Komplett, originalt løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst med eksakte verdier og håndregning. Del 2 viser digitale kontrollspor med GeoGebra/CAS og Python der det er relevant.
Del 1 - uten hjelpemidler
Del 1 · Oppgave 1Ulikheter og faktorisering
Oppgave 1
Oppgave:
Løs ulikheten \(x^2+7x+6\le 0\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.
Steg 1 — Faktoriser andregradsuttrykket
\[x^2+7x+6=(x+1)(x+6)\]
Faktorisering gjør det mulig å lese av nullpunkter og fortegn.
Del 1 · Oppgave 4Identitet og koeffisientsammenlikning
Oppgave 4
Oppgave:
Gitt likningen \(a(x+b)^2=x^2+8x+c\). Bestem \(a\), \(b\) og \(c\) slik at likningen blir en identitet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.
Steg 1 — Utvid venstresiden
\[a(x+b)^2=a(x^2+2bx+b^2)=ax^2+2abx+ab^2\]
For at uttrykkene skal være like for alle \(x\), må koeffisientene være like.
Steg 2 — Sammenlikn koeffisienten foran \(x^2\)
\[a=1\]
Høyresiden har koeffisient \(1\) foran \(x^2\).
Steg 3 — Sammenlikn koeffisienten foran \(x\)
\[2ab=8\Rightarrow 2b=8\Rightarrow b=4\]
Vi bruker at \(a=1\).
Steg 4 — Finn konstantleddet
\[c=ab^2=1\cdot 4^2=16\]
Konstantleddene må også være like.
Steg 5 — Kontroller identiteten
\[(x+4)^2=x^2+8x+16\]
Utvidelsen viser at identiteten stemmer for alle \(x\).
Tolkning
Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.
Vanlig feil: Å sette inn én tilfeldig \(x\)-verdi. En identitet må gjelde for alle \(x\).
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Utvid(a*(x+b)^2)
→ \(a x^2+2abx+ab^2\)
2
Løs({a=1,2ab=8,c=ab^2},{a,b,c})
→ \(a=1,b=4,c=16\)
Kontroll (Python)
Python
from sympy import symbols, solve
a,b,c = symbols("a b c")
print(solve([a-1, 2*a*b-8, a*b**2-c], [a,b,c], dict=True))
Fasit: \(a=1\), \(b=4\), \(c=16\).
Del 1 · Oppgave 5aTallfølger
Oppgave 5a
Oppgave:
Susanne arbeider med tallfølgen \(1,3,7,13,21,\ldots\). Hun ser mønsteret \(0\cdot1+1=1\), \(1\cdot2+1=3\), \(2\cdot3+1=7\), \(3\cdot4+1=13\). Bestem tall nummer 8.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.
Steg 1 — Koble plassnummer til mønster
\[1\text{. tall}:0\cdot1+1\]
For tall nummer \(n\) brukes faktorene \((n-1)\) og \(n\).
Steg 2 — Sett inn \(n=8\)
\[(8-1)\cdot 8+1\]
Tall nummer 8 får derfor faktorene \(7\) og \(8\).
Steg 3 — Regn ut
\[7\cdot 8+1=56+1=57\]
Dette følger direkte av mønsteret Susanne har skrevet.
Steg 4 — Sjekk mot økningene
\[1,3,7,13,21,31,43,57\]
Differansene øker med \(2\), slik mønsteret tilsier.
Tolkning
Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.
Vanlig feil: Å bruke \(8\cdot9+1\), som ville gitt tall nummer 9 i dette mønsteret.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
a(n):=(n-1)n+1
→ \(a(n)=n(n-1)+1\)
2
a(8)
→ \(57\)
Kontroll (Python)
Python
def a(n):
return (n-1)*n + 1
print(a(8))
Fasit: \(57\).
Del 1 · Oppgave 5bEksplisitt formel
Oppgave 5b
Oppgave:
Sett opp en formel som Susanne kan bruke for å finne tall nummer \(n\) i tallfølgen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.
Steg 1 — Les av indeksforskyvningen
\[0\cdot1,\;1\cdot2,\;2\cdot3,\;3\cdot4\]
Første faktor er én mindre enn plassnummeret.
Steg 2 — Skriv produktet for tall nummer \(n\)
\[(n-1)n\]
Dette gir \(0\cdot1\) når \(n=1\), \(1\cdot2\) når \(n=2\), og så videre.
Steg 3 — Legg til konstantleddet
\[a_n=(n-1)n+1\]
Alle uttrykkene i mønsteret har \(+1\).
Steg 4 — Forenkle ved behov
\[a_n=n^2-n+1\]
Begge former er riktige; den første viser mønsteret tydeligst.
Tolkning
Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.
Vanlig feil: Å skrive \(n(n+1)+1\), som forskyver hele følgen ett ledd.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
a(n):=n(n-1)+1
→ \(a(n)=n^2-n+1\)
Kontroll (Python)
Python
from sympy import symbols, expand
n = symbols("n")
print(expand(n*(n-1)+1))
Fasit: \(a_n=n(n-1)+1=n^2-n+1\).
Del 1 · Oppgave 6Trigonometri i rettvinklet trekant
Oppgave 6
Oppgave:
Om en trekant \(ABC\) får du vite at vinkel \(B\) er \(90^\circ\), og tangens til vinkel \(A\) er \(1\). Lag en figur og forklar hvordan denne trekanten kan se ut.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.
Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.
Vanlig feil: Å bruke Pytagoras. Trekanten er ikke rettvinklet med de oppgitte sidene som kateter.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
sqrt(4^2+(10sqrt(3))^2-2*4*10sqrt(3)*cos(30°))
→ \(14\)
2
4+10sqrt(3)+14
→ \(18+10\sqrt3\)
Kontroll (Python)
Python
from sympy import sqrt, cos, pi, simplify
s = simplify(sqrt(4**2 + (10*sqrt(3))**2 - 2*4*10*sqrt(3)*cos(pi/6)))
print(s)
print(simplify(4+10*sqrt(3)+s))
Fasit: \(18+10\sqrt3\).
Del 1 · Oppgave 8aRasjonale funksjoner
Oppgave 8a
Oppgave:
En rasjonal funksjon \(f\) har ingen nullpunkt og to vertikale asymptoter. Bestem et mulig funksjonsuttrykk \(f(x)\), og argumenter for at svaret er riktig.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.
Steg 1 — Velg en konstant teller
\[f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}\]
En konstant teller lik \(1\) kan aldri bli null.
Steg 2 — Finn nullpunkter
\[f(x)=0 \quad \text{har ingen løsning}\]
En brøk er null bare når telleren er null, og telleren er \(1\).
Ingen felles faktor kan fjernes, så begge asymptotene blir stående.
Tolkning
Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.
Vanlig feil: Å velge et uttrykk der telleren og nevneren har felles faktor; da kan en asymptote bli et hull i stedet.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
1/((x-1)(x+1))
→ \(\text{vertikale asymptoter }x=-1,x=1\)
Kontroll (Python)
Python
from sympy import symbols, solve
x = symbols("x")
print(solve((x-1)*(x+1), x))
Fasit: Et mulig svar er \(f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}\).
Del 1 · Oppgave 8bHorisontal asymptote
Oppgave 8b
Oppgave:
En rasjonal funksjon \(g\) har horisontal asymptote \(y=2\). Grafen til \(g\) skjærer ikke \(y\)-aksen. Bestem et mulig funksjonsuttrykk \(g(x)\), og argumenter for at svaret er riktig.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.
Steg 1 — Velg en funksjon som nærmer seg 2
\[g(x)=2+\dfrac1x\]
Når \(x\) blir svært stor i positiv eller negativ retning, går \(\dfrac1x\) mot \(0\).
Steg 2 — Finn horisontal asymptote
\[\lim_{x\to\pm\infty}\left(2+\dfrac1x\right)=2\]
Derfor er \(y=2\) horisontal asymptote.
Steg 3 — Sjekk \(y\)-aksen
\[x=0\quad \text{er ikke i definisjonsmengden}\]
Grafen kan ikke skjære \(y\)-aksen når funksjonen ikke er definert for \(x=0\).
Steg 4 — Konkluder
\[g(x)=2+\dfrac1x\]
Funksjonen oppfyller begge kravene.
Tolkning
Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.
Vanlig feil: Å velge \(g(x)=2+\dfrac{1}{x+1}\). Den har riktig asymptote, men skjærer \(y\)-aksen i \(3\).
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Limit(2+1/x, x, infinity)
→ \(2\)
2
g(0)
→ \(\text{udefinert}\)
Kontroll (Python)
Python
from sympy import symbols, limit, oo
x = symbols("x")
g = 2 + 1/x
print(limit(g, x, oo))
Fasit: Et mulig svar er \(g(x)=2+\dfrac1x\).
Del 1 · Oppgave 9aDerivasjon og tangent
Oppgave 9a
Oppgave:
Nedenfor ser du grafen til en andregradsfunksjon \(f\). Bunnpunktet har koordinater \((-1,-12{,}5)\). Den rette linjen er en tangent med stigningstall \(5\). Forklar at \(f\prime(4)=5\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.
Steg 1 — Bruk betydningen av den deriverte
\[f\prime(a)=\text{stigningstallet til tangenten i }x=a\]
Den deriverte forteller momentan vekstfart.
Steg 2 — Les av tangeringspunktet
\[(4,0)\]
Tangenten berører grafen i punktet der \(x=4\).
Steg 3 — Bruk gitt stigningstall
\[\text{stigningstall}=5\]
Figuren viser at tangenten stiger \(5\) når den går \(1\) mot høyre.
Steg 4 — Konkluder
\[f\prime(4)=5\]
Dette følger direkte av definisjonen av den deriverte som tangentstigning.
Skisse av parabelen og tangenten brukt i Del 1 oppgave 9.
Tolkning
Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.
Vanlig feil: Å bruke funksjonsverdien \(f(4)=0\) som om den var den deriverte.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Stigning(Tangent(f,4))
→ \(5\)
Fasit: \(f\prime(4)=5\).
Del 1 · Oppgave 9bBestemme derivert funksjon
Oppgave 9b
Oppgave:
Bestem \(f\prime(x)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.
Dette er den lineære vekstfunksjonen til parabelen.
Steg 5 — Kontroller ved \(x=4\)
\[f\prime(4)=4+1=5\]
Dette stemmer med tangentstigningen i figuren.
Tolkning
Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.
Vanlig feil: Å anta at \(f\prime(x)=5\) for alle \(x\). Bare i punktet \(x=4\) er stigningstallet \(5\).
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
f(x):=1/2*(x+1)^2-12.5
→ \(f(x)=0.5(x+1)^2-12.5\)
2
Derivert(f)
→ \(x+1\)
Kontroll (Python)
Python
from sympy import symbols, diff, Rational
x = symbols("x")
f = Rational(1,2)*(x+1)**2 - Rational(25,2)
print(diff(f, x))
Fasit: \(f\prime(x)=x+1\).
Del 2 · Oppgave 1aFunksjonsverdi og modell
Oppgave 1a
Oppgave:
Fru Hansen eier en gammel bil. Når hun kjører med fart \(x\) km/h, slipper bilen ut \(U(x)\) gram \(\mathrm{CO}_2\) per kilometer, der \[U(x)=\dfrac{5400}{x}+0{,}0074x^2+50,\qquad 30
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.
Vipa er en kritisk truet fugleart i Norge. I 2013 var bestanden omtrent \(9000\) par, og i 2022 omtrent \(2500\) par. Tor antar lineær nedgang. La \(x\) være antall år etter 2013. Lag en modell \(f\) for Tors antakelser, og forklar modellen.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.
Vekstfaktoren er mindre enn \(1\), så bestanden synker.
Steg 4 — Skriv modellen
\[g(x)=9000\left(\dfrac{5}{18}\right)^{x/9}\]
Denne formen gir nøyaktig \(2500\) når \(x=9\).
Steg 5 — Tolk modellen
\[1-0{,}8673\approx0{,}1327\]
Modellen sier at bestanden minker med omtrent \(13{,}3\,\%\) per år.
Tolkning
Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.
Vanlig feil: Å bruke en lineær nedgang i en oppgave som ber om eksponentiell modell.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
9000*b^9=2500
→ \(b=(5/18)^{1/9}\)
2
9000*(5/18)^(x/9)
→ \(g(x)\)
Kontroll (Python)
Python
from sympy import symbols, Rational, N
x = symbols("x")
b = Rational(5,18)**Rational(1,9)
print(N(b, 8))
Fasit: \(g(x)=9000\left(\dfrac{5}{18}\right)^{x/9}\), omtrent \(9000\cdot0{,}8673^x\).
Del 2 · Oppgave 3cModellering med horisontal asymptote
Oppgave 3c
Oppgave:
Egil lager først den eksponentielle modellen \(p\). Deretter endrer han den litt og kommer fram til modellen \(q\). Grafene viser at \(p\) går gjennom \((0,7000)\) og \((9,500)\), mens \(q\) går gjennom \((0,9000)\) og \((9,2500)\) og stabiliserer seg mot \(y=2000\). Gjør rede for hvilke antakelser Egil har lagt til grunn for modellen \(q\). Bestem \(p(x)\) og \(q(x)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.
Steg 1 — Tolk stabilisering
\[y=2000\]
Modellen \(q\) antar at bestanden på lang sikt stabiliserer seg rundt \(2000\) par.
Steg 2 — Modeller avstanden over stabiliseringsnivået
\[q(x)-2000=p(x)\]
Det er differansen over \(2000\) som synker eksponentielt.
Steg 3 — Bestem \(p\)
\[p(0)=7000,\qquad p(9)=500\]
Dette svarer til at bestanden går fra \(9000\) til \(2500\), men målt over nivået \(2000\).
Modellen passer datapunktene og har horisontal asymptote \(y=2000\).
Tolkning
Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.
Vanlig feil: Å bruke \(9000\) som startverdi i \(p\). I grafen er \(p\) differansen over stabiliseringsnivået, ikke selve bestanden.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
p(x):=7000*(1/14)^(x/9)
→ \(p(0)=7000,\;p(9)=500\)
2
q(x):=2000+p(x)
→ \(q(0)=9000,\;q(9)=2500\)
Kontroll (Python)
Python
from sympy import symbols, Rational, simplify
x = symbols("x")
p = 7000*Rational(1,14)**(x/9)
q = 2000 + p
print(simplify(p.subs(x, 0)), simplify(p.subs(x, 9)))
print(simplify(q.subs(x, 0)), simplify(q.subs(x, 9)))
Fasit: \(p(x)=7000\left(\dfrac1{14}\right)^{x/9}\) og \(q(x)=2000+7000\left(\dfrac1{14}\right)^{x/9}\).
Del 2 · Oppgave 4Programmering og mønster
Oppgave 4
Oppgave:
Kristian skal lage de \(50\) første figurene i serien. Figur \(4\) bruker \(7\) pinner og \(12\) kuler. Lag et program som beregner og skriver ut hvor mange kuler han vil trenge, og hvor mange pinner han vil trenge.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer metoden, regner trinnvis med nøyaktig notasjon og kontrollerer resultatet digitalt der det er relevant.
Steg 1 — Finn formelen for pinner i figur \(n\)
\[P_n=n+(n-1)=2n-1\]
Figur \(n\) har \(n\) loddrette pinner og \(n-1\) vannrette pinner.
Steg 2 — Finn formelen for kuler i figur \(n\)
\[K_n=n(n-1)\]
Kulene ligger i et rutenett med \(n\) kolonner og \(n-1\) rader.
Programmet skal regne totalbehovet for alle figurene.
Steg 5 — Skriv programlogikken
Vi lar løkken gå fra \(1\) til og med \(50\), legger til pinner og kuler for hver figur og skriver ut totalsummene.
Dette dokumenterer algoritmen tydelig.
For figur nummer \(n\) er det \(n\) loddrette pinner, \(n-1\) vannrette pinner og \(n(n-1)\) kuler.
Tolkning
Svaret må leses i sammenheng med oppgaven: vi oppgir både matematisk resultat og hva resultatet betyr i situasjonen.
Vanlig feil: Å beregne bare figur 50. Oppgaven spør om de 50 første figurene samlet.
Kontroll (GeoGebra CAS)
GeoGebra · CAS
1
Sum(n(n-1), n, 1, 50)
→ \(41650\)
2
Sum(2n-1, n, 1, 50)
→ \(2500\)
Kontroll (Python)
Python
kuler = 0
pinner = 0
for n in range(1, 51):
kuler += n * (n - 1)
pinner += 2*n - 1
print("Kuler:", kuler)
print("Pinner:", pinner)
Fasit: \(41650\) kuler og \(2500\) pinner.
Teknisk kontroll før levering
Filen er kontrollert for MathJax-format: inline-matte bruker \(...\), display-matte bruker \[...\], Python ligger i <pre><code>, og CAS-kommandoer ligger i egne GeoGebra-bokser.
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
