Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hele verdens befolkning når 18 millioner er 2 promille av helheten.

Steg 1 — Skriv promille som desimaltall

2 promille betyr 2 av 1000:

\[2\,\text{promille}=\dfrac{2}{1000}=0{,}002\]

Steg 2 — Sett opp sammenhengen

La \(V\) være verdens befolkning, målt i millioner mennesker.

\[0{,}002\cdot V=18\]

Dette betyr at 0,2 prosent av verdens befolkning er 18 millioner.

Steg 3 — Del på \(0{,}002\)

\[V=\dfrac{18}{0{,}002}=9000\]

Fordi vi regner i millioner, betyr dette 9000 millioner.

Tolkning

Verdens befolkning vil være 9000 millioner mennesker, altså 9 milliarder mennesker.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva tallene i en eksponentiell sparemodell betyr i praksis.

Steg 1 — Tolk startverdien

I modellen

\[f(x)=20\,000\cdot 1{,}0485^x\]

er \(20\,000\) beløpet når \(x=0\).

Steg 2 — Tolk vekstfaktoren

Vekstfaktoren er \(1{,}0485\). Økningen per år er derfor

\[1{,}0485-1=0{,}0485=4{,}85\,\%\]

Steg 3 — Formuler praktisk

Ada starter med 20 000 kroner i banken, og pengene vokser med 4,85 prosent per år.

Tolkning

Modellen beskriver et sparebeløp med fast årlig rente på 4,85 prosent.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke hva uttrykket i programmet beregner, ikke bare regne ut et tall.

Steg 1 — Se på start og slutt

Programmet bruker \(\text{start}=0\) og \(\text{slutt}=10\). Det sammenlikner altså sparebeløpet fra år 0 til år 10.

Steg 2 — Tolk formelen i programmet

Linjen

\[v=\dfrac{f(10)-f(0)}{10-0}\]

regner ut gjennomsnittlig endring per år.

Steg 3 — Tolk enheten

Siden \(f(x)\) måles i kroner og \(x\) måles i år, er enheten kroner per år.

Tolkning

Tallet som skrives ut, forteller hvor mye sparebeløpet i gjennomsnitt øker per år de første 10 årene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal kjenne igjen proporsjonal og omvendt proporsjonal sammenheng fra graf.

Steg 1 — Kjennetegn på proporsjonalitet

To størrelser er proporsjonale når grafen er en rett linje gjennom origo. Da har vi formen

\[y=kx\]

Steg 2 — Bruk kjennetegnet på grafene

Grafen til \(f\) er en rett linje gjennom origo. Grafen til \(g\) er også en rett linje, men den går ikke gjennom origo.

Steg 3 — Kjennetegn på omvendt proporsjonalitet

Omvendt proporsjonalitet har formen

\[y=\dfrac{k}{x}\]

Da synker grafen og nærmer seg aksene.

Steg 4 — Bruk kjennetegnet på de synkende grafene

Grafen til \(p\) har form som en omvendt proporsjonal sammenheng. Grafen til \(q\) faller også, men har ikke den samme typiske formen.

Tolkning

Proporsjonalitet handler om fast forhold. Omvendt proporsjonalitet handler om at produktet av størrelsene er konstant.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke formelen og vise at 70 km/h gir 24,5 meter.

Steg 1 — Finn \(x\)

Siden \(x\) er farten delt på 10, får vi

\[x=\dfrac{70}{10}=7\]

Steg 2 — Sett inn i formelen

\[B=\dfrac{7^2}{2}\]

Vi bruker kvadratet av \(x\), ikke av selve farten 70.

Steg 3 — Regn ut

\[B=\dfrac{49}{2}=24{,}5\]

Tolkning

En fart på 70 km/h gir en beregnet bremselengde på 24,5 meter på sommerføre.

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner bremselengden og skal finne farten.

Steg 1 — Sett \(B=40{,}5\)

\[40{,}5=\dfrac{x^2}{2}\]

Steg 2 — Multipliser med 2

\[x^2=81\]

Steg 3 — Ta kvadratroten

\[x=9\]

Vi bruker positiv verdi fordi fart ikke er negativ.

Steg 4 — Gjør om til km/h

Siden \(x\) er fart delt på 10, er farten

\[9\cdot 10=90\]

Tolkning

Bilen kjører 90 km/h når bremselengden etter denne modellen er 40,5 meter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal dokumentere at en andregradsmodell passer godt til punktene i tabellen.

Steg 1 — Legg inn dataene

I GeoGebra legger vi inn punktene \((100,1450)\), \((130,2300)\), \((160,3050)\), \((175,3365)\), \((190,3720)\), \((220,4140)\) og \((235,4175)\).

Steg 2 — Bruk andregradsregresjon

Andregradsregresjon gir omtrent

\[O(x)=-0{,}09x^2+51{,}04x-2776{,}98\]

Steg 3 — Kontroller mot punktene

For eksempel er

\[O(100)=1427{,}02\]

og tabellen sier 1450. Avviket er lite sammenliknet med overskuddet.

Steg 4 — Vurder modellen

Grafen går nær punktene, og modellen har riktig form: overskuddet øker først, men veksten flater ut etter hvert.

Kontroll (GeoGebra)

import numpy as np
x = np.array([100,130,160,175,190,220,235], dtype=float)
y = np.array([1450,2300,3050,3365,3720,4140,4175], dtype=float)
print(np.polyfit(x, y, 2))

Tolkning

Modellen kan brukes som en tilnærming for overskuddet når salget ligger omtrent i området tabellen dekker.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne toppunktet til en parabel som vender nedover.

Steg 1 — Se at parabelen har maksimum

Funksjonen har negativt andregradsledd:

\[-0{,}09x^2\]

Derfor vender grafen nedover og har et toppunkt.

Steg 2 — Finn \(x\)-verdien til toppunktet

\[x=\dfrac{-51{,}04}{2\cdot(-0{,}09)}\approx 283{,}56\]

Steg 3 — Finn overskuddet

\[O(283{,}56)\approx 4459{,}36\]

Steg 4 — Rund praktisk

Kantinen kan ikke selge 283,56 bagetter, så vi tolker dette som omtrent 284 bagetter.

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import symbols
x = symbols('x')
O = -0.09*x**2 + 51.04*x - 2776.98
x_topp = -51.04/(2*(-0.09))
print(x_topp, O.subs(x, x_topp))

Tolkning

Modellen sier at det største overskuddet blir omtrent 4460 kroner når kantinen selger omtrent 284 bagetter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig endring i overskudd per ekstra bagett fra 100 til 200 bagetter.

Steg 1 — Finn funksjonsverdiene

\[O(100)=1427{,}02\]

\[O(200)=3831{,}02\]

Steg 2 — Bruk formelen for stigningstall

\[a=\dfrac{O(200)-O(100)}{200-100}\]

Steg 3 — Regn ut

\[a=\dfrac{3831{,}02-1427{,}02}{100}=24{,}04\]

Kontroll (GeoGebra CAS)

Tolkning

I området fra 100 til 200 solgte bagetter øker overskuddet i gjennomsnitt med omtrent 24 kroner per ekstra bagett.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne beløpet fem år fram i tid fra dagens beløp.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

Renten er 3,25 prosent per år, så vekstfaktoren er

\[1+\dfrac{3{,}25}{100}=1{,}0325\]

Steg 2 — Regn fem år fram

\[105\,607\cdot 1{,}0325^5\approx 123\,920\]

Steg 3 — Grafisk metode

Lag grafen

\[y=105\,607\cdot 1{,}0325^x\]

og les av \(y\)-verdien når \(x=5\).

Kontroll (GeoGebra)

belop_i_dag = 105607
vekstfaktor = 1.0325
print(belop_i_dag * vekstfaktor**5)

Tolkning

Om fem år vil det være omtrent 124 000 kroner på kontoen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne startbeløpet som etter fem år med 3,25 prosent rente har blitt omtrent 105 607 kroner.

Steg 1 — Sett opp likningen

La \(S\) være beløpet Gaute satte inn.

\[S\cdot 1{,}0325^5=105\,607\]

Steg 2 — Del på vekstfaktoren fem ganger

\[S=\dfrac{105\,607}{1{,}0325^5}\approx 90\,000\]

Steg 3 — Grafisk metode

Lag grafen

\[y=S\cdot 1{,}0325^5\]

og finn \(S\)-verdien som gir \(y=105\,607\). Grafisk får vi omtrent \(S=90\,000\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

belop_i_dag = 105607
vekstfaktor = 1.0325
print(belop_i_dag / vekstfaktor**5)

Tolkning

Gaute satte inn omtrent 90 000 kroner for fem år siden.

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre om fra fat per døgn til liter per år og skrive svaret på standardform.

Steg 1 — Skriv antall fat per døgn

\[1{,}794\text{ millioner fat}=1{,}794\cdot 10^6\text{ fat}\]

Steg 2 — Multipliser med liter per fat og antall døgn

Året 2023 hadde 365 døgn:

\[1{,}794\cdot 10^6\cdot 158{,}987\cdot 365\]

Steg 3 — Regn ut og skriv på standardform

\[1{,}794\cdot 10^6\cdot 158{,}987\cdot 365\approx 1{,}041\cdot 10^{11}\]

Kontroll (Python)

fat_per_dogn = 1.794e6
liter_per_fat = 158.987
dogn = 365
print(fat_per_dogn * liter_per_fat * dogn)

Tolkning

Det ble produsert omtrent 104 milliarder liter olje på norsk sokkel i 2023.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne prosentvis økning fra 2022 til 2023.

Steg 1 — Finn økningen

\[1{,}794-1{,}685=0{,}109\]

Produksjonen økte med 0,109 millioner fat per døgn.

Steg 2 — Del på startverdien

\[\dfrac{0{,}109}{1{,}685}\approx 0{,}0647\]

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[0{,}0647\cdot 100\,\%\approx 6{,}5\,\%\]

Kontroll (GeoGebra CAS)

Tolkning

Produksjonsmengden steg med omtrent 6,5 prosent fra 2022 til 2023.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig tid per 400 meter for 1500-meterløpet.

Steg 1 — Gjør tiden om til sekunder

\[3\text{ min }27{,}14\text{ s}=3\cdot 60+27{,}14=207{,}14\text{ s}\]

Steg 2 — Finn antall runder

\[\dfrac{1500}{400}=3{,}75\]

Steg 3 — Del total tid på antall runder

\[\dfrac{207{,}14}{3{,}75}\approx 55{,}24\]

Kontroll (Python)

tid = 3*60 + 27.14
runder = 1500/400
print(tid/runder)

Tolkning

Jakob løp i gjennomsnitt en 400-meter-runde på omtrent 55,2 sekunder.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke fart og tid til å finne avstand.

Steg 1 — Gjør tiden om til timer

Tiden er \(3:43{,}73\), altså

\[3\cdot 60+43{,}73=223{,}73\text{ s}\]

\[223{,}73\text{ s}=\dfrac{223{,}73}{3600}\text{ h}\]

Steg 2 — Bruk vei = fart \(\cdot\) tid

\[s=25{,}89\cdot \dfrac{223{,}73}{3600}\]

Dette gir avstanden i kilometer.

Steg 3 — Gjør om til meter

\[25{,}89\cdot \dfrac{223{,}73}{3600}\cdot 1000\approx 1609\]

Kontroll (GeoGebra CAS)

Tolkning

En engelsk mil er omtrent 1609 meter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal beskrive en rekursiv regel og begrunne hvorfor leddene etter første ledd blir oddetall.

Steg 1 — Se på overgangen mellom leddene

Fra \(2\) til \(5\):

\[2\cdot 2+1=5\]

Fra \(5\) til \(11\):

\[2\cdot 5+1=11\]

Steg 2 — Skriv mønsteret

Et mulig mønster er at neste ledd er dobbelt så stort som forrige ledd pluss 1:

\[a_{n+1}=2a_n+1\]

Steg 3 — Begrunn oddetall

Når vi ganger et helt tall med 2, får vi et partall. Når vi legger til 1, får vi et oddetall.

Steg 4 — Bruk dette på tallfølgen

Alle nye ledd etter første ledd lages ved \(2a_n+1\), og derfor blir alle disse leddene oddetall.

Kontroll (Python)

a = 2
for n in range(6):
    print(a)
    a = 2*a + 1

Tolkning

Mønsteret forklarer både tallfølgen og hvorfor det bare kommer oddetall etter første ledd.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke potensregresjon på tabellverdiene.

Steg 1 — Legg inn data

Vi legger inn punktene \((1000,100)\), \((500,81{,}4)\), \((200,60{,}1)\), \((80,41{,}5)\) og \((40,29)\).

Steg 2 — Bruk potensregresjon

En potensmodell har formen

\[K(x)=a\cdot x^b\]

Steg 3 — Les av modellen

Potensregresjon gir omtrent

\[K(x)=7{,}56\cdot x^{0{,}380}\]

Kontroll (GeoGebra)

import numpy as np
x = np.array([1000, 500, 200, 80, 40], dtype=float)
y = np.array([100, 81.4, 60.1, 41.5, 29], dtype=float)
b, loga = np.polyfit(np.log(x), np.log(y), 1)
a = np.exp(loga)
print(a, b)

Tolkning

Modellen viser at kokepunktet øker når lufttrykket øker, men ikke lineært.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage to eksponentielle modeller for lufttrykk som funksjon av høyde.

Steg 1 — Startverdi

Begge modellene starter ved havets overflate:

\[P(0)=1000\]

Steg 2 — Aris modell

Lufttrykket minker med 12 prosent per km. Vekstfaktoren er derfor \(0{,}88\):

\[A(x)=1000\cdot 0{,}88^x\]

Steg 3 — Lisas modell

Lufttrykket halveres for hver 5,5 km. Da kan modellen skrives

\[L(x)=1000\cdot 0{,}5^{\frac{x}{5{,}5}}\]

Kontroll (GeoGebra)

Tolkning

Begge modellene beskriver fallende lufttrykk når høyden øker.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne høyden der kokepunktet blir 85 °C. Over denne høyden blir vannet for kaldt til hardkokt egg etter kriteriet.

Steg 1 — Finn nødvendig lufttrykk

Vi bruker modellen fra a:

\[85=7{,}56\cdot x^{0{,}380}\]

Løsning gir omtrent

\[x\approx 578\]

Det betyr at lufttrykket må være omtrent 578 hPa eller høyere.

Steg 2 — Bruk Aris modell

\[1000\cdot 0{,}88^h=578\]

Dette gir

\[h\approx 4{,}3\]

Steg 3 — Bruk Lisas modell

\[1000\cdot 0{,}5^{\frac{h}{5{,}5}}=578\]

Dette gir også omtrent

\[h\approx 4{,}3\]

Kontroll (GeoGebra CAS)

import math
a = 7.562014238181065
b = 0.38041725019186995
trykk = (85/a)**(1/b)
h_ari = math.log(trykk/1000)/math.log(0.88)
h_lisa = 5.5*math.log(trykk/1000)/math.log(0.5)
print(trykk, h_ari, h_lisa)

Tolkning

Etter disse modellene er grensen omtrent 4,3 km over havet. Lavere enn dette kan vannet fortsatt koke ved minst 85 °C.

Hva spør oppgaven om? Vi skal fordele rabatten rettferdig mellom deg og vennen din ved hjelp av prosentregning.

Steg 1 — Finn ordinær totalsum

\[800+1550+1350=3700\]

Uten tilbud ville skoene kostet 3700 kroner.

Steg 2 — Finn rabatten

Butikken spanderer det rimeligste paret, altså paret til 800 kroner. Betalt sum blir

\[3700-800=2900\]

Steg 3 — Finn felles betalingsprosent

En rettferdig metode er at begge betaler samme prosentandel av sin ordinære pris:

\[\dfrac{2900}{3700}\approx 0{,}7838=78{,}38\,\%\]

Steg 4 — Fordel betalingen

Du skulle ordinært betalt \(800+1550=2350\) kroner:

\[2350\cdot 0{,}7838\approx 1842\]

Vennen din skulle ordinært betalt 1350 kroner:

\[1350\cdot 0{,}7838\approx 1058\]

Kontroll (Python)

total = 800 + 1550 + 1350
betalt = total - 800
andel = betalt / total
deg = (800 + 1550) * andel
venn = 1350 * andel
print(andel, deg, venn, deg + venn)

Tolkning

Begge får samme prosentvise rabatt. Du betaler mer fordi dine to par kostet mer til sammen.