Komplett bokmålsversjon med nøyaktig transkriberte oppgaver, trinnvise løsninger, tolkning, vanlige feil, GeoGebra/CAS-kontroll og Python-kontroll med nøytral kodefarge.
Del 1 — uten hjelpemidler
Del 1 · Oppgave 1aFunksjoner
Oppgave 1a
Oppgave:
Grafen viser temperaturen ved Lindesnes fyr \(x\) timer etter midnatt et døgn i januar. Vis hvordan du kan regne ut stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene \((4,4{,}7)\) og \((14,7{,}3)\).
Sekanten gjennom punktene viser gjennomsnittlig temperaturendring per time.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne stigningstallet til linjen gjennom to punkter. Stigningstallet er endring i temperatur delt på endring i tid.
Steg 1 — Skriv formelen for stigningstall
For punktene \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) er stigningstallet
\[a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.\]
Vi bruker denne fordi grafen viser en sammenheng mellom tid \(x\) og temperatur \(y\).
Steg 2 — Sett inn punktene
\[a=\dfrac{7{,}3-4{,}7}{14-4}.\]
Telleren er temperaturendringen, og nevneren er antall timer mellom målingene.
Steg 3 — Regn ut endringene
\[7{,}3-4{,}7=2{,}6,\qquad 14-4=10.\]
Steg 4 — Del temperaturendringen på tidsendringen
\[a=\dfrac{2{,}6}{10}=0{,}26.\]
Tolkning
Stigningstallet er \(0{,}26\). Enheten er grader celsius per time.
Vanlig feil: Å bytte om teller og nevner. Da får man timer per grad i stedet for grader per time.
Malin arbeider med andregradslikninger og har skrevet programkode med \(a=1\), \(b=2\), \(c=1\) og \(d=b^2-4ac\). I linje 8, 10 og 12 vil hun legge inn kode som skriver ut passende tekster. Hva bør hun skrive?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Programmet undersøker diskriminanten \(d=b^2-4ac\). Teksten som skrives ut må passe med fortegnet til \(d\).
Steg 1 — Bruk regelen for diskriminanten
For \(ax^2+bx+c=0\): Hvis \(d<0\), finnes ingen reelle løsninger. Hvis \(d=0\), finnes én reell løsning. Hvis \(d>0\), finnes to reelle løsninger.
Steg 2 — Fyll inn linje 8
print("Likningen har ingen reelle løsninger.")
Steg 3 — Fyll inn linje 10
print("Likningen har én reell løsning.")
Steg 4 — Fyll inn linje 12
print("Likningen har to reelle løsninger.")
Tolkning
Tekstene følger direkte av antall skjæringspunkter mellom parabelen og \(x\)-aksen.
Vanlig feil: Å bytte om tilfellene \(d<0\) og \(d>0\).
Kontroll med komplett Python-kjøring
Python
a = 1
b = 2
c = 1
d = b**2 - 4*a*c
if d < 0:
print("Likningen har ingen reelle løsninger.")
elif d == 0:
print("Likningen har én reell løsning.")
else:
print("Likningen har to reelle løsninger.")
print("Diskriminanten er", d)
Likningen har én reell løsning.
Diskriminanten er 0
Fasit: Linje 8: ingen reelle løsninger. Linje 10: én reell løsning. Linje 12: to reelle løsninger.
Del 1 · Oppgave 5bProgrammering
Oppgave 5b
Oppgave:
Forklar hva som skjer når programmet kjøres.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare programflyten, altså hvilke linjer som utføres og hvorfor.
Steg 1 — Programmet lagrer koeffisientene
Programmet setter \(a=1\), \(b=2\) og \(c=1\). Det gjelder likningen \(x^2+2x+1=0\).
Steg 2 — Programmet regner ut diskriminanten
\[d=b^2-4ac=2^2-4\cdot 1\cdot 1=0.\]
Steg 3 — Første test er falsk
Siden \(d=0\), er testen d < 0 falsk.
Steg 4 — Andre test er sann
Testen d == 0 er sann, så programmet skriver at likningen har én reell løsning.
Tolkning
Parabelen tangerer \(x\)-aksen. Likningen har dobbeltroten \(x=-1\).
Vanlig feil: I Python betyr == sammenlikning. Skriver man = i en test, får man feil.
Vi forskyver grafen til \(f\) slik at bunnpunktet blir \((-4,1)\). Vi får grafen til en ny andregradsfunksjon \(g\). Bestem funksjonsuttrykket \(g(x)\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal flytte parabelen uten å endre formen.
Steg 1 — Skriv \(f\) på toppunktform
\[f(x)=x^2+4x+3=(x+2)^2-1.\]
Bunnpunktet til \(f\) er \((-2,-1)\).
Steg 2 — Finn forskyvningen
Bunnpunktet skal flyttes fra \((-2,-1)\) til \((-4,1)\). Det er \(2\) enheter mot venstre og \(2\) enheter opp.
Steg 3 — Skriv ny toppunktform
En parabel med samme form og bunnpunkt \((-4,1)\) er
\[g(x)=(x+4)^2+1.\]
Steg 4 — Eventuelt utvid uttrykket
\[g(x)=x^2+8x+17.\]
Tolkning
Funksjonen er ikke strukket eller speilet, bare forskjøvet.
Vanlig feil: Å skrive \((x-4)^2+1\). Bunnpunktet \((-4,1)\) gir parentesen \((x+4)\).
Monica har skrevet et program som undersøker \(f(x)=x^2-2\) fra \(a=-2\) til \(a<2\), med steglengde \(e=0{,}01\). Programmet skriver Jeg har funnet et nullpunkt. når \(f(a)\cdot f(a+e)\le 0\). Forklar hva resultatet vil bli når programmet kjøres, og begrunn hvorfor.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal forstå hva programmet faktisk tester.
Steg 1 — Se hvilken funksjon som undersøkes
\[f(x)=x^2-2.\]
Nullpunktene er \(x=\pm \sqrt{2}\), omtrent \(\pm 1{,}4142\).
Steg 2 — Forstå testen
Når \(f(a)\cdot f(a+e)\le 0\), har funksjonsverdiene ulikt fortegn eller én av dem er null. Da ligger et nullpunkt i intervallet \([a,a+e]\).
Steg 3 — Bruk steglengden
Programmet flytter \(a\) med \(0{,}01\). Det vil oppdage ett fortegnsskifte nær \(-\sqrt{2}\) og ett nær \(\sqrt{2}\).
Steg 4 — Resultatet
Programmet skriver teksten to ganger, men det skriver ikke selve nullpunktene.
Tolkning
Programmet finner intervaller som inneholder nullpunkter, ikke eksakte nullpunkter.
Vanlig feil: Å tro at programmet skriver ut \(-\sqrt{2}\) og \(\sqrt{2}\). Det gjør det ikke før vi endrer utskriften.
Kontroll med kjørbar Python
Python
def f(x):
return x**2 - 2
a = -2
e = 0.01
antall = 0
intervaller = []
while a < 2:
if f(a) * f(a + e) <= 0:
print("Jeg har funnet et nullpunkt.")
intervaller.append((round(a, 2), round(a + e, 2)))
antall += 1
a = a + e
print("Antall meldinger:", antall)
print("Intervaller:", intervaller)
Jeg har funnet et nullpunkt.
Jeg har funnet et nullpunkt.
Antall meldinger: 2
Intervaller: [(-1.42, -1.41), (1.41, 1.42)]
Fasit: Teksten skrives to ganger, én gang ved hvert fortegnsskifte.
Del 2 · Oppgave 3bProgrammering
Oppgave 3b
Oppgave:
Utvid programmet, og gjør eventuelle endringer slik at det skriver ut tilnærmede verdier for eventuelle nullpunkter med fire desimalers nøyaktighet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et program som ikke bare oppdager fortegnsskifte, men også skriver en god tilnærming til nullpunktet.
Steg 1 — Bruk fortegnsskifte som start
Først finner vi intervallene der fortegnet skifter.
Steg 2 — Bruk halveringsmetoden
Når vi har et intervall \([v,h]\) med fortegnsskifte, halverer vi intervallet mange ganger.
Steg 3 — Stopp når intervallet er lite nok
For fire desimaler holder det å gjøre intervallet mye mindre enn \(0{,}0001\).
Steg 4 — Skriv ut avrundet verdi
Til slutt skriver vi midtpunktet med fire desimaler.
Vanlig feil: Å bare skrive ut \(a\). Da får man bare venstre kant av intervallet, ikke en presis nullpunkttilnærming.
Komplett Python-kjøring
Python
def f(x):
return x**2 - 2
def finn_nullpunkt(venstre, hoyre):
for _ in range(40):
midt = (venstre + hoyre) / 2
if f(venstre) * f(midt) <= 0:
hoyre = midt
else:
venstre = midt
return (venstre + hoyre) / 2
start = -2
slutt = 2
steg = 0.01
x = start
nullpunkter = []
while x < slutt:
if f(x) * f(x + steg) <= 0:
nullpunkt = finn_nullpunkt(x, x + steg)
nullpunkter.append(nullpunkt)
x = x + steg
for nullpunkt in nullpunkter:
print(f"Nullpunkt: {nullpunkt:.4f}")
Nullpunkt: -1.4142
Nullpunkt: 1.4142
GeoGebra · CAS
1
NLøs(x^2 - 2 = 0)
→ \(x=-1{,}4142 \lor x=1{,}4142\)
Fasit: Nullpunktene er omtrent \(x=-1{,}4142\) og \(x=1{,}4142\).
Del 2 · Oppgave 4Derivasjon
Oppgave 4
Oppgave:
En funksjon \(f\) er gitt ved \(f(x)=x^3-x-1\). Grafen til \(f\) har to tangenter som er parallelle med linjen \(y=\dfrac{1}{2}x+2\). Bestem en eksakt verdi for nullpunktet til hver av disse tangentene.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Tangentene skal ha samme stigningstall som linjen, altså \(\dfrac{1}{2}\). Deretter skal vi finne hvor hver tangent skjærer \(x\)-aksen.
Steg 1 — Deriver funksjonen
\[f'(x)=3x^2-1.\]
Steg 2 — Sett tangentstigning lik \(\dfrac{1}{2}\)
from sympy import symbols, sqrt, simplify
x = symbols("x")
f = x**3 - x - 1
punkter = [-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)]
for a in punkter:
fa = f.subs(x, a)
nullpunkt_tangent = simplify(a - 2*fa)
print("Berøringspunkt x =", a)
print("f(a) =", simplify(fa))
print("Tangentens nullpunkt =", nullpunkt_tangent)
print()
Fasit: Nullpunktene til tangentene er \(2-\sqrt{2}\) og \(2+\sqrt{2}\).
Del 2 · Oppgave 5aModellering
Oppgave 5a
Oppgave:
En skål blåbærgelé kjøles ned i et rom med temperatur \(20\ ^\circ\mathrm{C}\). Tabellen gir temperaturen etter \(x\) minutter. Lag en modell \(T\) på formen \(T(x)=a\cdot b^x+20\).
Tid
4
8
16
20
40
60
75
90
Temperatur
90,6
86,5
78,9
75,4
61,0
50,3
44,1
39,2
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentiell modell der temperaturen nærmer seg romtemperaturen \(20\ ^\circ\mathrm{C}\).
Steg 1 — Trekk fra romtemperaturen
Modellen har formen \(T(x)=a\cdot b^x+20\). Derfor modellerer vi først temperaturdifferansen \(T(x)-20\).
Steg 2 — Bruk eksponentiell regresjon
Vi tilpasser \(y=a\cdot b^x\) til dataene for \(\text{temperatur}-20\).
Hvilket gyldighetsområde vil du si modellen for blåbærgeléen kan ha?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere når modellen er rimelig å bruke.
Steg 1 — Se på datagrunnlaget
Dataene går fra \(x=4\) til \(x=90\) minutter. Modellen er derfor best dokumentert i dette intervallet.
Steg 2 — Vurder praktisk start
Det gir også mening å bruke modellen fra omtrent \(x=0\), fordi avkjølingen starter når geléen settes i rommet.
Steg 3 — Vurder lang tid
Når \(x\) blir stor, nærmer modellen seg \(20\ ^\circ\mathrm{C}\), men i virkeligheten kan romtemperatur, måleusikkerhet og geléens konsistens påvirke avkjølingen.
Steg 4 — Foreslå gyldighetsområde
Et forsiktig gyldighetsområde er \(4\le x\le 90\). Et mer praktisk, men mindre sikkert område kan være \(0\le x\le 120\).
Tolkning
Modellen bør ikke brukes ukritisk langt utenfor målingene.
Vanlig feil: Å svare \(x\ge 0\) uten å kommentere at modellen bare er basert på data fram til 90 minutter.
Fasit: Et godt begrunnet gyldighetsområde er \(4\le x\le 90\). Med forsiktig ekstrapolasjon kan \(0\le x\le 120\) også forsvares.
Del 2 · Oppgave 6Derivasjon
Oppgave 6
Oppgave:
Figuren viser grafen til en tredjegradsfunksjon \(f\) og tangentene til grafen i tre ulike punkter. Bruk tangentene til å bestemme et uttrykk for den deriverte funksjonen \(f\prime\).
Tangentene viser at den deriverte har nullpunkter ved \\(x=-1\\) og \\(x=1\\), og at \\(f'(0)=-3\\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(f'(x)\), ikke \(f(x)\). Den deriverte forteller stigningstallet til tangentene.
Steg 1 — Bruk de horisontale tangentene
Horisontale tangenter har stigningstall \(0\). Figuren viser slike tangenter ved \(x=-1\) og \(x=1\).
\[f'(-1)=0,\qquad f'(1)=0.\]
Steg 2 — Skriv \(f'\) som en andregradsfunksjon
Siden \(f\) er en tredjegradsfunksjon, er \(f'\) en andregradsfunksjon.
\[f'(x)=a(x+1)(x-1).\]
Steg 3 — Bruk den skrå tangenten
Den skrå tangenten går for eksempel gjennom punktene \((0,4)\) og \((1,1)\). Stigningstallet er
\[\dfrac{1-4}{1-0}=-3.\]
Dermed er \(f'(0)=-3\).
Steg 4 — Finn \(a\)
\[f'(0)=a(0+1)(0-1)=-a.\]
Siden \(-a=-3\), får vi \(a=3\).
Steg 5 — Skriv uttrykket
\[f'(x)=3(x+1)(x-1)=3x^2-3.\]
Tolkning
Den deriverte er null ved topp- og bunnpunktet, og negativ ved \(x=0\), slik figuren viser.
Vanlig feil: Å prøve å bestemme \(f(x)\) først. Oppgaven ber bare om den deriverte, og tangentene gir direkte informasjon om \(f'\).
Figur 1 består av ett lite kvadrat, figur 2 av fire små kvadrater, og figur 3 av ni små kvadrater. Du har \(10\,000\) fyrstikker og lager figurene videre etter samme mønster, én i hver størrelse. Hvor mange figurer kan du lage?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Figur \(n\) er et \(n\times n\)-rutenett av små kvadrater. Vi skal summere antall fyrstikker for figurene \(1,2,3,\ldots,n\).
Steg 1 — Finn antall fyrstikker i figur \(n\)
Et \(n\times n\)-rutenett har \(n+1\) loddrette linjer med \(n\) fyrstikker i hver, og \(n+1\) vannrette linjer med \(n\) fyrstikker i hver.
Du kan lage 23 figurer. Figur 24 ville krevd for mange fyrstikker totalt.
Vanlig feil: Å bruke \(4n^2\) for figur \(n\). Da teller man felles sider dobbelt.
Kontroll
GeoGebra · CAS
1
2/3 * 23 * 24 * 25
→ \(9200\)
2
2/3 * 24 * 25 * 26
→ \(10400\)
Python
def fyrstikker_i_figur(n):
return 2*n*(n + 1)
sum_fyrstikker = 0
antall_figurer = 0
for n in range(1, 100):
neste = fyrstikker_i_figur(n)
if sum_fyrstikker + neste > 10000:
break
sum_fyrstikker += neste
antall_figurer = n
print("Antall figurer:", antall_figurer)
print("Brukte fyrstikker:", sum_fyrstikker)
print("Fyrstikker til neste figur:", fyrstikker_i_figur(antall_figurer + 1))
Antall figurer: 23
Brukte fyrstikker: 9200
Fyrstikker til neste figur: 1200
Fasit: Du kan lage \(23\) figurer.
Del 2 · Oppgave 7bMønster og summer
Oppgave 7b
Oppgave:
Hvor mange fyrstikker vil du ha igjen når du har laget den siste figuren?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke totalsummen fra oppgave 7a og trekke fra antall fyrstikker vi har.
Steg 1 — Bruk totalforbruket for 23 figurer
\[S_{23}=9200.\]
Steg 2 — Trekk fra totalmengden
\[10000-9200=800.\]
Steg 3 — Kontroller at figur 24 ikke kan lages
Figur 24 alene krever
\[F_{24}=2\cdot 24\cdot 25=1200.\]
Steg 4 — Sammenlikn med rest
Resten er \(800\), og det er mindre enn \(1200\). Derfor kan ikke neste figur lages.
Tolkning
Etter figur 23 stopper mønsteret fordi du mangler \(400\) fyrstikker for å kunne lage figur 24.
Vanlig feil: Å finne resten etter bare figur 23, ikke etter alle figurene fra 1 til 23.
Kontroll
Python
brukte_fyrstikker = 9200
totalt = 10000
igjen = totalt - brukte_fyrstikker
neste_figur = 2*24*(24 + 1)
print("Fyrstikker igjen:", igjen)
print("Fyrstikker til figur 24:", neste_figur)
print("Kan figur 24 lages?", igjen >= neste_figur)
Fyrstikker igjen: 800
Fyrstikker til figur 24: 1200
Kan figur 24 lages? False
Fasit: Du har \(800\) fyrstikker igjen.
Del 2 · Oppgave 8Trigonometri
Oppgave 8
Oppgave:
Snøskredskolen beskriver en metode der skistaver brukes til å anslå helningsvinkel. Hvis staven treffer nederst i avtrykket, er helningen \(30^\circ\). For hver \(10\) cm kan man legge til eller trekke fra \(3^\circ\). Skistaver er ofte mellom \(1\) m og \(1{,}40\) m. Bruk trigonometri, gjør nødvendige beregninger, og lag en systematisk oversikt som viser hvor nøyaktig metoden er.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Dette er en utforskende oppgave. Vi må lage en trigonometri-modell og sammenlikne den med tommelfingerregelen.
Steg 1 — Definer størrelsene
La stavlengden være \(L\). La \(m\) være avviket fra nederst i avtrykket, målt langs avtrykket. Vi setter \(m>0\) når staven treffer nedenfor avtrykket, og \(m<0\) når den treffer inne i avtrykket.
Steg 2 — Bruk geometrien
Stavmetoden gir sammenhengen
\[L+m=2L\sin v,\]
der \(v\) er helningsvinkelen. Når \(m=0\), får vi \(L=2L\sin v\), altså \(\sin v=\dfrac{1}{2}\) og \(v=30^\circ\).
