Hva spør oppgaven om? Vi skal finne alle \(x\)-verdier som gjør andregradsuttrykket negativt.

Steg 1 — Finn nullpunktene

Vi faktoriserer uttrykket:

\[x^2+4x-5=(x+5)(x-1)\]

Nullpunktene er derfor \(x=-5\) og \(x=1\).

Steg 2 — Bruk fortegn

Parabelen vender oppover fordi koeffisienten foran \(x^2\) er positiv.

Da er uttrykket negativt mellom nullpunktene.

Steg 3 — Skriv løsningen som intervall

Ulikheten er streng, så nullpunktene skal ikke være med:

\[-5<x<1\]

Tolkning

Grafen ligger under \(x\)-aksen for \(x\)-verdier mellom \(-5\) og \(1\).

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality

x = symbols('x')
uttrykk = x**2 + 4*x - 5
faktorisert = factor(uttrykk)
losning = solve_univariate_inequality(uttrykk < 0, x)

print("Uttrykk:", uttrykk)
print("Faktorisert:", faktorisert)
print("Løsning av ulikheten:", losning)

Uttrykk: x**2 + 4*x - 5
Faktorisert: (x - 1)*(x + 5)
Løsning av ulikheten: (-5 < x) & (x < 1)

Hva spør oppgaven om? Nullpunktene er de \(x\)-verdiene der \(f(x)=0\).

Steg 1 — Prøv enkle heltallsrøtter

Vi ser at \(x=1\) gir

\[1^3-5\cdot1^2-8\cdot1+12=0\]

Dermed er \((x-1)\) en faktor.

Steg 2 — Faktoriser polynomet

Polynomet kan faktoriseres slik:

\[x^3-5x^2-8x+12=(x-6)(x-1)(x+2)\]

Steg 3 — Bruk nullproduktregelen

Når produktet er null, må minst én faktor være null:

\[x-6=0\quad\lor\quad x-1=0\quad\lor\quad x+2=0\]

Steg 4 — Finn nullpunktene

Dette gir

\[x=6,\quad x=1,\quad x=-2\]

Tolkning

Grafen skjærer \(x\)-aksen i \((-2,0)\), \((1,0)\) og \((6,0)\).

from sympy import symbols, factor, solve

x = symbols('x')
f = x**3 - 5*x**2 - 8*x + 12
faktorisert = factor(f)
nullpunkter = solve(f, x)

print("f(x) =", f)
print("Faktorisert form =", faktorisert)
print("Nullpunkter =", nullpunkter)
for rot in nullpunkter:
    print("Kontroll f(", rot, ") =", f.subs(x, rot))

f(x) = x**3 - 5*x**2 - 8*x + 12
Faktorisert form = (x - 6)*(x - 1)*(x + 2)
Nullpunkter = [-2, 1, 6]
Kontroll f( -2 ) = 0
Kontroll f( 1 ) = 0
Kontroll f( 6 ) = 0

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere fire påstander om nullpunkt, asymptoter og skjæring med aksene.

Steg 1 — Nullpunkt

Et nullpunkt får vi når telleren er null og nevneren ikke er null:

\[2x+6=0\Rightarrow x=-3\]

Nevneren er \((-3)^2+4=13\), altså ikke null. Påstand 1 er riktig.

Steg 2 — Vertikale asymptoter

Vertikale asymptoter kan oppstå når nevneren er null:

\[x^2+4=0\]

Denne likningen har ingen reelle løsninger, fordi \(x^2\ge0\). Påstand 2 er riktig.

Steg 3 — Skjæring med \(y\)-aksen

Grafen skjærer \(y\)-aksen når \(x=0\):

\[f(0)=\dfrac{2\cdot0+6}{0^2+4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\]

Grafen skjærer altså \(y\)-aksen. Påstand 3 er feil.

Steg 4 — Horisontal asymptote

Graden i nevneren er større enn graden i telleren. Da går brøken mot \(0\) når \(x\) blir stor i absoluttverdi.

Den horisontale asymptoten er \[y=0\]

Påstand 4 er derfor feil.

Tolkning

De riktige påstandene er 1 og 2.

from sympy import symbols, solve, limit, oo, Rational

x = symbols('x')
f = (2*x + 6)/(x**2 + 4)
nullpunkter = solve(2*x + 6, x)
nevner_null = solve(x**2 + 4, x)
y_akse = f.subs(x, 0)
horisontal = limit(f, x, oo)

print("Nullpunkt fra telleren:", nullpunkter)
print("Reelle nullpunkter i nevneren:", nevner_null)
print("Skjæring med y-aksen:", y_akse)
print("Horisontal asymptote y =", horisontal)
print("Riktige påstander: 1 og 2")

Nullpunkt fra telleren: [-3]
Reelle nullpunkter i nevneren: []
Skjæring med y-aksen: 3/2
Horisontal asymptote y = 0
Riktige påstander: 1 og 2

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner sluttverdien etter fem år og skal finne startbeløpet.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

Rente på \(4{,}5\) % per år gir vekstfaktor

\[1+\dfrac{4{,}5}{100}=1{,}045\]

Steg 2 — Skriv sammenhengen

Hvis startbeløpet er \(S\), er beløpet etter fem år

\[S\cdot1{,}045^5=250\ 000\]

Steg 3 — Løs for startbeløpet

Vi deler på vekstfaktoren fem ganger:

\[S=\dfrac{250\ 000}{1{,}045^5}\]

Dette er uttrykk 2.

Steg 4 — Bruk negativ eksponent

Siden \(a^{-5}=\dfrac{1}{a^5}\), kan vi også skrive

\[S=250\ 000\cdot1{,}045^{-5}\]

Dette er uttrykk 6.

Tolkning

Uttrykkene 2 og 6 regner bakover fra dagens beløp til beløpet for fem år siden.

from math import pow

sluttverdi = 250_000
vekstfaktor = 1.045
antall_ar = 5
uttrykk_2 = sluttverdi / vekstfaktor**antall_ar
uttrykk_6 = sluttverdi * vekstfaktor**(-antall_ar)

print("Uttrykk 2:", round(uttrykk_2, 2))
print("Uttrykk 6:", round(uttrykk_6, 2))
print("Gir uttrykkene samme startbeløp?", abs(uttrykk_2 - uttrykk_6) < 1e-9)

Uttrykk 2: 200677.99
Uttrykk 6: 200677.99
Gir uttrykkene samme startbeløp? True

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke definisjonen av sinus i en rettvinklet trekant.

Steg 1 — Finn hypotenusen

Begge katetene har lengde \(1\). Da gir Pytagoras

\[h^2=1^2+1^2=2\]

Altså er hypotenusen

\[h=\sqrt{2}\]

Steg 2 — Bruk sinusdefinisjonen

For vinkelen \(45^\circ\) er motstående katet \(1\) og hypotenusen \(\sqrt{2}\).

\[\sin45^\circ=\dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\]

Tolkning

Verdien kommer direkte fra den rettvinklede likebeinte trekanten.

from sympy import sqrt, simplify

motstaende = 1
hypotenus = sqrt(1**2 + 1**2)
sinus_45 = motstaende / hypotenus

print("Hypotenus =", hypotenus)
print("sin(45 grader) =", sinus_45)
print("Samme som 1/sqrt(2)?", simplify(sinus_45 - 1/sqrt(2)) == 0)

Hypotenus = sqrt(2)
sin(45 grader) = sqrt(2)/2
Samme som 1/sqrt(2)? True

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Da passer arealsetningen.

Steg 1 — Bruk arealsetningen

For to sider \(a\) og \(b\) med mellomliggende vinkel \(v\) er arealet

\[A=\dfrac{1}{2}ab\sin v\]

Steg 2 — Sett inn verdiene

Her er sidene \(3\sqrt{2}\) og \(8\), og vinkelen er \(45^\circ\):

\[A=\dfrac{1}{2}\cdot3\sqrt{2}\cdot8\cdot\sin45^\circ\]

Steg 3 — Bruk \(\sin45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\[A=\dfrac{1}{2}\cdot3\sqrt{2}\cdot8\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=12\]

Tolkning

Arealet av trekanten er \(12\) kvadratenheter.

from sympy import sqrt, Rational, simplify

AB = 3*sqrt(2)
AC = 8
sin_45 = 1/sqrt(2)
areal = Rational(1, 2) * AB * AC * sin_45

print("AB =", AB)
print("AC =", AC)
print("sin(45 grader) =", sin_45)
print("Areal =", simplify(areal))

AB = 3*sqrt(2)
AC = 8
sin(45 grader) = sqrt(2)/2
Areal = 12

Hva spør oppgaven om? Begge trekantene har de samme to sidene. Den eneste forskjellen er vinkelen mellom sidene.

Steg 1 — Skriv arealet til \(PQR\)

\[A_{PQR}=\dfrac{1}{2}\cdot3\sqrt{2}\cdot8\cdot\sin140^\circ\]

Steg 2 — Sammenlikn sinusverdiene

Vi vet at

\[\sin140^\circ=\sin40^\circ\]

Og \(\sin40^\circ<\sin45^\circ\) fordi sinus øker fra \(0^\circ\) til \(90^\circ\).

Steg 3 — Bruk at sidene er like

Siden faktorene \(\dfrac{1}{2}\), \(3\sqrt{2}\) og \(8\) er like i begge arealene, bestemmes størrelsen av sinusverdien.

\[\sin140^\circ<\sin45^\circ\]

Tolkning

Trekant \(ABC\) har størst areal.

from math import sin, radians

sin_140 = sin(radians(140))
sin_45 = sin(radians(45))

print("sin(140 grader) =", round(sin_140, 6))
print("sin(45 grader)  =", round(sin_45, 6))
print("Har ABC størst areal?", sin_45 > sin_140)

sin(140 grader) = 0.642788
sin(45 grader)  = 0.707107
Har ABC størst areal? True

Hva spør oppgaven om? Vi skal følge programmet linje for linje og forklare mønsteret i tallene.

Steg 1 — Startverdier

Programmet starter med

\[\text{tall}=1,\qquad \text{differanse}=4\]

Derfor skrives \(1\) ut først.

Steg 2 — Oppdater tall og differanse

Etter hvert utskrift legges differansen til tallet, og differansen øker med \(3\).

Differansene blir derfor

\[4,7,10,13,16,19,\ldots\]

Steg 3 — Finn utskriften

Tallene blir

\[1,\ 5,\ 12,\ 22,\ 35,\ 51\]

Neste tall ville blitt \(70\), og da stopper løkken fordi \(70>60\).

Steg 4 — Forklar sammenhengen

Siri har oppdaget at femkanttallene øker med differanser som selv øker med \(3\). Det passer med figuren: hvert nytt lag rundt femkanten gir tre flere nye punkter enn forrige lag.

Tolkning

Programmet skriver ut femkanttall opp til og med \(60\).

tall = 1
differanse = 4
utskrift = []

while tall <= 60:
    print(tall)
    utskrift.append(tall)
    tall = tall + differanse
    differanse = differanse + 3

print("Tallene som skrives ut:", utskrift)
print("Neste tall etter løkken ville vært:", tall)

1
5
12
22
35
51
Tallene som skrives ut: [1, 5, 12, 22, 35, 51]
Neste tall etter løkken ville vært: 70

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en potensmodell av typen \(F(x)=a\cdot x^b\). Dette gjøres naturlig med regresjon.

Steg 1 — Velg regresjonstype

Siden modellen er gitt som en potensfunksjon, bruker vi potensregresjon på punktene i tabellen.

Steg 2 — Resultat fra regresjon

Regresjon gir omtrent

\[a\approx0{,}00966,\qquad b\approx3{,}000\]

En passende modell er derfor

\[F(x)\approx0{,}00966x^{3{,}000}\]

Steg 3 — Tegn grafen

Grafen skal tegnes sammen med punktene fra tabellen. Den øker raskere og raskere, fordi eksponenten er omtrent \(3\).

Tolkning

Modellen sier at vekten omtrent er proporsjonal med tredje potens av lengden. Det er rimelig for fisk, fordi volum og masse ofte vokser omtrent kubisk med lengde.

import numpy as np

lengde = np.array([50, 70, 80, 100, 120, 130], dtype=float)
vekt = np.array([1190, 3320, 5070, 9610, 16080, 21590], dtype=float)

# For F(x)=a*x**b tar vi logaritmer: ln(F)=ln(a)+b*ln(x)
b, ln_a = np.polyfit(np.log(lengde), np.log(vekt), 1)
a = np.exp(ln_a)

print("a =", round(a, 8))
print("b =", round(b, 8))
print(f"Modell: F(x) = {a:.8f} * x**{b:.8f}")
for x_verdi in lengde:
    print(f"F({x_verdi:.0f}) = {a*x_verdi**b:.1f} gram")

a = 0.00965665
b = 2.99958319
Modell: F(x) = 0.00965665 * x**2.99958319
F(50) = 1206.8 gram
F(70) = 3311.2 gram
F(80) = 4945.6 gram
F(100) = 9638.1 gram
F(120) = 16652.7 gram
F(130) = 21194.4 gram

Hva spør oppgaven om? Stigningstallet til sekanten er gjennomsnittlig endring i vekt per centimeter mellom \(75\) cm og \(95\) cm.

Steg 1 — Bruk formelen for stigningstall

\[m=\dfrac{F(95)-F(75)}{95-75}\]

Steg 2 — Finn modellverdiene

Med modellen fra a får vi omtrent

\[F(75)\approx4066{,}57\]

\[F(95)\approx8263{,}67\]

Steg 3 — Regn stigningstallet

\[m\approx\dfrac{8263{,}67-4066{,}57}{20}\approx209{,}85\]

Tolkning

Mellom \(75\) cm og \(95\) cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent \(210\) gram per centimeter.

a = 0.009656650328044983
b = 2.999583185007938

def F(x):
    return a * x**b

x1 = 75
x2 = 95
F75 = F(x1)
F95 = F(x2)
stigningstall = (F95 - F75) / (x2 - x1)

print("F(75) =", round(F75, 2), "gram")
print("F(95) =", round(F95, 2), "gram")
print("Stigningstall =", round(stigningstall, 2), "gram per cm")
print("Tolkning: Gjennomsnittlig vektøkning er omtrent 210 gram per cm.")

F(75) = 4066.57 gram
F(95) = 8263.67 gram
Stigningstall = 209.85 gram per cm
Tolkning: Gjennomsnittlig vektøkning er omtrent 210 gram per cm.

Hva spør oppgaven om? Momentan vekstfart er den deriverte verdien \(F'(100)\).

Steg 1 — Deriver potensmodellen

Når \(F(x)=a x^b\), er

\[F'(x)=abx^{b-1}\]

Steg 2 — Sett inn \(x=100\)

\[F'(100)\approx0{,}00965665\cdot2{,}99958\cdot100^{1{,}99958}\]

Steg 3 — Regn ut

\[F'(100)\approx289{,}10\]

Tolkning

Når fisken er omtrent \(100\) cm lang, øker vekten med omtrent \(289\) gram per ekstra centimeter lengde, ifølge modellen.

a = 0.009656650328044983
b = 2.999583185007938

def F_derivert(x):
    return a * b * x**(b - 1)

x_verdi = 100
momentan_vekstfart = F_derivert(x_verdi)

print("F'(100) =", round(momentan_vekstfart, 2), "gram per cm")
print("Tolkning: Ved 100 cm øker vekten med omtrent 289 gram per ekstra cm.")

F'(100) = 289.1 gram per cm
Tolkning: Ved 100 cm øker vekten med omtrent 289 gram per ekstra cm.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke modellen til å finne relativ endring i vekt når lengden multipliseres med \(1{,}20\).

Steg 1 — Bruk potensmodellen

\[F(x)=a x^b\]

Hvis lengden øker med \(20\) %, blir ny lengde \(1{,}20x\).

Steg 2 — Finn forholdet mellom ny og gammel vekt

\[\dfrac{F(1{,}20x)}{F(x)}=\dfrac{a(1{,}20x)^b}{ax^b}=1{,}20^b\]

Steg 3 — Sett inn \(b\approx2{,}99958\)

\[1{,}20^{2{,}99958}\approx1{,}72787\]

Steg 4 — Gjør om til prosentvis økning

\[(1{,}72787-1)\cdot100\%\approx72{,}8\%\]

Tolkning

En lengdeøkning på \(20\) % gir omtrent \(72{,}8\) % vektøkning.

b = 2.999583185007938
lengdefaktor = 1.20
vektfaktor = lengdefaktor**b
prosent_okning = (vektfaktor - 1) * 100

print("Lengdefaktor =", lengdefaktor)
print("Vektfaktor =", round(vektfaktor, 6))
print("Prosentvis økning =", round(prosent_okning, 1), "%")

Lengdefaktor = 1.2
Vektfaktor = 1.727869
Prosentvis økning = 72.8 %

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette opp et likningssystem for tre aldre.

Steg 1 — Definer variablene

La \(A\), \(T\) og \(H\) være alderen til Abid, Therese og Harald i dag.

Steg 2 — Sett opp likningene

Summen av alderene gir

\[A+T+H=68\]

Therese er \(17\) år eldre enn Abid:

\[T=A+17\]

Om tre år er Abid dobbelt så gammel som Harald:

\[A+3=2(H+3)\]

Steg 3 — Løs systemet

Den siste likningen gir \(A=2H+3\). Da er \(T=2H+20\).

\[(2H+3)+(2H+20)+H=68\]

\[5H+23=68\Rightarrow H=9\]

Steg 4 — Finn de andre aldrene

\[A=2\cdot9+3=21\]

\[T=21+17=38\]

Tolkning

Om tre år er Abid \(24\) og Harald \(12\), og \(24\) er dobbelt så mye som \(12\).

from sympy import symbols, Eq, solve

A, T, H = symbols('A T H')
likninger = [
    Eq(A + T + H, 68),
    Eq(T, A + 17),
    Eq(A + 3, 2*(H + 3))
]
losning = solve(likninger, (A, T, H), dict=True)[0]

print("Abid =", losning[A])
print("Therese =", losning[T])
print("Harald =", losning[H])
print("Kontroll sum =", losning[A] + losning[T] + losning[H])
print("Kontroll om tre år:", losning[A] + 3, "=", 2*(losning[H] + 3))

Abid = 21
Therese = 38
Harald = 9
Kontroll sum = 68
Kontroll om tre år: 24 = 24

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke trekanten \(ACD\) og vise at diagonalen \(AC\) har lengde \(3\).

Steg 1 — Finn den tredje vinkelen

Vinkelsummen i en trekant er \(180^\circ\):

\[\angle A=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ\]

Steg 2 — Bruk sinussetningen

Siden \(DC\) ligger mot \(\angle A=30^\circ\), og \(AC\) ligger mot \(\angle D=120^\circ\), får vi

\[\dfrac{AC}{\sin120^\circ}=\dfrac{DC}{\sin30^\circ}\]

Steg 3 — Sett inn \(DC=\sqrt{3}\)

\[AC=\dfrac{\sqrt{3}\cdot\sin120^\circ}{\sin30^\circ}\]

Med \(\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) og \(\sin30^\circ=\dfrac{1}{2}\), får vi

\[AC=\dfrac{\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}=3\]

Tolkning

Dette bekrefter at diagonalen \(AC\) er \(3\).

from sympy import sqrt, sin, pi, simplify

DC = sqrt(3)
sin_120 = sin(120*pi/180)
sin_30 = sin(30*pi/180)
AC = DC * sin_120 / sin_30

print("sin(120 grader) =", sin_120)
print("sin(30 grader) =", sin_30)
print("AC =", simplify(AC))

sin(120 grader) = sqrt(3)/2
sin(30 grader) = 1/2
AC = 3

Hva spør oppgaven om? Vi deler firkanten i trekantene \(ABC\) og \(ACD\).

Steg 1 — Areal av \(ACD\)

Vi bruker sidene \(AC=3\) og \(DC=\sqrt{3}\), med vinkelen \(C=30^\circ\) mellom dem:

\[A_{ACD}=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot\sqrt{3}\cdot\sin30^\circ=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\]

Steg 2 — Finn arealet av \(ABC\)

I trekant \(ABC\) er \(AC=3\), \(BC=\sqrt{6}\) og \(\angle A=45^\circ\). Vi finner først \(AB\) med cosinussetningen:

\[(\sqrt{6})^2=AB^2+3^2-2\cdot AB\cdot3\cdot\cos45^\circ\]

Dette gir to algebraiske løsninger. Figuren viser den lengste plasseringen:

\[AB=\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\]

Steg 3 — Regn arealet av \(ABC\)

\[A_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin45^\circ\]

\[A_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\cdot3\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{9+3\sqrt{3}}{4}\]

Steg 4 — Summer arealene

\[A_{ABCD}=\dfrac{9+3\sqrt{3}}{4}+\dfrac{3\sqrt{3}}{4}=\dfrac{9+6\sqrt{3}}{4}\]

Tolkning

Firkantens areal er summen av arealene over og under diagonalen \(AC\).

from sympy import symbols, sqrt, Eq, solve, Rational, simplify

AB = symbols('AB', positive=True)
AC = 3
BC = sqrt(6)
sin45 = sqrt(2)/2
cos45 = sqrt(2)/2

mulige_AB = solve(Eq(BC**2, AB**2 + AC**2 - 2*AB*AC*cos45), AB)
AB_valgt = max(mulige_AB, key=lambda verdi: float(verdi))
areal_ABC = Rational(1, 2) * AB_valgt * AC * sin45
areal_ACD = Rational(1, 2) * AC * sqrt(3) * Rational(1, 2)
areal_total = simplify(areal_ABC + areal_ACD)

print("Mulige verdier for AB:", mulige_AB)
print("AB valgt fra figuren:", AB_valgt)
print("Areal ABC =", simplify(areal_ABC))
print("Areal ACD =", simplify(areal_ACD))
print("Areal ABCD =", areal_total)

Mulige verdier for AB: [-sqrt(6)/2 + 3*sqrt(2)/2, sqrt(6)/2 + 3*sqrt(2)/2]
AB valgt fra figuren: sqrt(6)/2 + 3*sqrt(2)/2
Areal ABC = 3*sqrt(3)/4 + 9/4
Areal ACD = 3*sqrt(3)/4
Areal ABCD = 3*sqrt(3)/2 + 9/4

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive en generell framgangsmåte, ikke nødvendigvis regne ut et bestemt tall i a.

Steg 1 — Se mønsteret

Hver ny grå trekant har areal \(\dfrac{1}{4}\) av arealet til den forrige grå trekanten.

Steg 2 — Definer startarealet

La \(A\) være arealet av den store trekanten. Første grå trekant har areal

\[\dfrac{A}{4}\]

Steg 3 — Algoritme

En algoritme kan skrives slik:

Start med sum = 0 og areal = A/4. Gjenta \(100\) ganger: legg areal til sum, og sett deretter areal = areal/4.

Tolkning

Algoritmen summerer en geometrisk rekke med kvotient \(\dfrac{1}{4}\).

def summer_graa_arealer(A, antall=100):
    total = 0
    areal = A / 4
    for nummer in range(1, antall + 1):
        total = total + areal
        areal = areal / 4
    return total

print("Algoritmen bruker startareal A/4 og kvotient 1/4.")
print("Eksempel hvis A = 36:", summer_graa_arealer(36, 100))

Algoritmen bruker startareal A/4 og kvotient 1/4.
Eksempel hvis A = 36: 12.0

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre algoritmen om til et program og regne ut summen av de \(100\) første grå arealene.

Steg 1 — Sett startverdiene

Når startarealet er \(36\), er første grå areal

\[\dfrac{36}{4}=9\]

Steg 2 — Bruk løkke

Hver gang løkken kjører, legger vi til nåværende grå areal og deler deretter arealet med \(4\).

Steg 3 — Kontroller med formel

Summen er

\[9+\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{16}+\cdots\]

For \(100\) ledd er

\[S_{100}=12\left(1-4^{-100}\right)\approx12\]

Tolkning

Summen blir praktisk talt \(12\), men eksakt for \(100\) ledd er den litt mindre enn \(12\).

startareal = 36
antall = 100
areal = startareal / 4
total = 0

for nummer in range(1, antall + 1):
    total = total + areal
    areal = areal / 4

print("Startareal:", startareal)
print("Antall grå trekanter:", antall)
print("Sum av arealene:", total)
print("Avrundet:", round(total, 6))

Startareal: 36
Antall grå trekanter: 100
Sum av arealene: 12.0
Avrundet: 12.0

Hva spør oppgaven om? Rektangelets bredde er \(x\)-verdien til \(B\), og høyden er funksjonsverdien \(f(x)\).

Steg 1 — Finn bredden

Når \(B=(3,0)\), er bredden

\[3\]

Steg 2 — Finn høyden

Høyden er \(f(3)\):

\[f(3)=\dfrac{10}{3^2+3}=\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}\]

Steg 3 — Regn arealet

\[A=\text{bredde}\cdot\text{høyde}=3\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{2}\]

Tolkning

Rektangelet har areal \(\dfrac{5}{2}\) når \(B=(3,0)\).

from fractions import Fraction

x = 3
hoyde = Fraction(10, x**2 + 3)
areal = x * hoyde

print("Bredde =", x)
print("Høyde =", hoyde)
print("Areal =", areal)
print("Areal som desimaltall =", float(areal))

Bredde = 3
Høyde = 5/6
Areal = 5/2
Areal som desimaltall = 2.5

Hva spør oppgaven om? Vi skal maksimere arealet som funksjon av \(x\).

Steg 1 — Sett opp arealfunksjonen

Bredden er \(x\), og høyden er \(f(x)=\dfrac{10}{x^2+3}\). Dermed er

\[A(x)=x\cdot\dfrac{10}{x^2+3}=\dfrac{10x}{x^2+3}\]

Steg 2 — Deriver

Ved brøkregelen får vi

\[A'(x)=\dfrac{10(x^2+3)-10x\cdot2x}{(x^2+3)^2}=\dfrac{30-10x^2}{(x^2+3)^2}\]

Steg 3 — Finn kritisk punkt

Vi setter telleren lik null:

\[30-10x^2=0\]

\[x^2=3\Rightarrow x=\sqrt{3}\]

Siden \(x>0\), bruker vi \(x=\sqrt{3}\).

Steg 4 — Begrunn maksimum

Arealet går mot \(0\) når \(x\to0^+\), og også når \(x\to\infty\). Dermed gir det kritiske punktet maksimum.

Tolkning

Punktet \(B\) må ligge i \((\sqrt{3},0)\).

from sympy import symbols, diff, solve, sqrt, simplify

x = symbols('x', positive=True)
A = 10*x/(x**2 + 3)
A_derivert = diff(A, x)
kritiske_punkt = solve(A_derivert, x)

print("A(x) =", A)
print("A'(x) =", simplify(A_derivert))
print("Kritiske punkt:", kritiske_punkt)
print("B må ligge i punktet:", (sqrt(3), 0))
print("Største areal blir:", simplify(A.subs(x, sqrt(3))))

A(x) = 10*x/(x**2 + 3)
A'(x) = 10*(3 - x**2)/(x**2 + 3)**2
Kritiske punkt: [sqrt(3)]
B må ligge i punktet: (sqrt(3), 0)
Største areal blir: 5*sqrt(3)/3

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne den rette linjen gjennom \((0,23)\) som akkurat tangerer parabelen på høyre side.

Steg 1 — Skriv tangentlinjen

En linje gjennom \((0,23)\) kan skrives

\[y=mx+23\]

Steg 2 — Tangering betyr én skjæring

Vi setter linjen lik parabelen:

\[-\dfrac{1}{12}x^2+20=mx+23\]

Flytter vi alt til én side, får vi

\[-\dfrac{1}{12}x^2-mx-3=0\]

Steg 3 — Bruk diskriminanten

For at linjen skal være tangent, må andregradslikningen ha nøyaktig én løsning. Da er diskriminanten lik \(0\). Dette gir

\[m=\pm1\]

Steg 4 — Velg riktig tangent fra figuren

Figuren viser tangenten på høyre side, altså en synkende linje. Derfor er \(m=-1\).

\[y=-x+23\]

Tolkning

Tangentlinjen går gjennom kameraet i \((0,23)\) og berører taket i ett punkt på høyre side.

from sympy import symbols, Eq, solve, discriminant, factor

x, m = symbols('x m')
p = -x**2/12 + 20
linje = m*x + 23
likning = p - linje
D = discriminant(likning, x)
m_verdier = solve(Eq(D, 0), m)

print("p(x) - linje =", likning)
print("Diskriminant =", factor(D))
print("Mulige stigningstall:", m_verdier)
print("Riktig tangent på høyre side: y = -x + 23")

p(x) - linje = -m*x - x**2/12 - 3
Diskriminant = (m - 1)*(m + 1)
Mulige stigningstall: [-1, 1]
Riktig tangent på høyre side: y = -x + 23

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne blindsonen ved bakken utenfor veggen. Den starter ved veggen og slutter der tangentlinjen treffer bakken.

Steg 1 — Finn veggens plassering

Veggen på høyre side er der takparabelen treffer bakken:

\[-\dfrac{1}{12}x^2+20=0\]

\[x^2=240\Rightarrow x=\sqrt{240}=4\sqrt{15}\]

Steg 2 — Finn hvor tangentlinjen treffer bakken

Tangenten er \(y=-x+23\). På bakken er \(y=0\):

\[0=-x+23\Rightarrow x=23\]

Steg 3 — Finn avstanden fra veggen

Avstanden er

\[23-4\sqrt{15}\approx7{,}51\]

Tolkning

Tyven kan bevege seg omtrent \(7{,}5\) meter fra veggen uten å bli fotografert.

from sympy import sqrt, N

x_vegg = 4*sqrt(15)
x_tangent_bakke = 23
blindsone = x_tangent_bakke - x_vegg

print("Høyre vegg ved x =", x_vegg)
print("Tangentlinjen treffer bakken ved x =", x_tangent_bakke)
print("Avstand fra veggen =", blindsone)
print("Avstand fra veggen tilnærmet =", N(blindsone, 6), "meter")

Høyre vegg ved x = 4*sqrt(15)
Tangentlinjen treffer bakken ved x = 23
Avstand fra veggen = 23 - 4*sqrt(15)
Avstand fra veggen tilnærmet = 7.50807 meter