Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke trekanten til å kontrollere identiteten for én bestemt vinkel, ikke bevise den generelt.

Steg 1 — Les sinus og cosinus fra trekanten

Hypotenusen er \\(2\\). For vinkelen \\(30^\circ\\) er motstående katet \\(1\\) og hosliggende katet \\(\sqrt{3}\\).

Derfor er \\[\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2},\qquad \cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]

Dette er definisjonene av sinus og cosinus i en rettvinklet trekant.

Steg 2 — Regn venstre side

Vi setter inn \\(u=30^\circ\\):

\[2\cdot\sin(30^\circ)\cdot\cos(30^\circ)=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]

Venstre side blir altså \\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\).

Steg 3 — Regn høyre side

Høyre side er

\[\sin(2\cdot30^\circ)=\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]

Verdien \\(\sin(60^\circ)\\) leses også fra den samme trekanten.

Steg 4 — Sammenlign sidene

Begge sider gir samme verdi:

\[2\cdot\sin(30^\circ)\cdot\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin(60^\circ)\]

Tolkning

Formelen stemmer for \\(u=30^\circ\\) fordi venstre og høyre side gir nøyaktig samme verdi.

from sympy import sqrt, Rational, simplify

sin30 = Rational(1, 2)
cos30 = sqrt(3) / 2
venstre_side = 2 * sin30 * cos30
hoyre_side = sqrt(3) / 2

print("Venstre side =", venstre_side)
print("Høyre side   =", hoyre_side)
print("Er sidene like?", simplify(venstre_side - hoyre_side) == 0)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne topp- eller bunnpunktet til en parabel. Siden koeffisienten foran \\(x^2\\) er positiv, får grafen et bunnpunkt.

Steg 1 — Utvid uttrykket

\[f(x)=(x-1)(x+3)=x^2+2x-3\]

Dette gjør det lett å lese av \\(a\\) og \\(b\\).

Steg 2 — Finn symmetrilinjen

For \\(f(x)=ax^2+bx+c\\) ligger ekstremalpunktet ved

\[x=-\dfrac{b}{2a}\]

Her er \\(a=1\\) og \\(b=2\\), så

\[x=-\dfrac{2}{2\cdot1}=-1\]

Steg 3 — Finn funksjonsverdien

\[f(-1)=(-1-1)(-1+3)=(-2)\cdot2=-4\]

Dermed er \\(y\\)-koordinaten \\(-4\\).

Steg 4 — Skriv koordinatene

Bunnpunktet er punktet der \\(x=-1\\) og \\(y=-4\\):

\[(-1,-4)\]

Tolkning

Grafen synker fram til \\(x=-1\\) og stiger etterpå.

from sympy import symbols, expand, diff, solve

x = symbols('x')
f = (x - 1)*(x + 3)
f_utvidet = expand(f)
derivert = diff(f, x)
x_ekstremal = solve(derivert, x)[0]
y_ekstremal = f.subs(x, x_ekstremal)

print("f(x) =", f_utvidet)
print("f'(x) =", derivert)
print("x-koordinat =", x_ekstremal)
print("y-koordinat =", y_ekstremal)
print("Bunnpunkt =", (x_ekstremal, y_ekstremal))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor grafen til tredjegradsfunksjonen ligger under \\(x\\)-aksen.

Steg 1 — Finn en rot

Vi prøver enkle heltall. For \\(x=1\\) får vi

\[f(1)=1+7+4-12=0\]

Dermed er \\(x-1\\) en faktor.

Steg 2 — Faktoriser polynomet

Polynomet faktoriseres til

\[x^3+7x^2+4x-12=(x-1)(x+2)(x+6)\]

Nullpunktene er derfor \\(x=1\\), \\(x=-2\\) og \\(x=-6\\).

Steg 3 — Lag fortegnslinje

Faktorene skifter fortegn i nullpunktene. Intervallene blir

\[(-\infty,-6),\quad (-6,-2),\quad (-2,1),\quad (1,\infty)\]

Tester vi ett tall i hvert intervall, får vi fortegnene \\(-,+,-,+\\).

Steg 4 — Velg intervallene der funksjonen er negativ

Ulikheten \\(f(x)<0\\) betyr at vi skal ha intervallene der fortegnet er negativt:

\[x<-6\quad\text{eller}\quad -2

Nullpunktene er ikke med fordi ulikheten er streng.

Tolkning

Grafen ligger under \\(x\\)-aksen før \\(-6\\) og mellom \\(-2\\) og \\(1\\).

from sympy import symbols, factor, solve_univariate_inequality

x = symbols('x')
f = x**3 + 7*x**2 + 4*x - 12
f_faktorisert = factor(f)
losning = solve_univariate_inequality(f < 0, x)

print("f(x) faktorisert =", f_faktorisert)
print("Løsning av f(x) < 0:")
print(losning)

for testpunkt in [-7, -4, 0, 2]:
    print("f(", testpunkt, ") =", f.subs(x, testpunkt))

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om tangensverdien er større enn \\(1\\) ved å bruke punktet på enhetssirkelen.

Steg 1 — Bruk definisjonen av tangens

På enhetssirkelen er

\[\tan v=\dfrac{\sin v}{\cos v}=\dfrac{y}{x}\]

For \\(50^\circ\\) kan punktet leses omtrent som \\((0{,}64,0{,}77)\\).

Steg 2 — Sammenlign teller og nevner

\[\tan 50^\circ\approx\dfrac{0{,}77}{0{,}64}\]

Siden \\(0{,}77>0{,}64\\), blir brøken større enn \\(1\\).

Steg 3 — Konkluder

\[\dfrac{0{,}77}{0{,}64}\approx1{,}20>1\]

Tolkning

Vinkelen \\(50^\circ\\) ligger i første kvadrant, og \\(y\\)-koordinaten er større enn \\(x\\)-koordinaten.

from math import tan, radians

punkt_x = 0.64
punkt_y = 0.77
tilnaermet_tangens = punkt_y / punkt_x
kalkulatorverdi = tan(radians(50))

print("Tangens fra punktet =", round(tilnaermet_tangens, 4))
print("tan(50 grader)      =", round(kalkulatorverdi, 4))
print("Er tan(50 grader) > 1?", kalkulatorverdi > 1)

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre fortegnet til tangens i andre kvadrant.

Steg 1 — Plasser vinkelen

Vinkelen \\(130^\circ\\) ligger i andre kvadrant.

I andre kvadrant er \\(\sin v>0\\) og \\(\cos v<0\\).

Steg 2 — Bruk tangensdefinisjonen

\[\tan v=\dfrac{\sin v}{\cos v}\]

En positiv verdi delt på en negativ verdi blir negativ.

Steg 3 — Konkluder

\[\tan 130^\circ<0\]

Dermed er påstanden \\(\tan130^\circ>0\\) feil.

Tolkning

Tangens er negativ i andre og fjerde kvadrant.

from math import tan, radians

vinkel = 130
verdi = tan(radians(vinkel))

print("tan(130 grader) =", round(verdi, 4))
print("Er verdien positiv?", verdi > 0)
print("Forklaring: 130 grader ligger i andre kvadrant.")

Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke samme areal på to måter.

Steg 1 — Arealet av det store kvadratet

Siden i det store kvadratet er \\(s+t\\). Derfor er arealet

\[(s+t)^2\]

Steg 2 — Del figuren i mindre deler

Figuren består av ett lite kvadrat med areal \\(s^2\\), to rektangler med areal \\(st\\) hver og ett kvadrat med areal \\(t^2\\).

Steg 3 — Summer delarealene

\[s^2+st+st+t^2=s^2+2st+t^2\]

Steg 4 — Sett uttrykkene lik hverandre

Siden begge uttrykk beskriver samme areal, får vi identiteten

\[(s+t)^2=s^2+2st+t^2\]

Tolkning

Identiteten viser hvorfor kvadratsetningen fungerer geometrisk.

from sympy import symbols, expand

s, t = symbols('s t')
stort_kvadrat = (s + t)**2
delarealer = s**2 + s*t + s*t + t**2

print("Areal direkte =", expand(stort_kvadrat))
print("Sum av deler  =", expand(delarealer))
print("Samme uttrykk?", expand(stort_kvadrat - delarealer) == 0)

Hva spør oppgaven om? Året 2010 svarer til \\(x=0\\), fordi \\(x\\) er antall år etter 2010.

Steg 1 — Metode 1: Sett inn \\(x=0\\)

\[P(0)=3600\cdot0{,}85^0+600\]

Siden alle positive tall opphøyd i \\(0\\) er \\(1\\), får vi

\[P(0)=3600\cdot1+600=4200\]

Steg 2 — Metode 2: Les konstantledd og startverdi fra modellen

Modellen har formen \\(3600\cdot0{,}85^x+600\\). Når \\(x=0\\), blir eksponentialdelen \\(3600\\), og konstantleddet \\(600\\) legges til.

\[3600+600=4200\]

Tolkning

Ifølge modellen var det \\(4200\\) papirabonnenter i 2010.

from sympy import symbols, Rational

x = symbols('x')
P = 3600 * Rational(85, 100)**x + 600
start_aar = 2010
x_verdi = 0
antall = P.subs(x, x_verdi)

print("Modell: P(x) = 3600*0.85**x + 600")
print("År:", start_aar)
print("x-verdi:", x_verdi)
print("P(0) =", antall)
print("Tolkning: I 2010 var det", antall, "papirabonnenter.")

Hva spør oppgaven om? Stigningstallet til sekanten er gjennomsnittlig endring per år fra \\(x=4\\) til \\(x=14\\).

Steg 1 — Bruk formelen for stigningstall

\[a=\dfrac{P(14)-P(4)}{14-4}\]

Nevneren er \\(10\\) fordi punktene ligger ti år fra hverandre.

Steg 2 — Finn funksjonsverdiene

\[P(4)=3600\cdot0{,}85^4+600\approx2479{,}22\]

\[P(14)=3600\cdot0{,}85^{14}+600\approx969{,}97\]

Steg 3 — Regn stigningstallet

\[a\approx\dfrac{969{,}97-2479{,}22}{10}\approx-150{,}93\]

Tolkning

Fra 2014 til 2024 sank antall papirabonnenter i gjennomsnitt med omtrent \\(151\\) personer per år.

from sympy import symbols, Rational, N

x = symbols('x')
P = 3600 * Rational(85, 100)**x + 600
x1 = 4
x2 = 14
P4 = P.subs(x, x1)
P14 = P.subs(x, x2)
stigningstall = (P14 - P4) / (x2 - x1)

print("P(4)  =", N(P4, 8))
print("P(14) =", N(P14, 8))
print("Stigningstall =", N(stigningstall, 8))
print("Tolkning: Omtrent", round(float(stigningstall)), "papirabonnenter per år.")

Hva spør oppgaven om? Momentan vekstfart er den deriverte verdien i punktet \\(x=10\\).

Steg 1 — Deriver modellen

For \\(a^x\\) bruker vi at \\(\dfrac{d}{dx}a^x=a^x\ln(a)\\). Dermed er

\[P'(x)=3600\cdot0{,}85^x\cdot\ln(0{,}85)\]

Steg 2 — Sett inn \\(x=10\\)

\[P'(10)=3600\cdot0{,}85^{10}\cdot\ln(0{,}85)\]

Steg 3 — Regn ut verdien

\[P'(10)\approx-115{,}18\]

Tolkning

I 2020 sank antall papirabonnenter med omtrent \\(115\\) personer per år, ifølge modellen.

from sympy import symbols, Rational, diff, N, log

x = symbols('x')
P = 3600 * Rational(85, 100)**x + 600
P_derivert = diff(P, x)
verdi = P_derivert.subs(x, 10)

print("P'(x) =", P_derivert)
print("P'(10) eksakt =", verdi)
print("P'(10) tilnærmet =", N(verdi, 8))
print("Tolkning: Nedgangen i 2020 er omtrent", round(float(verdi)), "abonnenter per år.")

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne papirabonnenter og digitale abonnenter år for år.

Steg 1 — Lag modell for digitale abonnenter

Når veksten er \\(5{,}5\\) % per år, er vekstfaktoren \\(1{,}055\\). For år \\(Y\\) blir modellen

\[D(Y)=1000\cdot1{,}055^{Y-2019}\]

Steg 2 — Papirmodellen i kalenderår

Siden \\(x\\) er år etter 2010, bruker vi \\(x=Y-2010\\):

\[P(Y)=3600\cdot0{,}85^{Y-2010}+600\]

Steg 3 — Sammenlign år for år

For \\(2021\\):

\[P\approx1202{,}44,\qquad D\approx1113{,}02\]

Da er papir fortsatt størst. For \\(2022\\):

\[P\approx1112{,}07,\qquad D\approx1174{,}24\]

Da er digital størst.

Tolkning

Første gang den digitale utgaven har flere abonnenter enn papirutgaven, er i 2022.

from sympy import Rational, N

for aar in range(2019, 2025):
    x = aar - 2010
    papir = 3600 * Rational(85, 100)**x + 600
    digital = 1000 * Rational(1055, 1000)**(aar - 2019)
    print(aar)
    print("  Papir   =", N(papir, 8))
    print("  Digital =", N(digital, 8))
    print("  Digital > papir?", digital > papir)

print("Første år med flere digitale abonnenter enn papirabonnenter er 2022.")

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne arealet av én likesidet trekant med trigonometri og gange med \\(12\\).

Steg 1 — Bruk arealformelen med sinus

For en trekant med sider \\(a\\) og \\(b\\) og vinkel \\(C\\) mellom sidene er

\[A=\dfrac{1}{2}ab\sin C\]

Steg 2 — Sett inn for én likesidet trekant

I en likesidet trekant er vinkelen mellom to sider \\(60^\circ\\), og sidene er \\(4\\) og \\(4\\).

\[A_1=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot4\cdot\sin60^\circ\]

Steg 3 — Bruk eksakt sinusverdi

\[A_1=8\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\]

Steg 4 — Gang med 12 trekanter

\[A=12\cdot4\sqrt{3}=48\sqrt{3}\]

Tolkning

Trigonometri gir samme areal som Pytagoras-metoden.

from sympy import sqrt, Rational, simplify

side = 4
antall_trekanter = 12
sin60 = sqrt(3) / 2
areal_en_trekant = Rational(1, 2) * side * side * sin60
areal_stjerne = antall_trekanter * areal_en_trekant

print("Areal av én trekant =", areal_en_trekant)
print("Antall trekanter =", antall_trekanter)
print("Areal av stjernen =", simplify(areal_stjerne))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage ett mulig uttrykk, ikke det eneste mulige.

Steg 1 — Sikre vertikal asymptote

For å få vertikal asymptote \\(x=2\\), kan nevneren inneholde faktoren \\(x-2\\).

Steg 2 — Sikre horisontal asymptote

En enkel form med horisontal asymptote \\(y=4\\) er

\[f(x)=4+\dfrac{k}{x-2}\]

Når \\(x\\) blir stor, går brøken mot \\(0\\), og funksjonen går mot \\(4\\).

Steg 3 — Bruk nullpunktet

Nullpunktet \\(x=-3\\) betyr \\(f(-3)=0\\):

\[0=4+\dfrac{k}{-3-2}=4-\dfrac{k}{5}\]

Da må \\(k=20\\).

Steg 4 — Skriv funksjonen

Et mulig uttrykk er

\[f(x)=4+\dfrac{20}{x-2}\]

Dette kan også skrives som

\[f(x)=\dfrac{4x+12}{x-2}=\dfrac{4(x+3)}{x-2}\]

Tolkning

Nevneren gir asymptoten \\(x=2\\), konstantleddet gir asymptoten \\(y=4\\), og telleren gir nullpunktet \\(x=-3\\).

from sympy import symbols, limit, oo, simplify

x = symbols('x')
f = 4 + 20/(x - 2)

print("f(x) =", simplify(f))
print("Nullpunktkontroll f(-3) =", simplify(f.subs(x, -3)))
print("Horisontal asymptote:", limit(f, x, oo))
print("Vertikal asymptote ved x = 2 fordi nevneren blir 0.")

Hva spør oppgaven om? Her må vi dokumentere et program, ikke bare skrive svarene.

Steg 1 — Lag algoritmen

Vi starter med produktet \\(1\\) og multipliserer med \\(2\\), \\(3\\), \\(4\\), og videre opp til \\(n\\).

Steg 2 — Forklar hvorfor løkken virker

Etter at løkken har kommet til tallet \\(k\\), er produktet lik \\(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k\\). Når \\(k=n\\), har vi \\(n!\\).

Steg 3 — Kjør programmet for de tre verdiene

def fakultet(n):
    """Returnerer n! for et naturlig tall n."""
    if n < 0:
        raise ValueError("n må være et naturlig tall")

    produkt = 1
    for faktor in range(1, n + 1):
        produkt = produkt * faktor

    return produkt

verdier = [5, 10, 15]

for n in verdier:
    svar = fakultet(n)
    print(f"{n}! = {svar}")

# Ekstra kontroll mot Python sitt innebygde matematikkbibliotek
from math import factorial
print("Kontroll:")
for n in verdier:
    print(f"{n}! stemmer?", fakultet(n) == factorial(n))

Programmet gir

\[5!=120,\qquad 10!=3628800,\qquad 15!=1307674368000\]

Tolkning

Fakultet vokser svært raskt, fordi vi multipliserer med stadig større faktorer.

Hva spør oppgaven om? Antall nuller bakerst bestemmes av hvor mange faktorer \\(10\\) vi kan lage.

Steg 1 — Koble nuller til faktoren 10

Én null bakerst kommer av én faktor \\(10\\), og

\[10=2\cdot5\]

I \\(100!\\) finnes det langt flere faktorer \\(2\\) enn faktorer \\(5\\), så vi teller femmere.

Steg 2 — Tell multipler av 5

Hvert tall som er delelig med \\(5\\), bidrar med minst én faktor \\(5\\):

\[\left\lfloor\dfrac{100}{5}\right\rfloor=20\]

Steg 3 — Tell ekstra femmere fra multipler av 25

Tall som \\(25,50,75,100\\) inneholder en ekstra faktor \\(5\\), fordi \\(25=5^2\\).

\[\left\lfloor\dfrac{100}{25}\right\rfloor=4\]

Steg 4 — Summer antall femmere

\[20+4=24\]

Det finnes derfor \\(24\\) faktorer \\(5\\), og sammen med faktorer \\(2\\) gir de \\(24\\) faktorer \\(10\\).

Tolkning

Derfor slutter \\(100!\\) med \\(24\\) nuller.

from math import factorial

n = 100
antall_femmere = 0
divisor = 5

while divisor <= n:
    bidrag = n // divisor
    print(f"Multipler av {divisor}: {bidrag}")
    antall_femmere += bidrag
    divisor *= 5

print("Antall faktorer 5 i 100! =", antall_femmere)
print("Antall nuller bakerst i 100! =", antall_femmere)

# Direkte kontroll ved å se på tallet som tekst
verdi = str(factorial(100))
antall_nuller = len(verdi) - len(verdi.rstrip("0"))
print("Kontroll med factorial(100):", antall_nuller)

Hva spør oppgaven om? Vi skal oversette tekstopplysningene til likninger og løse et likningssystem.

Steg 1 — Skriv funksjonen og den deriverte

\[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]

\[f'(x)=3ax^2+2bx+c\]

Steg 2 — Bruk punktet \\((2,6)\\)

\[f(2)=6\]

\[8a+4b+2c+d=6\]

Steg 3 — Bruk toppunktet \\((-2,8)\\)

Siden punktet ligger på grafen, er \\(f(-2)=8\\):

\[-8a+4b-2c+d=8\]

Siden det er et toppunkt, er \\(f'(-2)=0\\):

\[12a-4b+c=0\]

Steg 4 — Bruk tangentens stigningstall

Stigningstallet i \\(x=3\\) er \\(4\\), altså

\[f'(3)=4\]

\[27a+6b+c=4\]

Steg 5 — Løs likningssystemet

Løsningen blir

\[a=\dfrac{3}{20},\qquad b=\dfrac{7}{40},\qquad c=-\dfrac{11}{10},\qquad d=\dfrac{63}{10}\]

Tolkning

Alle fire opplysningene trengs for å bestemme de fire ukjente koeffisientene.

from sympy import symbols, Eq, solve, diff, simplify

x, a, b, c, d = symbols('x a b c d')
f = a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
f_derivert = diff(f, x)

likninger = [
    Eq(f.subs(x, 2), 6),
    Eq(f.subs(x, -2), 8),
    Eq(f_derivert.subs(x, -2), 0),
    Eq(f_derivert.subs(x, 3), 4)
]

losning = solve(likninger, [a, b, c, d], dict=True)[0]
print("Løsning:")
for variabel in [a, b, c, d]:
    print(variabel, "=", losning[variabel])

f_bestemt = simplify(f.subs(losning))
print("f(x) =", f_bestemt)
print("Kontroll f(2) =", f_bestemt.subs(x, 2))
print("Kontroll f(-2) =", f_bestemt.subs(x, -2))
print("Kontroll f'(-2) =", diff(f_bestemt, x).subs(x, -2))
print("Kontroll f'(3) =", diff(f_bestemt, x).subs(x, 3))

Hva spør oppgaven om? Figuren kan deles langs diagonalen \\(AC\\) i to trekanter: \\(\triangle ADC\\) og \\(\triangle ABC\\).

Steg 1 — Finn vinkelen i \\(\triangle ADC\\)

Vi kjenner sidene \\(AD=6\\), \\(DC=12\\) og \\(AC=16{,}4\\). Med cosinussetningen finner vi vinkelen mellom \\(AD\\) og \\(DC\\):

\[\cos D=\dfrac{6^2+12^2-16{,}4^2}{2\cdot6\cdot12}\]

Steg 2 — Finn arealet av \\(\triangle ADC\\)

Når vinkelen \\(D\\) er kjent, kan vi bruke

\[A_1=\dfrac{1}{2}\cdot AD\cdot DC\cdot\sin D\approx28{,}31\]

Steg 3 — Finn vinkelen i \\(\triangle ABC\\)

For \\(\triangle ABC\\) kjenner vi \\(AB=8\\), \\(BC=10\\) og \\(AC=16{,}4\\). Med cosinussetningen:

\[\cos B=\dfrac{8^2+10^2-16{,}4^2}{2\cdot8\cdot10}\]

Steg 4 — Finn arealet av \\(\triangle ABC\\)

\[A_2=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B\approx30{,}19\]

Steg 5 — Summer arealene

\[A\approx28{,}31+30{,}19=58{,}50\]

Tolkning

Arealet av hele figuren er omtrent \\(58{,}5\\) kvadratenheter.

from math import acos, sin, degrees

def trekantareal_med_cosinussetningen(side1, side2, motstaaende):
    cos_vinkel = (side1**2 + side2**2 - motstaaende**2) / (2 * side1 * side2)
    vinkel = acos(cos_vinkel)
    areal = 0.5 * side1 * side2 * sin(vinkel)
    return degrees(vinkel), areal

vinkel_D, areal_ADC = trekantareal_med_cosinussetningen(6.0, 12.0, 16.4)
vinkel_B, areal_ABC = trekantareal_med_cosinussetningen(8.0, 10.0, 16.4)
areal_total = areal_ADC + areal_ABC

print("Vinkel D i trekant ADC =", round(vinkel_D, 2), "grader")
print("Areal ADC =", round(areal_ADC, 2))
print("Vinkel B i trekant ABC =", round(vinkel_B, 2), "grader")
print("Areal ABC =", round(areal_ABC, 2))
print("Totalt areal =", round(areal_total, 2))

Hva spør oppgaven om? Vi kan dele figuren langs \\(BD\\) og finne arealet av \\(\triangle ABD\\) og \\(\triangle BCD\\).

Steg 1 — Trekant \\(ABD\\)

Fra figuren er \\(AB=8{,}0\\). Vi kjenner \\(\angle A=62{,}5^\circ\\) og \\(\angle ABD=45{,}5^\circ\\). Da er

\[\angle ADB=180^\circ-62{,}5^\circ-45{,}5^\circ=72{,}0^\circ\]

Steg 2 — Bruk sinussetningen for å finne \\(AD\\)

\[\dfrac{AD}{\sin45{,}5^\circ}=\dfrac{AB}{\sin72{,}0^\circ}\]

Dermed er

\[AD=\dfrac{8\sin45{,}5^\circ}{\sin72{,}0^\circ}\]

Steg 3 — Arealet av \\(ABD\\)

\[A_1=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot\sin62{,}5^\circ\approx21{,}29\]

Steg 4 — Trekant \\(BCD\\)

Fra figuren er \\(DC=12{,}0\\). Vi kjenner \\(\angle C=38{,}3^\circ\\) og \\(\angle CBD=85{,}5^\circ\\). Da er

\[\angle BDC=180^\circ-38{,}3^\circ-85{,}5^\circ=56{,}2^\circ\]

Steg 5 — Finn \\(BC\\) og arealet av \\(BCD\\)

\[\dfrac{BC}{\sin56{,}2^\circ}=\dfrac{DC}{\sin85{,}5^\circ}\]

\[A_2=\dfrac{1}{2}\cdot DC\cdot BC\cdot\sin38{,}3^\circ\approx37{,}20\]

Steg 6 — Summer

\[A\approx21{,}29+37{,}20=58{,}49\]

Tolkning

Små avrundingsforskjeller gjør at svaret kan avvike litt fra metode a, men arealet er omtrent \\(58{,}5\\).

from math import sin, radians

# Trekant ABD
AB = 8.0
A = radians(62.5)
B1 = radians(45.5)
D1 = radians(180 - 62.5 - 45.5)
AD = AB * sin(B1) / sin(D1)
areal_ABD = 0.5 * AB * AD * sin(A)

# Trekant BCD
DC = 12.0
C = radians(38.3)
B2 = radians(85.5)
D2 = radians(180 - 38.3 - 85.5)
BC = DC * sin(D2) / sin(B2)
areal_BCD = 0.5 * DC * BC * sin(C)

print("AD =", round(AD, 3))
print("Areal ABD =", round(areal_ABD, 3))
print("BC =", round(BC, 3))
print("Areal BCD =", round(areal_BCD, 3))
print("Totalt areal =", round(areal_ABD + areal_BCD, 3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne arealet når \\(x=8\\).

Steg 1 — Finn gjerdeuttrykket

Linjestykkene i figuren gir

\[2y+4x+2x\sqrt{2}=100\]

Her kommer \\(2x\sqrt{2}\\) fra de to hypotenusene i de likebeinte rettvinklede trekantene.

Steg 2 — Sett inn \\(x=8\\)

\[2y+4\cdot8+2\cdot8\sqrt{2}=100\]

\[2y=68-16\sqrt{2}\]

\[y=34-8\sqrt{2}\]

Steg 3 — Finn arealet

Arealet er rektangelet pluss to trekanter:

\[A=xy+2\cdot\dfrac{x^2}{2}=xy+x^2\]

\[A(8)=8(34-8\sqrt{2})+64=336-64\sqrt{2}\approx245{,}49\]

Tolkning

Når katetene er \\(8\\) m, blir arealet omtrent \\(245{,}5\\) m\(^2\\).

from sympy import sqrt, N

x = 8
y = 34 - 8*sqrt(2)
areal = x*y + x**2

print("x =", x)
print("y =", y)
print("Areal eksakt =", areal)
print("Areal tilnærmet =", N(areal, 6))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en tabell over arealet for flere verdier av \\(x\\).

Steg 1 — Bruk arealmodellen fra figuren

Fra gjerdet får vi \\(y=50-(2+\sqrt{2})x\\), og arealet blir

\[A(x)=xy+x^2\]

Steg 2 — Lag en tabell

Vi kan bruke Python til å regne arealet for flere verdier av \\(x\\):

from math import sqrt

def y_verdi(x):
    return 50 - (2 + sqrt(2))*x

def areal(x):
    y = y_verdi(x)
    return x*y + x**2

print("x (m)   y (m)     A(x) (m^2)")
print("---------------------------")
for x in [4, 6, 8, 10, 10.3, 10.4, 11, 12, 14]:
    print(f"{x:4.1f}  {y_verdi(x):7.2f}  {areal(x):10.2f}")

print("Tabellen viser at maksimum ligger rundt x = 10,4 m.")

Steg 3 — Les av fra tabellen

Tabellen viser at arealet øker fram til omtrent \\(x=10{,}4\\) og deretter minker.

Tolkning

Else bør velge kateter rundt \\(10{,}4\\) m for å få størst mulig areal.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en formel for arealet uttrykt ved \\(x\\).

Steg 1 — Sett opp gjerdeuttrykket

Figuren har to vannrette sider \\(y\\), fire kateter \\(x\\), og to hypotenuser \\(x\sqrt{2}\\). Derfor er

\[2y+4x+2x\sqrt{2}=100\]

Steg 2 — Løs for \\(y\\)

\[2y=100-4x-2x\sqrt{2}\]

\[y=50-(2+\sqrt{2})x\]

Steg 3 — Skriv arealet

Rektangelet har areal \\(xy\\). De to rettvinklede trekantene har samlet areal

\[2\cdot\dfrac{x^2}{2}=x^2\]

Dermed er

\[A(x)=xy+x^2\]

Steg 4 — Sett inn uttrykket for \\(y\\)

\[A(x)=x\left(50-(2+\sqrt{2})x\right)+x^2\]

\[A(x)=50x-(1+\sqrt{2})x^2\]

Tolkning

Modellen er en andregradsfunksjon som åpner nedover, så den har et største areal.

from sympy import symbols, sqrt, expand

x = symbols('x')
y = 50 - (2 + sqrt(2))*x
A = x*y + x**2

print("y(x) =", y)
print("A(x) før utviding =", A)
print("A(x) utvidet =", expand(A))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne toppunktet til arealfunksjonen.

Steg 1 — Bruk modellen

\[A(x)=50x-(1+\sqrt{2})x^2\]

Dette er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran \\(x^2\\), så den har et maksimum.

Steg 2 — Bruk toppunktformelen

For \\(A(x)=ax^2+bx+c\\) ligger ekstremalpunktet ved

\[x=-\dfrac{b}{2a}\]

Her er \\(a=-(1+\sqrt{2})\\) og \\(b=50\\).

Steg 3 — Regn ut \\(x\\)

\[x=-\dfrac{50}{2\left(-(1+\sqrt{2})\right)}=\dfrac{25}{1+\sqrt{2}}\]

Rasjonalisert blir dette

\[x=25(\sqrt{2}-1)\approx10{,}36\]

Steg 4 — Kontroller maksimalarealet

\[A(25(\sqrt{2}-1))\approx258{,}88\]

Tolkning

Katetene bør være omtrent \\(10{,}4\\) m for å gi størst mulig areal.

from sympy import symbols, sqrt, diff, solve, simplify, N

x = symbols('x')
A = 50*x - (1 + sqrt(2))*x**2
A_derivert = diff(A, x)
kritiske_punkt = solve(A_derivert, x)
x_maks = kritiske_punkt[0]
A_maks = simplify(A.subs(x, x_maks))

print("A(x) =", A)
print("A'(x) =", A_derivert)
print("Kritisk punkt x =", x_maks)
print("x tilnærmet =", N(x_maks, 6))
print("Maksimalt areal eksakt =", A_maks)
print("Maksimalt areal tilnærmet =", N(A_maks, 6))

Hva spør oppgaven om? Vi må finne hvilke \\(x\\)-verdier som gir mening i hageproblemet.

Steg 1 — Katetlengden må være positiv

Vi må ha

\[x>0\]

En negativ lengde gir ikke mening.

Steg 2 — Rektangelbredden må være positiv

Vi fant

\[y=50-(2+\sqrt{2})x\]

For at rektangelet skal ha positiv bredde, må

\[50-(2+\sqrt{2})x>0\]

Steg 3 — Løs ulikheten

\[(2+\sqrt{2})x<50\]

\[x<\dfrac{50}{2+\sqrt{2}}\]

\[x\approx14{,}64\]

Tolkning

Modellen gir mening for katetlengder større enn \\(0\\) m og mindre enn omtrent \\(14{,}6\\) m.

from sympy import symbols, sqrt, solve_univariate_inequality, N

x = symbols('x')
y = 50 - (2 + sqrt(2))*x
grense = 50 / (2 + sqrt(2))

print("y(x) =", y)
print("Krav: x > 0 og y(x) > 0")
print("Øvre grense eksakt =", grense)
print("Øvre grense tilnærmet =", N(grense, 6))
print("Gyldighetsområde: 0 < x <", N(grense, 6))