Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke geometrien i en likesidet trekant til å finne en eksakt trigonometrisk verdi.

Steg 1 — Del trekanten i to

Høyden fra toppunktet deler den likesidede trekanten i to kongruente rettvinklede trekanter. Grunnlinjen \(2\) deles i to deler med lengde \(1\).

Steg 2 — Finn vinkelen

Alle vinklene i en likesidet trekant er \(60^\circ\). I den lille rettvinklede trekanten har vi derfor en vinkel på \(60^\circ\).

Steg 3 — Bruk definisjonen av cosinus

For vinkelen \(60^\circ\) er hosliggende katet \(1\), og hypotenusen er \(2\).

\[\cos 60^\circ=\dfrac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}=\dfrac{1}{2}\]

Tolkning

Dette er en eksakt verdi, ikke en avrunding fra kalkulator.

from sympy import cos, pi, simplify
print(simplify(cos(pi/3)))

Hva spør oppgaven om? Skjæring med \(x\)-aksen betyr at \(f(x)=0\).

Steg 1 — Sett uttrykket lik null

\[x^3+2x^2-5x-6=0\]

Steg 2 — Finn en faktor

Vi prøver \(x=2\): \(8+8-10-6=0\). Derfor er \(x-2\) en faktor.

Steg 3 — Faktoriser videre

\[x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x^2+4x+3)\]

\[x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\]

Steg 4 — Les av nullpunktene

\[(x-2)(x+1)(x+3)=0\]

Dermed er \(x=2\), \(x=-1\) og \(x=-3\).

Tolkning

Punktene på \(x\)-aksen har and koordinat \(y=0\).

from sympy import symbols, factor, solve
x = symbols('x')
print(factor(x**3 + 2*x**2 - 5*x - 6))
print(solve(x**3 + 2*x**2 - 5*x - 6, x))

Hva spør oppgaven om? En tangent bestemmes av et punkt og stigningstallet fra den deriverte.

Steg 1 — Finn punktet

\[f(1)=1-3-1+4=1\]

Punktet er \((1,1)\).

Steg 2 — Deriver

\[f'(x)=3x^2-6x-1\]

Steg 3 — Finn stigningstallet

\[f'(1)=3-6-1=-4\]

Steg 4 — Bruk ettpunktsformelen

\[y-1=-4(x-1)\]

\[y=-4x+5\]

Tolkning

Tangenten faller med \(4\) når \(x\) øker med \(1\).

from sympy import symbols, diff, expand
x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x**2 - x + 4
m = diff(f, x).subs(x, 1)
print(expand(f.subs(x, 1) + m*(x - 1)))

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne areal når to sider og mellomliggende vinkel er kjent.

Steg 1 — Bruk arealformelen

\[A=\dfrac{1}{2}ab\sin C\]

Steg 2 — Første trekant

\[A_1=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot \sin 150^\circ=18\cdot \dfrac{1}{2}=9\]

Steg 3 — Andre trekant

\[A_2=18\sin 32^\circ\]

Steg 4 — Sammenlikn

Fordi \(32^\circ>30^\circ\) og sinus øker fra \(0^\circ\) til \(90^\circ\), er \(\sin 32^\circ>\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}\). Dermed er \(A_2>9\).

Tolkning

Den andre trekanten har størst høyde relativt til siden \(6\).

from sympy import sin, pi, N
A1 = 18*sin(150*pi/180)
A2 = 18*sin(32*pi/180)
print(N(A1), N(A2))

Hva spør oppgaven om? Vi skal identifisere grafen ved asymptoter og nullpunkt.

Steg 1 — Vertikal asymptote

Nevneren er null når \(x+2=0\), altså \(x=-2\).

Steg 2 — Horisontal asymptote

\[\dfrac{2x-8}{x+2}=2-\dfrac{12}{x+2}\]

Den horisontale asymptoten er \(y=2\).

Steg 3 — Nullpunkt

\[2x-8=0\Rightarrow x=4\]

Steg 4 — Velg graf

Graf C har vertikal asymptote til venstre for \(y\)-aksen, horisontal asymptote over \(x\)-aksen og nullpunkt til høyre.

Tolkning

Kjennetegnene passer bare med graf C.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker asymptoter, nullpunkter og symmetri.

Steg 1 — Vertikale asymptoter

Nevneren er null ved \(x=-3\) og \(x=3\).

Steg 2 — Horisontal asymptote

Teller og nevner har samme grad og samme ledende koeffisient. Derfor er asymptoten \(y=1\).

Steg 3 — Nullpunkter

\[x^2-4=0\Rightarrow x=-2\lor x=2\]

Steg 4 — Symmetri

Funksjonen har bare \(x^2\), så grafen er symmetrisk om \(y\)-aksen.

Tolkning

Graf F har to symmetriske vertikale asymptoter og riktig midtgrein.

from sympy import symbols, solve
x = symbols('x')
print(solve(x**2 - 4, x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne maksimum på et lukket intervall med to metoder.

Steg 1 — Grafisk metode

Legg inn funksjonen i GeoGebra og bruk ekstremalpunkt på intervallet \([0,80]\).

Steg 2 — Derivasjonsmetode

\[F'(x)=0{,}000081x^2-0{,}0116x+0{,}22\]

Steg 3 — Løs \(F'(x)=0\)

Den relevante løsningen i intervallet er \(x\approx 22{,}41\).

Steg 4 — Sjekk endepunktene

\[F(0)=7{,}9,\quad F(22{,}41)\approx 10{,}22,\quad F(80)=2{,}204\]

Tolkning

\(1960+22{,}41\approx 1982\), så folketallet var høyest rundt 1982.

from sympy import symbols, diff, solve, N
x = symbols('x')
F = (0.027*x**3 - 5.8*x**2 + 220*x + 7900)/1000
crit = solve(diff(F, x), x)
print(crit)
print([N(F.subs(x, c)) for c in crit])

Hva spør oppgaven om? Stigningstallet mellom to punkter er gjennomsnittlig vekstfart.

Steg 1 — Bruk topunktsformelen

\[a=\dfrac{F(70)-F(30)}{70-30}\]

Steg 2 — Beregn verdiene

\[F(30)\approx 9{,}937,\quad F(70)\approx 4{,}069\]

Steg 3 — Regn stigningstallet

\[a\approx \dfrac{4{,}069-9{,}937}{40}\approx -0{,}1467\]

Tolkning

Fordi \(F\) måles i tusen innbyggere, betyr dette omtrent \(147\) færre innbyggere per år i gjennomsnitt fra 1990 til 2030.

from sympy import symbols, Rational, N
x = symbols('x')
F = (Rational(27,1000)*x**3 - Rational(58,10)*x**2 + 220*x + 7900)/1000
print(N((F.subs(x,70)-F.subs(x,30))/40))

Hva spør oppgaven om? Folketallet avtar raskest når \(F'(x)\) er minst.

Steg 1 — Se på den deriverte

\[F'(x)=0{,}000081x^2-0{,}0116x+0{,}22\]

Steg 2 — Finn bunnpunktet til \(F'(x)\)

\[x=\dfrac{0{,}0116}{2\cdot 0{,}000081}\approx 71{,}60\]

Steg 3 — Kontroller intervallet

\(71{,}60\in[0,80]\), så tidspunktet er gyldig i modellen.

Tolkning

\(1960+71{,}60\approx 2032\). Da er grafen brattest nedover.

from sympy import symbols, diff, solve, N
x = symbols('x')
F = (0.027*x**3 - 5.8*x**2 + 220*x + 7900)/1000
print(N(solve(diff(F, x, 2), x)[0]))

Hva spør oppgaven om? Vi deler firkanten langs diagonalen \(DB\).

Steg 1 — Trekant \(ABD\)

I \(\triangle ABD\) er \(\angle D=180^\circ-125^\circ-35^\circ=20^\circ\).

Steg 2 — Areal av \(ABD\)

Ved sinussetningen kombinert med arealformelen får vi

\[A_{ABD}=\dfrac{12^2\sin 35^\circ\sin 20^\circ}{2\sin 125^\circ}\approx 17{,}24\]

Steg 3 — Trekant \(BCD\)

Her kjenner vi sidene \(6\), \(8\) og \(12\). Med Herons formel og \(s=13\) får vi

\[A_{BCD}=\sqrt{13(13-6)(13-8)(13-12)}=\sqrt{455}\approx 21{,}33\]

Steg 4 — Totalareal

\[A\approx 17{,}24+21{,}33=38{,}57\]

Tolkning

Arealet av hele figuren er summen av de to trekantarealene.

from sympy import sin, pi, sqrt, N
A1 = 12**2*sin(35*pi/180)*sin(20*pi/180)/(2*sin(125*pi/180))
A2 = sqrt(13*7*5*1)
print(N(A1), N(A2), N(A1 + A2))

Hva spør oppgaven om? Lengdene danner en geometrisk rekke med \(a_1=100\) og \(k=0{,}9\).

Steg 1 — Skriv sumformelen

\[S_n=a_1\dfrac{1-k^n}{1-k}\]

Steg 2 — Sett inn

\[S_8=100\cdot \dfrac{1-0{,}9^8}{1-0{,}9}\]

Steg 3 — Regn ut

\[S_8\approx 569{,}53\]

Tolkning

Dette tilsvarer omtrent \(5{,}70\) meter.

from sympy import Rational, N
k = Rational(9,10)
S = 100*(1-k**8)/(1-k)
print(N(S))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en løkke som summerer ledd til summen er minst \(900\) cm.

Steg 1 — Startverdier

Første lengde er \(100\), og hver ny lengde er \(0{,}9\) ganger den forrige.

Steg 2 — Stoppkrav

Vi stopper når summen er minst \(900\).

Steg 3 — Les av svaret

Programmet gir \(22\) linjestykker, og summen er da omtrent \(901{,}52\) cm.

Tolkning

Med \(21\) linjestykker er summen fortsatt under \(9\) meter, så \(22\) er minste antall.

sum_lengde = 0
lengde = 100
antall = 0

while sum_lengde < 900:
    sum_lengde += lengde
    lengde *= 0.9
    antall += 1

print(antall, sum_lengde)

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne \(S_{50}\) og \(S_{100}\).

Steg 1 — Bruk sumformelen

\[S_n=100\dfrac{1-0{,}9^n}{1-0{,}9}\]

Steg 2 — Finn summene

\[S_{50}\approx 994{,}85,\quad S_{100}\approx 999{,}97\]

Steg 3 — Prosentvis økning

\[\dfrac{S_{100}-S_{50}}{S_{50}}\cdot 100\,\%\approx 0{,}515\,\%\]

Tolkning

Økningen er liten fordi summen nærmer seg grenseverdien \(1000\) cm.

from sympy import Rational, N
k = Rational(9,10)
def S(n):
    return 100*(1-k**n)/(1-k)
print(N((S(100)-S(50))/S(50)*100))

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en rimelig modell for en avtakende utvikling.

Steg 1 — Gjør om år

Årene gir \(x\)-verdiene \(2,32,42,52,62,72\).

Steg 2 — Velg modelltype

Antallet faller raskt først og langsommere senere. En eksponentialmodell passer derfor bedre enn en lineær modell.

Steg 3 — Bruk eksponentiell regresjon

Med regresjon får vi for eksempel

\[F(x)\approx 66360\cdot 0{,}9714^x\]

Steg 4 — Tolk parameterne

Faktoren \(0{,}9714\) svarer til en gjennomsnittlig årlig nedgang på omtrent \(2{,}86\,\%\).

import numpy as np
x = np.array([2,32,42,52,62,72], dtype=float)
y = np.array([65956,25289,19780,13841,9825,9591], dtype=float)
b, lnA = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
print(np.exp(lnA), np.exp(b))

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke modellen i \(x=100\) og vurdere om det er rimelig.

Steg 1 — Finn \(x\)

For 2050 er \(x=2050-1950=100\).

Steg 2 — Sett inn

\[F(100)=66360\cdot 0{,}9714^{100}\]

Steg 3 — Beregn

\[F(100)\approx 3658\]

Steg 4 — Vurder gyldighet

Dataene går fra 1952 til 2022. 2050 ligger utenfor datagrunnlaget, så dette er ekstrapolasjon.

Tolkning

Modellen gir et anslag, ikke en sikker prognose.

A = 66359.65875906972
b = 0.9714345703476839
print(A*b**100)

Hva spør oppgaven om? Punktene ligger på samme vertikale linje.

Steg 1 — Finn \(P\)

\[f(1)=2\cdot 1+8=10\]

\(P=(1,10)\).

Steg 2 — Finn \(Q\)

\[g(1)=1-1-4+8=4\]

\(Q=(1,4)\).

Steg 3 — Finn avstanden

\[PQ=|10-4|=6\]

Tolkning

Vi trenger bare forskjellen i \(y\)-verdier fordi \(x\)-verdien er lik.

from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = 2*x + 8
g = x**3 - x**2 - 4*x + 8
print(abs(f.subs(x,1)-g.subs(x,1)))

Hva spør oppgaven om? Den vertikale avstanden er \(f(a)-g(a)\) på intervallet.

Steg 1 — Lag avstandsfunksjonen

\[d(a)=f(a)-g(a)\]

Steg 2 — Forenkle

\[d(a)=2a+8-(a^3-a^2-4a+8)=-a^3+a^2+6a\]

Steg 3 — Deriver

\[d'(a)=-3a^2+2a+6\]

Steg 4 — Løs \(d'(a)=0\)

\[a=\dfrac{1\pm\sqrt{19}}{3}\]

I intervallet \([1,3]\) ligger bare \(a=\dfrac{1+\sqrt{19}}{3}\).

Steg 5 — Kontroller endepunktene

Endepunktene gir mindre avstand, så den indre kritiske verdien gir maksimum.

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
d = -x**3 + x**2 + 6*x
print(solve(diff(d, x), x))

Hva spør oppgaven om? Vi oversetter tre opplysninger til tre likninger.

Steg 1 — Punktet ligger på grafen

\[f(-8)=0\]

Steg 2 — Toppunkt betyr derivert lik null

\[f'(x)=3ax^2+2bx+c\]

\[f'(-8)=0\]

Steg 3 — Bruk gjennomsnittlig vekstfart

\[\dfrac{f(5)-f(0)}{5}=\dfrac{64}{5}\]

Siden \(f(0)=-64\), får vi \(f(5)=0\).

Steg 4 — Løs systemet

Likningene gir

\[a=\dfrac{1}{5},\quad b=\dfrac{11}{5},\quad c=-\dfrac{16}{5}\]

Tolkning

Koeffisientene oppfyller både toppunktvilkåret og gjennomsnittlig vekstfart.

from sympy import symbols, solve, diff, Rational
a, b, c, x = symbols('a b c x')
f = a*x**3 + b*x**2 + c*x - 64
sol = solve([f.subs(x,-8), diff(f,x).subs(x,-8), (f.subs(x,5)-f.subs(x,0))/5 - Rational(64,5)], [a,b,c])
print(sol)

Hva spør oppgaven om? Arealet er bredde ganger høyde.

Steg 1 — Finn høyden

\[f(5)=\dfrac{8}{25+20}=\dfrac{8}{45}\]

Steg 2 — Finn bredden

Bredden er \(5\).

Steg 3 — Regn arealet

\[A=5\cdot \dfrac{8}{45}=\dfrac{8}{9}\]

Tolkning

Rektangelet har lav høyde, derfor er arealet mindre enn \(1\).

from sympy import Rational
print(5*Rational(8,45))

Hva spør oppgaven om? For hvert \(n\) er arealet \(n\cdot f(n)\).

Steg 1 — Arealformel

\[A(n)=n\cdot \dfrac{8}{n^2+20}=\dfrac{8n}{n^2+20}\]

Steg 2 — Lag oversikt

Steg 3 — Se mønsteret

Arealet øker først og avtar etterpå. Blant heltallene er \(n=4\) og \(n=5\) størst.

Tolkning

Tabellen antyder at det eksakte maksimumet ligger mellom \(4\) og \(5\).

for n in range(1, 11):
    A = 8*n/(n**2 + 20)
    print(n, round(A, 3))

Hva spør oppgaven om? Nå maksimerer vi arealet som en funksjon av \(k\).

Steg 1 — Skriv arealet

\[A(k)=k\cdot f(k)=\dfrac{8k}{k^2+20}\]

Steg 2 — Deriver

\[A'(k)=\dfrac{8(k^2+20)-8k\cdot 2k}{(k^2+20)^2}\]

\[A'(k)=\dfrac{160-8k^2}{(k^2+20)^2}\]

Steg 3 — Sett telleren lik null

\[160-8k^2=0\Rightarrow k^2=20\]

\[k=2\sqrt{5}\]

Steg 4 — Kontroller maksimum

For positive \(k\) er \(A'(k)>0\) før \(2\sqrt{5}\) og \(A'(k)<0\) etterpå.

Tolkning

\(2\sqrt{5}\approx 4{,}47\), som passer med tabellen i oppgave b.

from sympy import symbols, diff, solve
k = symbols('k', positive=True)
A = 8*k/(k**2 + 20)
print(solve(diff(A, k), k))