ifingo
Norsk (Bokmål)
Matematikk 1T-Y (DT) · Tall og algebra

Tall og algebra – oppgaver med trinnvis løsning

Oppgaver med trinnvis løsning, vanlige feil, sensorpunkt, grafer, GeoGebra og Python-kontroll.

📘 GeoGebra & Python-guide
Fag
Matematikk 1T-Y (DT)
Kapittel
Tall og algebra
Antall oppgaver
62
Nivå
VG1 · LK20

Tall og algebra

62 oppgaver med stegvis løsning, vanlig feil, GeoGebra CAS og Python-kontroll.

Tallregning 10 oppgaver

Oppgave 1 · LettTallregning

Regnerekkefølge i et uttrykk

Oppgave:

Regn ut uttrykket (8+3)⋅2−4(8+3)\cdot 2-4. Vis tydelig hvilken regnerekkefølge du bruker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn parentesen

(8+3)=11(8+3)=11

Parenteser regnes før multiplikasjon og subtraksjon.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

(8+3)⋅2−4=(11)⋅2−4(8+3)\cdot 2-4=(11)\cdot 2-4

Når parentesen er regnet ut, blir uttrykket enklere å lese.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

11⋅2=2211\cdot 2=22

Multiplikasjon kommer før subtraksjon i regnerekkefølgen.

Steg 4 — Sett inn produktet

22−422-4

Vi erstatter multiplikasjonen med tallet vi fant.

Steg 5 — Trekk fra til slutt

22−4=1822-4=18

Subtraksjonen står igjen når parentes og multiplikasjon er ferdig.

Steg 6 — Kontroller størrelsen

18>018>0

Svaret bør være positivt fordi produktet er større enn tallet vi trekker fra.

Vanlig feil: Å regne fra venstre mot høyre uten å ta parentesen først gir feil svar.

Tolkning

Svaret er verdien av hele uttrykket, ikke bare verdien av parentesen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
(8+3)*2-4
→ 1818

Kontroll i Python

Python-kontroll

resultat = (8+3)*2-4
print(resultat)
Fasit: Verdien av uttrykket er 1818. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Parenteser først, deretter potenser, multiplikasjon/divisjon og til slutt addisjon/subtraksjon.

Vanlige feil

Mange hopper over parentesen eller gjør subtraksjonen for tidlig.

Dette ser sensor etter

Riktig rekkefølge og mellomregninger som viser hva som skjer.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor hvert ledd i regnerekkefølgen kommer i riktig rekkefølge.

Oppgave 2 · LettTallregning

Regnerekkefølge i et uttrykk

Oppgave:

Regn ut uttrykket (9+5)⋅3−7(9+5)\cdot 3-7. Vis tydelig hvilken regnerekkefølge du bruker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn parentesen

(9+5)=14(9+5)=14

Parenteser regnes før multiplikasjon og subtraksjon.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

(9+5)⋅3−7=(14)⋅3−7(9+5)\cdot 3-7=(14)\cdot 3-7

Når parentesen er regnet ut, blir uttrykket enklere å lese.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

14⋅3=4214\cdot 3=42

Multiplikasjon kommer før subtraksjon i regnerekkefølgen.

Steg 4 — Sett inn produktet

42−742-7

Vi erstatter multiplikasjonen med tallet vi fant.

Steg 5 — Trekk fra til slutt

42−7=3542-7=35

Subtraksjonen står igjen når parentes og multiplikasjon er ferdig.

Steg 6 — Kontroller størrelsen

35>035>0

Svaret bør være positivt fordi produktet er større enn tallet vi trekker fra.

Vanlig feil: Å regne fra venstre mot høyre uten å ta parentesen først gir feil svar.

Tolkning

Svaret er verdien av hele uttrykket, ikke bare verdien av parentesen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
(9+5)*3-7
→ 3535

Kontroll i Python

Python-kontroll

resultat = (9+5)*3-7
print(resultat)
Fasit: Verdien av uttrykket er 3535. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Parenteser først, deretter potenser, multiplikasjon/divisjon og til slutt addisjon/subtraksjon.

Vanlige feil

Mange hopper over parentesen eller gjør subtraksjonen for tidlig.

Dette ser sensor etter

Riktig rekkefølge og mellomregninger som viser hva som skjer.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor hvert ledd i regnerekkefølgen kommer i riktig rekkefølge.

Oppgave 3 · LettTallregning

Regnerekkefølge i et uttrykk

Oppgave:

Regn ut uttrykket (10+7)⋅4−10(10+7)\cdot 4-10. Vis tydelig hvilken regnerekkefølge du bruker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn parentesen

(10+7)=17(10+7)=17

Parenteser regnes før multiplikasjon og subtraksjon.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

(10+7)⋅4−10=(17)⋅4−10(10+7)\cdot 4-10=(17)\cdot 4-10

Når parentesen er regnet ut, blir uttrykket enklere å lese.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

17⋅4=6817\cdot 4=68

Multiplikasjon kommer før subtraksjon i regnerekkefølgen.

Steg 4 — Sett inn produktet

68−1068-10

Vi erstatter multiplikasjonen med tallet vi fant.

Steg 5 — Trekk fra til slutt

68−10=5868-10=58

Subtraksjonen står igjen når parentes og multiplikasjon er ferdig.

Steg 6 — Kontroller størrelsen

58>058>0

Svaret bør være positivt fordi produktet er større enn tallet vi trekker fra.

Vanlig feil: Å regne fra venstre mot høyre uten å ta parentesen først gir feil svar.

Tolkning

Svaret er verdien av hele uttrykket, ikke bare verdien av parentesen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
(10+7)*4-10
→ 5858

Kontroll i Python

Python-kontroll

resultat = (10+7)*4-10
print(resultat)
Fasit: Verdien av uttrykket er 5858. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Parenteser først, deretter potenser, multiplikasjon/divisjon og til slutt addisjon/subtraksjon.

Vanlige feil

Mange hopper over parentesen eller gjør subtraksjonen for tidlig.

Dette ser sensor etter

Riktig rekkefølge og mellomregninger som viser hva som skjer.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor hvert ledd i regnerekkefølgen kommer i riktig rekkefølge.

Oppgave 4 · LettTallregning

Regnerekkefølge i et uttrykk

Oppgave:

Regn ut uttrykket (11+9)⋅5−4(11+9)\cdot 5-4. Vis tydelig hvilken regnerekkefølge du bruker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn parentesen

(11+9)=20(11+9)=20

Parenteser regnes før multiplikasjon og subtraksjon.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

(11+9)⋅5−4=(20)⋅5−4(11+9)\cdot 5-4=(20)\cdot 5-4

Når parentesen er regnet ut, blir uttrykket enklere å lese.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

20⋅5=10020\cdot 5=100

Multiplikasjon kommer før subtraksjon i regnerekkefølgen.

Steg 4 — Sett inn produktet

100−4100-4

Vi erstatter multiplikasjonen med tallet vi fant.

Steg 5 — Trekk fra til slutt

100−4=96100-4=96

Subtraksjonen står igjen når parentes og multiplikasjon er ferdig.

Steg 6 — Kontroller størrelsen

96>096>0

Svaret bør være positivt fordi produktet er større enn tallet vi trekker fra.

Vanlig feil: Å regne fra venstre mot høyre uten å ta parentesen først gir feil svar.

Tolkning

Svaret er verdien av hele uttrykket, ikke bare verdien av parentesen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
(11+9)*5-4
→ 9696

Kontroll i Python

Python-kontroll

resultat = (11+9)*5-4
print(resultat)
Fasit: Verdien av uttrykket er 9696. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Parenteser først, deretter potenser, multiplikasjon/divisjon og til slutt addisjon/subtraksjon.

Vanlige feil

Mange hopper over parentesen eller gjør subtraksjonen for tidlig.

Dette ser sensor etter

Riktig rekkefølge og mellomregninger som viser hva som skjer.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor hvert ledd i regnerekkefølgen kommer i riktig rekkefølge.

Oppgave 5 · MiddelsTallregning

Regnerekkefølge i et uttrykk

Oppgave:

Regn ut uttrykket (12+3)⋅6−7(12+3)\cdot 6-7. Vis tydelig hvilken regnerekkefølge du bruker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn parentesen

(12+3)=15(12+3)=15

Parenteser regnes før multiplikasjon og subtraksjon.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

(12+3)⋅6−7=(15)⋅6−7(12+3)\cdot 6-7=(15)\cdot 6-7

Når parentesen er regnet ut, blir uttrykket enklere å lese.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

15⋅6=9015\cdot 6=90

Multiplikasjon kommer før subtraksjon i regnerekkefølgen.

Steg 4 — Sett inn produktet

90−790-7

Vi erstatter multiplikasjonen med tallet vi fant.

Steg 5 — Trekk fra til slutt

90−7=8390-7=83

Subtraksjonen står igjen når parentes og multiplikasjon er ferdig.

Steg 6 — Kontroller størrelsen

83>083>0

Svaret bør være positivt fordi produktet er større enn tallet vi trekker fra.

Vanlig feil: Å regne fra venstre mot høyre uten å ta parentesen først gir feil svar.

Tolkning

Svaret er verdien av hele uttrykket, ikke bare verdien av parentesen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
(12+3)*6-7
→ 8383

Kontroll i Python

Python-kontroll

resultat = (12+3)*6-7
print(resultat)
Fasit: Verdien av uttrykket er 8383. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Parenteser først, deretter potenser, multiplikasjon/divisjon og til slutt addisjon/subtraksjon.

Vanlige feil

Mange hopper over parentesen eller gjør subtraksjonen for tidlig.

Dette ser sensor etter

Riktig rekkefølge og mellomregninger som viser hva som skjer.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor hvert ledd i regnerekkefølgen kommer i riktig rekkefølge.

Oppgave 6 · MiddelsTallregning

Regnerekkefølge i et uttrykk

Oppgave:

Regn ut uttrykket (13+5)⋅2−10(13+5)\cdot 2-10. Vis tydelig hvilken regnerekkefølge du bruker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn parentesen

(13+5)=18(13+5)=18

Parenteser regnes før multiplikasjon og subtraksjon.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

(13+5)⋅2−10=(18)⋅2−10(13+5)\cdot 2-10=(18)\cdot 2-10

Når parentesen er regnet ut, blir uttrykket enklere å lese.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

18⋅2=3618\cdot 2=36

Multiplikasjon kommer før subtraksjon i regnerekkefølgen.

Steg 4 — Sett inn produktet

36−1036-10

Vi erstatter multiplikasjonen med tallet vi fant.

Steg 5 — Trekk fra til slutt

36−10=2636-10=26

Subtraksjonen står igjen når parentes og multiplikasjon er ferdig.

Steg 6 — Kontroller størrelsen

26>026>0

Svaret bør være positivt fordi produktet er større enn tallet vi trekker fra.

Vanlig feil: Å regne fra venstre mot høyre uten å ta parentesen først gir feil svar.

Tolkning

Svaret er verdien av hele uttrykket, ikke bare verdien av parentesen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
(13+5)*2-10
→ 2626

Kontroll i Python

Python-kontroll

resultat = (13+5)*2-10
print(resultat)
Fasit: Verdien av uttrykket er 2626. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Parenteser først, deretter potenser, multiplikasjon/divisjon og til slutt addisjon/subtraksjon.

Vanlige feil

Mange hopper over parentesen eller gjør subtraksjonen for tidlig.

Dette ser sensor etter

Riktig rekkefølge og mellomregninger som viser hva som skjer.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor hvert ledd i regnerekkefølgen kommer i riktig rekkefølge.

Oppgave 7 · MiddelsTallregning

Regnerekkefølge i et uttrykk

Oppgave:

Regn ut uttrykket (14+7)⋅3−4(14+7)\cdot 3-4. Vis tydelig hvilken regnerekkefølge du bruker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn parentesen

(14+7)=21(14+7)=21

Parenteser regnes før multiplikasjon og subtraksjon.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

(14+7)⋅3−4=(21)⋅3−4(14+7)\cdot 3-4=(21)\cdot 3-4

Når parentesen er regnet ut, blir uttrykket enklere å lese.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

21⋅3=6321\cdot 3=63

Multiplikasjon kommer før subtraksjon i regnerekkefølgen.

Steg 4 — Sett inn produktet

63−463-4

Vi erstatter multiplikasjonen med tallet vi fant.

Steg 5 — Trekk fra til slutt

63−4=5963-4=59

Subtraksjonen står igjen når parentes og multiplikasjon er ferdig.

Steg 6 — Kontroller størrelsen

59>059>0

Svaret bør være positivt fordi produktet er større enn tallet vi trekker fra.

Vanlig feil: Å regne fra venstre mot høyre uten å ta parentesen først gir feil svar.

Tolkning

Svaret er verdien av hele uttrykket, ikke bare verdien av parentesen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
(14+7)*3-4
→ 5959

Kontroll i Python

Python-kontroll

resultat = (14+7)*3-4
print(resultat)
Fasit: Verdien av uttrykket er 5959. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Parenteser først, deretter potenser, multiplikasjon/divisjon og til slutt addisjon/subtraksjon.

Vanlige feil

Mange hopper over parentesen eller gjør subtraksjonen for tidlig.

Dette ser sensor etter

Riktig rekkefølge og mellomregninger som viser hva som skjer.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor hvert ledd i regnerekkefølgen kommer i riktig rekkefølge.

Oppgave 8 · MiddelsTallregning

Regnerekkefølge i et uttrykk

Oppgave:

Regn ut uttrykket (8+9)⋅4−7(8+9)\cdot 4-7. Vis tydelig hvilken regnerekkefølge du bruker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn parentesen

(8+9)=17(8+9)=17

Parenteser regnes før multiplikasjon og subtraksjon.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

(8+9)⋅4−7=(17)⋅4−7(8+9)\cdot 4-7=(17)\cdot 4-7

Når parentesen er regnet ut, blir uttrykket enklere å lese.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

17⋅4=6817\cdot 4=68

Multiplikasjon kommer før subtraksjon i regnerekkefølgen.

Steg 4 — Sett inn produktet

68−768-7

Vi erstatter multiplikasjonen med tallet vi fant.

Steg 5 — Trekk fra til slutt

68−7=6168-7=61

Subtraksjonen står igjen når parentes og multiplikasjon er ferdig.

Steg 6 — Kontroller størrelsen

61>061>0

Svaret bør være positivt fordi produktet er større enn tallet vi trekker fra.

Vanlig feil: Å regne fra venstre mot høyre uten å ta parentesen først gir feil svar.

Tolkning

Svaret er verdien av hele uttrykket, ikke bare verdien av parentesen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
(8+9)*4-7
→ 6161

Kontroll i Python

Python-kontroll

resultat = (8+9)*4-7
print(resultat)
Fasit: Verdien av uttrykket er 6161. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Parenteser først, deretter potenser, multiplikasjon/divisjon og til slutt addisjon/subtraksjon.

Vanlige feil

Mange hopper over parentesen eller gjør subtraksjonen for tidlig.

Dette ser sensor etter

Riktig rekkefølge og mellomregninger som viser hva som skjer.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor hvert ledd i regnerekkefølgen kommer i riktig rekkefølge.

Oppgave 9 · KrevendeTallregning

Regnerekkefølge i et uttrykk

Oppgave:

Regn ut uttrykket (9+3)⋅5−10(9+3)\cdot 5-10. Vis tydelig hvilken regnerekkefølge du bruker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn parentesen

(9+3)=12(9+3)=12

Parenteser regnes før multiplikasjon og subtraksjon.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

(9+3)⋅5−10=(12)⋅5−10(9+3)\cdot 5-10=(12)\cdot 5-10

Når parentesen er regnet ut, blir uttrykket enklere å lese.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

12⋅5=6012\cdot 5=60

Multiplikasjon kommer før subtraksjon i regnerekkefølgen.

Steg 4 — Sett inn produktet

60−1060-10

Vi erstatter multiplikasjonen med tallet vi fant.

Steg 5 — Trekk fra til slutt

60−10=5060-10=50

Subtraksjonen står igjen når parentes og multiplikasjon er ferdig.

Steg 6 — Kontroller størrelsen

50>050>0

Svaret bør være positivt fordi produktet er større enn tallet vi trekker fra.

Vanlig feil: Å regne fra venstre mot høyre uten å ta parentesen først gir feil svar.

Tolkning

Svaret er verdien av hele uttrykket, ikke bare verdien av parentesen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
(9+3)*5-10
→ 5050

Kontroll i Python

Python-kontroll

resultat = (9+3)*5-10
print(resultat)
Fasit: Verdien av uttrykket er 5050. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Parenteser først, deretter potenser, multiplikasjon/divisjon og til slutt addisjon/subtraksjon.

Vanlige feil

Mange hopper over parentesen eller gjør subtraksjonen for tidlig.

Dette ser sensor etter

Riktig rekkefølge og mellomregninger som viser hva som skjer.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor hvert ledd i regnerekkefølgen kommer i riktig rekkefølge.

Oppgave 10 · KrevendeTallregning

Regnerekkefølge i et uttrykk

Oppgave:

Regn ut uttrykket (10+5)⋅6−4(10+5)\cdot 6-4. Vis tydelig hvilken regnerekkefølge du bruker.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn parentesen

(10+5)=15(10+5)=15

Parenteser regnes før multiplikasjon og subtraksjon.

Steg 2 — Skriv uttrykket på nytt

(10+5)⋅6−4=(15)⋅6−4(10+5)\cdot 6-4=(15)\cdot 6-4

Når parentesen er regnet ut, blir uttrykket enklere å lese.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

15⋅6=9015\cdot 6=90

Multiplikasjon kommer før subtraksjon i regnerekkefølgen.

Steg 4 — Sett inn produktet

90−490-4

Vi erstatter multiplikasjonen med tallet vi fant.

Steg 5 — Trekk fra til slutt

90−4=8690-4=86

Subtraksjonen står igjen når parentes og multiplikasjon er ferdig.

Steg 6 — Kontroller størrelsen

86>086>0

Svaret bør være positivt fordi produktet er større enn tallet vi trekker fra.

Vanlig feil: Å regne fra venstre mot høyre uten å ta parentesen først gir feil svar.

Tolkning

Svaret er verdien av hele uttrykket, ikke bare verdien av parentesen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
(10+5)*6-4
→ 8686

Kontroll i Python

Python-kontroll

resultat = (10+5)*6-4
print(resultat)
Fasit: Verdien av uttrykket er 8686. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Parenteser først, deretter potenser, multiplikasjon/divisjon og til slutt addisjon/subtraksjon.

Vanlige feil

Mange hopper over parentesen eller gjør subtraksjonen for tidlig.

Dette ser sensor etter

Riktig rekkefølge og mellomregninger som viser hva som skjer.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor hvert ledd i regnerekkefølgen kommer i riktig rekkefølge.

Prosent og prosentvis vekst 8 oppgaver

Oppgave 11 · LettProsent og prosentvis vekst

Prosentvis endring i pris

Oppgave:

En vare koster 1500 kr1500\text{ kr}. Prisen settes ned med 25 %25\,\%. Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn prosentfaktoren

1−25100=0,751-\dfrac{25}{100}=0{,}75

En prosentvis endring kan regnes raskt med en vekstfaktor.

Steg 2 — Knytt faktoren til situasjonen

1500⋅0,751500\cdot 0{,}75

Startprisen multipliseres med faktoren fordi hele prisen endres i én operasjon.

Steg 3 — Regn ut produktet

1500⋅0,75=11251500\cdot 0{,}75=1125

Produktet gir ny pris etter endringen.

Steg 4 — Skriv med kroner

1125 kr1125\text{ kr}

I en praktisk prisoppgave må svaret ha enhet.

Steg 5 — Kontroller med endringsbeløp

25100⋅1500=375\dfrac{25}{100}\cdot 1500=375

Endringsbeløpet skal passe med forskjellen mellom gammel og ny pris.

Steg 6 — Sammenlign med startprisen

1125<15001125 < 1500

Ved økning skal ny pris bli høyere, og ved avslag skal den bli lavere.

Vanlig feil: Å bruke prosenttallet som et vanlig tall, for eksempel å gange med 12 i stedet for 0,12.

Tolkning

Den nye prisen er prisen etter hele prosentendringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
1500*0.75
→ 11251125

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 1500
r = 25/100
ny_pris = pris*(1-r)
print(round(ny_pris, 2))
Fasit: Den nye prisen er 1125 kr1125\text{ kr}. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Prosentfaktor ved økning er 1+p1001+\dfrac{p}{100}, og ved nedgang 1−p1001-\dfrac{p}{100}.

Vanlige feil

Det vanligste er å blande prosent, prosentpoeng og prosentfaktor.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt prosentfaktor og tydelig enhet.

For høy måloppnåelse

Vis både faktor-metoden og kontroll med endringsbeløpet.

Oppgave 12 · MiddelsProsent og prosentvis vekst

Prosentvis endring i pris

Oppgave:

En vare koster 1800 kr1800\text{ kr}. Prisen øker med 8 %8\,\%. Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn prosentfaktoren

1+8100=1,081+\dfrac{8}{100}=1{,}08

En prosentvis endring kan regnes raskt med en vekstfaktor.

Steg 2 — Knytt faktoren til situasjonen

1800⋅1,081800\cdot 1{,}08

Startprisen multipliseres med faktoren fordi hele prisen endres i én operasjon.

Steg 3 — Regn ut produktet

1800⋅1,08=19441800\cdot 1{,}08=1944

Produktet gir ny pris etter endringen.

Steg 4 — Skriv med kroner

1944 kr1944\text{ kr}

I en praktisk prisoppgave må svaret ha enhet.

Steg 5 — Kontroller med endringsbeløp

8100⋅1800=144\dfrac{8}{100}\cdot 1800=144

Endringsbeløpet skal passe med forskjellen mellom gammel og ny pris.

Steg 6 — Sammenlign med startprisen

1944>18001944 > 1800

Ved økning skal ny pris bli høyere, og ved avslag skal den bli lavere.

Vanlig feil: Å bruke prosenttallet som et vanlig tall, for eksempel å gange med 12 i stedet for 0,12.

Tolkning

Den nye prisen er prisen etter hele prosentendringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
1800*1.08
→ 19441944

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 1800
r = 8/100
ny_pris = pris*(1+r)
print(round(ny_pris, 2))
Fasit: Den nye prisen er 1944 kr1944\text{ kr}. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Prosentfaktor ved økning er 1+p1001+\dfrac{p}{100}, og ved nedgang 1−p1001-\dfrac{p}{100}.

Vanlige feil

Det vanligste er å blande prosent, prosentpoeng og prosentfaktor.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt prosentfaktor og tydelig enhet.

For høy måloppnåelse

Vis både faktor-metoden og kontroll med endringsbeløpet.

Oppgave 13 · MiddelsProsent og prosentvis vekst

Prosentvis endring i pris

Oppgave:

En vare koster 2400 kr2400\text{ kr}. Prisen settes ned med 15 %15\,\%. Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn prosentfaktoren

1−15100=0,851-\dfrac{15}{100}=0{,}85

En prosentvis endring kan regnes raskt med en vekstfaktor.

Steg 2 — Knytt faktoren til situasjonen

2400⋅0,852400\cdot 0{,}85

Startprisen multipliseres med faktoren fordi hele prisen endres i én operasjon.

Steg 3 — Regn ut produktet

2400⋅0,85=20402400\cdot 0{,}85=2040

Produktet gir ny pris etter endringen.

Steg 4 — Skriv med kroner

2040 kr2040\text{ kr}

I en praktisk prisoppgave må svaret ha enhet.

Steg 5 — Kontroller med endringsbeløp

15100⋅2400=360\dfrac{15}{100}\cdot 2400=360

Endringsbeløpet skal passe med forskjellen mellom gammel og ny pris.

Steg 6 — Sammenlign med startprisen

2040<24002040 < 2400

Ved økning skal ny pris bli høyere, og ved avslag skal den bli lavere.

Vanlig feil: Å bruke prosenttallet som et vanlig tall, for eksempel å gange med 12 i stedet for 0,12.

Tolkning

Den nye prisen er prisen etter hele prosentendringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
2400*0.85
→ 20402040

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 2400
r = 15/100
ny_pris = pris*(1-r)
print(round(ny_pris, 2))
Fasit: Den nye prisen er 2040 kr2040\text{ kr}. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Prosentfaktor ved økning er 1+p1001+\dfrac{p}{100}, og ved nedgang 1−p1001-\dfrac{p}{100}.

Vanlige feil

Det vanligste er å blande prosent, prosentpoeng og prosentfaktor.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt prosentfaktor og tydelig enhet.

For høy måloppnåelse

Vis både faktor-metoden og kontroll med endringsbeløpet.

Oppgave 14 · MiddelsProsent og prosentvis vekst

Prosentvis endring i pris

Oppgave:

En vare koster 450 kr450\text{ kr}. Prisen øker med 20 %20\,\%. Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn prosentfaktoren

1+20100=1,21+\dfrac{20}{100}=1{,}2

En prosentvis endring kan regnes raskt med en vekstfaktor.

Steg 2 — Knytt faktoren til situasjonen

450⋅1,2450\cdot 1{,}2

Startprisen multipliseres med faktoren fordi hele prisen endres i én operasjon.

Steg 3 — Regn ut produktet

450⋅1,2=540450\cdot 1{,}2=540

Produktet gir ny pris etter endringen.

Steg 4 — Skriv med kroner

540 kr540\text{ kr}

I en praktisk prisoppgave må svaret ha enhet.

Steg 5 — Kontroller med endringsbeløp

20100⋅450=90\dfrac{20}{100}\cdot 450=90

Endringsbeløpet skal passe med forskjellen mellom gammel og ny pris.

Steg 6 — Sammenlign med startprisen

540>450540 > 450

Ved økning skal ny pris bli høyere, og ved avslag skal den bli lavere.

Vanlig feil: Å bruke prosenttallet som et vanlig tall, for eksempel å gange med 12 i stedet for 0,12.

Tolkning

Den nye prisen er prisen etter hele prosentendringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
450*1.2
→ 540540

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 450
r = 20/100
ny_pris = pris*(1+r)
print(round(ny_pris, 2))
Fasit: Den nye prisen er 540 kr540\text{ kr}. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Prosentfaktor ved økning er 1+p1001+\dfrac{p}{100}, og ved nedgang 1−p1001-\dfrac{p}{100}.

Vanlige feil

Det vanligste er å blande prosent, prosentpoeng og prosentfaktor.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt prosentfaktor og tydelig enhet.

For høy måloppnåelse

Vis både faktor-metoden og kontroll med endringsbeløpet.

Oppgave 15 · MiddelsProsent og prosentvis vekst

Prosentvis endring i pris

Oppgave:

En vare koster 600 kr600\text{ kr}. Prisen settes ned med 30 %30\,\%. Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn prosentfaktoren

1−30100=0,71-\dfrac{30}{100}=0{,}7

En prosentvis endring kan regnes raskt med en vekstfaktor.

Steg 2 — Knytt faktoren til situasjonen

600⋅0,7600\cdot 0{,}7

Startprisen multipliseres med faktoren fordi hele prisen endres i én operasjon.

Steg 3 — Regn ut produktet

600⋅0,7=420600\cdot 0{,}7=420

Produktet gir ny pris etter endringen.

Steg 4 — Skriv med kroner

420 kr420\text{ kr}

I en praktisk prisoppgave må svaret ha enhet.

Steg 5 — Kontroller med endringsbeløp

30100⋅600=180\dfrac{30}{100}\cdot 600=180

Endringsbeløpet skal passe med forskjellen mellom gammel og ny pris.

Steg 6 — Sammenlign med startprisen

420<600420 < 600

Ved økning skal ny pris bli høyere, og ved avslag skal den bli lavere.

Vanlig feil: Å bruke prosenttallet som et vanlig tall, for eksempel å gange med 12 i stedet for 0,12.

Tolkning

Den nye prisen er prisen etter hele prosentendringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
600*0.7
→ 420420

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 600
r = 30/100
ny_pris = pris*(1-r)
print(round(ny_pris, 2))
Fasit: Den nye prisen er 420 kr420\text{ kr}. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Prosentfaktor ved økning er 1+p1001+\dfrac{p}{100}, og ved nedgang 1−p1001-\dfrac{p}{100}.

Vanlige feil

Det vanligste er å blande prosent, prosentpoeng og prosentfaktor.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt prosentfaktor og tydelig enhet.

For høy måloppnåelse

Vis både faktor-metoden og kontroll med endringsbeløpet.

Oppgave 16 · KrevendeProsent og prosentvis vekst

Prosentvis endring i pris

Oppgave:

En vare koster 750 kr750\text{ kr}. Prisen øker med 12 %12\,\%. Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn prosentfaktoren

1+12100=1,121+\dfrac{12}{100}=1{,}12

En prosentvis endring kan regnes raskt med en vekstfaktor.

Steg 2 — Knytt faktoren til situasjonen

750⋅1,12750\cdot 1{,}12

Startprisen multipliseres med faktoren fordi hele prisen endres i én operasjon.

Steg 3 — Regn ut produktet

750⋅1,12=840750\cdot 1{,}12=840

Produktet gir ny pris etter endringen.

Steg 4 — Skriv med kroner

840 kr840\text{ kr}

I en praktisk prisoppgave må svaret ha enhet.

Steg 5 — Kontroller med endringsbeløp

12100⋅750=90\dfrac{12}{100}\cdot 750=90

Endringsbeløpet skal passe med forskjellen mellom gammel og ny pris.

Steg 6 — Sammenlign med startprisen

840>750840 > 750

Ved økning skal ny pris bli høyere, og ved avslag skal den bli lavere.

Vanlig feil: Å bruke prosenttallet som et vanlig tall, for eksempel å gange med 12 i stedet for 0,12.

Tolkning

Den nye prisen er prisen etter hele prosentendringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
750*1.12
→ 840840

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 750
r = 12/100
ny_pris = pris*(1+r)
print(round(ny_pris, 2))
Fasit: Den nye prisen er 840 kr840\text{ kr}. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Prosentfaktor ved økning er 1+p1001+\dfrac{p}{100}, og ved nedgang 1−p1001-\dfrac{p}{100}.

Vanlige feil

Det vanligste er å blande prosent, prosentpoeng og prosentfaktor.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt prosentfaktor og tydelig enhet.

For høy måloppnåelse

Vis både faktor-metoden og kontroll med endringsbeløpet.

Oppgave 17 · KrevendeProsent og prosentvis vekst

Prosentvis endring i pris

Oppgave:

En vare koster 900 kr900\text{ kr}. Prisen settes ned med 18 %18\,\%. Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn prosentfaktoren

1−18100=0,821-\dfrac{18}{100}=0{,}82

En prosentvis endring kan regnes raskt med en vekstfaktor.

Steg 2 — Knytt faktoren til situasjonen

900⋅0,82900\cdot 0{,}82

Startprisen multipliseres med faktoren fordi hele prisen endres i én operasjon.

Steg 3 — Regn ut produktet

900⋅0,82=738900\cdot 0{,}82=738

Produktet gir ny pris etter endringen.

Steg 4 — Skriv med kroner

738 kr738\text{ kr}

I en praktisk prisoppgave må svaret ha enhet.

Steg 5 — Kontroller med endringsbeløp

18100⋅900=162\dfrac{18}{100}\cdot 900=162

Endringsbeløpet skal passe med forskjellen mellom gammel og ny pris.

Steg 6 — Sammenlign med startprisen

738<900738 < 900

Ved økning skal ny pris bli høyere, og ved avslag skal den bli lavere.

Vanlig feil: Å bruke prosenttallet som et vanlig tall, for eksempel å gange med 12 i stedet for 0,12.

Tolkning

Den nye prisen er prisen etter hele prosentendringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
900*0.8200000000000001
→ 738738

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 900
r = 18/100
ny_pris = pris*(1-r)
print(round(ny_pris, 2))
Fasit: Den nye prisen er 738 kr738\text{ kr}. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Prosentfaktor ved økning er 1+p1001+\dfrac{p}{100}, og ved nedgang 1−p1001-\dfrac{p}{100}.

Vanlige feil

Det vanligste er å blande prosent, prosentpoeng og prosentfaktor.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt prosentfaktor og tydelig enhet.

For høy måloppnåelse

Vis både faktor-metoden og kontroll med endringsbeløpet.

Oppgave 18 · LettProsent og prosentvis vekst

Prosentvis endring i pris

Oppgave:

En vare koster 1200 kr1200\text{ kr}. Prisen øker med 25 %25\,\%. Finn den nye prisen.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn prosentfaktoren

1+25100=1,251+\dfrac{25}{100}=1{,}25

En prosentvis endring kan regnes raskt med en vekstfaktor.

Steg 2 — Knytt faktoren til situasjonen

1200⋅1,251200\cdot 1{,}25

Startprisen multipliseres med faktoren fordi hele prisen endres i én operasjon.

Steg 3 — Regn ut produktet

1200⋅1,25=15001200\cdot 1{,}25=1500

Produktet gir ny pris etter endringen.

Steg 4 — Skriv med kroner

1500 kr1500\text{ kr}

I en praktisk prisoppgave må svaret ha enhet.

Steg 5 — Kontroller med endringsbeløp

25100⋅1200=300\dfrac{25}{100}\cdot 1200=300

Endringsbeløpet skal passe med forskjellen mellom gammel og ny pris.

Steg 6 — Sammenlign med startprisen

1500>12001500 > 1200

Ved økning skal ny pris bli høyere, og ved avslag skal den bli lavere.

Vanlig feil: Å bruke prosenttallet som et vanlig tall, for eksempel å gange med 12 i stedet for 0,12.

Tolkning

Den nye prisen er prisen etter hele prosentendringen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
1200*1.25
→ 15001500

Kontroll i Python

Python-kontroll

pris = 1200
r = 25/100
ny_pris = pris*(1+r)
print(round(ny_pris, 2))
Fasit: Den nye prisen er 1500 kr1500\text{ kr}. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Prosentfaktor ved økning er 1+p1001+\dfrac{p}{100}, og ved nedgang 1−p1001-\dfrac{p}{100}.

Vanlige feil

Det vanligste er å blande prosent, prosentpoeng og prosentfaktor.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter korrekt prosentfaktor og tydelig enhet.

For høy måloppnåelse

Vis både faktor-metoden og kontroll med endringsbeløpet.

Potenser og rotuttrykk 9 oppgaver

Oppgave 19 · MiddelsPotenser og rotuttrykk

Tall på standardform

Oppgave:

Tallet er skrevet på standardform som 5,2⋅1035{,}2\cdot 10^3. Skriv tallet som et vanlig desimaltall.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les standardformen

5,2⋅1035{,}2\cdot 10^3

Et tall på standardform består av et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens.

Steg 2 — Tolk tierpotensen

103=100010^3=1000

Tierpotensen forteller hvor mange plasser kommaet flyttes.

Steg 3 — Flytt kommaet

5,2⋅103=52005{,}2\cdot 10^3=5200

Når eksponenten er positiv, flytter vi kommaet mot høyre.

Steg 4 — Sjekk antall nuller/plasser

5,2→52005{,}2\rightarrow 5200

Antall plasser skal stemme med eksponenten.

Steg 5 — Skriv uten standardform

52005200

Oppgaven ber om vanlig tall, ikke standardform.

Steg 6 — Rimelighetskontroll

5200>10005200>1000

Fordi faktoren er større enn 1, må svaret være større enn selve tierpotensen.

Vanlig feil: Å legge til n nuller mekanisk uten å se hvor kommaet står i desimaltallet.

Tolkning

Tallet beskriver samme størrelse, bare skrevet med en annen notasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
5.2*103
→ 52005200

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import Rational
verdi = Rational(52, 10)*10**3
print(verdi)
Fasit: 5,2⋅103=52005{,}2\cdot 10^3=5200. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Standardform er a⋅10na\cdot 10^n, der 1≤a<101\le a<10.

Vanlige feil

Kommaflytting blir ofte én plass for kort eller for langt.

Dette ser sensor etter

Riktig tolkning av tierpotensen og korrekt sluttform.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor standardform er nyttig for svært store eller små tall.

Oppgave 20 · MiddelsPotenser og rotuttrykk

Tall på standardform

Oppgave:

Tallet er skrevet på standardform som 6,5⋅1056{,}5\cdot 10^5. Skriv tallet som et vanlig desimaltall.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les standardformen

6,5⋅1056{,}5\cdot 10^5

Et tall på standardform består av et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens.

Steg 2 — Tolk tierpotensen

105=10000010^5=100000

Tierpotensen forteller hvor mange plasser kommaet flyttes.

Steg 3 — Flytt kommaet

6,5⋅105=6500006{,}5\cdot 10^5=650000

Når eksponenten er positiv, flytter vi kommaet mot høyre.

Steg 4 — Sjekk antall nuller/plasser

6,5→6500006{,}5\rightarrow 650000

Antall plasser skal stemme med eksponenten.

Steg 5 — Skriv uten standardform

650000650000

Oppgaven ber om vanlig tall, ikke standardform.

Steg 6 — Rimelighetskontroll

650000>100000650000>100000

Fordi faktoren er større enn 1, må svaret være større enn selve tierpotensen.

Vanlig feil: Å legge til n nuller mekanisk uten å se hvor kommaet står i desimaltallet.

Tolkning

Tallet beskriver samme størrelse, bare skrevet med en annen notasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
6.5*105
→ 650000650000

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import Rational
verdi = Rational(65, 10)*10**5
print(verdi)
Fasit: 6,5⋅105=6500006{,}5\cdot 10^5=650000. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Standardform er a⋅10na\cdot 10^n, der 1≤a<101\le a<10.

Vanlige feil

Kommaflytting blir ofte én plass for kort eller for langt.

Dette ser sensor etter

Riktig tolkning av tierpotensen og korrekt sluttform.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor standardform er nyttig for svært store eller små tall.

Oppgave 21 · MiddelsPotenser og rotuttrykk

Tall på standardform

Oppgave:

Tallet er skrevet på standardform som 7,4⋅1037{,}4\cdot 10^3. Skriv tallet som et vanlig desimaltall.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les standardformen

7,4⋅1037{,}4\cdot 10^3

Et tall på standardform består av et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens.

Steg 2 — Tolk tierpotensen

103=100010^3=1000

Tierpotensen forteller hvor mange plasser kommaet flyttes.

Steg 3 — Flytt kommaet

7,4⋅103=74007{,}4\cdot 10^3=7400

Når eksponenten er positiv, flytter vi kommaet mot høyre.

Steg 4 — Sjekk antall nuller/plasser

7,4→74007{,}4\rightarrow 7400

Antall plasser skal stemme med eksponenten.

Steg 5 — Skriv uten standardform

74007400

Oppgaven ber om vanlig tall, ikke standardform.

Steg 6 — Rimelighetskontroll

7400>10007400>1000

Fordi faktoren er større enn 1, må svaret være større enn selve tierpotensen.

Vanlig feil: Å legge til n nuller mekanisk uten å se hvor kommaet står i desimaltallet.

Tolkning

Tallet beskriver samme størrelse, bare skrevet med en annen notasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
7.4*103
→ 74007400

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import Rational
verdi = Rational(74, 10)*10**3
print(verdi)
Fasit: 7,4⋅103=74007{,}4\cdot 10^3=7400. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Standardform er a⋅10na\cdot 10^n, der 1≤a<101\le a<10.

Vanlige feil

Kommaflytting blir ofte én plass for kort eller for langt.

Dette ser sensor etter

Riktig tolkning av tierpotensen og korrekt sluttform.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor standardform er nyttig for svært store eller små tall.

Oppgave 22 · MiddelsPotenser og rotuttrykk

Tall på standardform

Oppgave:

Tallet er skrevet på standardform som 8,1⋅1058{,}1\cdot 10^5. Skriv tallet som et vanlig desimaltall.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les standardformen

8,1⋅1058{,}1\cdot 10^5

Et tall på standardform består av et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens.

Steg 2 — Tolk tierpotensen

105=10000010^5=100000

Tierpotensen forteller hvor mange plasser kommaet flyttes.

Steg 3 — Flytt kommaet

8,1⋅105=8100008{,}1\cdot 10^5=810000

Når eksponenten er positiv, flytter vi kommaet mot høyre.

Steg 4 — Sjekk antall nuller/plasser

8,1→8100008{,}1\rightarrow 810000

Antall plasser skal stemme med eksponenten.

Steg 5 — Skriv uten standardform

810000810000

Oppgaven ber om vanlig tall, ikke standardform.

Steg 6 — Rimelighetskontroll

810000>100000810000>100000

Fordi faktoren er større enn 1, må svaret være større enn selve tierpotensen.

Vanlig feil: Å legge til n nuller mekanisk uten å se hvor kommaet står i desimaltallet.

Tolkning

Tallet beskriver samme størrelse, bare skrevet med en annen notasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
8.1*105
→ 810000810000

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import Rational
verdi = Rational(81, 10)*10**5
print(verdi)
Fasit: 8,1⋅105=8100008{,}1\cdot 10^5=810000. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Standardform er a⋅10na\cdot 10^n, der 1≤a<101\le a<10.

Vanlige feil

Kommaflytting blir ofte én plass for kort eller for langt.

Dette ser sensor etter

Riktig tolkning av tierpotensen og korrekt sluttform.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor standardform er nyttig for svært store eller små tall.

Oppgave 23 · KrevendePotenser og rotuttrykk

Tall på standardform

Oppgave:

Tallet er skrevet på standardform som 2,4⋅1032{,}4\cdot 10^3. Skriv tallet som et vanlig desimaltall.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les standardformen

2,4⋅1032{,}4\cdot 10^3

Et tall på standardform består av et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens.

Steg 2 — Tolk tierpotensen

103=100010^3=1000

Tierpotensen forteller hvor mange plasser kommaet flyttes.

Steg 3 — Flytt kommaet

2,4⋅103=24002{,}4\cdot 10^3=2400

Når eksponenten er positiv, flytter vi kommaet mot høyre.

Steg 4 — Sjekk antall nuller/plasser

2,4→24002{,}4\rightarrow 2400

Antall plasser skal stemme med eksponenten.

Steg 5 — Skriv uten standardform

24002400

Oppgaven ber om vanlig tall, ikke standardform.

Steg 6 — Rimelighetskontroll

2400>10002400>1000

Fordi faktoren er større enn 1, må svaret være større enn selve tierpotensen.

Vanlig feil: Å legge til n nuller mekanisk uten å se hvor kommaet står i desimaltallet.

Tolkning

Tallet beskriver samme størrelse, bare skrevet med en annen notasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
2.4*103
→ 24002400

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import Rational
verdi = Rational(24, 10)*10**3
print(verdi)
Fasit: 2,4⋅103=24002{,}4\cdot 10^3=2400. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Standardform er a⋅10na\cdot 10^n, der 1≤a<101\le a<10.

Vanlige feil

Kommaflytting blir ofte én plass for kort eller for langt.

Dette ser sensor etter

Riktig tolkning av tierpotensen og korrekt sluttform.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor standardform er nyttig for svært store eller små tall.

Oppgave 24 · KrevendePotenser og rotuttrykk

Tall på standardform

Oppgave:

Tallet er skrevet på standardform som 3,6⋅1053{,}6\cdot 10^5. Skriv tallet som et vanlig desimaltall.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les standardformen

3,6⋅1053{,}6\cdot 10^5

Et tall på standardform består av et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens.

Steg 2 — Tolk tierpotensen

105=10000010^5=100000

Tierpotensen forteller hvor mange plasser kommaet flyttes.

Steg 3 — Flytt kommaet

3,6⋅105=3600003{,}6\cdot 10^5=360000

Når eksponenten er positiv, flytter vi kommaet mot høyre.

Steg 4 — Sjekk antall nuller/plasser

3,6→3600003{,}6\rightarrow 360000

Antall plasser skal stemme med eksponenten.

Steg 5 — Skriv uten standardform

360000360000

Oppgaven ber om vanlig tall, ikke standardform.

Steg 6 — Rimelighetskontroll

360000>100000360000>100000

Fordi faktoren er større enn 1, må svaret være større enn selve tierpotensen.

Vanlig feil: Å legge til n nuller mekanisk uten å se hvor kommaet står i desimaltallet.

Tolkning

Tallet beskriver samme størrelse, bare skrevet med en annen notasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
3.6*105
→ 360000360000

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import Rational
verdi = Rational(36, 10)*10**5
print(verdi)
Fasit: 3,6⋅105=3600003{,}6\cdot 10^5=360000. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Standardform er a⋅10na\cdot 10^n, der 1≤a<101\le a<10.

Vanlige feil

Kommaflytting blir ofte én plass for kort eller for langt.

Dette ser sensor etter

Riktig tolkning av tierpotensen og korrekt sluttform.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor standardform er nyttig for svært store eller små tall.

Oppgave 25 · LettPotenser og rotuttrykk

Tall på standardform

Oppgave:

Tallet er skrevet på standardform som 4,8⋅1034{,}8\cdot 10^3. Skriv tallet som et vanlig desimaltall.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les standardformen

4,8⋅1034{,}8\cdot 10^3

Et tall på standardform består av et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens.

Steg 2 — Tolk tierpotensen

103=100010^3=1000

Tierpotensen forteller hvor mange plasser kommaet flyttes.

Steg 3 — Flytt kommaet

4,8⋅103=48004{,}8\cdot 10^3=4800

Når eksponenten er positiv, flytter vi kommaet mot høyre.

Steg 4 — Sjekk antall nuller/plasser

4,8→48004{,}8\rightarrow 4800

Antall plasser skal stemme med eksponenten.

Steg 5 — Skriv uten standardform

48004800

Oppgaven ber om vanlig tall, ikke standardform.

Steg 6 — Rimelighetskontroll

4800>10004800>1000

Fordi faktoren er større enn 1, må svaret være større enn selve tierpotensen.

Vanlig feil: Å legge til n nuller mekanisk uten å se hvor kommaet står i desimaltallet.

Tolkning

Tallet beskriver samme størrelse, bare skrevet med en annen notasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
4.8*103
→ 48004800

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import Rational
verdi = Rational(48, 10)*10**3
print(verdi)
Fasit: 4,8⋅103=48004{,}8\cdot 10^3=4800. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Standardform er a⋅10na\cdot 10^n, der 1≤a<101\le a<10.

Vanlige feil

Kommaflytting blir ofte én plass for kort eller for langt.

Dette ser sensor etter

Riktig tolkning av tierpotensen og korrekt sluttform.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor standardform er nyttig for svært store eller små tall.

Oppgave 26 · LettPotenser og rotuttrykk

Tall på standardform

Oppgave:

Tallet er skrevet på standardform som 5,2⋅1055{,}2\cdot 10^5. Skriv tallet som et vanlig desimaltall.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les standardformen

5,2⋅1055{,}2\cdot 10^5

Et tall på standardform består av et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens.

Steg 2 — Tolk tierpotensen

105=10000010^5=100000

Tierpotensen forteller hvor mange plasser kommaet flyttes.

Steg 3 — Flytt kommaet

5,2⋅105=5200005{,}2\cdot 10^5=520000

Når eksponenten er positiv, flytter vi kommaet mot høyre.

Steg 4 — Sjekk antall nuller/plasser

5,2→5200005{,}2\rightarrow 520000

Antall plasser skal stemme med eksponenten.

Steg 5 — Skriv uten standardform

520000520000

Oppgaven ber om vanlig tall, ikke standardform.

Steg 6 — Rimelighetskontroll

520000>100000520000>100000

Fordi faktoren er større enn 1, må svaret være større enn selve tierpotensen.

Vanlig feil: Å legge til n nuller mekanisk uten å se hvor kommaet står i desimaltallet.

Tolkning

Tallet beskriver samme størrelse, bare skrevet med en annen notasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
5.2*105
→ 520000520000

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import Rational
verdi = Rational(52, 10)*10**5
print(verdi)
Fasit: 5,2⋅105=5200005{,}2\cdot 10^5=520000. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Standardform er a⋅10na\cdot 10^n, der 1≤a<101\le a<10.

Vanlige feil

Kommaflytting blir ofte én plass for kort eller for langt.

Dette ser sensor etter

Riktig tolkning av tierpotensen og korrekt sluttform.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor standardform er nyttig for svært store eller små tall.

Oppgave 27 · LettPotenser og rotuttrykk

Tall på standardform

Oppgave:

Tallet er skrevet på standardform som 6,5⋅1036{,}5\cdot 10^3. Skriv tallet som et vanlig desimaltall.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les standardformen

6,5⋅1036{,}5\cdot 10^3

Et tall på standardform består av et tall mellom 1 og 10 multiplisert med en tierpotens.

Steg 2 — Tolk tierpotensen

103=100010^3=1000

Tierpotensen forteller hvor mange plasser kommaet flyttes.

Steg 3 — Flytt kommaet

6,5⋅103=65006{,}5\cdot 10^3=6500

Når eksponenten er positiv, flytter vi kommaet mot høyre.

Steg 4 — Sjekk antall nuller/plasser

6,5→65006{,}5\rightarrow 6500

Antall plasser skal stemme med eksponenten.

Steg 5 — Skriv uten standardform

65006500

Oppgaven ber om vanlig tall, ikke standardform.

Steg 6 — Rimelighetskontroll

6500>10006500>1000

Fordi faktoren er større enn 1, må svaret være større enn selve tierpotensen.

Vanlig feil: Å legge til n nuller mekanisk uten å se hvor kommaet står i desimaltallet.

Tolkning

Tallet beskriver samme størrelse, bare skrevet med en annen notasjon.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
6.5*103
→ 65006500

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import Rational
verdi = Rational(65, 10)*10**3
print(verdi)
Fasit: 6,5⋅103=65006{,}5\cdot 10^3=6500. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Standardform er a⋅10na\cdot 10^n, der 1≤a<101\le a<10.

Vanlige feil

Kommaflytting blir ofte én plass for kort eller for langt.

Dette ser sensor etter

Riktig tolkning av tierpotensen og korrekt sluttform.

For høy måloppnåelse

Forklar hvorfor standardform er nyttig for svært store eller små tall.

Bokstavregning og likninger 12 oppgaver

Oppgave 28 · MiddelsBokstavregning og likninger

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen 2x+7=112x+7=11.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se hva som er ukjent

2x+7=112x+7=11

Vi skal finne tallet x som gjør likningen sann.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

2x=11−72x=11-7

Vi trekker fra samme tall på begge sider for å isolere leddet med x.

Steg 3 — Regn høyresiden

2x=42x=4

Nå står x-leddet alene på venstre side.

Steg 4 — Del på koeffisienten

x=42x=\dfrac{4}{2}

Vi deler på tallet som x er ganget med.

Steg 5 — Forkort brøken

x=2x=2

Brøken gir den konkrete løsningen.

Steg 6 — Sett inn og kontroller

2⋅2+7=112\cdot 2+7=11

Når innsettingen gir høyresiden, er løsningen riktig.

Vanlig feil: Å flytte +b+b over som +b+b i stedet for −b-b.

Tolkning

Løsningen er verdien av x, ikke en ny likning.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(2x+7=11, x)
→ x=2x=2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(2*x + 7, 11), x))
Fasit: x=2x=2. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjør samme operasjon på begge sider av likhetstegnet.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved flytting av ledd er den vanligste feilen.

Dette ser sensor etter

Tydelig isolering av x og kontroll ved innsetting.

For høy måloppnåelse

Forklar likhetstegnet som en balanse, ikke som et regnetegn.

Oppgave 29 · MiddelsBokstavregning og likninger

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen 3x+12=273x+12=27.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se hva som er ukjent

3x+12=273x+12=27

Vi skal finne tallet x som gjør likningen sann.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

3x=27−123x=27-12

Vi trekker fra samme tall på begge sider for å isolere leddet med x.

Steg 3 — Regn høyresiden

3x=153x=15

Nå står x-leddet alene på venstre side.

Steg 4 — Del på koeffisienten

x=153x=\dfrac{15}{3}

Vi deler på tallet som x er ganget med.

Steg 5 — Forkort brøken

x=5x=5

Brøken gir den konkrete løsningen.

Steg 6 — Sett inn og kontroller

3⋅5+12=273\cdot 5+12=27

Når innsettingen gir høyresiden, er løsningen riktig.

Vanlig feil: Å flytte +b+b over som +b+b i stedet for −b-b.

Tolkning

Løsningen er verdien av x, ikke en ny likning.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(3x+12=27, x)
→ x=5x=5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(3*x + 12, 27), x))
Fasit: x=5x=5. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjør samme operasjon på begge sider av likhetstegnet.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved flytting av ledd er den vanligste feilen.

Dette ser sensor etter

Tydelig isolering av x og kontroll ved innsetting.

For høy måloppnåelse

Forklar likhetstegnet som en balanse, ikke som et regnetegn.

Oppgave 30 · KrevendeBokstavregning og likninger

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen 4x+6=384x+6=38.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se hva som er ukjent

4x+6=384x+6=38

Vi skal finne tallet x som gjør likningen sann.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

4x=38−64x=38-6

Vi trekker fra samme tall på begge sider for å isolere leddet med x.

Steg 3 — Regn høyresiden

4x=324x=32

Nå står x-leddet alene på venstre side.

Steg 4 — Del på koeffisienten

x=324x=\dfrac{32}{4}

Vi deler på tallet som x er ganget med.

Steg 5 — Forkort brøken

x=8x=8

Brøken gir den konkrete løsningen.

Steg 6 — Sett inn og kontroller

4⋅8+6=384\cdot 8+6=38

Når innsettingen gir høyresiden, er løsningen riktig.

Vanlig feil: Å flytte +b+b over som +b+b i stedet for −b-b.

Tolkning

Løsningen er verdien av x, ikke en ny likning.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(4x+6=38, x)
→ x=8x=8

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(4*x + 6, 38), x))
Fasit: x=8x=8. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjør samme operasjon på begge sider av likhetstegnet.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved flytting av ledd er den vanligste feilen.

Dette ser sensor etter

Tydelig isolering av x og kontroll ved innsetting.

For høy måloppnåelse

Forklar likhetstegnet som en balanse, ikke som et regnetegn.

Oppgave 31 · KrevendeBokstavregning og likninger

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen 5x+11=215x+11=21.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se hva som er ukjent

5x+11=215x+11=21

Vi skal finne tallet x som gjør likningen sann.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

5x=21−115x=21-11

Vi trekker fra samme tall på begge sider for å isolere leddet med x.

Steg 3 — Regn høyresiden

5x=105x=10

Nå står x-leddet alene på venstre side.

Steg 4 — Del på koeffisienten

x=105x=\dfrac{10}{5}

Vi deler på tallet som x er ganget med.

Steg 5 — Forkort brøken

x=2x=2

Brøken gir den konkrete løsningen.

Steg 6 — Sett inn og kontroller

5⋅2+11=215\cdot 2+11=21

Når innsettingen gir høyresiden, er løsningen riktig.

Vanlig feil: Å flytte +b+b over som +b+b i stedet for −b-b.

Tolkning

Løsningen er verdien av x, ikke en ny likning.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(5x+11=21, x)
→ x=2x=2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(5*x + 11, 21), x))
Fasit: x=2x=2. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjør samme operasjon på begge sider av likhetstegnet.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved flytting av ledd er den vanligste feilen.

Dette ser sensor etter

Tydelig isolering av x og kontroll ved innsetting.

For høy måloppnåelse

Forklar likhetstegnet som en balanse, ikke som et regnetegn.

Oppgave 32 · LettBokstavregning og likninger

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen 6x+5=356x+5=35.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se hva som er ukjent

6x+5=356x+5=35

Vi skal finne tallet x som gjør likningen sann.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

6x=35−56x=35-5

Vi trekker fra samme tall på begge sider for å isolere leddet med x.

Steg 3 — Regn høyresiden

6x=306x=30

Nå står x-leddet alene på venstre side.

Steg 4 — Del på koeffisienten

x=306x=\dfrac{30}{6}

Vi deler på tallet som x er ganget med.

Steg 5 — Forkort brøken

x=5x=5

Brøken gir den konkrete løsningen.

Steg 6 — Sett inn og kontroller

6⋅5+5=356\cdot 5+5=35

Når innsettingen gir høyresiden, er løsningen riktig.

Vanlig feil: Å flytte +b+b over som +b+b i stedet for −b-b.

Tolkning

Løsningen er verdien av x, ikke en ny likning.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(6x+5=35, x)
→ x=5x=5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(6*x + 5, 35), x))
Fasit: x=5x=5. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjør samme operasjon på begge sider av likhetstegnet.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved flytting av ledd er den vanligste feilen.

Dette ser sensor etter

Tydelig isolering av x og kontroll ved innsetting.

For høy måloppnåelse

Forklar likhetstegnet som en balanse, ikke som et regnetegn.

Oppgave 33 · LettBokstavregning og likninger

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen 7x+10=667x+10=66.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se hva som er ukjent

7x+10=667x+10=66

Vi skal finne tallet x som gjør likningen sann.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

7x=66−107x=66-10

Vi trekker fra samme tall på begge sider for å isolere leddet med x.

Steg 3 — Regn høyresiden

7x=567x=56

Nå står x-leddet alene på venstre side.

Steg 4 — Del på koeffisienten

x=567x=\dfrac{56}{7}

Vi deler på tallet som x er ganget med.

Steg 5 — Forkort brøken

x=8x=8

Brøken gir den konkrete løsningen.

Steg 6 — Sett inn og kontroller

7⋅8+10=667\cdot 8+10=66

Når innsettingen gir høyresiden, er løsningen riktig.

Vanlig feil: Å flytte +b+b over som +b+b i stedet for −b-b.

Tolkning

Løsningen er verdien av x, ikke en ny likning.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(7x+10=66, x)
→ x=8x=8

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(7*x + 10, 66), x))
Fasit: x=8x=8. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjør samme operasjon på begge sider av likhetstegnet.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved flytting av ledd er den vanligste feilen.

Dette ser sensor etter

Tydelig isolering av x og kontroll ved innsetting.

For høy måloppnåelse

Forklar likhetstegnet som en balanse, ikke som et regnetegn.

Oppgave 34 · LettBokstavregning og likninger

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen 2x+4=82x+4=8.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se hva som er ukjent

2x+4=82x+4=8

Vi skal finne tallet x som gjør likningen sann.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

2x=8−42x=8-4

Vi trekker fra samme tall på begge sider for å isolere leddet med x.

Steg 3 — Regn høyresiden

2x=42x=4

Nå står x-leddet alene på venstre side.

Steg 4 — Del på koeffisienten

x=42x=\dfrac{4}{2}

Vi deler på tallet som x er ganget med.

Steg 5 — Forkort brøken

x=2x=2

Brøken gir den konkrete løsningen.

Steg 6 — Sett inn og kontroller

2⋅2+4=82\cdot 2+4=8

Når innsettingen gir høyresiden, er løsningen riktig.

Vanlig feil: Å flytte +b+b over som +b+b i stedet for −b-b.

Tolkning

Løsningen er verdien av x, ikke en ny likning.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(2x+4=8, x)
→ x=2x=2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(2*x + 4, 8), x))
Fasit: x=2x=2. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjør samme operasjon på begge sider av likhetstegnet.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved flytting av ledd er den vanligste feilen.

Dette ser sensor etter

Tydelig isolering av x og kontroll ved innsetting.

For høy måloppnåelse

Forklar likhetstegnet som en balanse, ikke som et regnetegn.

Oppgave 35 · LettBokstavregning og likninger

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen 3x+9=243x+9=24.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se hva som er ukjent

3x+9=243x+9=24

Vi skal finne tallet x som gjør likningen sann.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

3x=24−93x=24-9

Vi trekker fra samme tall på begge sider for å isolere leddet med x.

Steg 3 — Regn høyresiden

3x=153x=15

Nå står x-leddet alene på venstre side.

Steg 4 — Del på koeffisienten

x=153x=\dfrac{15}{3}

Vi deler på tallet som x er ganget med.

Steg 5 — Forkort brøken

x=5x=5

Brøken gir den konkrete løsningen.

Steg 6 — Sett inn og kontroller

3⋅5+9=243\cdot 5+9=24

Når innsettingen gir høyresiden, er løsningen riktig.

Vanlig feil: Å flytte +b+b over som +b+b i stedet for −b-b.

Tolkning

Løsningen er verdien av x, ikke en ny likning.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(3x+9=24, x)
→ x=5x=5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(3*x + 9, 24), x))
Fasit: x=5x=5. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjør samme operasjon på begge sider av likhetstegnet.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved flytting av ledd er den vanligste feilen.

Dette ser sensor etter

Tydelig isolering av x og kontroll ved innsetting.

For høy måloppnåelse

Forklar likhetstegnet som en balanse, ikke som et regnetegn.

Oppgave 36 · MiddelsBokstavregning og likninger

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen 4x+3=354x+3=35.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se hva som er ukjent

4x+3=354x+3=35

Vi skal finne tallet x som gjør likningen sann.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

4x=35−34x=35-3

Vi trekker fra samme tall på begge sider for å isolere leddet med x.

Steg 3 — Regn høyresiden

4x=324x=32

Nå står x-leddet alene på venstre side.

Steg 4 — Del på koeffisienten

x=324x=\dfrac{32}{4}

Vi deler på tallet som x er ganget med.

Steg 5 — Forkort brøken

x=8x=8

Brøken gir den konkrete løsningen.

Steg 6 — Sett inn og kontroller

4⋅8+3=354\cdot 8+3=35

Når innsettingen gir høyresiden, er løsningen riktig.

Vanlig feil: Å flytte +b+b over som +b+b i stedet for −b-b.

Tolkning

Løsningen er verdien av x, ikke en ny likning.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(4x+3=35, x)
→ x=8x=8

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(4*x + 3, 35), x))
Fasit: x=8x=8. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjør samme operasjon på begge sider av likhetstegnet.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved flytting av ledd er den vanligste feilen.

Dette ser sensor etter

Tydelig isolering av x og kontroll ved innsetting.

For høy måloppnåelse

Forklar likhetstegnet som en balanse, ikke som et regnetegn.

Oppgave 37 · MiddelsBokstavregning og likninger

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen 5x+8=185x+8=18.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se hva som er ukjent

5x+8=185x+8=18

Vi skal finne tallet x som gjør likningen sann.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

5x=18−85x=18-8

Vi trekker fra samme tall på begge sider for å isolere leddet med x.

Steg 3 — Regn høyresiden

5x=105x=10

Nå står x-leddet alene på venstre side.

Steg 4 — Del på koeffisienten

x=105x=\dfrac{10}{5}

Vi deler på tallet som x er ganget med.

Steg 5 — Forkort brøken

x=2x=2

Brøken gir den konkrete løsningen.

Steg 6 — Sett inn og kontroller

5⋅2+8=185\cdot 2+8=18

Når innsettingen gir høyresiden, er løsningen riktig.

Vanlig feil: Å flytte +b+b over som +b+b i stedet for −b-b.

Tolkning

Løsningen er verdien av x, ikke en ny likning.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(5x+8=18, x)
→ x=2x=2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(5*x + 8, 18), x))
Fasit: x=2x=2. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjør samme operasjon på begge sider av likhetstegnet.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved flytting av ledd er den vanligste feilen.

Dette ser sensor etter

Tydelig isolering av x og kontroll ved innsetting.

For høy måloppnåelse

Forklar likhetstegnet som en balanse, ikke som et regnetegn.

Oppgave 38 · MiddelsBokstavregning og likninger

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen 6x+13=436x+13=43.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se hva som er ukjent

6x+13=436x+13=43

Vi skal finne tallet x som gjør likningen sann.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

6x=43−136x=43-13

Vi trekker fra samme tall på begge sider for å isolere leddet med x.

Steg 3 — Regn høyresiden

6x=306x=30

Nå står x-leddet alene på venstre side.

Steg 4 — Del på koeffisienten

x=306x=\dfrac{30}{6}

Vi deler på tallet som x er ganget med.

Steg 5 — Forkort brøken

x=5x=5

Brøken gir den konkrete løsningen.

Steg 6 — Sett inn og kontroller

6⋅5+13=436\cdot 5+13=43

Når innsettingen gir høyresiden, er løsningen riktig.

Vanlig feil: Å flytte +b+b over som +b+b i stedet for −b-b.

Tolkning

Løsningen er verdien av x, ikke en ny likning.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(6x+13=43, x)
→ x=5x=5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(6*x + 13, 43), x))
Fasit: x=5x=5. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjør samme operasjon på begge sider av likhetstegnet.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved flytting av ledd er den vanligste feilen.

Dette ser sensor etter

Tydelig isolering av x og kontroll ved innsetting.

For høy måloppnåelse

Forklar likhetstegnet som en balanse, ikke som et regnetegn.

Oppgave 39 · MiddelsBokstavregning og likninger

Løs en lineær likning

Oppgave:

Løs likningen 7x+7=637x+7=63.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se hva som er ukjent

7x+7=637x+7=63

Vi skal finne tallet x som gjør likningen sann.

Steg 2 — Flytt konstantleddet

7x=63−77x=63-7

Vi trekker fra samme tall på begge sider for å isolere leddet med x.

Steg 3 — Regn høyresiden

7x=567x=56

Nå står x-leddet alene på venstre side.

Steg 4 — Del på koeffisienten

x=567x=\dfrac{56}{7}

Vi deler på tallet som x er ganget med.

Steg 5 — Forkort brøken

x=8x=8

Brøken gir den konkrete løsningen.

Steg 6 — Sett inn og kontroller

7⋅8+7=637\cdot 8+7=63

Når innsettingen gir høyresiden, er løsningen riktig.

Vanlig feil: Å flytte +b+b over som +b+b i stedet for −b-b.

Tolkning

Løsningen er verdien av x, ikke en ny likning.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(7x+7=63, x)
→ x=8x=8

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(7*x + 7, 63), x))
Fasit: x=8x=8. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Gjør samme operasjon på begge sider av likhetstegnet.

Vanlige feil

Fortegnsfeil ved flytting av ledd er den vanligste feilen.

Dette ser sensor etter

Tydelig isolering av x og kontroll ved innsetting.

For høy måloppnåelse

Forklar likhetstegnet som en balanse, ikke som et regnetegn.

Faktorisering 7 oppgaver

Oppgave 40 · LettFaktorisering

Faktoriser et andregradsuttrykk

Oppgave:

Faktoriser uttrykket x2−4x+4x^2-4x+4.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se etter to tall

x2−4x+4x^2-4x+4

Når koeffisienten foran x2x^2 er 1, kan vi lete etter to tall direkte.

Steg 2 — Sett krav til tallene

r1+r2=4,r1⋅r2=4r_1+r_2=4,\quad r_1\cdot r_2=4

Tallene skal gi konstantleddet når de ganges, og x-koeffisienten når de summeres.

Steg 3 — Finn tallene

2+2=4,2⋅2=42+2=4,\quad 2\cdot 2=4

Disse tallene passer begge kravene.

Steg 4 — Husk fortegnet

x2−4x+4=(x−2)(x−2)x^2-4x+4=(x-2)(x-2)

Siden midtleddet er negativt og konstantleddet positivt, er begge fortegn negative.

Steg 5 — Kontroller ved utviding

(x−2)(x−2)=x2−4x+4(x-2)(x-2)=x^2-4x+4

Utviding skal gi tilbake det opprinnelige uttrykket.

Steg 6 — Skriv faktorisert form

(x−2)(x−2)(x-2)(x-2)

Faktorisert form viser produktet av to førstegradsfaktorer.

Vanlig feil: Å finne riktige tall, men sette feil fortegn i parentesene.

Tolkning

Faktorisering gjør uttrykket om fra sumform til produktform.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Factor(x2-4x+4)
→ (x−2)(x−2)(x-2)(x-2)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
print(factor(x**2 - 4*x + 4))
Fasit: x2−4x+4=(x−2)(x−2)x^2-4x+4=(x-2)(x-2). (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For x2−bx+cx^2-bx+c leter vi etter tall med sum bb og produkt cc.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktorene gir feil midtledd.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter både valg av tall og kontroll ved utviding.

For høy måloppnåelse

Knytt faktoriseringen til nullpunktene til en parabel.

Oppgave 41 · LettFaktorisering

Faktoriser et andregradsuttrykk

Oppgave:

Faktoriser uttrykket x2−7x+12x^2-7x+12.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se etter to tall

x2−7x+12x^2-7x+12

Når koeffisienten foran x2x^2 er 1, kan vi lete etter to tall direkte.

Steg 2 — Sett krav til tallene

r1+r2=7,r1⋅r2=12r_1+r_2=7,\quad r_1\cdot r_2=12

Tallene skal gi konstantleddet når de ganges, og x-koeffisienten når de summeres.

Steg 3 — Finn tallene

3+4=7,3⋅4=123+4=7,\quad 3\cdot 4=12

Disse tallene passer begge kravene.

Steg 4 — Husk fortegnet

x2−7x+12=(x−3)(x−4)x^2-7x+12=(x-3)(x-4)

Siden midtleddet er negativt og konstantleddet positivt, er begge fortegn negative.

Steg 5 — Kontroller ved utviding

(x−3)(x−4)=x2−7x+12(x-3)(x-4)=x^2-7x+12

Utviding skal gi tilbake det opprinnelige uttrykket.

Steg 6 — Skriv faktorisert form

(x−3)(x−4)(x-3)(x-4)

Faktorisert form viser produktet av to førstegradsfaktorer.

Vanlig feil: Å finne riktige tall, men sette feil fortegn i parentesene.

Tolkning

Faktorisering gjør uttrykket om fra sumform til produktform.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Factor(x2-7x+12)
→ (x−3)(x−4)(x-3)(x-4)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
print(factor(x**2 - 7*x + 12))
Fasit: x2−7x+12=(x−3)(x−4)x^2-7x+12=(x-3)(x-4). (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For x2−bx+cx^2-bx+c leter vi etter tall med sum bb og produkt cc.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktorene gir feil midtledd.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter både valg av tall og kontroll ved utviding.

For høy måloppnåelse

Knytt faktoriseringen til nullpunktene til en parabel.

Oppgave 42 · LettFaktorisering

Faktoriser et andregradsuttrykk

Oppgave:

Faktoriser uttrykket x2−10x+24x^2-10x+24.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se etter to tall

x2−10x+24x^2-10x+24

Når koeffisienten foran x2x^2 er 1, kan vi lete etter to tall direkte.

Steg 2 — Sett krav til tallene

r1+r2=10,r1⋅r2=24r_1+r_2=10,\quad r_1\cdot r_2=24

Tallene skal gi konstantleddet når de ganges, og x-koeffisienten når de summeres.

Steg 3 — Finn tallene

4+6=10,4⋅6=244+6=10,\quad 4\cdot 6=24

Disse tallene passer begge kravene.

Steg 4 — Husk fortegnet

x2−10x+24=(x−4)(x−6)x^2-10x+24=(x-4)(x-6)

Siden midtleddet er negativt og konstantleddet positivt, er begge fortegn negative.

Steg 5 — Kontroller ved utviding

(x−4)(x−6)=x2−10x+24(x-4)(x-6)=x^2-10x+24

Utviding skal gi tilbake det opprinnelige uttrykket.

Steg 6 — Skriv faktorisert form

(x−4)(x−6)(x-4)(x-6)

Faktorisert form viser produktet av to førstegradsfaktorer.

Vanlig feil: Å finne riktige tall, men sette feil fortegn i parentesene.

Tolkning

Faktorisering gjør uttrykket om fra sumform til produktform.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Factor(x2-10x+24)
→ (x−4)(x−6)(x-4)(x-6)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
print(factor(x**2 - 10*x + 24))
Fasit: x2−10x+24=(x−4)(x−6)x^2-10x+24=(x-4)(x-6). (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For x2−bx+cx^2-bx+c leter vi etter tall med sum bb og produkt cc.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktorene gir feil midtledd.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter både valg av tall og kontroll ved utviding.

For høy måloppnåelse

Knytt faktoriseringen til nullpunktene til en parabel.

Oppgave 43 · MiddelsFaktorisering

Faktoriser et andregradsuttrykk

Oppgave:

Faktoriser uttrykket x2−7x+10x^2-7x+10.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se etter to tall

x2−7x+10x^2-7x+10

Når koeffisienten foran x2x^2 er 1, kan vi lete etter to tall direkte.

Steg 2 — Sett krav til tallene

r1+r2=7,r1⋅r2=10r_1+r_2=7,\quad r_1\cdot r_2=10

Tallene skal gi konstantleddet når de ganges, og x-koeffisienten når de summeres.

Steg 3 — Finn tallene

5+2=7,5⋅2=105+2=7,\quad 5\cdot 2=10

Disse tallene passer begge kravene.

Steg 4 — Husk fortegnet

x2−7x+10=(x−5)(x−2)x^2-7x+10=(x-5)(x-2)

Siden midtleddet er negativt og konstantleddet positivt, er begge fortegn negative.

Steg 5 — Kontroller ved utviding

(x−5)(x−2)=x2−7x+10(x-5)(x-2)=x^2-7x+10

Utviding skal gi tilbake det opprinnelige uttrykket.

Steg 6 — Skriv faktorisert form

(x−5)(x−2)(x-5)(x-2)

Faktorisert form viser produktet av to førstegradsfaktorer.

Vanlig feil: Å finne riktige tall, men sette feil fortegn i parentesene.

Tolkning

Faktorisering gjør uttrykket om fra sumform til produktform.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Factor(x2-7x+10)
→ (x−5)(x−2)(x-5)(x-2)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
print(factor(x**2 - 7*x + 10))
Fasit: x2−7x+10=(x−5)(x−2)x^2-7x+10=(x-5)(x-2). (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For x2−bx+cx^2-bx+c leter vi etter tall med sum bb og produkt cc.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktorene gir feil midtledd.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter både valg av tall og kontroll ved utviding.

For høy måloppnåelse

Knytt faktoriseringen til nullpunktene til en parabel.

Oppgave 44 · MiddelsFaktorisering

Faktoriser et andregradsuttrykk

Oppgave:

Faktoriser uttrykket x2−5x+4x^2-5x+4.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se etter to tall

x2−5x+4x^2-5x+4

Når koeffisienten foran x2x^2 er 1, kan vi lete etter to tall direkte.

Steg 2 — Sett krav til tallene

r1+r2=5,r1⋅r2=4r_1+r_2=5,\quad r_1\cdot r_2=4

Tallene skal gi konstantleddet når de ganges, og x-koeffisienten når de summeres.

Steg 3 — Finn tallene

1+4=5,1⋅4=41+4=5,\quad 1\cdot 4=4

Disse tallene passer begge kravene.

Steg 4 — Husk fortegnet

x2−5x+4=(x−1)(x−4)x^2-5x+4=(x-1)(x-4)

Siden midtleddet er negativt og konstantleddet positivt, er begge fortegn negative.

Steg 5 — Kontroller ved utviding

(x−1)(x−4)=x2−5x+4(x-1)(x-4)=x^2-5x+4

Utviding skal gi tilbake det opprinnelige uttrykket.

Steg 6 — Skriv faktorisert form

(x−1)(x−4)(x-1)(x-4)

Faktorisert form viser produktet av to førstegradsfaktorer.

Vanlig feil: Å finne riktige tall, men sette feil fortegn i parentesene.

Tolkning

Faktorisering gjør uttrykket om fra sumform til produktform.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Factor(x2-5x+4)
→ (x−1)(x−4)(x-1)(x-4)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
print(factor(x**2 - 5*x + 4))
Fasit: x2−5x+4=(x−1)(x−4)x^2-5x+4=(x-1)(x-4). (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For x2−bx+cx^2-bx+c leter vi etter tall med sum bb og produkt cc.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktorene gir feil midtledd.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter både valg av tall og kontroll ved utviding.

For høy måloppnåelse

Knytt faktoriseringen til nullpunktene til en parabel.

Oppgave 45 · MiddelsFaktorisering

Faktoriser et andregradsuttrykk

Oppgave:

Faktoriser uttrykket x2−8x+12x^2-8x+12.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se etter to tall

x2−8x+12x^2-8x+12

Når koeffisienten foran x2x^2 er 1, kan vi lete etter to tall direkte.

Steg 2 — Sett krav til tallene

r1+r2=8,r1⋅r2=12r_1+r_2=8,\quad r_1\cdot r_2=12

Tallene skal gi konstantleddet når de ganges, og x-koeffisienten når de summeres.

Steg 3 — Finn tallene

2+6=8,2⋅6=122+6=8,\quad 2\cdot 6=12

Disse tallene passer begge kravene.

Steg 4 — Husk fortegnet

x2−8x+12=(x−2)(x−6)x^2-8x+12=(x-2)(x-6)

Siden midtleddet er negativt og konstantleddet positivt, er begge fortegn negative.

Steg 5 — Kontroller ved utviding

(x−2)(x−6)=x2−8x+12(x-2)(x-6)=x^2-8x+12

Utviding skal gi tilbake det opprinnelige uttrykket.

Steg 6 — Skriv faktorisert form

(x−2)(x−6)(x-2)(x-6)

Faktorisert form viser produktet av to førstegradsfaktorer.

Vanlig feil: Å finne riktige tall, men sette feil fortegn i parentesene.

Tolkning

Faktorisering gjør uttrykket om fra sumform til produktform.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Factor(x2-8x+12)
→ (x−2)(x−6)(x-2)(x-6)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
print(factor(x**2 - 8*x + 12))
Fasit: x2−8x+12=(x−2)(x−6)x^2-8x+12=(x-2)(x-6). (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For x2−bx+cx^2-bx+c leter vi etter tall med sum bb og produkt cc.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktorene gir feil midtledd.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter både valg av tall og kontroll ved utviding.

For høy måloppnåelse

Knytt faktoriseringen til nullpunktene til en parabel.

Oppgave 46 · MiddelsFaktorisering

Faktoriser et andregradsuttrykk

Oppgave:

Faktoriser uttrykket x2−5x+6x^2-5x+6.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Se etter to tall

x2−5x+6x^2-5x+6

Når koeffisienten foran x2x^2 er 1, kan vi lete etter to tall direkte.

Steg 2 — Sett krav til tallene

r1+r2=5,r1⋅r2=6r_1+r_2=5,\quad r_1\cdot r_2=6

Tallene skal gi konstantleddet når de ganges, og x-koeffisienten når de summeres.

Steg 3 — Finn tallene

3+2=5,3⋅2=63+2=5,\quad 3\cdot 2=6

Disse tallene passer begge kravene.

Steg 4 — Husk fortegnet

x2−5x+6=(x−3)(x−2)x^2-5x+6=(x-3)(x-2)

Siden midtleddet er negativt og konstantleddet positivt, er begge fortegn negative.

Steg 5 — Kontroller ved utviding

(x−3)(x−2)=x2−5x+6(x-3)(x-2)=x^2-5x+6

Utviding skal gi tilbake det opprinnelige uttrykket.

Steg 6 — Skriv faktorisert form

(x−3)(x−2)(x-3)(x-2)

Faktorisert form viser produktet av to førstegradsfaktorer.

Vanlig feil: Å finne riktige tall, men sette feil fortegn i parentesene.

Tolkning

Faktorisering gjør uttrykket om fra sumform til produktform.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Factor(x2-5x+6)
→ (x−3)(x−2)(x-3)(x-2)

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
print(factor(x**2 - 5*x + 6))
Fasit: x2−5x+6=(x−3)(x−2)x^2-5x+6=(x-3)(x-2). (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

For x2−bx+cx^2-bx+c leter vi etter tall med sum bb og produkt cc.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktorene gir feil midtledd.

Dette ser sensor etter

Sensor ser etter både valg av tall og kontroll ved utviding.

For høy måloppnåelse

Knytt faktoriseringen til nullpunktene til en parabel.

Andregradslikninger 8 oppgaver

Oppgave 47 · LettAndregradslikninger

Løs en andregradslikning

Oppgave:

Løs likningen x2−1x−12=0x^2 - 1x - 12=0.

Parabelskisse med markert topp- eller bunnpunkt.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Skriv likningen i standardform

x2−1x−12=0x^2 - 1x - 12=0

En andregradslikning bør stå med null på én side før vi faktoriserer.

Steg 2 — Let etter faktorer

r1+r2=1,r1⋅r2=−12r_1+r_2=1,\quad r_1\cdot r_2=-12

Røttene bestemmer hvordan uttrykket kan faktoriseres.

Steg 3 — Faktoriser uttrykket

x2−1x−12=(x−−3)(x−4)x^2 - 1x - 12=(x--3)(x-4)

Produktformen gjør nullpunktene synlige.

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

(x−−3)(x−4)=0(x--3)(x-4)=0

Et produkt er null når minst én faktor er null.

Steg 5 — Løs hver faktor

x=−3ellerx=4x=-3\quad\text{eller}\quad x=4

Hver parentes gir én mulig løsning.

Steg 6 — Skriv løsningene samlet

x=−3ellerx=4x=-3\quad\text{eller}\quad x=4

En andregradslikning kan ha to løsninger.

Vanlig feil: Å stoppe etter faktorisering uten å bruke nullproduktregelen.

Tolkning

Løsningene er x-verdiene der grafen krysser x-aksen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(x2 - 1x - 12=0, x)
→ x=−3  ∨  x=4x=-3\;\vee\;x=4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(x**2 + (-1)*x + (-12), 0), x))
Fasit: x=−3x=-3 eller x=4x=4. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis ab=0ab=0, må a=0a=0 eller b=0b=0.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktoriseringen gir feil røtter.

Dette ser sensor etter

Riktig standardform, faktorisering og tydelig konklusjon.

For høy måloppnåelse

Forklar løsningene som skjæringspunkter mellom parabelen og x-aksen.

📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 48 · LettAndregradslikninger

Løs en andregradslikning

Oppgave:

Løs likningen x2−2x−24=0x^2 - 2x - 24=0.

Parabelskisse med markert topp- eller bunnpunkt.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Skriv likningen i standardform

x2−2x−24=0x^2 - 2x - 24=0

En andregradslikning bør stå med null på én side før vi faktoriserer.

Steg 2 — Let etter faktorer

r1+r2=2,r1⋅r2=−24r_1+r_2=2,\quad r_1\cdot r_2=-24

Røttene bestemmer hvordan uttrykket kan faktoriseres.

Steg 3 — Faktoriser uttrykket

x2−2x−24=(x−−4)(x−6)x^2 - 2x - 24=(x--4)(x-6)

Produktformen gjør nullpunktene synlige.

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

(x−−4)(x−6)=0(x--4)(x-6)=0

Et produkt er null når minst én faktor er null.

Steg 5 — Løs hver faktor

x=−4ellerx=6x=-4\quad\text{eller}\quad x=6

Hver parentes gir én mulig løsning.

Steg 6 — Skriv løsningene samlet

x=−4ellerx=6x=-4\quad\text{eller}\quad x=6

En andregradslikning kan ha to løsninger.

Vanlig feil: Å stoppe etter faktorisering uten å bruke nullproduktregelen.

Tolkning

Løsningene er x-verdiene der grafen krysser x-aksen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(x2 - 2x - 24=0, x)
→ x=−4  ∨  x=6x=-4\;\vee\;x=6

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(x**2 + (-2)*x + (-24), 0), x))
Fasit: x=−4x=-4 eller x=6x=6. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis ab=0ab=0, må a=0a=0 eller b=0b=0.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktoriseringen gir feil røtter.

Dette ser sensor etter

Riktig standardform, faktorisering og tydelig konklusjon.

For høy måloppnåelse

Forklar løsningene som skjæringspunkter mellom parabelen og x-aksen.

📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 49 · LettAndregradslikninger

Løs en andregradslikning

Oppgave:

Løs likningen x2+2x−15=0x^2 + 2x - 15=0.

Parabelskisse med markert topp- eller bunnpunkt.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Skriv likningen i standardform

x2+2x−15=0x^2 + 2x - 15=0

En andregradslikning bør stå med null på én side før vi faktoriserer.

Steg 2 — Let etter faktorer

r1+r2=−2,r1⋅r2=−15r_1+r_2=-2,\quad r_1\cdot r_2=-15

Røttene bestemmer hvordan uttrykket kan faktoriseres.

Steg 3 — Faktoriser uttrykket

x2+2x−15=(x−−5)(x−3)x^2 + 2x - 15=(x--5)(x-3)

Produktformen gjør nullpunktene synlige.

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

(x−−5)(x−3)=0(x--5)(x-3)=0

Et produkt er null når minst én faktor er null.

Steg 5 — Løs hver faktor

x=−5ellerx=3x=-5\quad\text{eller}\quad x=3

Hver parentes gir én mulig løsning.

Steg 6 — Skriv løsningene samlet

x=−5ellerx=3x=-5\quad\text{eller}\quad x=3

En andregradslikning kan ha to løsninger.

Vanlig feil: Å stoppe etter faktorisering uten å bruke nullproduktregelen.

Tolkning

Løsningene er x-verdiene der grafen krysser x-aksen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(x2 + 2x - 15=0, x)
→ x=−5  ∨  x=3x=-5\;\vee\;x=3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(x**2 + (2)*x + (-15), 0), x))
Fasit: x=−5x=-5 eller x=3x=3. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis ab=0ab=0, må a=0a=0 eller b=0b=0.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktoriseringen gir feil røtter.

Dette ser sensor etter

Riktig standardform, faktorisering og tydelig konklusjon.

For høy måloppnåelse

Forklar løsningene som skjæringspunkter mellom parabelen og x-aksen.

📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 50 · MiddelsAndregradslikninger

Løs en andregradslikning

Oppgave:

Løs likningen x2−3x−10=0x^2 - 3x - 10=0.

Parabelskisse med markert topp- eller bunnpunkt.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Skriv likningen i standardform

x2−3x−10=0x^2 - 3x - 10=0

En andregradslikning bør stå med null på én side før vi faktoriserer.

Steg 2 — Let etter faktorer

r1+r2=3,r1⋅r2=−10r_1+r_2=3,\quad r_1\cdot r_2=-10

Røttene bestemmer hvordan uttrykket kan faktoriseres.

Steg 3 — Faktoriser uttrykket

x2−3x−10=(x−−2)(x−5)x^2 - 3x - 10=(x--2)(x-5)

Produktformen gjør nullpunktene synlige.

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

(x−−2)(x−5)=0(x--2)(x-5)=0

Et produkt er null når minst én faktor er null.

Steg 5 — Løs hver faktor

x=−2ellerx=5x=-2\quad\text{eller}\quad x=5

Hver parentes gir én mulig løsning.

Steg 6 — Skriv løsningene samlet

x=−2ellerx=5x=-2\quad\text{eller}\quad x=5

En andregradslikning kan ha to løsninger.

Vanlig feil: Å stoppe etter faktorisering uten å bruke nullproduktregelen.

Tolkning

Løsningene er x-verdiene der grafen krysser x-aksen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(x2 - 3x - 10=0, x)
→ x=−2  ∨  x=5x=-2\;\vee\;x=5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(x**2 + (-3)*x + (-10), 0), x))
Fasit: x=−2x=-2 eller x=5x=5. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis ab=0ab=0, må a=0a=0 eller b=0b=0.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktoriseringen gir feil røtter.

Dette ser sensor etter

Riktig standardform, faktorisering og tydelig konklusjon.

For høy måloppnåelse

Forklar løsningene som skjæringspunkter mellom parabelen og x-aksen.

📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 51 · MiddelsAndregradslikninger

Løs en andregradslikning

Oppgave:

Løs likningen x2+1x−6=0x^2 + 1x - 6=0.

Parabelskisse med markert topp- eller bunnpunkt.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Skriv likningen i standardform

x2+1x−6=0x^2 + 1x - 6=0

En andregradslikning bør stå med null på én side før vi faktoriserer.

Steg 2 — Let etter faktorer

r1+r2=−1,r1⋅r2=−6r_1+r_2=-1,\quad r_1\cdot r_2=-6

Røttene bestemmer hvordan uttrykket kan faktoriseres.

Steg 3 — Faktoriser uttrykket

x2+1x−6=(x−−3)(x−2)x^2 + 1x - 6=(x--3)(x-2)

Produktformen gjør nullpunktene synlige.

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

(x−−3)(x−2)=0(x--3)(x-2)=0

Et produkt er null når minst én faktor er null.

Steg 5 — Løs hver faktor

x=−3ellerx=2x=-3\quad\text{eller}\quad x=2

Hver parentes gir én mulig løsning.

Steg 6 — Skriv løsningene samlet

x=−3ellerx=2x=-3\quad\text{eller}\quad x=2

En andregradslikning kan ha to løsninger.

Vanlig feil: Å stoppe etter faktorisering uten å bruke nullproduktregelen.

Tolkning

Løsningene er x-verdiene der grafen krysser x-aksen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(x2 + 1x - 6=0, x)
→ x=−3  ∨  x=2x=-3\;\vee\;x=2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(x**2 + (1)*x + (-6), 0), x))
Fasit: x=−3x=-3 eller x=2x=2. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis ab=0ab=0, må a=0a=0 eller b=0b=0.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktoriseringen gir feil røtter.

Dette ser sensor etter

Riktig standardform, faktorisering og tydelig konklusjon.

For høy måloppnåelse

Forklar løsningene som skjæringspunkter mellom parabelen og x-aksen.

📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 52 · MiddelsAndregradslikninger

Løs en andregradslikning

Oppgave:

Løs likningen x2+0x−16=0x^2 + 0x - 16=0.

Parabelskisse med markert topp- eller bunnpunkt.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Skriv likningen i standardform

x2+0x−16=0x^2 + 0x - 16=0

En andregradslikning bør stå med null på én side før vi faktoriserer.

Steg 2 — Let etter faktorer

r1+r2=0,r1⋅r2=−16r_1+r_2=0,\quad r_1\cdot r_2=-16

Røttene bestemmer hvordan uttrykket kan faktoriseres.

Steg 3 — Faktoriser uttrykket

x2+0x−16=(x−−4)(x−4)x^2 + 0x - 16=(x--4)(x-4)

Produktformen gjør nullpunktene synlige.

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

(x−−4)(x−4)=0(x--4)(x-4)=0

Et produkt er null når minst én faktor er null.

Steg 5 — Løs hver faktor

x=−4ellerx=4x=-4\quad\text{eller}\quad x=4

Hver parentes gir én mulig løsning.

Steg 6 — Skriv løsningene samlet

x=−4ellerx=4x=-4\quad\text{eller}\quad x=4

En andregradslikning kan ha to løsninger.

Vanlig feil: Å stoppe etter faktorisering uten å bruke nullproduktregelen.

Tolkning

Løsningene er x-verdiene der grafen krysser x-aksen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(x2 + 0x - 16=0, x)
→ x=−4  ∨  x=4x=-4\;\vee\;x=4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(x**2 + (0)*x + (-16), 0), x))
Fasit: x=−4x=-4 eller x=4x=4. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis ab=0ab=0, må a=0a=0 eller b=0b=0.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktoriseringen gir feil røtter.

Dette ser sensor etter

Riktig standardform, faktorisering og tydelig konklusjon.

For høy måloppnåelse

Forklar løsningene som skjæringspunkter mellom parabelen og x-aksen.

📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 53 · MiddelsAndregradslikninger

Løs en andregradslikning

Oppgave:

Løs likningen x2−1x−30=0x^2 - 1x - 30=0.

Parabelskisse med markert topp- eller bunnpunkt.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Skriv likningen i standardform

x2−1x−30=0x^2 - 1x - 30=0

En andregradslikning bør stå med null på én side før vi faktoriserer.

Steg 2 — Let etter faktorer

r1+r2=1,r1⋅r2=−30r_1+r_2=1,\quad r_1\cdot r_2=-30

Røttene bestemmer hvordan uttrykket kan faktoriseres.

Steg 3 — Faktoriser uttrykket

x2−1x−30=(x−−5)(x−6)x^2 - 1x - 30=(x--5)(x-6)

Produktformen gjør nullpunktene synlige.

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

(x−−5)(x−6)=0(x--5)(x-6)=0

Et produkt er null når minst én faktor er null.

Steg 5 — Løs hver faktor

x=−5ellerx=6x=-5\quad\text{eller}\quad x=6

Hver parentes gir én mulig løsning.

Steg 6 — Skriv løsningene samlet

x=−5ellerx=6x=-5\quad\text{eller}\quad x=6

En andregradslikning kan ha to løsninger.

Vanlig feil: Å stoppe etter faktorisering uten å bruke nullproduktregelen.

Tolkning

Løsningene er x-verdiene der grafen krysser x-aksen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(x2 - 1x - 30=0, x)
→ x=−5  ∨  x=6x=-5\;\vee\;x=6

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(x**2 + (-1)*x + (-30), 0), x))
Fasit: x=−5x=-5 eller x=6x=6. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis ab=0ab=0, må a=0a=0 eller b=0b=0.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktoriseringen gir feil røtter.

Dette ser sensor etter

Riktig standardform, faktorisering og tydelig konklusjon.

For høy måloppnåelse

Forklar løsningene som skjæringspunkter mellom parabelen og x-aksen.

📊 Utforsk i GeoGebra
Oppgave 54 · KrevendeAndregradslikninger

Løs en andregradslikning

Oppgave:

Løs likningen x2−1x−6=0x^2 - 1x - 6=0.

Parabelskisse med markert topp- eller bunnpunkt.
Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Skriv likningen i standardform

x2−1x−6=0x^2 - 1x - 6=0

En andregradslikning bør stå med null på én side før vi faktoriserer.

Steg 2 — Let etter faktorer

r1+r2=1,r1⋅r2=−6r_1+r_2=1,\quad r_1\cdot r_2=-6

Røttene bestemmer hvordan uttrykket kan faktoriseres.

Steg 3 — Faktoriser uttrykket

x2−1x−6=(x−−2)(x−3)x^2 - 1x - 6=(x--2)(x-3)

Produktformen gjør nullpunktene synlige.

Steg 4 — Bruk nullproduktregelen

(x−−2)(x−3)=0(x--2)(x-3)=0

Et produkt er null når minst én faktor er null.

Steg 5 — Løs hver faktor

x=−2ellerx=3x=-2\quad\text{eller}\quad x=3

Hver parentes gir én mulig løsning.

Steg 6 — Skriv løsningene samlet

x=−2ellerx=3x=-2\quad\text{eller}\quad x=3

En andregradslikning kan ha to løsninger.

Vanlig feil: Å stoppe etter faktorisering uten å bruke nullproduktregelen.

Tolkning

Løsningene er x-verdiene der grafen krysser x-aksen.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(x2 - 1x - 6=0, x)
→ x=−2  ∨  x=3x=-2\;\vee\;x=3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
print(solve(Eq(x**2 + (-1)*x + (-6), 0), x))
Fasit: x=−2x=-2 eller x=3x=3. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Nullproduktregelen: Hvis ab=0ab=0, må a=0a=0 eller b=0b=0.

Vanlige feil

Fortegnsfeil i faktoriseringen gir feil røtter.

Dette ser sensor etter

Riktig standardform, faktorisering og tydelig konklusjon.

For høy måloppnåelse

Forklar løsningene som skjæringspunkter mellom parabelen og x-aksen.

📊 Utforsk i GeoGebra

Ulikheter 8 oppgaver

Oppgave 55 · LettUlikheter

Løs en lineær ulikhet

Oppgave:

Løs ulikheten 4x+1<294x+1<29.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les ulikheten

4x+1<294x+1<29

Vi skal finne alle x-verdier som gjør venstresiden mindre enn høyresiden.

Steg 2 — Trekk fra konstantleddet

4x<29−14x<29-1

Vi gjør samme operasjon på begge sider for å isolere x-leddet.

Steg 3 — Regn høyresiden

4x<284x<28

Nå er det bare multiplikasjonen med x igjen.

Steg 4 — Del på positivt tall

x<284x<\dfrac{28}{4}

Siden vi deler på et positivt tall, snur ikke ulikhetstegnet.

Steg 5 — Forkort

x<7x<7

Brøken gir grensen for løsningsmengden.

Steg 6 — Test en verdi

x=0⇒1<29x=0\Rightarrow 1<29

En testverdi under grensen bekrefter retningen på ulikheten.

Vanlig feil: Ulikhetstegnet skal bare snus når vi ganger eller deler med et negativt tall.

Tolkning

Løsningen er et intervall med uendelig mange tall, ikke bare ett tall.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(4x+1<29, x)
→ x<7x<7

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x')
print(solve_univariate_inequality(4*x + 1 < 29, x))
Fasit: x<7x<7. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Løs lineære ulikheter som likninger, men pass på fortegnet ved deling.

Vanlige feil

Mange snur tegnet unødvendig, eller glemmer å snu det ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Riktig løsningsmengde og en kort kontroll av retningen.

For høy måloppnåelse

Forklar ulikheten som et område på tallinja.

Oppgave 56 · LettUlikheter

Løs en lineær ulikhet

Oppgave:

Løs ulikheten 5x+4<495x+4<49.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les ulikheten

5x+4<495x+4<49

Vi skal finne alle x-verdier som gjør venstresiden mindre enn høyresiden.

Steg 2 — Trekk fra konstantleddet

5x<49−45x<49-4

Vi gjør samme operasjon på begge sider for å isolere x-leddet.

Steg 3 — Regn høyresiden

5x<455x<45

Nå er det bare multiplikasjonen med x igjen.

Steg 4 — Del på positivt tall

x<455x<\dfrac{45}{5}

Siden vi deler på et positivt tall, snur ikke ulikhetstegnet.

Steg 5 — Forkort

x<9x<9

Brøken gir grensen for løsningsmengden.

Steg 6 — Test en verdi

x=0⇒4<49x=0\Rightarrow 4<49

En testverdi under grensen bekrefter retningen på ulikheten.

Vanlig feil: Ulikhetstegnet skal bare snus når vi ganger eller deler med et negativt tall.

Tolkning

Løsningen er et intervall med uendelig mange tall, ikke bare ett tall.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(5x+4<49, x)
→ x<9x<9

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x')
print(solve_univariate_inequality(5*x + 4 < 49, x))
Fasit: x<9x<9. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Løs lineære ulikheter som likninger, men pass på fortegnet ved deling.

Vanlige feil

Mange snur tegnet unødvendig, eller glemmer å snu det ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Riktig løsningsmengde og en kort kontroll av retningen.

For høy måloppnåelse

Forklar ulikheten som et område på tallinja.

Oppgave 57 · MiddelsUlikheter

Løs en lineær ulikhet

Oppgave:

Løs ulikheten 6x+7<316x+7<31.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les ulikheten

6x+7<316x+7<31

Vi skal finne alle x-verdier som gjør venstresiden mindre enn høyresiden.

Steg 2 — Trekk fra konstantleddet

6x<31−76x<31-7

Vi gjør samme operasjon på begge sider for å isolere x-leddet.

Steg 3 — Regn høyresiden

6x<246x<24

Nå er det bare multiplikasjonen med x igjen.

Steg 4 — Del på positivt tall

x<246x<\dfrac{24}{6}

Siden vi deler på et positivt tall, snur ikke ulikhetstegnet.

Steg 5 — Forkort

x<4x<4

Brøken gir grensen for løsningsmengden.

Steg 6 — Test en verdi

x=0⇒7<31x=0\Rightarrow 7<31

En testverdi under grensen bekrefter retningen på ulikheten.

Vanlig feil: Ulikhetstegnet skal bare snus når vi ganger eller deler med et negativt tall.

Tolkning

Løsningen er et intervall med uendelig mange tall, ikke bare ett tall.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(6x+7<31, x)
→ x<4x<4

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x')
print(solve_univariate_inequality(6*x + 7 < 31, x))
Fasit: x<4x<4. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Løs lineære ulikheter som likninger, men pass på fortegnet ved deling.

Vanlige feil

Mange snur tegnet unødvendig, eller glemmer å snu det ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Riktig løsningsmengde og en kort kontroll av retningen.

For høy måloppnåelse

Forklar ulikheten som et område på tallinja.

Oppgave 58 · MiddelsUlikheter

Løs en lineær ulikhet

Oppgave:

Løs ulikheten 2x+1<132x+1<13.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les ulikheten

2x+1<132x+1<13

Vi skal finne alle x-verdier som gjør venstresiden mindre enn høyresiden.

Steg 2 — Trekk fra konstantleddet

2x<13−12x<13-1

Vi gjør samme operasjon på begge sider for å isolere x-leddet.

Steg 3 — Regn høyresiden

2x<122x<12

Nå er det bare multiplikasjonen med x igjen.

Steg 4 — Del på positivt tall

x<122x<\dfrac{12}{2}

Siden vi deler på et positivt tall, snur ikke ulikhetstegnet.

Steg 5 — Forkort

x<6x<6

Brøken gir grensen for løsningsmengden.

Steg 6 — Test en verdi

x=0⇒1<13x=0\Rightarrow 1<13

En testverdi under grensen bekrefter retningen på ulikheten.

Vanlig feil: Ulikhetstegnet skal bare snus når vi ganger eller deler med et negativt tall.

Tolkning

Løsningen er et intervall med uendelig mange tall, ikke bare ett tall.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(2x+1<13, x)
→ x<6x<6

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x')
print(solve_univariate_inequality(2*x + 1 < 13, x))
Fasit: x<6x<6. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Løs lineære ulikheter som likninger, men pass på fortegnet ved deling.

Vanlige feil

Mange snur tegnet unødvendig, eller glemmer å snu det ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Riktig løsningsmengde og en kort kontroll av retningen.

For høy måloppnåelse

Forklar ulikheten som et område på tallinja.

Oppgave 59 · MiddelsUlikheter

Løs en lineær ulikhet

Oppgave:

Løs ulikheten 3x+4<283x+4<28.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les ulikheten

3x+4<283x+4<28

Vi skal finne alle x-verdier som gjør venstresiden mindre enn høyresiden.

Steg 2 — Trekk fra konstantleddet

3x<28−43x<28-4

Vi gjør samme operasjon på begge sider for å isolere x-leddet.

Steg 3 — Regn høyresiden

3x<243x<24

Nå er det bare multiplikasjonen med x igjen.

Steg 4 — Del på positivt tall

x<243x<\dfrac{24}{3}

Siden vi deler på et positivt tall, snur ikke ulikhetstegnet.

Steg 5 — Forkort

x<8x<8

Brøken gir grensen for løsningsmengden.

Steg 6 — Test en verdi

x=0⇒4<28x=0\Rightarrow 4<28

En testverdi under grensen bekrefter retningen på ulikheten.

Vanlig feil: Ulikhetstegnet skal bare snus når vi ganger eller deler med et negativt tall.

Tolkning

Løsningen er et intervall med uendelig mange tall, ikke bare ett tall.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(3x+4<28, x)
→ x<8x<8

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x')
print(solve_univariate_inequality(3*x + 4 < 28, x))
Fasit: x<8x<8. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Løs lineære ulikheter som likninger, men pass på fortegnet ved deling.

Vanlige feil

Mange snur tegnet unødvendig, eller glemmer å snu det ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Riktig løsningsmengde og en kort kontroll av retningen.

For høy måloppnåelse

Forklar ulikheten som et område på tallinja.

Oppgave 60 · MiddelsUlikheter

Løs en lineær ulikhet

Oppgave:

Løs ulikheten 4x+7<194x+7<19.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les ulikheten

4x+7<194x+7<19

Vi skal finne alle x-verdier som gjør venstresiden mindre enn høyresiden.

Steg 2 — Trekk fra konstantleddet

4x<19−74x<19-7

Vi gjør samme operasjon på begge sider for å isolere x-leddet.

Steg 3 — Regn høyresiden

4x<124x<12

Nå er det bare multiplikasjonen med x igjen.

Steg 4 — Del på positivt tall

x<124x<\dfrac{12}{4}

Siden vi deler på et positivt tall, snur ikke ulikhetstegnet.

Steg 5 — Forkort

x<3x<3

Brøken gir grensen for løsningsmengden.

Steg 6 — Test en verdi

x=0⇒7<19x=0\Rightarrow 7<19

En testverdi under grensen bekrefter retningen på ulikheten.

Vanlig feil: Ulikhetstegnet skal bare snus når vi ganger eller deler med et negativt tall.

Tolkning

Løsningen er et intervall med uendelig mange tall, ikke bare ett tall.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(4x+7<19, x)
→ x<3x<3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x')
print(solve_univariate_inequality(4*x + 7 < 19, x))
Fasit: x<3x<3. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Løs lineære ulikheter som likninger, men pass på fortegnet ved deling.

Vanlige feil

Mange snur tegnet unødvendig, eller glemmer å snu det ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Riktig løsningsmengde og en kort kontroll av retningen.

For høy måloppnåelse

Forklar ulikheten som et område på tallinja.

Oppgave 61 · KrevendeUlikheter

Løs en lineær ulikhet

Oppgave:

Løs ulikheten 5x+1<265x+1<26.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les ulikheten

5x+1<265x+1<26

Vi skal finne alle x-verdier som gjør venstresiden mindre enn høyresiden.

Steg 2 — Trekk fra konstantleddet

5x<26−15x<26-1

Vi gjør samme operasjon på begge sider for å isolere x-leddet.

Steg 3 — Regn høyresiden

5x<255x<25

Nå er det bare multiplikasjonen med x igjen.

Steg 4 — Del på positivt tall

x<255x<\dfrac{25}{5}

Siden vi deler på et positivt tall, snur ikke ulikhetstegnet.

Steg 5 — Forkort

x<5x<5

Brøken gir grensen for løsningsmengden.

Steg 6 — Test en verdi

x=0⇒1<26x=0\Rightarrow 1<26

En testverdi under grensen bekrefter retningen på ulikheten.

Vanlig feil: Ulikhetstegnet skal bare snus når vi ganger eller deler med et negativt tall.

Tolkning

Løsningen er et intervall med uendelig mange tall, ikke bare ett tall.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(5x+1<26, x)
→ x<5x<5

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x')
print(solve_univariate_inequality(5*x + 1 < 26, x))
Fasit: x<5x<5. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Løs lineære ulikheter som likninger, men pass på fortegnet ved deling.

Vanlige feil

Mange snur tegnet unødvendig, eller glemmer å snu det ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Riktig løsningsmengde og en kort kontroll av retningen.

For høy måloppnåelse

Forklar ulikheten som et område på tallinja.

Oppgave 62 · KrevendeUlikheter

Løs en lineær ulikhet

Oppgave:

Løs ulikheten 6x+4<466x+4<46.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les ulikheten

6x+4<466x+4<46

Vi skal finne alle x-verdier som gjør venstresiden mindre enn høyresiden.

Steg 2 — Trekk fra konstantleddet

6x<46−46x<46-4

Vi gjør samme operasjon på begge sider for å isolere x-leddet.

Steg 3 — Regn høyresiden

6x<426x<42

Nå er det bare multiplikasjonen med x igjen.

Steg 4 — Del på positivt tall

x<426x<\dfrac{42}{6}

Siden vi deler på et positivt tall, snur ikke ulikhetstegnet.

Steg 5 — Forkort

x<7x<7

Brøken gir grensen for løsningsmengden.

Steg 6 — Test en verdi

x=0⇒4<46x=0\Rightarrow 4<46

En testverdi under grensen bekrefter retningen på ulikheten.

Vanlig feil: Ulikhetstegnet skal bare snus når vi ganger eller deler med et negativt tall.

Tolkning

Løsningen er et intervall med uendelig mange tall, ikke bare ett tall.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS
1
Solve(6x+4<46, x)
→ x<7x<7

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x')
print(solve_univariate_inequality(6*x + 4 < 46, x))
Fasit: x<7x<7. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Løs lineære ulikheter som likninger, men pass på fortegnet ved deling.

Vanlige feil

Mange snur tegnet unødvendig, eller glemmer å snu det ved negative tall.

Dette ser sensor etter

Riktig løsningsmengde og en kort kontroll av retningen.

For høy måloppnåelse

Forklar ulikheten som et område på tallinja.

Matematikk 1T-Y · DT