Funksjoner og modellering 1T-Y (DT) – oppgaver

Oppgave 1 · LettFunksjonsbegrepet

Finn funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=4x + 2$ . Finn $f(5)$ og forklar hva svaret betyr.

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les funksjonen

$f(x)=4x + 2$

Funksjonen forteller hvordan vi beregner y-verdien fra x-verdien.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(5)=4\cdot 5+2$

Vi erstatter x med tallet oppgaven spør om.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

$4\cdot 5=20$

Multiplikasjon gjøres før addisjon.

Steg 4 — Legg til konstantleddet

$f(5)=20+2=22$

Konstantleddet flytter verdien opp eller ned.

Steg 5 — Skriv som punkt

$(5,22)$

En funksjonsverdi kan tolkes som et punkt på grafen.

Steg 6 — Kontroller med graf

$x=5\Rightarrow y=22$

Punktet skal ligge på linja.

Vanlig feil: Å sette inn x i bare ett ledd og glemme konstantleddet.

Tolkning

Svaret betyr at grafen har y-verdi lik dette når x har den gitte verdien.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x):=4x+2

→

f(x)=4x + 2

2

f(5)

→

22

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 4*x + (2)
print(f.subs(x, 5))

Fasit:

f(5)=22

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdi for en bestemt x-verdi.

Vanlige feil

Mange blander $f(x)$ med $x$ og svarer med feil variabel.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og tydelig tolkning som punkt.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til grafen og eventuelt praktisk kontekst.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 2 · LettFunksjonsbegrepet

Finn funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=5x - 4$ . Finn $f(1)$ og forklar hva svaret betyr.

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les funksjonen

$f(x)=5x - 4$

Funksjonen forteller hvordan vi beregner y-verdien fra x-verdien.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(1)=5\cdot 1-4$

Vi erstatter x med tallet oppgaven spør om.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

$5\cdot 1=5$

Multiplikasjon gjøres før addisjon.

Steg 4 — Legg til konstantleddet

$f(1)=5-4=1$

Konstantleddet flytter verdien opp eller ned.

Steg 5 — Skriv som punkt

$(1,1)$

En funksjonsverdi kan tolkes som et punkt på grafen.

Steg 6 — Kontroller med graf

$x=1\Rightarrow y=1$

Punktet skal ligge på linja.

Vanlig feil: Å sette inn x i bare ett ledd og glemme konstantleddet.

Tolkning

Svaret betyr at grafen har y-verdi lik dette når x har den gitte verdien.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x):=5x-4

→

f(x)=5x - 4

2

f(1)

→

1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 5*x + (-4)
print(f.subs(x, 1))

Fasit:

f(1)=1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdi for en bestemt x-verdi.

Vanlige feil

Mange blander $f(x)$ med $x$ og svarer med feil variabel.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og tydelig tolkning som punkt.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til grafen og eventuelt praktisk kontekst.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 3 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=6x - 1$ . Finn $f(3)$ og forklar hva svaret betyr.

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les funksjonen

$f(x)=6x - 1$

Funksjonen forteller hvordan vi beregner y-verdien fra x-verdien.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(3)=6\cdot 3-1$

Vi erstatter x med tallet oppgaven spør om.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

$6\cdot 3=18$

Multiplikasjon gjøres før addisjon.

Steg 4 — Legg til konstantleddet

$f(3)=18-1=17$

Konstantleddet flytter verdien opp eller ned.

Steg 5 — Skriv som punkt

$(3,17)$

En funksjonsverdi kan tolkes som et punkt på grafen.

Steg 6 — Kontroller med graf

$x=3\Rightarrow y=17$

Punktet skal ligge på linja.

Vanlig feil: Å sette inn x i bare ett ledd og glemme konstantleddet.

Tolkning

Svaret betyr at grafen har y-verdi lik dette når x har den gitte verdien.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x):=6x-1

→

f(x)=6x - 1

2

f(3)

→

17

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 6*x + (-1)
print(f.subs(x, 3))

Fasit:

f(3)=17

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdi for en bestemt x-verdi.

Vanlige feil

Mange blander $f(x)$ med $x$ og svarer med feil variabel.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og tydelig tolkning som punkt.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til grafen og eventuelt praktisk kontekst.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 4 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=2x + 2$ . Finn $f(5)$ og forklar hva svaret betyr.

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les funksjonen

$f(x)=2x + 2$

Funksjonen forteller hvordan vi beregner y-verdien fra x-verdien.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(5)=2\cdot 5+2$

Vi erstatter x med tallet oppgaven spør om.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

$2\cdot 5=10$

Multiplikasjon gjøres før addisjon.

Steg 4 — Legg til konstantleddet

$f(5)=10+2=12$

Konstantleddet flytter verdien opp eller ned.

Steg 5 — Skriv som punkt

$(5,12)$

En funksjonsverdi kan tolkes som et punkt på grafen.

Steg 6 — Kontroller med graf

$x=5\Rightarrow y=12$

Punktet skal ligge på linja.

Vanlig feil: Å sette inn x i bare ett ledd og glemme konstantleddet.

Tolkning

Svaret betyr at grafen har y-verdi lik dette når x har den gitte verdien.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x):=2x+2

→

f(x)=2x + 2

2

f(5)

→

12

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x + (2)
print(f.subs(x, 5))

Fasit:

f(5)=12

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdi for en bestemt x-verdi.

Vanlige feil

Mange blander $f(x)$ med $x$ og svarer med feil variabel.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og tydelig tolkning som punkt.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til grafen og eventuelt praktisk kontekst.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 5 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=3x - 4$ . Finn $f(1)$ og forklar hva svaret betyr.

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les funksjonen

$f(x)=3x - 4$

Funksjonen forteller hvordan vi beregner y-verdien fra x-verdien.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(1)=3\cdot 1-4$

Vi erstatter x med tallet oppgaven spør om.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

$3\cdot 1=3$

Multiplikasjon gjøres før addisjon.

Steg 4 — Legg til konstantleddet

$f(1)=3-4=-1$

Konstantleddet flytter verdien opp eller ned.

Steg 5 — Skriv som punkt

$(1,-1)$

En funksjonsverdi kan tolkes som et punkt på grafen.

Steg 6 — Kontroller med graf

$x=1\Rightarrow y=-1$

Punktet skal ligge på linja.

Vanlig feil: Å sette inn x i bare ett ledd og glemme konstantleddet.

Tolkning

Svaret betyr at grafen har y-verdi lik dette når x har den gitte verdien.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x):=3x-4

→

f(x)=3x - 4

2

f(1)

→

-1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 3*x + (-4)
print(f.subs(x, 1))

Fasit:

f(1)=-1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdi for en bestemt x-verdi.

Vanlige feil

Mange blander $f(x)$ med $x$ og svarer med feil variabel.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og tydelig tolkning som punkt.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til grafen og eventuelt praktisk kontekst.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 6 · MiddelsFunksjonsbegrepet

Finn funksjonsverdi

Oppgave:

Gitt funksjonen $f(x)=4x - 1$ . Finn $f(3)$ og forklar hva svaret betyr.

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Les funksjonen

$f(x)=4x - 1$

Funksjonen forteller hvordan vi beregner y-verdien fra x-verdien.

Steg 2 — Sett inn x-verdien

$f(3)=4\cdot 3-1$

Vi erstatter x med tallet oppgaven spør om.

Steg 3 — Gjør multiplikasjonen

$4\cdot 3=12$

Multiplikasjon gjøres før addisjon.

Steg 4 — Legg til konstantleddet

$f(3)=12-1=11$

Konstantleddet flytter verdien opp eller ned.

Steg 5 — Skriv som punkt

$(3,11)$

En funksjonsverdi kan tolkes som et punkt på grafen.

Steg 6 — Kontroller med graf

$x=3\Rightarrow y=11$

Punktet skal ligge på linja.

Vanlig feil: Å sette inn x i bare ett ledd og glemme konstantleddet.

Tolkning

Svaret betyr at grafen har y-verdi lik dette når x har den gitte verdien.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

f(x):=4x-1

→

f(x)=4x - 1

2

f(3)

→

11

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 4*x + (-1)
print(f.subs(x, 3))

Fasit:

f(3)=11

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Funksjonsverdi betyr y-verdi for en bestemt x-verdi.

Vanlige feil

Mange blander $f(x)$ med $x$ og svarer med feil variabel.

Dette ser sensor etter

Riktig innsetting og tydelig tolkning som punkt.

For høy måloppnåelse

Knytt svaret til grafen og eventuelt praktisk kontekst.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 7 · LettLineære funksjoner

Finn likningen til ei rett linje

Oppgave:

Ei rett linje går gjennom punktene $(1,-1)$ og $(4,-4)$ . Finn funksjonsuttrykket $f(x)$ .

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Bruk stigningstall

$a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Stigningstallet forteller hvor mye y endres når x øker med 1.

Steg 2 — Sett inn punktene

$a=\dfrac{-4--1}{4-1}$

Vi bruker forskjellen i y delt på forskjellen i x.

Steg 3 — Regn ut stigningstallet

$a=-1$

Dette er koeffisienten foran x i en lineær funksjon.

Steg 4 — Bruk formen

$f(x)=ax+b$

Alle ikke-vertikale rette linjer kan skrives slik.

Steg 5 — Finn konstantleddet

$-1=-1\cdot 1+b\Rightarrow b=0$

Vi setter inn ett punkt for å finne skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-1x$

Nå kjenner vi både stigningstall og konstantledd.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Tolkning

Funksjonen beskriver hele linja, ikke bare de to punktene vi fikk oppgitt.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,-1),(4,-4))

→

y=-1x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, -1
x2, y2 = 4, -4
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-1x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Stigningstall: $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Vanlige feil

Teller og nevner i stigningstallet blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og kontroll med ett punkt.

For høy måloppnåelse

Forklar hva stigningstallet betyr i en praktisk modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 8 · LettLineære funksjoner

Finn likningen til ei rett linje

Oppgave:

Ei rett linje går gjennom punktene $(1,3)$ og $(4,6)$ . Finn funksjonsuttrykket $f(x)$ .

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Bruk stigningstall

$a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Stigningstallet forteller hvor mye y endres når x øker med 1.

Steg 2 — Sett inn punktene

$a=\dfrac{6-3}{4-1}$

Vi bruker forskjellen i y delt på forskjellen i x.

Steg 3 — Regn ut stigningstallet

$a=1$

Dette er koeffisienten foran x i en lineær funksjon.

Steg 4 — Bruk formen

$f(x)=ax+b$

Alle ikke-vertikale rette linjer kan skrives slik.

Steg 5 — Finn konstantleddet

$3=1\cdot 1+b\Rightarrow b=2$

Vi setter inn ett punkt for å finne skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=1x + 2$

Nå kjenner vi både stigningstall og konstantledd.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Tolkning

Funksjonen beskriver hele linja, ikke bare de to punktene vi fikk oppgitt.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,3),(4,6))

→

y=1x + 2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, 3
x2, y2 = 4, 6
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=1x + 2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Stigningstall: $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Vanlige feil

Teller og nevner i stigningstallet blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og kontroll med ett punkt.

For høy måloppnåelse

Forklar hva stigningstallet betyr i en praktisk modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 9 · LettLineære funksjoner

Finn likningen til ei rett linje

Oppgave:

Ei rett linje går gjennom punktene $(1,-1)$ og $(4,5)$ . Finn funksjonsuttrykket $f(x)$ .

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Bruk stigningstall

$a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Stigningstallet forteller hvor mye y endres når x øker med 1.

Steg 2 — Sett inn punktene

$a=\dfrac{5--1}{4-1}$

Vi bruker forskjellen i y delt på forskjellen i x.

Steg 3 — Regn ut stigningstallet

$a=2$

Dette er koeffisienten foran x i en lineær funksjon.

Steg 4 — Bruk formen

$f(x)=ax+b$

Alle ikke-vertikale rette linjer kan skrives slik.

Steg 5 — Finn konstantleddet

$-1=2\cdot 1+b\Rightarrow b=-3$

Vi setter inn ett punkt for å finne skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x - 3$

Nå kjenner vi både stigningstall og konstantledd.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Tolkning

Funksjonen beskriver hele linja, ikke bare de to punktene vi fikk oppgitt.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,-1),(4,5))

→

y=2x - 3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, -1
x2, y2 = 4, 5
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=2x - 3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Stigningstall: $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Vanlige feil

Teller og nevner i stigningstallet blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og kontroll med ett punkt.

For høy måloppnåelse

Forklar hva stigningstallet betyr i en praktisk modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 10 · MiddelsLineære funksjoner

Finn likningen til ei rett linje

Oppgave:

Ei rett linje går gjennom punktene $(1,2)$ og $(4,11)$ . Finn funksjonsuttrykket $f(x)$ .

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Bruk stigningstall

$a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Stigningstallet forteller hvor mye y endres når x øker med 1.

Steg 2 — Sett inn punktene

$a=\dfrac{11-2}{4-1}$

Vi bruker forskjellen i y delt på forskjellen i x.

Steg 3 — Regn ut stigningstallet

$a=3$

Dette er koeffisienten foran x i en lineær funksjon.

Steg 4 — Bruk formen

$f(x)=ax+b$

Alle ikke-vertikale rette linjer kan skrives slik.

Steg 5 — Finn konstantleddet

$2=3\cdot 1+b\Rightarrow b=-1$

Vi setter inn ett punkt for å finne skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=3x - 1$

Nå kjenner vi både stigningstall og konstantledd.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Tolkning

Funksjonen beskriver hele linja, ikke bare de to punktene vi fikk oppgitt.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,2),(4,11))

→

y=3x - 1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, 2
x2, y2 = 4, 11
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=3x - 1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Stigningstall: $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Vanlige feil

Teller og nevner i stigningstallet blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og kontroll med ett punkt.

For høy måloppnåelse

Forklar hva stigningstallet betyr i en praktisk modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 11 · MiddelsLineære funksjoner

Finn likningen til ei rett linje

Oppgave:

Ei rett linje går gjennom punktene $(1,-1)$ og $(4,-7)$ . Finn funksjonsuttrykket $f(x)$ .

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Bruk stigningstall

$a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Stigningstallet forteller hvor mye y endres når x øker med 1.

Steg 2 — Sett inn punktene

$a=\dfrac{-7--1}{4-1}$

Vi bruker forskjellen i y delt på forskjellen i x.

Steg 3 — Regn ut stigningstallet

$a=-2$

Dette er koeffisienten foran x i en lineær funksjon.

Steg 4 — Bruk formen

$f(x)=ax+b$

Alle ikke-vertikale rette linjer kan skrives slik.

Steg 5 — Finn konstantleddet

$-1=-2\cdot 1+b\Rightarrow b=1$

Vi setter inn ett punkt for å finne skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-2x + 1$

Nå kjenner vi både stigningstall og konstantledd.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Tolkning

Funksjonen beskriver hele linja, ikke bare de to punktene vi fikk oppgitt.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,-1),(4,-7))

→

y=-2x + 1

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, -1
x2, y2 = 4, -7
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-2x + 1

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Stigningstall: $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Vanlige feil

Teller og nevner i stigningstallet blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og kontroll med ett punkt.

For høy måloppnåelse

Forklar hva stigningstallet betyr i en praktisk modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 12 · MiddelsLineære funksjoner

Finn likningen til ei rett linje

Oppgave:

Ei rett linje går gjennom punktene $(1,2)$ og $(4,-1)$ . Finn funksjonsuttrykket $f(x)$ .

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Bruk stigningstall

$a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Stigningstallet forteller hvor mye y endres når x øker med 1.

Steg 2 — Sett inn punktene

$a=\dfrac{-1-2}{4-1}$

Vi bruker forskjellen i y delt på forskjellen i x.

Steg 3 — Regn ut stigningstallet

$a=-1$

Dette er koeffisienten foran x i en lineær funksjon.

Steg 4 — Bruk formen

$f(x)=ax+b$

Alle ikke-vertikale rette linjer kan skrives slik.

Steg 5 — Finn konstantleddet

$2=-1\cdot 1+b\Rightarrow b=3$

Vi setter inn ett punkt for å finne skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-1x + 3$

Nå kjenner vi både stigningstall og konstantledd.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Tolkning

Funksjonen beskriver hele linja, ikke bare de to punktene vi fikk oppgitt.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,2),(4,-1))

→

y=-1x + 3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, 2
x2, y2 = 4, -1
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-1x + 3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Stigningstall: $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Vanlige feil

Teller og nevner i stigningstallet blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og kontroll med ett punkt.

For høy måloppnåelse

Forklar hva stigningstallet betyr i en praktisk modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 13 · MiddelsLineære funksjoner

Finn likningen til ei rett linje

Oppgave:

Ei rett linje går gjennom punktene $(1,-1)$ og $(4,2)$ . Finn funksjonsuttrykket $f(x)$ .

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Bruk stigningstall

$a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Stigningstallet forteller hvor mye y endres når x øker med 1.

Steg 2 — Sett inn punktene

$a=\dfrac{2--1}{4-1}$

Vi bruker forskjellen i y delt på forskjellen i x.

Steg 3 — Regn ut stigningstallet

$a=1$

Dette er koeffisienten foran x i en lineær funksjon.

Steg 4 — Bruk formen

$f(x)=ax+b$

Alle ikke-vertikale rette linjer kan skrives slik.

Steg 5 — Finn konstantleddet

$-1=1\cdot 1+b\Rightarrow b=-2$

Vi setter inn ett punkt for å finne skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=1x - 2$

Nå kjenner vi både stigningstall og konstantledd.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Tolkning

Funksjonen beskriver hele linja, ikke bare de to punktene vi fikk oppgitt.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,-1),(4,2))

→

y=1x - 2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, -1
x2, y2 = 4, 2
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=1x - 2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Stigningstall: $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Vanlige feil

Teller og nevner i stigningstallet blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og kontroll med ett punkt.

For høy måloppnåelse

Forklar hva stigningstallet betyr i en praktisk modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 14 · KrevendeLineære funksjoner

Finn likningen til ei rett linje

Oppgave:

Ei rett linje går gjennom punktene $(1,2)$ og $(4,8)$ . Finn funksjonsuttrykket $f(x)$ .

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Bruk stigningstall

$a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Stigningstallet forteller hvor mye y endres når x øker med 1.

Steg 2 — Sett inn punktene

$a=\dfrac{8-2}{4-1}$

Vi bruker forskjellen i y delt på forskjellen i x.

Steg 3 — Regn ut stigningstallet

$a=2$

Dette er koeffisienten foran x i en lineær funksjon.

Steg 4 — Bruk formen

$f(x)=ax+b$

Alle ikke-vertikale rette linjer kan skrives slik.

Steg 5 — Finn konstantleddet

$2=2\cdot 1+b\Rightarrow b=0$

Vi setter inn ett punkt for å finne skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=2x$

Nå kjenner vi både stigningstall og konstantledd.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Tolkning

Funksjonen beskriver hele linja, ikke bare de to punktene vi fikk oppgitt.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,2),(4,8))

→

y=2x

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, 2
x2, y2 = 4, 8
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=2x

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Stigningstall: $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Vanlige feil

Teller og nevner i stigningstallet blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og kontroll med ett punkt.

For høy måloppnåelse

Forklar hva stigningstallet betyr i en praktisk modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 15 · KrevendeLineære funksjoner

Finn likningen til ei rett linje

Oppgave:

Ei rett linje går gjennom punktene $(1,5)$ og $(4,14)$ . Finn funksjonsuttrykket $f(x)$ .

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Bruk stigningstall

$a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Stigningstallet forteller hvor mye y endres når x øker med 1.

Steg 2 — Sett inn punktene

$a=\dfrac{14-5}{4-1}$

Vi bruker forskjellen i y delt på forskjellen i x.

Steg 3 — Regn ut stigningstallet

$a=3$

Dette er koeffisienten foran x i en lineær funksjon.

Steg 4 — Bruk formen

$f(x)=ax+b$

Alle ikke-vertikale rette linjer kan skrives slik.

Steg 5 — Finn konstantleddet

$5=3\cdot 1+b\Rightarrow b=2$

Vi setter inn ett punkt for å finne skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=3x + 2$

Nå kjenner vi både stigningstall og konstantledd.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Tolkning

Funksjonen beskriver hele linja, ikke bare de to punktene vi fikk oppgitt.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,5),(4,14))

→

y=3x + 2

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, 5
x2, y2 = 4, 14
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=3x + 2

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Stigningstall: $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Vanlige feil

Teller og nevner i stigningstallet blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og kontroll med ett punkt.

For høy måloppnåelse

Forklar hva stigningstallet betyr i en praktisk modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 16 · LettLineære funksjoner

Finn likningen til ei rett linje

Oppgave:

Ei rett linje går gjennom punktene $(1,-5)$ og $(4,-11)$ . Finn funksjonsuttrykket $f(x)$ .

Skisse av grafen som brukes i oppgaven.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Bruk stigningstall

$a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Stigningstallet forteller hvor mye y endres når x øker med 1.

Steg 2 — Sett inn punktene

$a=\dfrac{-11--5}{4-1}$

Vi bruker forskjellen i y delt på forskjellen i x.

Steg 3 — Regn ut stigningstallet

$a=-2$

Dette er koeffisienten foran x i en lineær funksjon.

Steg 4 — Bruk formen

$f(x)=ax+b$

Alle ikke-vertikale rette linjer kan skrives slik.

Steg 5 — Finn konstantleddet

$-5=-2\cdot 1+b\Rightarrow b=-3$

Vi setter inn ett punkt for å finne skjæringen med y-aksen.

Steg 6 — Skriv funksjonen

$f(x)=-2x - 3$

Nå kjenner vi både stigningstall og konstantledd.

Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner i stigningstallet.

Tolkning

Funksjonen beskriver hele linja, ikke bare de to punktene vi fikk oppgitt.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

Line((1,-5),(4,-11))

→

y=-2x - 3

Kontroll i Python

Python-kontroll

from sympy import symbols
x = symbols('x')
x1, y1 = 1, -5
x2, y2 = 4, -11
a = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y1 - a*x1
print(a, b)

Fasit:

f(x)=-2x - 3

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Stigningstall: $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Vanlige feil

Teller og nevner i stigningstallet blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig stigningstall, riktig konstantledd og kontroll med ett punkt.

For høy måloppnåelse

Forklar hva stigningstallet betyr i en praktisk modell.

📊 Utforsk i GeoGebra

Oppgave 17 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse starter på $1500$ . Den øker med $12\,\%$ per år. Bruk modellen $f(x)=1500\cdot 1{,}12^x$ til å finne verdien etter $7$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

$1+\dfrac{12}{100}=1{,}12$

Ved prosentvis vekst bruker vi en fast faktor for hver periode.

Steg 2 — Skriv modellen

$f(x)=1500\cdot 1{,}12^x$

Startverdien ganges med vekstfaktoren én gang for hvert år.

Steg 3 — Sett inn antall år

$f(7)=1500\cdot 1{,}12^7$

Eksponenten er antall vekstperioder.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}12^7\approx 2{,}2107$

Potensen viser samlet vekstfaktor over flere år.

Steg 5 — Multipliser med startverdien

$f(7)\approx 3316{,}02$

Dette gir modellverdien etter den gitte tiden.

Steg 6 — Avrund praktisk

$f(7)\approx 3316$

I praktiske modeller gir det ofte mening å runde til nærmeste hele enhet.

Vanlig feil: Å legge til samme prosentbeløp hvert år. Ved eksponentiell vekst endres beløpet hvert år.

Tolkning

Verdien etter flere år er større enn startverdien fordi vekstfaktoren er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

1500*1.12⁷

→

3316{,}02

Kontroll i Python

Python-kontroll

start = 1500
faktor = 1.12
aar = 7
verdi = start*faktor**aar
print(round(verdi, 2))

Fasit: Verdien er omtrent

3316{,}02

, altså ca.

3316

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell vekst: $f(x)=a\cdot b^x$ der $b$ er vekstfaktoren.

Vanlige feil

Lineær og eksponentiell vekst blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor, riktig eksponent og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar forskjellen på prosentvis vekst og fast økning.

Oppgave 18 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse starter på $120$ . Den øker med $5\,\%$ per år. Bruk modellen $f(x)=120\cdot 1{,}05^x$ til å finne verdien etter $3$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

$1+\dfrac{5}{100}=1{,}05$

Ved prosentvis vekst bruker vi en fast faktor for hver periode.

Steg 2 — Skriv modellen

$f(x)=120\cdot 1{,}05^x$

Startverdien ganges med vekstfaktoren én gang for hvert år.

Steg 3 — Sett inn antall år

$f(3)=120\cdot 1{,}05^3$

Eksponenten er antall vekstperioder.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}05^3\approx 1{,}1576$

Potensen viser samlet vekstfaktor over flere år.

Steg 5 — Multipliser med startverdien

$f(3)\approx 138{,}92$

Dette gir modellverdien etter den gitte tiden.

Steg 6 — Avrund praktisk

$f(3)\approx 139$

I praktiske modeller gir det ofte mening å runde til nærmeste hele enhet.

Vanlig feil: Å legge til samme prosentbeløp hvert år. Ved eksponentiell vekst endres beløpet hvert år.

Tolkning

Verdien etter flere år er større enn startverdien fordi vekstfaktoren er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

120*1.05³

→

138{,}92

Kontroll i Python

Python-kontroll

start = 120
faktor = 1.05
aar = 3
verdi = start*faktor**aar
print(round(verdi, 2))

Fasit: Verdien er omtrent

138{,}92

, altså ca.

139

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell vekst: $f(x)=a\cdot b^x$ der $b$ er vekstfaktoren.

Vanlige feil

Lineær og eksponentiell vekst blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor, riktig eksponent og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar forskjellen på prosentvis vekst og fast økning.

Oppgave 19 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse starter på $250$ . Den øker med $10\,\%$ per år. Bruk modellen $f(x)=250\cdot 1{,}1^x$ til å finne verdien etter $4$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

$1+\dfrac{10}{100}=1{,}1$

Ved prosentvis vekst bruker vi en fast faktor for hver periode.

Steg 2 — Skriv modellen

$f(x)=250\cdot 1{,}1^x$

Startverdien ganges med vekstfaktoren én gang for hvert år.

Steg 3 — Sett inn antall år

$f(4)=250\cdot 1{,}1^4$

Eksponenten er antall vekstperioder.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}1^4\approx 1{,}4641$

Potensen viser samlet vekstfaktor over flere år.

Steg 5 — Multipliser med startverdien

$f(4)\approx 366{,}03$

Dette gir modellverdien etter den gitte tiden.

Steg 6 — Avrund praktisk

$f(4)\approx 366$

I praktiske modeller gir det ofte mening å runde til nærmeste hele enhet.

Vanlig feil: Å legge til samme prosentbeløp hvert år. Ved eksponentiell vekst endres beløpet hvert år.

Tolkning

Verdien etter flere år er større enn startverdien fordi vekstfaktoren er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

250*1.1⁴

→

366{,}03

Kontroll i Python

Python-kontroll

start = 250
faktor = 1.1
aar = 4
verdi = start*faktor**aar
print(round(verdi, 2))

Fasit: Verdien er omtrent

366{,}03

, altså ca.

366

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell vekst: $f(x)=a\cdot b^x$ der $b$ er vekstfaktoren.

Vanlige feil

Lineær og eksponentiell vekst blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor, riktig eksponent og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar forskjellen på prosentvis vekst og fast økning.

Oppgave 20 · MiddelsIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse starter på $400$ . Den øker med $15\,\%$ per år. Bruk modellen $f(x)=400\cdot 1{,}15^x$ til å finne verdien etter $5$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

$1+\dfrac{15}{100}=1{,}15$

Ved prosentvis vekst bruker vi en fast faktor for hver periode.

Steg 2 — Skriv modellen

$f(x)=400\cdot 1{,}15^x$

Startverdien ganges med vekstfaktoren én gang for hvert år.

Steg 3 — Sett inn antall år

$f(5)=400\cdot 1{,}15^5$

Eksponenten er antall vekstperioder.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}15^5\approx 2{,}0114$

Potensen viser samlet vekstfaktor over flere år.

Steg 5 — Multipliser med startverdien

$f(5)\approx 804{,}54$

Dette gir modellverdien etter den gitte tiden.

Steg 6 — Avrund praktisk

$f(5)\approx 805$

I praktiske modeller gir det ofte mening å runde til nærmeste hele enhet.

Vanlig feil: Å legge til samme prosentbeløp hvert år. Ved eksponentiell vekst endres beløpet hvert år.

Tolkning

Verdien etter flere år er større enn startverdien fordi vekstfaktoren er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

400*1.15⁵

→

804{,}54

Kontroll i Python

Python-kontroll

start = 400
faktor = 1.15
aar = 5
verdi = start*faktor**aar
print(round(verdi, 2))

Fasit: Verdien er omtrent

804{,}54

, altså ca.

805

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell vekst: $f(x)=a\cdot b^x$ der $b$ er vekstfaktoren.

Vanlige feil

Lineær og eksponentiell vekst blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor, riktig eksponent og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar forskjellen på prosentvis vekst og fast økning.

Oppgave 21 · KrevendeIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse starter på $800$ . Den øker med $8\,\%$ per år. Bruk modellen $f(x)=800\cdot 1{,}08^x$ til å finne verdien etter $6$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

$1+\dfrac{8}{100}=1{,}08$

Ved prosentvis vekst bruker vi en fast faktor for hver periode.

Steg 2 — Skriv modellen

$f(x)=800\cdot 1{,}08^x$

Startverdien ganges med vekstfaktoren én gang for hvert år.

Steg 3 — Sett inn antall år

$f(6)=800\cdot 1{,}08^6$

Eksponenten er antall vekstperioder.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}08^6\approx 1{,}5869$

Potensen viser samlet vekstfaktor over flere år.

Steg 5 — Multipliser med startverdien

$f(6)\approx 1269{,}5$

Dette gir modellverdien etter den gitte tiden.

Steg 6 — Avrund praktisk

$f(6)\approx 1269$

I praktiske modeller gir det ofte mening å runde til nærmeste hele enhet.

Vanlig feil: Å legge til samme prosentbeløp hvert år. Ved eksponentiell vekst endres beløpet hvert år.

Tolkning

Verdien etter flere år er større enn startverdien fordi vekstfaktoren er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

800*1.08⁶

→

1269{,}5

Kontroll i Python

Python-kontroll

start = 800
faktor = 1.08
aar = 6
verdi = start*faktor**aar
print(round(verdi, 2))

Fasit: Verdien er omtrent

1269{,}5

, altså ca.

1269

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell vekst: $f(x)=a\cdot b^x$ der $b$ er vekstfaktoren.

Vanlige feil

Lineær og eksponentiell vekst blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor, riktig eksponent og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar forskjellen på prosentvis vekst og fast økning.

Oppgave 22 · KrevendeIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse starter på $1500$ . Den øker med $12\,\%$ per år. Bruk modellen $f(x)=1500\cdot 1{,}12^x$ til å finne verdien etter $7$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

$1+\dfrac{12}{100}=1{,}12$

Ved prosentvis vekst bruker vi en fast faktor for hver periode.

Steg 2 — Skriv modellen

$f(x)=1500\cdot 1{,}12^x$

Startverdien ganges med vekstfaktoren én gang for hvert år.

Steg 3 — Sett inn antall år

$f(7)=1500\cdot 1{,}12^7$

Eksponenten er antall vekstperioder.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}12^7\approx 2{,}2107$

Potensen viser samlet vekstfaktor over flere år.

Steg 5 — Multipliser med startverdien

$f(7)\approx 3316{,}02$

Dette gir modellverdien etter den gitte tiden.

Steg 6 — Avrund praktisk

$f(7)\approx 3316$

I praktiske modeller gir det ofte mening å runde til nærmeste hele enhet.

Vanlig feil: Å legge til samme prosentbeløp hvert år. Ved eksponentiell vekst endres beløpet hvert år.

Tolkning

Verdien etter flere år er større enn startverdien fordi vekstfaktoren er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

1500*1.12⁷

→

3316{,}02

Kontroll i Python

Python-kontroll

start = 1500
faktor = 1.12
aar = 7
verdi = start*faktor**aar
print(round(verdi, 2))

Fasit: Verdien er omtrent

3316{,}02

, altså ca.

3316

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell vekst: $f(x)=a\cdot b^x$ der $b$ er vekstfaktoren.

Vanlige feil

Lineær og eksponentiell vekst blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor, riktig eksponent og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar forskjellen på prosentvis vekst og fast økning.

Oppgave 23 · LettIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse starter på $120$ . Den øker med $5\,\%$ per år. Bruk modellen $f(x)=120\cdot 1{,}05^x$ til å finne verdien etter $3$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

$1+\dfrac{5}{100}=1{,}05$

Ved prosentvis vekst bruker vi en fast faktor for hver periode.

Steg 2 — Skriv modellen

$f(x)=120\cdot 1{,}05^x$

Startverdien ganges med vekstfaktoren én gang for hvert år.

Steg 3 — Sett inn antall år

$f(3)=120\cdot 1{,}05^3$

Eksponenten er antall vekstperioder.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}05^3\approx 1{,}1576$

Potensen viser samlet vekstfaktor over flere år.

Steg 5 — Multipliser med startverdien

$f(3)\approx 138{,}92$

Dette gir modellverdien etter den gitte tiden.

Steg 6 — Avrund praktisk

$f(3)\approx 139$

I praktiske modeller gir det ofte mening å runde til nærmeste hele enhet.

Vanlig feil: Å legge til samme prosentbeløp hvert år. Ved eksponentiell vekst endres beløpet hvert år.

Tolkning

Verdien etter flere år er større enn startverdien fordi vekstfaktoren er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

120*1.05³

→

138{,}92

Kontroll i Python

Python-kontroll

start = 120
faktor = 1.05
aar = 3
verdi = start*faktor**aar
print(round(verdi, 2))

Fasit: Verdien er omtrent

138{,}92

, altså ca.

139

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell vekst: $f(x)=a\cdot b^x$ der $b$ er vekstfaktoren.

Vanlige feil

Lineær og eksponentiell vekst blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor, riktig eksponent og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar forskjellen på prosentvis vekst og fast økning.

Oppgave 24 · LettIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse starter på $250$ . Den øker med $10\,\%$ per år. Bruk modellen $f(x)=250\cdot 1{,}1^x$ til å finne verdien etter $4$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

$1+\dfrac{10}{100}=1{,}1$

Ved prosentvis vekst bruker vi en fast faktor for hver periode.

Steg 2 — Skriv modellen

$f(x)=250\cdot 1{,}1^x$

Startverdien ganges med vekstfaktoren én gang for hvert år.

Steg 3 — Sett inn antall år

$f(4)=250\cdot 1{,}1^4$

Eksponenten er antall vekstperioder.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}1^4\approx 1{,}4641$

Potensen viser samlet vekstfaktor over flere år.

Steg 5 — Multipliser med startverdien

$f(4)\approx 366{,}03$

Dette gir modellverdien etter den gitte tiden.

Steg 6 — Avrund praktisk

$f(4)\approx 366$

I praktiske modeller gir det ofte mening å runde til nærmeste hele enhet.

Vanlig feil: Å legge til samme prosentbeløp hvert år. Ved eksponentiell vekst endres beløpet hvert år.

Tolkning

Verdien etter flere år er større enn startverdien fordi vekstfaktoren er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

250*1.1⁴

→

366{,}03

Kontroll i Python

Python-kontroll

start = 250
faktor = 1.1
aar = 4
verdi = start*faktor**aar
print(round(verdi, 2))

Fasit: Verdien er omtrent

366{,}03

, altså ca.

366

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell vekst: $f(x)=a\cdot b^x$ der $b$ er vekstfaktoren.

Vanlige feil

Lineær og eksponentiell vekst blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor, riktig eksponent og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar forskjellen på prosentvis vekst og fast økning.

Oppgave 25 · LettIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse starter på $400$ . Den øker med $15\,\%$ per år. Bruk modellen $f(x)=400\cdot 1{,}15^x$ til å finne verdien etter $5$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

$1+\dfrac{15}{100}=1{,}15$

Ved prosentvis vekst bruker vi en fast faktor for hver periode.

Steg 2 — Skriv modellen

$f(x)=400\cdot 1{,}15^x$

Startverdien ganges med vekstfaktoren én gang for hvert år.

Steg 3 — Sett inn antall år

$f(5)=400\cdot 1{,}15^5$

Eksponenten er antall vekstperioder.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}15^5\approx 2{,}0114$

Potensen viser samlet vekstfaktor over flere år.

Steg 5 — Multipliser med startverdien

$f(5)\approx 804{,}54$

Dette gir modellverdien etter den gitte tiden.

Steg 6 — Avrund praktisk

$f(5)\approx 805$

I praktiske modeller gir det ofte mening å runde til nærmeste hele enhet.

Vanlig feil: Å legge til samme prosentbeløp hvert år. Ved eksponentiell vekst endres beløpet hvert år.

Tolkning

Verdien etter flere år er større enn startverdien fordi vekstfaktoren er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

400*1.15⁵

→

804{,}54

Kontroll i Python

Python-kontroll

start = 400
faktor = 1.15
aar = 5
verdi = start*faktor**aar
print(round(verdi, 2))

Fasit: Verdien er omtrent

804{,}54

, altså ca.

805

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell vekst: $f(x)=a\cdot b^x$ der $b$ er vekstfaktoren.

Vanlige feil

Lineær og eksponentiell vekst blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor, riktig eksponent og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar forskjellen på prosentvis vekst og fast økning.

Oppgave 26 · LettIkke-lineære funksjoner

Eksponentiell vekstmodell

Oppgave:

En størrelse starter på $800$ . Den øker med $8\,\%$ per år. Bruk modellen $f(x)=800\cdot 1{,}08^x$ til å finne verdien etter $6$ år.

Vis løsning

Hva spør oppgaven om? Vi skal først oversette oppgaveteksten til matematikk. Deretter velger vi riktig regel, regner i små kontrollerbare steg og forklarer hvorfor hvert steg er lov.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

$1+\dfrac{8}{100}=1{,}08$

Ved prosentvis vekst bruker vi en fast faktor for hver periode.

Steg 2 — Skriv modellen

$f(x)=800\cdot 1{,}08^x$

Startverdien ganges med vekstfaktoren én gang for hvert år.

Steg 3 — Sett inn antall år

$f(6)=800\cdot 1{,}08^6$

Eksponenten er antall vekstperioder.

Steg 4 — Regn potensen

$1{,}08^6\approx 1{,}5869$

Potensen viser samlet vekstfaktor over flere år.

Steg 5 — Multipliser med startverdien

$f(6)\approx 1269{,}5$

Dette gir modellverdien etter den gitte tiden.

Steg 6 — Avrund praktisk

$f(6)\approx 1269$

I praktiske modeller gir det ofte mening å runde til nærmeste hele enhet.

Vanlig feil: Å legge til samme prosentbeløp hvert år. Ved eksponentiell vekst endres beløpet hvert år.

Tolkning

Verdien etter flere år er større enn startverdien fordi vekstfaktoren er større enn 1.

Kontroll i GeoGebra (CAS)

GeoGebra · CAS

1

800*1.08⁶

→

1269{,}5

Kontroll i Python

Python-kontroll

start = 800
faktor = 1.08
aar = 6
verdi = start*faktor**aar
print(round(verdi, 2))

Fasit: Verdien er omtrent

1269{,}5

, altså ca.

1269

. (Bekreftet i GeoGebra og Python.)

Regel / huskeregel

Eksponentiell vekst: $f(x)=a\cdot b^x$ der $b$ er vekstfaktoren.

Vanlige feil

Lineær og eksponentiell vekst blandes ofte.

Dette ser sensor etter

Riktig vekstfaktor, riktig eksponent og fornuftig avrunding.

For høy måloppnåelse

Forklar forskjellen på prosentvis vekst og fast økning.