Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sidene i den rettvinklede trekanten til å beregne tangensverdiene for de to spisse vinklene.

Steg 1 — Finn motstående og hosliggende side til \(u\)

For vinkelen \(u\) er den motstående kateten \(6\), og den hosliggende kateten er \(8\).

Derfor får vi

\[\tan u=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\]

Vi bruker tangens fordi tangens i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motstående og hosliggende katet.

Steg 2 — Finn motstående og hosliggende side til \(v\)

For vinkelen \(v\) er den motstående kateten \(8\), og den hosliggende kateten er \(6\).

Da er

\[\tan v=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\]

Steg 3 — Multipliser tangensverdiene

\[\tan u\cdot \tan v=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{4}{3}=1\]

Produktet blir \(1\) fordi brøkene er inverse av hverandre.

Tolkning

Toms påstand stemmer for trekanten på figuren: de to tangensverdiene opphever hverandre når de multipliseres.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import Rational
tan_u = Rational(6, 8)
tan_v = Rational(8, 6)
print(tan_u*tan_v)

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om resultatet fra én bestemt trekant også gjelder generelt.

Steg 1 — Bruk at de spisse vinklene er komplementvinkler

I en rettvinklet trekant er de to spisse vinklene til sammen \(90^\circ\).

\[u+v=90^\circ\]

Dermed er \(v=90^\circ-u\).

Steg 2 — Skriv tangens for en generell trekant

La katetene være \(p\) og \(q\). For den ene spisse vinkelen er

\[\tan u=\dfrac{p}{q}\]

For den andre spisse vinkelen bytter katetene rolle:

\[\tan v=\dfrac{q}{p}\]

Steg 3 — Multipliser

\[\tan u\cdot \tan v=\dfrac{p}{q}\cdot \dfrac{q}{p}=1\]

Dette gjelder så lenge \(p\) og \(q\) er positive katetlengder.

Tolkning

Påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler, fordi de to tangensforholdene alltid blir inverse.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, simplify
p, q = symbols('p q', positive=True)
print(simplify((p/q)*(q/p)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at produktet består av to faktorer ved å dele polynomet på hver av faktorene og få resten \(0\).

Steg 1 — Del på den lineære faktoren

Første mulige divisjon er

\[\left(2x^3+3x^2-11x-6\right):\left(x-2\right)\]

Polynomdivisjon gir

\[\dfrac{2x^3+3x^2-11x-6}{x-2}=2x^2+7x+3\]

Resten er \(0\), så \(x-2\) er en faktor.

Steg 2 — Kontroller divisjonen ved multiplikasjon

\[\left(x-2\right)\left(2x^2+7x+3\right)=2x^3+3x^2-11x-6\]

Dette viser at første divisjon stemmer.

Steg 3 — Del på andregradsfaktoren

Den andre mulige divisjonen er

\[\left(2x^3+3x^2-11x-6\right):\left(2x^2+7x+3\right)\]

Da får vi

\[\dfrac{2x^3+3x^2-11x-6}{2x^2+7x+3}=x-2\]

Også her er resten \(0\).

Steg 4 — Forklar hvorfor begge divisjonene beviser faktoriseringen

Når en divisjon gir rest \(0\), betyr det at dividenden er lik divisor multiplisert med kvotient.

Begge divisjonene gir derfor samme faktorisering:

\[2x^3+3x^2-11x-6=\left(2x^2+7x+3\right)\left(x-2\right)\]

Tolkning

Guri kan ha delt polynomet på \(x-2\) og på \(2x^2+7x+3\). Begge divisjonene viser den samme faktoriseringen fra hver sin side.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, div
x = symbols('x')
P = 2*x**3 + 3*x**2 - 11*x - 6
print(div(P, x - 2))
print(div(P, 2*x**2 + 7*x + 3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive det samme grønne arealet på to måter og sette uttrykkene lik hverandre.

Steg 1 — Areal som stort kvadrat minus lite kvadrat

Hele figuren er et kvadrat med side \(a\), og det hvite kvadratet har side \(b\).

Det grønne arealet er derfor

\[a^2-b^2\]

Steg 2 — Areal som summen av to grønne rektangler

Det venstre grønne rektangelet har bredde \(a-b\) og høyde \(a\), og det øverste høyre grønne rektangelet har bredde \(b\) og høyde \(a-b\).

Dermed er grønt areal

\[a\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)\]

Steg 3 — Faktoriser felles faktor

Begge leddene har faktoren \(a-b\).

\[a\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\]

Steg 4 — Sett arealuttrykkene lik hverandre

Siden uttrykkene beskriver samme grønne område, får vi identiteten

\[a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\]

Tolkning

Figuren gir en geometrisk begrunnelse for konjugatsetningen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, expand
a, b = symbols('a b')
print(expand((a-b)*(a+b)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne utskriften fra programmet og tolke hva beregningen representerer matematisk.

Steg 1 — Identifiser funksjonen og intervallet

Programmet bruker

\[f\left(x\right)=x^2-3x+7\]

og intervallet fra \(a=0\) til \(b=5\).

Steg 2 — Beregn funksjonsverdiene

\[f\left(0\right)=0^2-3\cdot 0+7=7\]

\[f\left(5\right)=5^2-3\cdot 5+7=17\]

Steg 3 — Sett inn i uttrykket for \(v\)

\[v=\dfrac{f\left(5\right)-f\left(0\right)}{5-0}=\dfrac{17-7}{5}=2\]

Dette er stigningstallet til sekanten gjennom punktene \(\left(0,f\left(0\right)\right)\) og \(\left(5,f\left(5\right)\right)\).

Tolkning

Programmet skriver ut \(2\). Verdien forteller at den gjennomsnittlige vekstfarten til \(f\) på intervallet \([0,5]\) er \(2\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

def f(x):
    return x**2 - 3*x + 7

a = 0
b = 5
v = (f(b) - f(a))/(b - a)
print(v)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bestemme funksjonsuttrykket til en parabel ved å bruke nullpunktene og punktet \(\left(0,24\right)\).

Steg 1 — Bruk nullpunktene

Grafen skjærer \(x\)-aksen i \(x=-3\) og \(x=4\). Da kan funksjonen skrives som

\[f\left(x\right)=a\left(x+3\right)\left(x-4\right)\]

Faktoren \(a\) bestemmer hvor bratt og hvilken vei parabelen vender.

Steg 2 — Bruk punktet på y-aksen

Grafen går gjennom \(\left(0,24\right)\), altså er \(f\left(0\right)=24\).

\[24=a\left(0+3\right)\left(0-4\right)=-12a\]

Steg 3 — Løs for \(a\)

\[-12a=24\]

\[a=-2\]

Steg 4 — Skriv funksjonsuttrykket

\[f\left(x\right)=-2\left(x+3\right)\left(x-4\right)\]

Utvidet form blir

\[f\left(x\right)=-2x^2+2x+24\]

Tolkning

Den negative koeffisienten foran \(x^2\) stemmer med at grafen vender nedover.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, expand, solve
x, a = symbols('x a')
print(solve(a*(0+3)*(0-4)-24, a))
print(expand(-2*(x+3)*(x-4)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne for hvilke \(x\)-verdier grafen ligger over linjen \(y=12\).

Steg 1 — Sett inn funksjonsuttrykket

Fra deloppgave a har vi

\[f\left(x\right)=-2x^2+2x+24\]

Ulikheten blir

\[-2x^2+2x+24>12\]

Steg 2 — Flytt alt til én side

\[-2x^2+2x+12>0\]

Steg 3 — Del på \(-2\) og snu ulikhetstegnet

\[x^2-x-6<0\]

Ulikhetstegnet snur fordi vi deler på et negativt tall.

Steg 4 — Faktoriser

\[x^2-x-6=\left(x-3\right)\left(x+2\right)\]

Vi skal derfor løse

\[\left(x-3\right)\left(x+2\right)<0\]

Steg 5 — Bruk fortegn

Produktet er negativt mellom nullpunktene \(-2\) og \(3\).

\[-2

Tolkning

Grafen ligger over \(y=12\) for alle \(x\)-verdier mellom \(-2\) og \(3\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x')
print(solve_univariate_inequality(-2*x**2 + 2*x + 24 > 12, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal dokumentere at en andregradsmodell passer rimelig godt til punktene i tabellen.

Steg 1 — Legg punktene inn i et digitalt verktøy

Vi bruker punktene \(\left(100,1450\right),\left(130,2300\right),\ldots,\left(235,4175\right)\).

Steg 2 — Utfør andregradsregresjon

I GeoGebra kan vi bruke kommandoen RegPoly(liste1, 2). Regresjonen gir en modell svært nær

\[O\left(x\right)=-0{,}09x^2+51{,}04x-2776{,}98\]

Steg 3 — Sammenlign modell og data

Verdiene ligger nær de observerte overskuddene.

Steg 4 — Vurder formen på modellen

Koeffisienten foran \(x^2\) er negativ, så modellen har et toppunkt. Det passer med at overskuddet først øker, men etter hvert flater ut.

Tolkning

Modellen er god innenfor området som ligger nær datamaterialet, omtrent \(100\) til \(235\) solgte bagetter.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import numpy as np
x = np.array([100,130,160,175,190,220,235], dtype=float)
y = np.array([1450,2300,3050,3365,3720,4140,4175], dtype=float)
print(np.polyfit(x, y, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne maksimumspunktet til en andregradsfunksjon.

Steg 1 — Se på koeffisienten foran \(x^2\)

\[O\left(x\right)=-0{,}09x^2+51{,}04x-2776{,}98\]

Siden \(-0{,}09<0\), vender parabelen nedover og har et toppunkt.

Steg 2 — Finn \(x\)-verdien til toppunktet

For \(ax^2+bx+c\) er toppunktets \(x\)-verdi

\[x=-\dfrac{b}{2a}\]

Her er \(a=-0{,}09\) og \(b=51{,}04\), så

\[x=-\dfrac{51{,}04}{2\cdot\left(-0{,}09\right)}\approx 283{,}6\]

Steg 3 — Rund til hele bagetter

Kantinen kan ikke selge \(0{,}6\) bagett, så vi vurderer omtrent \(284\) bagetter.

Steg 4 — Finn overskuddet

\[O\left(284\right)\approx 4459\]

Overskuddet blir omtrent \(4460\) kroner.

Tolkning

Modellen tilsier at størst overskudd fås ved omtrent \(284\) solgte bagetter per uke.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols
x = symbols('x')
O = -0.09*x**2 + 51.04*x - 2776.98
xv = -51.04/(2*(-0.09))
print(xv, O.subs(x, xv), O.subs(x, 284))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig endring i overskudd per ekstra bagett mellom \(100\) og \(200\) bagetter.

Steg 1 — Bruk formelen for stigningstall

\[m=\dfrac{O\left(200\right)-O\left(100\right)}{200-100}\]

Steg 2 — Beregn modellverdiene

\[O\left(100\right)=1427{,}02\]

\[O\left(200\right)=3831{,}02\]

Steg 3 — Sett inn

\[m=\dfrac{3831{,}02-1427{,}02}{100}=24{,}04\]

Tolkning

Mellom \(100\) og \(200\) solgte bagetter øker overskuddet i gjennomsnitt med omtrent \(24\) kroner per ekstra bagett.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

O = lambda x: -0.09*x**2 + 51.04*x - 2776.98
print((O(200)-O(100))/(200-100))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne den deriverte av overskuddsmodellen ved \(x=235\).

Steg 1 — Deriver modellen

\[O\left(x\right)=-0{,}09x^2+51{,}04x-2776{,}98\]

\[O'\left(x\right)=-0{,}18x+51{,}04\]

Steg 2 — Sett inn \(x=235\)

\[O'\left(235\right)=-0{,}18\cdot 235+51{,}04=8{,}74\]

Steg 3 — Tolke enheten

\(O\) måles i kroner og \(x\) i bagetter, derfor måles \(O'\left(235\right)\) i kroner per bagett.

Tolkning

Når kantinen produserer og selger rundt \(235\) bagetter, øker overskuddet ifølge modellen med omtrent \(8{,}74\) kroner for én ekstra solgt bagett.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff
x = symbols('x')
O = -0.09*x**2 + 51.04*x - 2776.98
print(diff(O, x))
print(diff(O, x).subs(x, 235))

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette \(v=39^\circ\) inn i sammenhengen og løse for \(u\).

Steg 1 — Sett inn \(v=39^\circ\)

\[\sin u=1{,}33\cdot \sin\left(39^\circ\right)\]

Steg 2 — Regn høyresiden

\[1{,}33\cdot \sin\left(39^\circ\right)\approx 0{,}837\]

Steg 3 — Bruk invers sinus

\[u=\sin^{-1}\left(0{,}837\right)\approx 56{,}8^\circ\]

Tolkning

Innfalsvinkelen i luft må være omtrent \(57^\circ\) for at vinkelen i vann skal bli \(39^\circ\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import math
u = math.degrees(math.asin(1.33*math.sin(math.radians(39))))
print(u)

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke hvilken verdi \(v\) nærmer seg når \(u\) blir så stor som mulig.

Steg 1 — Bruk at \(\sin u\) nærmer seg \(1\)

Når \(u\to 90^\circ\), får vi \(\sin u\to 1\).

Steg 2 — Sett dette inn i formelen

\[1=1{,}33\cdot \sin v\]

Dermed blir

\[\sin v=\dfrac{1}{1{,}33}\]

Steg 3 — Finn vinkelen

\[v=\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{1{,}33}\right)\approx 48{,}8^\circ\]

Tolkning

Vinkelen \(v\) nærmer seg omtrent \(48{,}8^\circ\), men blir ikke \(90^\circ\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import math
print(math.degrees(math.asin(1/1.33)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke om det finnes en positiv vinkel som kan være lik på begge sider av vannoverflaten.

Steg 1 — Anta at vinklene er like

Sett \(u=v\) i formelen:

\[\sin u=1{,}33\cdot \sin u\]

Steg 2 — Flytt alt til én side

\[0=0{,}33\cdot \sin u\]

Dermed må \(\sin u=0\).

Steg 3 — Vurder vinklene i situasjonen

For vinkler mellom \(0^\circ\) og \(90^\circ\) er \(\sin u>0\).

Den eneste løsningen fra likningen er \(u=0^\circ\), som ikke er en reell brytningssituasjon med to positive vinkler.

Tolkning

Vinklene kan ikke bli like store når lysstrålen faktisk danner en positiv vinkel med normalen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, sin, solve
u = symbols('u')
# sin(u) = 1.33 sin(u) gives 0.33 sin(u)=0
print('sin(u)=0, so u=0 degrees in the relevant interval')

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke arealformelen med to sider og mellomliggende vinkel for å finne \(AC\), og deretter cosinussetningen for å finne \(BC\).

Steg 1 — Sett \(AC=x\)

Vi kjenner \(AB=8\), \(\angle A=120^\circ\), og arealet \(4\sqrt{3}\).

Steg 2 — Bruk arealformelen

\[\text{Areal}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A\]

Dermed får vi

\[4\sqrt{3}=\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot x\cdot \sin\left(120^\circ\right)\]

Steg 3 — Bruk eksakt sinusverdi

\[\sin\left(120^\circ\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]

Da blir

\[4\sqrt{3}=4x\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=2x\sqrt{3}\]

Altså er \(x=2\). Dermed er \(AC=2\).

Steg 4 — Bruk cosinussetningen for \(BC\)

\[BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A\]

\[BC^2=8^2+2^2-2\cdot 8\cdot 2\cdot \cos\left(120^\circ\right)\]

Steg 5 — Bruk \(\cos\left(120^\circ\right)=-\dfrac{1}{2}\)

\[BC^2=64+4-32\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)=84\]

\[BC=\sqrt{84}=2\sqrt{21}\]

Tolkning

Den lange siden ligger mot den store vinkelen \(120^\circ\), så \(BC=2\sqrt{21}\) er rimelig større enn både \(AB\) og \(AC\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, sqrt, sin, cos, pi, solve, simplify
x = symbols('x')
AC = solve(4*sqrt(3) - (1/2)*8*x*sin(2*pi/3), x)[0]
BC = sqrt(8**2 + AC**2 - 2*8*AC*cos(2*pi/3))
print(AC, simplify(BC))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et program som bygger summen gradvis og skriver ut hver delsum.

Steg 1 — Bruk formelen for oddetall nummer \(n\)

Oddetall nummer \(n\) er

\[2n-1\]

For eksempel er \(2\cdot 1-1=1\), \(2\cdot 2-1=3\) og \(2\cdot 3-1=5\).

Steg 2 — Lag en løpende sum

Vi starter med \(S=0\), legger til ett oddetall om gangen og skriver ut summen etter hver runde.

Steg 3 — Program

Programmet under skriver ut summene fra \(S_1\) til \(S_{20}\).

Tolkning

Programmet dokumenterer både algoritmen og resultatene. Det er viktigere enn bare å skrive de ferdige tallene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

S = 0
for n in range(1, 21):
    oddetall = 2*n - 1
    S += oddetall
    print(f'S_{n} = {S}')

Hva spør oppgaven om? Vi skal formulere mønsteret og gi et argument, ikke bare gjette fra de første tallene.

Steg 1 — Se på de første summene

\[S_1=1\]

\[S_2=1+3=4\]

\[S_3=1+3+5=9\]

\[S_4=1+3+5+7=16\]

Steg 2 — Gjenkjenn kvadrattallene

Summene er

\[1,4,9,16,25,\ldots\]

Dette er \(1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,\ldots\).

Steg 3 — Skriv sammenhengen

For de \(n\) første oddetallene får vi

\[S_n=1+3+5+\cdots+\left(2n-1\right)=n^2\]

Steg 4 — Argumenter med figuren

Når vi går fra et \(\left(n-1\right)\times \left(n-1\right)\)-kvadrat til et \(n\times n\)-kvadrat, må vi legge på en L-formet kant.

Denne kanten består av

\[n^2-\left(n-1\right)^2=2n-1\]

ruter, altså akkurat neste oddetall.

Tolkning

Summen av de \(n\) første oddetallene er alltid arealet av et \(n\times n\)-kvadrat.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, summation, simplify
k, n = symbols('k n', integer=True, positive=True)
print(simplify(summation(2*k - 1, (k, 1, n))))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en potensmodell fra tabellen over lufttrykk og kokepunkt.

Steg 1 — Legg inn datapunktene

Punktene er \(\left(1000,100\right),\left(500,81{,}4\right),\left(200,60{,}1\right),\left(80,41{,}5\right),\left(40,29\right)\).

Steg 2 — Bruk potensregresjon

I GeoGebra kan vi bruke RegPot(liste1). En slik regresjon gir omtrent

\[K\left(x\right)=7{,}56x^{0{,}380}\]

Steg 3 — Kontroller mot tabellen

Modellen treffer ikke alle punktene nøyaktig, men beskriver trenden godt.

Tolkning

Når lufttrykket synker, synker modellen for kokepunktet også.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import numpy as np
x = np.array([1000,500,200,80,40], dtype=float)
y = np.array([100,81.4,60.1,41.5,29], dtype=float)
b, loga = np.polyfit(np.log(x), np.log(y), 1)
a = np.exp(loga)
print(a, b)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage to eksponentialmodeller for lufttrykk som funksjon av høyde.

Steg 1 — Startverdi

Ved havoverflaten er lufttrykket omtrent \(1000\) hPa. Derfor skal begge modellene ha startverdi \(1000\).

Steg 2 — Aris modell

Hvis trykket minker med \(12\,\%\) per km, beholder det \(88\,\%\) av forrige verdi per km.

Derfor er Aris modell

\[A\left(x\right)=1000\cdot 0{,}88^x\]

Steg 3 — Lisas modell

Hvis trykket halveres for hver \(5{,}5\) km, kan vi skrive vekstfaktoren som

\[\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5{,}5}}\]

Dermed er Lisas modell

\[L\left(x\right)=1000\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5{,}5}}\]

Tolkning

Begge modellene beskriver avtakende lufttrykk med høyden, men bruker litt ulike antakelser om avtakningen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

# Modellene
# Ari: 1000*0.88**x
# Lisa: 1000*(1/2)**(x/5.5)
print('A(x)=1000*0.88**x')
print('L(x)=1000*(1/2)**(x/5.5)')

Hva spør oppgaven om? Vi må først finne hvilket lufttrykk som gir kokepunkt \(85^\circ\mathrm{C}\), og deretter finne hvilken høyde som gir dette lufttrykket.

Steg 1 — Bruk kokepunktmodellen

Fra deloppgave a bruker vi

\[K\left(x\right)=7{,}56x^{0{,}380}\]

Vi setter \(K\left(x\right)=85\).

Steg 2 — Løs for lufttrykket

\[7{,}56x^{0{,}380}=85\]

Digital løsning gir omtrent

\[x\approx 578\]

Vannet må altså koke ved minst omtrent \(578\) hPa for å nå \(85^\circ\mathrm{C}\).

Steg 3 — Bruk Aris trykkmodell

\[1000\cdot 0{,}88^h=578\]

Dette gir

\[h\approx 4{,}28\]

Steg 4 — Bruk Lisas trykkmodell

\[1000\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{h}{5{,}5}}=578\]

Dette gir

\[h\approx 4{,}35\]

Tolkning

Begge modellene gir omtrent samme svar: Grensen ligger rundt \(4{,}3\) km over havet. Høyere enn dette blir kokepunktet lavere enn \(85^\circ\mathrm{C}\), ifølge modellene.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import math
a = 7.562014238181065
b = 0.38041725019186995
p = (85/a)**(1/b)
h_ari = math.log(p/1000)/math.log(0.88)
h_lisa = 5.5*math.log(p/1000)/math.log(0.5)
print(p, h_ari, h_lisa)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke grafen til den deriverte for å finne tangentens stigningstall i punktet \(P\).

Steg 1 — Les av den deriverte

Fra grafen ser vi at den rette linjen går gjennom for eksempel \(\left(2,0\right)\) og \(\left(4,4\right)\). Stigningstallet er

\[\dfrac{4-0}{4-2}=2\]

Dermed kan linjen skrives som

\[f'\left(x\right)=2x-4\]

Steg 2 — Finn tangentens stigningstall i \(P\)

Punktet har \(x=1\). Derfor er

\[f'\left(1\right)=2\cdot 1-4=-2\]

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 3 — Bruk punktet \(P\left(1,2\right)\)

En linje med stigningstall \(-2\) gjennom \(\left(1,2\right)\) kan skrives

\[y-2=-2\left(x-1\right)\]

Steg 4 — Skriv på formen \(y=ax+b\)

\[y-2=-2x+2\]

\[y=-2x+4\]

Tolkning

Tangenten faller med \(2\) enheter i \(y\)-retning for hver enhet vi går mot høyre fra punktet.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, expand
x = symbols('x')
y = 2 + (-2)*(x - 1)
print(expand(y))

Hva spør oppgaven om? Dette er en konstruksjonsoppgave. Vi må velge tre ulike funksjoner og avgrense dem slik at grafstykkene danner en lukket kurve.

Steg 1 — Velg to parabler med bunnpunkt på \(y\)-aksen

Vi kan bruke

\[g\left(x\right)=x^2-1\]

på intervallet \([-2,0]\). Denne har bunnpunkt \(\left(0,-1\right)\).

Vi kan også bruke

\[h\left(x\right)=2x^2-1\]

på intervallet \([0,\sqrt{2}]\). Denne har også bunnpunkt \(\left(0,-1\right)\).

Steg 2 — Finn endepunktene til de to parablene

For \(g\):

\[g\left(-2\right)=3,\quad g\left(0\right)=-1\]

For \(h\):

\[h\left(0\right)=-1,\quad h\left(\sqrt{2}\right)=3\]

Dermed kan vi bruke \(A=\left(-2,3\right)\), \(C=\left(0,-1\right)\) og \(B=\left(\sqrt{2},3\right)\).

Steg 3 — Velg den tredje funksjonen

For å lukke kurven fra \(A\) til \(B\) kan vi bruke den horisontale linjen

\[p\left(x\right)=3\]

på intervallet \([-2,\sqrt{2}]\).

Steg 4 — Vis at kravene er oppfylt

Funksjonene er ulike: \(g\), \(h\) og \(p\) har forskjellige uttrykk.

To av grafene, \(g\) og \(h\), har bunnpunkt på \(y\)-aksen. Dessuten har \(A\) og \(B\) samme \(y\)-koordinat, siden begge ligger på \(y=3\).

Tolkning

De tre avgrensede grafstykkene danner en lukket kurve: \(A\to C\) langs \(g\), \(C\to B\) langs \(h\), og \(B\to A\) langs \(p\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, sqrt
x = symbols('x')
g = x**2 - 1
h = 2*x**2 - 1
print(g.subs(x,-2), g.subs(x,0))
print(h.subs(x,0), h.subs(x,sqrt(2)))