Hva spør oppgaven om? Vi skal kontrollere to prosentpåstander. Nøkkelen er å se hvilken pris som brukes som sammenligningsgrunnlag.

Steg 1 — Finn prisforskjellen

\[50-20=30\]

Prisforskjellen er 30 kroner.

Steg 2 — Regn prosent dyrere fra butikk til bensinstasjon

\[\dfrac{30}{20}\cdot100\,\%=150\,\%\]

Her sammenligner vi med butikkprisen, fordi vi spør hvor mye dyrere bensinstasjonen er.

Steg 3 — Regn prosent billigere fra bensinstasjon til butikk

\[\dfrac{30}{50}\cdot100\,\%=60\,\%\]

Her sammenligner vi med bensinstasjonsprisen, fordi vi spør hvor mye billigere butikken er.

Tolkning

Begge har regnet riktig. Prosentene blir ulike fordi prosent alltid regnes av et grunnlag, og grunnlaget er forskjellig i de to beregningene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal multiplisere antall mennesker med forholdstallet mellom maur og mennesker og skrive svaret på standardform.

Steg 1 — Skriv tallene på standardform

\[8\text{ milliarder}=8\cdot10^9\]

Én milliard er \(10^9\).

Steg 2 — Skriv 2,5 millioner på standardform

\[2{,}5\text{ millioner}=2{,}5\cdot10^6\]

Én million er \(10^6\).

Steg 3 — Multipliser

\[(8\cdot10^9)\cdot(2{,}5\cdot10^6)=20\cdot10^15\]

Vi multipliserer tallene og legger sammen eksponentene.

Steg 4 — Skriv riktig standardform

\[20\cdot10^15=2{,}0\cdot10^16\]

Standardform skal ha et tall fra og med 1 til mindre enn 10 foran tierpotensen.

Tolkning

Det er omtrent \(20\) billiarder maur på jorden.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et eget eksempel der forholdet mellom to størrelser er konstant.

Steg 1 — Velg situasjon

Vi kan si at epler koster 30 kroner per kilogram.

Da er prisen bestemt av hvor mange kilogram vi kjøper.

Steg 2 — Sett opp modell

\[P=30x\]

Her er \(x\) antall kilogram og \(P\) prisen i kroner.

Steg 3 — Begrunn proporsjonalitet

\[\dfrac{P}{x}=30\]

Forholdet mellom pris og kilogram er konstant, derfor er størrelsene proporsjonale.

Tolkning

Dobler vi mengden epler, dobles prisen. Grafen er en rett linje gjennom origo.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et eksempel der produktet av to størrelser er konstant.

Steg 1 — Velg situasjon

En tur er 120 kilometer. Tiden avhenger av farten.

Jo større fart, desto kortere tid.

Steg 2 — Sett opp modell

\[t=\dfrac{120}{v}\]

Her er \(v\) fart i km/h og \(t\) tid i timer.

Steg 3 — Begrunn omvendt proporsjonalitet

\[t\cdot v=120\]

Produktet er konstant, derfor er \(t\) og \(v\) omvendt proporsjonale.

Tolkning

Hvis farten dobles, blir tiden halvert. Grafen faller og nærmer seg aksene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en modell for sammenhengen mellom alder og høyde. Tallene passer med en lineær modell.

Steg 1 — Finn økning per år

\[\dfrac{142-100}{10-4}=\dfrac{42}{6}=7\]

Høyden øker med 7 cm per år i tabellen.

Steg 2 — Bruk modellen \(h(x)=ax+b\)

\[h(x)=7x+b\]

Stigningstallet er \(7\), fordi høyden øker 7 cm per år.

Steg 3 — Finn konstantleddet

\[100=7\cdot4+b\]

Vi setter inn punktet \((4,100)\).

Steg 4 — Regn ut \(b\)

\[b=100-28=72\]

Da er modellen bestemt.

Tolkning

Modellen sier at Klara vokser 7 cm per år i perioden tabellen beskriver.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke modellen fra oppgave a og sette inn \(x=19\).

Steg 1 — Start med modellen

\[h(x)=7x+72\]

Dette er modellen for høyden.

Steg 2 — Sett inn alder 19

\[h(19)=7\cdot19+72\]

Vi bruker \(x=19\) fordi Klara fyller 19 år.

Steg 3 — Regn ut

\[h(19)=133+72=205\]

Modellen gir 205 cm.

Tolkning

Ifølge modellen blir Klara 205 cm, men dette virker høyt og bør vurderes kritisk.

Hva spør oppgaven om? Vi skal undersøke om modellen også passer utenfor alderene i tabellen.

Steg 1 — Test modellen ved fødsel

\[h(0)=7\cdot0+72=72\]

Modellen gir 72 cm når Klara er 0 år.

Steg 2 — Sammenlign med faktisk høyde

\[72-50=22\]

Modellen bommer med 22 cm ved fødsel.

Steg 3 — Vurder alder 19

\[h(19)=205\]

Dette er også lite rimelig for en vanlig høyde.

Steg 4 — Velg gyldighetsområde

Modellen passer best omtrent i perioden fra \(4\) til \(10\) år, fordi det er der vi har data.

Utenfor dette området blir modellen usikker.

Tolkning

Lineær vekst kan være en god lokal modell, men barn vokser ikke like mye hvert år hele livet.

Hva spør oppgaven om? Vi må finne når \(T(x)>0\) i intervallet \(2\le x\le10\), og gjøre dette om til omtrent antall døgn.

Steg 1 — Finn nullpunktene digitalt

\[T(x)=0\]

Nullpunktene viser når temperaturen går fra minus til pluss eller omvendt.

Steg 2 — Les relevante nullpunkter i perioden

\[x\approx5{,}77\quad\text{og}\quad x\approx8{,}91\]

Modellen er over \(0\) mellom disse to tidspunktene.

Steg 3 — Tolk tidspunktene

\(x=5\) er 1. mai og \(x=6\) er 1. juni. Derfor er \(x\approx5{,}77\) rundt 25. mai. Tilsvarende er \(x\approx8{,}91\) rundt 29. august.

Dette gir omtrent perioden 25. mai til 29. august.

Steg 4 — Finn antall døgn

Fra omtrent 25. mai til omtrent 29. august er det cirka \(96\) døgn.

Dette er et avrundet svar, siden modellen bruker måneder som \(x\)-verdier.

Tolkning

Ifølge modellen er gjennomsnittstemperaturen over frysepunktet i omtrent tre måneder.

Kontroll (GeoGebra CAS)

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
T = 0.048*x**4 - 1.4*x**3 + 13.36*x**2 - 45.8*x + 35.2
print(sp.nroots(T))

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig endring i temperatur fra \(x=3\) til \(x=7\).

Steg 1 — Finn funksjonsverdiene

\[T(3)\approx-15{,}872,\quad T(7)\approx4{,}288\]

Dette er modelltemperaturene 1. mars og 1. juli.

Steg 2 — Bruk formelen for stigningstall

\[a=\dfrac{T(7)-T(3)}{7-3}\]

Vi deler temperaturendringen på antall måneder.

Steg 3 — Regn ut

\[a=\dfrac{4{,}288-(-15{,}872)}{4}=5{,}04\]

Stigningstallet er omtrent 5,04.

Tolkning

Fra 1. mars til 1. juli øker gjennomsnittstemperaturen i modellen med omtrent \(5{,}04\) °C per måned i gjennomsnitt.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
T = 0.048*x**4 - 1.4*x**3 + 13.36*x**2 - 45.8*x + 35.2
stigning = (T.subs(x,7) - T.subs(x,3))/(7-3)
print(stigning)

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge grafen som viser avstand hjemmefra som funksjon av tid.

Steg 1 — Første del av turen

Når Aurora går fra huset til postkontoret med jevn fart, øker avstanden jevnt.

Grafen bør derfor først gå som en rett linje oppover.

Steg 2 — Kø på postkontoret

Mens hun står i kø, er avstanden fra huset konstant.

Grafen bør derfor ha en vannrett del.

Steg 3 — Hjem igjen

Når hun går hjem igjen med jevn fart, minker avstanden jevnt til \(0\).

Grafen bør derfor gå som en rett linje ned til \(x\)-aksen.

Steg 4 — Velg graf

Graf D har akkurat disse tre delene: opp, vannrett og ned.

Tolkning

Graf D beskriver hele turen: bort, pause og hjem.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne bredden når bare tre sider skal gjerdes inn.

Steg 1 — Sett opp sammenhengen

\[L+2B=80\]

Lengden langs elven trenger ikke gjerde, så tauet brukes til én lengde og to bredder.

Steg 2 — Sett inn lengden

\[60+2B=80\]

Lengden er gitt som 60 m.

Steg 3 — Finn bredden

\[2B=20\quad\Rightarrow\quad B=10\]

Bredden blir 10 m.

Steg 4 — Finn arealet

\[A=60\cdot10=600\]

Arealet er lengde ganger bredde.

Tolkning

Speiderne kan gjerde inn et område på 600 kvadratmeter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en tabell for ulike lengder og bredder som bruker 80 m tau.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

\[L+2B=80\]

Derfor kan vi finne bredden når vi velger lengden.

Steg 2 — Lag oversikt

Tabellen viser flere mulige rektangler.

Steg 3 — Sammenlign arealene

Det største arealet i oversikten er \(800\text{ m}^2\), når \(L=40\) og \(B=20\).

Da er lengden dobbelt så lang som bredden.

Tolkning

Oversikten støtter Hermans påstand.

Regnearkoppsett

Med lengde i celle A2 kan bredden regnes med =(80-A2)/2 og arealet med =A2*B2.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en funksjon for arealet og finne toppunktet på grafen.

Steg 1 — Finn bredden uttrykt ved lengden

\[L+2B=80\quad\Rightarrow\quad B=\dfrac{80-L}{2}\]

Vi lar lengden være variabelen.

Steg 2 — Sett opp arealfunksjonen

\[A(L)=L\cdot\dfrac{80-L}{2}\]

Areal er lengde ganger bredde.

Steg 3 — Forenkle

\[A(L)=40L-\dfrac{1}{2}L^2\]

Dette er en andregradsfunksjon med negativt \(L^2\)-ledd.

Steg 4 — Finn toppunktet

\[L=40\quad\Rightarrow\quad B=\dfrac{80-40}{2}=20\]

Grafen har størst areal når lengden er 40 m.

Tolkning

Da er \(L=2B\), siden \(40=2\cdot20\). Herman har rett.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

import sympy as sp
L = sp.symbols('L')
A = L*(80-L)/2
print(sp.solve(sp.diff(A, L), L))
print(A.subs(L, 40))

Hva spør oppgaven om? Vekt leses av på \(x\)-aksen. Sekken lengst til høyre er tyngst.

Steg 1 — Se på vannrett plassering

Punktet lengst til høyre har størst vekt.

Steg 2 — Sammenlign punktene

Punkt D ligger lengst til høyre i koordinatsystemet.

Tolkning

Sekk D inneholder flest kilogram poteter.

Hva spør oppgaven om? Pris leses av på \(y\)-aksen. Sekker som ligger like høyt, har samme pris.

Steg 1 — Se etter samme høyde

Punkter på samme vannrette nivå har lik pris.

Steg 2 — Les av figuren

Punktene B og C ligger på samme høyde.

Tolkning

Sekk B og sekk C koster like mye.

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge sekken som gir mest poteter for pengene.

Steg 1 — Bruk pris og vekt

B og C koster like mye ifølge figuren.

Da lønner det seg å velge den som veier mest.

Steg 2 — Sammenlign vekten

C ligger lenger til høyre enn B.

Det betyr at C veier mer.

Tolkning

Sekk C gir mer poteter for samme pris.

Hva spør oppgaven om? Lik pris per kilogram betyr likt forhold mellom pris og vekt.

Steg 1 — Bruk forholdet pris per kg

\[\text{pris per kg}=\dfrac{\text{pris}}{\text{vekt}}\]

I et koordinatsystem betyr dette samme stigning fra origo.

Steg 2 — Se etter samme stråle fra origo

Punktene A og F ligger omtrent på samme rette linje fra origo.

Da har de samme forhold mellom pris og vekt.

Tolkning

Sekk A og sekk F har samme kilopris, selv om sekken F både veier mer og koster mer.

Hva spør oppgaven om? Vi skal se hvordan antallet øker fra én K til den neste.

Steg 1 — Les av de første figurene

\[K_1=10,\quad K_2=16,\quad K_3=22\]

Antallet øker likt hver gang.

Steg 2 — Finn økningen

\[16-10=6,\quad 22-16=6\]

Hver ny K får 6 flere Non Stop.

Steg 3 — Finn K4 og K5

\[K_4=22+6=28\]

\[K_5=28+6=34\]

Tolkning

Mønsteret er en aritmetisk følge der antall Non Stop øker med 6 for hver ny figur.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et program som skriver ut antallet i hver figur og summen så langt.

Steg 1 — Bruk formelen for figur \(n\)

\[K_n=10+6(n-1)=6n+4\]

Første figur har 10 Non Stop, og hver ny figur øker med 6.

Steg 2 — Oppdater totalen

Totalen økes med antallet i den nye figuren for hver runde.

Steg 3 — Program

nonstop_total = 0

print("Figurnummer", "Non Stop i figur", "Non Stop totalt", sep="\t")

for figurnummer in range(1, 21):
    nonstop_figur = 6*figurnummer + 4
    nonstop_total = nonstop_total + nonstop_figur
    print(figurnummer, nonstop_figur, nonstop_total, sep="\t")

Programmet bruker løkke fra 1 til 20.

Tolkning

Programmet gir en oversikt over både hver enkelt K og samlet forbruk.

Hva spør oppgaven om? Vi skal summere antallet i K1 til K20.

Steg 1 — Bruk formelen

\[K_n=6n+4\]

Dette gir antallet i figur nummer \(n\).

Steg 2 — Summer de 20 første

\[\sum_{n=1}^{20}(6n+4)=6\sum_{n=1}^{20}n+4\cdot20\]

Vi deler summen i en \(n\)-del og en konstant del.

Steg 3 — Regn ut

\[6\cdot210+80=1260+80=1340\]

Summen av tallene fra 1 til 20 er 210.

Tolkning

Kari trenger 1340 Non Stop for å lage alle de 20 første K-ene.

Kontroll (Python)

total = sum(6*n + 4 for n in range(1, 21))
print(total)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange figurer Kari kan lage før totalen passerer 2000.

Steg 1 — Bruk sumformelen

\[S_n=\sum_{k=1}^n(6k+4)=3n(n+1)+4n\]

Dette summerer antallet fra K1 til Kn.

Steg 2 — Forenkle

\[S_n=3n^2+7n\]

Vi skal ha \(S_n\le2000\).

Steg 3 — Test rundt grensen

\[S_{24}=3\cdot24^2+7\cdot24=1896\]

\[S_{25}=3\cdot25^2+7\cdot25=2050\]

24 går, men 25 blir for mye.

Tolkning

Kari kan lage K1 til K24 og får 104 Non Stop til overs.

Kontroll (Python)

total = 0
n = 0
while total + (6*(n+1) + 4) <= 2000:
    n += 1
    total += 6*n + 4
print(n, total)

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke eksponentiell regresjon med \(x=0\) for 2015, \(x=1\) for 2016, og så videre.

Steg 1 — Sett opp datapunktene

\[(0,18899),(1,21664),\ldots,(6,67997)\]

Salget er målt i tusen liter.

Steg 2 — Bruk eksponentiell regresjon

Regresjonen gir omtrent \(a=17396\) og \(b=1{,}248\).

Verdiene kan variere litt med avrunding.

Steg 3 — Skriv modellen

\[E(x)=17396\cdot1{,}248^x\]

Dette er en modell for salg \(x\) år etter 2015.

Tolkning

Modellen beskriver en sterk prosentvis vekst i salget av energidrikk i perioden.

Kontroll (GeoGebra / Python)

import numpy as np
x = np.array([0,1,2,3,4,5,6], dtype=float)
y = np.array([18899,21664,25381,31385,41142,55497,67997], dtype=float)
m, c = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
a = np.exp(c)
b = np.exp(m)
print(round(a), round(b, 3))

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke konstantene i en eksponentiell modell.

Steg 1 — Tolk \(a\)

I modellen \(E(x)=a\cdot b^x\) er \(a=E(0)\).

Det betyr modellens salgsverdi i 2015.

Steg 2 — Tolk \(b\)

\[b\approx1{,}248\]

Dette er vekstfaktoren per år.

Steg 3 — Gjør vekstfaktoren om til prosent

\[(1{,}248-1)\cdot100\,\%=24{,}8\,\%\]

Modellen tilsvarer omtrent 24,8 % årlig vekst.

Tolkning

\(a\) er startnivået i modellen, og \(b\) sier hvor raskt salget vokser fra år til år.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne faktisk prosentvis økning fra 2021 til 2022 og sammenligne med modellen.

Steg 1 — Finn økningen i tusen liter

\[73109-67997=5112\]

Salget økte med 5112 tusen liter.

Steg 2 — Regn prosentvis økning

\[\dfrac{5112}{67997}\cdot100\,\%\approx7{,}52\,\%\]

Vi bruker 2021 som grunnlag.

Steg 3 — Sammenlign med modellen

Modellen har vekstfaktor \(1{,}248\), altså omtrent \(24{,}8\,\%\) vekst per år.

Den faktiske veksten fra 2021 til 2022 er mye lavere.

Steg 4 — Eventuell modellverdi for 2022

\[E(7)\approx82074\]

Modellen ville ha gitt omtrent 82 074 tusen liter, som er høyere enn faktisk 73 109 tusen liter.

Tolkning

Veksten fortsatte i 2022, men ikke like raskt som modellen fra 2015–2021 antyder.

Kontroll (Python)

vekst = (73109 - 67997)/67997*100
modell_2022 = 17396.36520323203*(1.2481008665996909**7)
print(round(vekst, 2))
print(round(modell_2022))