Fullstendig løsningsforslag på bokmål. Del 1 er løst uten hjelpemidler. Del 2 viser regneark, graftegner, GeoGebra/Python-kontroll der det er hensiktsmessig.
1P_V17_LK06.pdf, men innholdet er identisk med høst 2016-settet som allerede er levert. Derfor er neste unike eksamenssett her vår 2015.Skriv som prosent
a) \(0{,}451\)
Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre et desimaltall om til prosent.
\[0{,}451\cdot 100=45{,}1\]
Prosent betyr hundredeler.
\[0{,}451=45{,}1\,\%\]
Dette er samme verdi skrevet i prosentform.
Tallet tilsvarer litt under halvparten.
Skriv som prosent
b) \(\dfrac{5}{25}\)
Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive brøken som prosent.
\[\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}\]
Vi deler teller og nevner på 5.
\[\dfrac{1}{5}=0{,}20=20\,\%\]
Vi ganger desimaltallet med 100.
Fem av tjuefem er en femdel.
a) Forklar at de to trekantene ovenfor er formlike.
Hva spør oppgaven om? Vi skal begrunne formlikhet ved hjelp av vinkler.
Begge trekantene har en vinkel på \(92{,}9^\circ\).
Da har de allerede én lik vinkel.
\[180^\circ-92{,}9^\circ-48{,}5^\circ=38{,}6^\circ\]
Vinkelsummen i en trekant er \(180^\circ\).
Den store trekanten har også vinkelen \(38{,}6^\circ\).
To og dermed tre vinkler er like.
Trekantene har samme form, men ulik størrelse.
b) Bestem lengden av siden \(BC\) ved regning.
Hva spør oppgaven om? Vi bruker forholdet mellom tilsvarende sider i formlike trekanter.
\[\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\]
Sidene \(AB\) og \(DE\) ligger mot den samme vinkelen.
\(BC\) tilsvarer \(FE=9\).
Derfor bruker vi samme forhold.
\[BC=9\cdot \dfrac{2}{3}=6\]
Den lille trekanten er \(\dfrac{2}{3}\) av den store.
Siden \(BC\) er kortere enn den tilsvarende siden \(FE\), slik figuren viser.
Et vindu har form som et rektangel. Vinduet er 6 dm bredt og 7 dm høyt.
Gjør beregninger og avgjør om det er mulig å få en kvadratisk plate med sider 9 dm inn gjennom vinduet.
Hva spør oppgaven om? Den største rette åpningen i vinduet er diagonalen.
\[d^2=6^2+7^2\]
Diagonal, bredde og høyde danner en rettvinklet trekant.
\[d=\sqrt{36+49}=\sqrt{85}\approx 9{,}22\]
Dette er mer enn \(9\) dm.
\[9{,}22>9\]
Platen kan føres inn diagonalt gjennom vinduet.
Det er mulig, men bare hvis platen vinkles.
Figuren ovenfor viser et rektangel \(PQRS\). \(PQ=12\) cm, \(QR=3\) cm og \(AB=CD=EF=2\) cm
Bestem arealet av det blå området.
Hva spør oppgaven om? Vi finner rektangelarealet og trekker fra de hvite trekantene.
\[A_{rektangel}=12\cdot 3=36\]
Hele figuren er et rektangel.
Hver hvit trekant har grunnlinje \(2\) cm og høyde \(3\) cm.
\[A_{trekant}=\dfrac{2\cdot 3}{2}=3\]
Det er tre slike hvite trekanter.
\[A_{blå}=36-3\cdot 3=27\]
Blått areal er totalareal minus hvitt areal.
Det blå området dekker tre firedeler av rektangelet.
Funksjonen \(f\) er gitt ved
\[f(x)=x^2+2x-3\]
a) Skriv av verditabellen nedenfor i besvarelsen din, og fyll inn tallene som mangler.
Hva spør oppgaven om? Vi skal sette inn hver \(x\)-verdi i funksjonen.
\[f(-4)=(-4)^2+2\cdot(-4)-3=5\]
Samme metode brukes for alle verdiene.
| \(x\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(5\) | \(0\) | \(-3\) | \(-4\) | \(-3\) | \(0\) | \(5\) |
Tabellen viser punktene som skal tegnes.
Funksjonen har laveste verdi rundt \(x=-1\).
from sympy import symbols
x = symbols('x')
f = x**2 + 2*x - 3
verdier = [-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2]
for verdi in verdier:
print(f'f({verdi}) = {f.subs(x, verdi)}')b) Tegn grafen til \(f\) for \(-4\le x\le 2\).
Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne punktene fra tabellen og lage en jevn parabel.
Punktene er \((-4,5)\), \((-3,0)\), \((-2,-3)\), \((-1,-4)\), \((0,-3)\), \((1,0)\) og \((2,5)\).
Disse gir formen på grafen.
Grafen er en parabel som vender oppover.
Toppunktet ligger ikke på toppen, men bunnpunktet er \((-1,-4)\).
Grafen viser hvordan funksjonsverdien først minker og deretter øker.
Tenk deg at du har ni flasker med smoothie i kjøleskapet, to «Surf», tre «Jump» og fire «Catch». Du tar tilfeldig to flasker.
a) Bestem sannsynligheten for at du ikke tar en «Jump»-smoothie.
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for at begge flaskene kommer fra de seks som ikke er «Jump».
Det er \(2+4=6\) flasker som ikke er «Jump».
Første trekk har sannsynlighet \(\dfrac{6}{9}\).
\[P=\dfrac{6}{9}\cdot\dfrac{5}{8}=\dfrac{30}{72}=\dfrac{5}{12}\]
Etter første riktige flaske er det fem gunstige igjen av åtte.
Sannsynligheten er litt under halvparten.
b) Bestem sannsynligheten for at du tar én «Surf»- og én «Catch»-smoothie.
Hva spør oppgaven om? Vi må ta med begge rekkefølger: Surf først eller Catch først.
\[\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{4}{8}\]
Det er to Surf og fire Catch.
\[\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{2}{8}\]
Denne rekkefølgen er også gunstig.
\[P=\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{4}{8}+\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{2}{8}=\dfrac{2}{9}\]
Hendelsene kan ikke skje samtidig, derfor legger vi dem sammen.
Det er omtrent \(22{,}2\,\%\) sjanse.
I 2012 kostet en vare 6 kroner. Indeksen for varen var da 120. I 2014 var indeksen for varen 160.
Hvor mye skulle varen ha kostet i 2014 dersom prisen hadde fulgt indeksen?
Hva spør oppgaven om? Prisen skal endres med samme forhold som indeksen.
\[\dfrac{160}{120}=\dfrac{4}{3}\]
Indeksen har blitt \(\dfrac{4}{3}\) ganger så stor.
\[6\cdot\dfrac{4}{3}=8\]
Prisen følger samme faktor.
Varen skulle kostet 2 kroner mer.
En formel er gitt ved
\[s=v_0\cdot t+\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2\]
a) Bestem \(s\) når \(v_0=0\), \(t=8\) og \(a=10\)
Hva spør oppgaven om? Vi skal sette inn verdiene i formelen.
\[s=0\cdot 8+\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 8^2\]
Vi erstatter bokstavene med de oppgitte tallene.
\[s=0+5\cdot 64=320\]
Potensen regnes før multiplikasjonen.
Strekningen blir \(320\) i den enheten formelen bruker.
b) Bestem \(a\) når \(v_0=20\), \(t=4\) og \(s=144\)
Hva spør oppgaven om? Nå skal vi løse formelen med hensyn på \(a\).
\[144=20\cdot 4+\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot 4^2\]
Alle andre størrelser er kjent.
\[144=80+8a\]
Fordi \(\dfrac{1}{2}\cdot 4^2=8\).
\[64=8a\quad\Rightarrow\quad a=8\]
Vi trekker fra 80 og deler på 8.
Akselerasjonen må være \(8\).
Anders skal leie en bil hos bilfirma A eller bilfirma B. Grafene nedenfor viser hvor mye han må betale til hvert firma dersom han leier bilen én dag og kjører \(x\) kilometer.
a) Sett opp et funksjonsuttrykk for hver av de to grafene.
Hva spør oppgaven om? Vi leser startpris og stigningstall fra grafene.
Graf A starter på \(200\) og går gjennom \((120,1400)\).
\[a_A=\dfrac{1400-200}{120}=10\]
Dermed er \(A(x)=10x+200\).
Graf B starter på \(800\) og går gjennom \((120,1400)\).
\[a_B=\dfrac{1400-800}{120}=5\]
Dermed er \(B(x)=5x+800\).
A har lavere startpris, men høyere kilometerpris.
b) Hva forteller den grafiske framstillingen om de to pristilbudene?
Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke grafene praktisk.
Firma A starter på \(200\) kroner, mens firma B starter på \(800\) kroner.
A er billigst ved korte turer.
A øker med \(10\) kr/km, mens B øker med \(5\) kr/km.
B blir derfor gunstigere ved lange turer.
Grafene skjærer hverandre ved \(x=120\).
Da koster begge \(1400\) kroner.
A er billigst under 120 km, B er billigst over 120 km.
c) Er antall kilometer han kjører, og prisen han totalt må betale, proporsjonale størrelser? Begrunn svaret ditt.
Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om prisene er på formen \(y=kx\).
Begge firmaene har en fast pris når \(x=0\).
A starter på \(200\), og B starter på \(800\).
Proporsjonale størrelser må ha graf gjennom origo.
Her går ingen av grafene gjennom \((0,0)\).
Fast leie gjør at totalprisen ikke er proporsjonal med kilometer.
Du har en boks med form som et rett, firkantet prisme og en boks med form som en sylinder. De to boksene er like høye.
Grunnflaten i det rette, firkantede prismet er et rektangel med sider 7 cm og 4 cm. Radius i sylinderen er 3 cm.
Hvilken boks har størst volum?
Hva spør oppgaven om? Siden boksene er like høye, trenger vi bare sammenlikne grunnflatene.
\[A_{prisme}=7\cdot 4=28\]
Dette er grunnflaten til prismet.
\[A_{sylinder}=\pi\cdot 3^2=9\pi\approx 28{,}27\]
Sylinderen har litt større grunnflate.
\[28{,}27>28\]
Lik høyde betyr at størst grunnflate gir størst volum.
Sylinderboksen rommer litt mer.
Da forslaget til statsbudsjett for 2015 ble lagt fram, var dette et av oppslagene på nettsidene til avisen Dagens Næringsliv:
Støtten til FN kuttes
Regjeringen vil kutte de direkte overføringene til FN-organisasjoner med 906 millioner kroner – et kutt på over 20 prosent.
Blant FN-organisasjonene som får størst kutt, er UNICEF. Støtten til FNs barneorganisasjon blir bortimot halvert, fra 1 milliard til 520 millioner kroner.
a) Hva kan du si om størrelsen på de direkte overføringene til FN-organisasjoner før dette?
Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke at 906 millioner er litt mer enn 20 prosent av det gamle beløpet.
\[0{,}20\cdot x\approx 906\]
Her er \(x\) de opprinnelige overføringene.
\[x\approx \dfrac{906}{0{,}20}=4530\]
Dette er i millioner kroner.
Siden 906 millioner er over 20 prosent, må totalbeløpet ha vært litt mindre enn 4530 millioner.
De direkte overføringene var i størrelsesorden 4,5 milliarder kroner.
kutt_millioner = 906
andel = 0.20
opprinnelig_omtrent = kutt_millioner / andel
print(f'Omtrent opprinnelig beløp: {opprinnelig_omtrent:.0f} millioner kroner')
print(f'Det er omtrent {opprinnelig_omtrent/1000:.2f} milliarder kroner')b) Med hvor mange prosent ville regjeringen redusere støtten til FNs barneorganisasjon UNICEF?
Hva spør oppgaven om? Støtten går fra 1 milliard kroner til 520 millioner kroner.
\[1000-520=480\]
Begge tallene er i millioner kroner.
\[\dfrac{480}{1000}\cdot 100=48\,\%\]
Vi deler nedgangen på det opprinnelige beløpet.
Dette stemmer med at støtten blir bortimot halvert.
opprinnelig = 1000
ny = 520
kutt = opprinnelig - ny
prosent_kutt = kutt / opprinnelig * 100
print(f'Kutt: {kutt} millioner kroner')
print(f'Prosentvis kutt: {prosent_kutt:.1f} %')Ved en skole er det 437 elever. 164 av elevene drikker melk hver dag. 316 av elevene drikker juice hver dag. 67 av elevene drikker verken melk eller juice hver dag.
a) Lag et venndiagram eller en krysstabell som beskriver situasjonen ovenfor.
Hva spør oppgaven om? Vi skal fordele elevene i fire grupper.
\[437-67=370\]
Dette er unionen av melk og juice.
\[164+316-370=110\]
Summen teller «begge deler» to ganger, derfor trekker vi fra unionen.
| Juice | Ikke juice | Sum | |
|---|---|---|---|
| Melk | 110 | 54 | 164 |
| Ikke melk | 206 | 67 | 273 |
| Sum | 316 | 121 | 437 |
110 elever drikker både melk og juice hver dag.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev ikke drikker melk hver dag.
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne andelen elever uten daglig melk.
\[437-164=273\]
Resten av elevene drikker ikke melk hver dag.
\[P=\dfrac{273}{437}\approx 0{,}625\]
Vi deler gunstige elever på totalt antall elever.
Omtrent \(62{,}5\,\%\) drikker ikke melk hver dag.
c) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev som drikker melk hver dag, også drikker juice hver dag.
Hva spør oppgaven om? Vi vet at eleven drikker melk, så vi bruker bare melk-gruppen som utgangspunkt.
110 elever drikker både melk og juice.
Totalt drikker 164 elever melk.
\[P=\dfrac{110}{164}\approx 0{,}671\]
Vi deler på 164, ikke på alle 437.
Omtrent to av tre melkedrikkere drikker også juice.
Prisen på en vare er endret flere ganger. Først ble prisen satt opp med 20 %. Senere ble den satt opp med 10 % til. En stund etter ble prisen så satt ned med 30 %. Nå koster varen 3 234 kroner.
Hva kostet varen før prisen endret seg første gang?
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne startprisen før tre prosentendringer.
\[1{,}20\cdot 1{,}10\cdot 0{,}70=0{,}924\]
To økninger og én nedgang må multipliseres.
\[0{,}924x=3234\]
Sluttprisen er 3234 kroner.
\[x=\dfrac{3234}{0{,}924}=3500\]
Vi deler på samlet vekstfaktor.
Varen kostet 3500 kroner før endringene.
sluttpris = 3234
vekstfaktor = 1.20 * 1.10 * 0.70
startpris = sluttpris / vekstfaktor
print(f'Samlet vekstfaktor: {vekstfaktor:.3f}')
print(f'Startpris: {startpris:.0f} kroner')Ovenfor ser du en boks «Stabbur-Makrell». Bunnen av boksen er tilnærmet lik et rektangel og to halvsirkler og har form som vist på figuren til høyre. Rektangelet har lengde 8,2 cm og bredde 6,6 cm.
Anta at sideflaten står vinkelrett på topp og bunn, og at boksen er 2,1 cm høy.
a) Bestem volumet av boksen.
Hva spør oppgaven om? Volumet er grunnflateareal ganger høyde.
To halvsirkler blir én hel sirkel med radius \(3{,}3\) cm.
\[A=8{,}2\cdot 6{,}6+\pi\cdot 3{,}3^2\approx 88{,}3\]
Arealet er i kvadratcentimeter.
\[V=88{,}3\cdot 2{,}1\approx 185{,}5\]
Høyden er \(2{,}1\) cm.
Boksen rommer omtrent \(186\,\text{cm}^3\), altså omtrent \(186\) mL.
from math import pi
lengde = 8.2
bredde = 6.6
radius = bredde / 2
hoyde = 2.1
grunnflate = lengde * bredde + pi * radius**2
volum = grunnflate * hoyde
print(f'Grunnflate: {grunnflate:.1f} cm^2')
print(f'Volum: {volum:.1f} cm^3')b) Bestem overflaten av boksen.
Hva spør oppgaven om? Overflaten består av topp, bunn og sideflate.
\[2\cdot 88{,}3\approx 176{,}6\]
Topp og bunn har samme areal.
\[O=2\cdot 8{,}2+\pi\cdot 6{,}6\approx 37{,}1\]
Omkretsen består av to rette sider og én hel sirkelbue.
\[A_{side}=37{,}1\cdot 2{,}1\approx 78{,}0\]
Sideflaten er omkrets ganger høyde.
\[A_{overflate}\approx 176{,}6+78{,}0=254{,}6\]
Boksen har omtrent \(255\,\text{cm}^2\) overflate.
from math import pi
lengde = 8.2
bredde = 6.6
radius = bredde / 2
hoyde = 2.1
grunnflate = lengde * bredde + pi * radius**2
omkrets = 2 * lengde + pi * bredde
overflate = 2 * grunnflate + omkrets * hoyde
print(f'Omkrets av grunnflate: {omkrets:.1f} cm')
print(f'Overflate: {overflate:.1f} cm^2')En bedrift bruker i en periode vann fra et basseng i produksjonen av et nytt produkt.
Funksjonen \(f\) gitt ved
\[f(x)=0{,}0013x^3-0{,}59x^2+61x+2000\quad 0\le x\le 300\]
viser vannstanden \(f(x)\) millimeter i bassenget \(x\) dager etter at fabrikken startet produksjonen av produktet.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til \(f\).
Hva spør oppgaven om? Vi skal vise grafen i riktig intervall.
Intervallbegrensningen gjør at grafen bare vises for perioden i oppgaven.
Grafen stiger først, synker kraftig, og stiger litt igjen mot slutten.
Vannstanden varierer mye gjennom perioden.
import numpy as np
def f(x):
return 0.0013*x**3 - 0.59*x**2 + 61*x + 2000
for xverdi in [0, 100, 200, 300]:
print(f'f({xverdi}) = {f(xverdi):.1f} mm')b) Bestem forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand i bassenget i denne perioden.
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne maksimum og minimum på intervallet.
Dette gir høyeste og laveste vannstand.
\[3855{,}5-709{,}7\approx 3145{,}8\]
Forskjellen er i millimeter.
Vannstanden varierer med omtrent \(3{,}15\) meter.
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = 0.0013*x**3 - 0.59*x**2 + 61*x + 2000
derivert = sp.diff(f, x)
kritiske = [r for r in sp.nroots(derivert) if abs(sp.im(r)) < 1e-10 and 0 <= float(sp.re(r)) <= 300]
verdier = [(0, f.subs(x,0)), (300, f.subs(x,300))]
for r in kritiske:
xr = float(sp.re(r))
verdier.append((xr, float(f.subs(x,xr))))
for xr, yr in verdier:
print(f'x = {xr:.1f}, f(x) = {float(yr):.1f} mm')
print(f'Forskjell = {max(y for _, y in verdier) - min(y for _, y in verdier):.1f} mm')c) Bruk graftegner til å løse likningen \(f(x)=3000\). Hva forteller løsningene om vannstanden i bassenget?
Hva spør oppgaven om? Vi skal finne når vannstanden er \(3000\) mm.
Den tredje matematiske løsningen ligger utenfor intervallet og skal ikke brukes.
Vannstanden er \(3000\) mm etter omtrent \(20\) dager og \(123\) dager.
Mellom disse tidspunktene er vannstanden over \(3000\) mm.
Bassenget passerer nivået \(3\) meter to ganger i perioden.
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = 0.0013*x**3 - 0.59*x**2 + 61*x + 2000
losninger = sp.nroots(f - 3000)
for rot in losninger:
if abs(sp.im(rot)) < 1e-10:
xr = float(sp.re(rot))
status = 'innenfor' if 0 <= xr <= 300 else 'utenfor'
print(f'x = {xr:.1f} dager ({status} intervallet)')d) Bestem stigningstallet for den rette linjen som går gjennom punktene \((90,f(90))\) og \((210,f(210))\). Hva forteller dette stigningstallet om vannstanden i bassenget?
Hva spør oppgaven om? Stigningstallet er gjennomsnittlig endring per dag.
\[f(90)=3658{,}7\quad\text{og}\quad f(210)=830{,}3\]
Verdiene er vannstand i millimeter.
\[a=\dfrac{830{,}3-3658{,}7}{210-90}\approx -23{,}57\]
Vi deler endring i vannstand på antall dager.
Fra dag 90 til dag 210 synker vannstanden i gjennomsnitt med omtrent \(23{,}6\) mm per dag.
def f(x):
return 0.0013*x**3 - 0.59*x**2 + 61*x + 2000
x1 = 90
x2 = 210
y1 = f(x1)
y2 = f(x2)
stigningstall = (y2 - y1) / (x2 - x1)
print(f'f({x1}) = {y1:.1f} mm')
print(f'f({x2}) = {y2:.1f} mm')
print(f'Stigningstall = {stigningstall:.2f} mm per dag')Et flytende rengjøringsmiddel skal blandes med vann i forholdet \(3:10\).
Du skal lage 6,5 dL ferdig blanding.
a) Hvor mye rengjøringsmiddel og hvor mye vann trenger du?
Hva spør oppgaven om? Forholdet har totalt \(3+10=13\) deler.
\[\dfrac{6{,}5}{13}=0{,}5\]
Hver del er \(0{,}5\) dL.
\[3\cdot 0{,}5=1{,}5\]
Det skal være tre deler rengjøringsmiddel.
\[10\cdot 0{,}5=5{,}0\]
Det skal være ti deler vann.
Til sammen blir dette \(6{,}5\) dL ferdig blanding.
Oda har blandet rengjøringsmiddelet med vann i forholdet \(3:8\). Hun har en bøtte med 6,6 L av denne blandingen.
b) Hva kan hun gjøre for å få riktig blandingsforhold i bøtta?
Hva spør oppgaven om? Blandingen har for lite vann i forhold til rengjøringsmiddel.
\[\dfrac{6{,}6}{11}=0{,}6\]
Forholdet \(3:8\) har 11 deler.
\[3\cdot 0{,}6=1{,}8\quad\text{og}\quad 8\cdot 0{,}6=4{,}8\]
Hun har \(1{,}8\) L rengjøringsmiddel og \(4{,}8\) L vann.
\[\dfrac{10}{3}\cdot 1{,}8=6{,}0\]
Til \(1{,}8\) L rengjøringsmiddel trengs \(6{,}0\) L vann.
\[6{,}0-4{,}8=1{,}2\]
Hun kan tilsette \(1{,}2\) L vann.
På et bilde er en bakterie 2 cm lang. I virkeligheten er bakterien 20 µm lang.
\(1\,\mu\text{m}=10^{-6}\) m
Bestem målestokken til bildet.
Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne bildelengde og virkelig lengde i samme enhet.
\[20\,\mu\text{m}=20\cdot 10^{-6}\,\text{m}=0{,}002\,\text{cm}\]
Vi må bruke samme enhet.
\[\dfrac{2}{0{,}002}=1000\]
Bildet er 1000 ganger større enn virkeligheten.
Målestokken er en forstørring.
Jostein vil ha en oversikt som viser hvordan reallønnen hans har endret seg.
a) Lag et regneark som vist ovenfor. Når Jostein har registrert konsumprisindeks og nominell lønn, skal han få beregnet reallønn. Han skal også få beregnet hvor mange prosent reallønnen har endret seg siden forrige registrering.
Hva spør oppgaven om? Vi skal sette opp formler for reallønn og prosentvis endring.
I celle D2 kan vi skrive =C2/B2*100.
Reallønn regnes med basisåret der indeksen er 100.
I celle E3 kan vi skrive =(D3-D2)/D2 og formatere som prosent.
Formelen kopieres nedover.
| År | KPI | Nominell lønn | Reallønn | Endring |
|---|---|---|---|---|
| 1998 | 100 | 290 700 | 290 700 | |
| 2002 | 110,1 | 340 600 | 309 355 | 6,4 % |
| 2006 | 117,7 | 391 500 | 332 625 | 7,5 % |
| 2010 | 128,8 | 474 000 | 368 012 | 10,6 % |
| 2014 | 136,9 | 530 100 | 387 217 | 5,2 % |
Reallønnen økte i alle periodene.
data = [
(1998, 100.0, 290700),
(2002, 110.1, 340600),
(2006, 117.7, 391500),
(2010, 128.8, 474000),
(2014, 136.9, 530100),
]
forrige_reallonn = None
for aar, kpi, nominell in data:
reallonn = nominell / kpi * 100
if forrige_reallonn is None:
print(f'{aar}: reallønn = {reallonn:.0f} kr')
else:
endring = (reallonn - forrige_reallonn) / forrige_reallonn * 100
print(f'{aar}: reallønn = {reallonn:.0f} kr, endring = {endring:.1f} %')
forrige_reallonn = reallonnAnta at konsumprisindeksen øker med 2,5 % per år i perioden fra 2014 til 2024.
b) Hva må Josteins nominelle lønn i 2024 være dersom han da skal få en reallønn som er 10 % høyere enn reallønnen i 2014?
Hva spør oppgaven om? Vi skal først finne ønsket reallønn og KPI i 2024.
\[\dfrac{530100}{136{,}9}\cdot 100\approx 387217\]
Dette er reallønn målt i 1998-kroner.
\[387217\cdot 1{,}10\approx 425939\]
Dette er ønsket reallønn i 2024.
\[136{,}9\cdot 1{,}025^{10}\approx 175{,}2\]
Det er ti år fra 2014 til 2024.
\[\text{nominell}=\dfrac{425939\cdot 175{,}2}{100}\approx 746430\]
Jostein må ha omtrent 746 000 kroner i nominell lønn.
kpi_2014 = 136.9
nominell_2014 = 530100
reallonn_2014 = nominell_2014 / kpi_2014 * 100
onsket_reallonn_2024 = reallonn_2014 * 1.10
kpi_2024 = kpi_2014 * 1.025**10
nominell_2024 = onsket_reallonn_2024 * kpi_2024 / 100
print(f'Reallønn 2014: {reallonn_2014:.0f} kr')
print(f'Ønsket reallønn 2024: {onsket_reallonn_2024:.0f} kr')
print(f'KPI 2024: {kpi_2024:.1f}')
print(f'Nominell lønn 2024: {nominell_2024:.0f} kr')En vanntank har form som en sylinder. Tanken er 0,8 m høy og rommer 150 L.
Bestem radius i tanken.
Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sylindervolum og løse for radius.
\[150\,\text{L}=0{,}150\,\text{m}^3\]
Volumformelen bruker meter.
\[0{,}150=\pi r^2\cdot 0{,}8\]
Volum av sylinder er grunnflate ganger høyde.
\[r=\sqrt{\dfrac{0{,}150}{0{,}8\pi}}\approx 0{,}244\]
Vi tar kvadratroten til slutt.
Radius er omtrent \(24{,}4\) cm.
from math import pi, sqrt
volum_liter = 150
volum_m3 = volum_liter / 1000
hoyde = 0.8
radius = sqrt(volum_m3 / (pi * hoyde))
print(f'Volum: {volum_m3:.3f} m^3')
print(f'Radius: {radius:.3f} m')
print(f'Radius: {radius*100:.1f} cm')