Fullstendig, trinnvis løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser praktisk matematikk med funksjoner, regneark-/graf-tenkning, GeoGebra CAS og Python-kontroll der det er nyttig.
Del 1 — uten hjelpemidler
Del 1 · Oppgave 1aProsentpoeng
Oppgave 1a
Oppgave:
Renten på et lån steg fra \(2{,}0\,\%\) til \(2{,}2\,\%\).
a) Hvor mange prosentpoeng steg renten med?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne endringen i prosentpoeng. Da trekker vi den gamle prosentsatsen fra den nye.
Steg 1 — Finn ny og gammel rente
Den gamle renten er \(2{,}0\,\%\), og den nye renten er \(2{,}2\,\%\).
Steg 2 — Regn differansen
\[2{,}2-2{,}0=0{,}2\]
Prosentpoeng handler om direkte differanse mellom to prosentsatser.
Steg 3 — Skriv med riktig enhet
Endringen er \(0{,}2\) prosentpoeng.
Tolkning
Renten har økt med \(0{,}2\) prosentpoeng, ikke \(0{,}2\,\%\) av lånet.
Vanlig feil: Å blande prosentpoeng og prosentvis økning.
Fasit: \(0{,}2\) prosentpoeng.
Del 1 · Oppgave 1bProsent
Oppgave 1b
Oppgave:
Renten på et lån steg fra \(2{,}0\,\%\) til \(2{,}2\,\%\).
b) Hvor mange prosent steg renten med?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Nå skal vi finne hvor stor økningen er i prosent av den gamle renten.
Steg 1 — Finn økningen
\[2{,}2-2{,}0=0{,}2\]
Renten økte med \(0{,}2\) prosentpoeng.
Steg 2 — Sammenlikn med gammel rente
\[\dfrac{0{,}2}{2{,}0}=0{,}10\]
Vi deler på startverdien fordi prosentvis økning alltid måles fra utgangspunktet.
Steg 3 — Gjør om til prosent
\[0{,}10\cdot100\,\%=10\,\%\]
Tolkning
Selv om renten bare steg \(0{,}2\) prosentpoeng, er dette en økning på \(10\,\%\) av den gamle renten.
Vanlig feil: Å svare \(0{,}2\,\%\). Det er prosentpoeng, ikke prosentvis økning.
Fasit: Renten steg med \(10\,\%\).
Del 1 · Oppgave 2Diagram og prosent
Oppgave 2
Oppgave:
Diagrammet viser antall elever ved en videregående skole de fire siste årene.
Når var det størst prosentvis økning i antall elever fra et år til det neste?
Stolpene viser omtrent 700, 800, 900 og 1000 elever.Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi må sammenlikne prosentvis økning fra år til år, ikke bare økning i antall elever.
Steg 1 — Les av omtrentlige verdier
Fra diagrammet leser vi omtrent \(700\), \(800\), \(900\) og \(1000\) elever.
Den største prosentvise økningen er fra 2018 til 2019.
Tolkning
Alle økningene er omtrent 100 elever, men den første økningen er størst i prosent fordi utgangspunktet er lavest.
Vanlig feil: Å bare se på antall elever og ikke regne prosent.
Fasit: Det var størst prosentvis økning fra 2018 til 2019.
Del 1 · Oppgave 3aProporsjonalitet
Oppgave 3a
Oppgave:
a) Gi et eksempel på to størrelser som er proporsjonale.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal gi et eksempel der den ene størrelsen alltid er et fast tall ganger den andre.
Steg 1 — Velg en praktisk situasjon
Anta at epler koster 20 kroner per kilogram.
Steg 2 — Skriv sammenhengen
\[P=20x\]
Her er \(x\) antall kilogram, og \(P\) er prisen i kroner.
Steg 3 — Forklar hvorfor det er proporsjonalt
Hvis mengden dobles, dobles prisen. Forholdet \(\dfrac{P}{x}=20\) er konstant.
Tolkning
Pris og mengde er proporsjonale når kiloprisen er fast.
Vanlig feil: Å velge en situasjon med fast startpris. Da er sammenhengen vanligvis ikke proporsjonal.
Fasit: Ett mulig eksempel er pris og antall kilogram når kiloprisen er fast, for eksempel \(P=20x\).
Del 1 · Oppgave 3bGrafisk framstilling
Oppgave 3b
Oppgave:
b) Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom de to størrelsene.
En proporsjonal sammenheng tegnes som en rett linje gjennom origo.Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal vise den proporsjonale sammenhengen fra del a grafisk.
Steg 1 — Bruk modellen
\[P=20x\]
Grafen viser pris \(P\) som funksjon av antall kilogram \(x\).
Steg 2 — Finn noen punkter
\[x=0 \Rightarrow P=0\]
\[x=1 \Rightarrow P=20\]
\[x=2 \Rightarrow P=40\]
Steg 3 — Tegn linjen
Punktene ligger på en rett linje gjennom origo. Det er kjennetegnet på en proporsjonal sammenheng.
Tolkning
Hver ekstra kilogram øker prisen med 20 kroner.
Vanlig feil: En proporsjonal graf må gå gjennom origo.
Fasit: Grafen er en rett linje gjennom origo, for eksempel grafen til \(P=20x\).
Del 1 · Oppgave 4aFunksjoner
Oppgave 4a
Oppgave:
Siri har et stykke papp og vil lage en eske. Hun har satt opp en modell som viser volumet \(V(x)\,\text{cm}^3\) av esken dersom hun lager den \(x\) cm høy \[V(x)=4x^3-100x^2+600x,\quad 0<x<10\] a) Hvor stort volum får esken dersom Siri lager den 5 cm høy?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne volumet når høyden er \(5\) cm. Det betyr at vi setter \(x=5\) inn i modellen.
Steg 1 — Sett inn \(x=5\)
\[V(5)=4\cdot5^3-100\cdot5^2+600\cdot5\]
Vi bruker modellen direkte fordi \(x\) er høyden.
Steg 2 — Regn potensene
\[V(5)=4\cdot125-100\cdot25+3000\]
Steg 3 — Regn ferdig
\[V(5)=500-2500+3000=1000\]
Tolkning
Hvis Siri lager esken 5 cm høy, blir volumet \(1000\,\text{cm}^3\).
Vanlig feil: Å glemme at \(5^3=125\), ikke 15.
Fasit: Volumet blir \(1000\,\text{cm}^3\).
Del 1 · Oppgave 4bLikning og modell
Oppgave 4b
Oppgave:
Siri har et stykke papp og vil lage en eske. Hun har satt opp modellen \[V(x)=4x^3-100x^2+600x,\quad 0<x<10\] b) Hva finner Siri ut dersom hun løser likningen \(V(x)=500\)?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Likningen \(V(x)=500\) betyr at Siri undersøker hvilke høyder som gir volum \(500\,\text{cm}^3\).
Likningen har også en løsning rundt \(16{,}23\), men den er ikke aktuell fordi modellen bare gjelder for \(0<x<10\).
Tolkning
Siri finner to mulige høyder som gir volum \(500\,\text{cm}^3\).
Vanlig feil: Å ta med løsninger som ligger utenfor gyldighetsområdet.
Kontroll (Python)
💻 Python
from sympy import symbols, nroots
x = symbols('x')
print(nroots(4*x**3 - 100*x**2 + 600*x - 500))
Fasit: Siri finner at esken får volum \(500\,\text{cm}^3\) når høyden er omtrent \(0{,}99\) cm eller \(7{,}77\) cm.
Del 1 · Oppgave 5Programmering og vekst
Oppgave 5
Oppgave:
En elev har skrevet programkoden ovenfor.
startverdi = 2000
verdi = startverdi
vekstfaktor = 1.05
år = 0
while verdi < startverdi * 2:
verdi = verdi * vekstfaktor
år = år + 1
print(verdi)
print(år)
Hva ønsker eleven å finne ut? Forklar hva som skjer når programmet kjøres.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke programmet, ikke bare regne et tall.
Steg 1 — Tolke startverdiene
Startverdien er \(2000\), vekstfaktoren er \(1{,}05\), og \(år\) starter på \(0\).
Steg 2 — Tolke løkken
Løkken kjører så lenge verdien er mindre enn det dobbelte av startverdien:
\[2000\cdot2=4000\]
Hver gang løkken kjører, økes verdien med \(5\,\%\).
Steg 3 — Tolke utskriften
Programmet skriver ut den første verdien som er minst \(4000\), og hvor mange år det tar.
Steg 4 — Kontrollere resultatet
Programmet stopper etter \(15\) år, med verdi omtrent \(4157{,}86\).
Tolkning
Eleven ønsker å finne ut hvor mange år det tar før en verdi på 2000 dobles når den øker med \(5\,\%\) per år.
Vanlig feil: Å tro at programmet stopper akkurat på 4000. Det stopper først når verdien har passert eller blitt lik 4000.
Fasit: Programmet finner at det tar \(15\) år før verdien har doblet seg, og da er verdien omtrent \(4157{,}86\).
Del 1 · Oppgave 6Areal
Oppgave 6
Oppgave:
Et rektangel er tre ganger så langt som det er bredt. Arealet av rektangelet er \(432\,\text{cm}^2\).
Hvor bredt er rektangelet?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne bredden når lengden er tre ganger så stor og arealet er kjent.
Steg 1 — Sett bredden lik \(x\)
Da er lengden \(3x\).
Steg 2 — Bruk arealformelen
\[x\cdot3x=432\]
Arealet av et rektangel er bredde ganger lengde.
Steg 3 — Løs likningen
\[3x^2=432\]
\[x^2=144\]
\[x=12\]
Vi bruker positiv løsning fordi bredde ikke kan være negativ.
Tolkning
Rektangelet er \(12\) cm bredt og \(36\) cm langt.
Vanlig feil: Å sette lengden lik \(x+3\) i stedet for \(3x\).
Fasit: Bredden er \(12\) cm.
Del 2 · Oppgave 1aFunksjoner og tolkning
Oppgave 1a
Oppgave:
En fabrikk har en vanntank. Vannet i tanken skal tappes ut. Anta at funksjonen \(V\) gitt ved \[V(x)=2000-2000\cdot\left(1-\dfrac{x}{40}\right)^2,\quad 0\le x\le40\] kan brukes som en modell for hvor mange liter vann \(V(x)\) som er tappet ut av tanken \(x\) minutter etter at tappingen startet.
a) Bestem \(V(0)\). Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mye vann som er tappet ut ved starten.
For en tur på \(194\) km bør Markus leie bil hos firma B.
Vanlig feil: Å glemme at han skal kjøre både fram og tilbake.
Kontroll (Python)
💻 Python
from sympy import Rational
x = 194
A = 4*x + 600
B = 2*x + 900
C = Rational(10, 3)*x + 700
print(A, B, float(C))
Fasit: Han bør velge firma B. Prisen blir omtrent \(1288\) kroner.
Del 2 · Oppgave 3Prosent og tilbud
Oppgave 3
Oppgave:
En flaske dusjsåpe koster det samme i fire butikker. De fire butikkene bestemmer seg for å sette ned prisen. Dette gjør de på hver sin måte:
Butikk A: Ta 3 flasker, og betal for 2 av dem. Butikk B: 30 % rabatt. Butikk C: Betal full pris for én flaske, og få 75 % rabatt på den neste. Butikk D: Betal full pris for 3 flasker, og få i tillegg 2 gratis.
Gjør beregninger, og sett opp en oversikt hvor du sorterer tilbudene etter hvor gode de er.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne tilbudene rettferdig. Det kan vi gjøre ved å finne gjennomsnittlig pris per flaske.
Steg 1 — Sett normalprisen lik \(p\)
Da kan alle tilbudene sammenliknes uten å vite den faktiske prisen.
Steg 2 — Regn gjennomsnittspris
Butikk A: \[\dfrac{2p}{3}\approx0{,}667p\]
Butikk B: \[0{,}70p\]
Butikk C: \[\dfrac{p+0{,}25p}{2}=0{,}625p\]
Butikk D: \[\dfrac{3p}{5}=0{,}60p\]
Steg 3 — Sorter fra lavest pris
Plass
Butikk
Gjennomsnittspris per flaske
Rabatt
1
D
\(0{,}60p\)
\(40\,\%\)
2
C
\(0{,}625p\)
\(37{,}5\,\%\)
3
A
\(0{,}667p\)
\(33{,}3\,\%\)
4
B
\(0{,}70p\)
\(30\,\%\)
Tolkning
Butikk D har best tilbud fordi du betaler lavest gjennomsnittspris per flaske.
Vanlig feil: Å sammenlikne tilbudene uten å regne om til samme enhet, for eksempel pris per flaske.
Fasit: Best til dårligst: Butikk D, Butikk C, Butikk A, Butikk B.
Del 2 · Oppgave 4aMåling og enheter
Oppgave 4a
Oppgave:
Ved en temperatur på \(22\,^\circ\text{C}\) veier \(1\) L olje \(0{,}9124\) kg.
a) Hvor mange gram veier \(10\) mL av oljen ved denne temperaturen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre om liter til milliliter og kilogram til gram.
Steg 1 — Gjør om til gram per liter
\[0{,}9124\,\text{kg}=912{,}4\,\text{g}\]
Altså veier \(1000\) mL olje \(912{,}4\) g.
Steg 2 — Finn massen av 10 mL
\[912{,}4\cdot\dfrac{10}{1000}=9{,}124\]
Tolkning
\(10\) mL olje veier litt over \(9\) gram.
Vanlig feil: Å glemme at \(1\) L er \(1000\) mL.
Fasit: \(10\) mL olje veier \(9{,}124\) g.
Del 2 · Oppgave 4bMåling og enheter
Oppgave 4b
Oppgave:
Oljen i et beger veier \(556{,}6\) g ved en temperatur på \(22\,^\circ\text{C}\).
b) Hvor mange desiliter olje er det i begeret?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne volumet når massen og massen per liter er kjent.
Det er omtrent \(6{,}1\) desiliter olje i begeret.
Vanlig feil: Å runde for tidlig eller blande liter og desiliter.
Fasit: Det er omtrent \(6{,}1\) dL olje i begeret.
Del 2 · Oppgave 5Eksponentiell vekst
Oppgave 5
Oppgave:
En bakterie formerer seg ved todeling hvert 20. minutt.
Det vil si at om det i starten er én bakterie, vil det etter 20 minutter være 2 bakterier, etter 40 minutter fire bakterier osv.
Hvor mange bakterier vil det være etter 12 timer?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne antall doblinger i løpet av 12 timer.
Steg 1 — Gjør om timer til minutter
\[12\cdot60=720\]
Det går \(720\) minutter.
Steg 2 — Finn antall doblinger
\[\dfrac{720}{20}=36\]
Bakteriene dobles \(36\) ganger.
Steg 3 — Regn antall bakterier
\[2^{36}=68\,719\,476\,736\]
Tolkning
Modellen gir svært rask vekst fordi antallet dobles mange ganger.
Vanlig feil: Å regne \(12\cdot2\) i stedet for \(2^{36}\).
Kontroll (Python)
💻 Python
print(2**36)
Fasit: Det vil være \(68\,719\,476\,736\) bakterier etter 12 timer.
Del 2 · Oppgave 6aMønster
Oppgave 6a
Oppgave:
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser. Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a) Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne antall klosser i figur 5 ut fra mønsteret.
Steg 1 — Se mønsteret
Figur 1 har \(1^2\) kloss, figur 2 har \(1^2+2^2\), og figur 3 har \(1^2+2^2+3^2\).
Steg 2 — Bruk samme mønster for figur 5
\[1^2+2^2+3^2+4^2+5^2\]
Steg 3 — Regn summen
\[1+4+9+16+25=55\]
Tolkning
Figur 5 består av fem kvadratiske lag med klosser.
Vanlig feil: Å tro at antallet øker lineært. Her øker lagene som kvadrattall.
Fasit: Han trenger \(55\) klosser til figur 5.
Del 2 · Oppgave 6bSummer
Oppgave 6b
Oppgave:
b) Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal summere antall klosser i figur 1 til figur 10.
Steg 1 — Finn antall i hver figur
Figurene har \(1\), \(5\), \(14\), \(30\), \(55\), \(91\), \(140\), \(204\), \(285\) og \(385\) klosser.
Steg 2 — Summer tallene
\[1+5+14+30+55+91+140+204+285+385=1210\]
Steg 3 — Kontroller med regneark
Et mulig regnearkoppsett er å legge figurnummer i kolonne A og bruke =SUMMERKVADRAT(1:A2) til hvert figurtall, eller summere kvadrattallene trinnvis.
Tolkning
Roar trenger \(1210\) klosser for å lage alle de 10 første figurene én gang.
Vanlig feil: Å svare bare antallet i figur 10, ikke summen av figur 1 til 10.
Fasit: Han trenger \(1210\) klosser til sammen.
Del 2 · Oppgave 6cMønster og summer
Oppgave 6c
Oppgave:
Roar har \(10\,000\) klosser. Han vil starte med den minste figuren og lage én figur i hver størrelse.
c) Hvor mange figurer kan han lage? Hvor mange klosser vil han ha igjen når han har laget figurene?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor langt han kommer når han lager figurene i rekkefølge.
Steg 1 — Summer figurene fortløpende
Vi summerer antall klosser i figur 1, figur 2, figur 3 osv. til summen passerer \(10\,000\).
Steg 2 — Finn største mulige antall figurer
Summen av figur 1 til figur 17 er
\[8721\]
Hvis han også lager figur 18, trenger han \(2109\) klosser til, og da blir summen større enn \(10\,000\).
Steg 3 — Finn hvor mange klosser som er igjen
\[10\,000-8721=1279\]
Tolkning
Roar kan lage figur 1 til figur 17. Han har ikke nok klosser til figur 18.
Vanlig feil: Å sjekke bare antall klosser i én figur, ikke totalforbruket for alle figurene.
Kontroll (Python)
💻 Python
brukte = 0
for n in range(1, 100):
figur = sum(k**2 for k in range(1, n+1))
if brukte + figur > 10000:
print(n-1, brukte, 10000-brukte)
break
brukte += figur
Fasit: Han kan lage \(17\) figurer og får \(1279\) klosser igjen.
Del 2 · Oppgave 7aRegresjon
Oppgave 7a
Oppgave:
Da Eline og Malene kom til hytta, var temperaturen i stua \(2{,}0\,^\circ\text{C}\). De skrudde på varmen og stilte termostaten på \(20\,^\circ\text{C}\). Tabell 1 viser temperaturen i stua \(x\) minutter etter at de skrudde på varmen.
De starter med å bruke tallene i tabell 1 til å lage en modell \(T_1\) på formen \(T_1(x)=a\cdot x^b\).
a) Bestem tallene \(a\) og \(b\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke potensregresjon på målepunktene i tabell 1.
Steg 1 — Legg inn data
Vi bruker punktene \((1,2{,}0)\), \((5,3{,}7)\), \((10,5{,}3)\), \((20,8{,}0)\), \((30,10{,}2)\), \((50,13{,}4)\), \((80,16{,}4)\) og \((120,18{,}4)\).
Steg 2 — Utfør potensregresjon
Regresjon på formen \(T_1(x)=a\cdot x^b\) gir omtrent
\[a\approx1{,}853,\quad b\approx0{,}489\]
Steg 3 — Skriv modellen
\[T_1(x)\approx1{,}853\cdot x^{0{,}489}\]
Tolkning
Modellen beskriver at temperaturen øker raskt i starten og saktere etter hvert.
Vanlig feil: Å bruke lineær regresjon når oppgaven ber om modellen \(a\cdot x^b\).
import numpy as np
x = np.array([1,5,10,20,30,50,80,120], dtype=float)
y = np.array([2.0,3.7,5.3,8.0,10.2,13.4,16.4,18.4], dtype=float)
b, ln_a = np.polyfit(np.log(x), np.log(y), 1)
a = np.exp(ln_a)
print(a, b)
Fasit: \(a\approx1{,}853\) og \(b\approx0{,}489\).
Del 2 · Oppgave 7bModell og gyldighet
Oppgave 7b
Oppgave:
b) Vurder gyldighetsområdet til modellen \(T_1\).
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere når modellen gir mening i situasjonen.
Steg 1 — Se på måleområdet
Dataene er målt fra \(x=1\) til \(x=120\) minutter.
Steg 2 — Vurder praktisk grense
Termostaten er satt på \(20\,^\circ\text{C}\). En god temperaturmodell bør derfor ikke fortsette å øke langt over 20 grader.
Steg 3 — Konkluder
Modellen kan brukes omtrent i måleområdet, for eksempel \(1\le x\le120\). Den bør ikke brukes langt fram i tid.
Tolkning
\(T_1\) passer rimelig til de observerte dataene, men er dårlig som langtidsmodell.
Vanlig feil: Å bruke regresjonsmodellen ukritisk langt utenfor måledataene.
Fasit: Et rimelig gyldighetsområde er omtrent \(1\le x\le120\) minutter. Modellen bør ikke brukes langt utenfor dette.
Del 2 · Oppgave 7cEksponentialregresjon
Oppgave 7c
Oppgave:
Eline setter opp tabell 2 med korrigert temperatur ved å trekke \(20\,^\circ\text{C}\) fra hver måling.
c) Lag en eksponentialfunksjon \(f\) som passer godt til tallene i tabell 2.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentialmodell for de korrigerte temperaturene, som er negative og nærmer seg 0.
Steg 1 — Bruk korrigerte data
Dataene er \(-18{,}0\), \(-16{,}3\), \(-14{,}7\), \(-12{,}0\), \(-9{,}8\), \(-6{,}6\), \(-3{,}6\) og \(-1{,}6\).
Steg 2 — Utfør eksponentialregresjon
En modell på formen \(f(x)=a\cdot b^x\) gir omtrent
\[a\approx-18{,}09,\quad b\approx0{,}9800\]
Steg 3 — Skriv funksjonen
\[f(x)\approx-18{,}09\cdot0{,}9800^x\]
Tolkning
Den korrigerte temperaturen er negativ, men nærmer seg \(0\). Det passer med at romtemperaturen nærmer seg \(20\,^\circ\text{C}\).
Vanlig feil: Å prøve å ta logaritmen av negative tall uten å tenke på fortegnet. Her kan vi modellere absoluttverdiene og sette negativt fortegn foran.
Kontroll (Python)
💻 Python
import numpy as np
x = np.array([1,5,10,20,30,50,80,120], dtype=float)
y = np.array([-18.0,-16.3,-14.7,-12.0,-9.8,-6.6,-3.6,-1.6], dtype=float)
k, ln_A = np.polyfit(x, np.log(-y), 1)
A = np.exp(ln_A)
b = np.exp(k)
print(-A, b)
Fasit: En mulig modell er \(f(x)\approx-18{,}09\cdot0{,}9800^x\).
Del 2 · Oppgave 7dGrafer og modellkritikk
Oppgave 7d
Oppgave:
d) Tegn grafen til \(T_1\) og grafen til \(f\) i samme koordinatsystem. Beskriv forskjeller mellom de to grafene.
Prinsippskisse: Den løftede eksponentialmodellen nærmer seg 20 °C ovenfra eller nedenfra som en realistisk grense.Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne en potensmodell for temperaturen med en eksponentialmodell for korrigert temperatur.
Steg 1 — Bruk modellene
\[T_1(x)\approx1{,}853x^{0{,}489}\]
\[f(x)\approx-18{,}09\cdot0{,}9800^x\]
Steg 2 — Tegn grafene digitalt
I GeoGebra kan vi skrive inn funksjonene og vise dem i samme koordinatsystem.
Steg 3 — Beskriv forskjellene
Grafen til \(T_1\) ligger i temperaturverdier over \(0\) og øker videre. Grafen til \(f\) ligger under \(0\) og nærmer seg \(0\) nedenfra.
Tolkning
Funksjonen \(f\) alene viser avviket fra \(20\,^\circ\text{C}\), ikke selve romtemperaturen.
Vanlig feil: Å sammenlikne \(T_1\) og \(f\) som om begge viser samme temperatur direkte.
Kontroll (GeoGebra)
GeoGebra · CAS
1
T1(x):=1.853*x^0.489
→ \(T_1(x)=1{,}853x^{0{,}489}\)
2
f(x):=-18.09*0.9800^x
→ \(f(x)=-18{,}09\cdot0{,}9800^x\)
Fasit: \(T_1\) øker videre som temperaturmodell, mens \(f\) er negativ og nærmer seg \(0\).
Del 2 · Oppgave 7eEksponentialmodell
Oppgave 7e
Oppgave:
Malene mener de kan bruke funksjonen \(f\) til å lage en bedre modell enn \(T_1\) for temperaturen i stua. «Vi løfter grafen til \(f\) opp \(20\,^\circ\text{C}\), slik at den starter omtrent i punktet \((0,2)\)», sier hun. «Da vil den passe perfekt.»
e) Bruk funksjonen \(f\), og lag en modell \(T_2\) ved å gjøre som Malene foreslår. Hva vil temperaturen i stua være etter 4 timer ifølge modellen \(T_2\)?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal løfte den korrigerte modellen \(20\) grader opp og deretter regne temperaturen etter \(4\) timer.
Fasit: \(T_2(x)\approx20-18{,}09\cdot0{,}9800^x\), og \(T_2(240)\approx19{,}9\,^\circ\text{C}\).
Del 2 · Oppgave 8aMønster
Oppgave 8a
Oppgave:
Figuren viser et lysgardin med små lyspærer. Lyspærene henger på tråder. Den første tråden i en lenke har tre lyspærer, den neste har seks og den tredje har ni. Dette mønsteret gjentas videre. Avstanden mellom hver tråd er \(10\) cm. Figuren viser altså et gardin med lengde \(80\) cm.
Et annet lysgardin av samme type er én meter langt.
a) Hvor mange tråder har dette lysgardinet?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne antall tråder når avstanden mellom trådene er \(10\) cm.
Steg 1 — Gjør om lengden
Én meter er \(100\) cm.
Steg 2 — Finn antall mellomrom
\[\dfrac{100}{10}=10\]
Det er 10 mellomrom mellom trådene.
Steg 3 — Finn antall tråder
Antall tråder er én mer enn antall mellomrom:
\[10+1=11\]
Tolkning
Et lysgardin på én meter har 11 tråder.
Vanlig feil: Å svare 10 fordi det er 10 mellomrom. Det er 11 tråder.
Fasit: Lysgardinet har \(11\) tråder.
Del 2 · Oppgave 8bMønster
Oppgave 8b
Oppgave:
b) Hvor mange lyspærer er det på den siste tråden?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvilken plass den siste tråden har i mønsteret \(3,6,9\).
Steg 1 — Bruk antall tråder
Fra del a har gardinet \(11\) tråder.
Steg 2 — Se på mønsteret
Mønsteret er \(3,6,9,3,6,9,\ldots\). Hver tredje tråd har \(9\) lyspærer.
Steg 3 — Finn plass i mønsteret
\(11=3\cdot3+2\), så tråd 11 er nummer 2 i mønsteret. Den har \(6\) lyspærer.
Tolkning
Den siste tråden på et gardin på én meter har \(6\) lyspærer.
Vanlig feil: Å starte tellingen på 0 i stedet for på første tråd.
Fasit: Den siste tråden har \(6\) lyspærer.
Del 2 · Oppgave 8cMønster og tabell
Oppgave 8c
Oppgave:
Tabellen viser antall lyspærer på lysgardiner med ulike lengder.
c) Hvor mange lyspærer er det på et \(15\) meter langt lysgardin?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne totalt antall lyspærer for et gardin på \(15\) meter.
Steg 1 — Finn antall tråder
\[15\,\text{m}=1500\,\text{cm}\]
\[\dfrac{1500}{10}+1=151\]
Gardinet har \(151\) tråder.
Steg 2 — Bruk mønsteret
Tre tråder har til sammen
\[3+6+9=18\]
lyspærer.
Steg 3 — Del inn i hele mønstre
\[151=50\cdot3+1\]
Det er 50 hele mønstre og én ekstra tråd med 3 lyspærer.
Steg 4 — Regn totalen
\[50\cdot18+3=903\]
Tolkning
Et lysgardin på 15 meter har \(903\) lyspærer.
Vanlig feil: Å bruke 150 tråder i stedet for 151.
Fasit: Det er \(903\) lyspærer på et \(15\) meter langt lysgardin.
Del 2 · Oppgave 8dMønster og rest
Oppgave 8d
Oppgave:
d) Hvilke lengder, i hele meter, kan et lysgardin ha om det skal være ni lyspærer på den siste tråden?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvilke hele meterlengder som gjør at siste tråd kommer på tredje plass i mønsteret \(3,6,9\).
Steg 1 — Lag uttrykk for antall tråder
For \(m\) meter er lengden \(100m\) cm. Antall tråder blir
\[\dfrac{100m}{10}+1=10m+1\]
Steg 2 — Krav for 9 lyspærer
Siste tråd må være nummer 3 i mønsteret, altså må antall tråder være delelig med \(3\):
\[10m+1\equiv0\pmod 3\]
Steg 3 — Løs mønsteret
Siden \(10m+1\) har samme rest som \(m+1\) ved divisjon med \(3\), må
\[m+1\equiv0\pmod 3\]
Altså må \(m\) være \(2,5,8,11,\ldots\).
Tolkning
Alle hele meterlengder som er 2 mer enn et multiplum av 3, gir 9 lyspærer på siste tråd.
Vanlig feil: Å bare se på tabellen og stoppe ved 5 meter, selv om mønsteret fortsetter.
Fasit: Lysgardinet kan være \(2\) m, \(5\) m, \(8\) m, \(11\) m, \(14\) m, \(\ldots\). Generelt \(m=2+3k\) meter, der \(k=0,1,2,\ldots\).
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
