Hva spør oppgaven om? Vi skal finne vertikale og horisontale asymptoter for en rasjonal funksjon.

Steg 1 — Undersøk nevneren

En vertikal asymptote kan oppstå der nevneren er null, så vi løser

\[2x+1=0\]

Dette gir \(x=-\dfrac{1}{2}\).

Steg 2 — Sjekk at telleren ikke også blir null

Telleren ved \(x=-\dfrac{1}{2}\) er

\[12\cdot(-\dfrac{1}{2})-3=-9\]

Den er ikke null. Derfor er \(x=-\dfrac{1}{2}\) en vertikal asymptote.

Steg 3 — Finn horisontal asymptote

Teller og nevner har samme grad. Da er den horisontale asymptoten forholdet mellom koeffisientene foran \(x\):

\[y=\dfrac{12}{2}=6\]

Tolkning

Grafen nærmer seg linjen \(x=-\dfrac{1}{2}\) vertikalt og linjen \(y=6\) når \(x\) blir svært stor eller svært negativ.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x = symbols('x')
f = (12*x - 3)/(2*x + 1)
print(solve(2*x + 1, x))
print(limit(f, x, oo))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne alle \(x\)-verdier som gjør andregradsuttrykket negativt.

Steg 1 — Faktoriser uttrykket

Vi trenger to tall med produkt \(-12\) og sum \(-4\). Det er \(-6\) og \(2\).

\[x^2-4x-12=(x-6)(x+2)\]

Steg 2 — Finn nullpunktene

Nullpunktene er

\[x=6 \quad \text{og} \quad x=-2\]

Steg 3 — Bruk fortegn

Parabelen vender oppover fordi koeffisienten foran \(x^2\) er positiv. Uttrykket er derfor negativt mellom nullpunktene.

Steg 4 — Skriv løsningsmengden

Dermed får vi

\[-2

Tolkning

Grafen til \(y=x^2-4x-12\) ligger under \(x\)-aksen mellom \(-2\) og \(6\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x')
print(solve_univariate_inequality(x**2 - 4*x - 12 < 0, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage ett eksempel på en andregradsfunksjon som har nøyaktig ett nullpunkt og konstantledd \(9\).

Steg 1 — Bruk at ett nullpunkt betyr dobbeltrot

En andregradsfunksjon med ett nullpunkt kan skrives som et kvadrat:

\[f(x)=a(x-r)^2\]

Steg 2 — Velg en enkel dobbeltrot

Velger vi \(r=3\) og \(a=1\), får vi

\[f(x)=(x-3)^2\]

Steg 3 — Sjekk skjæring med y-aksen

Skjæring med \(y\)-aksen finner vi ved \(x=0\):

\[f(0)=(0-3)^2=9\]

Steg 4 — Sjekk nullpunkt

\((x-3)^2=0\) bare når \(x=3\). Dermed har funksjonen ett nullpunkt.

Tolkning

Grafen tangerer \(x\)-aksen i \(x=3\) og skjærer \(y\)-aksen i \(9\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
f = (x-3)**2
print(f.subs(x,0))
print(solve(f, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse en tredjegradslikning eksakt ved faktorisering.

Steg 1 — Prøv en enkel heltallsrot

Vi tester \(x=1\):

\[1^3-7\cdot1^2-10\cdot1+16=0\]

Dermed er \(x=1\) en rot, og \(x-1\) er en faktor.

Steg 2 — Del polynomet på \(x-1\)

Polynomdivisjon gir

\[x^3-7x^2-10x+16=(x-1)(x^2-6x-16)\]

Steg 3 — Faktoriser andregradsuttrykket

Vi trenger to tall med produkt \(-16\) og sum \(-6\). Det er \(-8\) og \(2\).

\[x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\]

Steg 4 — Sett hver faktor lik null

\[(x-1)(x-8)(x+2)=0\]

Da får vi

\[x=1 \quad \text{eller} \quad x=8 \quad \text{eller} \quad x=-2\]

Tolkning

Likningen har tre reelle løsninger, som også er nullpunktene til funksjonen i deloppgave b.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, factor, solve
x = symbols('x')
p = x**3 - 7*x**2 - 10*x + 16
print(factor(p))
print(solve(p, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke algebraiske kjennetegn for å velge riktig graf.

Steg 1 — Bruk nullpunktene fra deloppgave a

Vi fant

\[x=-2,\quad x=1,\quad x=8\]

Grafen må derfor krysse \(x\)-aksen tre steder.

Steg 2 — Bruk konstantleddet

\[f(0)=16\]

Grafen skal derfor skjære \(y\)-aksen over \(x\)-aksen.

Steg 3 — Bruk ledende koeffisient

Koeffisienten foran \(x^3\) er positiv. Da går grafen ned til venstre og opp til høyre.

Steg 4 — Sammenlign med alternativene

Graf C har positivt skjæringspunkt med \(y\)-aksen og riktig endeoppførsel for en tredjegradsfunksjon med positiv ledende koeffisient. Den kan også ha tre nullpunkter.

Tolkning

Riktig graf må stemme både med fortegn, nullpunkter og skjæring med \(y\)-aksen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = x**3 - 7*x**2 - 10*x + 16
print(f.subs(x, 0))
print('ledende koeffisient =', 1)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke en likesidet trekant til å finne eksakte trigonometriske verdier.

Steg 1 — Del den likesidede trekanten i to

Når høyden trekkes fra toppen til grunnlinjen, deles trekanten i to kongruente rettvinklede trekanter.

Steg 2 — Bruk sidelengdene

Den opprinnelige siden er \(2\), og halve grunnlinjen er \(1\). I den rettvinklede trekanten er hypotenusen \(2\) og den korte kateten \(1\).

Steg 3 — Finn \(\sin 30^\circ\)

For vinkelen \(30^\circ\) er motstående katet \(1\), og hypotenusen er \(2\):

\[\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}\]

Steg 4 — Finn \(\cos 60^\circ\)

For vinkelen \(60^\circ\) er hosliggende katet \(1\), og hypotenusen er \(2\):

\[\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\]

Tolkning

De to verdiene blir like fordi de to spisse vinklene i den rettvinklede trekanten er komplementvinkler.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import sin, cos, pi, simplify
print(simplify(sin(pi/6)))
print(simplify(cos(pi/3)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne arealet når to sider og vinkelen mellom dem er kjent.

Steg 1 — Velg riktig formel

Når to sider og den mellomliggende vinkelen er kjent, bruker vi arealsetningen:

\[A=\dfrac{1}{2}bc\sin A\]

Steg 2 — Sett inn sidene

Her er de to sidene \(10\) og \(6\), og vinkelen mellom dem er \(30^\circ\):

\[A=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\cdot \sin 30^\circ\]

Steg 3 — Bruk eksakt verdi

Fra deloppgave a vet vi at

\[\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}\]

Steg 4 — Regn ut

\[A=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\cdot \dfrac{1}{2}=15\]

Tolkning

Arealet av trekanten er \(15\) kvadratenheter.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import Rational, sin, pi
print(Rational(1,2)*10*6*sin(pi/6))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne den tredje siden når to sider og vinkelen mellom dem er kjent.

Steg 1 — Bruk cosinussetningen

Siden \(QR\) ligger mot vinkelen \(P\), så

\[QR^2=PQ^2+PR^2-2\cdot PQ\cdot PR\cdot \cos P\]

Steg 2 — Sett inn verdiene

\[QR^2=8^2+3^2-2\cdot 8\cdot 3\cdot \cos 60^\circ\]

Steg 3 — Bruk \(\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\)

\[QR^2=64+9-2\cdot 8\cdot 3\cdot \dfrac{1}{2}\]

Steg 4 — Regn ut

\[QR^2=64+9-24=49\]

\[QR=7\]

Tolkning

Lengden er positiv, derfor bruker vi den positive kvadratroten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import sqrt, cos, pi, simplify
print(simplify(sqrt(8**2 + 3**2 - 2*8*3*cos(pi/3))))

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvorfor CAS ikke gir én bestemt løsning, men uttrykker at likningen alltid er sann.

Steg 1 — Utvid høyresiden

\[(x+2)(x-2)=x^2-4\]

Dette er konjugatsetningen.

Steg 2 — Sammenlign sidene

Likningen blir dermed

\[x^2-4=x^2-4\]

Steg 3 — Tolk CAS-resultatet

Når CAS viser \(x=x\), betyr det at enhver verdi av \(x\) oppfyller likningen.

Steg 4 — Forklar begrepet identitet

En identitet er en likhet som er sann for alle verdier variabelen kan ha.

Tolkning

Likningen har ikke bare én løsning; alle reelle tall er løsninger.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, expand, simplify
x = symbols('x')
print(expand((x+2)*(x-2)))
print(simplify((x**2-4) - (x+2)*(x-2)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal forstå hva programmet gjør, ikke bare kjøre det.

Steg 1 — Les funksjonen

Programmet undersøker funksjonen

\[f(x)=x^2+2x-15\]

Steg 2 — Se hvilket intervall som undersøkes

Variabelen starter på \(x=-5\), og løkken går så lenge \(x\le 5\). Programmet undersøker derfor heltallsverdiene

\[-5,-4,-3,\ldots,4,5\]

Steg 3 — Forstå variabelen verdi

verdi lagrer den minste funksjonsverdien som er funnet så langt.

Steg 4 — Finn minimumet

Parabelen har topp-/bunnlinje ved

\[x=-\dfrac{2}{2}=-1\]

Da er

\[f(-1)=(-1)^2+2(-1)-15=-16\]

Tolkning

Siri finner den minste verdien til \(f(x)\) for heltallige \(x\)-verdier fra \(-5\) til \(5\). Verdien som skrives ut, er \(-16\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

def f(x):
    return x ** 2 + 2 * x - 15

x = -5
verdi = f(x)
while x <= 5:
    if f(x) < verdi:
        verdi = f(x)
    x = x + 1
print(verdi)

Hva spør oppgaven om? Vi skal dokumentere at modellen gir verdier som ligger rimelig nær tabellverdiene.

Steg 1 — Oversett månedene til \(x\)-verdier

Januar 2023 gir \(x=1\), mai 2023 gir \(x=5\), oktober 2023 gir \(x=10\), februar 2024 gir \(x=14\), august 2024 gir \(x=20\), og oktober 2024 gir \(x=22\).

Steg 2 — Beregn modellverdier

Steg 3 — Vurder avvikene

Modellverdiene følger den samme kraftige veksten som dataene. Noen punkter avviker, men modellen treffer størrelsesordenen og trenden godt.

Steg 4 — Tolk vekstfaktoren

Vekstfaktoren \(1{,}2\) betyr at modellen øker med omtrent \(20\,\%\) per måned.

Tolkning

Modellen er en rimelig beskrivelse av utviklingen i perioden, men ikke en garanti for nøyaktige enkelttall.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

K = lambda x: 27.8 * 1.2**x
for x in [1,5,10,14,20,22]:
    print(x, round(K(x), 1))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig økning per måned mellom \(x=4\) og \(x=21\).

Steg 1 — Bruk stigningstallsformelen

\[m=\dfrac{K(21)-K(4)}{21-4}\]

Steg 2 — Beregn modellverdiene

\[K(4)=27{,}8\cdot1{,}2^4\approx57{,}65\]

\[K(21)=27{,}8\cdot1{,}2^{21}\approx1278{,}94\]

Steg 3 — Regn ut stigningstallet

\[m=\dfrac{1278{,}94-57{,}65}{17}\approx71{,}84\]

Tolkning

Mellom april 2023 og september 2024 økte antall registrerte tilfeller ifølge modellen i gjennomsnitt med omtrent \(72\) tilfeller per måned.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

K = lambda x: 27.8 * 1.2**x
print((K(21)-K(4))/(21-4))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke modellen til å gjøre en framskriving.

Steg 1 — Finn riktig \(x\)-verdi

Mai 2025 er \(29\) måneder etter desember 2022:

\[x=29\]

Steg 2 — Sett inn i modellen

\[K(29)=27{,}8\cdot1{,}2^{29}\]

Steg 3 — Regn ut

\[K(29)\approx5499{,}2\]

Steg 4 — Rund av til hele tilfeller

Antall tilfeller må være et helt tall, så vi runder til omtrent \(5500\).

Tolkning

Ifølge modellen blir det omtrent \(5500\) registrerte tilfeller i mai 2025. Siden dette er utenfor dataperioden, er svaret en modellbasert prognose.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

K = lambda x: 27.8 * 1.2**x
print(round(K(29)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne to ukjente antall fra to opplysninger: totalt antall sekker og total vekt.

Steg 1 — Definer variabler

La \(s\) være antall små sekker og \(l\) være antall store sekker.

Steg 2 — Sett opp likningene

Totalt antall sekker gir

\[s+l=80\]

Total vekt gir

\[4{,}5s+12l=720\]

Steg 3 — Løs første likning for \(s\)

\[s=80-l\]

Steg 4 — Sett inn i vektlikningen

\[4{,}5(80-l)+12l=720\]

\[360-4{,}5l+12l=720\]

\[7{,}5l=360\]

\[l=48\]

Steg 5 — Finn \(s\)

\[s=80-48=32\]

Tolkning

Butikken solgte \(32\) små sekker og \(48\) store sekker.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, solve
s, l = symbols('s l')
print(solve([s+l-80, 4.5*s + 12*l - 720], [s,l]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sirkelens diameter ved å bruke arealet av de tolv like trekantene.

Steg 1 — Finn arealet av én trekant

Tolvkanten består av \(12\) like trekanter, og totalarealet er \(120\). Derfor er arealet av én trekant

\[\dfrac{120}{12}=10\]

Steg 2 — Bruk sentralvinkelen

En hel sirkel er \(360^\circ\), så hver trekant har toppvinkel

\[\dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ\]

Steg 3 — Skriv arealet med radius \(r\)

To sider i trekanten er radiuser, så

\[10=\dfrac{1}{2}r^2\sin 30^\circ\]

Steg 4 — Bruk \(\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}\)

\[10=\dfrac{1}{2}r^2\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{r^2}{4}\]

\[r^2=40\]

\[r=2\sqrt{10}\]

Steg 5 — Finn diameteren

\[d=2r=4\sqrt{10}\]

Tolkning

Diameteren i sirkelen er dobbelt så lang som radiusen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, sin, pi, solve, sqrt
r = symbols('r', positive=True)
print(solve((1/2)*r**2*sin(pi/6)-10, r))
print(2*2*sqrt(10))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sidekanten i tolvkanten og multiplisere med \(12\).

Steg 1 — Bruk radius fra deloppgave a

Vi fant

\[r=2\sqrt{10}\]

Steg 2 — Del trekanten i to

Sentralvinkelen er \(30^\circ\). Halvparten er \(15^\circ\), og halv side i tolvkanten blir

\[r\sin 15^\circ\]

Steg 3 — Finn én side

\[s=2r\sin 15^\circ\]

Med \(\sin 15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) får vi

\[s=2\cdot 2\sqrt{10}\cdot\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\]

\[s=2\sqrt{15}-2\sqrt{5}\]

Steg 4 — Multipliser med \(12\)

\[O=12s=12(2\sqrt{15}-2\sqrt{5})\]

\[O=24(\sqrt{15}-\sqrt{5})\]

Tolkning

Dette er den eksakte omkretsen av den regulære tolvkanten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import sqrt, sin, pi, simplify
r = 2*sqrt(10)
s = 2*r*sin(pi/12)
print(simplify(12*s))

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive en presis framgangsmåte før vi skriver kode.

Steg 1 — Tell de første figurene

Figurene har \(4\), \(9\) og \(16\) grønne kvadrater.

Steg 2 — Finn mønsteret

\[4=2^2,\quad 9=3^2,\quad 16=4^2\]

For figur nummer \(n\) passer regelen

\[a_n=(n+1)^2\]

Steg 3 — Lag algoritmen

En algoritme kan være:

Start med \(n=1\). Så lenge \(n\le 20\), beregn \((n+1)^2\), skriv ut figurnummer og antall kvadrater, og øk \(n\) med \(1\).

Tolkning

Algoritmen bruker mønsteret i figurene og gjentar beregningen for de \(20\) første figurene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

for n in range(1,4):
    print(n, (n+1)**2)

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre algoritmen om til et fungerende program.

Steg 1 — Bruk en løkke

Vi trenger en løkke som går gjennom figurnumrene fra \(1\) til \(20\).

Steg 2 — Beregn antall kvadrater

For hver figur bruker vi

\[a_n=(n+1)^2\]

Steg 3 — Skriv ut resultatet

Programmet bør skrive både figurnummer og antall kvadrater, slik at resultatet blir lett å lese.

Tolkning

Programmet dokumenterer mønsteret og produserer en tabell for de \(20\) første figurene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

for n in range(1, 21):
    antall = (n + 1)**2
    print(n, antall)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage figurer etter tur helt til neste figur ikke får plass innenfor \(1\,000\,000\) kvadrater.

Steg 1 — Bruk samme formel

Figur \(n\) krever

\[(n+1)^2\]

små kvadrater.

Steg 2 — Hold orden på restbeholdningen

Vi starter med \(1\,000\,000\) kvadrater og trekker fra antallet for hver figur som lages.

Steg 3 — Stopp før beholdningen blir negativ

Løkken skal fortsette så lenge vi har nok kvadrater til neste figur.

Steg 4 — Resultat fra programmet

Programmet gir at vi kan lage \(142\) figurer. Da er det brukt \(984\,983\) kvadrater og igjen

\[1\,000\,000-984\,983=15\,017\]

Tolkning

Det er ikke nok kvadrater igjen til figur \(143\), fordi den krever \(144^2=20\,736\) kvadrater.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

rest = 1_000_000
n = 0
while rest >= (n + 2)**2:
    n = n + 1
    rest = rest - (n + 1)**2
print(n, rest)

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne høyde og overflate for flere radier når volumet er fast.

Steg 1 — Løs volumformelen for høyden

\[V=\pi r^2h\]

Når \(V=450\), får vi

\[h=\dfrac{450}{\pi r^2}\]

Steg 2 — Beregn høydene

For hver radius setter vi inn i formelen for \(h\).

Steg 3 — Beregn overflaten

Deretter bruker vi

\[O=\pi r^2+2\pi rh\]

Steg 4 — Oversikt

Tolkning

Overflaten blir først mindre når radius øker, men begynner deretter å øke igjen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import math
for r in [2,4,6,8]:
    h = 450/(math.pi*r*r)
    O = math.pi*r*r + 2*math.pi*r*h
    print(r, round(h,1), round(O,1), 450)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en funksjon som gir overflaten når radiusen varierer og volumet er fast.

Steg 1 — Start med høyden

Fra volumkravet har vi

\[h=\dfrac{450}{\pi r^2}\]

Steg 2 — Sett høyden inn i overflateformelen

\[O=\pi r^2+2\pi rh\]

gir

\[O(r)=\pi r^2+2\pi r\cdot\dfrac{450}{\pi r^2}\]

Steg 3 — Forenkle

\[O(r)=\pi r^2+\dfrac{900}{r}\]

Her må \(r>0\).

Steg 4 — Grafisk framstilling

I GeoGebra kan vi skrive O(x)=pi*x^2+900/x og velge et positivt vindu, for eksempel \(0

Tolkning

Grafen viser at overflaten har et bunnpunkt, altså en radius som gir minst mulig overflate.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, pi, simplify
r = symbols('r', positive=True)
h = 450/(pi*r**2)
O = pi*r**2 + 2*pi*r*h
print(simplify(O))

Hva spør oppgaven om? Vi skal minimere funksjonen \(O(r)=\pi r^2+\dfrac{900}{r}\).

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[O(r)=\pi r^2+\dfrac{900}{r}\]

\[O'(r)=2\pi r-\dfrac{900}{r^2}\]

Steg 2 — Sett den deriverte lik null

\[2\pi r-\dfrac{900}{r^2}=0\]

Steg 3 — Løs for \(r\)

\[2\pi r^3=900\]

\[r^3=\dfrac{450}{\pi}\]

\[r=\sqrt[3]{\dfrac{450}{\pi}}\approx5{,}23\]

Steg 4 — Finn minste overflate

\[O(5{,}23)\approx258{,}0\]

Tolkning

Radius bør være omtrent \(5{,}2\,\text{cm}\), og minste overflate blir omtrent \(258\,\text{cm}^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import sympy as sp
r = sp.symbols('r', positive=True)
O = sp.pi*r**2 + 900/r
r0 = (450/sp.pi)**(sp.Rational(1,3))
print(sp.N(r0), sp.N(O.subs(r, r0)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal foreslå mulige rasjonale funksjoner som har de samme hovedtrekkene som grafene.

Steg 1 — Lag en nevner for \(f\)

Grafen til \(f\) har to vertikale asymptoter. Vi kan velge dem som \(x=-1\) og \(x=1\). Da kan nevneren være

\[(x+1)(x-1)=x^2-1\]

Steg 2 — Velg teller for \(f\)

Grafen har horisontal asymptote \(y=0\), så telleren bør ha lavere grad enn nevneren. Et mulig valg er

\[2x-1\]

Da blir

\[f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-1}\]

Steg 3 — Kontroller kjennetegnene til \(f\)

Nevneren er null ved \(x=-1\) og \(x=1\), og telleren er ikke null der. Dermed får grafen to vertikale asymptoter. Siden tellergraden er lavere enn nevnergraden, er \(y=0\) horisontal asymptote. Nullpunktet er \(x=\dfrac{1}{2}\).

Steg 4 — Lag en nevner for \(g\)

Grafen til \(g\) har ingen vertikale asymptoter. Da bør nevneren ikke ha reelle nullpunkter. Et enkelt valg er

\[x^2+1\]

Steg 5 — Velg teller for \(g\)

Vi kan velge en lineær teller, for eksempel \(2x+1\). Da får vi

\[g(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+1}\]

Denne har nullpunkt \(x=-\dfrac{1}{2}\), positiv skjæring med \(y\)-aksen og horisontal asymptote \(y=0\).

Tolkning

Det finnes flere riktige svar. Det viktige er at funksjonene har riktige asymptoter, nullpunkter og generell grafisk form.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, solve, limit, oo
x = symbols('x')
f = (2*x-1)/(x**2-1)
g = (2*x+1)/(x**2+1)
print('f denominator roots:', solve(x**2-1, x))
print('g denominator roots:', solve(x**2+1, x))
print('limits:', limit(f, x, oo), limit(g, x, oo))