Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Finn ny oppslutning

Oppslutningen øker fra \(5\,\%\) til \(7\,\%\), fordi \(5+2=7\).

Steg 2 — Finn relativ økning

Den relative økningen regnes i forhold til startverdien:

\[\dfrac{7-5}{5}=\dfrac{2}{5}=0{,}40\]

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[0{,}40\cdot 100\,\%=40\,\%\]

Tolkning

Oppslutningen økte med 2 prosentpoeng, men det tilsvarer 40 % relativ økning.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

start = 5
slutt = 7
okning_prosentpoeng = slutt - start
relativ_okning = okning_prosentpoeng / start * 100
print(f"Start: {start} %")
print(f"Slutt: {slutt} %")
print(f"Økning i prosentpoeng: {okning_prosentpoeng}")
print(f"Relativ økning: {relativ_okning:.0f} %")

Start: 5 %
Slutt: 7 %
Økning i prosentpoeng: 2
Relativ økning: 40 %

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Tolk variablene

Startprisen er 200 000, og verdien starter lik prisen. Vekstfaktoren \(0{,}85\) betyr at verdien blir 15 % lavere hvert år.

Steg 2 — Tolk løkka

Løkka kjører så lenge verdien er større enn halvparten av startprisen, altså større enn \(100\,000\).

Steg 3 — Følg verdien år for år

Etter 4 år er verdien fortsatt over \(100\,000\). Etter 5 år er verdien under \(100\,000\):

\[200000\cdot 0{,}85^5\approx 88741\]

Tolkning

Tallet i linje 10 er første verdi under halvparten av startprisen. Tallet i linje 11 er antall år det tok.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

pris = 200000
verdi = pris
vekstfaktor = 0.85
aar = 0

print("År  Verdi")
print(f"{aar:2d}  {verdi:,.2f}")

while verdi > pris/2:
    verdi = verdi * vekstfaktor
    aar = aar + 1
    print(f"{aar:2d}  {verdi:,.2f}")

print("\nDet programmet skriver ut:")
print(verdi)
print(aar)

År  Verdi
 0  200,000.00
 1  170,000.00
 2  144,500.00
 3  122,825.00
 4  104,401.25
 5  88,741.06

Det programmet skriver ut:
88741.0625
5

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Bruk nullproduktregelen

Når et produkt er null, må minst én faktor være null.

Steg 2 — Sett hver faktor lik null

\[x-3=0 \quad \lor \quad x+1=0 \quad \lor \quad x=0\]

Steg 3 — Løs de tre enkle likningene

\[x=3 \quad \lor \quad x=-1 \quad \lor \quad x=0\]

Tolkning

Likningen har tre løsninger fordi produktet består av tre førstegradsfaktorer.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, factor
x = symbols('x')
uttrykk = (x - 3)*(x + 1)*x
print("Uttrykk:", factor(uttrykk))
print("Løsninger:", solve(uttrykk, x))

Uttrykk: x*(x - 3)*(x + 1)
Løsninger: [-1, 0, 3]

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Bruk symmetri

Trekanten er likebeint. Høyden fra \(C\) deler grunnlinjen i to like deler: \(6\) cm og \(6\) cm.

Steg 2 — Finn høyden med Pytagoras

\[h^2+6^2=10^2\]

\[h^2=100-36=64\]

\[h=8\]

Steg 3 — Regn arealet

\[A=\dfrac{g\cdot h}{2}=\dfrac{12\cdot 8}{2}=48\]

Tolkning

Arealet er 48 kvadratcentimeter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import sqrt, Rational
side = 10
halv_grunnlinje = 6
hoyde = sqrt(side**2 - halv_grunnlinje**2)
areal = Rational(12, 2) * hoyde
print(f"Høyde = {hoyde} cm")
print(f"Areal = {areal} cm^2")

Høyde = 8 cm
Areal = 48 cm^2

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Sammenlikn mulige forstørringer

For bredden kan faktoren være \(\dfrac{30}{8}=3{,}75\). For høyden kan faktoren være \(\dfrac{42}{28}=1{,}5\).

Steg 2 — Velg minste faktor

Bildet må få plass både i bredden og i høyden. Derfor må vi bruke faktoren \(1{,}5\).

Steg 3 — Finn ny bredde og høyde

\[8\cdot 1{,}5=12\]

\[28\cdot 1{,}5=42\]

Tolkning

Høyden fyller papiret, mens det blir ledig plass i bredden.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

bredde = 8
hoyde = 28
papir_bredde = 30
papir_hoyde = 42

faktor_bredde = papir_bredde / bredde
faktor_hoyde = papir_hoyde / hoyde
faktor = min(faktor_bredde, faktor_hoyde)

print(f"Faktor ut fra bredde: {faktor_bredde:.2f}")
print(f"Faktor ut fra høyde: {faktor_hoyde:.2f}")
print(f"Valgt faktor: {faktor:.2f}")
print(f"Ny bredde: {bredde*faktor:.1f} cm")
print(f"Ny høyde: {hoyde*faktor:.1f} cm")

Faktor ut fra bredde: 3.75
Faktor ut fra høyde: 1.50
Valgt faktor: 1.50
Ny bredde: 12.0 cm
Ny høyde: 42.0 cm

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Tell antall fire treninger

Tallet 4 forekommer 2 ganger.

Steg 2 — Finn relativ frekvens

\[\dfrac{2}{20}=0{,}10=10\,\%\]

Steg 3 — Finn kumulativ frekvens for 4

Kumulativ frekvens for 4 betyr antall observasjoner som er \(\le 4\). Vi teller 0, 1, 2, 3 og 4. Det er \(3+3+6+3+2=17\).

Tolkning

Relativ frekvens forteller at 10 % trente nøyaktig fire ganger. Kumulativ frekvens forteller at 17 ungdommer trente fire ganger eller færre.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

data = [3,4,0,1,1,2,3,0,6,4,2,7,2,2,5,3,0,2,1,2]
antall = len(data)
frekvens_fire = data.count(4)
relativ = frekvens_fire / antall
kumulativ = sum(1 for x in data if x <= 4)

print(f"Antall observasjoner: {antall}")
print(f"Frekvens for 4 treninger: {frekvens_fire}")
print(f"Relativ frekvens: {relativ:.2f} = {relativ*100:.0f} %")
print(f"Kumulativ frekvens for 4: {kumulativ}")
print(f"Kumulativ relativ frekvens: {kumulativ/antall:.2f} = {kumulativ/antall*100:.0f} %")

Antall observasjoner: 20
Frekvens for 4 treninger: 2
Relativ frekvens: 0.10 = 10 %
Kumulativ frekvens for 4: 17
Kumulativ relativ frekvens: 0.85 = 85 %

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Les av intervallene under 180 cm

Intervallene er \([150,160)\), \([160,170)\) og \([170,180)\).

Steg 2 — Bruk areal i histogram

Frekvensen er klassebredde ganget med høyden i histogrammet. Alle tre klassene har bredde 10 cm.

Steg 3 — Regn frekvensene

\[10\cdot 1+10\cdot 3+10\cdot 5=10+30+50=90\]

Tolkning

90 elever er lavere enn 180 cm.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

klassebredde = 10
hoyder_i_histogram = [1, 3, 5]
frekvenser = [klassebredde*h for h in hoyder_i_histogram]
print("Frekvenser under 180 cm:", frekvenser)
print("Totalt lavere enn 180 cm:", sum(frekvenser))

Frekvenser under 180 cm: [10, 30, 50]
Totalt lavere enn 180 cm: 90

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Regn diskriminanten

\[D=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 4\cdot 5=4-80=-76\]

Steg 2 — Tolk \(D<0\)

Når \(D<0\), har andregradsuttrykket ingen nullpunkter.

Steg 3 — Bruk fortegnet til \(a\)

Siden \(a=4>0\), vender parabelen oppover. Når den ikke skjærer \(x\)-aksen, ligger hele grafen over aksen.

Tolkning

Uttrykket er aldri negativt. Derfor har ulikheten ingen løsning, og Nina har rett.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, discriminant, solve_univariate_inequality
x = symbols('x')
uttrykk = 4*x**2 - 2*x + 5
D = discriminant(uttrykk, x)
losning = solve_univariate_inequality(uttrykk < 0, x)
print("Uttrykk:", uttrykk)
print("Diskriminant:", D)
print("Løsning av ulikheten:", losning)

Uttrykk: 4*x**2 - 2*x + 5
Diskriminant: -76
Løsning av ulikheten: False

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Tolk vekstfaktoren

Synne har rett i at verdien blir ganget med \(0{,}96\) for hvert år framover når den avtar med 4 %.

Steg 2 — Sett opp sammenhengen

Hvis verdien for 8 år siden var \(V\), er verdien i dag

\[V\cdot 0{,}96^8=45000\]

Steg 3 — Løs for gammel verdi

\[V=\dfrac{45000}{0{,}96^8}\approx 62328\]

Tolkning

Thea har rett i at verdien for 8 år siden må ha vært større enn 45 000 kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

verdi_i_dag = 45000
vekstfaktor = 0.96
antall_aar = 8
verdi_for_8_aar_siden = verdi_i_dag / vekstfaktor**antall_aar

print(f"Verdi i dag: {verdi_i_dag:,.0f} kr")
print(f"Vekstfaktor ved 4 % årlig nedgang: {vekstfaktor}")
print(f"Verdi for 8 år siden = 45000 / 0.96^8")
print(f"Verdi for 8 år siden: {verdi_for_8_aar_siden:,.2f} kr")

Verdi i dag: 45,000 kr
Vekstfaktor ved 4 % årlig nedgang: 0.96
Verdi for 8 år siden = 45000 / 0.96^8
Verdi for 8 år siden: 62,328.37 kr

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Bruk differanse for vekst i poeng

I celle C3 kan vi skrive =B3-B2 og kopiere nedover.

Steg 2 — Bruk relativ endring for prosentvekst

I celle D3 kan vi skrive =C3/B2 og formatere cellen som prosent.

Steg 3 — Fyll tabellen

Da får vi omtrent disse verdiene:

Tolkning

Kolonne C viser endring i indekspoeng. Kolonne D viser hvor stor endringen er relativt til året før.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

kpi = {
    2010: 92.1, 2011: 93.3, 2012: 93.9, 2013: 95.9,
    2014: 97.9, 2015: 100.0, 2016: 103.6, 2017: 105.5,
    2018: 108.4, 2019: 110.8, 2020: 112.2
}
print("År   KPI    Poeng   Prosent")
for aar in range(2011, 2021):
    poeng = kpi[aar] - kpi[aar-1]
    prosent = poeng / kpi[aar-1] * 100
    print(f"{aar}  {kpi[aar]:5.1f}  {poeng:5.1f}   {prosent:5.2f} %")

År   KPI    Poeng   Prosent
2011   93.3    1.2    1.30 %
2012   93.9    0.6    0.64 %
2013   95.9    2.0    2.13 %
2014   97.9    2.0    2.09 %
2015  100.0    2.1    2.15 %
2016  103.6    3.6    3.60 %
2017  105.5    1.9    1.83 %
2018  108.4    2.9    2.75 %
2019  110.8    2.4    2.21 %
2020  112.2    1.4    1.26 %

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Se hva C-kolonnen betyr

Kolonne C viser vekst i poeng fra året før.

Steg 2 — Bruk informasjonen i D2

I 2010 står det at prosentveksten fra året før er 2,4 %. KPI i 2010 er \(92{,}1\).

Steg 3 — Finn vekst i poeng

Hvis \(B_1\) er KPI i 2009, er \(92{,}1=B_1\cdot 1{,}024\). Dermed er \(B_1\approx 89{,}94\). Veksten i poeng er \(92{,}1-89{,}94\approx 2{,}16\).

Tolkning

Med én desimal blir tallet i C2 omtrent 2,2.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

kpi_2010 = 92.1
prosentvekst = 2.4 / 100
kpi_2009 = kpi_2010 / (1 + prosentvekst)
vekst_i_poeng = kpi_2010 - kpi_2009

print(f"KPI 2010: {kpi_2010}")
print(f"Prosentvekst fra 2009 til 2010: {prosentvekst*100:.1f} %")
print(f"Beregnet KPI 2009: {kpi_2009:.4f}")
print(f"Vekst i poeng i C2: {vekst_i_poeng:.4f}")
print(f"Avrundet til én desimal: {vekst_i_poeng:.1f}")

KPI 2010: 92.1
Prosentvekst fra 2009 til 2010: 2.4 %
Beregnet KPI 2009: 89.9414
Vekst i poeng i C2: 2.1586
Avrundet til én desimal: 2.2

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Bruk 2011 og 2020

Fra 2011 til 2020 økte KPI fra \(93{,}3\) til \(112{,}2\). Det er 9 ettårsintervaller.

Steg 2 — Finn gjennomsnittlig poengvekst

\[\dfrac{112{,}2-93{,}3}{9}=2{,}1\]

Steg 3 — Finn gjennomsnittlig prosentvekst

Vi bruker geometrisk gjennomsnitt:

\[\left(\dfrac{112{,}2}{93{,}3}\right)^{\frac{1}{9}}-1\approx 0{,}0207\]

Tolkning

Indeksen økte i snitt med 2,1 poeng per år, som svarer til omtrent 2,1 % per år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

kpi_2011 = 93.3
kpi_2020 = 112.2
antall_ar = 9
poeng_per_ar = (kpi_2020 - kpi_2011) / antall_ar
prosent_per_ar = (kpi_2020 / kpi_2011)**(1/antall_ar) - 1

print(f"Gjennomsnittlig poengvekst: {poeng_per_ar:.2f} poeng per år")
print(f"Gjennomsnittlig prosentvekst: {prosent_per_ar*100:.2f} % per år")

Gjennomsnittlig poengvekst: 2.10 poeng per år
Gjennomsnittlig prosentvekst: 2.07 % per år

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Gjør en antakelse

Vi antar at KPI fortsetter å øke med omtrent \(2{,}07\,\%\) per år, som vi fant i oppgave c).

Steg 2 — Beregn nødvendig lønn

\[450000\cdot 1{,}0207^5\approx 498562\]

Steg 3 — Vurder svaret

Dette er ikke en fasit for framtiden, men et anslag basert på historisk gjennomsnittlig prisvekst.

Tolkning

For samme kjøpekraft bør lønnen være rundt 500 000 kroner i 2025.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

lonn_2020 = 450000
vekst_per_ar = (112.2 / 93.3)**(1/9) - 1
lonn_2025 = lonn_2020 * (1 + vekst_per_ar)**5

print(f"Antatt årlig prisvekst: {vekst_per_ar*100:.2f} %")
print(f"Nominell lønn i 2020: {lonn_2020:,.0f} kr")
print(f"Nødvendig lønn i 2025: {lonn_2025:,.2f} kr")
print(f"Avrundet: {round(lonn_2025/1000)*1000:,.0f} kr")

Antatt årlig prisvekst: 2.07 %
Nominell lønn i 2020: 450,000 kr
Nødvendig lønn i 2025: 498,561.51 kr
Avrundet: 499,000 kr

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Lag datapunkter

Siden \(x\) er år etter 2011, blir punktene \((0,19112)\), \((2,22990)\), \((4,31015)\), \((6,43525)\), \((8,58121)\), \((10,72123)\).

Steg 2 — Kjør eksponentiell regresjon

Regresjon gir omtrent

\[f(x)=18328\cdot 1{,}1496^x\]

Steg 3 — Vurder modellen

Modellen passer hovedtendensen: omsetningen øker raskere enn lineært. Likevel bygger den på få målinger, så framskriving må tolkes forsiktig.

Tolkning

Startverdien i modellen er omtrent 18 328 kroner, og vekstfaktoren per år er omtrent 1,1496.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np

x = np.array([0, 2, 4, 6, 8, 10], dtype=float)
y = np.array([19112, 22990, 31015, 43525, 58121, 72123], dtype=float)

# Eksponentiell regresjon: ln(y) = ln(a) + x*ln(b)
ln_y = np.log(y)
ln_b, ln_a = np.polyfit(x, ln_y, 1)
a = np.exp(ln_a)
b = np.exp(ln_b)

print(f"a = {a:.2f}")
print(f"b = {b:.6f}")
print(f"Modell: f(x) = {a:.0f} * {b:.4f}^x")
print("Kontrollverdier:")
for xi, yi in zip(x, y):
    print(f"x={xi:>4.0f}, faktisk={yi:>8.0f}, modell={a*b**xi:>9.0f}")

a = 18327.94
b = 1.149642
Modell: f(x) = 18328 * 1.1496^x
Kontrollverdier:
x=   0, faktisk=   19112, modell=    18328
x=   2, faktisk=   22990, modell=    24222
x=   4, faktisk=   31015, modell=    32010
x=   6, faktisk=   43525, modell=    42304
x=   8, faktisk=   58121, modell=    55908
x=  10, faktisk=   72123, modell=    73916

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Bruk vekstfaktoren

Modellen har vekstfaktor \(b\approx 1{,}1496\).

Steg 2 — Gjør om til prosentvekst

\[(1{,}1496-1)\cdot 100\,\%\approx 14{,}96\,\%\]

Tolkning

Ifølge modellen øker omsetningen med omtrent 15 % per år.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

b = 1.149642152713286
prosentvekst = (b - 1) * 100
print(f"Vekstfaktor per år: {b:.6f}")
print(f"Prosentvekst per år: {prosentvekst:.2f} %")

Vekstfaktor per år: 1.149642
Prosentvekst per år: 14.96 %

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Finn 2026 i modellen

Året 2026 er \(15\) år etter 2011. Uten utvidelse gir modellen

\[f(15)\approx 18328\cdot 1{,}1496^{15}\approx 148441\]

Steg 2 — Finn omsetning med utvidelse

Fra 2021 til 2026 er det 5 år. Med 20 % årlig vekst blir omsetningen

\[72123\cdot 1{,}20^5\approx 179465\]

Steg 3 — Sammenlikn

\[179465-148441\approx 31024\]

Tolkning

Med disse antakelsene blir omsetningen omtrent 31 000 kroner større i 2026 ved å utvide vareutvalget.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

a = 18327.941622927257
b = 1.149642152713286

uten_utvidelse = a * b**15
med_utvidelse = 72123 * 1.20**5
forskjell = med_utvidelse - uten_utvidelse

print(f"Uten utvidelse i 2026: {uten_utvidelse:,.2f} kr")
print(f"Med utvidelse i 2026: {med_utvidelse:,.2f} kr")
print(f"Forskjell: {forskjell:,.2f} kr")
print(f"Avrundet forskjell: {round(forskjell/1000)*1000:,.0f} kr")

Uten utvidelse i 2026: 148,441.00 kr
Med utvidelse i 2026: 179,465.10 kr
Forskjell: 31,024.10 kr
Avrundet forskjell: 31,000 kr

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — La bruttoinntekten være \(B\)

Skatt og pensjon trekkes som prosent av bruttoinntekten. Til sammen er dette \(35\,\%+2{,}5\,\%=37{,}5\,\%\).

Steg 2 — Sett opp netto

Etter prosenttrekk står \(62{,}5\,\%\) igjen. Deretter trekkes 723 kroner:

\[0{,}625B-723=38456\]

Steg 3 — Løs likningen

\[0{,}625B=39179\]

\[B=\dfrac{39179}{0{,}625}=62686{,}4\]

Tolkning

Bruttoinntekten var omtrent 62 686 kroner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
B = symbols('B')
netto = 38456
fagforening = 723
andel_igjen = 1 - 0.35 - 0.025
likning = Eq(andel_igjen*B - fagforening, netto)
losning = solve(likning, B)[0]

print(f"Andel igjen etter skatt og pensjon: {andel_igjen:.3f}")
print(f"Likning: {andel_igjen}*B - {fagforening} = {netto}")
print(f"Bruttoinntekt: {losning:.2f} kr")

Andel igjen etter skatt og pensjon: 0.625
Likning: 0.625*B - 723 = 38456
Bruttoinntekt: 62686.40 kr

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Finn medianen

Det er 20 elever. Medianen er gjennomsnittet av observasjon nummer 10 og 11 i sortert liste. Begge er 6.

Steg 2 — Finn totalen

\[4\cdot 3+5\cdot 4+6\cdot 5+8\cdot 5+10\cdot 2+50\cdot 1=172\]

Steg 3 — Finn gjennomsnittet

\[\dfrac{172}{20}=8{,}6\]

Tolkning

Medianen er 6 land, mens gjennomsnittet er 8,6 land.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

verdier = []
for antall_land, antall_elever in [(4,3), (5,4), (6,5), (8,5), (10,2), (50,1)]:
    verdier.extend([antall_land] * antall_elever)

verdier = sorted(verdier)
median = (verdier[9] + verdier[10]) / 2
gjennomsnitt = sum(verdier) / len(verdier)

print("Sortert dataliste:")
print(verdier)
print(f"Observasjon 10 og 11: {verdier[9]} og {verdier[10]}")
print(f"Median: {median}")
print(f"Gjennomsnitt: {gjennomsnitt:.1f}")

Sortert dataliste:
[4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 10, 10, 50]
Observasjon 10 og 11: 6 og 6
Median: 6.0
Gjennomsnitt: 8.6

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Se etter ekstremverdi

Én elev har besøkt 50 land. Dette er mye høyere enn resten av dataene.

Steg 2 — Vurder gjennomsnittet

Gjennomsnittet \(8{,}6\) trekkes opp av verdien 50 og beskriver derfor ikke den typiske eleven like godt.

Steg 3 — Vurder medianen

Medianen \(6\) påvirkes lite av ekstremverdien og ligger nær sentrum av de fleste observasjonene.

Tolkning

Medianen er best når vi skal beskrive en typisk elev i dette datamaterialet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

verdier = [4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,6,6,8,8,8,8,8,10,10,50]
uten_ekstremverdi = verdier[:-1]
print(f"Gjennomsnitt med 50: {sum(verdier)/len(verdier):.1f}")
print(f"Gjennomsnitt uten 50: {sum(uten_ekstremverdi)/len(uten_ekstremverdi):.1f}")
print("Medianen er 6 både med og uten at 50 trekker sterkt oppover.")

Gjennomsnitt med 50: 8.6
Gjennomsnitt uten 50: 6.4
Medianen er 6 både med og uten at 50 trekker sterkt oppover.

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Bruk total kostnad og totalt forbruk

Gjennomsnittspris per kWh er totalpris delt på totalt forbruk.

Steg 2 — Regn ut

\[\dfrac{30}{39{,}75}\approx 0{,}7547\]

Steg 3 — Tolk enheten

Dette er kroner per kWh. I øre blir det omtrent \(75{,}5\) øre/kWh.

Tolkning

Gjennomsnittsprisen dette døgnet er omtrent 0,75 kr/kWh.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

totalpris = 30
forbruk = 39.75
gjennomsnittspris = totalpris / forbruk
print(f"Totalpris: {totalpris} kr")
print(f"Forbruk: {forbruk} kWh")
print(f"Gjennomsnittspris: {gjennomsnittspris:.4f} kr/kWh")
print(f"Gjennomsnittspris: {gjennomsnittspris*100:.1f} øre/kWh")

Totalpris: 30 kr
Forbruk: 39.75 kWh
Gjennomsnittspris: 0.7547 kr/kWh
Gjennomsnittspris: 75.5 øre/kWh

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Les av forbruk for timene 00–05

Fra stolpene kan vi anslå omtrent \(1{,}1+1{,}6+1{,}8+2{,}7+3{,}4+1{,}3=11{,}9\) kWh.

Steg 2 — Les av prisnivå

Den røde prisgrafen ligger rundt \(55\) øre/kWh de seks første timene, altså omtrent \(0{,}55\) kr/kWh.

Steg 3 — Regn kostnad

\[11{,}9\cdot 0{,}55\approx 6{,}5\]

Tolkning

Et rimelig overslag er rundt 6–7 kroner. Svaret avhenger av hvor nøyaktig vi leser av grafen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

forbruk_forste_seks_timer = [1.1, 1.6, 1.8, 2.7, 3.4, 1.3]
pris_kr_per_kwh = 0.55
sum_forbruk = sum(forbruk_forste_seks_timer)
kostnad = sum_forbruk * pris_kr_per_kwh

print("Avleste forbrukstall:", forbruk_forste_seks_timer)
print(f"Sum forbruk: {sum_forbruk:.1f} kWh")
print(f"Anslått pris: {pris_kr_per_kwh:.2f} kr/kWh")
print(f"Anslått kostnad: {kostnad:.2f} kr")

Avleste forbrukstall: [1.1, 1.6, 1.8, 2.7, 3.4, 1.3]
Sum forbruk: 11.9 kWh
Anslått pris: 0.55 kr/kWh
Anslått kostnad: 6.55 kr

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Bruk arealformelen

\[A=\pi r^2\]

Steg 2 — Løs for radius

\[10=\pi r^2\]

\[r=\sqrt{\dfrac{10}{\pi}}\approx 1{,}784\]

Steg 3 — Finn diameter

\[d=2r\approx 2\cdot 1{,}784=3{,}568\]

Tolkning

Diameteren må være omtrent 3,6 cm.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import pi, sqrt
areal = 10
radius = sqrt(areal / pi)
diameter = 2 * radius
print(f"Areal: {areal} cm^2")
print(f"Radius: {radius:.4f} cm")
print(f"Diameter: {diameter:.4f} cm")
print(f"Avrundet diameter: {diameter:.1f} cm")

Areal: 10 cm^2
Radius: 1.7841 cm
Diameter: 3.5682 cm
Avrundet diameter: 3.6 cm

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Knytt areal til radius

Arealet er proporsjonalt med \(r^2\). Hvis radius ganges med \(k\), ganges arealet med \(k^2\).

Steg 2 — Sett opp kravet

\[k^2=1{,}44\]

Steg 3 — Løs for \(k\)

\[k=\sqrt{1{,}44}=1{,}2\]

Tolkning

Radius må økes med 20 % hver gang.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import sqrt
arealfaktor = 1.44
radiusfaktor = sqrt(arealfaktor)
okning_prosent = (radiusfaktor - 1) * 100
print(f"Arealfaktor: {arealfaktor}")
print(f"Radiusfaktor: sqrt({arealfaktor}) = {radiusfaktor:.2f}")
print(f"Radius må økes med {okning_prosent:.0f} %")

Arealfaktor: 1.44
Radiusfaktor: sqrt(1.44) = 1.20
Radius må økes med 20 %

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Løs ulikheten algebraisk

\[x^2\le 3x\]

\[x^2-3x\le 0\]

\[x(x-3)\le 0\]

Steg 2 — Finn intervall

Produktet er mindre enn eller lik null mellom nullpunktene, inkludert endepunktene:

\[0\le x\le 3\]

Steg 3 — Vurder Fredrik

Fredrik deler på \(x\). Det er ikke lov uten å håndtere \(x=0\), og fortegnet til \(x\) påvirker ulikheten. Han får derfor en for stor løsningsmengde.

Steg 4 — Vurder Cecilie

Cecilies grafiske metode er relevant hvis hun tydelig markerer hvor \(x^2\) ligger under eller lik \(3x\), altså intervallet \([0,3]\).

Tolkning

Riktig løsning er \([0,3]\). Fredriks svar er ikke riktig begrunnet, mens Cecilies kan være riktig hvis hun leser intervallet korrekt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x')
ulikhet = x**2 <= 3*x
losning = solve_univariate_inequality(ulikhet, x)
print("Ulikhet:", ulikhet)
print("Riktig løsningsmengde:", losning)
print("Test x = -1:", (-1)**2 <= 3*(-1))
print("Test x = 1:", 1**2 <= 3*1)
print("Test x = 4:", 4**2 <= 3*4)

Ulikhet: x**2 <= 3*x
Riktig løsningsmengde: (0 <= x) & (x <= 3)
Test x = -1: False
Test x = 1: True
Test x = 4: False

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Sjekk egenkapital

Minstekravet er

\[0{,}15\cdot 2500000=375000\]

Malene har 400 000 kroner, så egenkapitalkravet er oppfylt.

Steg 2 — Finn lånebehov

\[2500000-400000=2100000\]

Hun trenger 2 100 000 kroner i boliglån.

Steg 3 — Sjekk maksimal total gjeld

Maksimal total gjeld er

\[5\cdot 490000=2450000\]

Siden hun allerede har 250 000 kroner i studielån, kan boliglånet maksimalt være

\[2450000-250000=2200000\]

Steg 4 — Sammenlikn

Hun trenger 2 100 000 kroner og kan etter denne regelen låne opptil 2 200 000 kroner til bolig.

Tolkning

Ut fra de oppgitte reglene kan hun få stort nok lån. I virkeligheten må banken også vurdere betjeningsevne og sikkerhet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

pris = 2500000
inntekt = 490000
egenkapital = 400000
studielan = 250000

krav_egenkapital = 0.15 * pris
lanebehov = pris - egenkapital
maks_total_gjeld = 5 * inntekt
maks_boliglan = maks_total_gjeld - studielan

print(f"Krav til egenkapital: {krav_egenkapital:,.0f} kr")
print(f"Malene har egenkapital: {egenkapital:,.0f} kr")
print(f"Lånebehov: {lanebehov:,.0f} kr")
print(f"Maks total gjeld: {maks_total_gjeld:,.0f} kr")
print(f"Maks boliglån når studielån tas med: {maks_boliglan:,.0f} kr")
print("Kan kjøpe?", egenkapital >= krav_egenkapital and lanebehov <= maks_boliglan)

Krav til egenkapital: 375,000 kr
Malene har egenkapital: 400,000 kr
Lånebehov: 2,100,000 kr
Maks total gjeld: 2,450,000 kr
Maks boliglån når studielån tas med: 2,200,000 kr
Kan kjøpe? True

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse deloppgaven trinnvis, begrunne metoden og avslutte med tolkning.

Steg 1 — Velg modell

Vi antar konstant fart, ingen stopp, og at føreren kjører nøyaktig 10 km/h over fartsgrensen. Tiden i timer er

\[t=\dfrac{s}{v}\]

Steg 2 — Lag uttrykk for spart tid

For en distanse \(s\), fartsgrense \(v\) og ekstra fart \(e\) blir spart tid i timer

\[\dfrac{s}{v}-\dfrac{s}{v+e}\]

Steg 3 — Regnearkformler

Hvis distanse står i A2, fartsgrense i B2 og ekstra fart i C2, kan spart tid i minutter beregnes med =(A2/B2-A2/(B2+C2))*60.

Steg 4 — Eksempel for 10 km og 10 km/h for fort

Tolkning

Cecilie har rett i ideen: du sparer mindre tid jo høyere fartsgrensen er, når du kjører 10 km/h for fort over samme distanse.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def spart_tid_minutter(distanse_km, fartsgrense, ekstra_fart=10):
    tid_lovlig = distanse_km / fartsgrense * 60
    tid_for_fort = distanse_km / (fartsgrense + ekstra_fart) * 60
    spart = tid_lovlig - tid_for_fort
    return tid_lovlig, tid_for_fort, spart

print("Distanse: 10 km, ekstra fart: 10 km/h")
print("Grense  Lovlig tid  Tid ved +10  Spart tid")
for grense in [30, 50, 80, 100]:
    lovlig, for_fort, spart = spart_tid_minutter(10, grense)
    print(f"{grense:>6}  {lovlig:>9.2f}  {for_fort:>11.2f}  {spart:>9.2f} min")

Distanse: 10 km, ekstra fart: 10 km/h
Grense  Lovlig tid  Tid ved +10  Spart tid
    30      20.00        15.00       5.00 min
    50      12.00        10.00       2.00 min
    80       7.50         6.67       0.83 min
   100       6.00         5.45       0.55 min