Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sidene i den rettvinklede trekanten til å vise identiteten for akkurat denne vinkelen.

Steg 1 - Finn hypotenusen

Den lengste siden er hypotenusen, altså \(10\).

Dette er siden som ligger mot den rette vinkelen.

Steg 2 - Finn motstående og hosliggende katet

For vinkelen \(u\) er motstående katet \(8\), og hosliggende katet \(6\).

Dette leses direkte fra figuren.

Steg 3 - Skriv sinus og cosinus

\[\sin u=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5},\qquad \cos u=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\]

Steg 4 - Kvadrer og legg sammen

\[\left(\sin u\right)^2+\left(\cos u\right)^2=\left(\dfrac{4}{5}\right)^2+\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}+\dfrac{9}{25}=1\]

Tolkning

For denne trekanten blir summen av kvadratene av sinus og cosinus lik \(1\). Det er den trigonometriske identiteten \(\sin^2 u+\cos^2 u=1\).

Kontroll (Python)

from fractions import Fraction
sin_u = Fraction(8, 10)
cos_u = Fraction(6, 10)
print(sin_u**2 + cos_u**2)

Hva spør oppgaven om? Grafen skjærer \(x\)-aksen der funksjonsverdien er \(0\).

Steg 1 - Sett funksjonen lik null

\[x^2-2x-8=0\]

Skjæringspunkter med \(x\)-aksen har alltid \(y=0\).

Steg 2 - Faktoriser andregradsuttrykket

Vi trenger to tall med produkt \(-8\) og sum \(-2\). Tallene er \(-4\) og \(2\).

\[x^2-2x-8=\left(x-4\right)\left(x+2\right)\]

Steg 3 - Bruk nullproduktregelen

\[\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0\]

Da må minst én faktor være \(0\).

Steg 4 - Løs de to enkle likningene

\[x-4=0\Rightarrow x=4\]

\[x+2=0\Rightarrow x=-2\]

Steg 5 - Skriv som punkter

Punktene på \(x\)-aksen er \(\left(-2,0\right)\) og \(\left(4,0\right)\).

Tolkning

Grafen krysser \(x\)-aksen to steder.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x = symbols("x")
print(solve(x**2 - 2*x - 8, x))

Hva spør oppgaven om? En identitet betyr at venstre og høyre side skal være like for alle \(x\).

Steg 1 - Faktoriser venstresiden

Vi ser at \(x=1\) er et nullpunkt fordi \(1-5-8+12=0\). Da er \(x-1\) en faktor.

Steg 2 - Del polynomet på \(x-1\)

\[x^3-5x^2-8x+12=\left(x-1\right)\left(x^2-4x-12\right)\]

Steg 3 - Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2-4x-12=\left(x-6\right)\left(x+2\right)\]

Steg 4 - Sammenlikn med høyresiden

\[\left(x-1\right)\left(x+a\right)\left(x-b\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x-6\right)\]

Dermed kan vi velge \(a=2\) og \(b=6\).

Steg 5 - Merk om rekkefølgen

Faktorene kan bytte plass, men formen i oppgaven gjør \(x+a=x+2\) og \(x-b=x-6\) naturlig.

Tolkning

Med disse verdiene blir likningen sann for alle \(x\), ikke bare for enkelte løsninger.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand
x = symbols("x")
print(expand((x - 1)*(x + 2)*(x - 6)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av asymptoter og punkter fra grafen og sette opp et rasjonalt funksjonsuttrykk.

Steg 1 - Les av asymptotene

Grafen har vertikal asymptote \(x=1\) og horisontal asymptote \(y=3\).

Steg 2 - Velg standardform

En rasjonal funksjon med disse asymptotene kan skrives som

\[f(x)=3+\dfrac{k}{x-1}\]

Konstanten \(3\) gir horisontal asymptote, og nevneren \(x-1\) gir vertikal asymptote.

Steg 3 - Bruk et punkt fra grafen

Grafen skjærer \(x\)-aksen ved \(x=2\). Dermed er \(f(2)=0\).

\[0=3+\dfrac{k}{2-1}\]

Steg 4 - Finn \(k\)

\[0=3+k\Rightarrow k=-3\]

Steg 5 - Skriv funksjonen

\[f(x)=3-\dfrac{3}{x-1}\]

Dette kan også skrives som \(f(x)=\dfrac{3x-6}{x-1}\).

Steg 6 - Kontroller med et annet punkt

Ved \(x=0\) får vi \(f(0)=3-\dfrac{3}{-1}=6\), som stemmer med grafen.

Tolkning

Funksjonen nærmer seg \(y=3\) når \(x\) blir stor, og den er ikke definert for \(x=1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
x = symbols("x")
f = 3 - 3/(x - 1)
print(simplify(f.subs(x, 2)))
print(simplify(f.subs(x, 0)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal skissere \(f\), ikke \(f'\). Grafen til \(f'\) forteller hvor \(f\) øker og avtar.

Steg 1 - Les av nullpunktene til \(f'\)

Grafen til \(f'\) har omtrent nullpunktene \(-3{,}12\), \(1\) og \(5{,}12\).

Der kan \(f\) ha lokale topp- eller bunnpunkter.

Steg 2 - Finn fortegn til \(f'\)

Fra grafen ser vi omtrent:

\[f'<0 \text{ før } -3{,}12,\quad f'>0 \text{ mellom } -3{,}12 \text{ og } 1,\quad f'<0 \text{ mellom } 1 \text{ og } 5{,}12,\quad f'>0 \text{ etter } 5{,}12\]

Steg 3 - Oversett til form på \(f\)

Dermed avtar \(f\), øker, avtar og øker i de fire intervallene.

Steg 4 - Plasser nullpunktene til \(f\)

Skissen må skjære \(x\)-aksen i \(x=-4\), \(x=-2\), \(x=4\) og \(x=6\).

Steg 5 - Lag en mulig skisse

Skissen over er én mulig graf. Det finnes flere riktige skisser, men de må ha samme nullpunkter og samme øke-/avta-mønster.

Tolkning

Der \(f'\) går fra negativ til positiv, får \(f\) et bunnpunkt. Der \(f'\) går fra positiv til negativ, får \(f\) et toppunkt.

Kontroll

Kontrollen er grafisk: nullpunktene til \(f\) og fortegnsskiftene til \(f'\) må stemme med skissen.

Hva spør oppgaven om? Vi må finne når \(T(x)>0\) i intervallet \(\left[2,10\right]\), og gjøre tidsintervallet om til omtrent antall døgn.

Steg 1 - Finn nullpunktene i intervallet

Med CAS får vi nullpunktene i modellintervallet:

\[x\approx 5{,}772\quad \text{og}\quad x\approx 8{,}906\]

Det er disse som avgrenser perioden med temperatur over \(0\) °C.

Steg 2 - Finn lengden på intervallet

\[8{,}906-5{,}772\approx 3{,}134\]

Dette er omtrent \(3{,}134\) månedsskala-enheter.

Steg 3 - Gjør om til døgn

Fra 1. februar til 1. oktober er det omtrent \(242\) døgn, og intervallet \(\left[2,10\right]\) har lengde \(8\).

\[3{,}134\cdot \dfrac{242}{8}\approx 94{,}8\]

Steg 4 - Rund av praktisk

Det er derfor omtrent \(95\) døgn.

Tolkning

Modellen sier at temperaturen er over frysepunktet fra omtrent slutten av mai til slutten av august.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, nroots
x = symbols("x")
T = 0.048*x**4 - 1.4*x**3 + 13.36*x**2 - 45.8*x + 35.2
roots = [r for r in nroots(T) if abs(r.as_real_imag()[1]) < 1e-10 and 2 <= float(r) <= 10]
print(roots)
print((float(roots[1]) - float(roots[0]))*242/8)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig endring i temperatur per månedsskala-enhet fra 1. mars til 1. juli.

Steg 1 - Bruk formelen for stigningstall

\[a=\dfrac{T(7)-T(3)}{7-3}\]

Steg 2 - Finn funksjonsverdiene

\[T(3)\approx -15{,}872\]

\[T(7)\approx 4{,}288\]

Steg 3 - Regn stigningstallet

\[a=\dfrac{4{,}288-\left(-15{,}872\right)}{4}\approx 5{,}04\]

Steg 4 - Tolking

Fra 1. mars til 1. juli øker gjennomsnittstemperaturen med omtrent \(5{,}04\) °C per måned, ifølge modellen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols
x = symbols("x")
T = 0.048*x**4 - 1.4*x**3 + 13.36*x**2 - 45.8*x + 35.2
print((T.subs(x, 7) - T.subs(x, 3))/(7 - 3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal analysere \(T'\), altså vekstfarten til temperaturen.

Steg 1 - Deriver modellen

\[T'(x)=0{,}192x^3-4{,}2x^2+26{,}72x-45{,}8\]

Steg 2 - Finn nullpunkter til \(T'\) i intervallet

\[T'(x)=0\Rightarrow x\approx 2{,}761\quad \text{og}\quad x\approx 7{,}333\]

Det tredje nullpunktet ligger utenfor perioden \(\left[2,10\right]\).

Steg 3 - Tolk nullpunktene

Ved \(x\approx 2{,}761\) har \(T\) et lokalt bunnpunkt med \(T\approx -16{,}09\) °C. Ved \(x\approx 7{,}333\) har \(T\) et lokalt toppunkt med \(T\approx 4{,}50\) °C.

Steg 4 - Finn ekstremalpunkter til \(T'\)

Ekstremalpunkter til \(T'\) finnes der \(T''(x)=0\).

\[T''(x)=0{,}576x^2-8{,}4x+26{,}72\]

\[T''(x)=0\Rightarrow x\approx 4{,}688\quad \text{og}\quad x\approx 9{,}895\]

Steg 5 - Finn koordinatene

\[T'(4{,}688)\approx 6{,}94\]

\[T'(9{,}895)\approx -6{,}62\]

Steg 6 - Tolk ekstremalpunktene til \(T'\)

Ved \(x\approx 4{,}688\) øker temperaturen raskest, omtrent \(6{,}94\) °C per måned. Ved \(x\approx 9{,}895\) synker temperaturen raskest, omtrent \(6{,}62\) °C per måned.

Tolkning

Nullpunktene til \(T'\) forteller når temperaturen slutter å synke eller stige. Ekstremalpunktene til \(T'\) forteller når temperaturendringen er sterkest.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, nroots
x = symbols("x")
T = 0.048*x**4 - 1.4*x**3 + 13.36*x**2 - 45.8*x + 35.2
Tp = diff(T, x)
Tpp = diff(Tp, x)
print(nroots(Tp))
print(nroots(Tpp))

Hva spør oppgaven om? Tauet skal dekke én lengde og to bredder, ikke siden langs elven.

Steg 1 - Sett opp sammenhengen

\[L+2B=80\]

Her er \(L\) lengde og \(B\) bredde.

Steg 2 - Sett inn lengden

\[60+2B=80\]

Steg 3 - Løs for bredden

\[2B=20\Rightarrow B=10\]

Steg 4 - Regn arealet

\[A=L\cdot B=60\cdot 10=600\]

Tolkning

Området blir \(600\) kvadratmeter.

Kontroll (Python)

L = 60
B = (80 - L)/2
A = L*B
print(B, A)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en tabell som viser hvordan arealet varierer når lengden endres.

Steg 1 - Bruk sammenhengen

\[B=\dfrac{80-L}{2}\]

Steg 2 - Lag tabell

\[\begin{array}{c|c|c}L&B&A=L\cdot B\\hline 20&30&600\30&25&750\40&20&800\50&15&750\60&10&600\end{array}\]

Steg 3 - Finn største areal i tabellen

Det største arealet i tabellen er \(800\ \text{m}^2\), når \(L=40\) og \(B=20\).

Steg 4 - Sammenlikn lengde og bredde

\[40=2\cdot 20\]

Lengden er altså dobbelt så lang som bredden.

Tolkning

Tabellen beviser ikke alene at dette er absolutt størst, men den gir god støtte for Hermans påstand.

Kontroll (Python)

for L in [20, 30, 40, 50, 60]:
    B = (80 - L)/2
    A = L*B
    print(L, B, A)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en arealfunksjon og bruke grafen eller toppunktet til å vise maksimum.

Steg 1 - Skriv bredden som funksjon av lengden

\[B=\dfrac{80-L}{2}=40-\dfrac{L}{2}\]

Steg 2 - Sett opp arealfunksjonen

\[A(L)=L\left(40-\dfrac{L}{2}\right)=40L-\dfrac{1}{2}L^2\]

Gyldig område er \(0\le L\le 80\).

Steg 3 - Finn toppunktet

Dette er en parabel som vender nedover. Toppunktet ligger ved

\[L=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-40}{2\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)}=40\]

Steg 4 - Finn bredden og arealet

\[B=40-\dfrac{40}{2}=20\]

\[A(40)=40\cdot 20=800\]

Steg 5 - Vis Hermans påstand

Siden \(L=40\) og \(B=20\), får vi \(L=2B\). Det viser at Herman har rett.

Tolkning

Grafen til \(A\) har maksimum i \(\left(40,800\right)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve
L = symbols("L")
A = L*(80 - L)/2
print(solve(diff(A, L), L))
print(A.subs(L, 40))

Hva spør oppgaven om? Vi deler figuren i trekantene \(ABC\) og \(ACD\). Først finner vi \(AC\).

Steg 1 - Finn arealet av \(\triangle ABC\)

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem:

\[A_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 5\cdot \sin 75^\circ\]

\[A_{ABC}\approx 24{,}15\]

Steg 2 - Finn diagonalen \(AC\) med cosinussetningen

\[AC^2=10^2+5^2-2\cdot 10\cdot 5\cdot \cos 75^\circ\]

\[AC\approx 9{,}956\]

Steg 3 - Bruk Herons formel for \(\triangle ACD\)

I \(\triangle ACD\) kjenner vi sidene \(6\), \(9\) og \(AC\).

\[s=\dfrac{6+9+9{,}956}{2}\approx 12{,}478\]

Steg 4 - Regn arealet av \(\triangle ACD\)

\[A_{ACD}=\sqrt{s\left(s-6\right)\left(s-9\right)\left(s-AC\right)}\approx 26{,}63\]

Steg 5 - Legg sammen arealene

\[A\approx 24{,}15+26{,}63=50{,}78\]

Tolkning

Arealet av hele figuren er omtrent \(50{,}8\) kvadratenheter.

Kontroll (Python)

from sympy import sin, cos, pi, sqrt, N
AC = sqrt(10**2 + 5**2 - 2*10*5*cos(75*pi/180))
A_ABC = 0.5*10*5*sin(75*pi/180)
s = (6 + 9 + AC)/2
A_ACD = sqrt(s*(s-6)*(s-9)*(s-AC))
print(N(AC), N(A_ABC), N(A_ACD), N(A_ABC + A_ACD))

Hva spør oppgaven om? Figur 2 viser seks rektangler fra \(x=0\) til \(x=6\), hvert med bredde \(1\), og høyder hentet fra venstre endepunkt.

Steg 1 - Finn bredden

Intervallet \(\left[0,6\right]\) deles i seks deler, så bredden er

\[\Delta x=1\]

Steg 2 - Finn høydene

\[f(0)=4,\quad f(1)=\dfrac{50}{9},\quad f(2)=\dfrac{16}{3},\quad f(3)=4,\quad f(4)=\dfrac{20}{9},\quad f(5)=\dfrac{2}{3}\]

Steg 3 - Legg sammen rektangelarealene

\[A\approx 1\cdot \left(4+\dfrac{50}{9}+\dfrac{16}{3}+4+\dfrac{20}{9}+\dfrac{2}{3}\right)\]

Steg 4 - Regn eksakt sum

\[A=\dfrac{196}{9}\approx 21{,}78\]

Tolkning

Dette er en tilnærming, ikke det eksakte arealet under grafen.

Kontroll (Python)

from fractions import Fraction
def f(x):
    return Fraction(1, 9)*(x + 1)*(x - 6)**2
A = sum(f(i) for i in range(6))
print(A, float(A))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et program som summerer mange smale rektangler.

Steg 1 - Definer funksjonen

Funksjonen er \(f(x)=\dfrac{1}{9}\left(x+1\right)\left(x-6\right)^2\).

Steg 2 - Velg intervall og antall rektangler

Vi bruker \(x_{\min}=0\), \(x_{\max}=6\) og \(n\) rektangler.

Steg 3 - Finn bredden

\[\text{bredde}=\dfrac{x_{\max}-x_{\min}}{n}\]

Steg 4 - Summer arealene

Vi legger sammen \(f(x)\cdot \text{bredde}\) for hvert rektangel.

Program

def f(x):
    return 1/9 * (x + 1) * (x - 6)**2

x_min = 0
x_maks = 6
n = 6000

bredde = (x_maks - x_min)/n
areal = 0

for i in range(n):
    x = x_min + i*bredde
    areal = areal + f(x)*bredde

print(areal)

Tolkning

Når \(n\) blir stor, blir rektanglene smale, og summen nærmer seg det virkelige arealet under grafen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal kjøre programmet med \(n=6000\).

Steg 1 - Sett inn \(n=6000\)

Bredden blir

\[\Delta x=\dfrac{6}{6000}=0{,}001\]

Steg 2 - Kjør rektangelsummen

Med venstre endepunkter får vi en verdi svært nær \(20\).

Steg 3 - Oppgi tilnærmet areal

\[A\approx 20{,}00\]

Steg 4 - Kontroll mot eksakt integral

\[\int_0^6 \dfrac{1}{9}\left(x+1\right)\left(x-6\right)^2\,dx=20\]

Dette forklarer hvorfor rektangelsummen med mange rektangler blir omtrent \(20\).

Tolkning

Arealet av det grønne området er omtrent \(20\) arealenheter.

Kontroll (Python)

def f(x):
    return 1/9 * (x + 1) * (x - 6)**2

n = 6000
bredde = 6/n
areal = sum(f(i*bredde)*bredde for i in range(n))
print(areal)

# Kontroll med sympy-integral
from sympy import symbols, integrate
x = symbols("x")
print(integrate((x + 1)*(x - 6)**2/9, (x, 0, 6)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke arealet av \(\triangle ABC\) ved hjelp av radiusen \(r\).

Steg 1 - Del trekanten

Vi deler \(\triangle ABC\) i \(\triangle ASB\) og \(\triangle BSC\).

Steg 2 - Finn vinkelen \(\angle ASB\)

Siden \(SA=SB=r\), er \(\triangle ASB\) likebeint. Når \(\angle SBA=30^\circ\), er også \(\angle SAB=30^\circ\).

\[\angle ASB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ\]

Steg 3 - Areal av \(\triangle ASB\)

\[A_{ASB}=\dfrac{1}{2}r^2\sin 120^\circ=\dfrac{1}{2}r^2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}r^2\]

Steg 4 - Areal av \(\triangle BSC\)

\[A_{BSC}=\dfrac{1}{2}r^2\sin 90^\circ=\dfrac{1}{2}r^2\]

Steg 5 - Sett opp likning for totalarealet

\[\dfrac{\sqrt{3}}{4}r^2+\dfrac{1}{2}r^2=2\sqrt{3}+6\]

\[r^2\left(\dfrac{\sqrt{3}+2}{4}\right)=2\sqrt{3}+6\]

Steg 6 - Løs for \(r^2\)

\[r^2=\dfrac{4\left(2\sqrt{3}+6\right)}{\sqrt{3}+2}=24-8\sqrt{3}\]

Dermed er

\[r=\sqrt{24-8\sqrt{3}}\]

Tolkning

Radiusen er positiv, derfor bruker vi den positive kvadratroten.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, sqrt, solve, Eq
r = symbols("r", positive=True)
sol = solve(Eq(r**2*(sqrt(3)/4 + 1/2), 2*sqrt(3) + 6), r)
print(sol)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne ekstremalpunkter ved å bruke den deriverte.

Steg 1 - Deriver funksjonen

\[f'(x)=3x^2-6x\]

Steg 2 - Faktoriser den deriverte

\[f'(x)=3x\left(x-2\right)\]

Steg 3 - Finn kritiske punkter

\[3x\left(x-2\right)=0\]

\[x=0\quad \text{eller}\quad x=2\]

Steg 4 - Bruk fortegn

For \(x<0\) er \(f'(x)>0\). For \(02\) er \(f'(x)>0\).

Derfor får vi toppunkt ved \(x=0\) og bunnpunkt ved \(x=2\).

Steg 5 - Finn funksjonsverdiene

\[f(0)=2\]

\[f(2)=2^3-3\cdot 2^2+2=8-12+2=-2\]

Tolkning

Grafen stiger, synker og stiger igjen. Derfor har den ett toppunkt og ett bunnpunkt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols("x")
f = x**3 - 3*x**2 + 2
crit = solve(diff(f, x), x)
print([(c, f.subs(x, c)) for c in crit])

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke når en tredjegradsfunksjon uten førstegradsledd får et topp- eller bunnpunkt på \(y\)-aksen.

Steg 1 - Skriv en generell tredjegradsfunksjon uten førstegradsledd

\[f(x)=ax^3+bx^2+d,\qquad a e 0\]

Her mangler førstegradsleddet \(cx\).

Steg 2 - Deriver

\[f'(x)=3ax^2+2bx=x\left(3ax+2b\right)\]

Steg 3 - Se hva som alltid skjer ved \(x=0\)

Siden \(x\) er en faktor i \(f'(x)\), får vi alltid

\[f'(0)=0\]

Det betyr at grafen alltid har et horisontalt tangentpunkt på \(y\)-aksen.

Steg 4 - Undersøk om det alltid er topp- eller bunnpunkt

Hvis \(b e 0\), får vi vanligvis fortegnsskifte ved \(x=0\), og da er punktet et topp- eller bunnpunkt.

Hvis \(b=0\), får vi \(f(x)=ax^3+d\). Da er

\[f'(x)=3ax^2\]

Denne skifter ikke fortegn ved \(x=0\). Da er punktet ikke topp- eller bunnpunkt, men et terrassepunkt.

Steg 5 - Bruk \(x^3\) som moteksempel

For \(f(x)=x^3\) mangler førstegradsleddet, og \(f'(0)=0\), men grafen har ikke topp- eller bunnpunkt i \(x=0\).

Steg 6 - Presiser regelen

Trym har delvis rett: Uten førstegradsledd får tredjegradsfunksjonen alltid et stasjonært punkt på \(y\)-aksen. Men det er ikke alltid et topp- eller bunnpunkt.

Tolkning

Riktig regel er: For \(f(x)=ax^3+bx^2+d\) har grafen et stasjonært punkt på \(y\)-aksen. Punktet er topp- eller bunnpunkt når \(b e 0\), men terrassepunkt når \(b=0\).

Kontroll (CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, factor
x, a, b, d = symbols("x a b d")
f = a*x**3 + b*x**2 + d
print(factor(diff(f, x)))
print(diff(x**3, x))