Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk parallellitet

\[a_m=a_l=-2\]

Parallelle linjer har samme stigningstall.

Steg 2 — Sett opp formen

\[y=-2x+b\]

Vi kjenner stigningstallet, men mangler konstantleddet.

Steg 3 — Bruk punktet

\[-6=-2\cdot5+b\]

Punktet \((5,-6)\) må ligge på linjen.

Steg 4 — Løs for \(b\)

\[-6=-10+b\Rightarrow b=4\]

Vi isolerer konstantleddet.

Steg 5 — Skriv likningen

\[y=-2x+4\]

Likningen har riktig stigningstall og går gjennom punktet.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, solve
b=symbols("b")
print(solve(-6-(-2*5+b), b))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Finn vinklene

\[\cos A=\dfrac12\Rightarrow A=60^\circ\]

I en rettvinklet trekant er dette en standard eksakt vinkel.

Steg 2 — Bruk at trekanten er rettvinklet

\[A+C=90^\circ\Rightarrow C=30^\circ\]

De to spisse vinklene i en rettvinklet trekant summerer til \(90^\circ\).

Steg 3 — Plasser siden \(AB\)

\[AB=4\]

Siden \(AB\) ligger mot vinkel \(C=30^\circ\).

Steg 4 — Bruk sinus til \(C\)

\[\sin C=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac12\]

Hypotenusen er \(AC\) når vinkelen \(B\) er rett.

Steg 5 — Løs for hypotenusen

\[\dfrac{4}{AC}=\dfrac12\Rightarrow AC=8\]

Siden overfor \(30^\circ\) er halvparten av hypotenusen.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, solve
AC=symbols("AC")
print(solve(4/AC - 1/2, AC))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Test rasjonelle røtter

\[x=1:\quad 1+2-7+4=0\]

Når koeffisientene er heltall, er \(\pm1,\pm2,\pm4\) naturlige kandidater.

Steg 2 — Del ut faktoren

\[x^3+2x^2-7x+4=(x-1)(x^2+3x-4)\]

Siden \(x=1\) er rot, er \((x-1)\) en faktor.

Steg 3 — Faktoriser andregradsuttrykket

\[x^2+3x-4=(x-1)(x+4)\]

Tallene \(-1\) og \(4\) gir produkt \(-4\) og sum \(3\).

Steg 4 — Skriv full faktorisering

\[x^3+2x^2-7x+4=(x-1)^2(x+4)\]

Dette viser også at \(x=1\) er en dobbelrot.

Steg 5 — Les av løsningene

\[(x-1)^2(x+4)=0\Rightarrow x=1\ ext{eller}\ x=-4\]

Et produkt er null når minst én faktor er null.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, factor, solve
x=symbols("x")
print(factor(x**3+2*x**2-7*x+4))
print(solve(x**3+2*x**2-7*x+4, x))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Skriv om første likning

\[x^2+2x-y=-1\Rightarrow y=x^2+2x+1\]

Vi isolerer \(y\) for å sammenlikne de to uttrykkene.

Steg 2 — Skriv om andre likning

\[x+y=-2\Rightarrow y=-x-2\]

Begge likningene er nå skrevet som \(y=\ldots\).

Steg 3 — Sett uttrykkene like

\[x^2+2x+1=-x-2\]

Et skjæringspunkt må ha samme \(y\)-verdi i begge uttrykk.

Steg 4 — Flytt alt til én side

\[x^2+3x+3=0\]

Nå kan vi undersøke om andregradslikningen har reelle løsninger.

Steg 5 — Bruk diskriminanten

\[D=3^2-4\cdot1\cdot3=-3<0\]

Negativ diskriminant betyr ingen reelle \(x\)-verdier.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, solve
x,y=symbols("x y")
print(solve([x**2+2*x-y+1, x+y+2],[x,y], dict=True))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk ekstremalpunktene

\[f\prime(-2)=0,\qquad f\prime(4)=0\]

Den deriverte er null i topp- og bunnpunkt.

Steg 2 — Bestem formen

\[f\prime(x)=k(x+2)(x-4)\]

En tredjegradsfunksjon har en andregradsfunksjon som derivert.

Steg 3 — Bruk tangentstigningen

\[f\prime(1)=9\]

Stigningstallet til tangenten i \((1,7)\) er \(9\).

Steg 4 — Finn \(k\)

\[9=k(1+2)(1-4)=k\cdot3\cdot(-3)=-9k\Rightarrow k=-1\]

Dette bestemmer skalaen til parabelen.

Steg 5 — Skriv en mulig skissefunksjon

\[f\prime(x)=-(x+2)(x-4)=-x^2+2x+8\]

Parabelen vender nedover, er negativ før \(-2\), positiv mellom \(-2\) og \(4\), og negativ etter \(4\).

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, solve, expand
x,k=symbols("x k")
print(solve(k*(1+2)*(1-4)-9,k))
print(expand(-(x+2)*(x-4)))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Sett opp ulikheten

\[0{,}75x^3-59{,}5x^2+1200x>5000\]

Vi skal finne når ukesalget er over grensen.

Steg 2 — Finn grensepunktene

\[S(x)-5000=0\]

Overgangen skjer der modellen er lik \(5000\).

Steg 3 — Bruk CAS til nullpunktene

\[x\approx5{,}62,\quad x\approx23{,}71,\quad x=50\]

Alle tre ligger i definisjonsmengden \([0,52]\).

Steg 4 — Bestem intervallene

\[S(x)>5000 ext{ for } x\in(5{,}62,23{,}71) ext{ og } x\in(50,52]\]

Fortegnstest viser hvor grafen ligger over \(5000\).

Steg 5 — Finn samlet tid

\[(23{,}71-5{,}62)+(52-50)\approx20{,}1\]

Modellen gir to separate perioder med salg over \(5000\).

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import symbols, Rational, nroots
x=symbols("x")
S=Rational(3,4)*x**3-Rational(119,2)*x**2+1200*x
print(nroots(S-5000))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Deriver modellen

\[S\prime(x)=2{,}25x^2-119x+1200\]

Momentan vekstfart er den deriverte.

Steg 2 — Sett inn \(x=30\)

\[S\prime(30)=2{,}25\cdot30^2-119\cdot30+1200\]

Dette gir vekstfarten 30 uker etter salgsstart.

Steg 3 — Regn ut

\[S\prime(30)=-345\]

Negativ verdi betyr at salget synker på dette tidspunktet.

Steg 4 — Tolk enheten

\[-345\ ext{par per uke per uke}\]

Modellen måler endring i ukentlig salg per uke.

Steg 5 — Skriv praktisk tolkning

\[S(30+h)\approx S(30)-345h\]

Rundt uke 30 minker ukesalget med omtrent \(345\) par for hver uke som går.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Rational, diff
x=symbols("x")
S=Rational(3,4)*x**3-Rational(119,2)*x**2+1200*x
print(diff(S,x))
print(diff(S,x).subs(x,30))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Startverdi

\[L(0)=500\]

I dag svarer til \(x=0\).

Steg 2 — Verdi etter ti år

\[L(10)=1000\]

Dobling fra \(500\) til \(1000\).

Steg 3 — Finn stigningstallet

\[a=\dfrac{1000-500}{10}=50\]

Lineær vekst betyr samme økning hvert år.

Steg 4 — Skriv modellen

\[L(x)=500+50x\]

Startverdien er \(500\), og økningen er \(50\) dyr per år.

Steg 5 — Kontroller dobling

\[L(10)=500+50\cdot10=1000\]

Modellen passer antakelsen.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols
x=symbols("x")
L=500+50*x
print(L, L.subs(x,10))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk eksponentiell form

\[E(x)=500\cdot b^x\]

Startverdien er \(500\).

Steg 2 — Bruk dobling etter ti år

\[E(10)=1000\Rightarrow 500b^{10}=1000\]

Modellen skal treffe doblingspunktet.

Steg 3 — Finn vekstfaktoren

\[b^{10}=2\Rightarrow b=2^{1/10}\]

Dette er årlig vekstfaktor.

Steg 4 — Skriv modellen

\[E(x)=500\cdot2^{x/10}\]

Denne formen viser tydelig dobling på ti år.

Steg 5 — Tolk vekstfaktoren

\[2^{1/10}\approx1{,}0718\]

Bestanden øker med omtrent \(7{,}18\,\%\) per år.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import Rational, N
b=2**Rational(1,10)
print(N(b,8))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Sett inn modellene

\[F(x)=500+50x-500\cdot2^{x/10}\]

Vi trekker den eksponentielle modellen fra den lineære.

Steg 2 — Sjekk startpunkt

\[F(0)=500-500=0\]

Modellene starter med samme bestand.

Steg 3 — Sjekk ti år

\[F(10)=1000-1000=0\]

Begge modellene gir dobling etter ti år.

Steg 4 — Tegn i digitalt verktøy

\[0\le x\le13\]

Bruk definert intervall slik at grafen ikke tolkes utenfor oppgaven.

Steg 5 — Les grafens form

\[F(x)>0 ext{ mellom }0 ext{ og }10\]

Den lineære modellen ligger først over den eksponentielle, før den eksponentielle tar igjen.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

import numpy as np
for t in [0,5,10,13]:
    F=500+50*t-500*2**(t/10)
    print(t, round(F,2))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk digitalt verktøy for toppunkt

\[F\prime(x)=0\Rightarrow x\approx5{,}29\]

Toppunktet finnes der differansen slutter å øke og begynner å avta.

Steg 2 — Finn toppverdien

\[F(5{,}29)\approx43{,}04\]

Dette er største forskjell mellom modellene i intervallet.

Steg 3 — Skjæring med \(x=12\)

\[F(12)\approx -48{,}70\]

Ved \(x=12\) ligger den eksponentielle modellen høyere enn den lineære.

Steg 4 — Skjæring med \(y=12\)

\[F(x)=12\Rightarrow x\approx0{,}84 ext{ eller } x\approx9{,}32\]

Grafen har verdien \(12\) to ganger.

Steg 5 — Tolk praktisk

\[F=L-E\]

Positiv \(F\) betyr at lineær modell gir flere dyr enn eksponentiell modell; negativ \(F\) betyr motsatt.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, log, nsolve
x=symbols("x")
F=500+50*x-500*2**(x/10)
xm=log(50/(500*log(2)/10))/(log(2)/10)
print(float(xm), float(F.subs(x,xm)))
print(float(F.subs(x,12)))
print(float(nsolve(F-12, 1)))
print(float(nsolve(F-12, 9)))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Skriv linjene på normalisert form

\[4x+2y=3\Rightarrow 2x+y=\dfrac32\]

Vi deler første likning på \(2\).

Steg 2 — Sammenlikn med andre linje

\[sx+y=2\]

For ingen løsning må linjene være parallelle og forskjellige.

Steg 3 — Krev samme venstreside

\[s=2\]

Da får begge linjene samme koeffisienter foran \(x\) og \(y\).

Steg 4 — Sjekk konstantleddene

\[2x+y=\dfrac32 \quad ext{og}\quad 2x+y=2\]

Konstantleddene er ulike, så linjene er parallelle uten skjæring.

Steg 5 — Konkluder

\[s=2\]

Dette er eneste verdi som gir parallelle, ulike linjer.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, Eq, solve
x,y,s=symbols("x y s")
# determinant for coefficient matrix [[4,2],[s,1]] is 4-2s
print(solve(4-2*s, s))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Definer variabler

\[M= ext{Monicas alder i dag},\quad S= ext{Sissels alder i dag}\]

Tydelige variabler gjør alderslikninger lettere.

Steg 2 — Bruk aldersforskjellen

\[S-M=72\]

Sissel er \(72\) år eldre enn Monica.

Steg 3 — Bruk situasjonen om fem år

\[S+5=4(M+5)\]

Begge aldre øker med \(5\) år.

Steg 4 — Sett inn \(S=M+72\)

\[M+72+5=4M+20\]

Vi får én likning med én ukjent.

Steg 5 — Løs

\[M+77=4M+20\Rightarrow57=3M\Rightarrow M=19\]

Deretter er \(S=19+72=91\).

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, solve
M,S=symbols("M S")
print(solve([S-M-72, S+5-4*(M+5)],[M,S]))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Se på trekant \(ABD\)

\[AB=a,\quad \angle A=120^\circ,\quad \angle D=30^\circ\]

Diagonalen \(BD\) deler firkanten i trekanter.

Steg 2 — Finn tredje vinkel

\[\angle B=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ\]

Vinkelsummen i en trekant er \(180^\circ\).

Steg 3 — Bruk sinussetningen

\[\dfrac{BD}{\sin120^\circ}=\dfrac{AB}{\sin30^\circ}\]

Siden \(BD\) ligger mot \(120^\circ\), og \(AB\) ligger mot \(30^\circ\).

Steg 4 — Sett inn

\[BD=a\cdot\dfrac{\sin120^\circ}{\sin30^\circ}\]

Vi isolerer \(BD\).

Steg 5 — Bruk eksakte verdier

\[BD=a\cdot\dfrac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3\,a\]

Dette viser påstanden.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, sin, pi, simplify
print(simplify(sin(120*pi/180)/sin(30*pi/180)))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Kjente sider

\[AB=a,\quad AD=a,\quad BC=\sqrt2\,a,\quad BD=\sqrt3\,a\]

Fra del a og vinklene i trekant \(ABD\) får vi også \(AD=a\).

Steg 2 — Bruk trekant \(BCD\)

\[\angle DBC=75^\circ\]

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 3 — Cosinussetningen

\[CD^2=(\sqrt3a)^2+(\sqrt2a)^2-2\cdot\sqrt3a\cdot\sqrt2a\cdot\cos75^\circ\]

Dette gir den siste siden.

Steg 4 — Forenkle

\[CD^2=(2+\sqrt3)a^2\Rightarrow CD=a\sqrt{2+\sqrt3}\]

Lengden er positiv.

Steg 5 — Legg sammen sidene

\[O=a+a+\sqrt2a+a\sqrt{2+\sqrt3}\]

Omkretsen er summen av alle sidekantene.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, sqrt, cos, pi, simplify
a=symbols("a", positive=True)
CD=simplify(sqrt((sqrt(3)*a)**2+(sqrt(2)*a)**2-2*sqrt(3)*a*sqrt(2)*a*cos(75*pi/180)))
print(CD)

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Del firkanten

\[A_{ABCD}=A_{ABD}+A_{BCD}\]

Diagonalen \(BD\) deler firkanten i to trekanter.

Steg 2 — Areal av \(ABD\)

\[A_{ABD}=\dfrac12 a\cdot a\cdot\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\]

Vi bruker to sider og vinkelen mellom dem.

Steg 3 — Areal av \(BCD\)

\[A_{BCD}=\dfrac12\cdot\sqrt3a\cdot\sqrt2a\cdot\sin75^\circ=\dfrac{3+\sqrt3}{4}a^2\]

Her bruker vi \(BD\), \(BC\) og vinkelen \(75^\circ\).

Steg 4 — Samlet areal

\[A_{ABCD}=\dfrac{3+2\sqrt3}{4}a^2\]

Vi legger sammen uttrykkene.

Steg 5 — Sett arealet lik \(\sqrt3\)

\[\dfrac{3+2\sqrt3}{4}a^2=\sqrt3\Rightarrow a^2=8-4\sqrt3\]

Vi løser for \(a^2\).

Steg 6 — Ta positiv rot

\[a=\sqrt{8-4\sqrt3}=\sqrt6-\sqrt2\]

Lengder er positive.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, sqrt, solve, simplify
a=symbols("a", positive=True)
sol=solve(((3+2*sqrt(3))/4)*a**2-sqrt(3), a)
print([simplify(v) for v in sol])

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Finn punktet

\[(s,f(s))=\left(s,\dfrac1s\right)\]

Tangentpunktet ligger på grafen.

Steg 2 — Deriver funksjonen

\[f\prime(x)=-\dfrac1{x^2}\]

Den deriverte gir tangentens stigningstall.

Steg 3 — Finn stigningstallet i \(s\)

\[f\prime(s)=-\dfrac1{s^2}\]

Dette er tangentens stigningstall.

Steg 4 — Bruk ettpunktsformelen

\[y-\dfrac1s=-\dfrac1{s^2}(x-s)\]

Linjen går gjennom \((s,1/s)\).

Steg 5 — Forenkle

\[y=-\dfrac1{s^2}x+\dfrac1s+\dfrac1s=-\dfrac1{s^2}x+\dfrac2s\]

Dermed er tangentlikningen vist.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff, simplify
x,s=symbols("x s", nonzero=True)
y=1/s+diff(1/x,x).subs(x,s)*(x-s)
print(simplify(y))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Finn \(A\) på \(x\)-aksen

\[y=0\]

Punktet \(A\) ligger der tangenten skjærer \(x\)-aksen.

Steg 2 — Løs for \(x\)

\[0=-\dfrac1{s^2}x+\dfrac2s\Rightarrow x=2s\]

Vi isolerer \(x\).

Steg 3 — Skriv \(A\)

\[A=(2s,0)\]

Dette er skjæringspunktet med \(x\)-aksen.

Steg 4 — Finn \(B\) på \(y\)-aksen

\[x=0\]

Punktet \(B\) ligger der tangenten skjærer \(y\)-aksen.

Steg 5 — Sett inn \(x=0\)

\[y=\dfrac2s\Rightarrow B=\left(0,\dfrac2s\right)\]

Dette er skjæringspunktet med \(y\)-aksen.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, solve
x,s=symbols("x s", nonzero=True)
y=-x/s**2+2/s
print(solve(y, x))
print(y.subs(x,0))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Bruk koordinatene

\[A=(2s,0),\quad B=\left(0,\dfrac2s\right)\]

Trekanten er rettvinklet med kateter langs aksene.

Steg 2 — Finn grunnlinje og høyde

\[OA=2s,\quad OB=\dfrac2s\]

Dette forutsetter \(s>0\), slik figuren viser.

Steg 3 — Bruk arealformelen

\[A_{\Delta OAB}=\dfrac12\cdot OA\cdot OB\]

Rettvinklet trekant har areal halvparten av rektangelet.

Steg 4 — Sett inn

\[A_{\Delta OAB}=\dfrac12\cdot2s\cdot\dfrac2s\]

Faktoren \(s\) forkortes bort.

Steg 5 — Forenkle

\[A_{\Delta OAB}=2\]

Arealet er konstant og uavhengig av \(s\).

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, simplify
s=symbols("s", positive=True)
print(simplify((1/2)*(2*s)*(2/s)))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Kjenn igjen mønsteret

\[1+2+3+4\]

Figur 1 med fire etasjer er et trekanttall.

Steg 2 — Skriv generell sum

\[T_n=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2\]

Dette er summen av de \(n\) første naturlige tallene.

Steg 3 — Sett inn \(n=20\)

\[T_{20}=\dfrac{20\cdot21}{2}\]

Vi skal ha tjue etasjer.

Steg 4 — Regn ut

\[T_{20}=210\]

Dette er totalt antall bokser.

Steg 5 — Kontroller rimelighet

\[10\cdot21=210\]

Halvparten av \(20\) er \(10\), så regningen stemmer.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

print(sum(range(1,21)))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Sett opp ulikheten

\[\dfrac{n(n+1)}2\le400\]

Han kan ikke bruke mer enn \(400\) bokser.

Steg 2 — Test rundt løsningen

\[27\cdot28/2=378\]

Med \(27\) etasjer bruker han \(378\) bokser.

Steg 3 — Test neste etasje

\[28\cdot29/2=406\]

Med \(28\) etasjer trenger han for mange bokser.

Steg 4 — Velg største mulige

\[n=27\]

Dette er største heltall som oppfyller ulikheten.

Steg 5 — Tolk rest

\[400-378=22\]

Han får \(22\) bokser til overs, men ikke nok til etasje \(28\).

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

n=0
while (n+1)*(n+2)//2 <= 400:
    n += 1
print(n, n*(n+1)//2)

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Kjenn igjen mønsteret

\[1^2+2^2+3^2\]

Figur 2 med tre etasjer viser kvadratiske lag.

Steg 2 — Bruk sum av kvadrattall

\[1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6\]

Dette teller alle lagene i tårnet.

Steg 3 — Sett inn \(n=20\)

\[\dfrac{20\cdot21\cdot41}{6}\]

Vi skal ha tjue etasjer.

Steg 4 — Regn ut

\[\dfrac{17220}{6}=2870\]

Dette er totalt antall bokser.

Steg 5 — Tolk

\[2870\]

Maria trenger mange flere bokser enn Marius fordi hvert lag er et kvadrat.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

print(sum(n*n for n in range(1,21)))

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Sett opp ulikheten

\[\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6\le4000\]

Tårnet består av kvadratiske lag.

Steg 2 — Test \(n=22\)

\[\dfrac{22\cdot23\cdot45}{6}=3795\]

Dette er innenfor \(4000\).

Steg 3 — Test \(n=23\)

\[\dfrac{23\cdot24\cdot47}{6}=4324\]

Dette er mer enn \(4000\).

Steg 4 — Velg største mulige

\[n=22\]

\(22\) er største antall etasjer som er mulig.

Steg 5 — Tolk rest

\[4000-3795=205\]

Hun har bokser til overs, men ikke nok til et lag nummer \(23\), som alene krever \(23^2=529\) bokser.

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

total=0
n=0
while total + (n+1)**2 <= 4000:
    n += 1
    total += n**2
print(n, total, 4000-total)

Hva spør oppgaven om? Vi identifiserer matematisk modell, gjør beregningen trinnvis, forklarer hvorfor hvert steg er gyldig og kontrollerer resultatet digitalt der det er nyttig.

Steg 1 — Kommenter linjen gjennom \(B\) og \(C\)

\[y=-x+a\]

Hvis vi legger origo midt på hypotenusen og lar \(B=(a,0)\), stemmer denne linjen for høyre side av trekanten.

Steg 2 — Velg en variabel

\[0\le x\le a\]

La rektangelets øvre høyre hjørne ha koordinat \((x,y)\).

Steg 3 — Finn høyden

\[y=a-x\]

Hjørnet ligger på linjen gjennom \(B\) og \(C\).

Steg 4 — Finn lengden

\[ ext{lengde}=2x\]

Rektangelet er symmetrisk om høyden i trekanten.

Steg 5 — Sett opp arealfunksjonen

\[A(x)=2x(a-x)=2ax-2x^2\]

Dette bekrefter ideen om \(2x\cdot y\).

Steg 6 — Maksimer

\[A\prime(x)=2a-4x=0\Rightarrow x=\dfrac a2\]

Maksimum finnes i toppunktet til en nedovervendt parabel.

Steg 7 — Finn maksimalt areal

\[A\left(\dfrac a2\right)=2\cdot\dfrac a2\cdot\left(a-\dfrac a2\right)=\dfrac{a^2}{2}\]

Dette gjelder for alle positive verdier av \(a\).

Steg 8 — Knytt til tabellen

\[a=2\Rightarrow A_{\max}=2,\,\quad a=3\Rightarrow A_{\max}=\dfrac92,\,\quad a=4\Rightarrow A_{\max}=8\]

Tabellverdiene følger mønsteret \(a^2/2\).

Tolkning

Svaret er tolket i konteksten til oppgaven og kontrollert mot betingelsene som er gitt.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, diff, solve, simplify
a,x=symbols("a x", positive=True)
A=2*x*(a-x)
crit=solve(diff(A,x),x)[0]
print(crit)
print(simplify(A.subs(x,crit)))