Fullstendig, trinnvis løsning på Udir-settet. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser digitale kontrollsteg med GeoGebra, regnearkoppsett og Python der det er relevant.
Del 1 — uten hjelpemidler
Del 1 · Oppgave 1aProsentpoeng
Oppgave 1a
Oppgave:
Nedenfor ser du hvor stor oppslutning Kristelig Folkeparti hadde ved stortingsvalgene i 2013 og 2017. År: 2013 og 2017. Oppslutning: 5,6 % og 4,2 %. a) Hvor mange prosentpoeng gikk oppslutningen til Kristelig Folkeparti tilbake med fra 2013 til 2017?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne forskjellen mellom to prosentsatser.
Steg 1 — Trekk fra
\[ 5{,}6-4{,}2=1{,}4 \]
Forskjellen mellom prosentsatser måles i prosentpoeng.
Steg 2 — Sett på riktig enhet
Enheten er prosentpoeng.
Tolkning
Oppslutningen gikk ned med 1,4 prosentpoeng.
Vanlig feil: Å skrive 1,4 %. Dette er prosentpoeng.
Fasit: Tilbakegangen var 1,4 prosentpoeng.
Del 1 · Oppgave 1bProsentvis endring
Oppgave 1b
Oppgave:
b) Hvor mange prosent gikk oppslutningen til Kristelig Folkeparti tilbake med fra 2013 til 2017?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne relativ tilbakegang fra 2013-nivået.
Steg 1 — Finn endringen
\[ 5{,}6-4{,}2=1{,}4 \]
Endringen er 1,4 prosentpoeng.
Steg 2 — Del på startverdien
\[ \dfrac{1{,}4}{5{,}6}=0{,}25 \]
Prosentvis tilbakegang regnes fra startverdien.
Steg 3 — Gjør om til prosent
\[ 0{,}25=25\,\% \]
Vi multipliserer med 100.
Tolkning
Partiet mistet en firedel av oppslutningen fra 2013.
Vanlig feil: Å blande prosent og prosentpoeng.
Fasit: Tilbakegangen var 25 %.
Del 1 · Oppgave 2Forhold
Oppgave 2
Oppgave:
I en oppskrift står det at du trenger 4 dL melk og 500 g hvetemel for å lage 12 boller. Tenk deg at du har 1 L melk og 1,5 kg hvetemel. Hvor mange boller kan du lage dersom du følger oppskriften?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi må finne hvilken ingrediens som begrenser antallet boller.
Melken holder til 2,5 porsjoner, melet til 3 porsjoner.
Steg 3 — Bruk minste faktor
\[ 12\cdot 2{,}5=30 \]
Melken tar slutt først.
Tolkning
Du har nok mel til mer, men ikke nok melk.
Vanlig feil: Å bruke ingrediensen det er mest av. Begge ingredienser må holde.
Fasit: Du kan lage 30 boller.
Del 1 · Oppgave 3Indeks
Oppgave 3
Oppgave:
I 2013 var indeksen for en vare 80. Varen kostet da 1000 kroner. I 2017 var indeksen for den samme varen 120. Hvor mye kostet varen i 2017 dersom prisen har fulgt indeksen?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi bruker forholdet mellom indeksene.
Steg 1 — Finn indeksfaktoren
\[ \dfrac{120}{80}=1{,}5 \]
Indeksen ble 1,5 ganger så stor.
Steg 2 — Finn ny pris
\[ 1000\cdot 1{,}5=1500 \]
Prisen følger samme faktor.
Tolkning
Prisen økte med 50 %.
Vanlig feil: Å bruke indeksforskjellen 40 som kroner.
Fasit: Varen kostet 1500 kroner.
Del 1 · Oppgave 4Målestokk
Oppgave 4
Oppgave:
På et kart er avstanden mellom to byer 9 cm. I virkeligheten er avstanden 45 km. Bestem målestokken til kartet.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skriver begge avstander i centimeter.
Steg 1 — Gjør om
\[ 45\text{ km}=4500000\text{ cm} \]
Målestokk må ha samme enhet.
Steg 2 — Sett opp forhold
\[ 9:4500000 \]
Kartavstand mot virkelig avstand.
Steg 3 — Forkort
\[ 9:4500000=1:500000 \]
Vi deler på 9.
Tolkning
1 cm på kartet svarer til 5 km i virkeligheten.
Vanlig feil: Å glemme at 1 km er 100 000 cm.
Fasit: Målestokken er 1:500000.
Del 1 · Oppgave 5aFunksjon
Oppgave 5a
Oppgave:
Mads skal ta førerkortet for bil. Ved trafikkskolen koster det 13 000 kroner for den obligatoriske delen av føreropplæringen inkludert gebyrer. I tillegg koster det 600 kroner for hver kjøretime. a) Bestem en funksjon \(K\) som viser prisen \(K(x)\) kroner for å ta førerkortet dersom Mads bruker \(x\) kjøretimer.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi lager en prisfunksjon.
Steg 1 — Fast kostnad
\[ 13000 \]
Dette betales uansett.
Steg 2 — Timekostnad
\[ 600x \]
Hver kjøretime koster 600 kroner.
Steg 3 — Sett sammen
\[ K(x)=13000+600x \]
Totalpris er fast kostnad pluss timekostnad.
Tolkning
Funksjonen gir totalpris for \(x\) kjøretimer.
Vanlig feil: Å glemme den obligatoriske delen.
Fasit: \(K(x)=13000+600x\).
Del 1 · Oppgave 5bGraf
Oppgave 5b
Oppgave:
b) Tegn grafen til \(K\) i et koordinatsystem.
Vis løsning
Grafen er lineær med startverdi 13 000 kroner og stigningstall 600 kroner per kjøretime.
Hva spør oppgaven om? Vi tegner linjen til funksjonen.
Steg 1 — Finn to punkter
\[ K(0)=13000,\quad K(10)=19000 \]
To punkter bestemmer en rett linje.
Steg 2 — Tegn linjen
Plott punktene og trekk en rett linje.
Tolkning
Grafen stiger med 600 kroner per kjøretime.
Vanlig feil: Å starte grafen i origo.
Fasit: Grafen er en rett linje gjennom \((0,13000)\) og \((10,19000)\).
Del 1 · Oppgave 5cProporsjonalitet
Oppgave 5c
Oppgave:
c) Avgjør om prisen for å ta førerkortet og antall kjøretimer er proporsjonale størrelser.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi sjekker om grafen går gjennom origo.
Steg 1 — Se på startverdien
\[ K(0)=13000 \]
Prisen er ikke 0 når antall kjøretimer er 0.
Steg 2 — Konkluder
Proporsjonale størrelser må ha formen \(K(x)=kx\).
Tolkning
Fastprisen gjør at størrelsene ikke er proporsjonale.
Vanlig feil: Alle rette linjer er ikke proporsjonale. Linjen må gå gjennom origo.
Fasit: Nei, størrelsene er ikke proporsjonale.
Del 1 · Oppgave 6Vekstfaktor
Oppgave 6
Oppgave:
En fire år gammel moped koster i dag 8000 kroner. Mopedens verdi har avtatt med 12 % per år siden den var ny. Forklar hvilket av uttrykkene nedenfor som kan brukes til å finne hvor mye mopeden kostet da den var ny. 1) \(8000-8000\cdot 0{,}12^4\) 2) \(8000\cdot 0{,}88^4\) 3) \(\dfrac{8000}{0{,}88^4}\) 4) \(8000\cdot 0{,}12^{-4}\)
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal gå bakover fra dagens verdi til nypris.
Steg 1 — Finn vekstfaktor
\[ 1-0{,}12=0{,}88 \]
Verdien blir 88 % hvert år.
Steg 2 — Sett opp sammenheng
\[ \text{nypris}\cdot 0{,}88^4=8000 \]
Fire år med nedgang gir dagens pris.
Steg 3 — Løs bakover
\[ \text{nypris}=\dfrac{8000}{0{,}88^4} \]
Vi deler på fire års vekstfaktor.
Tolkning
Uttrykk 3 finner opprinnelig pris.
Vanlig feil: Å multiplisere med \(0{,}88^4\), som går framover i tid.
Fasit: Riktig uttrykk er 3: \(\dfrac{8000}{0{,}88^4}\).
Del 1 · Oppgave 7Sannsynlighet
Oppgave 7
Oppgave:
Tenk deg at du kaster en rød og en blå terning. Avgjør hvilket av de to alternativene nedenfor som er mest sannsynlig. • Terningene viser samme antall øyne. • Summen av antall øyne er 5 eller mindre.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi sammenlikner antall gunstige utfall.
Siden \(10/36>6/36\), er sum 5 eller mindre mest sannsynlig.
Vanlig feil: Å glemme at rød og blå terning skiller rekkefølge.
Fasit: Mest sannsynlig er summen av antall øyne er 5 eller mindre.
Del 1 · Oppgave 8Sirkel
Oppgave 8
Oppgave:
Åpningen i toppen av en brusflaske har form som en sirkel med diameter 22 mm. Avgjør om et kronestykke med omkrets 66 mm kan puttes ned i flasken.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi finner diameteren til kronestykket.
Steg 1 — Bruk sirkelomkrets
\[ O=\pi d \]
Omkrets er pi ganger diameter.
Steg 2 — Finn diameter
\[ d=\dfrac{66}{\pi}\approx 21{,}0\text{ mm} \]
Vi deler på \(\pi\).
Steg 3 — Sammenlikn
\[ 21{,}0<22 \]
Kronestykket er smalere enn åpningen.
Tolkning
Kronestykket kan puttes ned i flasken.
Vanlig feil: Å sammenlikne omkrets og diameter direkte.
Fasit: Ja, kronestykket kan puttes ned i flasken.
Del 1 · Oppgave 9aTrapes
Oppgave 9a
Oppgave:
Ovenfor ser du en lampeskjerm av stoff med fire like sider. Skissen til høyre viser én side av lampeskjermen. a) Bestem arealet av én side av lampeskjermen.
Vis løsning
Høyden er \(12\) cm fordi \(13^2-5^2=12^2\).
Hva spør oppgaven om? Én side er et trapes.
Steg 1 — Finn høyden
\[ h=\sqrt{13^2-5^2}=12 \]
Den skrå siden danner en rettvinklet trekant.
Steg 2 — Bruk trapesareal
\[ A=\dfrac{(10+20)\cdot 12}{2}=180 \]
Vi bruker gjennomsnittet av de parallelle sidene ganger høyden.
Tolkning
Én side har areal 180 cm².
Vanlig feil: Å bruke 13 cm som høyde.
Fasit: Arealet er \(180\text{ cm}^2\).
Del 2 — med hjelpemidler
Del 1 · Oppgave 9bAreal
Oppgave 9b
Oppgave:
b) Hvor mye stoff går det med til en lampeskjerm når det må beregnes 10 % ekstra stoff til overlapp og kanter?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi finner fire sider og legger til 10 %.
Steg 1 — Fire sider
\[ 4\cdot 180=720 \]
Lampeskjermen har fire like sider.
Steg 2 — Legg til 10 %
\[ 720\cdot 1{,}10=792 \]
Vekstfaktoren er 1,10.
Tolkning
Det trengs 792 cm² stoff med tillegg.
Vanlig feil: Å legge til 10 cm² i stedet for 10 %.
Fasit: Det går med \(792\text{ cm}^2\) stoff.
Del 2 · Oppgave 1aGraftegner
Oppgave 1a
Oppgave:
Funksjonen \(T\) er gitt ved \[T(x)=-0{,}018x^3+0{,}55x^2-3{,}5x+13,\quad 0\le x\le 20\] Funksjonen viser temperaturen \(T(x)\) grader celsius et sted i Norge \(x\) timer etter midnatt en sommerdag. a) Bruk graftegner til å tegne grafen til \(T\).
Vis løsning
Grafskisse for \(T(x)=-0{,}018x^3+0{,}55x^2-3{,}5x+13\) i intervallet \(0\le x\le 20\).
Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne modellen i riktig intervall.
Steg 1 — Skriv inn funksjonen
\[ T(x)=-0{,}018x^3+0{,}55x^2-3{,}5x+13 \]
Dette er temperaturmodellen.
Steg 2 — Bruk intervallet
\[ 0\le x\le 20 \]
Grafen skal bare vises fra midnatt til klokka 20.
GeoGebra · CAS
1
Funksjon(-0.018x^3+0.55x^2-3.5x+13,0,20)
→ graf i intervallet \(0\le x\le 20\)
Python
from sympy import symbols, nroots, diff
x = symbols('x')
T = -0.018*x**3 + 0.55*x**2 - 3.5*x + 13
print("T(x) =", T)
print("Løsninger for T(x)=10 i intervallet 0 til 20:")
for r in nroots(T - 10):
real, imag = r.as_real_imag()
if abs(imag) < 1e-10 and 0 <= float(real) <= 20:
timer = float(real)
h = int(timer)
m = round((timer - h)*60)
print(round(timer, 3), "timer etter midnatt =", f"kl. {h:02d}:{m:02d}")
print()
print("Ekstremalverdier:")
D = diff(T, x)
print("T'(x) =", D)
verdier = []
for kandidat in [0, 20] + [float(r.as_real_imag()[0]) for r in nroots(D) if abs(r.as_real_imag()[1]) < 1e-10 and 0 <= float(r.as_real_imag()[0]) <= 20]:
verdi = float(T.subs(x, kandidat))
verdier.append((kandidat, verdi))
print("x =", round(kandidat, 3), "T(x) =", round(verdi, 3))
lav = min(verdier, key=lambda p: p[1])
hoy = max(verdier, key=lambda p: p[1])
print("Laveste temperatur:", round(lav[1], 3))
print("Høyeste temperatur:", round(hoy[1], 3))
print("Forskjell:", round(hoy[1] - lav[1], 3))
Utskrift når koden kjøres
T(x) = -0.018*x**3 + 0.55*x**2 - 3.5*x + 13
Løsninger for T(x)=10 i intervallet 0 til 20:
1.013 timer etter midnatt = kl. 01:01
7.445 timer etter midnatt = kl. 07:27
Ekstremalverdier:
T'(x) = -0.054*x**2 + 1.1*x - 3.5
x = 0 T(x) = 13.0
x = 20 T(x) = 19.0
x = 3.946 T(x) = 6.647
x = 16.424 T(x) = 24.131
Laveste temperatur: 6.647
Høyeste temperatur: 24.131
Forskjell: 17.484
Tolkning
Grafen viser temperaturutviklingen gjennom dagen.
Vanlig feil: Å tegne uten intervallbegrensning.
Fasit: Grafen er tegnet for \(0\le x\le 20\).
Del 2 · Oppgave 1bLikning
Oppgave 1b
Oppgave:
b) På hvilke tidspunkt (klokkeslett) var temperaturen 10 °C?
from sympy import symbols, nroots, diff
x = symbols('x')
T = -0.018*x**3 + 0.55*x**2 - 3.5*x + 13
print("T(x) =", T)
print("Løsninger for T(x)=10 i intervallet 0 til 20:")
for r in nroots(T - 10):
real, imag = r.as_real_imag()
if abs(imag) < 1e-10 and 0 <= float(real) <= 20:
timer = float(real)
h = int(timer)
m = round((timer - h)*60)
print(round(timer, 3), "timer etter midnatt =", f"kl. {h:02d}:{m:02d}")
print()
print("Ekstremalverdier:")
D = diff(T, x)
print("T'(x) =", D)
verdier = []
for kandidat in [0, 20] + [float(r.as_real_imag()[0]) for r in nroots(D) if abs(r.as_real_imag()[1]) < 1e-10 and 0 <= float(r.as_real_imag()[0]) <= 20]:
verdi = float(T.subs(x, kandidat))
verdier.append((kandidat, verdi))
print("x =", round(kandidat, 3), "T(x) =", round(verdi, 3))
lav = min(verdier, key=lambda p: p[1])
hoy = max(verdier, key=lambda p: p[1])
print("Laveste temperatur:", round(lav[1], 3))
print("Høyeste temperatur:", round(hoy[1], 3))
print("Forskjell:", round(hoy[1] - lav[1], 3))
Utskrift når koden kjøres
T(x) = -0.018*x**3 + 0.55*x**2 - 3.5*x + 13
Løsninger for T(x)=10 i intervallet 0 til 20:
1.013 timer etter midnatt = kl. 01:01
7.445 timer etter midnatt = kl. 07:27
Ekstremalverdier:
T'(x) = -0.054*x**2 + 1.1*x - 3.5
x = 0 T(x) = 13.0
x = 20 T(x) = 19.0
x = 3.946 T(x) = 6.647
x = 16.424 T(x) = 24.131
Laveste temperatur: 6.647
Høyeste temperatur: 24.131
Forskjell: 17.484
Tolkning
Temperaturen varierte med omtrent 17,5 °C.
Vanlig feil: Å bare sammenlikne start- og sluttverdien.
Fasit: Forskjellen var omtrent \(17{,}5\, ^\circ\mathrm{C}\).
Del 2 · Oppgave 2aLønn
Oppgave 2a
Oppgave:
Silje har en timelønn på 210 kroner. Hun betaler 2 % av bruttolønnen i pensjonsavgift og har et skattetrekk på 32 %. En måned arbeidet hun 162,5 timer. a) Hvor mye fikk Silje utbetalt denne måneden?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi finner bruttolønn og trekker fra pensjon og skatt.
Vanlig feil: Å trekke bare skatt og glemme pensjonsavgiften.
Fasit: \(22522{,}50\) kroner.
Del 2 · Oppgave 2bFeriepenger
Oppgave 2b
Oppgave:
I 2017 fikk Silje utbetalt 47 736 kroner i feriepenger. Dette tilsvarer 12,0 % av feriepengegrunnlaget for 2017. b) Bestem feriepengegrunnlaget til Silje for 2017.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi kjenner 12 % og skal finne 100 %.
Vanlig feil: Å multiplisere med 0,12 i stedet for å dele.
Fasit: \(397800\) kroner.
Del 2 · Oppgave 3aKrysstabell
Oppgave 3a
Oppgave:
Ved en videregående skole er det 640 elever. \(\dfrac{1}{4}\) av elevene svarte at de legger seg før klokka 23. \(\dfrac{4}{5}\) av elevene som legger seg før klokka 23, har et karaktersnitt over fire. \(\dfrac{1}{3}\) av elevene som legger seg etter klokka 23, har et karaktersnitt over fire. a) Lag en krysstabell som illustrerer opplysningene som er gitt ovenfor.
totalt = 640
for_23 = totalt / 4
etter_23 = totalt - for_23
for_23_over_fire = for_23 * 4/5
etter_23_over_fire = etter_23 * 1/3
totalt_over_fire = for_23_over_fire + etter_23_over_fire
print("Før klokka 23:", int(for_23))
print("Etter klokka 23:", int(etter_23))
print("Før 23 og snitt over fire:", int(for_23_over_fire))
print("Etter 23 og snitt over fire:", int(etter_23_over_fire))
print("Totalt snitt over fire:", int(totalt_over_fire))
print("P(snitt over fire):", totalt_over_fire/totalt)
print("P(før 23 gitt snitt over fire):", for_23_over_fire/totalt_over_fire)
Utskrift når koden kjøres
Før klokka 23: 160
Etter klokka 23: 480
Før 23 og snitt over fire: 128
Etter 23 og snitt over fire: 160
Totalt snitt over fire: 288
P(snitt over fire): 0.45
P(før 23 gitt snitt over fire): 0.4444444444444444
Tolkning
Tabellen gir oversikt over alle 640 elever.
Vanlig feil: Å bruke brøkene på feil gruppe.
Fasit: Krysstabellen viser totalt \(288\) elever med snitt over fire.
Del 2 · Oppgave 3bSannsynlighet
Oppgave 3b
Oppgave:
b) Bestem sannsynligheten for at eleven har et karaktersnitt over fire.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi deler antall med snitt over fire på totalt antall elever.
Steg 1 — Gunstige
\[ 128+160=288 \]
Dette er elever med snitt over fire.
Steg 2 — Sannsynlighet
\[ \dfrac{288}{640}=0{,}45=45\,\% \]
Vi deler på 640.
GeoGebra · CAS
1
288/640
→ \(0{,}45\)
Python
totalt = 640
for_23 = totalt / 4
etter_23 = totalt - for_23
for_23_over_fire = for_23 * 4/5
etter_23_over_fire = etter_23 * 1/3
totalt_over_fire = for_23_over_fire + etter_23_over_fire
print("Før klokka 23:", int(for_23))
print("Etter klokka 23:", int(etter_23))
print("Før 23 og snitt over fire:", int(for_23_over_fire))
print("Etter 23 og snitt over fire:", int(etter_23_over_fire))
print("Totalt snitt over fire:", int(totalt_over_fire))
print("P(snitt over fire):", totalt_over_fire/totalt)
print("P(før 23 gitt snitt over fire):", for_23_over_fire/totalt_over_fire)
Utskrift når koden kjøres
Før klokka 23: 160
Etter klokka 23: 480
Før 23 og snitt over fire: 128
Etter 23 og snitt over fire: 160
Totalt snitt over fire: 288
P(snitt over fire): 0.45
P(før 23 gitt snitt over fire): 0.4444444444444444
Tolkning
Sannsynligheten er 45 %.
Vanlig feil: Å bare bruke én rad i tabellen.
Fasit: \(45\,\%\).
Del 2 · Oppgave 3cBetinget sannsynlighet
Oppgave 3c
Oppgave:
c) Tenk deg at den eleven vi trakk i oppgave b), har et karaktersnitt over fire. Bestem sannsynligheten for at denne eleven legger seg før klokka 23 kvelden før en skoledag.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi vet at eleven har snitt over fire.
Steg 1 — Gunstige og mulige
\[ \dfrac{128}{288} \]
128 av de 288 med snitt over fire legger seg før klokka 23.
totalt = 640
for_23 = totalt / 4
etter_23 = totalt - for_23
for_23_over_fire = for_23 * 4/5
etter_23_over_fire = etter_23 * 1/3
totalt_over_fire = for_23_over_fire + etter_23_over_fire
print("Før klokka 23:", int(for_23))
print("Etter klokka 23:", int(etter_23))
print("Før 23 og snitt over fire:", int(for_23_over_fire))
print("Etter 23 og snitt over fire:", int(etter_23_over_fire))
print("Totalt snitt over fire:", int(totalt_over_fire))
print("P(snitt over fire):", totalt_over_fire/totalt)
print("P(før 23 gitt snitt over fire):", for_23_over_fire/totalt_over_fire)
Utskrift når koden kjøres
Før klokka 23: 160
Etter klokka 23: 480
Før 23 og snitt over fire: 128
Etter 23 og snitt over fire: 160
Totalt snitt over fire: 288
P(snitt over fire): 0.45
P(før 23 gitt snitt over fire): 0.4444444444444444
Tolkning
Omtrent 44,4 % av elevene med snitt over fire legger seg før klokka 23.
Vanlig feil: Å dele på alle 640 elever.
Fasit: \(\dfrac{4}{9}\approx 44{,}4\,\%\).
Del 2 · Oppgave 4aFormlikhet
Oppgave 4a
Oppgave:
Et område har form som vist på figuren ovenfor. Punktet \(F\) ligger på \(AC\), punktet \(G\) ligger på \(CD\), og \(B\) er skjæringspunktet mellom \(AE\) og \(CD\). \(AB=80\) m, \(BE=AF=20\) m og \(DE=32\) m. a) Forklar at \(\triangle ABC\), \(\triangle BDE\) og \(\triangle FGC\) er formlike.
Vis løsning
Området \(ABGF\) finnes som arealet av \(ABC\) minus arealet av \(FGC\).
Hva spør oppgaven om? Vi skal begrunne formlikhet.
Steg 1 — Like vinkler
Trekantene har rette vinkler og en felles/parallell skrå retning.
Steg 2 — Bruk vinkel-vinkel
To like vinkler gir formlike trekanter.
Tolkning
Derfor kan vi bruke sideforhold videre.
Vanlig feil: Å skrive at trekantene bare ser like ut.
Fasit: Trekantene er formlike ved vinkel-vinkel.
Del 2 · Oppgave 4bFormlikhet
Oppgave 4b
Oppgave:
b) Bestem \(AC\), og vis at \(FG=67{,}5\) m.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi bruker forhold i formlike trekanter.
AB = 80
BE = 20
DE = 32
AF = 20
AC = (AB / BE) * DE
FC = AC - AF
FG = AB * FC / AC
areal_ABC = AB * AC / 2
areal_FGC = FG * FC / 2
areal_ABGF = areal_ABC - areal_FGC
volum = areal_ABGF * 0.15
print("AC:", AC)
print("FC:", FC)
print("FG:", FG)
print("Areal ABC:", areal_ABC)
print("Areal FGC:", areal_FGC)
print("Areal ABGF:", areal_ABGF)
print("Volum sand:", volum)
Vanlig feil: Å koble feil sider i de formlike trekantene.
Fasit: \(AC=128\) m og \(FG=67{,}5\) m.
Del 2 · Oppgave 4cVolum
Oppgave 4c
Oppgave:
Kristian skal dekke området \(ABGF\) med et 15 cm tykt lag med sand. c) Hvor mange kubikkmeter sand vil han trenge?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi finner areal og multipliserer med tykkelse.
Steg 1 — Areal av \(ABC\)
\[ \dfrac{80\cdot 128}{2}=5120 \]
Stor trekant.
Steg 2 — Areal av \(FGC\)
\[ \dfrac{67{,}5\cdot 108}{2}=3645 \]
Øvre trekant trekkes fra.
Steg 3 — Volum sand
\[ (5120-3645)\cdot 0{,}15=221{,}25 \]
15 cm er 0,15 m.
GeoGebra · CAS
1
(80*128/2-67.5*108/2)*0.15
→ \(221{,}25\)
Python
AB = 80
BE = 20
DE = 32
AF = 20
AC = (AB / BE) * DE
FC = AC - AF
FG = AB * FC / AC
areal_ABC = AB * AC / 2
areal_FGC = FG * FC / 2
areal_ABGF = areal_ABC - areal_FGC
volum = areal_ABGF * 0.15
print("AC:", AC)
print("FC:", FC)
print("FG:", FG)
print("Areal ABC:", areal_ABC)
print("Areal FGC:", areal_FGC)
print("Areal ABGF:", areal_ABGF)
print("Volum sand:", volum)
Vanlig feil: Å bruke 15 meter i stedet for 0,15 meter.
Fasit: \(221{,}25\text{ m}^3\).
Del 2 · Oppgave 5Regneark
Oppgave 5
Oppgave:
Et firma bruker i perioder skoleungdommer for å få unna diverse malerjobber. Ungdommene får timelønn etter alder. I tillegg til timelønn må firmaet betale feriepenger og arbeidsgiveravgift. Firmaet har beregnet at disse utgiftene utgjør 25 % av timelønnen. Du skal lage et regneark som vist nedenfor. I de hvite cellene skal firmaet registrere opplysninger. I de blå cellene skal du sette inn formler.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lage formler i de blå cellene.
Steg 1 — Timelønn
I D8: =HVIS(B8<18;$B$3;$B$4).
Steg 2 — Samlet lønn
I E8: =C8*D8.
Steg 3 — Tillegg og total
I F8: =E8*$B$5. I G8: =E8+F8.
Celle
Formel
D8
=HVIS(B8<18;$B$3;$B$4)
E8
=C8*D8
F8
=E8*$B$5
G8
=E8+F8
G14
=SUMMER(G8:G12)
Python
time_under_18 = 130
ntime_fra_18 = 155
tillegg = 0.25
ungdommer = [("Hans",17,20),("Grete",19,28),("Mohammed",20,32),("Hanan",16,18),("Sara",18,24)]
sum_total = 0
for navn, alder, timer in ungdommer:
timelonn = time_under_18 if alder < 18 else ntime_fra_18
samlet_lonn = timelonn * timer
feriepenger_arbeidsgiveravgift = samlet_lonn * tillegg
total = samlet_lonn + feriepenger_arbeidsgiveravgift
sum_total += total
print(navn, "timelønn", timelonn, "samlet lønn", samlet_lonn, "tillegg", feriepenger_arbeidsgiveravgift, "total", total)
print("Sum totale kostnader:", sum_total)
Utskrift når koden kjøres
Hans timelønn 130 samlet lønn 2600 tillegg 650.0 total 3250.0
Grete timelønn 155 samlet lønn 4340 tillegg 1085.0 total 5425.0
Mohammed timelønn 155 samlet lønn 4960 tillegg 1240.0 total 6200.0
Hanan timelønn 130 samlet lønn 2340 tillegg 585.0 total 2925.0
Sara timelønn 155 samlet lønn 3720 tillegg 930.0 total 4650.0
Sum totale kostnader: 22450.0
Tolkning
Regnearket beregner lønn og totale kostnader automatisk når alder og timer fylles inn.
Vanlig feil: Å ikke låse B3, B4 og B5 når formlene kopieres.
Fasit: Formlene over gir et korrekt regneark.
Del 2 · Oppgave 6aProporsjonalitet
Oppgave 6a
Oppgave:
Olav har fått sommerjobb. Han skal plukke moreller. Morellene skal legges i kurver. Salgsprisen for en kurv moreller inkludert 15 % merverdiavgift er 69 kroner. Olav kan velge mellom tre ulike alternativer når det gjelder lønn. Alternativ 1: en fast timelønn på 135 kroner Alternativ 2: en fast timelønn på 80 kroner og i tillegg 3 kroner for hver kurv med moreller han plukker Alternativ 3: 12 % av salgsprisen uten merverdiavgift for hver kurv med moreller han plukker a) For hvilket eller hvilke av de tre alternativene ovenfor er lønnen proporsjonal med mengden moreller Olav plukker? Begrunn svaret ditt.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal se om lønnen er på formen \(kx\).
Steg 1 — Alternativ 1
Fast lønn er ikke proporsjonal med antall kurver.
Steg 2 — Alternativ 2
\[ L=80+3x \]
Fastleddet 80 gjør at lønnen ikke er proporsjonal.
Steg 3 — Alternativ 3
\[ L=kx \]
Her er lønnen en fast andel per kurv uten fastledd.
Tolkning
Bare alternativ 3 er direkte proporsjonalt med mengden moreller.
Vanlig feil: Å overse fastleddet i alternativ 2.
Fasit: Bare alternativ 3.
Del 2 · Oppgave 6bUlikhet
Oppgave 6b
Oppgave:
b) Hvor mange kurver med moreller må Olav plukke i løpet av en time for at alternativ 2 skal gi en høyere lønn enn alternativ 1?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi løser når alternativ 2 er større enn 135.
Steg 1 — Sett opp
\[ 80+3x>135 \]
Alternativ 2 skal være større enn alternativ 1.
Steg 2 — Løs
\[ 3x>55\Rightarrow x>18{,}33 \]
Vi trekker fra 80 og deler på 3.
Steg 3 — Rund opp
Minste hele antall kurver er 19.
GeoGebra · CAS
1
Løs(80+3x>135)
→ \(x>18{,}33\)
Python
from math import ceil
salgspris_med_mva = 69
salgspris_uten_mva = salgspris_med_mva / 1.15
lonn_per_kurv_alt3 = 0.12 * salgspris_uten_mva
print("Salgspris uten mva:", salgspris_uten_mva)
print("Lønn per kurv i alternativ 3:", lonn_per_kurv_alt3)
for kurver in [18, 19]:
print(kurver, "kurver: alt 1 =", 135, "alt 2 =", 80 + 3*kurver)
print("Kurver for minst 1000 kroner:", ceil(1000 / lonn_per_kurv_alt3))
Utskrift når koden kjøres
Salgspris uten mva: 60.00000000000001
Lønn per kurv i alternativ 3: 7.2
18 kurver: alt 1 = 135 alt 2 = 134
19 kurver: alt 1 = 135 alt 2 = 137
Kurver for minst 1000 kroner: 139
Tolkning
Ved 19 kurver blir alternativ 2 høyere enn 135 kroner.
Vanlig feil: Å runde ned til 18.
Fasit: Minst 19 kurver.
Del 2 · Oppgave 6cMerverdiavgift
Oppgave 6c
Oppgave:
c) Hvor mange kurver med moreller må Olav plukke i løpet av en dag for å tjene 1000 kroner dersom han velger alternativ 3?
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi finner lønn per kurv uten merverdiavgift.
Steg 1 — Pris uten mva
\[ \dfrac{69}{1{,}15}=60 \]
69 kroner er med 15 % mva.
Steg 2 — Lønn per kurv
\[ 0{,}12\cdot 60=7{,}20 \]
Alternativ 3 gir 12 %.
Steg 3 — Antall kurver
\[ \dfrac{1000}{7{,}20}\approx 138{,}9 \]
Vi må runde opp til 139.
GeoGebra · CAS
1
1000/(0.12*69/1.15)
→ \(138{,}9\)
Python
from math import ceil
salgspris_med_mva = 69
salgspris_uten_mva = salgspris_med_mva / 1.15
lonn_per_kurv_alt3 = 0.12 * salgspris_uten_mva
print("Salgspris uten mva:", salgspris_uten_mva)
print("Lønn per kurv i alternativ 3:", lonn_per_kurv_alt3)
for kurver in [18, 19]:
print(kurver, "kurver: alt 1 =", 135, "alt 2 =", 80 + 3*kurver)
print("Kurver for minst 1000 kroner:", ceil(1000 / lonn_per_kurv_alt3))
Utskrift når koden kjøres
Salgspris uten mva: 60.00000000000001
Lønn per kurv i alternativ 3: 7.2
18 kurver: alt 1 = 135 alt 2 = 134
19 kurver: alt 1 = 135 alt 2 = 137
Kurver for minst 1000 kroner: 139
Tolkning
Olav må plukke 139 kurver for å nå minst 1000 kroner.
Vanlig feil: Å regne 12 % av prisen med mva.
Fasit: \(139\) kurver.
Del 2 · Oppgave 7aVolum
Oppgave 7a
Oppgave:
En pizzarestaurant tilbyr pizzaer i tre ulike størrelser. Den minste pizzaen har en diameter på 20 cm, den mellomstore har en diameter på 30 cm, og den største har en diameter på 40 cm. Alle pizzaene er 1,25 cm tykke. Vi antar at når vi spiser pizza, er hver bit vi tar i munnen, \(5\text{ cm}^3\). Nedenfor ser du prislisten for noen utvalgte pizzatyper. a) Vis at volumet av den minste pizzaen er \(393\text{ cm}^3\).
Vis løsning
Pizzaene modelleres som sylindre med tykkelse 1,25 cm.
Hva spør oppgaven om? Vi regner pizzaen som en sylinder.
from math import pi
for diameter in [20, 30, 40]:
volum = pi * (diameter/2)**2 * 1.25
biter = volum / 5
print("Diameter", diameter, "cm")
print("Volum:", round(volum, 1))
print("Antall biter:", round(biter, 1))
pris = {20:39, 30:89, 40:119}
print("Pris per bit for Den enkle:")
for diameter in [20, 30, 40]:
volum = pi * (diameter/2)**2 * 1.25
biter = volum / 5
print(diameter, "cm:", round(pris[diameter]/biter, 2))
Utskrift når koden kjøres
Diameter 20 cm
Volum: 392.7
Antall biter: 78.5
Diameter 30 cm
Volum: 883.6
Antall biter: 176.7
Diameter 40 cm
Volum: 1570.8
Antall biter: 314.2
Pris per bit for Den enkle:
20 cm: 0.5
30 cm: 0.5
40 cm: 0.38
Tolkning
Den minste pizzaen har volum omtrent 393 cm³.
Vanlig feil: Å bruke diameteren som radius.
Fasit: \(V\approx 393\text{ cm}^3\).
Del 2 · Oppgave 7bRegneark
Oppgave 7b
Oppgave:
b) Lag et regneark som vist nedenfor. I de hvite cellene skal du registrere opplysninger. I de gule cellene skal du sette inn formler.
Vis løsning
Hva spør oppgaven om? Vi skal lage formler som beregner volum, biter og pris per bit.
Steg 1 — Volum
I D4: =PI()*(B4/2)^2*1,25.
Steg 2 — Antall biter og pris per bit
I E4: =D4/5. I F4: =C4/E4.
Steg 3 — Prosent dyrere
For samme størrelse kan vi bruke for eksempel =(F7/F4-1)*100.
Celle
Formel
D4
=PI()*(B4/2)^2*1,25
E4
=D4/5
F4
=C4/E4
G7
=(F7/F4-1)*100
G8
=(F8/F5-1)*100
G9
=(F9/F6-1)*100
Python
from math import pi
for diameter in [20, 30, 40]:
volum = pi * (diameter/2)**2 * 1.25
biter = volum / 5
print("Diameter", diameter, "cm")
print("Volum:", round(volum, 1))
print("Antall biter:", round(biter, 1))
pris = {20:39, 30:89, 40:119}
print("Pris per bit for Den enkle:")
for diameter in [20, 30, 40]:
volum = pi * (diameter/2)**2 * 1.25
biter = volum / 5
print(diameter, "cm:", round(pris[diameter]/biter, 2))
Utskrift når koden kjøres
Diameter 20 cm
Volum: 392.7
Antall biter: 78.5
Diameter 30 cm
Volum: 883.6
Antall biter: 176.7
Diameter 40 cm
Volum: 1570.8
Antall biter: 314.2
Pris per bit for Den enkle:
20 cm: 0.5
30 cm: 0.5
40 cm: 0.38
Tolkning
Regnearket sammenlikner pizzaene etter pris per bit.
Vanlig feil: Å sammenlikne bare totalpris uten å ta hensyn til volum.
Fasit: Formlene over gir et korrekt regneark.
ifingo-lærerenHjelper deg å forstå
ifingo-læreren hjelper deg å forstå – ikke å gjøre leksene for deg 💜
