Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive tallene som et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens.

Steg 1 — Skriv millioner som tierpotens

\[26{,}3\text{ millioner}=26{,}3\cdot 10^6\]

Én million er \(10^6\).

Steg 2 — Flytt kommaet én plass mot venstre

\[26{,}3\cdot 10^6=2{,}63\cdot 10^7\]

Når tallet foran tierpotensen blir delt på 10, må tierpotensen ganges med 10.

Steg 3 — Gjør det samme med det andre tallet

\[16{,}5\cdot 10^{-8}=1{,}65\cdot 10^{-7}\]

Tallet foran tierpotensen må være minst 1 og mindre enn 10.

Tolkning

Begge svarene er skrevet på standardform.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from decimal import Decimal

første = Decimal("26.3") * (Decimal(10) ** 6)
andre = Decimal("16.5") * (Decimal(10) ** -8)

print("26,3 millioner =", første)
print("Standardform:", "2,63 * 10^7")
print("16,5 * 10^-8 =", andre)
print("Standardform:", "1,65 * 10^-7")

26,3 millioner = 26300000.0
Standardform: 2,63 * 10^7
16,5 * 10^-8 = 1.65E-7
Standardform: 1,65 * 10^-7

Hva spør oppgaven om? Vi regner med tallfaktorene og tierpotensene hver for seg.

Steg 1 — Samle tallfaktorene i nevneren

\[7{,}0\cdot 0{,}5=3{,}5\]

Dette gjør brøken lettere å forenkle.

Steg 2 — Samle tierpotensene i nevneren

\[10^5\cdot 10^6=10^{11}\]

Når vi multipliserer potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene.

Steg 3 — Forkort

\[\dfrac{3{,}5\cdot 10^8}{3{,}5\cdot 10^{11}}=10^{-3}\]

Faktoren \(3{,}5\) forkortes bort.

Steg 4 — Skriv som desimaltall

\[10^{-3}=0{,}001\]

Negativ eksponent betyr at tallet er mindre enn 1.

Tolkning

Svaret er ett tusendels tall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction

verdi = (3.5 * 10**8) / (7.0 * 10**5 * 0.5 * 10**6)
print("Utregnet verdi:", verdi)
print("Som desimaltall:", format(verdi, ".3f"))

Utregnet verdi: 0.001
Som desimaltall: 0.001

Hva spør oppgaven om? Vi finner først totalt antall elever og deretter jenteandelen i prosent.

Steg 1 — Finn totalt antall elever

\[135+115=250\]

Prosentandelen må regnes av hele elevgruppen.

Steg 2 — Finn andelen jenter

\[\dfrac{135}{250}=0{,}54\]

Andelen er antall jenter delt på totalt antall elever.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[0{,}54\cdot 100\,\%=54\,\%\]

Vi multipliserer med 100 for å få prosent.

Tolkning

Jentene utgjør litt over halvparten av elevene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

jenter = 135
gutter = 115
totalt = jenter + gutter
prosent_jenter = jenter / totalt * 100

print("Totalt antall elever:", totalt)
print("Andel jenter i prosent:", prosent_jenter)

Totalt antall elever: 250
Andel jenter i prosent: 54.0

Hva spør oppgaven om? Vi lar startprisen være \(P\), slik at vi kan sammenlikne uten å kjenne prisen.

Steg 1 — Butikk A

\[P\cdot 1{,}10\cdot 0{,}90=0{,}99P\]

Opp 10 % betyr faktor 1,10, og ned 10 % betyr faktor 0,90.

Steg 2 — Butikk B

\[P\cdot 0{,}90\cdot 1{,}10=0{,}99P\]

Faktorene er de samme, bare i motsatt rekkefølge.

Steg 3 — Sammenlikn

\[0{,}99P=0{,}99P\]

Begge butikkene ender på 99 % av startprisen.

Tolkning

Varen koster like mye i de to butikkene etter endringene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

startpris = 100
butikk_A = startpris * 1.10 * 0.90
butikk_B = startpris * 0.90 * 1.10

print("Startpris:", startpris)
print("Pris i butikk A:", butikk_A)
print("Pris i butikk B:", butikk_B)
print("Like priser?", butikk_A == butikk_B)

Startpris: 100
Pris i butikk A: 99.00000000000001
Pris i butikk B: 99.00000000000001
Like priser? True

Hva spør oppgaven om? Vi skriver startbeløpet som en toerpotens og bruker halvering som faktor \(\dfrac12\).

Steg 1 — Skriv 1024 som toerpotens

\[1024=2^{10}\]

Dette er nyttig fordi hver halvering trekker én fra eksponenten.

Steg 2 — Skriv sju halveringer som potens

\[\left(\dfrac{1}{2}\right)^7=2^{-7}\]

Å halvere sju ganger er det samme som å multiplisere med \(2^{-7}\).

Steg 3 — Regn med potensregler

\[2^{10}\cdot 2^{-7}=2^3\]

Når grunntallet er likt, legger vi sammen eksponentene.

Steg 4 — Finn beløpet

\[2^3=8\]

Etter sju uker er det 8 kroner igjen.

Tolkning

Beløpet blir lite fordi det halveres gjentatte ganger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

start = 1024
uker = 7
beløp = start * (1/2)**uker

print("Startbeløp:", start)
print("Antall uker:", uker)
print("Beløp igjen etter 7 uker:", beløp)

Startbeløp: 1024
Antall uker: 7
Beløp igjen etter 7 uker: 8.0

Hva spør oppgaven om? Vi leser av omtrentlige endepunkter og lager en lineær modell der \(x\) er år etter 2010.

Steg 1 — Velg to punkter fra grafen

\[(0,8500)\quad \text{og}\quad (5,5900)\]

Grafen starter omtrent ved 8500 dyr og ender omtrent ved 5900 dyr.

Steg 2 — Finn stigningstallet

\[a=\dfrac{5900-8500}{5-0}=\dfrac{-2600}{5}=-520\]

Stigningstallet viser endring i antall dyr per år.

Steg 3 — Skriv modellen

\[f(x)=8500-520x\]

Konstantleddet er startverdien når \(x=0\).

Tolkning

Modellen sier at bestanden minker med omtrent 520 dyr per år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

x1, y1 = 0, 8500
x2, y2 = 5, 5900
stigningstall = (y2 - y1) / (x2 - x1)
konstantledd = y1

print("Valgte punkter:", (x1, y1), (x2, y2))
print("Stigningstall:", stigningstall)
print("Lineær modell: f(x) =", konstantledd, "+", stigningstall, "* x")

Valgte punkter: (0, 8500) (5, 5900)
Stigningstall: -520.0
Lineær modell: f(x) = 8500 + -520.0 * x

Hva spør oppgaven om? Året 2018 er 8 år etter 2010, så vi setter \(x=8\).

Steg 1 — Finn \(x\)-verdien

\[2018-2010=8\]

Modellen bruker antall år etter 2010.

Steg 2 — Sett inn i modellen

\[f(8)=8500-520\cdot 8\]

Dette gir modellens anslag for 2018.

Steg 3 — Regn ut

\[f(8)=8500-4160=4340\]

Vi runder naturlig til hele dyr.

Tolkning

Modellen anslår omtrent 4340 dyr i 2018.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def f(x):
    return 8500 - 520*x

år = 2018
x = år - 2010
anslag = f(x)

print("År:", år)
print("x-verdi:", x)
print("Anslag:", anslag)

År: 2018
x-verdi: 8
Anslag: 4340

Hva spør oppgaven om? Vi finner når modellen gir \(f(x)=0\).

Steg 1 — Sett funksjonen lik null

\[8500-520x=0\]

Ingen dyr betyr at modellen treffer 0.

Steg 2 — Løs likningen

\[520x=8500\]

Vi flytter \(-520x\) over på andre siden.

Steg 3 — Del på 520

\[x=\dfrac{8500}{520}\approx 16{,}35\]

Dette er antall år etter 2010.

Tolkning

Ifølge modellen tar det omtrent 16 år etter 2010, altså rundt 2026.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve

x = symbols("x")
løsning = solve(8500 - 520*x, x)[0]

print("Løsning for f(x)=0:", løsning)
print("Desimaltall:", float(løsning))
print("Omtrent årstall:", 2010 + float(løsning))

Løsning for f(x)=0: 425/26
Desimaltall: 16.346153846153847
Omtrent årstall: 2026.3461538461538

Hva spør oppgaven om? Vi bruker at total frekvens er 20, relativ frekvens er frekvens delt på 20, og kumulativ frekvens er summen til og med intervallet.

Steg 1 — Første intervall

\[0{,}05\cdot 20=1\]

Relativ frekvens 0,05 betyr 1 av 20 lørdager.

Steg 2 — Andre intervall

\[6-1=5\]

Kumulativ frekvens etter andre intervall er 6, så andre intervall må ha frekvens 5.

Steg 3 — Tredje intervall

\[8\quad \text{og}\quad 1+5+8=14\]

Frekvensen er oppgitt til 8, og kumulativ frekvens blir 14.

Steg 4 — Siste intervall

\[20-14=6\]

Siste kumulative frekvens er 20, så siste frekvens er 6.

Steg 5 — Relative frekvenser

\[\dfrac{1}{20}=0{,}05,\quad \dfrac{5}{20}=0{,}25,\quad \dfrac{8}{20}=0{,}40,\quad \dfrac{6}{20}=0{,}30\]

Hver relativ frekvens er frekvens delt på totalen 20.

Tolkning

Tabellen viser at flest lørdager ligger i intervallet \([100,150)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

frekvenser = [1, 5, 8, 6]
total = sum(frekvenser)
kumulativ = []
sum_hittil = 0

for f in frekvenser:
    sum_hittil += f
    kumulativ.append(sum_hittil)

relative = [f/total for f in frekvenser]

print("Frekvenser:", frekvenser)
print("Relative frekvenser:", relative)
print("Kumulative frekvenser:", kumulativ)

Frekvenser: [1, 5, 8, 6]
Relative frekvenser: [0.05, 0.25, 0.4, 0.3]
Kumulative frekvenser: [1, 6, 14, 20]

Hva spør oppgaven om? Vi teller de synlige tallene i intervallene og fyller inn tall som gjør frekvensene riktige.

Steg 1 — Tell synlige verdier under 50

\[0\text{ synlige verdier i }[0,50)\]

Tabellen krever 1 verdi i dette intervallet.

Steg 2 — Tell synlige verdier fra 50 til 100

\[50,60,75,88,96\]

Det er allerede 5 verdier, så ingen skjult verdi bør ligge der.

Steg 3 — Tell synlige verdier fra 100 til 150

\[100,105,116,120,125,125,133,140\]

Det er allerede 8 verdier, så ingen skjult verdi bør ligge der.

Steg 4 — Tell synlige verdier fra 150 til 200

\[150,169,175,185\]

Tabellen krever 6 verdier, så to skjulte verdier må ligge her.

Steg 5 — Velg mulige tall

\[30,160,180\]

Dette gir én verdi i første intervall og to verdier i siste intervall.

Tolkning

Det finnes flere mulige svar; poenget er at frekvensene passer med tabellen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

synlige = [116,100,125,185,125,150,60,75,120,50,140,175,88,133,96,105,169]
skjulte = [30, 160, 180]
alle = synlige + skjulte
intervaller = [(0,50), (50,100), (100,150), (150,200)]

for a, b in intervaller:
    antall = sum(1 for verdi in alle if a <= verdi < b)
    print(f"[{a},{b}):", antall)

[0,50): 1
[50,100): 5
[100,150): 8
[150,200): 6

Hva spør oppgaven om? Vi tolker konstantleddet og vekstfaktoren i modellen.

Steg 1 — Startverdien

\[V(0)=250000\cdot 0{,}9^0=250000\]

Tallet 250 000 er bilens verdi da Siri kjøpte den.

Steg 2 — Vekstfaktoren

\[0{,}9=90\,\%\]

Bilen beholder 90 % av verdien fra ett år til det neste.

Steg 3 — Verdifall

\[100\,\%-90\,\%=10\,\%\]

Verdien synker derfor med 10 % per år.

Tolkning

Modellen beskriver et årlig prosentvis verdifall.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

startverdi = 250000
vekstfaktor = 0.9
verdifall_prosent = (1 - vekstfaktor) * 100

print("Startverdi:", startverdi)
print("Vekstfaktor:", vekstfaktor)
print("Årlig verdifall i prosent:", verdifall_prosent)

Startverdi: 250000
Vekstfaktor: 0.9
Årlig verdifall i prosent: 9.999999999999998

Hva spør oppgaven om? Vi setter \(x=1\) i funksjonen.

Steg 1 — Sett inn ett år

\[V(1)=250000\cdot 0{,}9^1\]

Ett år etter kjøpet betyr \(x=1\).

Steg 2 — Regn ut

\[V(1)=225000\]

Bilen har mistet 10 % av 250 000 kroner.

Tolkning

Etter ett år er verdien 225 000 kroner ifølge modellen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def V(x):
    return 250000 * 0.9**x

print("V(1) =", V(1))

V(1) = 225000.0

Hva spør oppgaven om? For klassedelt materiale bruker vi klassemidtpunkt som representant for hvert intervall.

Steg 1 — Finn klassemidtpunktene

\[2{,}5,\;7{,}5,\;12{,}5,\;17{,}5,\;22{,}5\]

Midtpunktet representerer verdiene i intervallet.

Steg 2 — Multipliser midtpunkter med frekvenser

\[2{,}5\cdot4+7{,}5\cdot12+12{,}5\cdot10+17{,}5\cdot0+22{,}5\cdot4=315\]

Dette gir en tilnærmet poengsum for hele gruppen.

Steg 3 — Del på antall elever

\[\dfrac{315}{30}=10{,}5\]

Det er 30 elever totalt.

Tolkning

Gjennomsnittet blir omtrent 10,5 poeng.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

midtpunkter = [2.5, 7.5, 12.5, 17.5, 22.5]
frekvenser = [4, 12, 10, 0, 4]
total_poeng = sum(m*f for m, f in zip(midtpunkter, frekvenser))
antall = sum(frekvenser)
gjennomsnitt = total_poeng / antall

print("Total tilnærmet poengsum:", total_poeng)
print("Antall elever:", antall)
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)

Total tilnærmet poengsum: 315.0
Antall elever: 30
Gjennomsnitt: 10.5

Hva spør oppgaven om? Vi plasserer medianen ved å se på kumulative frekvenser.

Steg 1 — Finn medianplassene

\[\dfrac{30}{2}=15\]

Medianen ligger mellom verdi nummer 15 og 16 når verdiene sorteres.

Steg 2 — Bruk kumulativ frekvens

\[4+12=16\]

De 16 første verdiene ligger i intervallene \([0,5)\) og \([5,10)\).

Steg 3 — Tolk plasseringen

Medianen ligger i intervallet \([5,10)\), altså lavere enn 10 poeng.

Per har 10 poeng, så han ligger over den klassedelte medianen.

Tolkning

Ja, medianen kan brukes som begrunnelse, men siden dataene er klassedelte, er begrunnelsen omtrentlig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

frekvenser = [4, 12, 10, 0, 4]
kumulativ = []
s = 0
for f in frekvenser:
    s += f
    kumulativ.append(s)

print("Kumulative frekvenser:", kumulativ)
print("Medianplassene er 15 og 16")
print("Medianintervallet er [5,10)")
print("Pers poengsum 10 ligger over medianintervallet")

Kumulative frekvenser: [4, 16, 26, 26, 30]
Medianplassene er 15 og 16
Medianintervallet er [5,10)
Pers poengsum 10 ligger over medianintervallet

Hva spør oppgaven om? Vi tolker grafene som avstand hjemmefra mot tid. Stigning betyr fart, flat del betyr pause eller venting, og synkende graf betyr at Eline beveger seg hjemover.

Steg 1 — Situasjon 1

Situasjon 1 passer med graf D.

Hun starter rolig, øker tempoet, snur og løper raskt tilbake. Det gir økende stigning ut og bratt retur.

Steg 2 — Situasjon 2

Situasjon 2 passer med graf B.

Hun løper raskt til busstoppet, venter, og går roligere tilbake. Derfor: bratt opp, flat del, slakere ned.

Steg 3 — Situasjon 3

Situasjon 3 passer med graf A.

Hun går opp bakken, tar pause på toppen og løper raskt tilbake. Derfor: opp, flat del og bratt retur.

Steg 4 — Situasjon 4

Situasjon 4 passer med graf C.

Hun padler bort fra hjemmet, og farten øker etter hvert når vinden avtar. Avstanden øker hele tiden, men raskere etter hvert.

Tolkning

Grafenes form forteller både retning og fart.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

matching = {
    "Situasjon 1": "Graf D",
    "Situasjon 2": "Graf B",
    "Situasjon 3": "Graf A",
    "Situasjon 4": "Graf C",
}

for situasjon, graf in matching.items():
    print(situasjon, "passer med", graf)

Situasjon 1 passer med Graf D
Situasjon 2 passer med Graf B
Situasjon 3 passer med Graf A
Situasjon 4 passer med Graf C

Hva spør oppgaven om? Vi finner total tid, prosentandel og sektorvinkel for hvert medium.

Steg 1 — Finn totalen

\[127+107+83+16+16+2=351\]

Alle sektorene skal til sammen være hele sirkelen.

Steg 2 — Regn prosent for hvert medium

\[\text{andel}=\dfrac{\text{minutter}}{351}\cdot 100\,\%\]

Dette gir andelen av total medietid.

Steg 3 — Regn sektorvinkel

\[\text{vinkel}=\dfrac{\text{minutter}}{351}\cdot 360^\circ\]

Sirkelen har \(360^\circ\).

Steg 4 — Lag diagrammet

Bruk prosentene eller vinklene i regneark/GeoGebra.

I regneark kan du markere kategorier og minutter og velge sektordiagram.

Tolkning

Internett, TV og radio utgjør størstedelen av tidsbruken.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

medier = {
    "Internett": 127,
    "TV": 107,
    "Radio": 83,
    "Papiraviser": 16,
    "Bøker": 16,
    "Ukeblader": 2,
}

total = sum(medier.values())
print("Total tid:", total, "minutter")

for navn, minutter in medier.items():
    prosent = minutter / total * 100
    vinkel = minutter / total * 360
    print(f"{navn:12s}: {prosent:5.1f} %, {vinkel:6.1f} grader")

Total tid: 351 minutter
Internett   :  36.2 %,  130.3 grader
TV          :  30.5 %,  109.7 grader
Radio       :  23.6 %,   85.1 grader
Papiraviser :   4.6 %,   16.4 grader
Bøker       :   4.6 %,   16.4 grader
Ukeblader   :   0.6 %,    2.1 grader

Hva spør oppgaven om? Vi bruker vekstfaktoren \(1{,}025\). Framover ganger vi, bakover deler vi, og for passering løser vi en eksponentiallikning.

Steg 1 — Modell framover

\[V(x)=6500000\cdot 1{,}025^x\]

Her er \(x\) antall år fra i dag.

Steg 2 — Om 8 år

\[V(8)=6500000\cdot 1{,}025^8\approx 7919619\]

Verdien blir omtrent 7,92 millioner kroner.

Steg 3 — For 8 år siden

\[V(-8)=6500000\cdot 1{,}025^{-8}\approx 5334853\]

Å gå bakover tilsvarer å dele på vekstfaktoren.

Steg 4 — Passering av 10 millioner

\[6500000\cdot 1{,}025^x=10000000\]

Vi løser for \(x\).

Steg 5 — Løs digitalt

\[x\approx 17{,}45\]

Verdien passerer 10 millioner i løpet av det 18. året etter i dag.

Tolkning

Modellen er en ren prosentmodell og forutsetter samme årlige vekst framover.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import math

verdi_i_dag = 6_500_000
vekstfaktor = 1.025

verdi_om_8_år = verdi_i_dag * vekstfaktor**8
verdi_for_8_år_siden = verdi_i_dag / vekstfaktor**8
år_til_10_millioner = math.log(10_000_000 / verdi_i_dag) / math.log(vekstfaktor)

print("Verdi om 8 år:", round(verdi_om_8_år))
print("Verdi for 8 år siden:", round(verdi_for_8_år_siden))
print("År til passering av 10 000 000:", år_til_10_millioner)
print("Passerer i løpet av år nummer:", math.floor(år_til_10_millioner) + 1)

Verdi om 8 år: 7919619
Verdi for 8 år siden: 5334853
År til passering av 10 000 000: 17.445821681114168
Passerer i løpet av år nummer: 18

Hva spør oppgaven om? Vi bruker potensregresjon, vurderer modelltilpasningen og bruker modellen til beregningene.

Steg 1 — Regresjon

Potensregresjon gir omtrent \[f(x)=1600{,}30\cdot x^{-0{,}8489}\]

Dette stemmer svært godt med den oppgitte modellen \(1600\cdot x^{-0{,}85}\).

Steg 2 — Vurder modellen

\[R^2\approx 0{,}9996\]

Forklaringsgraden er svært høy, og modellen passer godt i intervallet fra 15 til 50 kroner.

Steg 3 — Antall ved 45 kroner

\[f(45)=1600\cdot 45^{-0{,}85}\approx 62{,}9\]

Vi runder til omtrent 63 enheter.

Steg 4 — Pris når antallet er 100

\[1600x^{-0{,}85}=100\]

Vi løser likningen digitalt.

Steg 5 — Løsning for pris

\[x\approx 26{,}1\]

Prisen er omtrent 26 kroner.

Steg 6 — Gjennomsnittlig vekstfart

\[\dfrac{f(45)-f(20)}{45-20}\approx -2{,}50\]

Antall solgte enheter synker i gjennomsnitt med omtrent 2,5 enheter per krone i dette intervallet.

Tolkning

Modellen er god innenfor de observerte prisene, men bør ikke brukes ukritisk langt utenfor intervallet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq

pris = np.array([15, 19, 24, 30, 34, 42, 50], dtype=float)
solgte = np.array([160, 132, 108, 90, 79, 67, 58], dtype=float)

# Potensregresjon: ln(y) = ln(a) + b*ln(x)
b, ln_a = np.polyfit(np.log(pris), np.log(solgte), 1)
a = np.exp(ln_a)
modellverdier = a * pris**b
r2 = 1 - np.sum((solgte - modellverdier)**2) / np.sum((solgte - solgte.mean())**2)

print("Regresjonsmodell: y =", a, "* x^", b)
print("R^2:", r2)

def f(x):
    return 1600 * x**(-0.85)

print("f(45):", f(45))
pris_ved_100 = brentq(lambda x: f(x) - 100, 15, 50)
print("Pris når antall solgte er 100:", pris_ved_100)

vekstfart = (f(45) - f(20)) / (45 - 20)
print("Gjennomsnittlig vekstfart fra 20 til 45:", vekstfart)

Regresjonsmodell: y = 1600.295556716272 * x^ -0.8489097935123289
R^2: 0.9996403664614125
f(45): 62.934581117339185
Pris når antall solgte er 100: 26.098271471448808
Gjennomsnittlig vekstfart fra 20 til 45: -2.4980040758282875

Hva spør oppgaven om? Vi beregner sentralmål, prosentvise sammenlikninger og spredning.

Steg 1 — Gjennomsnitt

\[\bar{x}=\dfrac{279}{15}=18{,}6\]

Summen av poengene er 279.

Steg 2 — Median

Sortert liste gir median \[20\]

Det er 15 elever, så medianen er verdi nummer 8 i sortert rekkefølge.

Steg 3 — Påstand 1

\[\dfrac{20-18{,}6}{20}\cdot 100\,\%=7{,}0\,\%\]

Gjennomsnittet er 7,0 % lavere enn medianen. Påstand 1 er riktig.

Steg 4 — Påstand 2

\[\dfrac{20-18{,}6}{18{,}6}\cdot 100\,\%\approx 7{,}5\,\%\]

Medianen er omtrent 7,5 % høyere enn gjennomsnittet. Påstand 2 er også riktig.

Steg 5 — Standardavvik

\[\sigma\approx 8{,}3\]

Med populasjonsstandardavvik blir standardavviket omtrent 8,3 poeng.

Steg 6 — Sammenlikning med 2B

Begge klassene har gjennomsnitt \(18{,}6\), men 2B har lavere standardavvik \(5{,}9\).

2B har derfor mer samlede poengsummer rundt gjennomsnittet enn 2A.

Tolkning

Klassene har samme gjennomsnitt, men 2A har større spredning.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import statistics

poeng = [31, 8, 24, 9, 24, 14, 26, 13, 26, 4, 13, 27, 12, 20, 28]
gjennomsnitt = sum(poeng) / len(poeng)
median = statistics.median(poeng)
standardavvik = statistics.pstdev(poeng)

påstand_1 = (median - gjennomsnitt) / median * 100
påstand_2 = (median - gjennomsnitt) / gjennomsnitt * 100

print("Sorterte poeng:", sorted(poeng))
print("Gjennomsnitt:", gjennomsnitt)
print("Median:", median)
print("Påstand 1 prosent:", påstand_1)
print("Påstand 2 prosent:", påstand_2)
print("Standardavvik:", standardavvik)

Sorterte poeng: [4, 8, 9, 12, 13, 13, 14, 20, 24, 24, 26, 26, 27, 28, 31]
Gjennomsnitt: 18.6
Median: 20
Påstand 1 prosent: 6.999999999999992
Påstand 2 prosent: 7.526881720430099
Standardavvik: 8.276875416886899

Hva spør oppgaven om? Vi lager en modell \(f(x)=a\cdot b^x\), der \(x\) er timer etter en tablett.

Steg 1 — Bruk forholdet mellom målingene

\[\dfrac{f(24)}{f(1)}=\dfrac{0{,}050}{0{,}50}=0{,}10\]

Fra time 1 til time 24 går det 23 timer.

Steg 2 — Finn vekstfaktoren per time

\[b^{23}=0{,}10\quad \Rightarrow \quad b=0{,}10^{1/23}\approx 0{,}9047\]

Konsentrasjonen beholder omtrent 90,47 % fra time til time.

Steg 3 — Finn \(a\)

\[0{,}50=a\cdot b^1\quad \Rightarrow \quad a=\dfrac{0{,}50}{b}\approx 0{,}5526\]

Modellen blir \(f(x)\approx 0{,}5526\cdot 0{,}9047^x\).

Steg 4 — Etter 10 timer

\[f(10)\approx 0{,}203\]

Konsentrasjonen er omtrent 0,203 \(\mu\text{g}/\text{mL}\).

Steg 5 — Etter 30 timer med flere tabletter

Tablettene er tatt ved \(0\), \(12\) og \(24\) timer. Etter 30 timer bidrar de med \(f(30)\), \(f(18)\) og \(f(6)\).

Vi legger sammen bidragene fordi virkestoffet fra flere tabletter finnes samtidig.

Steg 6 — Summer bidrag

\[f(30)+f(18)+f(6)\approx 0{,}422\]

Dette er total konsentrasjon 30 timer etter første tablett.

Tolkning

Modellen antar samme nedbryting uansett dose og tidspunkt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

b = 0.10 ** (1/23)
a = 0.50 / b

def f(x):
    return a * b**x

print("Vekstfaktor per time:", b)
print("Startfaktor a:", a)
print("Modell: f(x) = a * b^x")
print("f(10):", f(10))

bidrag = [f(30), f(18), f(6)]
print("Bidrag etter 30, 18 og 6 timer:", bidrag)
print("Total konsentrasjon etter 30 timer:", sum(bidrag))

Vekstfaktor per time: 0.9047357242349298
Startfaktor a: 0.5526475705630107
Modell: f(x) = a * b^x
f(10): 0.20307929941884903
Bidrag etter 30, 18 og 6 timer: [0.027422082880605127, 0.09116740004342211, 0.30309494967487866]
Total konsentrasjon etter 30 timer: 0.42168443259890587

Hva spør oppgaven om? Vi setter opp et dynamisk regneark der renten regnes av restlånet før betalingen hvert år.

Steg 1 — Kolonner

Bruk kolonnene År, Restlån før rente, Rente, Innbetaling, Avdrag, Restlån etter betaling og Sum renter.

Dette gjør det tydelig hva som skjer hvert år.

Steg 2 — Første rente

\[1000000\cdot 0{,}025=25000\]

Første år betaler hun 25 000 kroner i renter.

Steg 3 — Første avdrag

\[100000-25000=75000\]

Avdraget er innbetalingen minus rente.

Steg 4 — Nytt restlån

\[1000000-75000=925000\]

Restlånet etter første betaling blir 925 000 kroner.

Steg 5 — Dynamiske formler

Bruk for eksempel =B2*2,5% for rente, =D2-C2 for avdrag og =B2-E2 for nytt restlån.

Når formlene kopieres nedover, oppdateres lånet år for år.

Steg 6 — Siste betaling

Siste betaling blir lavere enn 100 000 kroner, fordi hun bare skal betale restlån pluss siste rente.

Med beregningen blir siste betaling omtrent 65 334 kroner i 2028.

Tolkning

Total rente blir omtrent 165 334 kroner, og lånet er nedbetalt i 2028.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

restlån = 1_000_000
rente = 0.025
årlig_betaling = 100_000
total_rente = 0
år = 2017

print("År | Restlån før | Rente | Betaling | Avdrag | Restlån etter")
while restlån > 0.005:
    rente_beløp = restlån * rente
    betaling = min(årlig_betaling, restlån + rente_beløp)
    avdrag = betaling - rente_beløp
    nytt_restlån = restlån - avdrag
    total_rente += rente_beløp

    print(år, "|", round(restlån, 2), "|", round(rente_beløp, 2), "|",
          round(betaling, 2), "|", round(avdrag, 2), "|", round(max(nytt_restlån, 0), 2))

    restlån = max(nytt_restlån, 0)
    år += 1

print("Total rente:", round(total_rente, 2))

År | Restlån før | Rente | Betaling | Avdrag | Restlån etter
2017 | 1000000 | 25000.0 | 100000 | 75000.0 | 925000.0
2018 | 925000.0 | 23125.0 | 100000 | 76875.0 | 848125.0
2019 | 848125.0 | 21203.12 | 100000 | 78796.88 | 769328.12
2020 | 769328.12 | 19233.2 | 100000 | 80766.8 | 688561.33
2021 | 688561.33 | 17214.03 | 100000 | 82785.97 | 605775.36
2022 | 605775.36 | 15144.38 | 100000 | 84855.62 | 520919.75
2023 | 520919.75 | 13022.99 | 100000 | 86977.01 | 433942.74
2024 | 433942.74 | 10848.57 | 100000 | 89151.43 | 344791.31
2025 | 344791.31 | 8619.78 | 100000 | 91380.22 | 253411.09
2026 | 253411.09 | 6335.28 | 100000 | 93664.72 | 159746.37
2027 | 159746.37 | 3993.66 | 100000 | 96006.34 | 63740.03
2028 | 63740.03 | 1593.5 | 65333.53 | 63740.03 | 0.0
Total rente: 165333.53

Hva spør oppgaven om? Vi teller mønsteret som en hovedrektangel-del og to øvre kvadrater.

Steg 1 — Tell de første figurene

\[F_1=2,\quad F_2=8,\quad F_3=20\]

Dette stemmer med figuren.

Steg 2 — Del figuren i deler

Hoveddelen har \(n\) rader og \(n+1\) kolonner, altså \(n(n+1)\) klosser.

For \(F_3\) blir dette \(3\cdot4=12\).

Steg 3 — Tell øvre kvadrater

Det er to kvadrater med side \(n-1\), altså \(2(n-1)^2\) klosser.

For \(F_3\) gir dette \(2\cdot2^2=8\).

Steg 4 — Lag formelen

\[K(n)=n(n+1)+2(n-1)^2=3n^2-3n+2\]

Dette gir 2, 8 og 20 for \(n=1,2,3\).

Steg 5 — Finn \(F_4\) og \(F_5\)

\[K(4)=38,\quad K(5)=62\]

Vi setter inn \(n=4\) og \(n=5\).

Steg 6 — Største figur med 1000 klosser

\[K(18)=920,\quad K(19)=1028\]

Han kan lage \(F_{18}\), men ikke \(F_{19}\). Resten blir \(1000-920=80\).

Tolkning

Den største mulige figuren er \(F_{18}\), og han får 80 klosser til overs.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def K(n):
    return 3*n**2 - 3*n + 2

print("F1:", K(1))
print("F2:", K(2))
print("F3:", K(3))
print("F4:", K(4))
print("F5:", K(5))

n = 1
while K(n + 1) <= 1000:
    n += 1

print("Største mulige figur:", f"F{n}")
print("Antall klosser brukt:", K(n))
print("Klosser til overs:", 1000 - K(n))

F1: 2
F2: 8
F3: 20
F4: 38
F5: 62
Største mulige figur: F18
Antall klosser brukt: 920
Klosser til overs: 80