Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre om fra islandske kroner til norske kroner ved å bruke kursen i teksten.

Steg 1 — Finn verdien av 1 ISK

\[1\text{ ISK}=\dfrac{5{,}25}{100}\text{ NOK}=0{,}0525\text{ NOK}\]

Vi deler på 100 fordi kursen gjelder for 100 ISK.

Steg 2 — Gang med 500 ISK

\[500\cdot 0{,}0525=26{,}25\]

Da får vi prisen i norske kroner.

Steg 3 — Skriv med riktig enhet

\[500\text{ ISK}=26{,}25\text{ NOK}\]

Valuta må alltid stå tydelig i svaret.

Tolkning

Billetten opp i kirketårnet kostet 26,25 kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvorfor hoderegningsmetoden gir omtrent riktig norsk beløp.

Steg 1 — Skriv kursen som pris per ISK

\[100\text{ ISK}=5{,}25\text{ NOK}\]

Dette betyr at beløpet i ISK omtrent skal ganges med \(0{,}0525\).

Steg 2 — Tolk metoden til Markus

\[\text{stryke én null og dele på }2 = \dfrac{x}{10}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{x}{20}\]

Metoden tilsvarer å gange det islandske beløpet med \(0{,}05\).

Steg 3 — Sammenlign med riktig kurs

\[0{,}0525\approx 0{,}05\]

Forskjellen er liten, derfor blir overslaget ganske godt.

Tolkning

Markus bruker en enkel avrunding av kursen. Derfor får han et raskt og rimelig overslag.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne prisen for to enveisbilletter med en tur-retur-billett.

Steg 1 — Finn prisen for to enveisbilletter

\[2\cdot 1950=3900\text{ ISK}\]

Tur-retur med enveisbilletter ville kostet 3900 ISK.

Steg 2 — Finn hvor mye han sparte

\[3900-3500=400\text{ ISK}\]

Dette er forskjellen mellom alternativene.

Steg 3 — Regn prosent av opprinnelig pris

\[\dfrac{400}{3900}\approx 0{,}10=10\%\]

Vi sammenligner med prisen han måtte betalt uten tur-retur-billetten.

Tolkning

Tur-retur-billetten gjorde reisen omtrent 10 prosent billigere.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke samme pris per milliliter for alle størrelsene.

Steg 1 — Finn pris per mL

\[\dfrac{140}{400}=0{,}35\]

Normalboksen koster 0,35 kroner per mL.

Steg 2 — Regn pris for Biggie

\[600\cdot 0{,}35=210\]

Vi ganger volumet med pris per mL.

Steg 3 — Regn pris for Mini

\[100\cdot 0{,}35=35\]

Samme forholdstall brukes for Mini.

Tolkning

Dersom pris og innhold er proporsjonale, skal dobbelt så mye innhold koste dobbelt så mye.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne indeksen i 2010 når vi kjenner en pris og en indeks fra 2008.

Steg 1 — Finn basisprisen

\[\dfrac{550}{110}\cdot 100=500\]

Indeks 100 tilsvarer en pris på 500 kroner.

Steg 2 — Finn indeksen i 2010

\[\dfrac{600}{500}\cdot 100=120\]

Vi sammenligner prisen i 2010 med basisprisen.

Tolkning

Indeks 120 betyr at prisen er 20 prosent høyere enn basisprisen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive forholdet mellom kartlengde og virkelig lengde i samme enhet.

Steg 1 — Gjør kilometer om til centimeter

\[60\text{ km}=6\,000\,000\text{ cm}\]

Målestokk må ha samme enhet på begge sider.

Steg 2 — Skriv forholdet

\[4:6\,000\,000\]

Dette betyr 4 cm på kartet mot 6 000 000 cm i virkeligheten.

Steg 3 — Forkort forholdet

\[4:6\,000\,000=1:1\,500\,000\]

Vi deler begge tall på 4.

Tolkning

1 cm på kartet svarer til 1 500 000 cm i virkeligheten, altså 15 km.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne radiusen når arealet skal bli fire ganger så stort.

Steg 1 — Skriv arealformelen

\[A=\pi r^2\]

Arealet avhenger av radius opphøyd i andre.

Steg 2 — Se hva firedobling betyr

\[(2r)^2=4r^2\]

Hvis radius dobles, blir arealet fire ganger så stort.

Steg 3 — Dobbel radiusen

\[2\cdot 2\text{ cm}=4\text{ cm}\]

Tommy må derfor bruke radius 4 cm.

Tolkning

For å få fire ganger så stort sirkelareal må radiusen dobles.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvorfor to økninger på 10 prosent ikke er det samme som én økning på 20 prosent.

Steg 1 — Velg en enkel startpris

\[100\text{ kroner}\]

En startpris på 100 kroner gjør prosentene lette å se.

Steg 2 — Butikk A

\[100\cdot 1{,}20=120\]

20 prosent økning gir 120 kroner.

Steg 3 — Butikk B

\[100\cdot 1{,}10\cdot 1{,}10=121\]

Den andre 10-prosentøkningen tas av 110 kroner, ikke av 100 kroner.

Tolkning

Butikk B får høyest pris. To prosentøkninger etter hverandre virker på en ny og større pris.

Hva spør oppgaven om? Vi skal først finne volumet og deretter alle flatene i prismet.

Steg 1 — Finn arealet av trekantgrunnflaten

\[G=\dfrac{3{,}0\cdot 4{,}0}{2}=6{,}0\text{ cm}^2\]

Trekanten er rettvinklet, så katetene kan brukes direkte.

Steg 2 — Finn volumet

\[V=G\cdot h=6{,}0\cdot3{,}5=21{,}0\text{ cm}^3\]

Volumet av et prisme er grunnflate ganger høyde.

Steg 3 — Finn den tredje siden i trekanten

\[BC=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ cm}\]

Vi bruker Pytagoras siden trekanten er rettvinklet.

Steg 4 — Finn overflaten

\[O=2\cdot6+(3+4+5)\cdot3{,}5=12+42=54\text{ cm}^2\]

Overflaten består av to trekantflater og tre rektangler.

Tolkning

Klossen rommer 21 kubikkcentimeter og har 54 kvadratcentimeter overflate.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sortere elevene etter sommerjobb og ferie, og deretter finne en sannsynlighet.

Steg 1 — Finn antall uten sommerjobb

\[20-16=4\]

Det er 4 elever som ikke har sommerjobb.

Steg 2 — Fyll ut tabellen

Vi bruker at 2 uten sommerjobb heller ikke skal på ferie.

Steg 3 — Finn sannsynligheten

\[P(\text{ferie})=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}=0{,}60\]

Det er 12 av 20 elever som skal på ferie.

Tolkning

Sannsynligheten er 60 prosent for at en tilfeldig elev skal på ferie.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lese av omtrentlige sammenhenger mellom fahrenheit og celsius fra gradestokken.

Steg 1 — Bruk kjent avlesning

\[10^\circ\text{C}\approx 50^\circ\text{F}\]

Dette er punktet som allerede står i tabellen.

Steg 2 — Les av ved \(0^\circ\text{F}\)

\[0^\circ\text{F}\approx -18^\circ\text{C}\]

Dette følger av skalaen på gradestokken.

Steg 3 — Les av ved \(100^\circ\text{F}\)

\[100^\circ\text{F}\approx 38^\circ\text{C}\]

Avlesningen er omtrent, siden bildet brukes som grafisk hjelpemiddel.

Tolkning

Tabellen viser tre punkter vi kan bruke til å tegne en tilnærmet rett linje.

Hva spør oppgaven om? Vi skal plassere punktene fra tabellen i et koordinatsystem.

Steg 1 — Velg akser

\[x=^\circ\text{F},\qquad y=^\circ\text{C}\]

Oppgaven sier at fahrenheit skal være langs \(x\)-aksen.

Steg 2 — Skriv punktene

\[(0,-18),\quad (50,10),\quad (100,38)\]

Hvert punkt skrives som \((\text{fahrenheit},\text{celsius})\).

Steg 3 — Marker punktene

Punktene legges omtrent på en rett linje.

Det viser at sammenhengen kan modelleres lineært.

Tolkning

Koordinatsystemet gjør det mulig å lese av celsiusgrader for andre fahrenheitverdier.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke den rette linjen til å lese av celsiusverdien når \(x=350\).

Steg 1 — Bruk lineær sammenheng

\[C\approx \dfrac{5}{9}(F-32)\]

Dette er den rette linjen mellom fahrenheit og celsius.

Steg 2 — Sett inn \(350^\circ\text{F}\)

\[C\approx \dfrac{5}{9}(350-32)=\dfrac{5}{9}\cdot318\]

Vi regner om temperaturen i oppskriften.

Steg 3 — Regn ut og rund av

\[C\approx176{,}7\]

Fra grafen ville vi lest av omtrent 180 °C.

Tolkning

Stig kan steke kaken på omtrent 180 °C.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne antall bokser per døgn og gjøre gram om til kilogram.

Steg 1 — Finn antall bokser per døgn

\[\dfrac{24\cdot60\cdot60}{2}=43\,200\]

Det er 86 400 sekunder i ett døgn.

Steg 2 — Finn gram leverpostei

\[43\,200\cdot100=4\,320\,000\text{ g}\]

Hver boks inneholder 100 g.

Steg 3 — Gjør om til kilogram

\[4\,320\,000\text{ g}=4\,320\text{ kg}\]

Vi deler på 1000 for å gå fra gram til kilogram.

Kontroll (Python)

# Stabburet leverpostei per døgn
sekunder_per_dogn = 24 * 60 * 60
sekunder_per_boks = 2
gram_per_boks = 100

bokser_per_dogn = sekunder_per_dogn / sekunder_per_boks
gram_per_dogn = bokser_per_dogn * gram_per_boks
kilogram_per_dogn = gram_per_dogn / 1000

print("Antall sekunder per døgn:", sekunder_per_dogn)
print("Antall bokser per døgn:", bokser_per_dogn)
print("Gram leverpostei per døgn:", gram_per_dogn)
print("Kilogram leverpostei per døgn:", kilogram_per_dogn)

Tolkning

Det spises omtrent 4,3 tonn leverpostei i løpet av ett døgn.

Hva spør oppgaven om? Vi skal dele total mengde leverpostei per år på antall brødskiver per år.

Steg 1 — Finn antall bokser per år

\[43\,200\cdot365=15\,768\,000\]

Vi bruker resultatet fra oppgave 4a.

Steg 2 — Finn gram per år

\[15\,768\,000\cdot100=1\,576\,800\,000\text{ g}\]

Hver boks inneholder 100 g.

Steg 3 — Del på antall brødskiver

\[\dfrac{1\,576\,800\,000}{120\,000\,000}=13{,}14\]

Dette gir gjennomsnittlig mengde per brødskive.

Kontroll (Python)

# Gjennomsnittlig gram leverpostei per brødskive
bokser_per_dogn = 43200
gram_per_boks = 100
dager_per_ar = 365
brodskiver_per_ar = 120_000_000

gram_per_ar = bokser_per_dogn * gram_per_boks * dager_per_ar
gram_per_brodskive = gram_per_ar / brodskiver_per_ar

print("Gram leverpostei per år:", gram_per_ar)
print("Brødskiver per år:", brodskiver_per_ar)
print("Gram per brødskive:", gram_per_brodskive)
print("Avrundet gram per brødskive:", round(gram_per_brodskive, 1))

Tolkning

Det brukes omtrent 13 gram leverpostei på hver brødskive.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke gjennomsnittet fra oppgave 4b til å finne antall brødskiver per boks.

Steg 1 — Bruk gram per brødskive

\[13{,}14\text{ g per brødskive}\]

Dette er gjennomsnittet vi fant.

Steg 2 — Del innholdet i boksen på gram per skive

\[\dfrac{100}{13{,}14}\approx7{,}6\]

En boks har 100 g leverpostei.

Kontroll (Python)

# Antall brødskiver per boks
innhold_i_boks_gram = 100
gram_per_brodskive = 13.14

brodskiver_per_boks = innhold_i_boks_gram / gram_per_brodskive

print("Innhold i boks (gram):", innhold_i_boks_gram)
print("Gram per brødskive:", gram_per_brodskive)
print("Brødskiver per boks:", brodskiver_per_boks)
print("Avrundet:", round(brodskiver_per_boks, 1))

Tolkning

En boks rekker til omtrent 8 brødskiver, avhengig av hvor tykt man smører.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette navn på to ulike lønnssystemer og forklare hva de betyr.

Steg 1 — Lisas lønn

Lisa får et fast beløp for hver kjole hun syr.

Dette kalles akkordlønn eller stykkbetaling.

Steg 2 — Dinos lønn

Dino får en prosentdel av salget.

Dette kalles provisjonslønn.

Steg 3 — Forskjellen

Akkordlønn avhenger av antall enheter. Provisjonslønn avhenger av hvor mye man selger for.

Tolkning

Begge lønnssystemene gjør at lønnen øker når arbeidsresultatet øker.

Hva spør oppgaven om? Vi skal regne om alle lønningene til norske kroner og sammenligne.

Steg 1 — Lisas lønn

\[5\cdot300=1500\text{ kroner}\]

Hun får 300 kroner per kjole.

Steg 2 — Dinos lønn i euro

\[0{,}13\cdot1100=143\text{ euro}\]

Provisjonen er 13 prosent av salget.

Steg 3 — Gjør om Dinos lønn til kroner

\[143\cdot8{,}40=1201{,}20\text{ kroner}\]

Vi bruker valutakursen.

Steg 4 — Sammenlign

\[1500>1400>1201{,}20\]

Lisa tjente mest.

Kontroll (Python)

# Sammenligning av dagslønn
berit_lonn = 1400
lisa_antall_kjoler = 5
lisa_lonn_per_kjole = 300
dino_salg_euro = 1100
dino_provisjon = 0.13
eurokurs = 8.40

lisa_lonn = lisa_antall_kjoler * lisa_lonn_per_kjole
dino_lonn_euro = dino_salg_euro * dino_provisjon
dino_lonn_kroner = dino_lonn_euro * eurokurs

print("Berit tjente:", berit_lonn, "kroner")
print("Lisa tjente:", lisa_lonn, "kroner")
print("Dino tjente i euro:", dino_lonn_euro)
print("Dino tjente i kroner:", dino_lonn_kroner)
print("Mest tjente: Lisa")

Tolkning

Lisa tjente mest denne dagen med 1500 kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne vanlig timelønn når overtid betales med 50 prosent tillegg.

Steg 1 — Sett vanlig timelønn til \(x\)

\[x=\text{vanlig timelønn}\]

Overtidstimen blir da \(1{,}5x\).

Steg 2 — Finn antall vanlige timer

\[9-1{,}5=7{,}5\]

Berit jobbet 7,5 vanlige timer og 1,5 overtidstimer.

Steg 3 — Lag likningen

\[7{,}5x+1{,}5\cdot1{,}5x=1400\]

Total lønn var 1400 kroner.

Steg 4 — Løs likningen

\[9{,}75x=1400\quad\Rightarrow\quad x\approx143{,}59\]

Vi deler på 9,75 lønnstimer.

Kontroll (GeoGebra CAS)

# Berits timelønn med overtid
from sympy import symbols, Eq, solve

x = symbols('x')
vanlige_timer = 7.5
overtidstimer = 1.5
overtid_faktor = 1.5
total_lonn = 1400

likning = Eq(vanlige_timer*x + overtidstimer*overtid_faktor*x, total_lonn)
losning = solve(likning, x)[0]

print("Likning:", likning)
print("Timelønn:", losning)
print("Timelønn avrundet til to desimaler:", round(float(losning), 2))
print("Kontrollert total lønn:", float(vanlige_timer*losning + overtidstimer*overtid_faktor*losning))

Tolkning

Berits vanlige timelønn var omtrent 144 kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hver innvendige vinkel i en regulær åttekant.

Steg 1 — Finn vinkelsummen

\[(8-2)\cdot180^\circ=1080^\circ\]

En åttekant kan deles i 6 trekanter.

Steg 2 — Del på 8 vinkler

\[\dfrac{1080^\circ}{8}=135^\circ\]

Alle vinklene er like store.

Kontroll (Python)

# Vinkel i regulær åttekant
antall_sider = 8
vinkelsum = (antall_sider - 2) * 180
hver_vinkel = vinkelsum / antall_sider

print("Antall sider:", antall_sider)
print("Vinkelsum:", vinkelsum, "grader")
print("Hver innvendige vinkel:", hver_vinkel, "grader")

Tolkning

Hver vinkel i stoppskiltet er 135 grader.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne katetene i de små likebeinte rettvinklede trekantene i hjørnene.

Steg 1 — Sett katetene lik \(x\)

\[x^2+x^2=373^2\]

Hypotenusen er en side i åttekanten, altså 373 mm.

Steg 2 — Løs for \(x\)

\[2x^2=373^2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{373}{\sqrt{2}}\]

Trekanten er rettvinklet og likebeint.

Steg 3 — Regn til desimaltall

\[x\approx263{,}8\text{ mm}\]

Dette er lengden av hver av de to korte sidene i trekanten.

Kontroll (GeoGebra CAS)

# Side i de grå trekantene
from sympy import sqrt, N

side_attekant = 373
x = side_attekant / sqrt(2)

print("Side i åttekanten:", side_attekant, "mm")
print("Eksakt katetlengde:", x)
print("Katetlengde som desimaltall:", N(x, 6), "mm")

Tolkning

Espen skjærer bort fire hjørnetrekanter der hver kortside er omtrent 264 mm.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne forholdet mellom arealet av de fire hjørnetrekantene og arealet av hele kvadratet.

Steg 1 — Bruk kateten fra b)

\[x=\dfrac{373}{\sqrt{2}}\]

Dette er lengden av de to korte sidene i hver grå trekant.

Steg 2 — Finn arealet som skjæres bort

\[4\cdot\dfrac{x^2}{2}=2x^2=373^2\]

Fire like trekantarealer blir til sammen \(373^2\).

Steg 3 — Finn kvadratets side

\[s=373+2x\approx900{,}5\text{ mm}\]

Kvadratet består av en åttekantside og to hjørnestykker langs hver side.

Steg 4 — Finn andelen

\[\dfrac{373^2}{900{,}5^2}\approx0{,}172=17{,}2\%\]

Vi deler bortskåret areal på hele kvadratets areal.

Kontroll (Python)

# Andel av kvadratisk plate som skjæres bort
from sympy import sqrt, N

side_attekant = 373
x = side_attekant / sqrt(2)
side_kvadrat = side_attekant + 2*x
areal_bort = side_attekant**2
areal_kvadrat = side_kvadrat**2
andel = areal_bort / areal_kvadrat

print("Katet i hjørnetrekant:", N(x, 6), "mm")
print("Side i kvadratet:", N(side_kvadrat, 6), "mm")
print("Areal som skjæres bort:", N(areal_bort, 8), "mm^2")
print("Areal av kvadrat:", N(areal_kvadrat, 8), "mm^2")
print("Andel som skjæres bort:", N(andel, 6))
print("Prosent som skjæres bort:", N(andel*100, 4), "%")

Tolkning

Omtrent 17 prosent av platen skjæres bort.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne grafen til en andregradsfunksjon i intervallet \(20\le x\le100\).

Steg 1 — Skriv inn funksjonen

\[f(x)=0{,}046x^2-6{,}7x+386\]

Dette er modellen for utslipp per kilometer.

Steg 2 — Bruk riktig intervall

\[20\le x\le100\]

Grafen skal bare tegnes for de fartene oppgaven ber om.

Steg 3 — Tegn grafen digitalt

I GeoGebra kan vi bruke kommandoen nedenfor.

# Verdier til grafen f(x) = 0.046x^2 - 6.7x + 386
from sympy import symbols

x = symbols('x')
f = 0.046*x**2 - 6.7*x + 386

print("Funksjon:", f)
print("x-verdier og f(x)-verdier:")
for fart in [20, 40, 60, 80, 100]:
    verdi = f.subs(x, fart)
    print("x =", fart, "km/h  ->  f(x) =", round(float(verdi), 1), "g/km")

Tolkning

Grafen er en parabel som først går ned og deretter opp. Det betyr at utslippet per kilometer har et minimum.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne \(f(60)\).

Steg 1 — Sett inn \(x=60\)

\[f(60)=0{,}046\cdot60^2-6{,}7\cdot60+386\]

Farten er 60 km/h.

Steg 2 — Regn ut

\[f(60)=165{,}6-402+386=149{,}6\]

Dette er gram per kilometer.

Kontroll (GeoGebra CAS)

# CO2-utslipp ved 60 km/h
fart = 60
utslipp_per_km = 0.046*fart**2 - 6.7*fart + 386

print("Fart:", fart, "km/h")
print("CO2-utslipp per kilometer:", utslipp_per_km, "gram per km")

Tolkning

Ved 60 km/h slipper bilen ut omtrent 150 gram \(\text{CO}_2\) per kilometer.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne bunnpunktet til parabelen.

Steg 1 — Bruk formelen for \(x\)-verdien til bunnpunktet

\[x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{6{,}7}{2\cdot0{,}046}\]

For \(ax^2+bx+c\) ligger bunnpunktet her når \(a>0\).

Steg 2 — Regn ut farten

\[x\approx72{,}8\]

Farten som gir minst utslipp er omtrent 73 km/h.

Steg 3 — Finn utslippet

\[f(72{,}8)\approx142{,}0\]

Dette er minste utslipp per kilometer.

Kontroll (GeoGebra CAS)

# Minimumspunkt for f(x) = 0.046x^2 - 6.7x + 386
from sympy import symbols, diff, solve, N

x = symbols('x')
f = 0.046*x**2 - 6.7*x + 386
f_derivert = diff(f, x)
kritiske_punkt = solve(f_derivert, x)

xmin = kritiske_punkt[0]
ymin = f.subs(x, xmin)

print("Funksjon:", f)
print("Derivert funksjon:", f_derivert)
print("Fart ved minimum:", N(xmin, 6), "km/h")
print("Minste utslipp:", N(ymin, 6), "g/km")

Tolkning

Bilen slipper ut minst per kilometer når farten er omtrent 73 km/h.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne utslipp per kilometer ved 80 km/h og gange med kjørelengden.

Steg 1 — Finn kjørelengden

\[80\cdot0{,}5=40\text{ km}\]

En halv time er 0,5 timer.

Steg 2 — Finn utslipp per kilometer

\[f(80)=0{,}046\cdot80^2-6{,}7\cdot80+386=144{,}4\]

Dette er gram per kilometer ved 80 km/h.

Steg 3 — Finn totalutslippet

\[40\cdot144{,}4=5776\text{ g}\]

Vi ganger gram per kilometer med antall kilometer.

Kontroll (Python)

# Total CO2-utslipp ved 80 km/h i en halv time
fart = 80
tid_timer = 0.5
strekning_km = fart * tid_timer
utslipp_per_km = 0.046*fart**2 - 6.7*fart + 386
total_utslipp_gram = strekning_km * utslipp_per_km
total_utslipp_kg = total_utslipp_gram / 1000

print("Fart:", fart, "km/h")
print("Tid:", tid_timer, "timer")
print("Strekning:", strekning_km, "km")
print("Utslipp per km:", utslipp_per_km, "g/km")
print("Totalt utslipp:", total_utslipp_gram, "g")
print("Totalt utslipp:", total_utslipp_kg, "kg")

Tolkning

I løpet av denne halvtimen slipper bilen ut omtrent 5,8 kg \(\text{CO}_2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne overflaten av en sylinder uten bunn, altså sideflate pluss topp.

Steg 1 — Finn radius

\[r=\dfrac{3}{2}=1{,}5\text{ m}\]

Radius er halvparten av diameteren.

Steg 2 — Finn sideflaten

\[2\pi rh=2\pi\cdot1{,}5\cdot12=36\pi\]

Sideflaten er omkrets ganger høyde.

Steg 3 — Legg til toppen

\[\pi r^2=\pi\cdot1{,}5^2=2{,}25\pi\]

Sylinderen har ikke bunn, men den har topp.

Steg 4 — Summer

\[36\pi+2{,}25\pi=38{,}25\pi\approx120{,}2\]

Dette er ca. 120 kvadratmeter.

Kontroll (Python)

# Overflate av sugeanker uten bunn
from math import pi

radius = 1.5
hoyde = 12
sideflate = 2 * pi * radius * hoyde
topp = pi * radius**2
overflate = sideflate + topp

print("Radius:", radius, "m")
print("Høyde:", hoyde, "m")
print("Sideflate:", sideflate, "m^2")
print("Toppflate:", topp, "m^2")
print("Overflate totalt:", overflate, "m^2")
print("Avrundet overflate:", round(overflate), "m^2")

Tolkning

Overflaten som må lages av stålplater, er omtrent 120 \(\text{m}^2\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke overflaten og platetykkelsen til å anslå volumet av stålet.

Steg 1 — Gjør tykkelsen om til meter

\[30\text{ mm}=0{,}030\text{ m}\]

Vi må bruke meter fordi tettheten er oppgitt per kubikkmeter.

Steg 2 — Finn volumet av stålet

\[120{,}2\cdot0{,}030\approx3{,}61\text{ m}^3\]

Volumet er omtrent overflate ganger tykkelse.

Steg 3 — Finn massen

\[3{,}61\cdot7800\approx28\,100\text{ kg}\]

Vi ganger med massen per kubikkmeter stål.

Kontroll (Python)

# Masse av ett sugeanker av stål
from math import pi

radius = 1.5
hoyde = 12
tykkelse = 0.030
staltetthet = 7800

overflate = 2*pi*radius*hoyde + pi*radius**2
volum_stal = overflate * tykkelse
masse_stal = volum_stal * staltetthet

print("Overflate:", overflate, "m^2")
print("Tykkelse:", tykkelse, "m")
print("Volum stål:", volum_stal, "m^3")
print("Masse stål:", masse_stal, "kg")
print("Masse stål avrundet:", round(masse_stal/1000, 1), "tonn")

Tolkning

Ett tomt sugeanker veier omtrent 28 tonn.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne massen av fyllingen og legge den til massen av stålankeret.

Steg 1 — Finn volumet inni sylinderen

\[V=\pi r^2h=\pi\cdot1{,}5^2\cdot12\approx84{,}8\text{ m}^3\]

Dette er omtrent volumet av blandingen.

Steg 2 — Gjør om til liter

\[84{,}8\text{ m}^3\approx84\,800\text{ L}\]

Én kubikkmeter er 1000 liter.

Steg 3 — Finn massen av blandingen

\[84\,800\cdot1{,}2\approx101\,800\text{ kg}\]

Hver liter veier omtrent 1,2 kg.

Steg 4 — Legg til stålmassen

\[101\,800+28\,100\approx129\,900\text{ kg}\]

Dette er total masse for fylt sugeanker.

Kontroll (Python)

# Masse av fylt sugeanker
from math import pi

radius = 1.5
hoyde = 12
liter_per_m3 = 1000
kg_per_liter_blanding = 1.2
masse_stal = 28100

volum_inni_m3 = pi * radius**2 * hoyde
volum_inni_liter = volum_inni_m3 * liter_per_m3
masse_blanding = volum_inni_liter * kg_per_liter_blanding
total_masse = masse_stal + masse_blanding

print("Volum inni sylinderen:", volum_inni_m3, "m^3")
print("Volum inni sylinderen:", volum_inni_liter, "liter")
print("Masse av blandingen:", masse_blanding, "kg")
print("Masse av stål:", masse_stal, "kg")
print("Total masse:", total_masse, "kg")
print("Total masse avrundet:", round(total_masse/1000), "tonn")

Tolkning

Når ankeret er fylt, veier det omtrent 130 tonn.

Hva spør oppgaven om? Vi skal systematisere de tre valgene til Bård mot de tre valgene til Lars.

Steg 1 — Lag en tabell

Tabellen viser alle \(3\cdot3=9\) kombinasjoner.

Steg 2 — Kontroller antall utfall

\[3\cdot3=9\]

Begge har tre valg.

Kontroll (Python)

# Alle utfall i stein, saks, papir
valg = ["stein", "saks", "papir"]
utfall = []

for bard in valg:
    for lars in valg:
        utfall.append((bard, lars))

print("Antall mulige utfall:", len(utfall))
print("Alle utfall:")
for nummer, par in enumerate(utfall, start=1):
    print(nummer, par)

Tolkning

Det finnes ni like mulige utfall hvis begge velger tilfeldig.

Hva spør oppgaven om? Vi skal telle hvor mange av de ni utfallene som gir seier til Bård.

Steg 1 — Tell Bård-seire i tabellen

Bård vinner i tre tilfeller: stein mot saks, saks mot papir og papir mot stein.

Steg 2 — Del på totalt antall utfall

\[P(B)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\]

Alle de ni utfallene er like sannsynlige.

Kontroll (Python)

# Sannsynlighet for at Bård vinner én gang
gunstige = 3
mulige = 9
sannsynlighet = gunstige / mulige

print("Gunstige utfall for Bård:", gunstige)
print("Mulige utfall totalt:", mulige)
print("Sannsynlighet:", sannsynlighet)
print("Som brøk: 1/3")

Tolkning

Bård vinner i en tredel av rundene når begge velger tilfeldig.

Hva spør oppgaven om? Vi skal telle resultatsekvenser når hver runde kan gi B, U eller L.

Steg 1 — Antall muligheter per runde

\[3\]

Hver runde kan ende med B, U eller L.

Steg 2 — Tre uavhengige runder

\[3\cdot3\cdot3=27\]

Vi multipliserer fordi det spilles tre ganger.

Kontroll (Python)

# Antall resultatsekvenser i tre runder
resultater_per_runde = ["B", "U", "L"]
sekvenser = []

for runde1 in resultater_per_runde:
    for runde2 in resultater_per_runde:
        for runde3 in resultater_per_runde:
            sekvenser.append(runde1 + runde2 + runde3)

print("Antall sekvenser:", len(sekvenser))
print("Første ti sekvenser:", sekvenser[:10])
print("Siste sekvens:", sekvenser[-1])

Tolkning

Det finnes 27 mulige resultatlister når de spiller tre ganger.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for at Bård får 2 eller 3 seire på tre runder.

Steg 1 — Bruk \(P(B)=\dfrac{1}{3}\)

\[P(\text{ikke B})=\dfrac{2}{3}\]

Ikke B betyr uavgjort eller seier til Lars.

Steg 2 — Nøyaktig to seire

\[\binom{3}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{6}{27}\]

De to B-seirene kan plasseres på tre måter.

Steg 3 — Nøyaktig tre seire

\[\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}\]

Dette er resultatet BBB.

Steg 4 — Legg sammen

\[\dfrac{6}{27}+\dfrac{1}{27}=\dfrac{7}{27}\]

Minst to betyr to eller tre.

Kontroll (Python)

# Sannsynlighet for at Bård vinner minst to av tre runder
from fractions import Fraction
from math import comb

p_B = Fraction(1, 3)
p_ikke_B = Fraction(2, 3)

p_akkurat_to = Fraction(comb(3, 2), 1) * p_B**2 * p_ikke_B
p_akkurat_tre = p_B**3
p_minst_to = p_akkurat_to + p_akkurat_tre

print("P(akkurat to B-seire):", p_akkurat_to)
print("P(akkurat tre B-seire):", p_akkurat_tre)
print("P(minst to B-seire):", p_minst_to)
print("Som desimaltall:", float(p_minst_to))

Tolkning

Sannsynligheten er litt over en firedel.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne sannsynligheten for at Bård får flere seire enn Lars etter tre runder.

Steg 1 — Tenk på de 27 resultatene

\[3^3=27\]

Hver runde kan gi B, U eller L.

Steg 2 — Tell Bård-vinnersekvensene

Bård vinner kampen i 10 av de 27 sekvensene.

Eksempler er BUU, BBU, BLB og BBB.

Steg 3 — Finn sannsynligheten

\[P(\text{Bård vinner kampen})=\dfrac{10}{27}\]

Vi deler gunstige sekvenser på alle sekvenser.

Kontroll (Python)

# Sannsynlighet for at Bård vinner best av tre
from itertools import product
from fractions import Fraction

mulige_resultater = ["B", "U", "L"]
sekvenser = list(product(mulige_resultater, repeat=3))

bard_vinner = []
for sekvens in sekvenser:
    antall_B = sekvens.count("B")
    antall_L = sekvens.count("L")
    if antall_B > antall_L:
        bard_vinner.append(sekvens)

sannsynlighet = Fraction(len(bard_vinner), len(sekvenser))

print("Antall mulige sekvenser:", len(sekvenser))
print("Antall sekvenser der Bård vinner kampen:", len(bard_vinner))
print("Sannsynlighet:", sannsynlighet)
print("Som desimaltall:", float(sannsynlighet))
print("Sekvenser der Bård vinner:")
for sekvens in bard_vinner:
    print("".join(sekvens))

Tolkning

Bård vinner hele kampen med sannsynlighet \(10/27\), altså omtrent 37 prosent.