Hva spør oppgaven om? Vi skal øke 200 biler med 15 %.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

\[ 1+0{,}15=1{,}15 \]

En økning på 15 % betyr at vi beholder 100 % og legger til 15 %.

Steg 2 — Regn ut antallet

\[ 200\cdot 1{,}15=230 \]

Vi ganger antallet i 2015 med vekstfaktoren.

Steg 3 — Kontroller mot diagrammet

230 passer med høyden på stolpen for 2016.

Tolkning

Forretningen solgte 230 biler i 2016.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne prosentvis nedgang fra 240 til 204.

Steg 1 — Finn nedgangen

\[ 240-204=36 \]

Vi finner hvor mange færre biler som ble solgt.

Steg 2 — Del på startverdien

\[ \dfrac{36}{240}=0{,}15 \]

Prosentvis endring må sammenliknes med verdien i 2017.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[ 0{,}15=15\,\% \]

Vi ganger med 100 for å få prosent.

Tolkning

Bilsalget gikk ned med 15 % fra 2017 til 2018.

Hva spør oppgaven om? Vi kjenner verdien etter en nedgang og skal finne verdien før nedgangen.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren for nedgang

\[ 1-0{,}20=0{,}80 \]

Etter 20 % nedgang står 80 % igjen.

Steg 2 — Sett opp likning

\[ 0{,}80\cdot x=200 \]

La \(x\) være antall biler i 2014.

Steg 3 — Løs likningen

\[ x=\dfrac{200}{0{,}80}=250 \]

Vi deler på 0,80 for å gå bakover.

Tolkning

Forretningen solgte 250 biler i 2014.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne indeksen som gir reallønnen når nominell lønn er 550 000 kroner.

Steg 1 — Bruk sammenhengen

\[ \text{reallønn}=\dfrac{\text{nominell lønn}}{\text{KPI}}\cdot 100 \]

KPI viser prisnivået relativt til basisåret.

Steg 2 — Sett inn tall

\[ 500000=\dfrac{550000}{\text{KPI}}\cdot 100 \]

Vi bruker de to lønnsverdiene som er gitt.

Steg 3 — Løs for KPI

\[ \text{KPI}=\dfrac{550000\cdot 100}{500000}=110 \]

Vi isolerer indeksen.

Tolkning

Konsumprisindeksen var 110 dette året.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne volumet av et rett trekantet prisme.

Steg 1 — Finn arealet av trekantgrunnflaten

\[ A=\dfrac{16{,}0\cdot 6{,}0}{2}=48 \]

Trekanten har grunnlinje 16 cm og høyde 6 cm.

Steg 2 — Bruk prismelengden

\[ V=A\cdot 12{,}0 \]

Volum av prisme er grunnflate ganger lengde.

Steg 3 — Regn ut

\[ V=48\cdot 12=576 \]

Enheten blir kubikkcentimeter.

Tolkning

Klossen har volum 576 cm³.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne samlet areal av alle flatene på prismet.

Steg 1 — Finn trekantsidene

\[ AE=BE=8,\quad AF=BF=\sqrt{8^2+6^2}=10 \]

E er midtpunkt, og Pytagoras gir de skrå sidene.

Steg 2 — Finn areal av to trekantflater

\[ 2\cdot 48=96 \]

Prismet har to like trekantflater.

Steg 3 — Finn areal av tre sideflater

\[ 12\cdot(16+10+10)=432 \]

Sideflatene har bredder lik trekantens omkrets og lengde 12 cm.

Steg 4 — Legg sammen

\[ 96+432=528 \]

Dette er hele overflatearealet.

Tolkning

Klossens overflateareal er 528 cm².

Hva spør oppgaven om? Vi skal dele 10,5 L i forholdet 2 til 5.

Steg 1 — Finn totalt antall deler

\[ 2+5=7 \]

Hele blandingen består av 7 like deler.

Steg 2 — Finn én del

\[ 10{,}5:7=1{,}5 \]

Én del er 1,5 L.

Steg 3 — Finn mengdene

\[ 2\cdot 1{,}5=3{,}0,\quad 5\cdot 1{,}5=7{,}5 \]

Vi ganger én del med antall deler.

Tolkning

Du trenger 3,0 L rengjøringsmiddel og 7,5 L vann.

Hva spør oppgaven om? Vi skal plassere punktene fra tabellen og trekke linjen gjennom dem.

Steg 1 — Lag punktene

\[ (-50,-58),\;(-30,-22),\;(0,32),\;(10,50) \]

Celsius er \(x\)-verdi, fahrenheit er \(y\)-verdi.

Steg 2 — Marker punktene

Alle punktene legges inn i koordinatsystemet.

Steg 3 — Tegn linjen

Punktene ligger på en rett linje, så vi trekker en rett linje gjennom dem.

Tolkning

Sammenhengen er lineær.

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om sammenhengen er proporsjonal.

Steg 1 — Sjekk nullpunktet

\[ 0^\circ\text{C}=32^\circ\text{F} \]

I en proporsjonal sammenheng må \(x=0\) gi \(y=0\).

Steg 2 — Vurder grafen

Linjen går ikke gjennom origo.

Steg 3 — Konkluder

Sammenhengen er lineær, men ikke proporsjonal.

Tolkning

Fahrenheit og celsius er ikke proporsjonale størrelser.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne temperaturen der celsiusverdien og fahrenheitverdien er like.

Steg 1 — Bruk formelen

\[ F=1{,}8C+32 \]

Dette er sammenhengen mellom skalaene.

Steg 2 — Sett \(F=C\)

\[ C=1{,}8C+32 \]

Gradestokkene skal vise samme tall.

Steg 3 — Løs likningen

\[ -0{,}8C=32\Rightarrow C=-40 \]

Vi flytter \(1{,}8C\) over på venstre side.

Tolkning

Begge gradestokkene viser samme verdi ved \(-40^\circ\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne formelen for den rette linjen.

Steg 1 — Finn stigningstallet

\[ a=\dfrac{50-32}{10-0}=\dfrac{18}{10}=1{,}8 \]

Vi bruker to punkter fra tabellen.

Steg 2 — Finn konstantleddet

\[ F(0)=32 \]

Når \(C=0\), er \(F=32\).

Steg 3 — Skriv formelen

\[ F=1{,}8C+32 \]

Dette gir fahrenheit som funksjon av celsius.

Tolkning

Formelen lar oss gjøre om fra celsius til fahrenheit.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette \(C=100\) inn i formelen.

Steg 1 — Start med formelen

\[ F=1{,}8C+32 \]

Dette fant vi i forrige del.

Steg 2 — Sett inn \(C=100\)

\[ F=1{,}8\cdot 100+32 \]

Vi bytter ut \(C\) med 100.

Steg 3 — Regn ut

\[ F=180+32=212 \]

Dette viser omregningen.

Tolkning

\(100^\circ\text{C}\) svarer til \(212^\circ\text{F}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for at begge hendelser skjer.

Steg 1 — Skriv sannsynlighetene

\[ P(M)=0{,}80,\quad P(F)=0{,}90 \]

Vi gjør prosent om til desimaltall.

Steg 2 — Multipliser

\[ 0{,}80\cdot 0{,}90=0{,}72 \]

Vi antar at dagene kan behandles uavhengig.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[ 0{,}72=72\,\% \]

Dette er sannsynligheten for begge dager.

Tolkning

Det er 72 % sannsynlighet for at toget er i rute både mandag og fredag.

Hva spør oppgaven om? Vi skal ha enten mandag i rute og fredag ikke i rute, eller motsatt.

Steg 1 — Finn komplementene

\[ P(\text{ikke mandag})=0{,}20,\quad P(\text{ikke fredag})=0{,}10 \]

Vi trenger sannsynlighetene for ikke i rute.

Steg 2 — Regn to tilfeller

\[ 0{,}80\cdot 0{,}10+0{,}20\cdot 0{,}90 \]

Nøyaktig én betyr ett ja og ett nei.

Steg 3 — Legg sammen

\[ 0{,}08+0{,}18=0{,}26=26\,\% \]

De to tilfellene kan ikke skje samtidig.

Tolkning

Sannsynligheten for nøyaktig én dag i rute er 26 %.

Hva spør oppgaven om? Vi skal dele totalprisen på 8 personer.

Steg 1 — Skriv totalpris

\[ 18000\text{ kr} \]

Dette er beløpet som skal deles likt.

Steg 2 — Del på antall personer

\[ \dfrac{18000}{8}=2250 \]

Alle betaler like mye.

Steg 3 — Skriv med enhet

Beløpet er kroner per person.

Tolkning

Hver person må betale 2250 kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et uttrykk for pris per person.

Steg 1 — Start med totalprisen

\[ 18000 \]

Totalutgiften er fast.

Steg 2 — Del på antall personer

\[ U(x)=\dfrac{18000}{x} \]

Når flere blir med, deles beløpet på flere.

Steg 3 — Angi hva \(x\) betyr

\(x\) er antall personer og må være positivt.

Tolkning

Funksjonen viser kroner per person når \(x\) personer blir med.

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge grafen som passer med \(U(x)=18000/x\).

Steg 1 — Se på funksjonstypen

\[ U(x)=\dfrac{18000}{x} \]

Dette er en omvendt proporsjonal sammenheng.

Steg 2 — Tolk økende antall personer

Når \(x\) øker, blir beløpet per person lavere.

Steg 3 — Velg graf

Riktig graf er den som synker og flater ut mot \(x\)-aksen.

Tolkning

Grafen til \(U\) er en synkende kurve, ikke en rett stigende linje.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne begge funksjonene for ett døgn.

Steg 1 — Skriv inn funksjonene

\[ L(x)=-0{,}0025x^3+0{,}089x^2-0{,}67x+6{,}12 \]

Dette er Lindesnes-modellen.

Steg 2 — Skriv inn Nordkapp-modellen

\[ N(x)=-0{,}00016x^3+0{,}01x^2-0{,}31x+1{,}15 \]

Dette er Nordkapp-modellen.

Steg 3 — Avgrens intervallet

\[ 0\le x\le 24 \]

Modellen gjelder for ett døgn.

from sympy import symbols, nroots, diff, N

x = symbols('x')
L = -0.0025*x**3 + 0.089*x**2 - 0.67*x + 6.12
Nfun = -0.00016*x**3 + 0.01*x**2 - 0.31*x + 1.15
F = L - Nfun

print("L(12) =", round(float(L.subs(x, 12)), 3))
print("N(12) =", round(float(Nfun.subs(x, 12)), 3))
print("Temperaturforskjell kl. 12 =", round(float(F.subs(x, 12)), 3))
print("L(x)=8, løsninger:")
for r in nroots(L - 8):
    if abs(float(r.as_real_imag()[1])) < 1e-8:
        print(round(float(r.as_real_imag()[0]), 3))
print("Kritiske punkter for F i intervallet:")
for r in nroots(diff(F, x)):
    if abs(float(r.as_real_imag()[1])) < 1e-8 and 0 <= float(r.as_real_imag()[0]) <= 24:
        xr = float(r.as_real_imag()[0])
        print(round(xr, 3), round(float(F.subs(x, xr)), 3))

L(12) = 6.576
N(12) = -1.406
Temperaturforskjell kl. 12 = 7.982
L(x)=8, løsninger:
-2.153
16.223
21.53
Kritiske punkter for F i intervallet:
2.573 4.527
19.935 10.65

Tolkning

Grafene viser temperaturutviklingen ved de to stedene gjennom døgnet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når \(L(x)>8\).

Steg 1 — Løs likningen

\[ L(x)=8 \]

Skjæringspunktene med 8-graderslinjen avgrenser tidsrommet.

Steg 2 — Bruk relevante løsninger

\[ x\approx 16{,}22\quad\text{og}\quad x\approx 21{,}53 \]

Den negative løsningen ligger utenfor døgnet.

Steg 3 — Tolk klokkeslett

\[ 16{:}13\text{ til }21{:}32 \]

Vi gjør desimaltimer om til klokkeslett.

from sympy import symbols, nroots, diff, N

x = symbols('x')
L = -0.0025*x**3 + 0.089*x**2 - 0.67*x + 6.12
Nfun = -0.00016*x**3 + 0.01*x**2 - 0.31*x + 1.15
F = L - Nfun

print("L(12) =", round(float(L.subs(x, 12)), 3))
print("N(12) =", round(float(Nfun.subs(x, 12)), 3))
print("Temperaturforskjell kl. 12 =", round(float(F.subs(x, 12)), 3))
print("L(x)=8, løsninger:")
for r in nroots(L - 8):
    if abs(float(r.as_real_imag()[1])) < 1e-8:
        print(round(float(r.as_real_imag()[0]), 3))
print("Kritiske punkter for F i intervallet:")
for r in nroots(diff(F, x)):
    if abs(float(r.as_real_imag()[1])) < 1e-8 and 0 <= float(r.as_real_imag()[0]) <= 24:
        xr = float(r.as_real_imag()[0])
        print(round(xr, 3), round(float(F.subs(x, xr)), 3))

L(12) = 6.576
N(12) = -1.406
Temperaturforskjell kl. 12 = 7.982
L(x)=8, løsninger:
-2.153
16.223
21.53
Kritiske punkter for F i intervallet:
2.573 4.527
19.935 10.65

Tolkning

Ved Lindesnes var temperaturen høyere enn 8 °C omtrent fra kl. 16.13 til kl. 21.32.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne temperaturene når \(x=12\).

Steg 1 — Finn Lindesnes-temperaturen

\[ L(12)\approx 6{,}576 \]

Kl. 12 er 12 timer etter midnatt.

Steg 2 — Finn Nordkapp-temperaturen

\[ N(12)\approx -1{,}406 \]

Vi setter samme \(x\)-verdi inn i \(N\).

Steg 3 — Finn forskjellen

\[ 6{,}576-(-1{,}406)\approx 7{,}982 \]

Forskjellen er omtrent 8 grader.

from sympy import symbols, nroots, diff, N

x = symbols('x')
L = -0.0025*x**3 + 0.089*x**2 - 0.67*x + 6.12
Nfun = -0.00016*x**3 + 0.01*x**2 - 0.31*x + 1.15
F = L - Nfun

print("L(12) =", round(float(L.subs(x, 12)), 3))
print("N(12) =", round(float(Nfun.subs(x, 12)), 3))
print("Temperaturforskjell kl. 12 =", round(float(F.subs(x, 12)), 3))
print("L(x)=8, løsninger:")
for r in nroots(L - 8):
    if abs(float(r.as_real_imag()[1])) < 1e-8:
        print(round(float(r.as_real_imag()[0]), 3))
print("Kritiske punkter for F i intervallet:")
for r in nroots(diff(F, x)):
    if abs(float(r.as_real_imag()[1])) < 1e-8 and 0 <= float(r.as_real_imag()[0]) <= 24:
        xr = float(r.as_real_imag()[0])
        print(round(xr, 3), round(float(F.subs(x, xr)), 3))

L(12) = 6.576
N(12) = -1.406
Temperaturforskjell kl. 12 = 7.982
L(x)=8, løsninger:
-2.153
16.223
21.53
Kritiske punkter for F i intervallet:
2.573 4.527
19.935 10.65

Tolkning

Temperaturen ved Lindesnes var omtrent 8,0 °C høyere enn ved Nordkapp kl. 12.00.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne grafen for temperaturforskjellen.

Steg 1 — Definer forskjellen

\[ F(x)=L(x)-N(x) \]

Positiv verdi betyr at Lindesnes er varmere enn Nordkapp.

Steg 2 — Tegn i samme intervall

\[ 0\le x\le 24 \]

Forskjellen gjelder det samme døgnet.

Steg 3 — Les grafen

Grafen viser hvordan temperaturforskjellen varierer gjennom døgnet.

from sympy import symbols, nroots, diff, N

x = symbols('x')
L = -0.0025*x**3 + 0.089*x**2 - 0.67*x + 6.12
Nfun = -0.00016*x**3 + 0.01*x**2 - 0.31*x + 1.15
F = L - Nfun

print("L(12) =", round(float(L.subs(x, 12)), 3))
print("N(12) =", round(float(Nfun.subs(x, 12)), 3))
print("Temperaturforskjell kl. 12 =", round(float(F.subs(x, 12)), 3))
print("L(x)=8, løsninger:")
for r in nroots(L - 8):
    if abs(float(r.as_real_imag()[1])) < 1e-8:
        print(round(float(r.as_real_imag()[0]), 3))
print("Kritiske punkter for F i intervallet:")
for r in nroots(diff(F, x)):
    if abs(float(r.as_real_imag()[1])) < 1e-8 and 0 <= float(r.as_real_imag()[0]) <= 24:
        xr = float(r.as_real_imag()[0])
        print(round(xr, 3), round(float(F.subs(x, xr)), 3))

L(12) = 6.576
N(12) = -1.406
Temperaturforskjell kl. 12 = 7.982
L(x)=8, løsninger:
-2.153
16.223
21.53
Kritiske punkter for F i intervallet:
2.573 4.527
19.935 10.65

Tolkning

Grafen til \(F\) viser forskjellen i temperatur mellom Lindesnes og Nordkapp.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når temperaturforskjellen er størst.

Steg 1 — Finn toppunktet digitalt

\[ (19{,}93,\;10{,}65) \]

Graftegner/CAS finner maksimum i intervallet.

Steg 2 — Tolk \(x\)-verdien

\[ 19{,}93\text{ timer}\approx 19{:}56 \]

\(x\) er timer etter midnatt.

Steg 3 — Tolk \(y\)-verdien

\[ 10{,}65^\circ\text{C} \]

Dette er den største temperaturforskjellen.

from sympy import symbols, nroots, diff, N

x = symbols('x')
L = -0.0025*x**3 + 0.089*x**2 - 0.67*x + 6.12
Nfun = -0.00016*x**3 + 0.01*x**2 - 0.31*x + 1.15
F = L - Nfun

print("L(12) =", round(float(L.subs(x, 12)), 3))
print("N(12) =", round(float(Nfun.subs(x, 12)), 3))
print("Temperaturforskjell kl. 12 =", round(float(F.subs(x, 12)), 3))
print("L(x)=8, løsninger:")
for r in nroots(L - 8):
    if abs(float(r.as_real_imag()[1])) < 1e-8:
        print(round(float(r.as_real_imag()[0]), 3))
print("Kritiske punkter for F i intervallet:")
for r in nroots(diff(F, x)):
    if abs(float(r.as_real_imag()[1])) < 1e-8 and 0 <= float(r.as_real_imag()[0]) <= 24:
        xr = float(r.as_real_imag()[0])
        print(round(xr, 3), round(float(F.subs(x, xr)), 3))

L(12) = 6.576
N(12) = -1.406
Temperaturforskjell kl. 12 = 7.982
L(x)=8, løsninger:
-2.153
16.223
21.53
Kritiske punkter for F i intervallet:
2.573 4.527
19.935 10.65

Tolkning

Temperaturforskjellen var størst omtrent kl. 19.56, og da var Lindesnes omtrent 10,7 °C varmere enn Nordkapp.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette vekt og prosentandel inn i Parklands formel.

Steg 1 — Sett inn tall

\[ V=4\cdot 63\cdot 25 \]

Prosentandelen brukes som tallet 25 i formelen.

Steg 2 — Regn milliliter

\[ V=6300 \]

Formelen gir milliliter.

Steg 3 — Gjør om til liter

\[ 6300\text{ mL}=6{,}3\text{ L} \]

1000 mL er 1 L.

from sympy import symbols, Eq, solve

V, m, A = symbols('V m A')
# Del a
vaeske_ml = 4 * 63 * 25
vaeske_liter = vaeske_ml / 1000
print("Væske til pasient 1 i milliliter:", vaeske_ml)
print("Væske til pasient 1 i liter:", vaeske_liter)
# Del b
A_verdi = solve(Eq(10000, 4 * 85 * A), A)[0]
print("Forbrent prosentandel for pasient 2:", round(float(A_verdi), 2))

Væske til pasient 1 i milliliter: 6300
Væske til pasient 1 i liter: 6.3
Forbrent prosentandel for pasient 2: 29.41

Tolkning

Pasienten skal ha 6,3 liter væske i løpet av det første døgnet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(A\) når væskemengden er kjent.

Steg 1 — Gjør liter om til milliliter

\[ 10\text{ L}=10000\text{ mL} \]

Formelen bruker milliliter.

Steg 2 — Sett opp likning

\[ 10000=4\cdot 85\cdot A \]

Vekt og væskemengde er kjent.

Steg 3 — Løs for \(A\)

\[ A=\dfrac{10000}{340}\approx 29{,}41 \]

Dette er prosentandelen.

from sympy import symbols, Eq, solve

V, m, A = symbols('V m A')
# Del a
vaeske_ml = 4 * 63 * 25
vaeske_liter = vaeske_ml / 1000
print("Væske til pasient 1 i milliliter:", vaeske_ml)
print("Væske til pasient 1 i liter:", vaeske_liter)
# Del b
A_verdi = solve(Eq(10000, 4 * 85 * A), A)[0]
print("Forbrent prosentandel for pasient 2:", round(float(A_verdi), 2))

Væske til pasient 1 i milliliter: 6300
Væske til pasient 1 i liter: 6.3
Forbrent prosentandel for pasient 2: 29.41

Tolkning

Omtrent 29,4 % av kroppens overflateareal er forbrent.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne volumet av en sylinder.

Steg 1 — Finn radius

\[ r=\dfrac{26{,}0}{2}=13{,}0 \]

Radius er halvparten av diameteren.

Steg 2 — Bruk sylinderformelen

\[ V=\pi r^2h=\pi\cdot 13^2\cdot 8 \]

Volumet er grunnflate ganger høyde.

Steg 3 — Gjør om til liter

\[ V\approx 4247\text{ cm}^3=4{,}25\text{ L} \]

1000 cm³ er 1 L.

from math import pi

radius = 26.0 / 2
hoyde = 8.0
volum_cm3 = pi * radius**2 * hoyde
volum_liter = volum_cm3 / 1000
lokk_diameter = 26.0 + 2*hoyde + 7.0
lokk_radius = lokk_diameter / 2
lokk_areal = pi * lokk_radius**2
overflate_kake = pi * radius**2 + 2*pi*radius*hoyde
forhold = lokk_areal / overflate_kake
print("Kakevolum i cm^3:", round(volum_cm3, 1))
print("Kakevolum i liter:", round(volum_liter, 2))
print("Marsipanlokkets diameter:", lokk_diameter)
print("Marsipanlokkets areal i cm^2:", round(lokk_areal, 1))
print("Kakens topp + sideareal i cm^2:", round(overflate_kake, 1))
print("Forhold:", round(forhold, 2))

Kakevolum i cm^3: 4247.4
Kakevolum i liter: 4.25
Marsipanlokkets diameter: 49.0
Marsipanlokkets areal i cm^2: 1885.7
Kakens topp + sideareal i cm^2: 1183.2
Forhold: 1.59

Tolkning

Kaken har volum omtrent 4,25 liter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke oppskriften til å finne diameteren på lokket og deretter arealet.

Steg 1 — Finn lokkdiameter

\[ 26+2\cdot 8+7=49 \]

Vi legger sammen diameter, to høyder og 7 cm ekstra.

Steg 2 — Finn radius

\[ r=\dfrac{49}{2}=24{,}5 \]

Areal av sirkel bruker radius.

Steg 3 — Regn arealet

\[ A=\pi\cdot 24{,}5^2\approx 1886 \]

Enheten er cm².

from math import pi

radius = 26.0 / 2
hoyde = 8.0
volum_cm3 = pi * radius**2 * hoyde
volum_liter = volum_cm3 / 1000
lokk_diameter = 26.0 + 2*hoyde + 7.0
lokk_radius = lokk_diameter / 2
lokk_areal = pi * lokk_radius**2
overflate_kake = pi * radius**2 + 2*pi*radius*hoyde
forhold = lokk_areal / overflate_kake
print("Kakevolum i cm^3:", round(volum_cm3, 1))
print("Kakevolum i liter:", round(volum_liter, 2))
print("Marsipanlokkets diameter:", lokk_diameter)
print("Marsipanlokkets areal i cm^2:", round(lokk_areal, 1))
print("Kakens topp + sideareal i cm^2:", round(overflate_kake, 1))
print("Forhold:", round(forhold, 2))

Kakevolum i cm^3: 4247.4
Kakevolum i liter: 4.25
Marsipanlokkets diameter: 49.0
Marsipanlokkets areal i cm^2: 1885.7
Kakens topp + sideareal i cm^2: 1183.2
Forhold: 1.59

Tolkning

Marsipanlokket bør ha areal omtrent 1886 cm².

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne arealet av marsipanlokket med topp og sideareal på kaken.

Steg 1 — Finn overflatearealet som skal dekkes

\[ A_{\text{kake}}=\pi\cdot 13^2+2\pi\cdot 13\cdot 8\approx 1183 \]

Marsipanen dekker toppen og siden, ikke bunnen.

Steg 2 — Bruk lokkarealet

\[ A_{\text{lokk}}\approx 1886 \]

Dette fant vi i b).

Steg 3 — Finn forholdet

\[ \dfrac{1886}{1183}\approx 1{,}59\approx 1{,}6 \]

Forholdet er tilnærmet 1,6.

from math import pi

radius = 26.0 / 2
hoyde = 8.0
volum_cm3 = pi * radius**2 * hoyde
volum_liter = volum_cm3 / 1000
lokk_diameter = 26.0 + 2*hoyde + 7.0
lokk_radius = lokk_diameter / 2
lokk_areal = pi * lokk_radius**2
overflate_kake = pi * radius**2 + 2*pi*radius*hoyde
forhold = lokk_areal / overflate_kake
print("Kakevolum i cm^3:", round(volum_cm3, 1))
print("Kakevolum i liter:", round(volum_liter, 2))
print("Marsipanlokkets diameter:", lokk_diameter)
print("Marsipanlokkets areal i cm^2:", round(lokk_areal, 1))
print("Kakens topp + sideareal i cm^2:", round(overflate_kake, 1))
print("Forhold:", round(forhold, 2))

Kakevolum i cm^3: 4247.4
Kakevolum i liter: 4.25
Marsipanlokkets diameter: 49.0
Marsipanlokkets areal i cm^2: 1885.7
Kakens topp + sideareal i cm^2: 1183.2
Forhold: 1.59

Tolkning

Marsipanlokket har omtrent 1,6 ganger så stort areal som selve kakeoverflaten som skal dekkes.

Hva spør oppgaven om? Vi skal organisere opplysningene i en tabell.

Steg 1 — Finn aldersgruppene

\[ 25\,\%\cdot 1000=250,\quad 1000-250=750 \]

250 er under 30 år, 750 er 30 år eller eldre.

Steg 2 — Finn dem som kildesorterer

\[ 0{,}14\cdot 250=35,\quad 0{,}44\cdot 750=330 \]

Vi bruker prosentandelene i hver aldersgruppe.

Steg 3 — Fyll ut resten

\[ 250-35=215,\quad 750-330=420 \]

Resten i hver gruppe kildesorterer ikke.

under30 = 250
eldre = 750
under_sorterer = 0.14 * under30
eldre_sorterer = 0.44 * eldre
sorterer_totalt = under_sorterer + eldre_sorterer
p_sorterer = sorterer_totalt / 1000
p_under_gitt_sorterer = under_sorterer / sorterer_totalt
print("Under 30:", under30)
print("30 år eller eldre:", eldre)
print("Under 30 og kildesorterer:", int(under_sorterer))
print("30 år eller eldre og kildesorterer:", int(eldre_sorterer))
print("Totalt som kildesorterer:", int(sorterer_totalt))
print("P(kildesorterer):", round(p_sorterer, 3))
print("P(under 30 gitt kildesorterer):", round(p_under_gitt_sorterer, 3))

Under 30: 250
30 år eller eldre: 750
Under 30 og kildesorterer: 35
30 år eller eldre og kildesorterer: 330
Totalt som kildesorterer: 365
P(kildesorterer): 0.365
P(under 30 gitt kildesorterer): 0.096

Tolkning

Krysstabellen viser både antall i gruppene og hvor mange som kildesorterer.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne andelen av alle 1000 som kildesorterer.

Steg 1 — Bruk totalen fra tabellen

\[ 35+330=365 \]

Dette er alle som kildesorterer.

Steg 2 — Del på antall personer

\[ \dfrac{365}{1000}=0{,}365 \]

Vi trekker én tilfeldig person fra 1000.

Steg 3 — Gjør om til prosent

\[ 0{,}365=36{,}5\,\% \]

Dette er sannsynligheten.

under30 = 250
eldre = 750
under_sorterer = 0.14 * under30
eldre_sorterer = 0.44 * eldre
sorterer_totalt = under_sorterer + eldre_sorterer
p_sorterer = sorterer_totalt / 1000
p_under_gitt_sorterer = under_sorterer / sorterer_totalt
print("Under 30:", under30)
print("30 år eller eldre:", eldre)
print("Under 30 og kildesorterer:", int(under_sorterer))
print("30 år eller eldre og kildesorterer:", int(eldre_sorterer))
print("Totalt som kildesorterer:", int(sorterer_totalt))
print("P(kildesorterer):", round(p_sorterer, 3))
print("P(under 30 gitt kildesorterer):", round(p_under_gitt_sorterer, 3))

Under 30: 250
30 år eller eldre: 750
Under 30 og kildesorterer: 35
30 år eller eldre og kildesorterer: 330
Totalt som kildesorterer: 365
P(kildesorterer): 0.365
P(under 30 gitt kildesorterer): 0.096

Tolkning

Sannsynligheten er 36,5 %.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne andelen under 30 blant dem som kildesorterer.

Steg 1 — Tell gunstige

\[ 35 \]

Dette er under 30 år og kildesorterer.

Steg 2 — Tell mulige

\[ 365 \]

Nå vet vi at personen kildesorterer, så nevneren er 365.

Steg 3 — Regn sannsynligheten

\[ \dfrac{35}{365}\approx 0{,}096=9{,}6\,\% \]

Dette er betinget sannsynlighet.

under30 = 250
eldre = 750
under_sorterer = 0.14 * under30
eldre_sorterer = 0.44 * eldre
sorterer_totalt = under_sorterer + eldre_sorterer
p_sorterer = sorterer_totalt / 1000
p_under_gitt_sorterer = under_sorterer / sorterer_totalt
print("Under 30:", under30)
print("30 år eller eldre:", eldre)
print("Under 30 og kildesorterer:", int(under_sorterer))
print("30 år eller eldre og kildesorterer:", int(eldre_sorterer))
print("Totalt som kildesorterer:", int(sorterer_totalt))
print("P(kildesorterer):", round(p_sorterer, 3))
print("P(under 30 gitt kildesorterer):", round(p_under_gitt_sorterer, 3))

Under 30: 250
30 år eller eldre: 750
Under 30 og kildesorterer: 35
30 år eller eldre og kildesorterer: 330
Totalt som kildesorterer: 365
P(kildesorterer): 0.365
P(under 30 gitt kildesorterer): 0.096

Tolkning

Blant dem som kildesorterer, er omtrent 9,6 % under 30 år.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne 25 % av den delen av lønnen som ligger over 54 650 kroner.

Steg 1 — Finn skattbar del

\[ 76450-54650=21800 \]

Bare beløpet over grensen skal skattlegges.

Steg 2 — Regn 25 %

\[ 0{,}25\cdot 21800=5450 \]

Skattesatsen er 25 %.

Steg 3 — Skriv svaret med enhet

Beløpet er kroner.

inntekt = 76450
frikortgrense = 54650
skattesats = 0.25
skatt_for_bsu = (inntekt - frikortgrense) * skattesats
bsu_innskudd = 25000
skattefradrag = bsu_innskudd * 0.20
skatt_etter_bsu = max(0, skatt_for_bsu - skattefradrag)
print("Skatt før BSU:", skatt_for_bsu)
print("Skattefradrag fra BSU:", skattefradrag)
print("Skatt etter BSU:", skatt_etter_bsu)

Skatt før BSU: 5450.0
Skattefradrag fra BSU: 5000.0
Skatt etter BSU: 450.0

Tolkning

Siri må betale 5450 kroner i skatt før BSU-fradrag.

Hva spør oppgaven om? Vi skal trekke BSU-fradraget fra skatten.

Steg 1 — Finn BSU-fradraget

\[ 0{,}20\cdot 25000=5000 \]

BSU gir 20 % skattefradrag av innskuddet.

Steg 2 — Trekk fra skatten

\[ 5450-5000=450 \]

Vi bruker skatten fra a).

Steg 3 — Kontroller at skatten ikke blir negativ

Her er det fortsatt 450 kroner igjen å betale.

inntekt = 76450
frikortgrense = 54650
skattesats = 0.25
skatt_for_bsu = (inntekt - frikortgrense) * skattesats
bsu_innskudd = 25000
skattefradrag = bsu_innskudd * 0.20
skatt_etter_bsu = max(0, skatt_for_bsu - skattefradrag)
print("Skatt før BSU:", skatt_for_bsu)
print("Skattefradrag fra BSU:", skattefradrag)
print("Skatt etter BSU:", skatt_etter_bsu)

Skatt før BSU: 5450.0
Skattefradrag fra BSU: 5000.0
Skatt etter BSU: 450.0

Tolkning

Etter BSU-fradraget må Siri betale 450 kroner i skatt.

Hva spør oppgaven om? Vi skal begrunne formlikhet ved hjelp av vinkler.

Steg 1 — Bruk parallelle sider

\[ AB\parallel DC \]

I et trapes er de parallelle sidene grunnlaget for like samsvarende vinkler.

Steg 2 — Sammenlikn vinkler

\[ \angle ABE=\angle CDE,\quad \angle BAE=\angle DCE \]

Dette følger av parallelle linjer og transversaler.

Steg 3 — Bruk vinkel-vinkel

To like vinkler er nok til å vise at trekantene er formlike.

Tolkning

Trekantene har samme form, men ulik størrelse.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke forholdet mellom tilsvarende sider i formlike trekanter.

Steg 1 — Finn forholdet

\[ \dfrac{AB}{DC}=\dfrac{12}{4}=3 \]

Den store trekanten er 3 ganger den lille.

Steg 2 — Knytt sammen diagonalstykkene

\[ BE=3\cdot DE \]

Sidene \(BE\) og \(DE\) svarer til hverandre.

Steg 3 — Bruk hele diagonalen

\[ BE+DE=18\Rightarrow 3DE+DE=18 \]

Diagonal \(BD\) består av \(BE\) og \(DE\).

Steg 4 — Løs

\[ 4DE=18\Rightarrow DE=4{,}5 \]

Vi deler på 4.

from sympy import symbols, Eq, solve
DE = symbols('DE')
# I formlike trekanter er BE/DE = AB/DC = 12/4 = 3.
# Hele BD er BE + DE = 18.
losning = solve(Eq(3*DE + DE, 18), DE)[0]
BE = 3 * losning
print("DE =", losning)
print("BE =", BE)
print("Kontroll BE + DE =", BE + losning)

DE = 9/2
BE = 27/2
Kontroll BE + DE = 18

Tolkning

Lengden av \(DE\) er 4,5.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke målestokken og gjøre om til nautiske mil.

Steg 1 — Bruk målestokken

\[ 53\text{ cm}\cdot 50000=2650000\text{ cm} \]

1 cm på kartet er 50 000 cm i virkeligheten.

Steg 2 — Gjør om til meter

\[ 2650000\text{ cm}=26500\text{ m} \]

100 cm er 1 m.

Steg 3 — Gjør om til nautiske mil

\[ \dfrac{26500}{1852}\approx 14{,}31 \]

Vi deler på antall meter i én nautisk mil.

kart_cm = 53
maalestokk = 50000
meter = kart_cm * maalestokk / 100
nautiske_mil = meter / 1852
print("Avstand i meter:", meter)
print("Avstand i nautiske mil:", round(nautiske_mil, 2))

Avstand i meter: 26500.0
Avstand i nautiske mil: 14.31

Tolkning

Avstanden er omtrent 14,3 nautiske mil.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise et regnearkoppsett som beregner pris og rabatt automatisk.

Steg 1 — Lag kolonner

Bruk kolonner for vektklasse, pris, antall og delsum.

Steg 2 — Delsum-formel

For hver rad kan delsum være =pris*antall.

Steg 3 — Rabatt-formel

Rabatt kan beregnes med =HVIS(SUM(antall)>3;0,15*sum;0).

Steg 4 — Total-formel

Total etter rabatt og mva kan være =(sum-rabatt)*1,25.

# Priser uten mva.
pris_under_3 = 120
pris_3_til_10 = 200
pris_10_til_20 = 300
rabatt = 0.15
mva = 0.25

# Mathjørnet: 4 pakker under 3 kg, 1 pakke fra 3 til 10 kg, 10 pakker fra 10 til 20 kg
sum_for_rabatt = 4*pris_under_3 + 1*pris_3_til_10 + 10*pris_10_til_20
etter_rabatt = sum_for_rabatt * (1 - rabatt)
med_mva = etter_rabatt * (1 + mva)
print("Mathjørnet - sum før rabatt:", sum_for_rabatt)
print("Mathjørnet - etter 15 % rabatt:", etter_rabatt)
print("Mathjørnet - med 25 % mva:", med_mva)

# Skomagasinet betaler 1105 kr for 5 pakker, med rabatt og mva.
# Finn sum uten rabatt og mva.
skomagasinet_sum_uten_rabatt = 1105 / 1.25 / 0.85
print("Skomagasinet - sum før rabatt og mva:", skomagasinet_sum_uten_rabatt)

kombinasjoner = []
for a in range(6):
    for b in range(6-a):
        c = 5 - a - b
        pris = 120*a + 200*b + 300*c
        if abs(pris - skomagasinet_sum_uten_rabatt) < 1e-9:
            kombinasjoner.append((a, b, c))
print("Mulige kombinasjoner (under 3 kg, 3-10 kg, 10-20 kg):", kombinasjoner)

Mathjørnet - sum før rabatt: 3680
Mathjørnet - etter 15 % rabatt: 3128.0
Mathjørnet - med 25 % mva: 3910.0
Skomagasinet - sum før rabatt og mva: 1040.0
Mulige kombinasjoner (under 3 kg, 3-10 kg, 10-20 kg): [(2, 1, 2)]

Tolkning

Regnearket kan brukes til å endre antall pakker og automatisk få riktig rabatt og totalpris.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke regnearket til å beregne prisen for Mathjørnet.

Steg 1 — Finn sum før rabatt

\[ 4\cdot 120+1\cdot 200+10\cdot 300=3680 \]

Vi bruker riktig pris i hver vektklasse.

Steg 2 — Trekk fra 15 % rabatt

\[ 3680\cdot 0{,}85=3128 \]

Det er mer enn tre pakker, så rabatten gjelder.

Steg 3 — Legg til 25 % mva.

\[ 3128\cdot 1{,}25=3910 \]

Mva. legges på etter rabatten.

# Priser uten mva.
pris_under_3 = 120
pris_3_til_10 = 200
pris_10_til_20 = 300
rabatt = 0.15
mva = 0.25

# Mathjørnet: 4 pakker under 3 kg, 1 pakke fra 3 til 10 kg, 10 pakker fra 10 til 20 kg
sum_for_rabatt = 4*pris_under_3 + 1*pris_3_til_10 + 10*pris_10_til_20
etter_rabatt = sum_for_rabatt * (1 - rabatt)
med_mva = etter_rabatt * (1 + mva)
print("Mathjørnet - sum før rabatt:", sum_for_rabatt)
print("Mathjørnet - etter 15 % rabatt:", etter_rabatt)
print("Mathjørnet - med 25 % mva:", med_mva)

# Skomagasinet betaler 1105 kr for 5 pakker, med rabatt og mva.
# Finn sum uten rabatt og mva.
skomagasinet_sum_uten_rabatt = 1105 / 1.25 / 0.85
print("Skomagasinet - sum før rabatt og mva:", skomagasinet_sum_uten_rabatt)

kombinasjoner = []
for a in range(6):
    for b in range(6-a):
        c = 5 - a - b
        pris = 120*a + 200*b + 300*c
        if abs(pris - skomagasinet_sum_uten_rabatt) < 1e-9:
            kombinasjoner.append((a, b, c))
print("Mulige kombinasjoner (under 3 kg, 3-10 kg, 10-20 kg):", kombinasjoner)

Mathjørnet - sum før rabatt: 3680
Mathjørnet - etter 15 % rabatt: 3128.0
Mathjørnet - med 25 % mva: 3910.0
Skomagasinet - sum før rabatt og mva: 1040.0
Mulige kombinasjoner (under 3 kg, 3-10 kg, 10-20 kg): [(2, 1, 2)]

Tolkning

Mathjørnet må betale 3910 kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne antall pakker i hver vektklasse når totalen er 1105 kroner.

Steg 1 — Gå tilbake før mva. og rabatt

\[ \dfrac{1105}{1{,}25\cdot 0{,}85}=1040 \]

Fem pakker gir rabatt, og totalen inkluderer mva.

Steg 2 — Sett opp pakkepriser

\[ 120a+200b+300c=1040 \]

\(a,b,c\) er antall pakker i de tre vektklassene.

Steg 3 — Bruk at det er fem pakker

\[ a+b+c=5 \]

Vi prøver kombinasjoner i regnearket.

Steg 4 — Finn kombinasjonen

\[ a=2,\quad b=1,\quad c=2 \]

Da blir \(2\cdot120+1\cdot200+2\cdot300=1040\).

# Priser uten mva.
pris_under_3 = 120
pris_3_til_10 = 200
pris_10_til_20 = 300
rabatt = 0.15
mva = 0.25

# Mathjørnet: 4 pakker under 3 kg, 1 pakke fra 3 til 10 kg, 10 pakker fra 10 til 20 kg
sum_for_rabatt = 4*pris_under_3 + 1*pris_3_til_10 + 10*pris_10_til_20
etter_rabatt = sum_for_rabatt * (1 - rabatt)
med_mva = etter_rabatt * (1 + mva)
print("Mathjørnet - sum før rabatt:", sum_for_rabatt)
print("Mathjørnet - etter 15 % rabatt:", etter_rabatt)
print("Mathjørnet - med 25 % mva:", med_mva)

# Skomagasinet betaler 1105 kr for 5 pakker, med rabatt og mva.
# Finn sum uten rabatt og mva.
skomagasinet_sum_uten_rabatt = 1105 / 1.25 / 0.85
print("Skomagasinet - sum før rabatt og mva:", skomagasinet_sum_uten_rabatt)

kombinasjoner = []
for a in range(6):
    for b in range(6-a):
        c = 5 - a - b
        pris = 120*a + 200*b + 300*c
        if abs(pris - skomagasinet_sum_uten_rabatt) < 1e-9:
            kombinasjoner.append((a, b, c))
print("Mulige kombinasjoner (under 3 kg, 3-10 kg, 10-20 kg):", kombinasjoner)

Mathjørnet - sum før rabatt: 3680
Mathjørnet - etter 15 % rabatt: 3128.0
Mathjørnet - med 25 % mva: 3910.0
Skomagasinet - sum før rabatt og mva: 1040.0
Mulige kombinasjoner (under 3 kg, 3-10 kg, 10-20 kg): [(2, 1, 2)]

Tolkning

Skomagasinet har bestilt 2 pakker under 3 kg, 1 pakke fra 3 kg til 10 kg og 2 pakker fra 10 kg til 20 kg.