Hva spør oppgaven om? Vi skal finne konstanten \(a\) i en lineær funksjon når vi vet at grafen går gjennom ett bestemt punkt.

Steg 1 - Bruk punktet i funksjonsuttrykket

Siden punktet \((4,4)\) ligger på grafen, må \(x=4\) gi \(f(x)=4\).

\[f(4)=4\]

Steg 2 - Sett \(x=4\) inn i uttrykket

Vi erstatter \(x\) med \(4\) i \(f(x)=ax+8\).

\[4a+8=4\]

Steg 3 - Løs likningen

Trekk fra \(8\) på begge sider og del deretter på \(4\).

\[4a=-4\]

\[a=-1\]

Steg 4 - Kontroller i funksjonen

Når \(a=-1\), får vi \(f(x)=-x+8\). Da er \(f(4)=-4+8=4\), som stemmer med punktet.

Tolkning

Stigningstallet må være negativt fordi funksjonsverdien skal ned fra \(8\) til \(4\) når \(x\) øker fra \(0\) til \(4\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
a = symbols('a')
print(solve(4*a + 8 - 4, a))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne motstående katet \(BC\) når hypotenusen \(AC\) og \(\sin A\) er kjent.

Steg 1 - Knytt sinus til sidene

I en rettvinklet trekant er sinus til en vinkel lik motstående katet delt på hypotenusen.

\[\sin A=\dfrac{BC}{AC}\]

Steg 2 - Sett inn kjente verdier

Her er \(\sin A=\dfrac{3}{5}\) og \(AC=10\).

\[\dfrac{3}{5}=\dfrac{BC}{10}\]

Steg 3 - Løs for \(BC\)

Multipliser begge sider med \(10\).

\[BC=10\cdot \dfrac{3}{5}=6\]

Steg 4 - Sjekk rimelighet

Kateten \(BC\) må være kortere enn hypotenusen \(AC=10\). Svaret \(6\) er derfor rimelig.

Tolkning

Lengden \(BC\) er den siden som ligger rett overfor vinkelen \(A\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational
BC = symbols('BC')
print(solve(Eq(BC/10, Rational(3,5)), BC))

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge \(k\) slik at \(x+k\) blir en faktor i polynomet \(x^3+x^2-2x-8\).

Steg 1 - Bruk faktorteoremet

Hvis \(x+k\) er en faktor, må polynomet ha nullpunktet \(x=-k\).

Steg 2 - Prøv et enkelt heltallsnullpunkt

Vi tester \(x=2\), fordi konstantleddet er \(-8\), og \(2\) er en naturlig kandidat.

\[2^3+2^2-2\cdot 2-8=8+4-4-8=0\]

Steg 3 - Finn faktoren

Siden \(x=2\) er nullpunkt, er \(x-2\) en faktor.

Steg 4 - Sammenlikn med \(x+k\)

Vi må ha

\[x+k=x-2\]

Dermed er \(k=-2\).

Tolkning

Divisjonen går opp fordi \(x+k=x-2\) deler polynomet uten rest.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
print(factor(x**3 + x**2 - 2*x - 8))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne parameteren \(k\) slik at andregradslikningen får nøyaktig én reell løsning.

Steg 1 - Bruk diskriminanten

En andregradslikning har én reell løsning når diskriminanten er \(0\).

\[D=b^2-4ac\]

Steg 2 - Identifiser koeffisientene

I likningen \(x^2+2kx-2k-1=0\) er \(a=1\), \(b=2k\) og \(c=-2k-1\).

Steg 3 - Sett inn i diskriminanten

\[D=(2k)^2-4\cdot 1\cdot (-2k-1)\]

\[D=4k^2+8k+4\]

Steg 4 - Sett \(D=0\)

\[4k^2+8k+4=0\]

\[4(k+1)^2=0\]

\[k=-1\]

Tolkning

For \(k=-1\) tangerer parabelen \(x\)-aksen, og likningen har derfor én løsning.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
k = symbols('k')
D = (2*k)**2 - 4*(-2*k - 1)
print(solve(D, k))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av to lineære prismodeller og finne når prisene er like.

Steg 1 - Les av firma A

Grafen til firma A er vannrett ved \(1200\) kroner. Derfor er modellen

\[A(x)=1200\]

Steg 2 - Les av firma B

Grafen til firma B går gjennom omtrent \((0,500)\) og \((200,1000)\). Stigningstallet blir

\[\dfrac{1000-500}{200-0}=2{,}5\]

Dermed kan modellen skrives som

\[B(x)=500+2{,}5x\]

Steg 3 - Sett prisene like

Prisene er like når \(A(x)=B(x)\).

\[1200=500+2{,}5x\]

Steg 4 - Løs likningen

\[700=2{,}5x\]

\[x=280\]

Tolkning

Ester må kjøre \(280\) km i løpet av døgnet for at de to prismodellene skal gi samme pris.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(1200 - (500 + 2.5*x), x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne to brøker generelt, ikke bare med ett talleksempel.

Steg 1 - Sammenlikn ved å trekke fra

Vi undersøker fortegnet til forskjellen.

\[\dfrac{m+2}{n+2}-\dfrac{m}{n}\]

Steg 2 - Finn fellesnevner

\[\dfrac{n(m+2)-m(n+2)}{n(n+2)}\]

Steg 3 - Forenkle telleren

\[n(m+2)-m(n+2)=mn+2n-mn-2m=2(n-m)\]

Steg 4 - Bruk betingelsen \(n>m\)

Siden \(n>m\), er \(n-m>0\). Nevneren \(n(n+2)\) er også positiv.

\[\dfrac{m+2}{n+2}-\dfrac{m}{n}>0\]

Tolkning

Den nye brøken \(\dfrac{m+2}{n+2}\) ligger nærmere \(1\), og blir derfor større når \(m

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, simplify
m, n = symbols('m n', positive=True, integer=True)
print(simplify((m+2)/(n+2) - m/n))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne koeffisienten \(a\) slik at symmetrilinjen til parabelen blir \(x=2\).

Steg 1 - Bruk formelen for toppunktets \(x\)-verdi

For \(Ax^2+Bx+C\) ligger toppunktet ved

\[x=-\dfrac{B}{2A}\]

Steg 2 - Identifiser koeffisientene

Her er \(A=-5\), \(B=a\) og \(C=1\).

Steg 3 - Sett toppunktets \(x\)-verdi lik \(2\)

\[2=-\dfrac{a}{2\cdot (-5)}\]

\[2=\dfrac{a}{10}\]

Steg 4 - Løs for \(a\)

\[a=20\]

Tolkning

Med \(a=20\) blir parabelens symmetrilinje \(x=2\), og siden \(A=-5<0\), er punktet et toppunkt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, Eq
a = symbols('a')
print(solve(Eq(-a/(2*(-5)), 2), a))

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge tall slik at høyre og venstre side er samme uttrykk for alle \(x\).

Steg 1 - Utvid høyre side

\[(sx+t)^2=s^2x^2+2stx+t^2\]

Steg 2 - Sammenlikn koeffisienten foran \(x^2\)

Vi må ha \(s^2=4\). En naturlig løsning er

\[s=2\]

Steg 3 - Sammenlikn koeffisienten foran \(x\)

Da må \(2st=16\).

\[2\cdot 2\cdot t=16\]

\[t=4\]

Steg 4 - Finn konstantleddet

Konstantleddet blir \(t^2\), derfor

\[r=4^2=16\]

Tolkning

Uttrykket blir \(4x^2+16x+16=(2x+4)^2\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand
x = symbols('x')
print(expand((2*x + 4)**2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentiell regresjonsmodell \(T(x)=a\cdot b^x\) basert på tabellen.

Steg 1 - Velg modelltype

Temperaturen synker raskt først og saktere etter hvert. Det passer med en eksponentiell modell med \(0

Steg 2 - Bruk regresjon

I GeoGebra kan vi legge inn punktene og bruke eksponentiell regresjon. Det gir omtrent

\[T(x)=92{,}53\cdot 0{,}99021^x\]

Steg 3 - Tolk parameteren \(a\)

Parameteren \(a\approx 92{,}53\) er modellens temperatur ved \(x=0\), altså rett etter at avkjølingen startet.

Steg 4 - Tolk parameteren \(b\)

Siden \(b\approx 0{,}99021\), multipliseres temperaturen i modellen med omtrent \(0{,}99021\) per minutt.

Tolkning

Modellen beskriver temperaturfallet i måleperioden, men den har ikke romtemperaturen \(20\ ^\circ\mathrm{C}\) som horisontal asymptote.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import numpy as np
x = np.array([4,8,16,20,40,60,75,90], dtype=float)
y = np.array([90.6,86.5,78.9,75.4,61.0,50.3,44.1,39.2], dtype=float)
lnb, lna = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
print(np.exp(lna), np.exp(lnb))

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere hvor modellen er rimelig å bruke, ikke bare skrive et intervall mekanisk.

Steg 1 - Se på måleområdet

Dataene er målt fra \(x=4\) til \(x=90\) minutter.

Steg 2 - Vurder startpunktet

Modellen gir også en rimelig verdi nær \(x=0\), siden geléen nettopp er satt til avkjøling.

Steg 3 - Vurder lang tid

Romtemperaturen er \(20\ ^\circ\mathrm{C}\). En ren modell \(a\cdot b^x\) går mot \(0\), ikke mot \(20\). Derfor bør den ikke brukes for svært store \(x\).

Steg 4 - Velg gyldighetsområde

Et fornuftig gyldighetsområde er omtrent måleperioden, eventuelt litt utvidet fra start:

\[0\le x\le 90\]

Tolkning

Innenfor dette intervallet beskriver modellen målingene. Utenfor intervallet bør man være forsiktig.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

a = 92.52902160819701
b = 0.990212505849834
print(a*b**90)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke skissen av parabelen til å bestemme hvor uttrykket \(x^2-x-6\) er positivt.

Steg 1 - Flytt alt til én side

\[x^2-x>6\]

\[x^2-x-6>0\]

Steg 2 - Bruk nullpunktene i skissen

Skissen viser at parabelen skjærer \(x\)-aksen ved \(x=-2\) og \(x=3\).

Steg 3 - Tolke positivt område

Uttrykket \(x^2-x-6\) er positivt der grafen ligger over \(x\)-aksen.

Steg 4 - Les av intervallene

Parabelen åpner oppover, så grafen ligger over \(x\)-aksen utenfor nullpunktene.

\[x<-2\quad \text{eller}\quad x>3\]

Tolkning

Endepunktene er ikke med, fordi ulikheten er streng: \(>\), ikke \(\ge\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve_univariate_inequality
x = symbols('x', real=True)
print(solve_univariate_inequality(x**2 - x > 6, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange kvadratfigurer av størrelse \(1\times 1\), \(2\times 2\), \(3\times 3\) og så videre som kan bygges med \(10\ 000\) fyrstikker.

Steg 1 - Finn antall fyrstikker i figur \(n\)

Et \(n\times n\)-rutenett har \(n+1\) loddrette linjer med \(n\) fyrstikker og \(n+1\) vannrette linjer med \(n\) fyrstikker.

\[F_n=2n(n+1)\]

Steg 2 - Summer figurene

Vi trenger summen

\[S_N=\sum_{n=1}^{N}2n(n+1)\]

Steg 3 - Bruk sumformler

\[S_N=2\sum_{n=1}^{N}(n^2+n)\]

\[S_N=\dfrac{2N(N+1)(N+2)}{3}\]

Steg 4 - Finn største \(N\)

Vi prøver rundt verdien der summen passer med \(10\ 000\).

\[S_{23}=\dfrac{2\cdot 23\cdot 24\cdot 25}{3}=9200\]

\[S_{24}=\dfrac{2\cdot 24\cdot 25\cdot 26}{3}=10400\]

Tolkning

Hun kan lage \(23\) figurer, men ikke figur \(24\), fordi den totale summen da blir for stor.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def S(N):
    return 2*N*(N+1)*(N+2)//3
for N in range(1, 50):
    if S(N) > 10000:
        print(N-1, S(N-1), N, S(N))
        break

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke summen fra oppgave 11a og trekke den fra \(10\ 000\).

Steg 1 - Bruk antallet figurer

Fra oppgave 11a kan det lages \(23\) figurer.

Steg 2 - Bruk totalforbruket

Forbruket for de \(23\) figurene er

\[S_{23}=9200\]

Steg 3 - Trekk fra totalen

\[10\ 000-9200=800\]

Tolkning

Det er ikke nok til figur \(24\), som alene ville kreve \(2\cdot 24\cdot 25=1200\) fyrstikker.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

print(10000 - 2*23*24*25//3)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en lineær modell gjennom punktene \((0,280)\) og \((20,40)\).

Steg 1 - Sett opp punktene

Startverdien er \(K(0)=280\), og etter \(20\) måneder er \(K(20)=40\).

Steg 2 - Finn stigningstallet

\[m=\dfrac{40-280}{20-0}=\dfrac{-240}{20}=-12\]

Steg 3 - Skriv modellen

En lineær modell har formen \(K(x)=mx+b\). Siden \(K(0)=280\), er \(b=280\).

\[K(x)=280-12x\]

Steg 4 - Kontroller sluttverdien

\[K(20)=280-12\cdot 20=40\]

Tolkning

Modellen betyr at bestanden minker med \(12\) kaniner per måned.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols
x = symbols('x')
K = 280 - 12*x
print(K, K.subs(x,20))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentiell modell med startverdi \(280\) og verdi \(40\) etter \(20\) måneder.

Steg 1 - Sett opp modellformen

Vi bruker

\[K(x)=280\cdot b^x\]

fordi \(K(0)=280\).

Steg 2 - Bruk verdien etter \(20\) måneder

\[280\cdot b^{20}=40\]

Steg 3 - Løs for vekstfaktoren

\[b^{20}=\dfrac{40}{280}=\dfrac{1}{7}\]

\[b=\left(\dfrac{1}{7}\right)^{\frac{1}{20}}\]

Steg 4 - Skriv modellen

\[K(x)=280\cdot \left(\dfrac{1}{7}\right)^{\frac{x}{20}}\]

Omtrent:

\[K(x)\approx 280\cdot 0{,}9073^x\]

Tolkning

Bestanden blir multiplisert med omtrent \(0{,}9073\) hver måned, altså en nedgang på omtrent \(9{,}27\ \%\) per måned.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational, N
b = Rational(1,7)**Rational(1,20)
print(N(b, 6))
print(N(280*b**20, 6))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne tangentene til \(f\) som har samme stigningstall som linjen \(y=\dfrac{1}{2}x+2\), og deretter finne hvor tangentene skjærer \(x\)-aksen.

Steg 1 - Finn stigningstallet

Linjen \(y=\dfrac{1}{2}x+2\) har stigningstall \(\dfrac{1}{2}\). Tangentene må derfor ha \(f'(x)=\dfrac{1}{2}\).

Steg 2 - Deriver funksjonen

\[f'(x)=3x^2-1\]

Steg 3 - Finn tangeringspunktenes \(x\)-verdier

\[3x^2-1=\dfrac{1}{2}\]

\[3x^2=\dfrac{3}{2}\]

\[x^2=\dfrac{1}{2}\]

\[x=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}\]

Steg 4 - Finn skjæring med \(x\)-aksen

Tangent med stigningstall \(m=\dfrac{1}{2}\) i \(x=u\) er \(y=f(u)+\dfrac{1}{2}(x-u)\). Når \(y=0\), får vi

\[x=u-2f(u)\]

Steg 5 - Bruk at \(u^2=\dfrac{1}{2}\)

Da er \(u^3=\dfrac{u}{2}\), og

\[f(u)=u^3-u-1=\dfrac{u}{2}-u-1=-\dfrac{u}{2}-1\]

Dermed blir

\[x=u-2\left(-\dfrac{u}{2}-1\right)=2u+2\]

Steg 6 - Sett inn de to verdiene for \(u\)

\[x=2+\sqrt{2}\quad \text{eller}\quad x=2-\sqrt{2}\]

Tolkning

Tangentene skjærer \(x\)-aksen i punktene \((2-\sqrt{2},0)\) og \((2+\sqrt{2},0)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, sqrt, simplify
u = symbols('u')
for val in [sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2]:
    f = val**3 - val - 1
    print(simplify(val - 2*f))

Hva spør oppgaven om? Vi skal oppdage sammenhengen mellom røttene når koeffisientene skrives i motsatt rekkefølge.

Steg 1 - Finn nullpunktene til eksempelet

\[f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]

Nullpunktene til \(f\) er \(2\) og \(3\).

Steg 2 - Faktoriser \(g\)

\[g(x)=6x^2-5x+1=(2x-1)(3x-1)\]

Nullpunktene til \(g\) er \(\dfrac{1}{2}\) og \(\dfrac{1}{3}\).

Steg 3 - Se mønsteret

Nullpunktene til \(g\) er de inverse av nullpunktene til \(f\).

Tolkning

Når koeffisientene snus, byttes et nullpunkt \(r\) med \(\dfrac{1}{r}\), så lenge \(r e 0\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, factor
x = symbols('x')
print(factor(x**2 - 5*x + 6))
print(factor(6*x**2 - 5*x + 1))

Hva spør oppgaven om? Vi skal gi et generelt algebraisk bevis, ikke bare bruke eksempelet.

Steg 1 - Skriv et generelt polynom

La

\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\]

Steg 2 - Skriv polynomet med omvendte koeffisienter

Da er

\[g(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n\]

Steg 3 - Knytt \(g\) til \(f\)

Vi regner ut \(x^n f\left(\dfrac{1}{x}\right)\):

\[x^n f\left(\dfrac{1}{x}\right)=a_n+a_{n-1}x+\cdots+a_1x^{n-1}+a_0x^n\]

Dette er det samme som \(g(x)\), bare skrevet i stigende eller synkende potensrekkefølge.

Steg 4 - Bruk nullpunktet til \(f\)

Hvis \(r e 0\) og \(f(r)=0\), setter vi \(x=\dfrac{1}{r}\) i \(g\).

\[g\left(\dfrac{1}{r}\right)=\left(\dfrac{1}{r}\right)^n f(r)=0\]

Tolkning

Dermed er \(\dfrac{1}{r}\) et nullpunkt for polynomet med omvendte koeffisienter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand
x, a0, a1, a2 = symbols('x a0 a1 a2')
f = a2*x**2 + a1*x + a0
g = expand(x**2 * f.subs(x, 1/x))
print(g)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en generell regel for når skjæringspunktet mellom \(y=ax\) og \(y=\dfrac{b}{x}\) får positive heltallskoordinater.

Steg 1 - Sett funksjonene like

I et skjæringspunkt er funksjonsverdiene like.

\[ax=\dfrac{b}{x}\]

Steg 2 - Fjern nevneren

Siden skjæringspunktet skal ha positiv \(x\)-verdi, kan vi multiplisere med \(x\).

\[ax^2=b\]

Steg 3 - Løs for \(x\)

\[x^2=\dfrac{b}{a}\]

For at \(x\) skal være et positivt heltall, må \(\dfrac{b}{a}\) være et kvadrattall.

Steg 4 - Lag en parametrisering

La \(x=p\), der \(p\in \mathbb{N}\). Da må

\[b=ap^2\]

Steg 5 - Finn \(y\)-koordinaten

Da blir

\[y=ap\]

Siden \(a\) og \(p\) er positive hele tall, blir også \(y\) et positivt heltall.

Steg 6 - Sjekk eksemplene

For \((1,1)\): \(p=1\), \(a=1\), \(b=1\). For \((3,9)\): \(p=3\), \(a=3\), \(b=27\).

Tolkning

Alle løsninger kan beskrives ved å velge \(a\in \mathbb{N}\) og \(p\in \mathbb{N}\), sette \(b=ap^2\), og da blir skjæringspunktet \((p,ap)\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import isqrt
solutions = []
for a in range(1,6):
    for b in range(1,80):
        q_num = b
        if q_num % a == 0:
            q = q_num//a
            p = isqrt(q)
            if p*p == q:
                solutions.append((a,b,p,a*p))
print(solutions[:20])

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke hvilke trekanter som kan gi likningen, og hvordan antall mulige trekanter avhenger av \(a\).

Steg 1 - Knytt likningen til cosinussetningen

Cosinussetningen er

\[a^2=8^2+x^2-2\cdot 8\cdot x\cdot \cos C\]

Siri har fått leddet \(-8x\). Derfor må

\[-2\cdot 8\cdot x\cdot \cos C=-8x\]

\[\cos C=\dfrac{1}{2}\]

Altså er \(C=60^\circ\).

Steg 2 - Skriv likningen som en andregradslikning i \(x\)

\[a^2=64+x^2-8x\]

\[x^2-8x+64-a^2=0\]

Steg 3 - Fullfør kvadratet

\[a^2=(x-4)^2+48\]

Dermed må

\[(x-4)^2=a^2-48\]

Steg 4 - Finn når løsninger finnes

Vi må ha \(a^2-48\ge 0\), altså

\[a\ge 4\sqrt{3}\]

Steg 5 - Finn mulige verdier for \(x\)

\[x=4\pm \sqrt{a^2-48}\]

Siden en sidelengde må være positiv, må vi vurdere fortegnet.

Steg 6 - Del inn etter \(a\)

Når \(a=4\sqrt{3}\), får vi én løsning: \(x=4\). Når \(4\sqrt{3}

Tolkning

Trekantene har to sider \(8\) og \(x\) med vinkelen \(60^\circ\) mellom dem, og den tredje siden er \(a\). Antall mulige trekanter bestemmes av hvor mange positive \(x\)-verdier likningen gir.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve, Eq, sqrt
x, a = symbols('x a', positive=True)
print(solve(Eq(a**2, 8**2 + x**2 - 8*x), x))