Matematikk 1T-Y (RM) · Funksjoner og modellering

Funksjoner og modellering – oppgaver med trinnvis løsning

Oppgaver med trinnvis løsning, vanlige feil, sensorpunkt, grafer, GeoGebra og Python-kontroll.

📘 GeoGebra & Python-guide

Fag

Matematikk 1T-Y (RM)

Kapittel

Funksjoner og modellering

Antall oppgaver

Nivå

VG1 · LK20

Funksjoner og modellering

Ifingo-oppgaver, restaurant- og matfaglige kontekster, trinnvise løsninger, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Funksjonsbegrepet 16 oppgaver

Oppgave 1 · LettFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=2x-2$ . Finn $f(-1)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x-2$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=-1$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(-1)=2\cdot -1-2$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$2\cdot -1=-2$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$-2+(-2)=-4$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(-1,-4)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(-1,-4)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=2x+(-2)

→

f(x)=2x-2

f(-1)

→

-4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x + (-2)
print(f.subs(x, -1))

Fasit:

f(-1)=-4

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2 · LettFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=3x+0$ . Finn $f(0)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=3x+0$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=0$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(0)=3\cdot 0+0$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$3\cdot 0=0$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$0+(0)=0$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(0,0)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(0,0)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x+(0)

→

f(x)=3x+0

f(0)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 3*x + (0)
print(f.subs(x, 0))

Fasit:

f(0)=0

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3 · LettFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=4x+2$ . Finn $f(1)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=4x+2$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=1$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(1)=4\cdot 1+2$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$4\cdot 1=4$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$4+(2)=6$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(1,6)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(1,6)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=4x+(2)

→

f(x)=4x+2

f(1)

→

6

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 4*x + (2)
print(f.subs(x, 1))

Fasit:

f(1)=6

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4 · LettFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=5x+4$ . Finn $f(2)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=5x+4$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=2$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(2)=5\cdot 2+4$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$5\cdot 2=10$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$10+(4)=14$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(2,14)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(2,14)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=5x+(4)

→

f(x)=5x+4

f(2)

→

14

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 5*x + (4)
print(f.subs(x, 2))

Fasit:

f(2)=14

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 5 · LettFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=1x-3$ . Finn $f(3)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=1x-3$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=3$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(3)=1\cdot 3-3$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$1\cdot 3=3$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$3+(-3)=0$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(3,0)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(3,0)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x+(-3)

→

f(x)=1x-3

f(3)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 1*x + (-3)
print(f.subs(x, 3))

Fasit:

f(3)=0

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 6 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=2x-1$ . Finn $f(4)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x-1$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=4$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(4)=2\cdot 4-1$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$2\cdot 4=8$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$8+(-1)=7$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(4,7)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(4,7)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=2x+(-1)

→

f(x)=2x-1

f(4)

→

7

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x + (-1)
print(f.subs(x, 4))

Fasit:

f(4)=7

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 7 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=3x+1$ . Finn $f(-2)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=3x+1$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=-2$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(-2)=3\cdot -2+1$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$3\cdot -2=-6$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$-6+(1)=-5$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(-2,-5)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(-2,-5)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x+(1)

→

f(x)=3x+1

f(-2)

→

-5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 3*x + (1)
print(f.subs(x, -2))

Fasit:

f(-2)=-5

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 8 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=4x+3$ . Finn $f(-1)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=4x+3$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=-1$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(-1)=4\cdot -1+3$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$4\cdot -1=-4$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$-4+(3)=-1$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(-1,-1)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(-1,-1)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=4x+(3)

→

f(x)=4x+3

f(-1)

→

-1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 4*x + (3)
print(f.subs(x, -1))

Fasit:

f(-1)=-1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 9 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=5x-4$ . Finn $f(0)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=5x-4$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=0$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(0)=5\cdot 0-4$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$5\cdot 0=0$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$0+(-4)=-4$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(0,-4)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(0,-4)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=5x+(-4)

→

f(x)=5x-4

f(0)

→

-4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 5*x + (-4)
print(f.subs(x, 0))

Fasit:

f(0)=-4

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 10 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=1x-2$ . Finn $f(1)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=1x-2$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=1$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(1)=1\cdot 1-2$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$1\cdot 1=1$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$1+(-2)=-1$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(1,-1)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(1,-1)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x+(-2)

→

f(x)=1x-2

f(1)

→

-1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 1*x + (-2)
print(f.subs(x, 1))

Fasit:

f(1)=-1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 11 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=2x+0$ . Finn $f(2)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x+0$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=2$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(2)=2\cdot 2+0$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$2\cdot 2=4$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$4+(0)=4$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(2,4)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(2,4)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=2x+(0)

→

f(x)=2x+0

f(2)

→

4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x + (0)
print(f.subs(x, 2))

Fasit:

f(2)=4

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 12 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=3x+2$ . Finn $f(3)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=3x+2$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=3$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(3)=3\cdot 3+2$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$3\cdot 3=9$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$9+(2)=11$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(3,11)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(3,11)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x+(2)

→

f(x)=3x+2

f(3)

→

11

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 3*x + (2)
print(f.subs(x, 3))

Fasit:

f(3)=11

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 13 · KrevendeFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=4x+4$ . Finn $f(4)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=4x+4$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=4$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(4)=4\cdot 4+4$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$4\cdot 4=16$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$16+(4)=20$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(4,20)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(4,20)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=4x+(4)

→

f(x)=4x+4

f(4)

→

20

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 4*x + (4)
print(f.subs(x, 4))

Fasit:

f(4)=20

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 14 · KrevendeFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=5x-3$ . Finn $f(-2)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=5x-3$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=-2$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(-2)=5\cdot -2-3$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$5\cdot -2=-10$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$-10+(-3)=-13$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(-2,-13)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(-2,-13)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=5x+(-3)

→

f(x)=5x-3

f(-2)

→

-13

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 5*x + (-3)
print(f.subs(x, -2))

Fasit:

f(-2)=-13

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 15 · KrevendeFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=1x-1$ . Finn $f(-1)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=1x-1$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=-1$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(-1)=1\cdot -1-1$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$1\cdot -1=-1$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$-1+(-1)=-2$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(-1,-2)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(-1,-2)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x+(-1)

→

f(x)=1x-1

f(-1)

→

-2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 1*x + (-1)
print(f.subs(x, -1))

Fasit:

f(-1)=-2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 16 · KrevendeFunksjonsbegrepet

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=2x+1$ . Finn $f(0)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x+1$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=0$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(0)=2\cdot 0+1$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$2\cdot 0=0$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$0+(1)=1$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(0,1)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(0,1)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=2x+(1)

→

f(x)=2x+1

f(0)

→

1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x + (1)
print(f.subs(x, 0))

Fasit:

f(0)=1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Lineære funksjoner 19 oppgaver

Oppgave 17 · LettLineære funksjoner

Lag en lineær modell fra to punkter

Oppgave:

En modell går gjennom punktene $(0,-1)$ og $(4,7)$ . Finn funksjonsuttrykket.

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær funksjon. Planen er å finne stigningstall først og deretter konstantledd.

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,-1)\text{ og }(4,7)$

To punkter bestemmer én lineær funksjon.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{7--1}{4-0}$

Stigningstallet er endring i y delt på endring i x.

Steg 3 — Regn stigningstallet

$a=\dfrac{8}{4}=2$

Dette viser hvor mye y øker når x øker med 1.

Vanlig feil: Stigningstallet er ikke

\Delta x/\Delta y

, men

\Delta y/\Delta x

Steg 4 — Finn konstantleddet

$b=-1$

Når $x=0$ , er y-verdien konstantleddet.

Steg 5 — Skriv modellen

$f(x)=2x-1$

Nå kombinerer vi stigningstall og konstantledd.

Steg 6 — Kontroller med andre punkt

$f(4)=2\cdot 4+(-1)=7$

Modellen må treffe begge punktene.

Tolkning

Modellen sier at y øker med 2 for hver økning på 1 i x.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((0,-1),(4,7))

→

y=2x-1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
a = (7 - -1)/(4 - 0)
b = -1
print(a, b)
print(a*x + b)

Fasit:

f(x)=2x-1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $b=f(0)$ .

Vanlige feil

Å bytte om x- og y-endring i brøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall og kontroll i punkt.

For høy måloppnåelse

Tolk stigningstallet praktisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 18 · LettLineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=3x+0$ . Finn $f(0)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=3x+0$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=0$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(0)=3\cdot 0+0$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$3\cdot 0=0$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$0+(0)=0$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(0,0)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(0,0)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x+(0)

→

f(x)=3x+0

f(0)

→

0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 3*x + (0)
print(f.subs(x, 0))

Fasit:

f(0)=0

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 19 · LettLineære funksjoner

Lag en lineær modell fra to punkter

Oppgave:

En modell går gjennom punktene $(0,3)$ og $(6,27)$ . Finn funksjonsuttrykket.

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær funksjon. Planen er å finne stigningstall først og deretter konstantledd.

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,3)\text{ og }(6,27)$

To punkter bestemmer én lineær funksjon.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{27-3}{6-0}$

Stigningstallet er endring i y delt på endring i x.

Steg 3 — Regn stigningstallet

$a=\dfrac{24}{6}=4$

Dette viser hvor mye y øker når x øker med 1.

Vanlig feil: Stigningstallet er ikke

\Delta x/\Delta y

, men

\Delta y/\Delta x

Steg 4 — Finn konstantleddet

$b=3$

Når $x=0$ , er y-verdien konstantleddet.

Steg 5 — Skriv modellen

$f(x)=4x+3$

Nå kombinerer vi stigningstall og konstantledd.

Steg 6 — Kontroller med andre punkt

$f(6)=4\cdot 6+(3)=27$

Modellen må treffe begge punktene.

Tolkning

Modellen sier at y øker med 4 for hver økning på 1 i x.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((0,3),(6,27))

→

y=4x+3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
a = (27 - 3)/(6 - 0)
b = 3
print(a, b)
print(a*x + b)

Fasit:

f(x)=4x+3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $b=f(0)$ .

Vanlige feil

Å bytte om x- og y-endring i brøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall og kontroll i punkt.

For høy måloppnåelse

Tolk stigningstallet praktisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 20 · LettLineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=5x+4$ . Finn $f(2)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=5x+4$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=2$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(2)=5\cdot 2+4$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$5\cdot 2=10$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$10+(4)=14$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(2,14)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(2,14)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=5x+(4)

→

f(x)=5x+4

f(2)

→

14

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 5*x + (4)
print(f.subs(x, 2))

Fasit:

f(2)=14

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 21 · LettLineære funksjoner

Lag en lineær modell fra to punkter

Oppgave:

En modell går gjennom punktene $(0,0)$ og $(3,3)$ . Finn funksjonsuttrykket.

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær funksjon. Planen er å finne stigningstall først og deretter konstantledd.

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,0)\text{ og }(3,3)$

To punkter bestemmer én lineær funksjon.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{3-0}{3-0}$

Stigningstallet er endring i y delt på endring i x.

Steg 3 — Regn stigningstallet

$a=\dfrac{3}{3}=1$

Dette viser hvor mye y øker når x øker med 1.

Vanlig feil: Stigningstallet er ikke

\Delta x/\Delta y

, men

\Delta y/\Delta x

Steg 4 — Finn konstantleddet

$b=0$

Når $x=0$ , er y-verdien konstantleddet.

Steg 5 — Skriv modellen

$f(x)=1x+0$

Nå kombinerer vi stigningstall og konstantledd.

Steg 6 — Kontroller med andre punkt

$f(3)=1\cdot 3+(0)=3$

Modellen må treffe begge punktene.

Tolkning

Modellen sier at y øker med 1 for hver økning på 1 i x.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((0,0),(3,3))

→

y=1x+0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
a = (3 - 0)/(3 - 0)
b = 0
print(a, b)
print(a*x + b)

Fasit:

f(x)=1x+0

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $b=f(0)$ .

Vanlige feil

Å bytte om x- og y-endring i brøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall og kontroll i punkt.

For høy måloppnåelse

Tolk stigningstallet praktisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 22 · LettLineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=2x-1$ . Finn $f(4)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x-1$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=4$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(4)=2\cdot 4-1$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$2\cdot 4=8$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$8+(-1)=7$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(4,7)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(4,7)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=2x+(-1)

→

f(x)=2x-1

f(4)

→

7

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x + (-1)
print(f.subs(x, 4))

Fasit:

f(4)=7

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 23 · MiddelsLineære funksjoner

Lag en lineær modell fra to punkter

Oppgave:

En modell går gjennom punktene $(0,-3)$ og $(5,12)$ . Finn funksjonsuttrykket.

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær funksjon. Planen er å finne stigningstall først og deretter konstantledd.

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,-3)\text{ og }(5,12)$

To punkter bestemmer én lineær funksjon.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{12--3}{5-0}$

Stigningstallet er endring i y delt på endring i x.

Steg 3 — Regn stigningstallet

$a=\dfrac{15}{5}=3$

Dette viser hvor mye y øker når x øker med 1.

Vanlig feil: Stigningstallet er ikke

\Delta x/\Delta y

, men

\Delta y/\Delta x

Steg 4 — Finn konstantleddet

$b=-3$

Når $x=0$ , er y-verdien konstantleddet.

Steg 5 — Skriv modellen

$f(x)=3x-3$

Nå kombinerer vi stigningstall og konstantledd.

Steg 6 — Kontroller med andre punkt

$f(5)=3\cdot 5+(-3)=12$

Modellen må treffe begge punktene.

Tolkning

Modellen sier at y øker med 3 for hver økning på 1 i x.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((0,-3),(5,12))

→

y=3x-3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
a = (12 - -3)/(5 - 0)
b = -3
print(a, b)
print(a*x + b)

Fasit:

f(x)=3x-3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $b=f(0)$ .

Vanlige feil

Å bytte om x- og y-endring i brøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall og kontroll i punkt.

For høy måloppnåelse

Tolk stigningstallet praktisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 24 · MiddelsLineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=4x+3$ . Finn $f(-1)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=4x+3$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=-1$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(-1)=4\cdot -1+3$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$4\cdot -1=-4$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$-4+(3)=-1$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(-1,-1)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(-1,-1)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=4x+(3)

→

f(x)=4x+3

f(-1)

→

-1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 4*x + (3)
print(f.subs(x, -1))

Fasit:

f(-1)=-1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 25 · MiddelsLineære funksjoner

Lag en lineær modell fra to punkter

Oppgave:

En modell går gjennom punktene $(0,1)$ og $(7,36)$ . Finn funksjonsuttrykket.

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær funksjon. Planen er å finne stigningstall først og deretter konstantledd.

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,1)\text{ og }(7,36)$

To punkter bestemmer én lineær funksjon.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{36-1}{7-0}$

Stigningstallet er endring i y delt på endring i x.

Steg 3 — Regn stigningstallet

$a=\dfrac{35}{7}=5$

Dette viser hvor mye y øker når x øker med 1.

Vanlig feil: Stigningstallet er ikke

\Delta x/\Delta y

, men

\Delta y/\Delta x

Steg 4 — Finn konstantleddet

$b=1$

Når $x=0$ , er y-verdien konstantleddet.

Steg 5 — Skriv modellen

$f(x)=5x+1$

Nå kombinerer vi stigningstall og konstantledd.

Steg 6 — Kontroller med andre punkt

$f(7)=5\cdot 7+(1)=36$

Modellen må treffe begge punktene.

Tolkning

Modellen sier at y øker med 5 for hver økning på 1 i x.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((0,1),(7,36))

→

y=5x+1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
a = (36 - 1)/(7 - 0)
b = 1
print(a, b)
print(a*x + b)

Fasit:

f(x)=5x+1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $b=f(0)$ .

Vanlige feil

Å bytte om x- og y-endring i brøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall og kontroll i punkt.

For høy måloppnåelse

Tolk stigningstallet praktisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 26 · MiddelsLineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=1x-2$ . Finn $f(1)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=1x-2$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=1$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(1)=1\cdot 1-2$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$1\cdot 1=1$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$1+(-2)=-1$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(1,-1)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(1,-1)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=1x+(-2)

→

f(x)=1x-2

f(1)

→

-1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 1*x + (-2)
print(f.subs(x, 1))

Fasit:

f(1)=-1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 27 · MiddelsLineære funksjoner

Lag en lineær modell fra to punkter

Oppgave:

En modell går gjennom punktene $(0,-2)$ og $(4,6)$ . Finn funksjonsuttrykket.

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær funksjon. Planen er å finne stigningstall først og deretter konstantledd.

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,-2)\text{ og }(4,6)$

To punkter bestemmer én lineær funksjon.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{6--2}{4-0}$

Stigningstallet er endring i y delt på endring i x.

Steg 3 — Regn stigningstallet

$a=\dfrac{8}{4}=2$

Dette viser hvor mye y øker når x øker med 1.

Vanlig feil: Stigningstallet er ikke

\Delta x/\Delta y

, men

\Delta y/\Delta x

Steg 4 — Finn konstantleddet

$b=-2$

Når $x=0$ , er y-verdien konstantleddet.

Steg 5 — Skriv modellen

$f(x)=2x-2$

Nå kombinerer vi stigningstall og konstantledd.

Steg 6 — Kontroller med andre punkt

$f(4)=2\cdot 4+(-2)=6$

Modellen må treffe begge punktene.

Tolkning

Modellen sier at y øker med 2 for hver økning på 1 i x.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((0,-2),(4,6))

→

y=2x-2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
a = (6 - -2)/(4 - 0)
b = -2
print(a, b)
print(a*x + b)

Fasit:

f(x)=2x-2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $b=f(0)$ .

Vanlige feil

Å bytte om x- og y-endring i brøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall og kontroll i punkt.

For høy måloppnåelse

Tolk stigningstallet praktisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 28 · MiddelsLineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=3x+2$ . Finn $f(3)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=3x+2$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=3$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(3)=3\cdot 3+2$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$3\cdot 3=9$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$9+(2)=11$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(3,11)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(3,11)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=3x+(2)

→

f(x)=3x+2

f(3)

→

11

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 3*x + (2)
print(f.subs(x, 3))

Fasit:

f(3)=11

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 29 · MiddelsLineære funksjoner

Lag en lineær modell fra to punkter

Oppgave:

En modell går gjennom punktene $(0,2)$ og $(6,26)$ . Finn funksjonsuttrykket.

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær funksjon. Planen er å finne stigningstall først og deretter konstantledd.

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,2)\text{ og }(6,26)$

To punkter bestemmer én lineær funksjon.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{26-2}{6-0}$

Stigningstallet er endring i y delt på endring i x.

Steg 3 — Regn stigningstallet

$a=\dfrac{24}{6}=4$

Dette viser hvor mye y øker når x øker med 1.

Vanlig feil: Stigningstallet er ikke

\Delta x/\Delta y

, men

\Delta y/\Delta x

Steg 4 — Finn konstantleddet

$b=2$

Når $x=0$ , er y-verdien konstantleddet.

Steg 5 — Skriv modellen

$f(x)=4x+2$

Nå kombinerer vi stigningstall og konstantledd.

Steg 6 — Kontroller med andre punkt

$f(6)=4\cdot 6+(2)=26$

Modellen må treffe begge punktene.

Tolkning

Modellen sier at y øker med 4 for hver økning på 1 i x.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((0,2),(6,26))

→

y=4x+2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
a = (26 - 2)/(6 - 0)
b = 2
print(a, b)
print(a*x + b)

Fasit:

f(x)=4x+2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $b=f(0)$ .

Vanlige feil

Å bytte om x- og y-endring i brøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall og kontroll i punkt.

For høy måloppnåelse

Tolk stigningstallet praktisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 30 · MiddelsLineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=5x-3$ . Finn $f(-2)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=5x-3$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=-2$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(-2)=5\cdot -2-3$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$5\cdot -2=-10$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$-10+(-3)=-13$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(-2,-13)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(-2,-13)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=5x+(-3)

→

f(x)=5x-3

f(-2)

→

-13

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 5*x + (-3)
print(f.subs(x, -2))

Fasit:

f(-2)=-13

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 31 · MiddelsLineære funksjoner

Lag en lineær modell fra to punkter

Oppgave:

En modell går gjennom punktene $(0,-1)$ og $(3,2)$ . Finn funksjonsuttrykket.

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær funksjon. Planen er å finne stigningstall først og deretter konstantledd.

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,-1)\text{ og }(3,2)$

To punkter bestemmer én lineær funksjon.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{2--1}{3-0}$

Stigningstallet er endring i y delt på endring i x.

Steg 3 — Regn stigningstallet

$a=\dfrac{3}{3}=1$

Dette viser hvor mye y øker når x øker med 1.

Vanlig feil: Stigningstallet er ikke

\Delta x/\Delta y

, men

\Delta y/\Delta x

Steg 4 — Finn konstantleddet

$b=-1$

Når $x=0$ , er y-verdien konstantleddet.

Steg 5 — Skriv modellen

$f(x)=1x-1$

Nå kombinerer vi stigningstall og konstantledd.

Steg 6 — Kontroller med andre punkt

$f(3)=1\cdot 3+(-1)=2$

Modellen må treffe begge punktene.

Tolkning

Modellen sier at y øker med 1 for hver økning på 1 i x.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((0,-1),(3,2))

→

y=1x-1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
a = (2 - -1)/(3 - 0)
b = -1
print(a, b)
print(a*x + b)

Fasit:

f(x)=1x-1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $b=f(0)$ .

Vanlige feil

Å bytte om x- og y-endring i brøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall og kontroll i punkt.

For høy måloppnåelse

Tolk stigningstallet praktisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 32 · KrevendeLineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=2x+1$ . Finn $f(0)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x+1$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=0$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(0)=2\cdot 0+1$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$2\cdot 0=0$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$0+(1)=1$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(0,1)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(0,1)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=2x+(1)

→

f(x)=2x+1

f(0)

→

1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x + (1)
print(f.subs(x, 0))

Fasit:

f(0)=1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 33 · KrevendeLineære funksjoner

Lag en lineær modell fra to punkter

Oppgave:

En modell går gjennom punktene $(0,3)$ og $(5,18)$ . Finn funksjonsuttrykket.

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær funksjon. Planen er å finne stigningstall først og deretter konstantledd.

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,3)\text{ og }(5,18)$

To punkter bestemmer én lineær funksjon.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{18-3}{5-0}$

Stigningstallet er endring i y delt på endring i x.

Steg 3 — Regn stigningstallet

$a=\dfrac{15}{5}=3$

Dette viser hvor mye y øker når x øker med 1.

Vanlig feil: Stigningstallet er ikke

\Delta x/\Delta y

, men

\Delta y/\Delta x

Steg 4 — Finn konstantleddet

$b=3$

Når $x=0$ , er y-verdien konstantleddet.

Steg 5 — Skriv modellen

$f(x)=3x+3$

Nå kombinerer vi stigningstall og konstantledd.

Steg 6 — Kontroller med andre punkt

$f(5)=3\cdot 5+(3)=18$

Modellen må treffe begge punktene.

Tolkning

Modellen sier at y øker med 3 for hver økning på 1 i x.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((0,3),(5,18))

→

y=3x+3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
a = (18 - 3)/(5 - 0)
b = 3
print(a, b)
print(a*x + b)

Fasit:

f(x)=3x+3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $b=f(0)$ .

Vanlige feil

Å bytte om x- og y-endring i brøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall og kontroll i punkt.

For høy måloppnåelse

Tolk stigningstallet praktisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 34 · KrevendeLineære funksjoner

Finn en funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt $f(x)=4x-4$ . Finn $f(2)$ .

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne y-verdien som hører til én bestemt x-verdi. Planen er å sette x-verdien inn i funksjonsuttrykket.

Steg 1 — Skriv funksjonen

$f(x)=4x-4$

Funksjonen forteller hvordan y-verdien avhenger av x-verdien.

Steg 2 — Finn hva som skal settes inn

$x=2$

Oppgaven spør etter funksjonsverdien ved denne x-verdien.

Steg 3 — Sett inn i formelen

$f(2)=4\cdot 2-4$

Vi bytter ut $x$ med tallet fra oppgaven.

Vanlig feil: Ikke la

x

stå igjen etter innsetting. Alle

x

i uttrykket skal erstattes.

Steg 4 — Regn multiplikasjonen

$4\cdot 2=8$

Multiplikasjonen må gjøres før addisjon.

Steg 5 — Legg til konstantleddet

$8+(-4)=4$

Dette gir y-verdien.

Steg 6 — Skriv punktet

$(2,4)$

Funksjonsverdien kan også skrives som et punkt på grafen.

Tolkning

Punktet $(2,4)$ ligger på grafen til funksjonen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=4x+(-4)

→

f(x)=4x-4

f(2)

→

4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 4*x + (-4)
print(f.subs(x, 2))

Fasit:

f(2)=4

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdien når x er bestemt.

Vanlige feil

Å sette inn x bare i ett av leddene.

Dette ser sensor etter

Korrekt innsetting og punktnotasjon.

For høy måloppnåelse

Forklar grafisk hva punktet betyr.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 35 · KrevendeLineære funksjoner

Lag en lineær modell fra to punkter

Oppgave:

En modell går gjennom punktene $(0,0)$ og $(7,35)$ . Finn funksjonsuttrykket.

Skisse av funksjonen med riktig stigningstall og skjæring.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær funksjon. Planen er å finne stigningstall først og deretter konstantledd.

Steg 1 — Skriv punktene

$(0,0)\text{ og }(7,35)$

To punkter bestemmer én lineær funksjon.

Steg 2 — Finn stigningstallet

$a=\dfrac{35-0}{7-0}$

Stigningstallet er endring i y delt på endring i x.

Steg 3 — Regn stigningstallet

$a=\dfrac{35}{7}=5$

Dette viser hvor mye y øker når x øker med 1.

Vanlig feil: Stigningstallet er ikke

\Delta x/\Delta y

, men

\Delta y/\Delta x

Steg 4 — Finn konstantleddet

$b=0$

Når $x=0$ , er y-verdien konstantleddet.

Steg 5 — Skriv modellen

$f(x)=5x+0$

Nå kombinerer vi stigningstall og konstantledd.

Steg 6 — Kontroller med andre punkt

$f(7)=5\cdot 7+(0)=35$

Modellen må treffe begge punktene.

Tolkning

Modellen sier at y øker med 5 for hver økning på 1 i x.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Line((0,0),(7,35))

→

y=5x+0

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
a = (35 - 0)/(7 - 0)
b = 0
print(a, b)
print(a*x + b)

Fasit:

f(x)=5x+0

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

$a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ og $b=f(0)$ .

Vanlige feil

Å bytte om x- og y-endring i brøken.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall og kontroll i punkt.

For høy måloppnåelse

Tolk stigningstallet praktisk.

📊 Utforsk i GeoGebra

Ikke-lineære funksjoner 18 oppgaver

Oppgave 36 · LettIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x+1)^2+(-3)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x+1)^2+(-3)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=-1$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=-3$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(-1,-3)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x+1)^2+(-3)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x--1)^2=3$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(-1))²+(-3)

→

\left(x + 1\right)^{2} - 3

Extremum(f)

→

\left(-1,-3\right)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (-1))**2 + (-3)
print("bunnpunkt:", (-1, -3))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(-1,-3)

. Nullpunktene er

x=-2{,}73

x=0{,}73

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 37 · LettIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x-0)^2+(-1)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x-0)^2+(-1)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=0$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=-1$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(0,-1)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x-0)^2+(-1)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x-0)^2=1$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(0))²+(-1)

→

x^{2} - 1

Extremum(f)

→

\left(0,-1\right),\ x=0-\sqrt{1},\ x=0+\sqrt{1}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (0))**2 + (-1)
print("bunnpunkt:", (0, -1))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(0,-1)

, og nullpunktene er

x=0-\sqrt{1}\text{ eller }x=0+\sqrt{1}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 38 · LettIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x-1)^2+(1)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x-1)^2+(1)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=1$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=1$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(1,1)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x-1)^2+(1)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x-1)^2=-1$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(1))²+(1)

→

\left(x - 1\right)^{2} + 1

Extremum(f)

→

\left(1,1\right)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (1))**2 + (1)
print("bunnpunkt:", (1, 1))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(1,1)

, og grafen har ingen reelle nullpunkter. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 39 · LettIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x-2)^2+(-5)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x-2)^2+(-5)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=2$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=-5$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(2,-5)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x-2)^2+(-5)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x-2)^2=5$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(2))²+(-5)

→

\left(x - 2\right)^{2} - 5

Extremum(f)

→

\left(2,-5\right)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (2))**2 + (-5)
print("bunnpunkt:", (2, -5))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(2,-5)

. Nullpunktene er

x=-0{,}24

x=4{,}24

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 40 · LettIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x-3)^2+(-3)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x-3)^2+(-3)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=3$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=-3$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(3,-3)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x-3)^2+(-3)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x-3)^2=3$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(3))²+(-3)

→

\left(x - 3\right)^{2} - 3

Extremum(f)

→

\left(3,-3\right)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (3))**2 + (-3)
print("bunnpunkt:", (3, -3))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(3,-3)

. Nullpunktene er

x=1{,}27

x=4{,}73

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 41 · LettIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x+2)^2+(-1)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x+2)^2+(-1)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=-2$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=-1$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(-2,-1)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x+2)^2+(-1)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x--2)^2=1$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(-2))²+(-1)

→

\left(x + 2\right)^{2} - 1

Extremum(f)

→

\left(-2,-1\right),\ x=-2-\sqrt{1},\ x=-2+\sqrt{1}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (-2))**2 + (-1)
print("bunnpunkt:", (-2, -1))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(-2,-1)

, og nullpunktene er

x=-2-\sqrt{1}\text{ eller }x=-2+\sqrt{1}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 42 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x+1)^2+(1)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x+1)^2+(1)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=-1$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=1$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(-1,1)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x+1)^2+(1)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x--1)^2=-1$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(-1))²+(1)

→

\left(x + 1\right)^{2} + 1

Extremum(f)

→

\left(-1,1\right)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (-1))**2 + (1)
print("bunnpunkt:", (-1, 1))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(-1,1)

, og grafen har ingen reelle nullpunkter. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 43 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x-0)^2+(-5)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x-0)^2+(-5)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=0$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=-5$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(0,-5)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x-0)^2+(-5)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x-0)^2=5$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(0))²+(-5)

→

x^{2} - 5

Extremum(f)

→

\left(0,-5\right)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (0))**2 + (-5)
print("bunnpunkt:", (0, -5))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(0,-5)

. Nullpunktene er

x=-2{,}24

x=2{,}24

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 44 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x-1)^2+(-3)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x-1)^2+(-3)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=1$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=-3$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(1,-3)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x-1)^2+(-3)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x-1)^2=3$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(1))²+(-3)

→

\left(x - 1\right)^{2} - 3

Extremum(f)

→

\left(1,-3\right)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (1))**2 + (-3)
print("bunnpunkt:", (1, -3))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(1,-3)

. Nullpunktene er

x=-0{,}73

x=2{,}73

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 45 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x-2)^2+(-1)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x-2)^2+(-1)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=2$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=-1$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(2,-1)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x-2)^2+(-1)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x-2)^2=1$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(2))²+(-1)

→

\left(x - 2\right)^{2} - 1

Extremum(f)

→

\left(2,-1\right),\ x=2-\sqrt{1},\ x=2+\sqrt{1}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (2))**2 + (-1)
print("bunnpunkt:", (2, -1))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(2,-1)

, og nullpunktene er

x=2-\sqrt{1}\text{ eller }x=2+\sqrt{1}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 46 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x-3)^2+(1)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x-3)^2+(1)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=3$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=1$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(3,1)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x-3)^2+(1)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x-3)^2=-1$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(3))²+(1)

→

\left(x - 3\right)^{2} + 1

Extremum(f)

→

\left(3,1\right)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (3))**2 + (1)
print("bunnpunkt:", (3, 1))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(3,1)

, og grafen har ingen reelle nullpunkter. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 47 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x+2)^2+(-5)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x+2)^2+(-5)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=-2$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=-5$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(-2,-5)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x+2)^2+(-5)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x--2)^2=5$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(-2))²+(-5)

→

\left(x + 2\right)^{2} - 5

Extremum(f)

→

\left(-2,-5\right)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (-2))**2 + (-5)
print("bunnpunkt:", (-2, -5))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(-2,-5)

. Nullpunktene er

x=-4{,}24

x=0{,}24

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 48 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x+1)^2+(-3)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x+1)^2+(-3)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=-1$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=-3$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(-1,-3)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x+1)^2+(-3)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x--1)^2=3$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(-1))²+(-3)

→

\left(x + 1\right)^{2} - 3

Extremum(f)

→

\left(-1,-3\right)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (-1))**2 + (-3)
print("bunnpunkt:", (-1, -3))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(-1,-3)

. Nullpunktene er

x=-2{,}73

x=0{,}73

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 49 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x-0)^2+(-1)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x-0)^2+(-1)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=0$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=-1$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(0,-1)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x-0)^2+(-1)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x-0)^2=1$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(0))²+(-1)

→

x^{2} - 1

Extremum(f)

→

\left(0,-1\right),\ x=0-\sqrt{1},\ x=0+\sqrt{1}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (0))**2 + (-1)
print("bunnpunkt:", (0, -1))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(0,-1)

, og nullpunktene er

x=0-\sqrt{1}\text{ eller }x=0+\sqrt{1}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 50 · KrevendeIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x-1)^2+(1)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x-1)^2+(1)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=1$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=1$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(1,1)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x-1)^2+(1)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x-1)^2=-1$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(1))²+(1)

→

\left(x - 1\right)^{2} + 1

Extremum(f)

→

\left(1,1\right)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (1))**2 + (1)
print("bunnpunkt:", (1, 1))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(1,1)

, og grafen har ingen reelle nullpunkter. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 51 · KrevendeIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x-2)^2+(-5)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x-2)^2+(-5)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=2$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=-5$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(2,-5)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x-2)^2+(-5)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x-2)^2=5$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(2))²+(-5)

→

\left(x - 2\right)^{2} - 5

Extremum(f)

→

\left(2,-5\right)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (2))**2 + (-5)
print("bunnpunkt:", (2, -5))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(2,-5)

. Nullpunktene er

x=-0{,}24

x=4{,}24

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 52 · KrevendeIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x-3)^2+(-3)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x-3)^2+(-3)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=3$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=-3$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(3,-3)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x-3)^2+(-3)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x-3)^2=3$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(3))²+(-3)

→

\left(x - 3\right)^{2} - 3

Extremum(f)

→

\left(3,-3\right)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (3))**2 + (-3)
print("bunnpunkt:", (3, -3))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(3,-3)

. Nullpunktene er

x=1{,}27

x=4{,}73

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 53 · KrevendeIkke-lineære funksjoner

Analyser en andregradsfunksjon

Oppgave:

Gitt $f(x)=(x+2)^2+(-1)$ . Finn bunnpunkt og vurder nullpunkter.

Skisse av parabelen med ekstremalpunkt markert.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese informasjon direkte fra topp- og bunnpunktform. Planen er å finne ekstremalpunktet og deretter se om grafen skjærer x-aksen.

Steg 1 — Les av topp- eller bunnpunktform

$f(x)=(x+2)^2+(-1)$

Funksjonen står på formen $(x-h)^2+k$ , der ekstremalpunktet er $(h,k)$ .

Steg 2 — Finn x-koordinaten

$h=-2$

Parabelen er symmetrisk rundt linjen $x=h$ .

Steg 3 — Finn y-koordinaten

$k=-1$

Dette er laveste y-verdi når koeffisienten foran kvadratet er positiv.

Vanlig feil: Fortegnet inne i parentesen kan lure deg.

(x-3)^2

har symmetrilinje

x=3

, ikke

x=-3

Steg 4 — Skriv bunnpunktet

$(-2,-1)$

Siden $a>0$ , åpner parabelen oppover og punktet er et bunnpunkt.

Steg 5 — Finn eventuell nullpunktlikning

$(x+2)^2+(-1)=0$

Nullpunkter finnes ved å sette funksjonen lik null.

Steg 6 — Tolk løsninger

$(x--2)^2=1$

Hvis høyresiden er negativ, finnes ingen reelle nullpunkter. Hvis den er positiv, finnes to.

Tolkning

Ekstremalpunktet forteller den minste verdien modellen kan ha.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

f(x):=(x-(-2))²+(-1)

→

\left(x + 2\right)^{2} - 1

Extremum(f)

→

\left(-2,-1\right),\ x=-2-\sqrt{1},\ x=-2+\sqrt{1}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x - (-2))**2 + (-1)
print("bunnpunkt:", (-2, -1))
print("nullpunkter:", solve(f, x))

Fasit: Bunnpunktet er

(-2,-1)

, og nullpunktene er

x=-2-\sqrt{1}\text{ eller }x=-2+\sqrt{1}

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

På formen $(x-h)^2+k$ er ekstremalpunktet $(h,k)$ .

Vanlige feil

Å lese punktet som $(-h,k)$ når parentesen er $x-h$ .

Dette ser sensor etter

Riktig ekstremalpunkt og vurdering av nullpunkter.

For høy måloppnåelse

Forklar symmetrien rundt $x=h$ .

📊 Utforsk i GeoGebra

Matematikk 1T-Y · RM

Utforskende oppgaver knyttet til samfunnsliv

Ifingo-oppgaver, restaurant- og matfaglige kontekster, trinnvise løsninger, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Utforskende oppgaver knyttet til samfunnsliv 10 oppgaver

Oppgave 54 · LettUtforskende oppgaver knyttet til samfunnsliv

Utforsk råvarebehov med svinn

Oppgave:

Et kjøkken skal lage $21$ porsjoner. Hver porsjon trenger $85$ g ferdig renset råvare. Det er $5\,\%$ svinn. Hvor mye råvare må kjøpes inn?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal modellere en praktisk situasjon med svinn. Planen er å finne netto behov og deretter justere for det som går bort.

Steg 1 — Finn netto behov

$21\cdot 85=1785$

Først finner vi mengden som faktisk skal ende i produktet.

Steg 2 — Forstå svinn

$5\,\%$

Svinn betyr at vi må kjøpe mer enn netto behov.

Steg 3 — Finn andel som kan brukes

$100\,\%-5\,\%=95\,\%$

Hvis noe går bort, er resten den brukbare andelen.

Vanlig feil: Svinn gjør at vi må kjøpe mer enn netto behov, ikke mindre.

Steg 4 — Sett opp likning

$\dfrac{95}{100}\cdot x=1785$

Kjøpt mengde ganget med brukbar andel skal gi netto behov.

Steg 5 — Løs for kjøpt mengde

$x=\dfrac{1785\cdot 100}{95}=\dfrac{35700}{19}$

Vi deler på brukbar andel for å finne innkjøpsmengden.

Steg 6 — Rund praktisk

$x\approx 1879$

I praksis må vi ofte runde opp, fordi for lite råvare gir mangel.

Tolkning

Kjøkkenet bør kjøpe minst $1879$ g for å være sikker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Solve((95/100)*x=1785, x)

→

x=\dfrac{35700}{19}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
serveringer = 21
per_servering = 85
svinn = Fraction(5, 100)
netto = serveringer * per_servering
innkjop = Fraction(netto, 1) / (1 - svinn)
print(innkjop)

Fasit: Minst

1879

g råvare bør kjøpes inn. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Ved svinn: innkjøp = netto behov / brukbar andel.

Vanlige feil

Å trekke svinn fra netto behov i stedet for å kjøpe mer.

Dette ser sensor etter

Riktig modell og praktisk avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor avrunding oppover er naturlig.

Oppgave 55 · LettUtforskende oppgaver knyttet til samfunnsliv

Prosentvis økning med vekstfaktor

Oppgave:

Prisen på en råvare var $118$ kr. Den øker med $8\,\%$ . Finn ny pris.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne ny pris etter en prosentvis økning. Planen er å bruke vekstfaktor, ikke bare finne prosentdelen.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

$1+\dfrac{8}{100}=\dfrac{27}{25}$

Ved økning legger vi prosentdelen til 1.

Steg 2 — Sett opp ny verdi

$118\cdot \dfrac{27}{25}$

Ny verdi er gammel verdi ganget med vekstfaktoren.

Steg 3 — Regn produktet

$118\cdot \dfrac{27}{25}=\dfrac{3186}{25}$

Dette gir verdien etter økningen.

Vanlig feil: Ved økning skal vekstfaktoren være større enn

1

. Hvis den blir mindre enn

1

, har du regnet med nedgang.

Steg 4 — Finn selve økningen

$\dfrac{3186}{25}-118=\dfrac{236}{25}$

Forskjellen viser hvor mye verdien økte i kroner eller enheter.

Steg 5 — Sjekk fortegnet

$\dfrac{27}{25}>1$

Vekstfaktor større enn 1 betyr økning.

Steg 6 — Skriv praktisk svar

$\dfrac{3186}{25}$

Svaret skal skrives med riktig enhet fra oppgaven.

Tolkning

Ny pris er \dfrac{3186}{25} kr, og økningen er \dfrac{236}{25} kr.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

118*(1+8/100)

→

\dfrac{3186}{25}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
gammel = Fraction(118, 1)
vekstfaktor = Fraction(108, 100)
ny = gammel * vekstfaktor
print(ny)

Fasit: Ny pris er

\dfrac{3186}{25}

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Økning med $p\,\%$ gir vekstfaktor $1+\dfrac{p}{100}$ .

Vanlige feil

Å bruke $1-p/100$ når oppgaven sier økning.

Dette ser sensor etter

Vekstfaktor før innsetting.

For høy måloppnåelse

Vis både ny verdi og endringen.

Oppgave 56 · LettUtforskende oppgaver knyttet til samfunnsliv

Enhetspris i kantina

Oppgave:

En kantine selger $7$ like varer for $112$ kr. Hvor mye koster $11$ slike varer?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne pris for et nytt antall. Planen er først å finne pris per vare, og deretter gange opp.

Steg 1 — Finn hva som er gitt

$7\text{ varer koster }112\text{ kr}$

Vi vet totalpris og antall varer. Da kan vi finne pris per vare.

Steg 2 — Gå veien om 1

$\dfrac{112}{7}=16$

Vi deler totalprisen på antallet for å finne enhetsprisen.

Steg 3 — Tolk enhetsprisen

$1\text{ vare koster }16\text{ kr}$

Dette er prisen for én vare, og den kan skaleres opp.

Vanlig feil: Ikke del ønsket antall på totalprisen. Det er totalprisen som må deles på antallet varer.

Steg 4 — Finn prisen for ønsket antall

$11\cdot 16=176$

Når én vare koster kjent beløp, ganger vi med antallet.

Steg 5 — Skriv svaret med enhet

$176\text{ kr}$

Penger må alltid ha kroneenhet i et praktisk svar.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$11>7\Rightarrow 176>112$

Sammenligning med startprisen gir en rask kontroll.

Tolkning

11 varer koster 176 kr når prisen per vare er 16 kr.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

112/7

→

16

11*(112/7)

→

176

Kontroll i Python

Python-kontroll

totalpris = 112
antall = 7
onsket_antall = 11
enhetspris = totalpris / antall
print(enhetspris, onsket_antall * enhetspris)

Fasit:

11

varer koster

176

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Enhetspris = totalpris delt på antall.

Vanlige feil

Å gange først når du egentlig må dele for å finne én enhet.

Dette ser sensor etter

Riktig metode og tydelige enheter.

For høy måloppnåelse

Bruk rimelighetskontroll med større/mindre antall.

Oppgave 57 · MiddelsUtforskende oppgaver knyttet til samfunnsliv

Utforsk råvarebehov med svinn

Oppgave:

Et kjøkken skal lage $24$ porsjoner. Hver porsjon trenger $100$ g ferdig renset råvare. Det er $10\,\%$ svinn. Hvor mye råvare må kjøpes inn?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal modellere en praktisk situasjon med svinn. Planen er å finne netto behov og deretter justere for det som går bort.

Steg 1 — Finn netto behov

$24\cdot 100=2400$

Først finner vi mengden som faktisk skal ende i produktet.

Steg 2 — Forstå svinn

$10\,\%$

Svinn betyr at vi må kjøpe mer enn netto behov.

Steg 3 — Finn andel som kan brukes

$100\,\%-10\,\%=90\,\%$

Hvis noe går bort, er resten den brukbare andelen.

Vanlig feil: Svinn gjør at vi må kjøpe mer enn netto behov, ikke mindre.

Steg 4 — Sett opp likning

$\dfrac{90}{100}\cdot x=2400$

Kjøpt mengde ganget med brukbar andel skal gi netto behov.

Steg 5 — Løs for kjøpt mengde

$x=\dfrac{2400\cdot 100}{90}=\dfrac{8000}{3}$

Vi deler på brukbar andel for å finne innkjøpsmengden.

Steg 6 — Rund praktisk

$x\approx 2667$

I praksis må vi ofte runde opp, fordi for lite råvare gir mangel.

Tolkning

Kjøkkenet bør kjøpe minst $2667$ g for å være sikker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Solve((90/100)*x=2400, x)

→

x=\dfrac{8000}{3}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
serveringer = 24
per_servering = 100
svinn = Fraction(10, 100)
netto = serveringer * per_servering
innkjop = Fraction(netto, 1) / (1 - svinn)
print(innkjop)

Fasit: Minst

2667

g råvare bør kjøpes inn. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Ved svinn: innkjøp = netto behov / brukbar andel.

Vanlige feil

Å trekke svinn fra netto behov i stedet for å kjøpe mer.

Dette ser sensor etter

Riktig modell og praktisk avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor avrunding oppover er naturlig.

Oppgave 58 · MiddelsUtforskende oppgaver knyttet til samfunnsliv

Prosentvis økning med vekstfaktor

Oppgave:

Prisen på en råvare var $175$ kr. Den øker med $15\,\%$ . Finn ny pris.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne ny pris etter en prosentvis økning. Planen er å bruke vekstfaktor, ikke bare finne prosentdelen.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

$1+\dfrac{15}{100}=\dfrac{23}{20}$

Ved økning legger vi prosentdelen til 1.

Steg 2 — Sett opp ny verdi

$175\cdot \dfrac{23}{20}$

Ny verdi er gammel verdi ganget med vekstfaktoren.

Steg 3 — Regn produktet

$175\cdot \dfrac{23}{20}=\dfrac{805}{4}$

Dette gir verdien etter økningen.

Vanlig feil: Ved økning skal vekstfaktoren være større enn

1

. Hvis den blir mindre enn

1

, har du regnet med nedgang.

Steg 4 — Finn selve økningen

$\dfrac{805}{4}-175=\dfrac{105}{4}$

Forskjellen viser hvor mye verdien økte i kroner eller enheter.

Steg 5 — Sjekk fortegnet

$\dfrac{23}{20}>1$

Vekstfaktor større enn 1 betyr økning.

Steg 6 — Skriv praktisk svar

$\dfrac{805}{4}$

Svaret skal skrives med riktig enhet fra oppgaven.

Tolkning

Ny pris er \dfrac{805}{4} kr, og økningen er \dfrac{105}{4} kr.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

175*(1+15/100)

→

\dfrac{805}{4}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
gammel = Fraction(175, 1)
vekstfaktor = Fraction(115, 100)
ny = gammel * vekstfaktor
print(ny)

Fasit: Ny pris er

\dfrac{805}{4}

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Økning med $p\,\%$ gir vekstfaktor $1+\dfrac{p}{100}$ .

Vanlige feil

Å bruke $1-p/100$ når oppgaven sier økning.

Dette ser sensor etter

Vekstfaktor før innsetting.

For høy måloppnåelse

Vis både ny verdi og endringen.

Oppgave 59 · MiddelsUtforskende oppgaver knyttet til samfunnsliv

Enhetspris i kantina

Oppgave:

En kantine selger $10$ like varer for $130$ kr. Hvor mye koster $7$ slike varer?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne pris for et nytt antall. Planen er først å finne pris per vare, og deretter gange opp.

Steg 1 — Finn hva som er gitt

$10\text{ varer koster }130\text{ kr}$

Vi vet totalpris og antall varer. Da kan vi finne pris per vare.

Steg 2 — Gå veien om 1

$\dfrac{130}{10}=13$

Vi deler totalprisen på antallet for å finne enhetsprisen.

Steg 3 — Tolk enhetsprisen

$1\text{ vare koster }13\text{ kr}$

Dette er prisen for én vare, og den kan skaleres opp.

Vanlig feil: Ikke del ønsket antall på totalprisen. Det er totalprisen som må deles på antallet varer.

Steg 4 — Finn prisen for ønsket antall

$7\cdot 13=91$

Når én vare koster kjent beløp, ganger vi med antallet.

Steg 5 — Skriv svaret med enhet

$91\text{ kr}$

Penger må alltid ha kroneenhet i et praktisk svar.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$7\le 10\Rightarrow 91\le 130$

Sammenligning med startprisen gir en rask kontroll.

Tolkning

7 varer koster 91 kr når prisen per vare er 13 kr.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

130/10

→

13

7*(130/10)

→

91

Kontroll i Python

Python-kontroll

totalpris = 130
antall = 10
onsket_antall = 7
enhetspris = totalpris / antall
print(enhetspris, onsket_antall * enhetspris)

Fasit:

7

varer koster

91

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Enhetspris = totalpris delt på antall.

Vanlige feil

Å gange først når du egentlig må dele for å finne én enhet.

Dette ser sensor etter

Riktig metode og tydelige enheter.

For høy måloppnåelse

Bruk rimelighetskontroll med større/mindre antall.

Oppgave 60 · MiddelsUtforskende oppgaver knyttet til samfunnsliv

Utforsk råvarebehov med svinn

Oppgave:

Et kjøkken skal lage $27$ porsjoner. Hver porsjon trenger $115$ g ferdig renset råvare. Det er $6\,\%$ svinn. Hvor mye råvare må kjøpes inn?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal modellere en praktisk situasjon med svinn. Planen er å finne netto behov og deretter justere for det som går bort.

Steg 1 — Finn netto behov

$27\cdot 115=3105$

Først finner vi mengden som faktisk skal ende i produktet.

Steg 2 — Forstå svinn

$6\,\%$

Svinn betyr at vi må kjøpe mer enn netto behov.

Steg 3 — Finn andel som kan brukes

$100\,\%-6\,\%=94\,\%$

Hvis noe går bort, er resten den brukbare andelen.

Vanlig feil: Svinn gjør at vi må kjøpe mer enn netto behov, ikke mindre.

Steg 4 — Sett opp likning

$\dfrac{94}{100}\cdot x=3105$

Kjøpt mengde ganget med brukbar andel skal gi netto behov.

Steg 5 — Løs for kjøpt mengde

$x=\dfrac{3105\cdot 100}{94}=\dfrac{155250}{47}$

Vi deler på brukbar andel for å finne innkjøpsmengden.

Steg 6 — Rund praktisk

$x\approx 3304$

I praksis må vi ofte runde opp, fordi for lite råvare gir mangel.

Tolkning

Kjøkkenet bør kjøpe minst $3304$ g for å være sikker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Solve((94/100)*x=3105, x)

→

x=\dfrac{155250}{47}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
serveringer = 27
per_servering = 115
svinn = Fraction(6, 100)
netto = serveringer * per_servering
innkjop = Fraction(netto, 1) / (1 - svinn)
print(innkjop)

Fasit: Minst

3304

g råvare bør kjøpes inn. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Ved svinn: innkjøp = netto behov / brukbar andel.

Vanlige feil

Å trekke svinn fra netto behov i stedet for å kjøpe mer.

Dette ser sensor etter

Riktig modell og praktisk avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor avrunding oppover er naturlig.

Oppgave 61 · KrevendeUtforskende oppgaver knyttet til samfunnsliv

Prosentvis økning med vekstfaktor

Oppgave:

Prisen på en råvare var $232$ kr. Den øker med $4\,\%$ . Finn ny pris.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne ny pris etter en prosentvis økning. Planen er å bruke vekstfaktor, ikke bare finne prosentdelen.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

$1+\dfrac{4}{100}=\dfrac{26}{25}$

Ved økning legger vi prosentdelen til 1.

Steg 2 — Sett opp ny verdi

$232\cdot \dfrac{26}{25}$

Ny verdi er gammel verdi ganget med vekstfaktoren.

Steg 3 — Regn produktet

$232\cdot \dfrac{26}{25}=\dfrac{6032}{25}$

Dette gir verdien etter økningen.

Vanlig feil: Ved økning skal vekstfaktoren være større enn

1

. Hvis den blir mindre enn

1

, har du regnet med nedgang.

Steg 4 — Finn selve økningen

$\dfrac{6032}{25}-232=\dfrac{232}{25}$

Forskjellen viser hvor mye verdien økte i kroner eller enheter.

Steg 5 — Sjekk fortegnet

$\dfrac{26}{25}>1$

Vekstfaktor større enn 1 betyr økning.

Steg 6 — Skriv praktisk svar

$\dfrac{6032}{25}$

Svaret skal skrives med riktig enhet fra oppgaven.

Tolkning

Ny pris er \dfrac{6032}{25} kr, og økningen er \dfrac{232}{25} kr.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

232*(1+4/100)

→

\dfrac{6032}{25}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
gammel = Fraction(232, 1)
vekstfaktor = Fraction(104, 100)
ny = gammel * vekstfaktor
print(ny)

Fasit: Ny pris er

\dfrac{6032}{25}

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Økning med $p\,\%$ gir vekstfaktor $1+\dfrac{p}{100}$ .

Vanlige feil

Å bruke $1-p/100$ når oppgaven sier økning.

Dette ser sensor etter

Vekstfaktor før innsetting.

For høy måloppnåelse

Vis både ny verdi og endringen.

Oppgave 62 · KrevendeUtforskende oppgaver knyttet til samfunnsliv

Enhetspris i kantina

Oppgave:

En kantine selger $6$ like varer for $60$ kr. Hvor mye koster $13$ slike varer?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne pris for et nytt antall. Planen er først å finne pris per vare, og deretter gange opp.

Steg 1 — Finn hva som er gitt

$6\text{ varer koster }60\text{ kr}$

Vi vet totalpris og antall varer. Da kan vi finne pris per vare.

Steg 2 — Gå veien om 1

$\dfrac{60}{6}=10$

Vi deler totalprisen på antallet for å finne enhetsprisen.

Steg 3 — Tolk enhetsprisen

$1\text{ vare koster }10\text{ kr}$

Dette er prisen for én vare, og den kan skaleres opp.

Vanlig feil: Ikke del ønsket antall på totalprisen. Det er totalprisen som må deles på antallet varer.

Steg 4 — Finn prisen for ønsket antall

$13\cdot 10=130$

Når én vare koster kjent beløp, ganger vi med antallet.

Steg 5 — Skriv svaret med enhet

$130\text{ kr}$

Penger må alltid ha kroneenhet i et praktisk svar.

Steg 6 — Sjekk rimelighet

$13>6\Rightarrow 130>60$

Sammenligning med startprisen gir en rask kontroll.

Tolkning

13 varer koster 130 kr når prisen per vare er 10 kr.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

60/6

→

10

13*(60/6)

→

130

Kontroll i Python

Python-kontroll

totalpris = 60
antall = 6
onsket_antall = 13
enhetspris = totalpris / antall
print(enhetspris, onsket_antall * enhetspris)

Fasit:

13

varer koster

130

kr. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Enhetspris = totalpris delt på antall.

Vanlige feil

Å gange først når du egentlig må dele for å finne én enhet.

Dette ser sensor etter

Riktig metode og tydelige enheter.

For høy måloppnåelse

Bruk rimelighetskontroll med større/mindre antall.

Oppgave 63 · KrevendeUtforskende oppgaver knyttet til samfunnsliv

Utforsk råvarebehov med svinn

Oppgave:

Et kjøkken skal lage $30$ porsjoner. Hver porsjon trenger $130$ g ferdig renset råvare. Det er $4\,\%$ svinn. Hvor mye råvare må kjøpes inn?

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal modellere en praktisk situasjon med svinn. Planen er å finne netto behov og deretter justere for det som går bort.

Steg 1 — Finn netto behov

$30\cdot 130=3900$

Først finner vi mengden som faktisk skal ende i produktet.

Steg 2 — Forstå svinn

$4\,\%$

Svinn betyr at vi må kjøpe mer enn netto behov.

Steg 3 — Finn andel som kan brukes

$100\,\%-4\,\%=96\,\%$

Hvis noe går bort, er resten den brukbare andelen.

Vanlig feil: Svinn gjør at vi må kjøpe mer enn netto behov, ikke mindre.

Steg 4 — Sett opp likning

$\dfrac{96}{100}\cdot x=3900$

Kjøpt mengde ganget med brukbar andel skal gi netto behov.

Steg 5 — Løs for kjøpt mengde

$x=\dfrac{3900\cdot 100}{96}=\dfrac{8125}{2}$

Vi deler på brukbar andel for å finne innkjøpsmengden.

Steg 6 — Rund praktisk

$x\approx 4063$

I praksis må vi ofte runde opp, fordi for lite råvare gir mangel.

Tolkning

Kjøkkenet bør kjøpe minst $4063$ g for å være sikker.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

Solve((96/100)*x=3900, x)

→

x=\dfrac{8125}{2}

Kontroll i Python

Python-kontroll

from fractions import Fraction
serveringer = 30
per_servering = 130
svinn = Fraction(4, 100)
netto = serveringer * per_servering
innkjop = Fraction(netto, 1) / (1 - svinn)
print(innkjop)

Fasit: Minst

4063

g råvare bør kjøpes inn. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Ved svinn: innkjøp = netto behov / brukbar andel.

Vanlige feil

Å trekke svinn fra netto behov i stedet for å kjøpe mer.

Dette ser sensor etter

Riktig modell og praktisk avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor avrunding oppover er naturlig.

Matematikk 1T-Y · RM