Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Finn sidene i forhold til vinkelen

For vinkelen \(u\) er motstående katet \(4\), hosliggende katet \(3\), og hypotenusen \(5\).

Steg 2 — Skriv sinus og cosinus

\[\sin u=\dfrac{4}{5},\qquad \cos u=\dfrac{3}{5}\]

Steg 3 — Del sinus på cosinus

\[\dfrac{\sin u}{\cos u}=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{5}{3}=\dfrac{4}{3}\]

Steg 4 — Sammenlikn med tangens

\[ an u=\dfrac{ ext{motstående}}{ ext{hosliggende}}=\dfrac{4}{3}\]

Tolkning

Begge uttrykkene gir samme forhold mellom motstående og hosliggende katet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Finn nullpunktene

Faktorene viser at \(f(x)=0\) når \(x=-4\), \(x=2\) eller \(x=4\).

Steg 2 — Bruk fortegnet til ledende ledd

Når parentesene multipliseres ut, blir høyestegradsleddet \(x^3\). Grafen skal derfor gå ned til venstre og opp til høyre.

Steg 3 — Sjekk skjæringen med \(y\)-aksen

\[f(0)=(-4)(-2)(4)=32\] Grafen skal altså ligge over \(x\)-aksen når \(x=0\).

Steg 4 — Velg graf

Graf B har tre nullpunkter, positiv verdi ved \(x=0\), og riktig endeadferd for en tredjegradsfunksjon med positivt ledende ledd.

Tolkning

Valget bygger på nullpunkter, fortegn og grafens retning, ikke på nøyaktig avlesning av skala.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Bruk nullpunktene fra faktoriseringen

Nullpunktene er \(-4\), \(2\) og \(4\). Disse deler tallinjen i fire intervaller.

Steg 2 — Lag fortegnslinje

Vi undersøker fortegnet på \((x-4)(x-2)(x+4)\) i intervallene \((-\infty,-4)\), \((-4,2)\), \((2,4)\) og \((4,\infty)\).

Steg 3 — Bestem fortegnet

Et tredjegradspolynom med enkle nullpunkter skifter fortegn i hvert nullpunkt. Siden uttrykket er positivt for store positive \(x\), får vi positivt på \((4,\infty)\), negativt på \((2,4)\), positivt på \((-4,2)\) og negativt på \((-\infty,-4)\).

Steg 4 — Velg intervallene der uttrykket er positivt

Ulikheten er streng, så nullpunktene skal ikke være med.

Tolkning

Grafen ligger over \(x\)-aksen på de intervallene vi tar med.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Les funksjonen i koden

Koden definerer \[f(x)=\dfrac{1-2x}{x-2}\]

Steg 2 — Les løkken

Løkken starter med \(x=8\), skriver ut \(x\) og \(f(x)\), og reduserer \(x\) med \(1\) hver gang.

Steg 3 — Forklar formålet

Lars ønsker å lage en verditabell for funksjonen for heltallsverdier fra \(8\) og nedover.

Steg 4 — Finn feilen

Når \(x=2\), blir nevneren \(x-2=0\). Da prøver programmet å dele på null.

Tolkning

Feilmeldingen kommer ikke fordi løkken er feil, men fordi funksjonen ikke er definert for \(x=2\).

def f(x):
    return (1 - 2*x)/(x - 2)

for x in [8, 7, 6, 5, 4, 3, 2]:
    print(x, 'nevner =', x - 2)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Behold funksjonen

Funksjonsuttrykket kan være riktig selv om det ikke er definert for alle \(x\)-verdier.

Steg 2 — Hopp over \(x=2\)

Den direkte årsaken til feilen er \(x=2\), så koden kan teste dette før funksjonsverdien regnes ut.

Steg 3 — Skriv en trygg løkke

Et godt forslag er å bruke en \( exttt{if}\)-test som bare skriver ut \(f(x)\) når \(x e 2\).

Steg 4 — Kontroller at løkken fortsatt går videre

Det er viktig at \(x=x-1\) fortsatt kjøres, også når \(x=2\), ellers kan løkken bli uendelig.

Tolkning

Endringen gjør at programmet lager verditabell for alle aktuelle heltall der funksjonen er definert.

def f(x):
    return (1 - 2*x) / (x - 2)

x = 8
while x >= -8:
    if x != 2:
        print(x, f(x))
    else:
        print(x, 'ikke definert')
    x = x - 1

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Skriv funksjonen

\[f(x)=\dfrac{1-2x}{x-2}\]

Steg 2 — Finn vertikal asymptote

Nevneren er null når \(x=2\). Derfor har grafen en vertikal asymptote \(x=2\).

Steg 3 — Finn horisontal asymptote

Vi omskriver \[\dfrac{1-2x}{x-2}=-2-\dfrac{3}{x-2}\] Derfor er horisontal asymptote \(y=-2\).

Steg 4 — Plasser grenene

For \(x>2\) er \(-\dfrac{3}{x-2}<0\), så grafen ligger under \(y=-2\). For \(x<2\) ligger grafen over \(y=-2\).

Tolkning

Skissen skal vise to grener, én på hver side av \(x=2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Bruk tangentens stigningstall

Derivert verdi er stigningstallet til tangenten. Derfor er \(f\prime(-2)=9\) og \(f\prime(8)=-11\).

Steg 2 — Bruk at \(f\) er andregradsfunksjon

Når \(f\) er en andregradsfunksjon, er \(f\prime\) en lineær funksjon.

Steg 3 — Finn stigningstallet til \(f\prime\)

Linjen \(f\prime\) går gjennom punktene \((-2,9)\) og \((8,-11)\). \[a=\dfrac{-11-9}{8-(-2)}=\dfrac{-20}{10}=-2\]

Steg 4 — Finn konstantleddet

Skriv \(f\prime(x)=-2x+b\). Bruk \(f\prime(-2)=9\): \[9=-2(-2)+b=4+b\Rightarrow b=5\]

Tolkning

Den deriverte forteller hvor bratt parabelen er i hvert punkt.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Tolke tidspunktet

Når strømmen blir slått av, er \(x=0\).

Steg 2 — Sett inn \(x=0\)

\[T(0)=3{,}5+34{,}5\cdot 0{,}87^0\]

Steg 3 — Bruk at \(a^0=1\)

\[T(0)=3{,}5+34{,}5=38\]

Tolkning

Modellen sier at starttemperaturen er \(38\) grader celsius.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Sett opp ulikheten

Vi trenger \[3{,}5+34{,}5\cdot 0{,}87^x<20\]

Steg 2 — Isoler potensen

\[34{,}5\cdot 0{,}87^x<16{,}5\Rightarrow 0{,}87^x<\dfrac{16{,}5}{34{,}5}\]

Steg 3 — Bruk logaritmer

\[x>\dfrac{\ln\left(\dfrac{16{,}5}{34{,}5}\right)}{\ln(0{,}87)}\] Ulikhetstegnet snur fordi \(\ln(0{,}87)<0\).

Steg 4 — Regn ut

\[x>5{,}28\]

Tolkning

Temperaturen blir under \(20\) grader etter litt mer enn \(5{,}3\) timer.

from sympy import log
x = log(16.5/34.5)/log(0.87)
print(float(x))

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Finn \(T(0)\)

Fra forrige deloppgave er \(T(0)=38\).

Steg 2 — Finn \(T(4)\)

\[T(4)=3{,}5+34{,}5\cdot 0{,}87^4\approx 23{,}29\]

Steg 3 — Bruk topunktsformelen for stigningstall

\[a=\dfrac{T(4)-T(0)}{4-0}\approx \dfrac{23{,}29-38}{4}\approx -3{,}68\]

Steg 4 — Tolk svaret

Stigningstallet er den gjennomsnittlige temperaturendringen per time i de fire første timene.

Tolkning

Temperaturen synker i gjennomsnitt med omtrent \(3{,}7\) grader per time de første fire timene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Lag uttrykk for temperaturfall på én time

Fallet fra \(x\) til \(x+1\) er \[T(x)-T(x+1)\]

Steg 2 — Regn symbolsk

\[T(x)-T(x+1)=34{,}5\cdot 0{,}87^x-34{,}5\cdot 0{,}87^{x+1}\]

Steg 3 — Faktoriser

\[T(x)-T(x+1)=34{,}5\cdot 0{,}87^x\left(1-0{,}87\right)=4{,}485\cdot 0{,}87^x\]

Steg 4 — Finn størst mulig fall

Siden \(0{,}87^x\le 1\) for \(x\ge 0\), er størst fall \(4{,}485\) grader i løpet av den første timen.

Tolkning

Temperaturen synker aldri med mer enn \(5\) grader på én time etter at strømmen er slått av.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Se på modellen når tiden blir stor

Når \(x\) øker, blir \(0{,}87^x\) mindre og nærmer seg \(0\).

Steg 2 — Finn grenseverdien

\[\lim_{x o \infty} T(x)=3{,}5+34{,}5\cdot 0=3{,}5\]

Steg 3 — Tolk fysisk

Tallet \(3{,}5\) er temperaturen modellen nærmer seg på lang sikt.

Tolkning

Dette kan tolkes som omgivelsestemperaturen rundt bassenget.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Definer ukjente

La \(x\) være antall toromsleiligheter og \(y\) antall treromsleiligheter.

Steg 2 — Lag likning for antall leiligheter

\[x+y=40\]

Steg 3 — Lag likning for antall rom

\[2x+3y=90\]

Steg 4 — Løs systemet

Fra \(x=40-y\) får vi \[2(40-y)+3y=90\Rightarrow 80+y=90\Rightarrow y=10\] Da er \(x=30\).

Tolkning

Det er flest toromsleiligheter, og romtallet stemmer: \(30\cdot 2+10\cdot 3=90\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Se hvilke sider trekanten har

I \( riangle SBC\) er \(SB=r\) og \(SC=r\), fordi begge er radier i sirkelen.

Steg 2 — Bruk arealformelen med to sider og mellomliggende vinkel

Vinkelen \(\angle BSC\) er \(45^\circ\). Derfor er \[A=\dfrac{1}{2}r^2\sin 45^\circ\]

Steg 3 — Sett inn oppgitt areal

\[\dfrac{1}{2}r^2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\]

Steg 4 — Løs for \(r\)

\[\dfrac{r^2\sqrt{2}}{4}=3\sqrt{2}\Rightarrow r^2=12\Rightarrow r=2\sqrt{3}\]

Tolkning

Radiusen er positiv, så vi bruker den positive kvadratroten.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Bruk at \(AB\) er diameter

Siden \(AB\) er diameter, er \(\angle ACB=90^\circ\) etter periferivinkelsetningen.

Steg 2 — Finn diameteren

Fra deloppgave a er \(r=2\sqrt{3}\), så \[AB=2r=4\sqrt{3}\]

Steg 3 — Finn høyden fra \(C\) til \(AB\)

Høyden til diameteren er \[r\sin 45^\circ=2\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}\]

Steg 4 — Regn arealet

\[A_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt{18}=6\sqrt{2}\]

Tolkning

Arealet av den store trekanten er dobbelt så stort som arealet av \( riangle SBC\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Sammenlikn med cosinussetningen

Cosinussetningen er \[c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\]

Steg 2 — Identifiser sidene

Her kan \(a=16\), \(b=x\) og \(c=14\).

Steg 3 — Finn vinkelen mellom \(16\) og \(x\)

Leddet \(-16x\) må være \[-2\cdot 16\cdot x\cdot \cos C\] Derfor er \(-32x\cos C=-16x\), altså \(\cos C=\dfrac{1}{2}\).

Steg 4 — Bestem vinkelen

\[C=60^\circ\]

Tolkning

De kan ha visst to sider og den mellomliggende vinkelen, og skulle finne den tredje siden.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Flytt alt til én side

\[196=256+x^2-16x\Rightarrow x^2-16x+60=0\]

Steg 2 — Faktoriser

\[x^2-16x+60=(x-6)(x-10)\]

Steg 3 — Finn løsningene

\[(x-6)(x-10)=0\Rightarrow x=6\quad ext{eller}\quad x=10\]

Steg 4 — Forklar de to trekantene

Begge løsningene gir en trekant der sidene \(16\) og \(x\) har vinkel \(60^\circ\) mellom seg, og motstående side er \(14\).

Tolkning

Ninas antakelse er riktig: samme opplysninger kan gi to ulike verdier for \(x\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Skriv avstanden som funksjon av \(x\)

Hvis den ukjente motstående siden kalles \(c\), får vi \[c^2=16^2+x^2-16x\]

Steg 2 — Fullfør kvadratet

\[c^2=x^2-16x+256=(x-8)^2+192\]

Steg 3 — Finn minste mulig verdi

Uttrykket \((x-8)^2+192\) er minst når \(x=8\). Da er \[c^2=192\]

Steg 4 — Finn siden

\[c=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\]

Tolkning

Nøyaktig én løsning oppstår når siden \(c\) er den minste mulige avstanden til strålen, altså når trekanten er tangenttilfellet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Velg regresjonstype

Siden modellen skal ha formen \(a\cdot x^b\), bruker vi potensregresjon.

Steg 2 — Legg inn tabellen

Vi bruker punktene \((0{,}1,0{,}69)\), \((0{,}3,1{,}17)\), \((0{,}5,1{,}44)\), \((0{,}8,1{,}82)\), \((1{,}0,2{,}08)\), \((1{,}3,2{,}27)\), \((1{,}6,2{,}53)\), \((2{,}0,2{,}80)\).

Steg 3 — Bruk potensregresjon

Digital regresjon gir omtrent \[a\approx 2{,}03,\qquad b\approx 0{,}468\]

Steg 4 — Skriv modellen

\[S(x)\approx 2{,}03x^{0{,}468}\]

Tolkning

Modellen sier at svingetiden øker når snorlengden øker, men ikke lineært.

import numpy as np
x = np.array([0.1,0.3,0.5,0.8,1.0,1.3,1.6,2.0])
y = np.array([0.69,1.17,1.44,1.82,2.08,2.27,2.53,2.80])
b, loga = np.polyfit(np.log(x), np.log(y), 1)
a = np.exp(loga)
print(a, b)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Sett inn \(g=9{,}81\)

\[T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{9{,}81}}\]

Steg 2 — Skriv som potensfunksjon

\[T=\dfrac{2\pi}{\sqrt{9{,}81}}\cdot L^{1/2}\]

Steg 3 — Regn konstanten

\[\dfrac{2\pi}{\sqrt{9{,}81}}\approx 2{,}01\]

Steg 4 — Sammenlikn

Teoriformelen gir \[T\approx 2{,}01L^{0{,}5}\] mens regresjonen ga \[S(x)\approx 2{,}03x^{0{,}468}\]

Tolkning

Konstantleddene er svært like, og eksponenten \(0{,}468\) ligger nær \(0{,}5\). Forsøket stemmer derfor godt med teorien.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Bruk omkretsen

For et rektangel med sider \(x\) og \(y\) er \[2x+2y=64\Rightarrow x+y=32\]

Steg 2 — Lag en oversikt

Hvis \(x=10\), er \(y=22\), og arealet er \(220\). Hvis \(x=12\), er \(y=20\), og arealet er \(240\). Hvis \(x=16\), er \(y=16\), og arealet er \(256\).

Steg 3 — Vurder tabellen

Arealet øker når sidene nærmer seg hverandre i tabellen.

Tolkning

Oversikten støtter Pers påstand: størst areal ser ut til å komme når rektangelet er et kvadrat.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Velg variabel

La den ene siden være \(x\). Da er den andre siden \(32-x\).

Steg 2 — Sett opp arealfunksjonen

\[A(x)=x(32-x)=-x^2+32x\]

Steg 3 — Finn toppunktet

Parabelen vender nedover. Toppunktet har \[x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-32}{2(-1)}=16\]

Steg 4 — Finn maksimalt areal

\[A(16)=16(32-16)=256\]

Tolkning

Når \(x=16\), er også den andre siden \(16\). Rektangelet er et kvadrat.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese opplysningene presist, velge riktig matematisk modell og begrunne hvert regnesteg.

Steg 1 — Tolke plasseringen i figuren

Rullens bredde er \(140\) cm, altså nøyaktig to gardinhøyder, siden \(2\cdot 70=140\). Dermed kan to gardiner plasseres over hverandre i hvert lengdeintervall.

Steg 2 — Finn lengden som trengs for to gardiner

Den rette siden øverst på hvert gardin er \(150\) cm. Figuren viser at ett slikt \(150\) cm langt intervall kan romme to parabelgardiner, én i øvre halvdel og én i nedre halvdel.

Steg 3 — Finn antall intervaller

Åtte gardiner betyr fire slike par: \[\dfrac{8}{2}=4\]

Steg 4 — Regn total lengde

\[4\cdot 150=600 ext{ cm}\]

Steg 5 — Gjør om til meter

\[600 ext{ cm}=6{,}0 ext{ m}\]

Tolkning

Bedriften må minst bruke et tøystykke som er \(6{,}0\) meter langt når gardinene legges slik figuren viser.