigningstall: 11.295
En landmil er omtrent 11.295 kilometer
Fasit: Stigningstallet er \(11{,}295\), altså omtrent \(11{,}3\) km per landmil.
Del 2 · Oppgave 4bTid og enheter
Oppgave 4b
Oppgave:
Ved utgangen av 1600-tallet skulle posten bruke 4,5 døgn mellom Christiania (Oslo) og København. Transporttiden svarte til at posten i gjennomsnitt skulle bruke 2 timer per landmil.
b) Hvor mange landmil var denne postruten? Hvor mange kilometer tilsvarer dette?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre om døgn til timer, finne antall landmil og deretter kilometer.
Steg 1 — Gjør om døgn til timer
\[
4{,}5\cdot24=108
\]
Steg 2 — Finn antall landmil
Posten brukte 2 timer per landmil.
\[
\dfrac{108}{2}=54
\]
Steg 3 — Gjør om til kilometer
\[
54\cdot11{,}295=609{,}93
\]
Tolkning
Postruten var 54 landmil, som tilsvarer omtrent 610 km.
Vanlig feil: Å dele 4,5 på 2 uten først å gjøre døgn om til timer.
Tid i døgn: 4.5
Tid i timer: 108.0
Antall landmil: 54.0
Kilometer: 609.93
Avrundet kilometer: 610 km
Fasit: Postruten var \(54\) landmil, som tilsvarer omtrent \(610\) km.
Del 2 · Oppgave 5Regneark og prosentvis nedgang
Oppgave 5
Oppgave:
Verdien av en aksje har falt med 8,5 % hver måned siden januar 2019. I oktober 2019 var aksjen verd 1 500 kroner. Anta at verdien av aksjen vil fortsette å avta med 8,5 % hver måned.
Bruk regneark til å lage en tabell som viser verdien av aksjen hver måned fra januar 2019 til mai 2020. Regnearket skal også vise hvor mange prosent verdien av aksjen totalt har falt med i denne perioden.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en månedlig tabell med eksponentiell nedgang og beregne samlet prosentvis fall.
Steg 1 — Bruk vekstfaktor
Nedgang på 8,5 % gir vekstfaktor
\[
1-0{,}085=0{,}915
\]
Steg 2 — Finn januarverdien
Oktober 2019 ligger 9 månedlige fall etter januar 2019. Derfor blir
Vekstfaktor: 0.915
Beregnet verdi i januar 2019: 3336.58
jan 2019 3336.58
feb 2019 3052.97
mar 2019 2793.47
apr 2019 2556.02
mai 2019 2338.76
jun 2019 2139.97
jul 2019 1958.07
aug 2019 1791.63
sep 2019 1639.34
okt 2019 1500.0
nov 2019 1372.5
des 2019 1255.84
jan 2020 1149.09
feb 2020 1051.42
mar 2020 962.05
apr 2020 880.27
mai 2020 805.45
Totalt prosentvis fall: 75.9 %
Fasit: Verdien i mai 2020 blir omtrent \(805\) kroner, og samlet fall er omtrent \(75{,}9\,\%\).
Del 2 · Oppgave 6Statistisk argumentasjon
Oppgave 6
Oppgave:
Diagrammet viser antall cruiseanløp hver måned i 2018 i tre ulike havner, havn A, havn B og havn C.
Svar på oppgave a), b) og c) ved å argumentere ut fra diagrammet, uten å utføre beregninger.
a) Hvilken havn hadde i gjennomsnitt flest cruiseanløp i 2018?
b) Hvilken havn hadde størst standardavvik for antall cruiseanløp i 2018?
c) Omtrent hvor stort vil du anslå at standardavviket for antall cruiseanløp i havn B var i 2018?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke diagrammet kvalitativt: gjennomsnitt handler om samlet nivå, standardavvik handler om spredning rundt gjennomsnittet.
Skissen viser prinsippet: gjennomsnitt handler om nivå, standardavvik om spredning.
Steg 1 — Gjennomsnitt
Den havnen som gjennom året har de høyeste stolpene/punktene, har størst gjennomsnitt. Ut fra diagrammet er dette havn A.
Steg 2 — Standardavvik
Størst standardavvik får havnen der månedstallene varierer mest mellom lave og høye verdier. Ut fra diagrammet er dette havn A.
Steg 3 — Anslag for havn B
Havn B varierer moderat rundt sitt gjennomsnitt. Et rimelig anslag for standardavviket er omtrent 10 cruiseanløp.
Tolkning
A har både høyest nivå og størst sesongvariasjon. B har tydelig sesongvariasjon, men mindre enn A.
Vanlig feil: Å tro at høyest gjennomsnitt alltid betyr størst standardavvik. Her må begge vurderes fra diagramformen.
Fasit: a) Havn A. b) Havn A. c) Omtrent \(10\) cruiseanløp.
Del 2 · Oppgave 7aEksponentiell vekst
Oppgave 7a
Oppgave:
a) Forklar hva eksponentiell vekst er.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare begrepet presist.
Steg 1 — Fast faktor
Eksponentiell vekst betyr at en størrelse multipliseres med samme faktor for hver periode eller hvert steg.
Steg 2 — Modellform
En vanlig modell er
\[
f(x)=a\cdot b^x
\]
der \(a\) er startverdien og \(b\) er vekstfaktoren.
Steg 3 — Vekst eller nedgang
Hvis \(b>1\), har vi vekst. Hvis \(0
Tolkning
Ved eksponentiell vekst øker den absolutte endringen raskere og raskere når \(b>1\).
Vanlig feil: Å forveksle eksponentiell vekst med lineær vekst. Lineær vekst legger til samme tall, mens eksponentiell vekst multipliserer med samme faktor.
Fasit: Eksponentiell vekst betyr fast prosentvis vekst eller fast vekstfaktor per steg.
Del 2 · Oppgave 7bEksponentiell vekst
Oppgave 7b
Oppgave:
Nedenfor ser du et utdrag fra en artikkel der eksponentiell vekst blir forklart med et eksempel.
«Om du kunne ta 30 eksponentielle skritt, der skrittlengden blir doblet for hvert skritt, ville du endt opp på månen.»
Anta at det første skrittet er på 0,5 m.
b) Hvor langt vil skritt nummer 30 da være ifølge utdraget fra artikkelen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne lengden på selve skritt nummer 30, ikke samlet lengde.
Steg 1 — Finn modell
Første skritt er \(0{,}5\) m, og skrittlengden dobles for hvert skritt.
\[
a_n=0{,}5\cdot2^{n-1}
\]
Steg 2 — Sett inn \(n=30\)
\[
a_{30}=0{,}5\cdot2^{29}
\]
Steg 3 — Regn ut
\[
a_{30}=268435456
\]
Tolkning
Skritt nummer 30 er omtrent 268 millioner meter, altså omtrent 268435 km.
Vanlig feil: Å regne samlet distanse når oppgaven spør om skritt nummer 30.
Python
for n in [1, 2, 3, 10, 30]:
skritt_lengde = 0.5 * 2**(n - 1)
print("Skritt", n, "har lengde", skritt_lengde, "meter")
print("Skritt 30 i kilometer:", (0.5 * 2**29) / 1000)
Output når koden kjøres:
Skritt 1 har lengde 0.5 meter
Skritt 2 har lengde 1.0 meter
Skritt 3 har lengde 2.0 meter
Skritt 10 har lengde 256.0 meter
Skritt 30 har lengde 268435456.0 meter
Skritt 30 i kilometer: 268435.456
Fasit: Skritt nummer 30 er \(268435456\) meter, omtrent \(268435\) km.
Del 2 · Oppgave 7cRegneark og eksponentiell sum
Oppgave 7c
Oppgave:
Avstanden fra jorda til månen er 384 400 km.
c) Bruk regneark til å undersøke hvor langt det første skrittet må være for at du skal ende opp på månen etter 30 skritt.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Nå skal vi finne startlengden slik at summen av 30 doblede skritt blir 384400 km.
En regnearkmetode er å skrive første skritt i en celle, doble i radene under og justere første skritt til summen blir 384400000 m.
For eksempel kan første celle være =0,358, neste celle =2*A1, og summen =SUMMER(A1:A30).
Vanlig feil: Å bruke lengden på skritt nummer 30 i stedet for summen av alle 30 skrittene.
Python
avstand_meter = 384400000
faktor_sum = 2**30 - 1
forste_skritt = avstand_meter / faktor_sum
print("Avstand til månen i meter:", avstand_meter)
print("1 + 2 + ... + 2**29 =", faktor_sum)
print("Nødvendig første skritt:", forste_skritt, "meter")
print("Avrundet:", round(forste_skritt, 3), "meter")
# Kontroll: summer 30 skritt
sum_skritt = sum(forste_skritt * 2**i for i in range(30))
print("Kontrollsum:", round(sum_skritt), "meter")
Output når koden kjøres:
Avstand til månen i meter: 384400000
1 + 2 + ... + 2**29 = 1073741823
Nødvendig første skritt: 0.3580003980156038 meter
Avrundet: 0.358 meter
Kontrollsum: 384400000 meter
Fasit: Første skritt må være omtrent \(0{,}358\) m.
Del 2 · Oppgave 8aProsentvis endring
Oppgave 8a
Oppgave:
Mange turister reiser på cruise i Nord-Norge.
I 2017 anløp 380 cruiseskip havner i Nord-Norge. I 2018 økte antall anløp til 457.
a) Hvor mange prosent økte antall anløp med fra 2017 til 2018?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne prosentvis økning fra 380 til 457.
