Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke Herons formel til å finne arealet direkte fra de tre sidelengdene.

Steg 1 — Finn halvomkretsen

Her er \(a=13\), \(b=14\) og \(c=15\). Derfor er

\[s=\dfrac{13+14+15}{2}=\dfrac{42}{2}=21\]

Herons formel bruker halvomkretsen, ikke hele omkretsen.

Steg 2 — Sett inn i Herons formel

\[T=\sqrt{21\left(21-13\right)\left(21-14\right)\left(21-15\right)}\]

Vi erstatter hver side med sidelengden fra oppgaven.

Steg 3 — Regn faktorene inni kvadratroten

\[T=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}\]

Dette er arealet i kvadratcentimeter før vi tar kvadratroten.

Steg 4 — Forenkle

\[21\cdot 8\cdot 7\cdot 6=7056\]

Dermed får vi

\[T=\sqrt{7056}=84\]

Tolkning

Arealet av trekanten er \(84\) kvadratcentimeter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import sqrt, simplify

a = 13
b = 14
c = 15
s = (a + b + c) / 2
areal = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

print("Halvomkrets s =", s)
print("Areal T =", simplify(areal), "cm^2")

Hva spør oppgaven om? Vi skal modellere gjentatt prosentvis reduksjon. Siden trykket avtar med samme prosent per kilometer, bruker vi eksponentialmodell.

Steg 1 — Gjør høyden om til kilometer

\[8848\,\text{m}=8{,}848\,\text{km}\]

Prosentendringen er gitt per kilometer, derfor må høyden måles i kilometer.

Steg 2 — Finn vekstfaktoren

Når noe avtar med \(12\,\%\), er vekstfaktoren

\[1-0{,}12=0{,}88\]

Steg 3 — Sett opp modellen

Hvis \(x\) er høyde i kilometer, kan trykket modelleres ved

\[P\left(x\right)=1013\cdot 0{,}88^x\]

Steg 4 — Regn trykket på Mount Everest

\[P\left(8{,}848\right)=1013\cdot 0{,}88^{8{,}848}\approx 326{,}9\]

Tolkning

Med denne modellen er lufttrykket på toppen omtrent \(327\) millibar.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import pow

trykk_havniva = 1013          # millibar
hoyde_meter = 8848
hoyde_km = hoyde_meter / 1000
vekstfaktor = 1 - 0.12

trykk = trykk_havniva * pow(vekstfaktor, hoyde_km)

print("Høyde i kilometer =", hoyde_km)
print("Vekstfaktor =", vekstfaktor)
print("Lufttrykk på toppen ≈", round(trykk, 1), "millibar")

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sidelengden i et kvadrat når diagonalen er én enhet lengre enn siden.

Steg 1 — Sett navn på sidelengden

La sidekanten være \(x\). Da er diagonalen \(x+1\).

Steg 2 — Bruk Pytagoras i kvadratet

Diagonalen er hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter \(x\) og \(x\):

\[x^2+x^2=\left(x+1\right)^2\]

Steg 3 — Utvid og samle ledd

\[2x^2=x^2+2x+1\]

\[x^2-2x-1=0\]

Steg 4 — Løs andregradslikningen

\[x=\dfrac{2\pm\sqrt{\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-1\right)}}{2}\]

\[x=\dfrac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}\]

Steg 5 — Velg positiv lengde

Siden en lengde ikke kan være negativ, får vi

\[x=1+\sqrt{2}\]

Tolkning

Sidekanten er \(1+\sqrt{2}\), og diagonalen er \(2+\sqrt{2}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, sqrt

x = symbols('x')
likning = Eq(2*x**2, (x + 1)**2)
losninger = solve(likning, x)
positive_losninger = [s for s in losninger if s.evalf() > 0]

print("Likning:", likning)
print("Alle løsninger:", losninger)
print("Gyldig sidelengde:", positive_losninger[0])
print("Desimalverdi ≈", positive_losninger[0].evalf(4))

Hva spør oppgaven om? Vi skal forstå programmet matematisk og forklare hva utskriften blir.

Steg 1 — Se hvilken funksjon programmet undersøker

Programmet definerer funksjonen

\[f\left(x\right)=x^2-2\]

Nullpunktene er løsningene av \(x^2-2=0\).

Steg 2 — Finn de egentlige nullpunktene

\[x^2-2=0\]

\[x=\pm\sqrt{2}\]

Begge ligger i intervallet \([-2,2]\).

Steg 3 — Forklar hva løkken tester

Programmet sjekker produktet \(Y[i]\cdot Y[i+1]\). Hvis produktet er mindre enn eller lik null, har funksjonsverdiene motsatt fortegn eller en av dem er null.

Steg 4 — Begrunn utskriften

Siden grafen krysser \(x\)-aksen ved \(-\sqrt{2}\) og \(\sqrt{2}\), vil programmet finne to intervaller der fortegnet skifter.

Tolkning

Programmet skriver teksten «Jeg har funnet et nullpunkt.» to ganger.

Kontroll (Python)

from numpy import linspace

def f(x):
    return x**2 - 2

X = linspace(-2, 2, 400)
Y = f(X)

antall = 0
for i in range(0, 399):
    if Y[i] * Y[i + 1] <= 0:
        antall += 1
        print("Jeg har funnet et nullpunkt.")

print("Antall meldinger:", antall)

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre programmet mer informativt, slik at det ikke bare sier at et nullpunkt finnes, men også skriver en tilnærmet \(x\)-verdi.

Steg 1 — Bruk fortegnsskifte som før

Vi beholder testen \(Y[i]\cdot Y[i+1]\le 0\). Den fanger opp at grafen passerer \(x\)-aksen mellom to naboverdier.

Steg 2 — Bruk midtpunktet i intervallet

Hvis nullpunktet ligger mellom \(X[i]\) og \(X[i+1]\), kan vi bruke

\[x\approx \dfrac{X[i]+X[i+1]}{2}\]

Steg 3 — Skriv ut verdien

Vi legger inn en utskrift som viser den omtrentlige \(x\)-verdien.

Tolkning

Programmet vil skrive ut to verdier nær \(-1{,}414\) og \(1{,}414\).

Utvidet Python-program

from numpy import linspace

def f(x):
    return x**2 - 2

X = linspace(-2, 2, 400)
Y = f(X)

for i in range(0, len(X) - 1):
    if Y[i] * Y[i + 1] <= 0:
        venstre = X[i]
        hoyre = X[i + 1]
        nullpunkt = (venstre + hoyre) / 2
        print("Nullpunkt mellom", round(venstre, 4), "og", round(hoyre, 4))
        print("Tilnærmet nullpunkt:", round(nullpunkt, 4))

print("Eksakte nullpunkter er -sqrt(2) og sqrt(2).")

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke stigningstall i en praktisk sammenheng.

Steg 1 — Tolk variablene

Her er \(x\) tid etter midnatt, målt i timer, og \(y\) temperatur, målt i grader celsius.

Steg 2 — Tolk stigningstallet

Stigningstallet \(0{,}26\) betyr at temperaturen øker med \(0{,}26\) grader for hver time langs den rette linja.

Steg 3 — Knytt det til intervallet

Dette gjelder gjennomsnittlig temperaturendring fra \(x=4\) til \(x=14\), ikke nødvendigvis hvert eneste tidspunkt i virkeligheten.

Tolkning

I perioden fra 4 timer til 14 timer etter midnatt øker temperaturen i gjennomsnitt med \(0{,}26\,^{\circ}\text{C}\) per time.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne temperaturen \(k\) ved \(x=14\), når stigningstallet mellom \(\left(4,4{,}7\right)\) og \(\left(14,k\right)\) er \(0{,}26\).

Steg 1 — Bruk formelen for stigningstall

\[a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Her er \(a=0{,}26\), \(\left(x_1,y_1\right)=\left(4,4{,}7\right)\) og \(\left(x_2,y_2\right)=\left(14,k\right)\).

Steg 2 — Sett inn verdiene

\[0{,}26=\dfrac{k-4{,}7}{14-4}\]

Steg 3 — Regn ut nevneren

\[0{,}26=\dfrac{k-4{,}7}{10}\]

Steg 4 — Løs for \(k\)

\[k-4{,}7=2{,}6\]

\[k=7{,}3\]

Tolkning

Temperaturen 14 timer etter midnatt er \(7{,}3\,^{\circ}\text{C}\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve

k = symbols('k')
stigningstall = 0.26
likning = Eq(stigningstall, (k - 4.7) / (14 - 4))
losning = solve(likning, k)[0]

print("Likning:", likning)
print("k =", losning)
print("Temperaturen ved x = 14 er", float(losning), "grader celsius")

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke informasjon om tangentstigningstall til å bestemme \(f\prime\). Når \(f\) er en tredjegradsfunksjon, er \(f\prime\) en andregradsfunksjon.

Steg 1 — Sett opp generell form

Siden \(f\) er en tredjegradsfunksjon, kan vi skrive

\[f\prime\left(x\right)=ax^2+bx+c\]

Steg 2 — Bruk stigningstallene fra tangentene

Fra figuren får vi

\[f\prime\left(-1\right)=0,\quad f\prime\left(0\right)=-3,\quad f\prime\left(2\right)=4\]

Steg 3 — Lag tre likninger

\[a-b+c=0\]

\[c=-3\]

\[4a+2b+c=4\]

Steg 4 — Sett inn \(c=-3\)

\[a-b-3=0\quad\Rightarrow\quad a-b=3\]

\[4a+2b-3=4\quad\Rightarrow\quad 4a+2b=7\]

Steg 5 — Løs systemet

Fra \(a-b=3\) får vi \(b=a-3\). Sett inn:

\[4a+2\left(a-3\right)=7\]

\[6a=13\quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{13}{6}\]

\[b=\dfrac{13}{6}-3=-\dfrac{5}{6}\]

Tolkning

Den deriverte blir

\[f\prime\left(x\right)=\dfrac{13}{6}x^2-\dfrac{5}{6}x-3\]

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Eq, solve, Rational

a, b, c, x = symbols('a b c x')
fp = a*x**2 + b*x + c

likninger = [
    Eq(fp.subs(x, -1), 0),
    Eq(fp.subs(x, 0), -3),
    Eq(fp.subs(x, 2), 4),
]

losning = solve(likninger, (a, b, c), dict=True)[0]
fp_bestemt = fp.subs(losning)

print("Løsning for koeffisientene:", losning)
print("f'(x) =", fp_bestemt)
print("Kontroll f'(-1), f'(0), f'(2) =", [fp_bestemt.subs(x, v) for v in [-1, 0, 2]])

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke faktor-/restteoremet i stedet for polynomdivisjon.

Steg 1 — Finn nullpunktet til faktoren

Hvis \(2x-1=0\), får vi

\[x=\dfrac{1}{2}\]

Steg 2 — Bruk restteoremet

Polynomet er delelig med \(2x-1\) dersom polynomverdien er \(0\) når \(x=\dfrac{1}{2}\).

Steg 3 — Regn verdien

\[P\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+5\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-11\left(\dfrac{1}{2}\right)+4\]

\[=\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{4}-\dfrac{11}{2}+4=0\]

Tolkning

Siden resten er \(0\), er polynomet delelig med \(2x-1\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, Rational, expand

x = symbols('x')
P = 2*x**3 + 5*x**2 - 11*x + 4
testverdi = Rational(1, 2)
rest = P.subs(x, testverdi)

print("P(x) =", P)
print("Testverdi fra 2x - 1 = 0:", testverdi)
print("P(1/2) =", rest)
print("Delelig med 2x - 1:", rest == 0)

Hva spør oppgaven om? Vi skal kontrollere om kvotienten Robina har funnet, er korrekt.

Steg 1 — Bruk multiplikasjon som kontroll

Hvis divisjonen er riktig, skal

\[\left(2x-1\right)\left(x^2+2x-4\right)=2x^3+5x^2-11x+4\]

Steg 2 — Multipliser ut

\[\left(2x-1\right)\left(x^2+2x-4\right)\]

\[=2x^3+4x^2-8x-x^2-2x+4\]

Steg 3 — Trekk sammen

\[=2x^3+3x^2-10x+4\]

Steg 4 — Sammenlign med polynomet

Dette er ikke lik \(2x^3+5x^2-11x+4\). Derfor kan ikke kvotienten være riktig.

Steg 5 — Finn riktig kvotient

Faktoriserer vi polynomet, får vi

\[2x^3+5x^2-11x+4=\left(2x-1\right)\left(x+4\right)\left(x-1\right)\]

Da er riktig kvotient

\[\left(x+4\right)\left(x-1\right)=x^2+3x-4\]

Tolkning

Robina har vist at resten blir null i oppsettet, men kvotienten hun skriver er feil.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, expand, div

x = symbols('x')
P = 2*x**3 + 5*x**2 - 11*x + 4
faktor = 2*x - 1
robina_kvotient = x**2 + 2*x - 4

kontroll = expand(faktor * robina_kvotient)
riktig_kvotient, rest = div(P, faktor)

print("Robinas kontrollprodukt:", kontroll)
print("Opprinnelig polynom:", P)
print("Robinas kvotient er riktig:", kontroll == P)
print("Riktig kvotient:", riktig_kvotient)
print("Rest:", rest)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke grafisk informasjon om nullpunkter til å vurdere en faktorisering.

Steg 1 — Finn nullpunktene som Robinas faktorisering ville gitt

Hvis

\[P\left(x\right)=\left(2x-1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)\]

ville nullpunktene vært

\[x=\dfrac{1}{2},\quad x=-2,\quad x=2\]

Steg 2 — Les grafskissen

Grafskissen viser at grafen skjærer \(x\)-aksen omtrent ved \(x=\dfrac{1}{2}\) og \(x=-4\), og at den tangerer \(x\)-aksen ved \(x=1\).

Steg 3 — Sammenlign med faktoriseringen

Robinas faktorisering gir nullpunktene \(-2\), \(\dfrac{1}{2}\) og \(2\). Det stemmer ikke med skissen.

Steg 4 — Riktig faktorstruktur

Den riktige faktoriseringen er

\[2x^3+5x^2-11x+4=\left(2x-1\right)\left(x+4\right)\left(x-1\right)\]

Tolkning

Grete kan bruke nullpunktene i grafen til å se at Robinas faktorisering ikke passer.

Kontroll (Python)

from sympy import symbols, factor, solve

x = symbols('x')
P = 2*x**3 + 5*x**2 - 11*x + 4
robina = (2*x - 1)*(x + 2)*(x - 2)

print("Riktig faktorisering:", factor(P))
print("Nullpunkter for P:", solve(P, x))
print("Robinas produkt utvidet:", robina.expand())
print("Robinas faktorisering er riktig:", robina.expand() == P)

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare en trigonometrisk sammenheng i figuren.

Steg 1 — Se på vinklene

Linjen gjennom \(A\) og \(B\) ligger på den ene parallelle linjen. Den øverste linjen er parallell med denne.

Steg 2 — Bruk parallelle linjer

Vinkelen \(v\) er vinkelen mellom \(AC\) og en linje som er parallell med \(AB\). Derfor er \(v\) og \(\angle BAC\) enten like vinkler eller supplementvinkler.

Steg 3 — Bruk sinus til supplementvinkler

For vinkler som summerer til \(180^{\circ}\), gjelder

\[\sin\left(180^{\circ}-u\right)=\sin u\]

Tolkning

Dermed får vi \(\sin v=\sin \angle BAC\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal beregne samme areal på to måter.

Steg 1 — Bruk grunnlinje og høyde

Velg \(AB\) som grunnlinje. Da er grunnlinjen \(7\), og høyden er avstanden mellom de parallelle linjene, altså \(4\).

Steg 2 — Regn arealet uten arealsetningen

\[A=\dfrac{g\cdot h}{2}=\dfrac{7\cdot 4}{2}=14\]

Steg 3 — Finn sinusverdien

I trekanten med side \(AC=5\) og høyde \(4\), får vi

\[\sin \angle BAC=\dfrac{4}{5}\]

Steg 4 — Bruk arealsetningen

Arealsetningen gir

\[A=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin \angle BAC\]

\[A=\dfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \dfrac{4}{5}=14\]

Tolkning

Begge metodene gir samme areal, \(14\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from fractions import Fraction

grunnlinje = 7
hoyde = 4
AC = 5
sin_A = Fraction(hoyde, AC)

areal_med_hoyde = Fraction(grunnlinje * hoyde, 2)
areal_med_arealsetningen = Fraction(1, 2) * grunnlinje * AC * sin_A

print("sin(angle BAC) =", sin_A)
print("Areal uten arealsetningen =", areal_med_hoyde)
print("Areal med arealsetningen =", areal_med_arealsetningen)
print("Samme areal:", areal_med_hoyde == areal_med_arealsetningen)

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive en generell algoritme for å finne størst mulig kvadrat som kan dekke et rektangel uten overlapp og uten hull.

Steg 1 — Knytt problemet til divisjon

Hvis rektangelet har sidelengder \(a\) og \(b\), må kvadratets side \(s\) gå opp i både \(a\) og \(b\).

Steg 2 — Finn størst mulig felles divisor

Størst mulig kvadrat får vi når \(s\) er største felles divisor av \(a\) og \(b\):

\[s=\operatorname{SFD}\left(a,b\right)\]

Steg 3 — Beskriv algoritmen med Euklids algoritme

Start med tallene \(a\) og \(b\). Del det største tallet på det minste og finn resten. Bytt ut det største tallet med resten. Fortsett til resten er \(0\). Det siste tallet som ikke er \(0\), er \(s\).

Steg 4 — Hvorfor algoritmen virker

Resten representerer den delen av rektangelet som ikke er dekket av størst mulig kandidat. Euklids algoritme bevarer felles divisorene hele veien.

Tolkning

Algoritmen finner den største kvadratstørrelsen som passer nøyaktig langs begge sidene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive et program som implementerer algoritmen fra del a.

Steg 1 — Les inn sidelengdene

Programmet trenger to heltall: lengden og bredden i rektangelet.

Steg 2 — Bruk Euklids algoritme

Så lenge den minste resten ikke er \(0\), erstatter vi tallene med \(b\) og \(a\bmod b\).

Steg 3 — Skriv ut svaret

Når resten er \(0\), er tallet som står igjen, maksimal sidelengde i kvadratene.

Tolkning

Programmet gir størrelsen på kvadrater som dekker hele rektangelet uten hull.

Python-program

def storste_felles_divisor(a, b):
    """Returnerer største felles divisor ved Euklids algoritme."""
    a = abs(int(a))
    b = abs(int(b))

    while b != 0:
        rest = a % b
        print(f"{a} = {a // b} * {b} + {rest}")
        a, b = b, rest

    return a

# Eksempel: et rektangel med sider 54 og 24
lengde = 54
bredde = 24
side_kvadrat = storste_felles_divisor(lengde, bredde)

print("Lengde:", lengde)
print("Bredde:", bredde)
print("Største mulige sidekant i kvadratene:", side_kvadrat)

Hva spør oppgaven om? Dette er en utforskende oppgave. Vi skal beskrive hvordan parametrene \(a\) og \(b\) påvirker funksjonen, og samtidig passe på definisjonsmengden.

Steg 1 — Faktoriser nevneren

\[x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

Funksjonen er derfor

\[f\left(x\right)=\dfrac{a\left(x-1\right)\left(x+b\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\]

Steg 2 — Finn definisjonsmengden

Nevneren kan ikke være \(0\). Derfor må

\[x\ne 1\quad \text{og}\quad x\ne -1\]

Steg 3 — Forkort uttrykket for \(x\ne 1\)

For \(x\ne 1\) kan vi forkorte faktoren \(x-1\):

\[f\left(x\right)=\dfrac{a\left(x+b\right)}{x+1}\]

Men \(x=1\) er fortsatt ikke med i definisjonsmengden.

Steg 4 — Hull i grafen ved \(x=1\)

Hvis vi setter \(x=1\) inn i det forkortede uttrykket, får vi høyden til hullet:

\[y=\dfrac{a\left(1+b\right)}{2}\]

Grafen har derfor vanligvis et hull i punktet

\[\left(1,\dfrac{a\left(1+b\right)}{2}\right)\]

Steg 5 — Vertikal asymptote ved \(x=-1\)

Vanligvis har funksjonen en vertikal asymptote ved \(x=-1\), fordi nevneren \(x+1\) blir \(0\).

Unntaket er når \(b=1\), fordi \(x+b=x+1\) da også kan forkortes.

Steg 6 — Horisontal asymptote

For store \(x\)-verdier oppfører

\[\dfrac{a\left(x+b\right)}{x+1}\]

seg omtrent som \(a\). Derfor er horisontal asymptote

\[y=a\]

Steg 7 — Nullpunkt

Hvis \(a\ne 0\), får vi nullpunkt fra \(x+b=0\), altså

\[x=-b\]

Dette nullpunktet må vurderes mot punktene som ikke er definert.

Tolkning

Parameteren \(a\) styrer blant annet horisontal asymptote og vertikal skalering. Parameteren \(b\) flytter nullpunktet og kan endre om asymptoten ved \(x=-1\) forsvinner.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, factor, cancel, limit, oo

x, a, b = symbols('x a b')
f = a*(x - 1)*(x + b)/(x**2 - 1)
f_forkortet = cancel(f)

print("Opprinnelig funksjon:", f)
print("Faktorisert nevner:", factor(x**2 - 1))
print("Forkortet uttrykk:", f_forkortet)
print("Definisjonsmengde: x != 1 og x != -1")
print("Hullverdi ved x = 1:", f_forkortet.subs(x, 1))
print("Grense når x går mot uendelig:", limit(f_forkortet, x, oo))
print("Grense når x går mot -uendelig:", limit(f_forkortet, x, -oo))
print("Merk: x = -1 må undersøkes særskilt, særlig når b = 1.")