Hva spør oppgaven om? Vi skal finne pris per liter. Derfor gjør vi først om 220 mL til liter og deler prisen på volumet.

Steg 1 — Gjør om til liter

\[220\text{ mL}=0{,}220\text{ L}\]

Vi må bruke liter fordi svaret skal være kroner per liter.

Steg 2 — Del pris på antall liter

\[\dfrac{22}{0{,}220}=100\]

Dette gir prisen for én liter.

Steg 3 — Kontroll

\[0{,}220\cdot100=22\]

Kontrollen gir tilbake prisen for koppen.

Tolkning

Cappuccinoen koster 100 kroner dersom vi regner prisen om til én liter.

Hva spør oppgaven om? Verdien blir redusert med samme prosent hvert år. Da bruker vi vekstfaktor.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

\[1-0{,}12=0{,}88\]

En nedgang på 12 % betyr at 88 % er igjen hvert år.

Steg 2 — Bruk seks år

\[25000\cdot0{,}88^6\approx11610\]

Vi opphøyer i 6 fordi verdien avtar seks ganger.

Steg 3 — Rund av

\[11610{,}102\approx11610\]

Kroner rundes naturlig til hele kroner.

Tolkning

Scooteren er verdt omtrent 11 610 kroner etter seks år.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne konstanten \(\mu\). Vi setter inn kjente tall i formelen og løser for \(\mu\).

Steg 1 — Sett inn tall

\[80=\dfrac{20^2}{2\cdot\mu\cdot10}\]

Vi bruker \(s=80\), \(v=20\) og \(g=10\).

Steg 2 — Forenkle

\[80=\dfrac{400}{20\mu}\]

Nevneren blir \(2\cdot10\cdot\mu=20\mu\).

Steg 3 — Løs likningen

\[80\cdot20\mu=400\]

Vi ganger med \(20\mu\) for å fjerne brøken.

Steg 4 — Finn \(\mu\)

\[1600\mu=400\quad\Rightarrow\quad \mu=\dfrac{400}{1600}=0{,}25\]

Del på 1600 på begge sider.

Tolkning

Konstanten i denne situasjonen er 0,25.

Hva spør oppgaven om? Vi skal se etter den største økningen fra ett punkt til neste punkt i diagrammene.

Steg 1 — Les endringer i Strand og Skaun

Strand har små tall og største økning er omtrent fra 1 til 4. Skaun øker mest med omtrent 20.

Vi sammenlikner økning, ikke høyeste verdi.

Steg 2 — Les endringer i Midtre Gauldal

Midtre Gauldal øker fra omtrent 320 til 400 fra 2015 til 2016.

Det er en økning på omtrent 80.

Steg 3 — Sammenlikn med Stjørdal

Stjørdal har mindre største økning enn omtrent 80.

Dermed er Midtre Gauldal størst.

Tolkning

Kommunen med den største enkeltøkningen fra ett år til det neste er Midtre Gauldal.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor de to prismodellene er like. Firma A er konstant, mens firma B øker lineært.

Steg 1 — Les firma A

\[A(x)=1200\]

Den blå grafen er horisontal på 1200 kroner.

Steg 2 — Les firma B

Grafen til firma B går omtrent gjennom \((0,500)\) og \((200,1000)\). Derfor er stigningstallet

\[\dfrac{1000-500}{200}=2{,}5\]

Steg 3 — Sett prisene like

\[500+2{,}5x=1200\]

Vi finner kilometerverdien der de to prisene er like.

Steg 4 — Løs

\[2{,}5x=700\quad\Rightarrow\quad x=280\]

Ester må kjøre 280 km.

Tolkning

Ved 280 km koster firma A og firma B like mye, omtrent 1200 kroner.

Hva spør oppgaven om? Når prisen per person er omvendt proporsjonal med antall personer, er totalprisen den samme.

Steg 1 — Finn totalprisen

\[5\cdot700=3500\]

Fem personer betaler til sammen 3500 kroner.

Steg 2 — Fordel på 14 personer

\[\dfrac{3500}{14}=250\]

Totalprisen deles likt på 14 personer.

Steg 3 — Kontroll

\[14\cdot250=3500\]

Kontrollen gir samme totalpris.

Tolkning

Jo flere som blir med, desto mindre betaler hver person.

Hva spør oppgaven om? «Minst én gang hver uke» betyr hver dag eller hver uke. Vi legger sammen disse to delene av stolpen.

Steg 1 — Les av «hver dag»

\[35\%\]

Den blå delen for skolearbeid/lekser er 35 %.

Steg 2 — Les av «hver uke»

\[44\%\]

Den oransje delen er 44 %.

Steg 3 — Legg sammen

\[35\%+44\%=79\%\]

Begge gruppene bruker nettet minst ukentlig.

Tolkning

79 % svarer at de bruker nettet til skolearbeid/lekser minst én gang hver uke.

Hva spør oppgaven om? Tid er avstand delt på fart. Vi deler tall skrevet på standardform.

Steg 1 — Sett opp tid

\[\text{tid}=\dfrac{1{,}4\cdot10^9}{1{,}0\cdot10^6}\]

Avstanden deles på antall kilometer per døgn.

Steg 2 — Del tallene og potensene

\[\dfrac{1{,}4}{1{,}0}\cdot10^{9-6}=1{,}4\cdot10^3\]

Når vi deler potenser med samme grunntall, trekker vi eksponentene fra hverandre.

Steg 3 — Skriv som vanlig tall

\[1{,}4\cdot10^3=1400\]

Dette er antall døgn.

Tolkning

Med denne farten ville reisen ta omtrent 1400 døgn.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et linjediagram med to dataserier, én for gjennomsnittlig vindstyrke og én for kraftigste vindkast.

Steg 1 — Sett inn data i regneark

Legg tidsperiodene i rad 1, gjennomsnittlig vindstyrke i rad 2 og kraftigste vindkast i rad 3.

Dette gir én x-rad og to y-rader.

Steg 2 — Velg linjediagram

Marker tabellen og velg linjediagram med to linjer.

Da blir utviklingen time for time tydelig.

Steg 3 — Les diagrammet

Vindkast-linjen ligger over gjennomsnittslinjen hele tiden.

Tolkning

Diagrammet viser at vindkastene var kraftigere enn gjennomsnittsvinden i alle tidsperiodene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne størst prosentvis forskjell. Vi sammenlikner vindkast med gjennomsnittlig vindstyrke i hver tidsperiode.

Steg 1 — Bruk prosentformelen

\[\text{prosentvis forskjell}=\dfrac{\text{vindkast}-\text{gjennomsnitt}}{\text{gjennomsnitt}}\cdot100\]

Gjennomsnittlig vindstyrke brukes som sammenlikningsgrunnlag.

Steg 2 — Eksempel for perioden 10-11

\[\dfrac{18{,}5-9{,}7}{9{,}7}\cdot100\approx90{,}7\%\]

Denne perioden gir svært stor prosentvis forskjell.

Steg 3 — Kontroll i regneark/Python

I regneark kan vi bruke =(B3-B2)/B2 og kopiere bortover.

g = [16.9,18.2,17.0,18.7,18.4,16.6,17.6,13.9,9.7,14.0,13.8,11.0,9.8]
k = [25.6,24.7,24.6,26.3,24.3,27.0,23.8,23.0,18.5,19.7,19.1,17.1,15.6]
perioder = ['02-03','03-04','04-05','05-06','06-07','07-08','08-09','09-10','10-11','11-12','12-13','13-14','14-15']
prosenter = [(kk-gg)/gg*100 for gg, kk in zip(g, k)]
print(perioder[prosenter.index(max(prosenter))], max(prosenter))

Tolkning

Størst prosentvis forskjell var i perioden 10-11.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne døgnsnittet 11,7 m/s med verdiene i tabellen.

Steg 1 — Regn gjennomsnittet av tabellens gjennomsnittsverdier

\[\dfrac{16{,}9+18{,}2+\cdots+9{,}8}{13}\approx15{,}0\]

Dette er snittet for timene 02-15 i tabellen.

Steg 2 — Sammenlikn med døgnsnittet

\[15{,}0-11{,}7=3{,}3\]

Timene i tabellen hadde i gjennomsnitt høyere vindstyrke enn hele døgnet.

Steg 3 — Kontroller digitalt

g = [16.9,18.2,17.0,18.7,18.4,16.6,17.6,13.9,9.7,14.0,13.8,11.0,9.8]
print(sum(g)/len(g))
print(sum(g)/len(g) - 11.7)

Tolkning

Perioden 02-15 var mer vindfull enn døgnet som helhet. Det betyr at vindstyrken må ha vært lavere i andre deler av døgnet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en eksponentiell modell ved regresjon.

Steg 1 — Legg inn punktene

Vi bruker punktene \((4,90{,}6)\), \((8,86{,}5)\), ..., \((90,39{,}2)\).

Dette er datagrunnlaget for modellen.

Steg 2 — Bruk eksponentialregresjon

Steg 3 — Skriv modellen

\[T(x)\approx92{,}53\cdot0{,}99021^x\]

Her er \(a\approx92{,}53\) og \(b\approx0{,}99021\).

Steg 4 — Kontroll med Python

import numpy as np
x = np.array([4,8,16,20,40,60,75,90], dtype=float)
y = np.array([90.6,86.5,78.9,75.4,61.0,50.3,44.1,39.2], dtype=float)
lnb, lna = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
print(np.exp(lna), np.exp(lnb))

Tolkning

Modellen beskriver en temperatur som synker med en fast prosentfaktor per minutt.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere hvor modellen er rimelig å bruke.

Steg 1 — Se på dataintervallet

Dataene går fra \(x=4\) til \(x=90\) minutter.

Modellen er mest trygg i området der vi har målinger.

Steg 2 — Vurder praktisk situasjon

Romtemperaturen er 20 °C, så geléen bør ikke fortsette å bli kaldere enn rommet.

En ren eksponentialmodell av denne typen vil etter hvert gå mot 0, og det er ikke fysisk rimelig her.

Steg 3 — Svar med begrunnelse

Et naturlig gyldighetsområde er omtrent \(4\le x\le90\), eventuelt litt utover så lenge modellen gir temperatur over 20 °C.

Tolkning

Modellen egner seg til å beskrive avkjølingen i måleperioden, men ikke langt fram i tid.

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge den grafen som passer best til hvordan et rykte sprer seg i en begrenset befolkning.

Steg 1 — Startfasen

I starten har få personer hørt ryktet, så veksten kan være ganske langsom.

Det passer med starten av graf 2.

Steg 2 — Midtfasen

Når flere har hørt ryktet, kan de fortelle det videre til mange andre.

Da øker grafen raskere.

Steg 3 — Sluttfasen

På en øy finnes det et begrenset antall personer.

Når nesten alle har hørt ryktet, må veksten flate ut.

Tolkning

Graf 2 passer best fordi den starter rolig, øker raskt og flater ut mot et maksimalt antall personer.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvorfor graf 1 og graf 3 passer dårligere.

Steg 1 — Hvorfor ikke graf 1?

Graf 1 viser jevn, lineær vekst.

Et rykte sprer seg vanligvis ikke med nøyaktig like mange nye personer hver dag.

Steg 2 — Hvorfor ikke graf 3?

Graf 3 øker stadig raskere uten å flate ut.

Det kan ikke fortsette på en øy med begrenset antall personer.

Steg 3 — Samlet vurdering

En realistisk modell må ha en øvre grense.

Derfor er graf 2 bedre enn graf 1 og 3.

Tolkning

Graf 1 er for enkel, og graf 3 mangler en naturlig stopp.

Hva spør oppgaven om? Figur nummer \(n\) er et \(n\cdot n\)-rutenett. Vi må summere antall fyrstikker for figurene fra \(n=1\) og oppover.

Steg 1 — Finn formel for figur \(n\)

\[M_n=2n(n+1)\]

Et \(n\cdot n\)-rutenett har \(n+1\) loddrette linjer med \(n\) fyrstikker og \(n+1\) vannrette linjer med \(n\) fyrstikker.

Steg 2 — Summer figurene

\[M_1+M_2+\cdots+M_N\le10000\]

Vi skal lage én figur i hver størrelse.

Steg 3 — Kontroller med Python

total = 0
N = 0
for n in range(1, 1000):
    m = 2*n*(n+1)
    if total + m > 10000:
        break
    total += m
    N = n
print(N, total, 10000-total)

Steg 4 — Resultat

De første 23 figurene bruker 9200 fyrstikker. Figur 24 alene ville kreve \(2\cdot24\cdot25=1200\) fyrstikker, og det er for mye.

Tolkning

Du kan lage figurene fra figur 1 til figur 23.

Hva spør oppgaven om? Vi skal trekke antall brukte fyrstikker fra 10 000.

Steg 1 — Brukt antall fra oppgave a

\[M_1+M_2+\cdots+M_{23}=9200\]

Dette er summen for de 23 figurene.

Steg 2 — Finn resten

\[10000-9200=800\]

Vi trekker brukt antall fra det vi startet med.

Steg 3 — Kontroll

Figur 24 krever \(1200\) fyrstikker, og \(800<1200\).

Derfor kan vi ikke lage enda en hel figur.

Tolkning

Etter figur 23 har du 800 fyrstikker igjen, men det er ikke nok til figur 24.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skille mellom en temperatur og en temperaturendring.

Steg 1 — Regn om selve temperaturen 5 °C

\[F=\dfrac{9}{5}\cdot5+32=41\]

Dette viser at 5 °C er 41 °F som temperatur.

Steg 2 — Regn temperaturendringen

En endring har ikke +32-leddet med, fordi startpunktet flyttes i begge skalaer.

\[\Delta F=\dfrac{9}{5}\cdot\Delta C\]

Steg 3 — Sett inn \(\Delta C=5\)

\[\Delta F=\dfrac{9}{5}\cdot5=9\]

En endring på 5 °C tilsvarer derfor 9 °F.

Tolkning

Påstanden blander sammen temperaturen 5 °C og en temperaturendring på 5 °C.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare ulikheten for negative tall.

Steg 1 — Se på fortegn

Når \(x<0\), er \(x^2\) positivt eller null, mens \(x^3\) er negativt.

Et negativt tall opphøyd i partall blir positivt, og opphøyd i oddetall blir negativt.

Steg 2 — Bruk eksempel

\[x=-2\quad\Rightarrow\quad x^2=4\quad\text{og}\quad x^3=-8\]

Da er \(4>-8\).

Steg 3 — Generell begrunnelse

For alle \(x<0\) er \(x^2>0\) og \(x^3<0\).

Derfor må \(x^2>x^3\).

Tolkning

Ulikheten skyldes først og fremst fortegnene, ikke størrelsen på tallene.

Hva spør oppgaven om? Dette er en utforskingsoppgave. Vi må gjøre rimelige antakelser om areal per person og gjennomsnittsvekt.

Steg 1 — Anta størrelse på heisen

Vi antar bredde \(1{,}1\) m og lengde \(2{,}5\) m.

\[A=1{,}1\cdot2{,}5=2{,}75\text{ m}^2\]

Steg 2 — Vurder plass

Hvis én person trenger omtrent \(0{,}25\text{ m}^2\) i en trang heis, får vi

\[\dfrac{2{,}75}{0{,}25}=11\]

Det gir omtrent 11 personer med svært trang plass.

Steg 3 — Vurder vektgrensen

Hvis 21 personer skal være innenfor 1600 kg, kan gjennomsnittsvekten være

\[\dfrac{1600}{21}\approx76{,}2\text{ kg}\]

Det er mulig vektmessig hvis gjennomsnittet er lavt nok.

Steg 4 — Samlet vurdering

Vektgrensen kan tillate rundt 21 personer, men arealet gjør det svært trangt.

Et mer realistisk antall kan være omtrent 10-15 personer, avhengig av hvor tett de står.

Tolkning

Skiltet handler trolig om en standard vektberegning. Johnny har et poeng: 21 personer virker lite realistisk komfortmessig.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke formlene, sammenlikne poeng og vurdere to påstander.

Steg 1 — Regn poeng for bestenoteringene

Eksempel for gutter 18 år:

\[1000+(2265-2100)\cdot0{,}85=1140{,}25\]

Poengsummen rundes ned til 1140.

Steg 2 — Kontroller alle bestenoteringene

import math
boys_a = {15:2400, 16:2350, 17:2300, 18:2265}
girls_a = {15:2650, 16:2615, 17:2590, 18:2570}
boys_t = {15:2223, 16:2159, 17:2131, 18:2100}
girls_t = {15:2458, 16:2379, 17:2353, 18:2383}
for age in range(15, 19):
    print('gutt', age, math.floor(1000 + (boys_a[age]-boys_t[age])*0.85))
for age in range(15, 19):
    print('jente', age, math.floor(1000 + (girls_a[age]-girls_t[age])*0.78))

Dette gir omtrent: gutter 1150, 1162, 1143, 1140 og jenter 1149, 1184, 1184, 1145.

Steg 3 — Sammenlikn

I disse tallene får jentene i 16- og 17-årsklassen høyest poengsum, selv om tidene i sekunder er høyere enn guttenes.

Det skyldes at formlene bruker ulike normerte tider og ulike faktorer.

Steg 4 — Vurder Petra

Petra har ikke alltid rett. Hvis \(t>a\), blir \(a-t\) negativt, og poengsummen kan bli under 1000.

Steg 5 — Vurder Karsten

Karsten har heller ikke alltid rett. For gutter kan poeng bli 0 når \(1000+(a-t)\cdot0{,}85=0\). Det gir \(t=a+1176{,}47\) hundredels sekunder.

For svært langsomme tider kan poengsummen bli 0 eller negativ før eventuell praktisk avgrensing.

Tolkning

Poengsystemet gjør det mulig å sammenlikne prestasjoner på tvers av kjønn og alder, men resultatet avhenger sterkt av normtiden \(a\) og faktoren i formelen.