Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre et overslag, ikke finne nøyaktig sum. Derfor runder vi prisene til tall som er enkle å regne med.

Steg 1 — Rund av prisene

Vi bruker omtrent 15 kr per liter melk, 9 kr per kg poteter, 90 kr per kg ost og 200 kr per kg skinke.

Steg 2 — Regn hver vare

\[2\cdot 15=30\]

\[2{,}5\cdot 9\approx 25\]

\[0{,}5\cdot 90=45\]

\[0{,}2\cdot 200=40\]

Steg 3 — Legg sammen overslaget

\[30+25+45+40=140\]

Dette gir et realistisk overslag over totalprisen.

Tolkning

Hilde må regne med å betale omtrent 140 kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne førprisen. Når prisen er satt ned med 30 %, er ny pris 70 % av gammel pris.

Steg 1 — Sett opp sammenhengen

\[0{,}70\cdot x=210\]

Her er \(x\) prisen før nedsettelsen.

Steg 2 — Del på vekstfaktoren

\[x=\dfrac{210}{0{,}70}=300\]

Vi deler på 0,70 fordi 210 kroner er 70 % av førprisen.

Tolkning

Varen kostet 300 kroner før salget.

Hva spør oppgaven om? Indeks 110 betyr at prisen er 110 % av prisen i basisåret.

Steg 1 — Bruk indeks som prosent

\[110\,\%=\dfrac{110}{100}=1{,}10\]

Indeksen gjøres om til vekstfaktor.

Steg 2 — Finn ny pris

\[150\cdot 1{,}10=165\]

Vi ganger basisprisen med vekstfaktoren.

Tolkning

Varen har økt med 10 % fra basisåret.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vise at trekantene har samme vinkler. Da er de formlike.

Steg 1 — Finn den tredje vinkelen i \(ABC\)

\[\angle B=180^\circ-34{,}1^\circ-101{,}5^\circ=44{,}4^\circ\]

Vinkelsummen i en trekant er \(180^\circ\).

Steg 2 — Sammenlign vinklene

\[\angle A=\angle E=34{,}1^\circ\]

\[\angle B=\angle F=44{,}4^\circ\]

\[\angle C=\angle D=101{,}5^\circ\]

Steg 3 — Konkluder

Når to trekanter har parvis like vinkler, er trekantene formlike.

Tolkning

Trekantene har samme form, men forskjellig størrelse.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker forholdet mellom samsvarende sider i de formlike trekantene.

Steg 1 — Finn målestokken fra liten til stor trekant

Siden \(AB\) svarer til \(FE\). Derfor får vi

\[\dfrac{FE}{AB}=\dfrac{9{,}8}{7{,}0}=1{,}4\]

Steg 2 — Finn \(AC\)

Siden \(AC\) svarer til \(DE\).

\[AC=\dfrac{DE}{1{,}4}=\dfrac{7{,}0}{1{,}4}=5{,}0\]

Steg 3 — Finn \(DF\)

Siden \(BC\) svarer til \(DF\).

\[DF=4{,}0\cdot 1{,}4=5{,}6\]

Tolkning

Den store trekanten er 1,4 ganger så stor som den lille.

Hva spør oppgaven om? Oppskriften gjelder 3 porsjoner. Vi må skalere alle mengdene til 10 porsjoner.

Steg 1 — Finn skaleringsfaktoren

\[\dfrac{10}{3}\]

Vi trenger \(\dfrac{10}{3}\) ganger så mye som i oppskriften.

Steg 2 — Regn ut ris og vann

\[1{,}5\cdot \dfrac{10}{3}=5{,}0\]

\[3{,}0\cdot \dfrac{10}{3}=10{,}0\]

Steg 3 — Regn ut melk

\[0{,}75\cdot \dfrac{10}{3}=2{,}5\]

Tolkning

Alle ingrediensene må økes i samme forhold.

Hva spør oppgaven om? Melka begrenser hvor mange porsjoner vi kan lage.

Steg 1 — Finn melk per porsjon

\[\dfrac{0{,}75}{3}=0{,}25\]

Det trengs 0,25 L melk per porsjon.

Steg 2 — Del tilgjengelig melk på melk per porsjon

\[\dfrac{5}{0{,}25}=20\]

Dette gir hvor mange porsjoner melka rekker til.

Tolkning

Med 5 L melk kan du lage 20 porsjoner, dersom du har nok ris og vann.

Hva spør oppgaven om? Vi sammenligner arealet av en halvsirkel og en trekant.

Steg 1 — Areal av halvsirkelen

\[A=\dfrac{\pi r^2}{2}=\dfrac{\pi\cdot 1{,}0^2}{2}\approx 1{,}57\]

Steg 2 — Areal av trekanten

\[A=\dfrac{3{,}0\cdot 1{,}0}{2}=1{,}5\]

Steg 3 — Sammenlign

\[1{,}57>1{,}5\]

Tolkning

Halvsirkelen har litt større areal enn trekanten.

Hva spør oppgaven om? Vi må finne avstanden rundt hvert område.

Steg 1 — Omkrets av halvsirkelen

Omkretsen er buen pluss diameteren.

\[O=\pi r+2r=\pi\cdot 1{,}0+2\cdot 1{,}0\approx 5{,}14\]

Steg 2 — Finn skråsidene i trekanten

Høyden deler grunnlinjen i to deler på \(1{,}5\) m.

\[s=\sqrt{1{,}5^2+1{,}0^2}\approx 1{,}80\]

Steg 3 — Omkrets av trekanten

\[O=3{,}0+2\cdot 1{,}80\approx 6{,}61\]

Tolkning

Trekanten har større omkrets, selv om halvsirkelen har litt større areal.

Hva spør oppgaven om? Vannmengden minker med samme antall liter hver dag. Derfor er modellen lineær.

Steg 1 — Vann etter åtte dager

\[60-5\cdot 8=20\]

Det er 20 L igjen etter åtte dager.

Steg 2 — Når tanken er tom

\[60-5x=0\]

\[x=12\]

Steg 3 — Funksjonsuttrykk

\[f(x)=60-5x\]

Startverdien er 60, og stigningstallet er \(-5\).

Steg 4 — Grafisk lesing

På grafen leser vi \(f(8)=20\), og nullpunktet er \(x=12\).

Tolkning

Tanken tømmes jevnt, med 5 L per dag.

Hva spør oppgaven om? Vi trekker to kuler uten tilbakelegging.

Steg 1 — Første røde kule

\[P(\text{rød først})=\dfrac{3}{5}\]

Steg 2 — Andre røde kule

Når én rød kule er trukket, er det 2 røde av 4 kuler igjen.

\[P(\text{rød andre})=\dfrac{2}{4}\]

Steg 3 — Multipliser

\[P(\text{to røde})=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{10}\]

Tolkning

Sannsynligheten er 30 %.

Hva spør oppgaven om? Samme farge betyr enten to røde eller to blå.

Steg 1 — Sannsynlighet for to røde

\[P(RR)=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{10}\]

Steg 2 — Sannsynlighet for to blå

\[P(BB)=\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{10}\]

Steg 3 — Legg sammen

\[P(\text{samme farge})=\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\]

Tolkning

Det er 40 % sannsynlighet for at kulene har samme farge.

Hva spør oppgaven om? Bruttolønn er lønn før trekk. Vi regner vanlig lønn og overtid hver for seg.

Steg 1 — Vanlig arbeidstid

\[150\cdot 195=29250\]

Steg 2 — Overtid

\[16\cdot 195\cdot 1{,}5=4680\]

\[6\cdot 195\cdot 2=2340\]

Steg 3 — Bruttolønn

\[29250+4680+2340=36270\]

Kontroll (Python)

timelonn = 195
vanlig_timer = 150
overtid_50 = 16
overtid_100 = 6

vanlig_lonn = vanlig_timer * timelonn
overtid_50_lonn = overtid_50 * timelonn * 1.50
overtid_100_lonn = overtid_100 * timelonn * 2.00
bruttolonn = vanlig_lonn + overtid_50_lonn + overtid_100_lonn

print("Vanlig lønn:", vanlig_lonn, "kr")
print("Overtid med 50 % tillegg:", overtid_50_lonn, "kr")
print("Overtid med 100 % tillegg:", overtid_100_lonn, "kr")
print("Bruttolønn:", bruttolonn, "kr")

# Utskrift når programmet kjøres:
Vanlig lønn: 29250 kr
Overtid med 50 % tillegg: 4680.0 kr
Overtid med 100 % tillegg: 2340.0 kr
Bruttolønn: 36270.0 kr

Tolkning

Ole tjente 36 270 kroner før skatt og andre trekk.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne 2 % av bruttolønna.

Steg 1 — Skriv prosent som desimaltall

\[2\,\%=0{,}02\]

Steg 2 — Regn trekket

\[36270\cdot 0{,}02=725{,}40\]

Tolkning

Dette er pengene som går til pensjonskassen denne måneden.

Hva spør oppgaven om? Vi trekker både pensjonstrekket og skatten fra bruttolønna.

Steg 1 — Finn skatten

\[36270\cdot 0{,}36=13057{,}20\]

Steg 2 — Trekk fra skatt og pensjon

\[36270-13057{,}20-725{,}40=22487{,}40\]

Tolkning

Dette er beløpet Ole får utbetalt etter trekkene.

Hva spør oppgaven om? Vi finner netto utbetalt per overtidstime og deler total utbetaling på dette.

Steg 1 — Brutto overtidstime

\[195\cdot 1{,}5=292{,}50\]

Steg 2 — Netto andel etter 2 % pensjon og 36 % skatt

\[1-0{,}02-0{,}36=0{,}62\]

\[292{,}50\cdot 0{,}62=181{,}35\]

Steg 3 — Finn antall timer

\[\dfrac{5045}{181{,}35}\approx 27{,}8\]

Kontroll (GeoGebra CAS)

timelonn = 195
overtidsfaktor = 1.50
netto_andel = 1 - 0.02 - 0.36
utbetalt = 5045

netto_per_time = timelonn * overtidsfaktor * netto_andel
antall_timer = utbetalt / netto_per_time

print("Netto per overtidstime:", round(netto_per_time, 2), "kr")
print("Antall timer:", round(antall_timer, 1))

# Utskrift når programmet kjøres:
Netto per overtidstime: 181.35 kr
Antall timer: 27.8

Tolkning

Ole arbeidet omtrent 28 timer med prosjektet.

Hva spør oppgaven om? Først trekkes én middagslapp og én dessertlapp. I c) bruker vi opplysningen om sammenhengen mellom valgene.

Steg 1 — Taco

\[P(\text{taco})=\dfrac{18}{30}=0{,}60\]

Steg 2 — Taco og marsipankake fra to krukker

\[P=\dfrac{18}{30}\cdot \dfrac{24}{30}=0{,}48\]

Steg 3 — Krysstabell for c)

Det er 6 som vil ha sjokoladekake, og 4 av disse vil ha pizza. Da vil \(2\) ha taco og sjokoladekake. Siden 18 vil ha taco totalt, må \(18-2=16\) ha taco og marsipankake.

Steg 4 — Sannsynlighet i c)

\[P=\dfrac{16}{30}=\dfrac{8}{15}\approx 0{,}533\]

Kontroll (Python)

elever = 30
taco = 18
pizza = 12
sjokoladekake = 6
marsipankake = 24
pizza_og_sjokoladekake = 4

taco_sjokoladekake = sjokoladekake - pizza_og_sjokoladekake
taco_marsipankake = taco - taco_sjokoladekake

print("P(taco):", taco / elever)
print("P(taco og marsipankake ved to krukker):", (taco/elever) * (marsipankake/elever))
print("Antall taco og marsipankake:", taco_marsipankake)
print("P(taco og marsipankake for tilfeldig elev):", taco_marsipankake / elever)

# Utskrift når programmet kjøres:
P(taco): 0.6
P(taco og marsipankake ved to krukker): 0.48
Antall taco og marsipankake: 16
P(taco og marsipankake for tilfeldig elev): 0.5333333333333333

Tolkning

Taco har 60 % sjanse som middag. Kombinasjonen taco og marsipankake har 48 % sjanse når lappene trekkes fra to krukker.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker volum av prisme og sammenhengen mellom nedbørshøyde, areal og volum.

Steg 1 — Volum av beholderen

\[V=2{,}00\cdot 0{,}70\cdot 1{,}00=1{,}40\text{ m}^3\]

\[1{,}40\text{ m}^3=1400\text{ L}\]

Steg 2 — Volum fra 12 mm regn

\[12\text{ mm}=0{,}012\text{ m}\]

\[V=70\cdot 0{,}012=0{,}84\text{ m}^3\]

Steg 3 — Vannhøyde i beholderen

Bunnarealet er \(2{,}00\cdot 0{,}70=1{,}40\text{ m}^2\).

\[h=\dfrac{0{,}84}{1{,}40}=0{,}60\text{ m}\]

Steg 4 — Nedbør i c)

Vannhøyden øker fra 10 cm til 85 cm, altså \(0{,}75\) m.

\[V=1{,}40\cdot 0{,}75=1{,}05\text{ m}^3\]

\[\text{regn}=\dfrac{1{,}05}{70}=0{,}015\text{ m}=15\text{ mm}\]

Kontroll (Python)

lengde = 2.00
bredde = 0.70
hoyde = 1.00
takareal = 70
regn_meter = 0.012

beholder_volum_m3 = lengde * bredde * hoyde
beholder_liter = beholder_volum_m3 * 1000
vannvolum = takareal * regn_meter
bunnareal = lengde * bredde
vannhoyde = vannvolum / bunnareal

okning_hoyde = 0.85 - 0.10
okning_volum = bunnareal * okning_hoyde
regn_c_meter = okning_volum / takareal
regn_c_mm = regn_c_meter * 1000

print("Beholdervolum:", beholder_liter, "liter")
print("Vannhøyde etter 12 mm regn:", vannhoyde, "m")
print("Nedbør i c:", regn_c_mm, "mm")

# Utskrift når programmet kjøres:
Beholdervolum: 1400.0 liter
Vannhøyde etter 12 mm regn: 0.6 m
Nedbør i c: 15.0 mm

Tolkning

12 mm regn på et stort tak gir mye vann i en liten beholder.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke en funksjonsmodell grafisk og numerisk.

Steg 1 — Graf

Grafen stiger først, når en topp, og synker deretter.

Steg 2 — Maksimum

Med digitalt verktøy finner vi toppunktet omtrent ved

\[t\approx 2{,}15,\qquad h(t)\approx 866\]

Det betyr tidlig i 1992.

Steg 3 — Løs \(h(t)=850\)

Grafisk får vi to løsninger i perioden:

\[t\approx 1{,}42\quad \text{og}\quad t\approx 2{,}95\]

Dette betyr at bestanden var 850 hjort på disse to tidspunktene.

Steg 4 — Gjennomsnittlig endring fra 1994 til 1998

Her er \(t=4\) og \(t=8\).

\[h(4)=788,\qquad h(8)=524\]

\[\dfrac{524-788}{8-4}=-66\]

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import symbols, nroots, diff

t = symbols('t')
h = 3.25*t**3 - 50*t**2 + 170*t + 700
h_derivert = diff(h, t)
kritiske_punkter = nroots(h_derivert)
losninger_850 = nroots(h - 850)

print("h(t) =", h)
print("h'(t) =", h_derivert)
print("Kritiske punkter:", kritiske_punkter)
for punkt in kritiske_punkter:
    if abs(punkt.as_real_imag()[1]) < 1e-10 and 0 <= float(punkt) <= 10:
        print("t =", round(float(punkt), 3), "gir h(t) =", round(float(h.subs(t, punkt)), 1))
print("Løsninger av h(t)=850:", losninger_850)
print("h(4) =", h.subs(t, 4))
print("h(8) =", h.subs(t, 8))
print("Gjennomsnittlig endring:", (h.subs(t, 8) - h.subs(t, 4)) / 4)

# Utskrift når programmet kjøres:
h(t) = 3.25*t**3 - 50*t**2 + 170*t + 700
h'(t) = 9.75*t**2 - 100*t + 170
Kritiske punkter: [2.15119481565128, 8.10521544075897]
t = 2.151 gir h(t) = 866.2
t = 8.105 gir h(t) = 524.3
Løsninger av h(t)=850: [1.42240291553252, 2.94526138202679, 11.0169510870561]
h(4) = 788.000000000000
h(8) = 524.000000000000
Gjennomsnittlig endring: -66.0000000000000

Tolkning

Bestanden var størst rundt 1992. Fra 1994 til 1998 minket den i gjennomsnitt med 66 hjort per år.

Hva spør oppgaven om? Vi leser av avdrag og renter fra diagrammet.

Steg 1 — Type lån

Summen av renter og avdrag er like stor i hver termin, omtrent 15 996 kroner. Derfor er dette et annuitetslån.

Steg 2 — Totalt lånebeløp

Det totale lånebeløpet er summen av alle avdragene.

\[6396+7010+7683+8420+9229+10115+11086+12150+13316+14595=100000\]

Steg 3 — Renten

Første år betales 9600 kroner i renter. Det er renter av hele lånet på 100 000 kroner.

\[\dfrac{9600}{100000}=0{,}096=9{,}6\,\%\]

Kontroll (Python)

avdrag = [6396, 7010, 7683, 8420, 9229, 10115, 11086, 12150, 13316, 14595]
renter = [9600, 8986, 8313, 7576, 6767, 5881, 4910, 3846, 2680, 1401]

terminbelop = [a + r for a, r in zip(avdrag, renter)]
lanebelop = sum(avdrag)
renteprosent = renter[0] / lanebelop * 100

print("Terminbeløp:", terminbelop)
print("Totalt lånebeløp:", lanebelop, "kr")
print("Renteprosent:", renteprosent, "%")

# Utskrift når programmet kjøres:
Terminbeløp: [15996, 15996, 15996, 15996, 15996, 15996, 15996, 15996, 15996, 15996]
Totalt lånebeløp: 100000 kr
Renteprosent: 9.6 %

Tolkning

Lånet har fast terminbeløp og synkende rentedel, som er typisk for annuitetslån.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker formelen for volum av kjegle og sammenhengen \(r=1{,}5h\).

Steg 1 — Finn høyden i a)

\[r=1{,}5h\Rightarrow h=\dfrac{1{,}35}{1{,}5}=0{,}90\]

Steg 2 — Volum i a)

\[V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h\]

\[V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 1{,}35^2\cdot 0{,}90\approx 1{,}72\]

Steg 3 — Sett opp likning i b)

Siden \(r=1{,}5h\), får vi

\[8{,}0=\dfrac{1}{3}\pi\cdot (1{,}5h)^2\cdot h\]

Steg 4 — Løs likningen

\[h\approx 1{,}50\]

Kontroll (GeoGebra CAS)

import math

radius_a = 1.35
hoyde_a = radius_a / 1.5
volum_a = (1/3) * math.pi * radius_a**2 * hoyde_a

volum_b = 8.0
# V = (1/3) * pi * (1.5*h)^2 * h = 0.75*pi*h^3
hoyde_b = (volum_b / (0.75 * math.pi)) ** (1/3)
radius_b = 1.5 * hoyde_b

print("Høyde i a:", round(hoyde_a, 2), "m")
print("Volum i a:", round(volum_a, 2), "m^3")
print("Høyde i b:", round(hoyde_b, 2), "m")
print("Radius i b:", round(radius_b, 2), "m")

# Utskrift når programmet kjøres:
Høyde i a: 0.9 m
Volum i a: 1.72 m^3
Høyde i b: 1.5 m
Radius i b: 2.25 m

Tolkning

Sandhaugen er ganske lav i forhold til radiusen, fordi radiusen er 1,5 ganger høyden.