Hva spør oppgaven om? Vi skal finne alle verdier av \(x\) som gjør produktet lik null.

Steg 1 — Bruk nullproduktregelen

Når et produkt er null, må minst én av faktorene være null.

\[(x-2)(x+1)=0\]

Steg 2 — Sett hver faktor lik null

\[x-2=0 \quad \text{eller} \quad x+1=0\]

Dette er grunnen til at vi kan løse to enkle førstegradslikninger i stedet for å multiplisere ut først.

Steg 3 — Løs de to likningene

\[x=2 \quad \text{eller} \quad x=-1\]

Steg 4 — Kontroller ved innsetting

\[(2-2)(2+1)=0\cdot 3=0\]

\[(-1-2)(-1+1)=-3\cdot 0=0\]

Tolkning

Likningen har to løsninger fordi produktet blir null når en av faktorene blir null.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve((x - 2)*(x + 1), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en ulikhet der løsningen er alle tall mindre enn \(-1\) og alle tall større enn \(2\), men ikke endepunktene.

Steg 1 — Velg nullpunktene

Endepunktene i intervallene er \(-1\) og \(2\). Derfor passer faktorene \(x+1\) og \(x-2\).

Steg 2 — Bruk fortegn utenfor røttene

Et andregradsuttrykk med positivt fortegn foran \(x^2\) er positivt utenfor nullpunktene.

\[(x+1)(x-2)>0\]

Steg 3 — Begrunn med fortegnslinje

For \(x\lt -1\) er begge faktorene negative, og produktet er positivt. For \(-1\lt x\lt 2\) har faktorene ulikt fortegn, og produktet er negativt. For \(x\gt 2\) er begge faktorene positive, og produktet er positivt.

Steg 4 — Endepunktene er ikke med

Siden intervallene er åpne, må ulikheten være streng:

\[(x+1)(x-2)>0\]

Tolkning

Ulikheten er positiv akkurat i de to åpne intervallene oppgaven ber om.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
print(solve_univariate_inequality((x + 1)*(x - 2) > 0, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tallene som gjør at venstre og høyre side er like for alle \(x\).

Steg 1 — Utvid høyre side

\[(3x-s)^2=(3x)^2-2\cdot 3x\cdot s+s^2\]

Steg 2 — Forenkle uttrykket

\[(3x-s)^2=9x^2-6sx+s^2\]

Steg 3 — Sammenlikn koeffisientene foran \(x\)

For at uttrykkene skal være identiske, må \(-6s=-30\).

\[s=5\]

Steg 4 — Finn konstantleddet

Når \(s=5\), får vi \(s^2=25\). Derfor må

\[r=25\]

Tolkning

Da blir høyre side \((3x-5)^2=9x^2-30x+25\), som er lik venstre side for alle \(x\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand
x = symbols('x')
print(expand((3*x - 5)**2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke forholdet \(\tan B=\dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}\) til å vurdere tre påstander.

Steg 1 — Lag en generell trekant

Når \(\tan B=\dfrac{3}{4}\), kan katetene skrives som \(3k\) og \(4k\), der \(k>0\).

Steg 2 — Finn hypotenusen

Ved Pytagoras blir hypotenusen

\[\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=\sqrt{25k^2}=5k\]

Steg 3 — Vurder sinus-påstanden

\[\sin B=\dfrac{3k}{5k}=\dfrac{3}{5}\]

Derfor kan det ikke være riktig at \(\sin B=\dfrac{3}{10}\).

Steg 4 — Vurder katetene \(6\) og \(8\)

Hvis \(k=2\), får vi \(3k=6\) og \(4k=8\). Dette passer med tangensforholdet.

Steg 5 — Vurder hypotenusen kortere enn \(4\)

Hypotenusen er \(5k\). Velger vi for eksempel \(k=\dfrac{1}{2}\), blir hypotenusen \(\dfrac{5}{2}=2{,}5\), som er kortere enn \(4\).

Tolkning

Tangens bestemmer formen på trekanten, men ikke størrelsen. Derfor kan trekanten skaleres opp eller ned.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import sqrt, Rational
hyp = sqrt(3**2 + 4**2)
print(hyp, Rational(3, hyp))

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare både hva løkken gjør, og hvilke tall som skrives ut.

Steg 1 — Tolk funksjonen

Funksjonen er \(f(x)=x^2\). Den returnerer kvadratet av tallet som settes inn.

Steg 2 — Startverdien

Programmet setter først \(x=1\). Da er \(f(1)=1\).

Steg 3 — Løkkevilkåret

Løkken kjører så lenge \(f(x)\le 400\), altså så lenge \(x^2\le 400\).

Steg 4 — Finn siste verdi

\[20^2=400 \quad \text{og} \quad 21^2=441\]

Derfor skrives \(f(x)\) ut for \(x=1,2,3,\ldots,20\), men ikke for \(x=21\).

Steg 5 — Resultatet

Programmet skriver ut kvadrattallene fra \(1^2\) til \(20^2\):

\[1,4,9,16,25,\ldots,361,400\]

Tolkning

Løkken teller oppover og skriver ut alle kvadrattall som er mindre enn eller lik \(400\).

Kontroll (Python)

def f(x):
    return x**2

x = 1
verdier = []
while f(x) <= 400:
    verdier.append(f(x))
    x = x + 1
print(verdier)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage to rasjonale funksjoner som får nevneren null ved \(x=-2\), og som nærmer seg \(3\) når \(x\) blir stor positiv eller stor negativ.

Steg 1 — Lag vertikal asymptote

For å få vertikal asymptote \(x=-2\), kan vi bruke nevneren \(x+2\).

Steg 2 — Lag horisontal asymptote

Uttrykk av typen \(\dfrac{k}{x+2}\) går mot \(0\) når \(x\) går mot \(\pm\infty\). Derfor kan vi legge til \(3\).

Steg 3 — Første mulig funksjon

\[f_1(x)=3+\dfrac{1}{x+2}\]

Steg 4 — Andre mulig funksjon

\[f_2(x)=3+\dfrac{2}{x+2}\]

Steg 5 — Kontroller asymptotene

Begge funksjonene er ikke definert for \(x=-2\), og begge har en brøkdel som går mot \(0\) langt fra origo.

Tolkning

Det finnes uendelig mange riktige svar. Konstanten i telleren kan endres uten at asymptotene endres.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, limit, oo
x = symbols('x')
f = 3 + 1/(x + 2)
print(limit(f, x, oo))
print(limit(f, x, -oo))

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at \(x-3\) er en faktor i \(f(x)\).

Steg 1 — Bruk faktorregelen

Divisjonen med \(x-3\) går opp dersom \(f(3)=0\).

Steg 2 — Sett inn \(x=3\)

\[f(3)=2\cdot 3^3+3^2-18\cdot 3-9\]

Steg 3 — Regn ut

\[f(3)=54+9-54-9=0\]

Steg 4 — Konkluder med faktor

Siden \(f(3)=0\), er \(x-3\) en faktor i \(f(x)\).

Steg 5 — Finn kvotienten

\[2x^3+x^2-18x-9=(x-3)(2x^2+7x+3)\]

Tolkning

At divisjonen går opp betyr at resten er \(0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, div
x = symbols('x')
f = 2*x**3 + x**2 - 18*x - 9
print(div(f, x - 3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke beregninger til å skille mellom grafene A, B og C.

Steg 1 — Faktoriser funksjonen

Fra del a har vi

\[f(x)=(x-3)(2x^2+7x+3)\]

Steg 2 — Faktoriser andregradsuttrykket

\[2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)\]

Dermed er

\[f(x)=(x-3)(2x+1)(x+3)\]

Steg 3 — Finn nullpunktene

\[x=3,\quad x=-\dfrac{1}{2},\quad x=-3\]

Steg 4 — Finn skjæring med \(y\)-aksen

\[f(0)=-9\]

Grafen må altså skjære \(y\)-aksen under \(x\)-aksen.

Steg 5 — Bruk fortegnet til toppleddet

Siden toppleddet er \(2x^3\), går grafen ned til venstre og opp til høyre.

Tolkning

Graf C har to nullpunkter til venstre for \(y\)-aksen, ett nullpunkt til høyre, og \(y\)-skjæring under \(x\)-aksen. Derfor passer graf C.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, factor, solve
x = symbols('x')
f = 2*x**3 + x**2 - 18*x - 9
print(factor(f))
print(solve(f, x), f.subs(x, 0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mye vann som er tappet ut ved starttidspunktet.

Steg 1 — Sett inn \(x=0\)

\[V(0)=2000-2000\cdot\left(1-\dfrac{0}{40}\right)^2\]

Steg 2 — Forenkle parentesen

\[1-\dfrac{0}{40}=1\]

Steg 3 — Regn ut funksjonsverdien

\[V(0)=2000-2000\cdot 1^2=0\]

Tolkning

Ved tidspunktet \(x=0\) er tappingen akkurat startet, så det er tappet ut \(0\) liter vann.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols
x = symbols('x')
V = 2000 - 2000*(1 - x/40)**2
print(V.subs(x, 0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvilke \(V\)-verdier modellen kan gi på intervallet \(0\le x\le 40\).

Steg 1 — Bruk endepunktene

Vi har allerede \(V(0)=0\). Videre er

\[V(40)=2000-2000\cdot\left(1-\dfrac{40}{40}\right)^2=2000\]

Steg 2 — Sjekk om funksjonen øker

Derivasjon gir

\[V'(x)=100-\dfrac{5}{2}x\]

Steg 3 — Vurder fortegn på intervallet

På intervallet \(0\le x\le 40\) er \(V'(x)\ge 0\). Funksjonen er derfor voksende.

Steg 4 — Finn verdimengden

Minste verdi er \(0\), og største verdi er \(2000\).

\[V\in[0,2000]\]

Tolkning

Modellen sier at mellom \(0\) og \(2000\) liter kan være tappet ut.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff
x = symbols('x')
V = 2000 - 2000*(1 - x/40)**2
print(V.subs(x, 0), V.subs(x, 40), diff(V, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når \(1000\) liter er tappet ut, siden hele tanken tilsvarer \(2000\) liter i modellen.

Steg 1 — Sett opp likningen

\[2000-2000\cdot\left(1-\dfrac{x}{40}\right)^2=1000\]

Steg 2 — Del på \(2000\)

\[1-\left(1-\dfrac{x}{40}\right)^2=\dfrac{1}{2}\]

Steg 3 — Isoler kvadratet

\[\left(1-\dfrac{x}{40}\right)^2=\dfrac{1}{2}\]

Steg 4 — Velg riktig rot

På intervallet \(0\le x\le 40\) er \(1-\dfrac{x}{40}\ge 0\), så

\[1-\dfrac{x}{40}=\dfrac{1}{\sqrt2}\]

Steg 5 — Løs for \(x\)

\[x=40-20\sqrt2\approx 11{,}7\]

Tolkning

Det tar omtrent \(11{,}7\) minutter før halvparten av vannet er tappet ut.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x = symbols('x')
V = 2000 - 2000*(1 - x/40)**2
print([s for s in solve(Eq(V, 1000), x) if 0 <= s <= 40])

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig tappemengde per minutt fra \(0\) til \(30\) minutter.

Steg 1 — Finn \(V(0)\)

\[V(0)=0\]

Steg 2 — Finn \(V(30)\)

\[V(30)=2000-2000\cdot\left(1-\dfrac{30}{40}\right)^2=1875\]

Steg 3 — Bruk formelen for stigningstall

\[a=\dfrac{V(30)-V(0)}{30-0}\]

Steg 4 — Regn ut

\[a=\dfrac{1875-0}{30}=62{,}5\]

Tolkning

I gjennomsnitt ble det tappet ut \(62{,}5\) liter vann per minutt de første \(30\) minuttene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols
x = symbols('x')
V = 2000 - 2000*(1 - x/40)**2
print((V.subs(x, 30) - V.subs(x, 0))/30)

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke om tappetempoet kan overstige \(105\) liter per minutt.

Steg 1 — Deriver modellen

\[V'(x)=100-\dfrac{5}{2}x\]

Steg 2 — Vurder størst mulig verdi

På intervallet \(0\le x\le 40\) er \(V'(x)\) størst når \(x=0\).

Steg 3 — Finn maksimal tappetakt

\[V'(0)=100\]

Steg 4 — Sammenlikn med \(105\)

\[100<105\]

Steg 5 — Begrunn ett-minuttsintervaller

Siden den momentane farten aldri er større enn \(100\) liter per minutt, kan heller ikke gjennomsnittet over ett minutt bli større enn \(105\) liter.

Tolkning

Nei, modellen viser at det aldri tappes ut mer enn \(105\) liter i løpet av ett minutt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff
x = symbols('x')
V = 2000 - 2000*(1 - x/40)**2
Vp = diff(V, x)
print(Vp, Vp.subs(x, 0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne mønsteret i klossene og bruke det på figur \(5\).

Steg 1 — Tell de første figurene

Figur \(1\) har \(1\) kloss. Figur \(2\) har \(2^2+1^2=5\) klosser. Figur \(3\) har \(3^2+2^2+1^2=14\) klosser.

Steg 2 — Se mønsteret

Figur \(n\) består av kvadratiske lag:

\[K_n=1^2+2^2+\cdots+n^2\]

Steg 3 — Sett inn \(n=5\)

\[K_5=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2\]

Steg 4 — Regn ut

\[K_5=1+4+9+16+25=55\]

Tolkning

Roar trenger \(55\) klosser for å lage figur \(5\).

Kontroll (Python)

print(sum(k**2 for k in range(1, 6)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal summere klossene i figur \(1\) til og med figur \(10\).

Steg 1 — Skriv antall klosser i figur \(n\)

\[K_n=1^2+2^2+\cdots+n^2\]

Steg 2 — Summer de ti første figurene

\[K_1+K_2+\cdots+K_{10}\]

Steg 3 — Bruk digital beregning eller systematisk tabell

Verdiene er \(1,5,14,30,55,91,140,204,285,385\).

Steg 4 — Legg sammen

\[1+5+14+30+55+91+140+204+285+385=1210\]

Tolkning

Han trenger \(1210\) klosser for å lage alle de ti første figurene.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def K(n):
    return sum(k**2 for k in range(1, n + 1))
print(sum(K(n) for n in range(1, 11)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange figurer han rekker å lage før totalsummen passerer \(10\ 000\).

Steg 1 — Bruk uttrykket for figur \(n\)

\[K_n=1^2+2^2+\cdots+n^2\]

Steg 2 — Summer figurene fortløpende

Vi trenger største \(N\) slik at

\[K_1+K_2+\cdots+K_N\le 10\ 000\]

Steg 3 — Bruk programmering

Programmet under legger til én ny figur om gangen og stopper før summen blir for stor.

def K(n):
    return sum(k**2 for k in range(1, n + 1))

total = 0
n = 0
while total + K(n + 1) <= 10000:
    n += 1
    total += K(n)

print(n, total, 10000 - total, K(n + 1))

Steg 4 — Les av resultatet

Programmet gir \(n=17\), brukt \(8721\) klosser og \(1279\) klosser igjen.

Steg 5 — Kontroller at neste figur ikke går

Figur \(18\) trenger \(2109\) klosser, men han har bare \(1279\) igjen.

Tolkning

Han kan lage \(17\) figurer, og da har han \(1279\) klosser igjen.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne alle sidelengdene \(AB\), \(BC\), \(CD\) og \(AD\) uttrykt ved \(a\).

Steg 1 — Finn diagonalen \(BD\) i trekant \(BCD\)

Her er \(BC=2a\), \(CD=2a\) og \(\angle C=120^\circ\). Cosinussetningen gir

\[BD^2=(2a)^2+(2a)^2-2\cdot 2a\cdot 2a\cdot \cos120^\circ\]

Steg 2 — Regn ut \(BD\)

Siden \(\cos120^\circ=-\dfrac{1}{2}\), får vi

\[BD^2=12a^2\quad \Rightarrow \quad BD=2a\sqrt3\]

Steg 3 — Finn vinklene i trekant \(ABD\)

\[\angle DAB=45^\circ,\quad \angle ABD=75^\circ\]

Dermed er

\[\angle ADB=180^\circ-45^\circ-75^\circ=60^\circ\]

Steg 4 — Finn \(AB\)

Sinussetningen gir

\[\dfrac{AB}{\sin60^\circ}=\dfrac{BD}{\sin45^\circ}\]

\[AB=2a\sqrt3\cdot\dfrac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ}=3a\sqrt2\]

Steg 5 — Finn \(AD\)

\[\dfrac{AD}{\sin75^\circ}=\dfrac{BD}{\sin45^\circ}\]

Med \(\sin75^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\) får vi

\[AD=a(3+\sqrt3)\]

Steg 6 — Summer sidene

\[P=AB+BC+CD+AD\]

\[P=3a\sqrt2+2a+2a+a(3+\sqrt3)=a(7+3\sqrt2+\sqrt3)\]

Tolkning

Omkretsen uttrykkes eksakt ved parameteren \(a\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, sqrt, simplify
a = symbols('a', positive=True)
P = 3*a*sqrt(2) + 2*a + 2*a + a*(3 + sqrt(3))
print(simplify(P))

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise et eksakt arealforhold, ikke bare finne en desimalverdi.

Steg 1 — Finn arealet av \(\triangle BCD\)

\[A_{BCD}=\dfrac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a\cdot \sin120^\circ\]

\[A_{BCD}=a^2\sqrt3\]

Steg 2 — Bruk sidene i \(\triangle ABD\)

Fra del a har vi \(AB=3a\sqrt2\), \(BD=2a\sqrt3\) og vinkelen mellom dem er \(75^\circ\).

Steg 3 — Finn arealet av \(\triangle ABD\)

\[A_{ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot 3a\sqrt2\cdot 2a\sqrt3\cdot \sin75^\circ\]

Steg 4 — Sett inn \(\sin75^\circ\)

\[A_{ABD}=3a^2\sqrt6\cdot \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\]

\[A_{ABD}=\dfrac{3a^2}{2}(3+\sqrt3)\]

Steg 5 — Lag forholdet

\[\dfrac{A_{ABD}}{A_{BCD}}=\dfrac{\dfrac{3a^2}{2}(3+\sqrt3)}{a^2\sqrt3}\]

Steg 6 — Forenkle

\[\dfrac{A_{ABD}}{A_{BCD}}=\dfrac{3}{2}(\sqrt3+1)\]

Tolkning

Faktoren \(a^2\) forsvinner i forholdet, så arealforholdet er uavhengig av størrelsen på figuren.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, sqrt, simplify
a = symbols('a', positive=True)
ratio = ((3*a**2/2)*(3 + sqrt(3))) / (a**2*sqrt(3))
print(simplify(ratio))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en potensregresjon på formen \(T_1(x)=a\cdot x^b\).

Steg 1 — Legg inn data

Vi bruker tid som \(x\)-verdier og temperatur som \(y\)-verdier.

Steg 2 — Velg regresjonstype

Siden modellen har formen \(a\cdot x^b\), bruker vi potensregresjon.

Steg 3 — GeoGebra-kommando

Steg 4 — Les av koeffisientene

\[a\approx 1{,}853,\quad b\approx 0{,}489\]

Tolkning

Modellen blir \(T_1(x)\approx 1{,}853x^{0{,}489}\).

Kontroll (Python)

import numpy as np
x = np.array([1,5,10,20,30,50,80,120], dtype=float)
y = np.array([2.0,3.7,5.3,8.0,10.2,13.4,16.4,18.4], dtype=float)
A = np.vstack([np.ones_like(x), np.log(x)]).T
ln_a, b = np.linalg.lstsq(A, np.log(y), rcond=None)[0]
print(np.exp(ln_a), b)

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere når modellen er rimelig å bruke, ikke bare oppgi et tallintervall.

Steg 1 — Se på datagrunnlaget

Dataene er målt fra \(1\) til \(120\) minutter.

Steg 2 — Vurder starttidspunktet

Modellen \(T_1(x)=1{,}853x^{0{,}489}\) treffer ikke godt ved \(x=0\), der temperaturen fysisk var \(2{,}0\ ^\circ\text{C}\).

Steg 3 — Vurder langtidsoppførsel

Potensmodellen fortsetter å øke når \(x\) øker. Den har ingen horisontal asymptote ved \(20\ ^\circ\text{C}\).

Steg 4 — Gi et rimelig gyldighetsområde

Et forsiktig gyldighetsområde er omtrent måleområdet, for eksempel \(1\le x\le 120\), eventuelt kort tid rundt dette dersom forholdene er de samme.

Tolkning

Modellen er en lokal tilpasning til målingene, men er ikke fysisk god som langtidsmodell.

Kontroll (Python)

a = 1.8526463706731588
b = 0.48921506605368054
print(a*240**b)  # viser at modellen passer dårlig langt fram

Hva spør oppgaven om? Vi skal tilpasse en eksponentialfunksjon til de korrigerte, negative temperaturverdiene.

Steg 1 — Velg modelltype

De korrigerte verdiene nærmer seg \(0\) nedenfra. En egnet modell er

\[f(x)=A\cdot k^x\]

der \(A<0\) og \(0

Steg 2 — Bruk eksponentialregresjon

Steg 3 — Les av modellen

\[f(x)\approx -18{,}087\cdot 0{,}979991^x\]

Steg 4 — Rund av for praktisk bruk

En ryddig modell er

\[f(x)\approx -18{,}09\cdot 0{,}980^x\]

Tolkning

Den korrigerte temperaturen er negativ og nærmer seg \(0\), som betyr at den faktiske temperaturen nærmer seg \(20\ ^\circ\text{C}\).

Kontroll (Python)

import numpy as np
x = np.array([1,5,10,20,30,50,80,120], dtype=float)
z = np.array([-18.0,-16.3,-14.7,-12.0,-9.8,-6.6,-3.6,-1.6], dtype=float)
A = np.vstack([np.ones_like(x), x]).T
ln_absA, ln_k = np.linalg.lstsq(A, np.log(-z), rcond=None)[0]
print(-np.exp(ln_absA), np.exp(ln_k))

Hva spør oppgaven om? Vi skal dokumentere graftegning og beskrive hva modellene gjør forskjellig.

Steg 1 — Skriv modellene

\[T_1(x)\approx 1{,}853x^{0{,}489}\]

\[f(x)\approx -18{,}087\cdot 0{,}979991^x\]

Steg 2 — GeoGebra-kommandoer

Steg 3 — Beskriv \(T_1\)

\(T_1\) ligger over \(x\)-aksen og øker videre. Den har ingen øvre grense ved \(20\ ^\circ\text{C}\).

Steg 4 — Beskriv \(f\)

\(f\) ligger under \(x\)-aksen og nærmer seg \(0\) nedenfra.

Steg 5 — Sammenlikn praktisk betydning

\(f\) beskriver avviket fra \(20\ ^\circ\text{C}\), mens \(T_1\) beskriver temperaturen direkte. Derfor har grafene ulikt nivå i koordinatsystemet.

Tolkning

Eksponentialmodellen for korrigert temperatur er bedre egnet til å beskrive oppvarming mot en grenseverdi.

Kontroll (Python)

def T1(x): return 1.8526463706731588*x**0.48921506605368054
def f(x): return -18.087355404694666*0.9799907931582384**x
for t in [1, 30, 120]:
    print(t, T1(t), f(t))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løfte den korrigerte modellen \(20\ ^\circ\text{C}\) opp og regne ut temperaturen etter \(240\) minutter.

Steg 1 — Bruk modellen for korrigert temperatur

\[f(x)\approx -18{,}087\cdot 0{,}979991^x\]

Steg 2 — Løft grafen \(20\) grader

\[T_2(x)=20+f(x)\]

Altså

\[T_2(x)\approx 20-18{,}087\cdot 0{,}979991^x\]

Steg 3 — Gjør om \(4\) timer til minutter

\[4\text{ timer}=240\text{ minutter}\]

Steg 4 — Regn ut \(T_2(240)\)

\[T_2(240)\approx 20-18{,}087\cdot 0{,}979991^{240}\]

\[T_2(240)\approx 19{,}86\]

Tolkning

Ifølge modellen er temperaturen etter \(4\) timer omtrent \(19{,}9\ ^\circ\text{C}\), altså svært nær termostattemperaturen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

A = 18.087355404694666
k = 0.9799907931582384
T2_240 = 20 - A*k**240
print(T2_240)

Hva spør oppgaven om? Siden \(f\) er en andregradsfunksjon, er \(f'(x)\) en lineær funksjon.

Steg 1 — Skriv den deriverte generelt

La

\[f'(x)=mx+n\]

Steg 2 — Bruk stigningstallet ved \(x=1\)

\[f'(1)=0\quad \Rightarrow \quad m+n=0\]

Steg 3 — Bruk stigningstallet ved \(x=4\)

\[f'(4)=6\quad \Rightarrow \quad 4m+n=6\]

Steg 4 — Løs likningssystemet

Trekk den første likningen fra den andre:

\[3m=6\quad \Rightarrow \quad m=2\]

Da er \(n=-2\).

Tolkning

Den deriverte er \(0\) ved \(x=1\) og \(6\) ved \(x=4\), slik oppgaven krever.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
m, n = symbols('m n')
print(solve([m + n, 4*m + n - 6], [m, n]))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne selve andregradsfunksjonen når vi kjenner den deriverte og ett punkt på grafen.

Steg 1 — Bruk resultatet fra del a

\[f'(x)=2x-2\]

Steg 2 — Finn en antiderivert

\[f(x)=\int(2x-2)\,dx=x^2-2x+C\]

Steg 3 — Bruk skjæringen med \(y\)-aksen

Punktet \((0,4)\) betyr at \(f(0)=4\).

Steg 4 — Finn konstanten

\[f(0)=0^2-2\cdot0+C=C\]

Dermed er \(C=4\).

Steg 5 — Skriv funksjonen

\[f(x)=x^2-2x+4\]

Tolkning

Funksjonen har bunnpunkt ved \(x=1\), og den skjærer \(y\)-aksen i \(4\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, integrate, diff
x = symbols('x')
f = x**2 - 2*x + 4
print(diff(f, x), f.subs(x, 0))

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at antall reelle nullpunkter ikke endrer seg når parameteren \(b\) endres.

Steg 1 — Faktoriser ut \(x\)

\[f(x)=x\left(x^2-2bx+b^2+3\right)\]

Steg 2 — Fullfør kvadratet

\[x^2-2bx+b^2+3=(x-b)^2+3\]

Steg 3 — Vurder kvadratleddet

For alle reelle \(x\) og \(b\) er

\[(x-b)^2\ge 0\]

Steg 4 — Vis at parentesen aldri er null

\[(x-b)^2+3\ge 3>0\]

Steg 5 — Finn nullpunktet

Siden parentesen alltid er positiv, må nullpunktet komme fra faktoren \(x\):

\[x=0\]

Tolkning

Parameteren \(b\) flytter uttrykket i parentesen, men den lager aldri nye reelle nullpunkter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, factor
x, b = symbols('x b', real=True)
f = x**3 - 2*b*x**2 + (b**2 + 3)*x
print(factor(f))

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse den deriverte likningen og bruke diskriminanten til å avgjøre antall stasjonære punkter.

Steg 1 — Deriver funksjonen

\[f'(x)=3x^2-4bx+b^2+3\]

Steg 2 — Sett den deriverte lik null

\[3x^2-4bx+b^2+3=0\]

Steg 3 — Bruk andregradsformelen

\[x=\dfrac{4b\pm\sqrt{16b^2-12(b^2+3)}}{6}\]

Steg 4 — Forenkle

\[x=\dfrac{2b\pm\sqrt{b^2-9}}{3}\]

Steg 5 — Finn når det bare er ett stasjonært punkt

Det skjer når uttrykket under roten er \(0\):

\[b^2-9=0\]

\[b=\pm3\]

Tolkning

Hvis \(|b|>3\), får grafen to stasjonære punkter. Hvis \(|b|<3\), får grafen ingen. Bare når \(b=3\) eller \(b=-3\), får grafen nøyaktig ett.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, diff
x, b = symbols('x b', real=True)
f = x**3 - 2*b*x**2 + (b**2 + 3)*x
print(solve(diff(f, x), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne punktene der stigningstallet er \(3\), og deretter skrive tangentlikningene.

Steg 1 — Sett den deriverte lik \(3\)

\[f'(x)=3x^2-4bx+b^2+3\]

\[3x^2-4bx+b^2+3=3\]

Steg 2 — Forenkle likningen

\[3x^2-4bx+b^2=0\]

\[(3x-b)(x-b)=0\]

Steg 3 — Finn \(x\)-verdiene

\[x=\dfrac{b}{3}\quad \text{eller}\quad x=b\]

Steg 4 — Tangenten ved \(x=b\)

\[f(b)=3b\]

Tangenten har stigningstall \(3\):

\[y-3b=3(x-b)\]

\[y=3x\]

Steg 5 — Tangenten ved \(x=\dfrac{b}{3}\)

\[f\left(\dfrac{b}{3}\right)=b+\dfrac{4b^3}{27}\]

Da blir

\[y-\left(b+\dfrac{4b^3}{27}\right)=3\left(x-\dfrac{b}{3}\right)\]

\[y=3x+\dfrac{4b^3}{27}\]

Tolkning

Når \(b\ne0\), er \(x=b\) og \(x=\dfrac{b}{3}\) to ulike punkter, og derfor får vi to ulike tangenter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, factor, simplify
x, b = symbols('x b', real=True)
f = x**3 - 2*b*x**2 + (b**2 + 3)*x
print(factor(3*x**2 - 4*b*x + b**2))
print(simplify(f.subs(x, b)))
print(simplify(f.subs(x, b/3) + 3*(x - b/3)))