Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke frekvenstabellen til prosent, median og gjennomsnitt.

Steg 1 — Finn totalt antall elever

Totalt antall er

\[3+12+25+12+6+2=60\]

Steg 2 — Prosent med karakter 1 eller 2

Antallet er \(3+12=15\). Da får vi

\[\dfrac{15}{60}\cdot100\,\%=25\,\%\]

Steg 3 — Median

Det er 60 elever, så medianen er gjennomsnittlig plass mellom observasjon nummer 30 og 31. Kumulativt har karakter 1 og 2 til sammen 15 elever, og karakter 3 går fram til elev nummer 40. Derfor er både observasjon 30 og 31 lik 3.

Steg 4 — Gjennomsnitt

\[\dfrac{1\cdot3+2\cdot12+3\cdot25+4\cdot12+5\cdot6+6\cdot2}{60}=3{,}2\]

karakterer = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
antall = [3, 12, 25, 12, 6, 2]
total = sum(antall)
antall_1_eller_2 = antall[0] + antall[1]
prosent = antall_1_eller_2 / total * 100
sum_karakterpoeng = sum(k * f for k, f in zip(karakterer, antall))
gjennomsnitt = sum_karakterpoeng / total
liste = []
for karakter, frekvens in zip(karakterer, antall):
    liste.extend([karakter] * frekvens)
print("Totalt antall elever:", total)
print("Antall med karakter 1 eller 2:", antall_1_eller_2)
print("Prosent med karakter 1 eller 2:", prosent)
print("Observasjon 30:", liste[29])
print("Observasjon 31:", liste[30])
print("Median:", (liste[29] + liste[30]) / 2)
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)

Totalt antall elever: 60
Antall med karakter 1 eller 2: 15
Prosent med karakter 1 eller 2: 25.0
Observasjon 30: 3
Observasjon 31: 3
Median: 3.0
Gjennomsnitt: 3.2

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne sammen tallene og skrive svaret på formen \(a\cdot10^n\), der \(1\le a<10\).

Steg 1 — Skriv om tallene

\[3{,}54\cdot10^6=3\,540\,000\]

\[60000=60\,000\]

Steg 2 — Legg sammen

\[3\,540\,000+60\,000=3\,600\,000\]

Steg 3 — Skriv på standardform

\[3\,600\,000=3{,}6\cdot10^6\]

tall = 3.54 * 10**6 + 60000
print("Utregnet verdi:", tall)
print("Standardform:", "3.6 * 10**6")

Utregnet verdi: 3600000.0
Standardform: 3.6 * 10**6

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av en avstand–tid-graf og bruke stigningstall som fart.

Steg 1 — Les av start og slutt

Toget starter omtrent kl. 13.40 og kommer fram omtrent kl. 14.50. Reisetiden er derfor 1 time og 10 minutter.

Steg 2 — Forklar den vannrette delen

Ved 20 km fra A er grafen vannrett. Avstanden endrer seg ikke, så toget står stille.

Steg 3 — Fart 10 km fra A

Første etappe går 20 km på 20 minutter. Det svarer til

\[\dfrac{20}{20/60}=60 ext{ km/h}\]

Steg 4 — Fart 10 km fra B

Hele strekningen er 80 km, så 10 km fra B betyr 70 km fra A. Dette ligger på siste etappe. Siste etappe går fra 20 km til 80 km på 40 minutter:

\[\dfrac{60}{40/60}=90 ext{ km/h}\]

start_tid = 13 + 40/60
slutt_tid = 14 + 50/60
reisetid_timer = slutt_tid - start_tid
fart_forste_etappe = 20 / (20/60)
fart_siste_etappe = 60 / (40/60)
print("Reisetid i timer:", reisetid_timer)
print("Reisetid i minutter:", reisetid_timer * 60)
print("Fart på første etappe:", fart_forste_etappe, "km/h")
print("Fart på siste etappe:", fart_siste_etappe, "km/h")

Reisetid i timer: 1.1666666666666679
Reisetid i minutter: 70.00000000000007
Fart på første etappe: 60.0 km/h
Fart på siste etappe: 90.0 km/h

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre antall medlemmer om til vinkler i et sektordiagram.

Steg 1 — Finn hvor mange grader ett medlem svarer til

Hele sirkelen er \(360^\circ\), og det er 240 medlemmer.

\[\dfrac{360^\circ}{240}=1{,}5^\circ\]

Steg 2 — Regn vinkel for hver gruppe

Langrenn: \(60\cdot1{,}5^\circ=90^\circ\)

Hopp: \(40\cdot1{,}5^\circ=60^\circ\)

Freestyle: \(80\cdot1{,}5^\circ=120^\circ\)

Alpint: \(60\cdot1{,}5^\circ=90^\circ\)

Steg 3 — Kontroller summen

\[90^\circ+60^\circ+120^\circ+90^\circ=360^\circ\]

grupper = {"Langrenn": 60, "Hopp": 40, "Freestyle": 80, "Alpint": 60}
total = sum(grupper.values())
grader_per_medlem = 360 / total
print("Totalt antall medlemmer:", total)
print("Grader per medlem:", grader_per_medlem)
for gruppe, antall in grupper.items():
    vinkel = antall * grader_per_medlem
    print(gruppe, antall, "medlemmer ->", vinkel, "grader")
print("Kontrollsum:", sum(antall * grader_per_medlem for antall in grupper.values()))

Totalt antall medlemmer: 240
Grader per medlem: 1.5
Langrenn 60 medlemmer -> 90.0 grader
Hopp 40 medlemmer -> 60.0 grader
Freestyle 80 medlemmer -> 120.0 grader
Alpint 60 medlemmer -> 90.0 grader
Kontrollsum: 360.0

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne opprinnelig pris når vi vet at 40 % av prisen er 120 kroner.

Steg 1 — Sett opp sammenhengen

La \(x\) være full pris. Da er

\[0{,}40x=120\]

Steg 2 — Løs likningen

\[x=\dfrac{120}{0{,}40}=300\]

Tolkning

Full pris var 300 kroner. Rabattbeløpet er 120 kroner, og kunden betaler da 180 kroner etter rabatt.

rabatt_prosent = 40
rabatt_kroner = 120
full_pris = rabatt_kroner / (rabatt_prosent / 100)
pris_etter_rabatt = full_pris - rabatt_kroner
print("Rabatt i prosent:", rabatt_prosent)
print("Rabatt i kroner:", rabatt_kroner)
print("Full pris:", full_pris)
print("Pris etter rabatt:", pris_etter_rabatt)

Rabatt i prosent: 40
Rabatt i kroner: 120
Full pris: 300.0
Pris etter rabatt: 180.0

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne startpris og pris per charm, og bruke dette som en lineær modell.

Steg 1 — Finn pris per charm

Fra 3 til 7 charms øker antallet med 4 charms, og prisen øker med

\[2450-1350=1100\]

Pris per charm er derfor

\[\dfrac{1100}{4}=275\]

Steg 2 — Finn armbåndsprisen

Når 3 charms koster \(3\cdot275=825\) kroner, blir selve armbåndet

\[1350-825=525\]

Steg 3 — Modell

La \(x\) være antall charms og \(P(x)\) samlet pris. Da er

\[P(x)=275x+525\]

Steg 4 — Bruk modellen for Hanne

\[275x+525=3825\]

\[275x=3300\]

\[x=12\]

pris_3 = 1350
pris_7 = 2450
charms_3 = 3
charms_7 = 7
pris_per_charm = (pris_7 - pris_3) / (charms_7 - charms_3)
armband = pris_3 - pris_per_charm * charms_3
hanne_pris = 3825
hanne_charms = (hanne_pris - armband) / pris_per_charm
print("Pris per charm:", pris_per_charm)
print("Pris for armbåndet uten charms:", armband)
print("Modell: P(x) =", pris_per_charm, "* x +", armband)
print("Antall charms Hanne har:", hanne_charms)

Pris per charm: 275.0
Pris for armbåndet uten charms: 525.0
Modell: P(x) = 275.0 * x + 525.0
Antall charms Hanne har: 12.0

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et mønster for antall kvadrater og bruke uttrykket videre.

Steg 1 — Tell de første figurene

Figur 1 har 7 kvadrater, figur 2 har 20 kvadrater og figur 3 har 39 kvadrater.

Steg 2 — Se økningen

Økningene er \(20-7=13\) og \(39-20=19\). Andre differanse er \(6\), så uttrykket er et andregradsuttrykk.

Steg 3 — Uttrykk for figur \(n\)

Mønsteret kan deles opp slik at antallet blir

\[3n^2+4n\]

Dette stemmer for \(n=1\), \(n=2\) og \(n=3\):

\[3\cdot1^2+4\cdot1=7\]

\[3\cdot2^2+4\cdot2=20\]

\[3\cdot3^2+4\cdot3=39\]

Steg 4 — Figur 4 og figur 20

\[3\cdot4^2+4\cdot4=64\]

\[3\cdot20^2+4\cdot20=1280\]

def antall_kvadrater(n):
    return 3*n**2 + 4*n
for n in [1, 2, 3, 4, 20]:
    print("Figur", n, "har", antall_kvadrater(n), "små kvadrater")
print("Kontroll av økninger:")
print("Figur 2 - figur 1:", antall_kvadrater(2) - antall_kvadrater(1))
print("Figur 3 - figur 2:", antall_kvadrater(3) - antall_kvadrater(2))

Figur 1 har 7 små kvadrater
Figur 2 har 20 små kvadrater
Figur 3 har 39 små kvadrater
Figur 4 har 64 små kvadrater
Figur 20 har 1280 små kvadrater
Kontroll av økninger:
Figur 2 - figur 1: 13
Figur 3 - figur 2: 19

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere en eksponentiell modell og bruke den til ekstrapolering.

Steg 1 — Kontroller modellen mot tabellen

For 2017 er \(x=57\). Modellen gir

\[f(57)=3{,}57\cdot1{,}006^{57}\approx5{,}02\]

Tabellen viser 5,25 millioner. Modellen ligger litt lavt, men følger hovedutviklingen.

Steg 2 — Vurder modellen

Modellen har jevn prosentvis vekst. Den passer rimelig godt som en enkel langsiktig modell, men treffer ikke alle tabellpunktene nøyaktig.

Steg 3 — Tolk vekstfaktoren

\(1{,}006\) betyr at innbyggertallet øker med omtrent \(0{,}6\,\%\) per år.

Steg 4 — Finn når modellen passerer 10 millioner

Vi løser

\[3{,}57\cdot1{,}006^x=10\]

Dette gir \(x\approx172{,}2\). Året blir

\[1960+172{,}2\approx2132\]

import math

def f(x):
    return 3.57 * 1.006**x
print("Modell: f(x) = 3.57 * 1.006**x")
for x in [0, 10, 20, 30, 40, 50, 57]:
    print("x =", x, "modellverdi =", round(f(x), 3), "millioner")
losning_x = math.log(10/3.57) / math.log(1.006)
aar = 1960 + losning_x
print("x når f(x)=10:", losning_x)
print("År:", aar)
print("Første hele år etter passering:", math.ceil(aar))

Modell: f(x) = 3.57 * 1.006**x
x = 0 modellverdi = 3.57 millioner
x = 10 modellverdi = 3.79 millioner
x = 20 modellverdi = 4.024 millioner
x = 30 modellverdi = 4.272 millioner
x = 40 modellverdi = 4.535 millioner
x = 50 modellverdi = 4.815 millioner
x = 57 modellverdi = 5.021 millioner
x når f(x)=10: 172.1844124784519
År: 2132.184412478452
Første hele år etter passering: 2133

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne og tolke en parabelmodell for broens høyde.

Steg 1 — Graf i GeoGebra

Skriv funksjonen i inntastingsfeltet:

Steg 2 — Båtens mast

290 cm er \(2{,}90\) m. Broens største høyde er \(3{,}0\) m ved \(x=50\). Dermed kan båten passere dersom den passerer nær midten.

Steg 3 — Finn pilarpunktene

Pilarene er der høyden er \(2{,}5\) m:

\[-0{,}0008x^2+0{,}08x+1=2{,}5\]

Løsningen er \(x=25\) og \(x=75\). Avstanden fra C til E er derfor

\[75-25=50\]

import sympy as sp
x = sp.symbols("x")
G = -0.0008*x**2 + 0.08*x + 1
print("Funksjon:", G)
topp_x = -0.08 / (2 * -0.0008)
topp_y = G.subs(x, topp_x)
print("Toppunkt x-verdi:", topp_x)
print("Toppunkt høyde:", topp_y)
losning_mast = sp.solve(sp.Eq(G, 2.9), x)
losning_pilar = sp.solve(sp.Eq(G, 2.5), x)
print("Løsninger for G(x)=2.9:", losning_mast)
print("Løsninger for G(x)=2.5:", losning_pilar)
print("Avstand C til E:", float(losning_pilar[1] - losning_pilar[0]), "m")

Funksjon: -0.0008*x**2 + 0.08*x + 1
Toppunkt x-verdi: 50.0
Toppunkt høyde: 3.00000000000000
Løsninger for G(x)=2.9: [38.8196601125011, 61.1803398874989]
Løsninger for G(x)=2.5: [25.0000000000000, 75.0000000000000]
Avstand C til E: 50.0 m

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne sentralmål og spredningsmål, og tolke standardavviket.

Steg 1 — Gjennomsnitt

Vi legger sammen de 20 målingene og deler på 20. Dette gir

\[\bar{x}=501{,}7 ext{ mL}\]

Steg 2 — Standardavvik

Med populasjonsstandardavvik for de 20 målte flaskene får vi omtrent

\[\sigma\approx10{,}3 ext{ mL}\]

Steg 3 — Sammenlikn med maskin B

Maskin B har samme gjennomsnitt, men standardavvik \(2{,}5\) mL. Det betyr at flaskene fra B ligger mye tettere rundt gjennomsnittet.

Tolkning

Maskin B er mer presis i denne målingen. Maskin A har større variasjon i hvor mye vann flaskene inneholder.

import statistics as st
maskin_a = [510, 490, 495, 480, 520,
            500, 504, 508, 501, 516,
            498, 485, 499, 502, 515,
            505, 497, 500, 493, 516]
gjennomsnitt = sum(maskin_a) / len(maskin_a)
standardavvik_populasjon = st.pstdev(maskin_a)
standardavvik_utvalg = st.stdev(maskin_a)
print("Antall flasker:", len(maskin_a))
print("Målinger maskin A:", maskin_a)
print("Gjennomsnitt maskin A:", gjennomsnitt)
print("Standardavvik, populasjon:", standardavvik_populasjon)
print("Standardavvik, utvalg:", standardavvik_utvalg)
print("Standardavvik maskin B:", 2.5)
print("Tolkning: Maskin B har mye mindre spredning.")

Antall flasker: 20
Målinger maskin A: [510, 490, 495, 480, 520, 500, 504, 508, 501, 516, 498, 485, 499, 502, 515, 505, 497, 500, 493, 516]
Gjennomsnitt maskin A: 501.7
Standardavvik, populasjon: 10.252316811335865
Standardavvik, utvalg: 10.518655107149293
Standardavvik maskin B: 2.5
Tolkning: Maskin B har mye mindre spredning.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage to ulike modeller mellom samme start- og sluttpunkt, og vurdere dem mot et nytt datapunkt.

Steg 1 — Lineær modell

Antallet går fra 280 til 40 på 20 måneder. Endringen er \(-240\), altså

\[\dfrac{-240}{20}=-12\]

Den lineære modellen er

\[L(x)=280-12x\]

Steg 2 — Eksponentiell modell

La modellen være \(E(x)=280\cdot a^x\). Siden \(E(20)=40\), får vi

\[280a^{20}=40\]

\[a^{20}=\dfrac{1}{7}\]

\[a=\left(\dfrac{1}{7}\right)^{1/20}\approx0{,}9073\]

Altså

\[E(x)=280\cdot0{,}9073^x\]

Steg 3 — Sammenlikn etter ett år

Ett år er 12 måneder. Lineær modell gir

\[L(12)=280-12\cdot12=136\]

Eksponentiell modell gir

\[E(12)\approx87\]

Den observerte verdien 96 ligger nærmest den eksponentielle modellen.

import math
start = 280
slutt = 40
maaneder = 20
lineaer_endring_per_maaned = (slutt - start) / maaneder
vekstfaktor = (slutt / start) ** (1 / maaneder)
print("Lineær endring per måned:", lineaer_endring_per_maaned)
print("Lineær modell: L(x) = 280 - 12*x")
print("Eksponentiell vekstfaktor:", vekstfaktor)
print("Eksponentiell modell: E(x) = 280 *", vekstfaktor, "** x")
L_12 = start + lineaer_endring_per_maaned * 12
E_12 = start * vekstfaktor**12
print("L(12):", L_12)
print("E(12):", E_12)
print("Observasjon etter 12 måneder:", 96)
print("Avvik lineær modell:", abs(96 - L_12))
print("Avvik eksponentiell modell:", abs(96 - E_12))

Lineær endring per måned: -12.0
Lineær modell: L(x) = 280 - 12*x
Eksponentiell vekstfaktor: 0.9072878561917624
Eksponentiell modell: E(x) = 280 * 0.9072878561917624 ** x
L(12): 136.0
E(12): 87.11625697931119
Observasjon etter 12 måneder: 96
Avvik lineær modell: 40.0
Avvik eksponentiell modell: 8.883743020688811

Hva spør oppgaven om? Vi skal fullføre en klassedelt frekvenstabell, lage histogram og beregne gjennomsnitt og median.

Steg 1 — Fullfør tabellen

Steg 2 — Histogram

Første intervall er 60 minutter bredt, mens de andre er 120 minutter brede. Derfor må høyden i histogrammet være frekvenstetthet.

Steg 3 — Gjennomsnitt

Vi bruker klassemidtpunkt: 30, 120, 240, 360 og 480.

\[\bar{x}=\dfrac{3\cdot30+6\cdot120+12\cdot240+6\cdot360+3\cdot480}{30}=243\]

Steg 4 — Median

Medianen ligger mellom observasjon 15 og 16. Kumulativ frekvens passerer dette i intervallet \([180,300 angle\). Med jevn fordeling i intervallet:

\[180+\dfrac{15-9}{12}\cdot120=240\]

Medianen er omtrent 240 minutter.

intervaller = [(0, 60), (60, 180), (180, 300), (300, 420), (420, 540)]
frekvenser = [3, 6, 12, 6, 3]
total = sum(frekvenser)
kumulativ = 0
print("Intervall, frekvens, kumulativ, relativ, kumulativ relativ, frekvenstetthet")
for (start, slutt), f in zip(intervaller, frekvenser):
    kumulativ += f
    relativ = f / total
    kum_rel = kumulativ / total
    tetthet = f / (slutt - start)
    print((start, slutt), f, kumulativ, round(relativ, 2), round(kum_rel, 2), tetthet)
midtpunkt = [(a+b)/2 for a,b in intervaller]
gjennomsnitt = sum(m*f for m,f in zip(midtpunkt, frekvenser)) / total
median = 180 + ((15 - 9) / 12) * 120
print("Klassemidtpunkt:", midtpunkt)
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)
print("Median, omtrent:", median)

Intervall, frekvens, kumulativ, relativ, kumulativ relativ, frekvenstetthet
(0, 60) 3 3 0.1 0.1 0.05
(60, 180) 6 9 0.2 0.3 0.05
(180, 300) 12 21 0.4 0.7 0.1
(300, 420) 6 27 0.2 0.9 0.05
(420, 540) 3 30 0.1 1.0 0.025
Klassemidtpunkt: [30.0, 120.0, 240.0, 360.0, 480.0]
Gjennomsnitt: 243.0
Median, omtrent: 240.0

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne terminbeløp med fast avdrag, rente av restlån og eventuelt gebyr.

Steg 1 — Første terminbeløp

Renten første måned er

\[0{,}004\cdot90000=360\]

Terminbeløpet blir

\[2500+360+50=2910\]

Steg 2 — Regnearkoppsett

Et mulig regneark kan ha kolonnene termin, restlån før betaling, rente, avdrag, gebyr, terminbeløp og restlån etter betaling.

Eksempel på formler i rad 2: C2=B2*0,004, D2=MIN(2500;B2), E2=50, F2=C2+D2+E2, G2=B2-D2. Neste rad kan bruke B3=G2.

Steg 3 — Totalt for første lån

Siden avdraget er 2500 kroner, blir lånet nedbetalt på

\[\dfrac{90000}{2500}=36\]

terminer. Summerer vi alle terminbeløpene, får vi 98 460 kroner.

Steg 4 — Reklamelånet

Her er renten 0,5 % per måned og ingen gebyrer. Med samme avdrag blir totalbeløpet 98 325 kroner.

Tolkning

Selv om reklamelånet har høyere månedsrente, mangler det gebyr. I dette tilfellet blir reklamelånet litt billigere totalt.

def nedbetalingsplan(lan, manedsrente, fast_avdrag, gebyr):
    restlan = lan
    termin = 0
    total_betalt = 0
    print("Termin | Restlån før | Rente | Avdrag | Gebyr | Terminbeløp | Restlån etter")
    while restlan > 0:
        termin += 1
        rente = restlan * manedsrente
        avdrag = min(fast_avdrag, restlan)
        terminbelop = rente + avdrag + gebyr
        nytt_restlan = restlan - avdrag
        total_betalt += terminbelop
        if termin <= 5 or nytt_restlan == 0:
            print(termin, "|", round(restlan, 2), "|", round(rente, 2), "|", round(avdrag, 2), "|", gebyr, "|", round(terminbelop, 2), "|", round(nytt_restlan, 2))
        restlan = nytt_restlan
    print("Antall terminer:", termin)
    print("Totalt betalt:", round(total_betalt, 2))
    return total_betalt
print("Lån 1:")
total_1 = nedbetalingsplan(90000, 0.004, 2500, 50)
print()
print("Lån 2:")
total_2 = nedbetalingsplan(90000, 0.005, 2500, 0)
print()
print("Forskjell:", round(total_1 - total_2, 2))

Lån 1:
Termin | Restlån før | Rente | Avdrag | Gebyr | Terminbeløp | Restlån etter
1 | 90000 | 360.0 | 2500 | 50 | 2910.0 | 87500
2 | 87500 | 350.0 | 2500 | 50 | 2900.0 | 85000
3 | 85000 | 340.0 | 2500 | 50 | 2890.0 | 82500
4 | 82500 | 330.0 | 2500 | 50 | 2880.0 | 80000
5 | 80000 | 320.0 | 2500 | 50 | 2870.0 | 77500
36 | 2500 | 10.0 | 2500 | 50 | 2560.0 | 0
Antall terminer: 36
Totalt betalt: 98460.0

Lån 2:
Termin | Restlån før | Rente | Avdrag | Gebyr | Terminbeløp | Restlån etter
1 | 90000 | 450.0 | 2500 | 0 | 2950.0 | 87500
2 | 87500 | 437.5 | 2500 | 0 | 2937.5 | 85000
3 | 85000 | 425.0 | 2500 | 0 | 2925.0 | 82500
4 | 82500 | 412.5 | 2500 | 0 | 2912.5 | 80000
5 | 80000 | 400.0 | 2500 | 0 | 2900.0 | 77500
36 | 2500 | 12.5 | 2500 | 0 | 2512.5 | 0
Antall terminer: 36
Totalt betalt: 98325.0

Forskjell: 135.0