Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke målestokken til å gjøre en lengde på tegningen om til virkelig lengde.

Steg 1 — Bruk målestokken

\[ 1\text{ mm på tegningen}=50\text{ mm i virkeligheten} \]

Målestokken \(1:50\) betyr at alle lengder blir 50 ganger større i virkeligheten.

Steg 2 — Gang opp feilen

\[ 6\cdot 50=300 \]

Feilen på tegningen må derfor multipliseres med 50.

Steg 3 — Gjør om enhet

\[ 300\text{ mm}=30\text{ cm} \]

Det er mer praktisk å oppgi byggefeilen i centimeter.

Tolkning

Døren blir plassert 30 cm feil når huset bygges.

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre et raskt overslag ved å runde tallene til enklere tall.

Steg 1 — Rund av tallene

\[ 617\approx 600 \quad \text{og}\quad 15{,}3\approx 15 \]

Tallene er valgt slik at \(600:15\) er lett å regne i hodet.

Steg 2 — Del total mengde på innhold per kanne

\[ 600:15=40 \]

Dette gir omtrent hvor mange kanner som trengs.

Steg 3 — Vurder svaret

\[ 617:15{,}3\approx 40{,}3 \]

Nøyaktig regning viser at du må ha litt mer enn 40 kanner dersom all oljen skal få plass.

Tolkning

Overslaget viser størrelsesordenen; siden \(40\) kanner ikke rommer alt, må du runde opp i praksis.

Hva spør oppgaven om? Vi skal isolere \(x\) ved å gjøre motsatte regneoperasjoner på begge sider.

Steg 1 — Start med likningen

\[ \dfrac{3(x+4)}{2}=9 \]

Vi skriver uttrykket samlet, slik at det er tydelig hva som skal løses.

Steg 2 — Multipliser med 2

\[ 3(x+4)=18 \]

Da fjerner vi nevneren.

Steg 3 — Del på 3

\[ x+4=6 \]

Da står parentesen alene.

Steg 4 — Trekk fra 4

\[ x=2 \]

Til slutt isolerer vi \(x\).

Tolkning

Når \(x=2\), blir venstresiden \(9\), så løsningen passer.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker arealformelen for trapes og løser for den ukjente parallelle siden.

Steg 1 — Skriv trapesformelen

\[ A=\dfrac{(a+b)h}{2} \]

Arealet er gjennomsnittet av de parallelle sidene multiplisert med høyden.

Steg 2 — Sett inn kjente verdier

\[ 9=\dfrac{(4+b)\cdot 3}{2} \]

Vi lar \(b\) være den ukjente parallelle siden.

Steg 3 — Løs likningen

\[ 18=3(4+b)\quad \Rightarrow\quad 6=4+b \]

Vi multipliserer med 2 og deler på 3.

Steg 4 — Finn siden

\[ b=2 \]

Den andre parallelle siden er derfor \(2\) cm.

Tolkning

Med sidene 4 cm og 2 cm og høyde 3 cm blir arealet 9 cm\(^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne 15 prosent av 7,2 milliarder.

Steg 1 — Skriv prosent som desimaltall

\[ 15\,\%=0{,}15 \]

Prosent betyr hundredeler.

Steg 2 — Regn ut andelen

\[ 7{,}2\cdot 0{,}15=1{,}08 \]

Tallet er i milliarder fordi utgangspunktet er milliarder mennesker.

Steg 3 — Rund av praktisk

\[ 1{,}08\text{ milliarder}\approx 1{,}1\text{ milliarder} \]

Oppgaven spør omtrent, så avrunding er naturlig.

Tolkning

Dette er en stor andel av verdens befolkning, omtrent én av seks–sju personer.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker sammenhengen mellom nominell lønn, reallønn og konsumprisindeks.

Steg 1 — Skriv sammenhengen

\[ \text{reallønn}=\dfrac{\text{nominell lønn}\cdot 100}{\text{KPI}} \]

Formelen gjør nominell lønn om til verdi målt i basisårskroner.

Steg 2 — Sett inn tall

\[ 500\,000=\dfrac{600\,000\cdot 100}{\text{KPI}} \]

KPI er den ukjente størrelsen.

Steg 3 — Løs for KPI

\[ \text{KPI}=\dfrac{600\,000\cdot 100}{500\,000}=120 \]

Vi flytter KPI opp og deler på reallønnen.

Tolkning

Prisnivået lå 20 prosent over basisåret når reallønnen er lavere enn nominell lønn.

Hva spør oppgaven om? Vi finner først total ferdigblandet drikke og deretter saftdelen av blandingen.

Steg 1 — Finn total mengde ferdig drikke

\[ 500\cdot 0{,}2=100 \]

Alle personene skal få \(0{,}2\) L hver.

Steg 2 — Tolke forholdet

\[ 1:9 \quad \Rightarrow\quad 1+9=10\text{ deler totalt} \]

Ren saft er 1 av 10 deler i ferdig blanding.

Steg 3 — Finn saftmengden

\[ \dfrac{1}{10}\cdot 100=10 \]

Vi tar én tidel av total mengde ferdig blanding.

Tolkning

Resten, \(90\) L, er vann.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker den rettvinklede trekanten i skissen. Skråsiden er 2,5 m og den vannrette kateten er 1,5 m.

Steg 1 — Bruk Pytagoras

\[ h^2+1{,}5^2=2{,}5^2 \]

Høyden og den vannrette forskyvningen er kateter i en rettvinklet trekant.

Steg 2 — Sett inn og regn

\[ h^2=2{,}5^2-1{,}5^2=6{,}25-2{,}25=4 \]

Vi isolerer \(h^2\).

Steg 3 — Ta kvadratroten

\[ h=\sqrt{4}=2{,}0 \]

Høyden er en lengde og må være positiv.

Tolkning

Skissen stemmer med at parallellogrammet har en loddrett høyde på 2,0 m.

Hva spør oppgaven om? Vi finner først arealet av parallellogrammet, deretter volumet av jordlaget.

Steg 1 — Finn arealet

\[ A=5{,}0\cdot 2{,}0=10{,}0\text{ m}^2 \]

Arealet av et parallellogram er grunnlinje ganger høyde.

Steg 2 — Gjør om jorddybden

\[ 10\text{ cm}=0{,}10\text{ m} \]

Volumregningen må bruke samme lengdeenhet.

Steg 3 — Finn jordvolumet

\[ V=10{,}0\cdot 0{,}10=1{,}0\text{ m}^3=1000\text{ L} \]

Én kubikkmeter er \(1000\) liter.

Steg 4 — Del på liter per sekk

\[ 1000:35\approx 28{,}6 \]

Du kan ikke kjøpe en del av en sekk, så svaret rundes opp.

Tolkning

28 sekker er ikke nok; derfor må du kjøpe 29 sekker.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker prisregelen for avtale 1: fast beløp pluss pris per trening.

Steg 1 — Skriv prisregelen

\[ P=160+20A \]

Her er \(A\) antall treninger i måneden.

Steg 2 — Januar

\[ P=160+20\cdot 8=320 \]

Hun trente 8 ganger i januar.

Steg 3 — Februar

\[ P=160+20\cdot 14=440 \]

Hun trente 14 ganger i februar.

Tolkning

Prisen øker med 20 kroner for hver ekstra trening.

Hva spør oppgaven om? Vi tegner grafen til prisregelen for avtale 1.

Steg 1 — Bruk funksjonen

\[ P=160+20A \]

Dette er en lineær funksjon med startverdi \(160\).

Steg 2 — Finn to punkter

\[ A=0\Rightarrow P=160 \quad \text{og}\quad A=10\Rightarrow P=360 \]

To punkter er nok til å tegne en rett linje.

Steg 3 — Tegn linjen

\[ \text{Linjen går gjennom }(0,160)\text{ og }(10,360) \]

Aksen horisontalt viser antall treninger, og aksen vertikalt viser kroner.

Tolkning

Startverdien viser månedsbeløpet, og stigningstallet viser prisen per trening.

Hva spør oppgaven om? Vi sammenlikner avtale 1 med fastprisen i avtale 2.

Steg 1 — Sett prisene like

\[ 160+20A=400 \]

Skjæringspunktet viser når avtalene koster det samme.

Steg 2 — Løs likningen

\[ 20A=240\quad \Rightarrow\quad A=12 \]

Ved 12 treninger er begge avtalene like dyre.

Steg 3 — Vurder lønnsomhet

\[ A>12 \]

Avtale 2 lønner seg først når avtale 1 ville kostet mer enn 400 kroner.

Tolkning

Ved 12 treninger er avtalene like dyre; etter dette er fastprisavtalen billigst.

Hva spør oppgaven om? Vi ser på pris per trening, ikke total månedspris.

Steg 1 — Avtale 1

\[ P=\dfrac{160+20A}{A}=\dfrac{160}{A}+20 \]

Prisen per trening består av en fast del fordelt på treningene og 20 kroner per gang.

Steg 2 — Vurder avtale 1

\[ P\neq kA \quad \text{og}\quad P\neq \dfrac{k}{A} \]

Uttrykket har både \(160/A\) og \(20\), så det er verken proporsjonalt eller omvendt proporsjonalt.

Steg 3 — Avtale 2

\[ P=\dfrac{400}{A} \]

Fast månedspris fordeles på antall treninger.

Steg 4 — Vurder avtale 2

\[ P=\dfrac{400}{A} \]

Dette er omvendt proporsjonalitet.

Tolkning

I avtale 2 blir pris per trening lavere jo flere ganger du trener.

Hva spør oppgaven om? Vi fyller inn hvor mange som har gjort og ikke gjort leksene.

Steg 1 — Jenter

\[ 10-6=4 \]

Det er 10 jenter, og 6 har gjort leksene. Da har 4 ikke gjort dem.

Steg 2 — Gutter

\[ 8-3=5 \]

Det er 8 gutter, og 3 har gjort leksene. Da har 5 ikke gjort dem.

Steg 3 — Summer

\[ 6+3=9 \quad \text{og}\quad 4+5=9 \]

Totalt har 9 gjort og 9 ikke gjort leksene.

Tolkning

Tabellen gjør det lettere å bruke opplysningene i sannsynlighetsdelen.

Hva spør oppgaven om? Vi velger blant de 9 elevene som ikke har gjort leksene: 4 jenter og 5 gutter.

Steg 1 — Finn gunstige par

\[ 4\cdot 5=20 \]

Ett gunstig par består av én av de 4 jentene og én av de 5 guttene.

Steg 2 — Finn alle mulige par

\[ \binom{9}{2}=\dfrac{9\cdot 8}{2}=36 \]

Vi velger to elever uten å bry oss om rekkefølge.

Steg 3 — Regn sannsynligheten

\[ P=\dfrac{20}{36}=\dfrac{5}{9} \]

Sannsynlighet er gunstige utfall delt på mulige utfall.

Tolkning

Blant elevene uten lekser er det nesten like mange jenter og gutter, derfor blir sannsynligheten over 50 prosent.

Hva spør oppgaven om? Vi gjør begge prisene om til pris per 1000 g.

Steg 1 — Pris per kilogram i 1990

\[ \dfrac{31}{0{,}600}=51{,}666\ldots \]

600 g er \(0{,}600\) kg.

Steg 2 — Pris per kilogram i 2012

\[ \dfrac{24}{0{,}350}=68{,}571\ldots \]

350 g er \(0{,}350\) kg.

Steg 3 — Rund av til øre

\[ 51{,}67\text{ kr/kg}\quad \text{og}\quad 68{,}57\text{ kr/kg} \]

Pris per kilogram bør oppgis med to desimaler.

Tolkning

Kiloprisen gjør at pakninger med ulik vekt kan sammenliknes rettferdig.

Kontroll (Python)

# Pris per kilogram for kjøttdeig i 1990 og 2012
pris_1990 = 31
vekt_1990_kg = 600 / 1000
pris_2012 = 24
vekt_2012_kg = 350 / 1000

kgpris_1990 = pris_1990 / vekt_1990_kg
kgpris_2012 = pris_2012 / vekt_2012_kg

print("Kilopris 1990:", round(kgpris_1990, 2), "kr/kg")
print("Kilopris 2012:", round(kgpris_2012, 2), "kr/kg")
# Utskrift:
# Kilopris 1990: 51.67 kr/kg
# Kilopris 2012: 68.57 kr/kg

Hva spør oppgaven om? Vi bruker prosentvis økning fra gammel kilopris til ny kilopris.

Steg 1 — Sett opp formelen

\[ \text{prosentvis økning}=\dfrac{\text{ny pris}-\text{gammel pris}}{\text{gammel pris}}\cdot 100\,\% \]

Dette måler økningen relativt til prisen i 1990.

Steg 2 — Sett inn kiloprisene

\[ \dfrac{68{,}571-51{,}667}{51{,}667}\cdot 100\,\%\approx 32{,}7\,\% \]

Vi bruker kiloprisene fra oppgave a.

Steg 3 — Rund av

\[ 32{,}7\,\%\approx 33\,\% \]

Begge avrundinger er rimelige avhengig av ønsket presisjon.

Tolkning

Kiloprisen steg med omtrent en tredel fra 1990 til 2012.

Kontroll (Python)

# Prosentvis økning i kilopris
kgpris_1990 = 31 / 0.600
kgpris_2012 = 24 / 0.350

okning_prosent = (kgpris_2012 - kgpris_1990) / kgpris_1990 * 100

print("Kilopris 1990:", round(kgpris_1990, 2))
print("Kilopris 2012:", round(kgpris_2012, 2))
print("Prosentvis økning:", round(okning_prosent, 1), "%")
# Utskrift:
# Kilopris 1990: 51.67
# Kilopris 2012: 68.57
# Prosentvis økning: 32.7 %

Hva spør oppgaven om? Vi justerer 1990-prisen med forholdet mellom indeksene.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren fra KPI

\[ \dfrac{131{,}4}{83{,}7}\approx 1{,}570 \]

Dette viser hvor mye prisnivået økte ifølge konsumprisindeksen.

Steg 2 — Multipliser 1990-kiloprisen

\[ 51{,}667\cdot \dfrac{131{,}4}{83{,}7}\approx 81{,}11 \]

Vi lar kjøttdeigprisen følge samme utvikling som KPI.

Steg 3 — Tolk beløpet

\[ 81{,}11\text{ kr/kg} \]

Dette er modellprisen dersom bare generell prisvekst styrte prisen.

Tolkning

Den faktiske kiloprisen 68,57 kr/kg var lavere enn KPI-justert pris.

Kontroll (Python)

# KPI-justert kilopris fra 1990 til 2012
kgpris_1990 = 31 / 0.600
kpi_1990 = 83.7
kpi_2012 = 131.4

vekstfaktor_kpi = kpi_2012 / kpi_1990
kpi_justert_pris = kgpris_1990 * vekstfaktor_kpi

print("KPI-vekstfaktor:", round(vekstfaktor_kpi, 3))
print("KPI-justert pris:", round(kpi_justert_pris, 2), "kr/kg")
# Utskrift:
# KPI-vekstfaktor: 1.57
# KPI-justert pris: 81.11 kr/kg

Hva spør oppgaven om? Vi lager et valgtre med tre trekk uten tilbakelegging.

Steg 1 — Første trekk

\[ P(H)=\dfrac{8}{14}\quad \text{og}\quad P(R)=\dfrac{6}{14} \]

Det er 8 hvite og 6 røde kuler av 14 totalt.

Steg 2 — Andre trekk

\[ \text{Sannsynlighetene endres fordi kulen ikke legges tilbake.} \]

Etter en hvit kule er det 7 hvite og 6 røde igjen; etter en rød kule er det 8 hvite og 5 røde igjen.

Steg 3 — Tredje trekk

\[ \text{Fortsett på samme måte for hver gren.} \]

I et valgtre skrives sannsynligheten på hver gren ut fra hva som allerede er trukket.

Tolkning

Valgtreet gjør det tydelig hvilke veier som gir to hvite og én rød kule.

Hva spør oppgaven om? Vi legger sammen de tre veiene som gir nøyaktig to hvite og én rød: HHR, HRH og RHH.

Steg 1 — Regn veien HHR

\[ \dfrac{8}{14}\cdot\dfrac{7}{13}\cdot\dfrac{6}{12} \]

Dette betyr hvit, hvit, rød.

Steg 2 — Regn veiene HRH og RHH

\[ \dfrac{8}{14}\cdot\dfrac{6}{13}\cdot\dfrac{7}{12}\quad \text{og}\quad \dfrac{6}{14}\cdot\dfrac{8}{13}\cdot\dfrac{7}{12} \]

Alle tre rekkefølger må tas med.

Steg 3 — Legg sammen

\[ P=3\cdot \dfrac{8\cdot 7\cdot 6}{14\cdot 13\cdot 12}=\dfrac{6}{13}\approx 0{,}462 \]

De tre veiene har samme produkt fordi de inneholder samme antall hvite og røde trekk.

Tolkning

Litt under halvparten av alle tre-trekk gir to hvite og én rød.

Kontroll (Python)

from fractions import Fraction

# Tre rekkefølger som gir to hvite og én rød
HHR = Fraction(8, 14) * Fraction(7, 13) * Fraction(6, 12)
HRH = Fraction(8, 14) * Fraction(6, 13) * Fraction(7, 12)
RHH = Fraction(6, 14) * Fraction(8, 13) * Fraction(7, 12)

sannsynlighet = HHR + HRH + RHH

print("HHR =", HHR)
print("HRH =", HRH)
print("RHH =", RHH)
print("Samlet sannsynlighet =", sannsynlighet)
print("Som prosent =", round(float(sannsynlighet) * 100, 1), "%")
# Utskrift:
# HHR = 2/13
# HRH = 2/13
# RHH = 2/13
# Samlet sannsynlighet = 6/13
# Som prosent = 46.2 %

Hva spør oppgaven om? Vi bruker digitalt verktøy fordi grafen til en tredjegradsfunksjon bør tegnes presist.

Steg 1 — Definer funksjonen

\[ f(x)=-0{,}002x^3+0{,}06x^2-0{,}2x+2 \]

Funksjonen gir vindstyrke i m/s.

Steg 2 — Bruk gyldig intervall

\[ 0\le x\le 24 \]

Grafen skal bare tegnes for dette døgnet.

Steg 3 — Tegn grafen

\[ \text{Grafen tegnes for }x\in[0,24] \]

Aksen \(x\) viser timer etter midnatt.

Tolkning

Modellen beskriver ett døgn, ikke tider før eller etter dette intervallet.

Kontroll (GeoGebra / Python)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Vindstyrkemodell for 18. mai 2014
x = np.linspace(0, 24, 241)
f = -0.002*x**3 + 0.06*x**2 - 0.2*x + 2

plt.plot(x, f)
plt.xlabel("Timer etter midnatt")
plt.ylabel("Vindstyrke (m/s)")
plt.grid(True)
plt.show()

print("Minste beregnede verdi i punktene:", round(float(f.min()), 3))
print("Største beregnede verdi i punktene:", round(float(f.max()), 3))
# Utskrift i terminalen viser omtrent:
# Minste beregnede verdi i punktene: 1.823
# Største beregnede verdi i punktene: 6.177

Hva spør oppgaven om? Vi gjør klokkeslettet om til timer etter midnatt og setter inn i funksjonen.

Steg 1 — Gjør om klokkeslett

\[ 09.45=9{,}75\text{ timer etter midnatt} \]

45 minutter er \(45/60=0{,}75\) timer.

Steg 2 — Sett inn i modellen

\[ f(9{,}75)=-0{,}002\cdot 9{,}75^3+0{,}06\cdot 9{,}75^2-0{,}2\cdot 9{,}75+2 \]

Dette gir vindstyrken ifølge modellen.

Steg 3 — Regn ut

\[ f(9{,}75)\approx 3{,}90 \]

Enheten er m/s.

Tolkning

Dette ligger i området for lett bris.

Kontroll (GeoGebra / Python)

# Vindstyrke klokken 09.45
x = 9 + 45/60
f = -0.002*x**3 + 0.06*x**2 - 0.2*x + 2

print("Tid etter midnatt:", x, "timer")
print("Vindstyrke:", round(f, 2), "m/s")
# Utskrift:
# Tid etter midnatt: 9.75 timer
# Vindstyrke: 3.9 m/s

Hva spør oppgaven om? Vi finner bunnpunkt og toppunkt på intervallet \(0\le x\le 24\).

Steg 1 — Finn kritiske punkter

\[ f\prime(x)=-0{,}006x^2+0{,}12x-0{,}2 \]

Topp- og bunnpunkt kan ligge der den deriverte er null.

Steg 2 — Løs digitalt

\[ f\prime(x)=0 \quad \Rightarrow\quad x\approx 1{,}84 \text{ og } x\approx 18{,}16 \]

Disse tidene ligger innenfor døgnet.

Steg 3 — Sammenlikn verdier

\[ f(1{,}84)\approx 1{,}82 \quad \text{og}\quad f(18{,}16)\approx 6{,}18 \]

Bunnpunktet er minst, og toppunktet er størst.

Tolkning

Modellen viser svakest vind tidlig på natten og sterkest vind på kvelden.

Kontroll (GeoGebra / Python)

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
f = -sp.Rational(2, 1000)*x**3 + sp.Rational(6, 100)*x**2 - sp.Rational(2, 10)*x + 2
f_derivert = sp.diff(f, x)
kritiske = sp.solve(f_derivert, x)

print("f'(x) =", sp.expand(f_derivert))
print("Kritiske x-verdier:")
for verdi in kritiske:
    print("x =", round(float(verdi), 2), "timer, f(x) =", round(float(f.subs(x, verdi)), 2), "m/s")

print("Endepunkter:")
print("x = 0, f(x) =", float(f.subs(x, 0)))
print("x = 24, f(x) =", float(f.subs(x, 24)))
# Utskrift:
# f'(x) = -3*x**2/500 + 3*x/25 - 1/5
# Kritiske x-verdier:
# x = 1.84 timer, f(x) = 1.82 m/s
# x = 18.16 timer, f(x) = 6.18 m/s
# Endepunkter:
# x = 0, f(x) = 2.0
# x = 24, f(x) = 4.112

Hva spør oppgaven om? Vi finner når modellen ligger mellom \(3{,}4\) og \(5{,}4\).

Steg 1 — Sett nedre grense

\[ f(x)=3{,}4 \quad \Rightarrow\quad x\approx 8{,}48 \]

Dette er når vindstyrken først kommer opp i lett bris.

Steg 2 — Sett øvre grense

\[ f(x)=5{,}4 \quad \Rightarrow\quad x\approx 13{,}77 \text{ og } x\approx 21{,}88 \]

Mellom disse grensene må vi lese grafen og modellen sammen.

Steg 3 — Les av intervallene

\[ 8{,}48\le x\le 13{,}77 \quad \text{og}\quad 21{,}88\le x\le 24 \]

Etter kl. 21.53 er modellen igjen under 5,4 m/s og over 3,4 m/s fram til midnatt.

Tolkning

Tidsrommene er funnet ved å koble modellen til vindstyrketabellen.

Kontroll (Python)

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
f = -sp.Rational(2, 1000)*x**3 + sp.Rational(6, 100)*x**2 - sp.Rational(2, 10)*x + 2

nedre_roetter = [r for r in sp.nroots(f - sp.Rational(34, 10)) if abs(sp.im(r)) < 1e-10]
ovre_roetter = [r for r in sp.nroots(f - sp.Rational(54, 10)) if abs(sp.im(r)) < 1e-10]

print("Løsninger av f(x) = 3.4:")
for r in nedre_roetter:
    print(round(float(sp.re(r)), 2))

print("Løsninger av f(x) = 5.4:")
for r in ovre_roetter:
    print(round(float(sp.re(r)), 2))

print("Lett bris i modellen:")
print("Fra ca. 08:29 til ca. 13:46")
print("Fra ca. 21:53 til 24:00")
# Utskrift:
# Løsninger av f(x) = 3.4:
# -3.32
# 8.48
# 24.84
# Løsninger av f(x) = 5.4:
# -5.64
# 13.77
# 21.88
# Lett bris i modellen:
# Fra ca. 08:29 til ca. 13:46
# Fra ca. 21:53 til 24:00

Hva spør oppgaven om? Vi bruker forholdet \(AB:AC=4:11\).

Steg 1 — Sett opp forholdet

\[ \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{11} \]

Avstanden fra veggen er 4 deler, og høyden er 11 deler.

Steg 2 — Sett inn \(AB=80\)

\[ \dfrac{80}{AC}=\dfrac{4}{11} \]

Høyden \(AC\) er ukjent.

Steg 3 — Løs

\[ AC=80\cdot \dfrac{11}{4}=220 \]

Vi ganger avstanden med \(11/4\).

Tolkning

Høyden er større enn avstanden fra veggen, slik regelen tilsier.

Kontroll (Python)

# 4:11-regelen for stige
avstand_fra_vegg_cm = 80
hoyde_cm = avstand_fra_vegg_cm * 11 / 4

print("Avstand fra vegg:", avstand_fra_vegg_cm, "cm")
print("Høyde opp på veggen:", hoyde_cm, "cm")
print("Høyde i meter:", hoyde_cm / 100, "m")
# Utskrift:
# Avstand fra vegg: 80 cm
# Høyde opp på veggen: 220.0 cm
# Høyde i meter: 2.2 m

Hva spør oppgaven om? Stigen er hypotenusen i en rettvinklet trekant. Vi kombinerer forholdet \(4:11\) med Pytagoras.

Steg 1 — Sett delene

\[ AB=4k \quad \text{og}\quad AC=11k \]

Forholdet mellom avstand og høyde er \(4:11\).

Steg 2 — Bruk stigens lengde

\[ (4k)^2+(11k)^2=5^2 \]

Stigen på 5 m er hypotenusen.

Steg 3 — Løs for \(k\)

\[ 137k^2=25 \quad \Rightarrow\quad k=\dfrac{5}{\sqrt{137}} \]

Vi tar positiv rot fordi \(k\) er en lengde.

Steg 4 — Finn høyden

\[ AC=11k=\dfrac{55}{\sqrt{137}}\approx 4{,}70 \]

Dette er høyden opp på veggen.

Tolkning

Stigen er 5 m lang, så en høyde litt under 5 m er rimelig.

Kontroll (Python)

import math

stige_lengde_m = 5
k = stige_lengde_m / math.sqrt(4**2 + 11**2)
avstand_m = 4 * k
hoyde_m = 11 * k

print("k =", round(k, 4))
print("Avstand fra vegg =", round(avstand_m, 2), "m")
print("Høyde opp på veggen =", round(hoyde_m, 2), "m")
print("Kontroll, stigens lengde =", round(math.sqrt(avstand_m**2 + hoyde_m**2), 2), "m")
# Utskrift:
# k = 0.4271
# Avstand fra vegg = 1.71 m
# Høyde opp på veggen = 4.7 m
# Kontroll, stigens lengde = 5.0 m

Hva spør oppgaven om? Vi bruker vekstfaktor for gjentatt prosentvis økning.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren

\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]

En økning på 10 prosent tilsvarer å gange med 1,10.

Steg 2 — Fem økninger

\[ 246\cdot 1{,}10^5 \]

Samme prosentøkning gjentas fem ganger.

Steg 3 — Regn ut

\[ 246\cdot 1{,}10^5\approx 396{,}19 \]

Vi runder til nærmeste øre/krone etter behov.

Tolkning

Prisen har økt betydelig fordi prosentøkningene virker på en stadig høyere pris.

Kontroll (Python)

# Pris etter fem økninger på 10 prosent
opprinnelig_pris = 246
vekstfaktor = 1.10
antall_okninger = 5

ny_pris = opprinnelig_pris * vekstfaktor**antall_okninger

print("Opprinnelig pris:", opprinnelig_pris, "kr")
print("Vekstfaktor:", vekstfaktor)
print("Antall økninger:", antall_okninger)
print("Ny pris:", round(ny_pris, 2), "kr")
# Utskrift:
# Opprinnelig pris: 246 kr
# Vekstfaktor: 1.1
# Antall økninger: 5
# Ny pris: 396.19 kr

Hva spør oppgaven om? Vi sammenlikner sluttprisen med startprisen.

Steg 1 — Samlet vekstfaktor

\[ 1{,}10^5=1{,}61051 \]

Dette viser hvor mange ganger større prisen er blitt.

Steg 2 — Gjør om til prosentøkning

\[ (1{,}61051-1)\cdot 100\,\%=61{,}051\,\% \]

Vi trekker fra 1 fordi bare økningen skal oppgis.

Steg 3 — Rund av

\[ 61{,}051\,\%\approx 61{,}1\,\% \]

En desimal er passende her.

Tolkning

Fem økninger på 10 prosent gir mer enn 50 prosent samlet økning.

Kontroll (Python)

# Samlet prosentøkning etter fem økninger på 10 prosent
vekstfaktor = 1.10
antall_okninger = 5

samlet_vekstfaktor = vekstfaktor**antall_okninger
samlet_okning_prosent = (samlet_vekstfaktor - 1) * 100

print("Samlet vekstfaktor:", round(samlet_vekstfaktor, 5))
print("Samlet prosentøkning:", round(samlet_okning_prosent, 1), "%")
# Utskrift:
# Samlet vekstfaktor: 1.61051
# Samlet prosentøkning: 61.1 %

Hva spør oppgaven om? Vi går bakover ved å dele på samlet vekstfaktor.

Steg 1 — Bruk samlet vekstfaktor

\[ 1{,}10^5=1{,}61051 \]

Denne faktoren kobler opprinnelig pris til sluttpris.

Steg 2 — Sett opp likningen

\[ \text{opprinnelig pris}\cdot 1{,}10^5=550 \]

Den opprinnelige prisen er ukjent.

Steg 3 — Del på vekstfaktoren

\[ \text{opprinnelig pris}=\dfrac{550}{1{,}10^5}\approx 341{,}51 \]

Vi deler fordi vi skal finne prisen før økningene.

Tolkning

Etter fem økninger på 10 prosent blir dette 550 kroner.

Kontroll (Python)

# Opprinnelig pris når sluttprisen er kjent
sluttpris = 550
vekstfaktor = 1.10
antall_okninger = 5

opprinnelig_pris = sluttpris / vekstfaktor**antall_okninger

print("Sluttpris:", sluttpris, "kr")
print("Samlet vekstfaktor:", round(vekstfaktor**antall_okninger, 5))
print("Opprinnelig pris:", round(opprinnelig_pris, 2), "kr")
# Utskrift:
# Sluttpris: 550 kr
# Samlet vekstfaktor: 1.61051
# Opprinnelig pris: 341.51 kr

Hva spør oppgaven om? Vi finner arbeidsinntekt og skatter bare av delen over fribeløpet.

Steg 1 — Finn arbeidsinntekten

\[ 346\cdot 135=46\,710 \]

Hun arbeidet 346 timer med 135 kroner per time.

Steg 2 — Finn skattepliktig overskytende del

\[ 46\,710-39\,950=6\,760 \]

Fribeløpet trekkes fra før skatten beregnes.

Steg 3 — Regn skatten

\[ 0{,}50\cdot 6\,760=3\,380 \]

Det trekkes 50 prosent skatt av beløpet over frikortgrensen.

Tolkning

Hun betaler ikke 50 prosent av hele inntekten, bare av inntekten over fribeløpet.

Kontroll (Regneark / Python)

# Skatt for Ellinor i 2013
arbeidstimer = 346
timelonn = 135
fribelop = 39950
skattesats = 0.50

brutto_arbeidsinntekt = arbeidstimer * timelonn
inntekt_over_fribelop = max(0, brutto_arbeidsinntekt - fribelop)
skatt = inntekt_over_fribelop * skattesats
netto_arbeidsinntekt = brutto_arbeidsinntekt - skatt

print("Brutto arbeidsinntekt:", brutto_arbeidsinntekt, "kr")
print("Inntekt over fribeløp:", inntekt_over_fribelop, "kr")
print("Skatt:", skatt, "kr")
print("Netto arbeidsinntekt:", netto_arbeidsinntekt, "kr")
# Utskrift:
# Brutto arbeidsinntekt: 46710 kr
# Inntekt over fribeløp: 6760 kr
# Skatt: 3380.0 kr
# Netto arbeidsinntekt: 43330.0 kr

Hva spør oppgaven om? Vi summerer netto arbeidsinntekt, Lånekassen og alle utgifter.

Steg 1 — Summer Lånekassen

\[ 2\cdot 18\,880+8\cdot 7\,080=94\,400 \]

Juni og juli gir 0 kroner. De to høye månedene er august og januar, og det er 8 andre måneder.

Steg 2 — Ta med netto arbeidsinntekt

\[ 46\,710-3\,380=43\,330 \]

Skatten fra oppgave a trekkes fra arbeidsinntekten.

Steg 3 — Finn totale inntekter

\[ 94\,400+43\,330=137\,730 \]

Dette er pengene Ellinor faktisk har til rådighet.

Steg 4 — Finn totale utgifter

\[ 12\cdot(4\,000+3\,000+1\,200+2\,100)+10\,000=133\,600 \]

Månedsutgiftene gjelder alle 12 måneder, og reiser kommer i tillegg.

Steg 5 — Finn overskudd

\[ 137\,730-133\,600=4\,130 \]

Positivt tall betyr at inntektene er større enn utgiftene.

Tolkning

Budsjettet viser at Ellinor akkurat går i pluss dette året.

Kontroll (Regneark / Python)

# Årsoversikt for Ellinor i 2013
brutto_arbeidsinntekt = 346 * 135
skatt = (brutto_arbeidsinntekt - 39950) * 0.50
netto_arbeidsinntekt = brutto_arbeidsinntekt - skatt

lanekassen = 2 * 18880 + 8 * 7080
inntekter_totalt = netto_arbeidsinntekt + lanekassen

manedsutgifter = 4000 + 3000 + 1200 + 2100
utgifter_totalt = 12 * manedsutgifter + 10000
overskudd = inntekter_totalt - utgifter_totalt

print("Lånekassen totalt:", lanekassen, "kr")
print("Netto arbeidsinntekt:", netto_arbeidsinntekt, "kr")
print("Totale inntekter:", inntekter_totalt, "kr")
print("Totale utgifter:", utgifter_totalt, "kr")
print("Overskudd:", overskudd, "kr")
# Utskrift:
# Lånekassen totalt: 94400 kr
# Netto arbeidsinntekt: 43330.0 kr
# Totale inntekter: 137730.0 kr
# Totale utgifter: 133600 kr
# Overskudd: 4130.0 kr

Hva spør oppgaven om? Vi finner radiusen fra regelen og bruker volumformelen for sylinder.

Steg 1 — Finn omkretsen

\[ \text{omkrets}+15=50\quad \Rightarrow\quad \text{omkrets}=35 \]

Når høyden er 15 cm, må omkretsen være 35 cm.

Steg 2 — Finn radius

\[ 2\pi r=35\quad \Rightarrow\quad r=\dfrac{35}{2\pi}\approx 5{,}57 \]

Omkretsen av en sirkel er \(2\pi r\).

Steg 3 — Finn volumet

\[ V=\pi r^2h=\pi\left(\dfrac{35}{2\pi}\right)^2\cdot 15\approx 1462 \]

Volumformelen for sylinder er grunnflate ganger høyde.

Tolkning

Blomsterpotten rommer litt under halvannen liter dersom den følger regelen.

Kontroll (Python)

import math

hoyde_cm = 15
omkrets_cm = 50 - hoyde_cm
radius_cm = omkrets_cm / (2 * math.pi)
volum_cm3 = math.pi * radius_cm**2 * hoyde_cm
volum_liter = volum_cm3 / 1000

print("Omkrets:", omkrets_cm, "cm")
print("Radius:", round(radius_cm, 2), "cm")
print("Volum:", round(volum_cm3, 0), "cm^3")
print("Volum:", round(volum_liter, 2), "L")
# Utskrift:
# Omkrets: 35 cm
# Radius: 5.57 cm
# Volum: 1462.0 cm^3
# Volum: 1.46 L

Hva spør oppgaven om? Vi tolker \(x\) som radius i blomsterpotten.

Steg 1 — Tolk regelen

\[ 2\pi x+h=50 \]

Omkretsen er \(2\pi x\), og summen av omkrets og høyde skal være 50 cm.

Steg 2 — Tolk \(f\)

\[ f(x)=50-2\pi x \]

Funksjonen gir høyden når radiusen er \(x\) cm.

Steg 3 — Tolk \(g\)

\[ g(x)=\pi x^2\cdot f(x)=\pi x^2(50-2\pi x) \]

Funksjonen gir volumet når radiusen er \(x\) cm.

Tolkning

Når radiusen øker, må høyden minke for at summen fortsatt skal være 50 cm.

Hva spør oppgaven om? Vi tolker punktene på grafene i praktisk sammenheng.

Steg 1 — Punkt A på \(f\)

\[ A(5{,}3,16{,}6) \]

Når radiusen er ca. 5,3 cm, er høyden ca. 16,6 cm.

Steg 2 — Punkt B og D

\[ B(8{,}0,0)\quad \text{og}\quad D(8{,}0,0) \]

Når radiusen er 8,0 cm, blir høyden og volumet 0. Det gir ingen brukbar potte.

Steg 3 — Punkt C på \(g\)

\[ C(5{,}3,1473{,}7) \]

Volumet er størst når radiusen er ca. 5,3 cm, og da er volumet ca. 1473,7 cm\(^3\).

Tolkning

Grafene viser både hvilke mål som er mulige, og hvilke mål som gir størst volum.

Kontroll (GeoGebra / Python)

import sympy as sp

x = sp.symbols("x")
f = 50 - 2*sp.pi*x
g = sp.pi*x**2 * (50 - 2*sp.pi*x)

g_derivert = sp.diff(g, x)
kritiske = sp.solve(g_derivert, x)

print("f(5.3) =", round(float(f.subs(x, 5.3)), 1), "cm")
print("f(8.0) =", round(float(f.subs(x, 8.0)), 1), "cm")
print("g(5.3) =", round(float(g.subs(x, 5.3)), 1), "cm^3")
print("g(8.0) =", round(float(g.subs(x, 8.0)), 1), "cm^3")
print("Kritiske x-verdier for volumfunksjonen:")
for verdi in kritiske:
    if verdi.is_real:
        print(round(float(verdi), 3), "gir volum", round(float(g.subs(x, verdi)), 1), "cm^3")
# Utskrift:
# f(5.3) = 16.7 cm
# f(8.0) = -0.3 cm
# g(5.3) = 1473.6 cm^3
# g(8.0) = -64.4 cm^3
# Kritiske x-verdier for volumfunksjonen:
# 0.0 gir volum 0.0 cm^3
# 5.305 gir volum 1473.7 cm^3