Hva spør oppgaven om? Vi skal finne strekningen når vi kjenner fart og tid.

Steg 1 — Gjør tiden om til timer

\[4\text{ timer }30\text{ minutter}=4{,}5\text{ timer}\]

Farten er gitt i kilometer per time, derfor må tiden være i timer.

Steg 2 — Bruk vei-formelen

\[\text{strekning}=\text{fart}\cdot \text{tid}\]

Gjennomsnittsfart forteller hvor mange kilometer bussen kjører per time.

Steg 3 — Regn ut

\[80\cdot4{,}5=360\]

Dette gir antall kilometer.

Tolkning

Bussreisen var omtrent \(360\) km lang.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor stor del av totalprisen som er merverdiavgift.

Steg 1 — Totalprisen er 125 % av prisen uten avgift

\[100\ \%+25\ \%=125\ \%\]

Prisen med merverdiavgift er altså \(1{,}25\) ganger prisen uten avgift.

Steg 2 — Finn prisen uten merverdiavgift

\[\dfrac{200}{1{,}25}=160\]

Vi deler på vekstfaktoren for å gå tilbake til prisen før avgift.

Steg 3 — Finn merverdiavgiften

\[200-160=40\]

Forskjellen mellom totalpris og pris uten avgift er merverdiavgiften.

Tolkning

Av de \(200\) kronene betalte Lukas \(40\) kroner i merverdiavgift.

Hva spør oppgaven om? Vi skal dele total masse på massen til én støvpartikkel.

Steg 1 — Skriv massen på standardform

\[0{,}000\ 000\ 005=5\cdot10^{-9}\]

Standardform gjør divisjonen mer oversiktlig.

Steg 2 — Sett opp divisjonen

\[\dfrac{20}{5\cdot10^{-9}}\]

Antall partikler er total masse delt på masse per partikkel.

Steg 3 — Regn ut

\[\dfrac{20}{5\cdot10^{-9}}=4\cdot10^9\]

Det betyr fire milliarder partikler.

Tolkning

Det er omtrent \(4\) milliarder støvpartikler i \(20\) gram støv.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne høyden når volumet er kjent.

Steg 1 — Bruk at grunnflaten er et kvadrat

\[G=h^2\]

Sidekanten i kvadratet er lik høyden, derfor blir grunnflaten \(h\cdot h\).

Steg 2 — Sett dette inn i volumformelen

\[V=\dfrac{1}{3}\cdot h^2\cdot h=\dfrac{h^3}{3}\]

Volumet kan nå skrives bare med \(h\).

Steg 3 — Løs likningen

\[9=\dfrac{h^3}{3}\]

Vi multipliserer med \(3\):

\[h^3=27\]

Da er \(h=3\).

Tolkning

Pyramiden er \(3\) dm høy.

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om volumet øker med en fast faktor når høyden øker med samme faktor.

Steg 1 — Skriv sammenhengen fra oppgave a

\[V=\dfrac{h^3}{3}\]

Volumet avhenger av tredje potens av høyden.

Steg 2 — Test dobling av høyden

\[V(2h)=\dfrac{(2h)^3}{3}=\dfrac{8h^3}{3}\]

Når høyden dobles, blir volumet åtte ganger så stort.

Steg 3 — Sammenlikn med proporsjonalitet

Hvis størrelsene var proporsjonale, skulle dobling av høyden gi dobling av volumet.

Her får vi åttedobling, ikke dobling.

Tolkning

Ole har ikke rett. Volumet øker mye raskere enn høyden.

Hva spør oppgaven om? Timelønn er stigningstallet til grafen.

Steg 1 — Les av Nora sin graf

Den grønne grafen går for eksempel gjennom omtrent \((10,2000)\).

Da er timelønnen

\[\dfrac{2000}{10}=200\]

Steg 2 — Les av Nils sin graf

Den blå grafen går for eksempel gjennom omtrent \((10,1800)\).

Da er timelønnen

\[\dfrac{1800}{10}=180\]

Steg 3 — Sammenlikn grafene

Den grønne grafen er brattere, derfor har Nora høyere timelønn.

Tolkning

Nora tjener \(200\) kroner per time, og Nils tjener \(180\) kroner per time.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne antall timer når forskjellen i lønn er \(720\) kroner.

Steg 1 — Finn forskjellen per time

\[200-180=20\]

Nora tjener \(20\) kroner mer enn Nils per time.

Steg 2 — Sett opp likningen

\[20\cdot x=720\]

Her er \(x\) antall timer de arbeidet.

Steg 3 — Løs likningen

\[x=\dfrac{720}{20}=36\]

Vi deler total forskjell på forskjellen per time.

Tolkning

Begge arbeidet \(36\) timer denne uken.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne pris per tur ved å dele totalprisen på antall turer.

Steg 1 — Bruk formelen

\[\text{pris per tur}=\dfrac{1200}{\text{antall turer}}\]

Totalprisen er fast, mens antall turer varierer.

Steg 2 — Regn ut verdiene

\[\dfrac{1200}{4}=300,\quad \dfrac{1200}{8}=150\]

\[\dfrac{1200}{20}=60,\quad \dfrac{1200}{30}=40\]

Steg 3 — Fyll inn tabellen

Tolkning

Jo flere turer Siri tar, jo lavere blir prisen per tur.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tegne grafen til sammenhengen \(y=1200/x\).

Steg 1 — Definer variablene

La \(x\) være antall bussturer og \(y\) være pris per busstur.

Da får vi

\[y=\dfrac{1200}{x}\]

Steg 2 — Bruk punktene fra tabellen

Punktene er \((4,300)\), \((8,150)\), \((20,60)\) og \((30,40)\).

Steg 3 — Tegn en synkende kurve gjennom punktene

Tolkning

Grafen faller fordi fast pris fordeles på flere bussturer.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne pris per tur for periodebillett med enkeltbillett.

Steg 1 — Sett pris per tur lik 80 kroner

\[\dfrac{1200}{x}=80\]

Dette gir punktet der billettypene koster det samme per tur.

Steg 2 — Løs likningen

\[1200=80x\]

\[x=15\]

Ved \(15\) turer er prisen per tur lik \(80\) kroner.

Steg 3 — Bruk grafisk tolkning

På grafen ligger \(y=1200/x\) under linjen \(y=80\) når \(x>15\).

Da er periodebilletten billigere per tur enn enkeltbilletter.

Tolkning

Det lønner seg fra og med \(16\) bussturer.

Hva spør oppgaven om? Vi skal følge programmet linje for linje og forklare tallmønsteret.

Steg 1 — Startverdier

Programmet starter med \(tall=1\) og \(differanse=4\).

Første tallet som skrives ut er derfor \(1\).

Steg 2 — Lag oversikt

Når neste tall blir \(70\), stopper programmet fordi \(70>60\).

Steg 3 — Se sammenhengen

Differansene øker med \(3\) hver gang:

\[4,\ 7,\ 10,\ 13,\ 16,\ldots\]

Dette gir femkanttallene.

Tolkning

Programmet skriver ut femkanttall opp til \(60\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en potensmodell med regresjon.

Steg 1 — Legg inn data i GeoGebra

Vi bruker punktene \((50,1190)\), \((70,3320)\), \((80,5070)\), \((100,9610)\), \((120,16080)\) og \((130,21590)\).

Steg 2 — Kjør potensregresjon

GeoGebra gir omtrent \(a=0{,}00966\) og \(b=3{,}000\).

Steg 3 — Skriv modellen

\[F(x)\approx0{,}00966\cdot x^{3{,}000}\]

Modellen er nesten en tredjegradsmodell.

Steg 4 — Python-kontroll

from sympy import N
import math

x = [50, 70, 80, 100, 120, 130]
y = [1190, 3320, 5070, 9610, 16080, 21590]
# Potensregresjon: ln(y) = ln(a) + b ln(x)
n = len(x)
lx = [math.log(v) for v in x]
ly = [math.log(v) for v in y]
b = (n*sum(u*v for u,v in zip(lx,ly)) - sum(lx)*sum(ly))/(n*sum(u*u for u in lx) - sum(lx)**2)
ln_a = (sum(ly) - b*sum(lx))/n
a = math.exp(ln_a)
print(round(a, 5), round(b, 3))

Tolkning

Vekten øker svært raskt når lengden øker, omtrent som tredje potens av lengden.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne lengden \(x\) når vekten er \(11{,}5\) kg.

Steg 1 — Gjør kilogram om til gram

\[11{,}5\text{ kg}=11500\text{ g}\]

Modellen gir vekt i gram.

Steg 2 — Sett opp likningen

\[0{,}00966\cdot x^{3{,}000}=11500\]

Vi løser likningen for lengden \(x\).

Steg 3 — Løs digitalt

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
a = 0.009656650328044983
b = 2.999583185007938
losning = sp.nsolve(a*x**b - 11500, 100)
print(round(float(losning), 1))

Tolkning

En fisk på \(11{,}5\) kg er ifølge modellen omtrent \(106\) cm lang.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig vektøkning per centimeter mellom \(75\) cm og \(95\) cm.

Steg 1 — Finn modellverdiene

Med modellen får vi omtrent

\[F(75)\approx4067\]

\[F(95)\approx8264\]

Steg 2 — Bruk formelen for stigningstall

\[\dfrac{F(95)-F(75)}{95-75}\]

Dette er endring i vekt delt på endring i lengde.

Steg 3 — Regn ut

\[\dfrac{8264-4067}{20}\approx210\]

Enheten er gram per centimeter.

Kontroll digitalt

def F(t):
    return 0.009656650328044983*t**2.999583185007938
print(round((F(95)-F(75))/(95-75), 1))

Tolkning

Mellom \(75\) cm og \(95\) cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent \(210\) gram per centimeter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvordan vekten endres når lengden ganges med \(1{,}20\).

Steg 1 — Bruk potensmodellen

Når \(x\) ganges med \(1{,}20\), ganges \(F(x)\) med

\[1{,}20^b\]

Her er \(b\approx3{,}000\).

Steg 2 — Regn ut vekstfaktoren

\[1{,}20^{2{,}999583}\approx1{,}728\]

Vekten blir altså omtrent \(1{,}728\) ganger så stor.

Steg 3 — Gjør om til prosentøkning

\[(1{,}728-1)\cdot100\ \%\approx72{,}8\ \%\]

Kontroll digitalt

b = 2.999583185007938
print(round((1.20**b - 1)*100, 1))

Tolkning

En lengdeøkning på \(20\ \%\) gir omtrent \(73\ \%\) økning i vekt.

Hva spør oppgaven om? Vi skal koble hver praktiske situasjon til riktig grafisk form.

Steg 1 — Situasjon A

Fast prosentvis nedgang gir eksponentiell nedgang.

Det passer med graf \(4\), som faller raskt i starten og flater ut.

Steg 2 — Situasjon B

Fast pris delt på flere personer gir \(y=\dfrac{k}{x}\).

Det passer med graf \(8\), som synker bratt først og flater ut.

Steg 3 — Situasjon C

Først eksponentiell vekst, deretter lineær vekst og til slutt stabilisering passer best med graf \(7\).

Steg 4 — Situasjon D

Pakkeprisen er konstant innenfor hvert vektintervall og hopper opp ved ny vektklasse.

Det passer med trappegrafen, graf \(3\).

Tolkning

Vi velger graf etter formen på sammenhengen: prosent, deling, vekstfaser og intervallpris.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig gjeld per person.

Steg 1 — Skriv totalbeløpet som tall

\[57\text{ milliarder}=57\ 000\ 000\ 000\]

Vi må bruke samme enhet i hele regningen.

Steg 2 — Del på antall personer

\[\dfrac{57\ 000\ 000\ 000}{229\ 963}\approx247\ 866\]

Dette gir gjennomsnitt per person.

Steg 3 — Rund av fornuftig

\[247\ 866\approx248\ 000\]

Opplysningene er omtrentlige, derfor passer avrunding.

Kontroll med Python

total = 57_000_000_000
personer = 229_963
print(round(total/personer))

Tolkning

Hver person skylder i gjennomsnitt omtrent \(248\ 000\) kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hele mengden når \(4{,}8\ \%\) er kjent.

Steg 1 — Skriv prosent som desimaltall

\[4{,}8\ \%=0{,}048\]

Vi bruker desimaltall i divisjonen.

Steg 2 — Del delmengden på prosentandelen

\[\dfrac{229\ 963}{0{,}048}\approx4\ 790\ 896\]

Dette gir omtrent totalt antall personer over \(18\) år.

Steg 3 — Rund av

\[4\ 790\ 896\approx4{,}8\text{ millioner}\]

Det er naturlig å svare omtrent siden tallene i teksten er avrundet.

Kontroll med Python

personer_med_anmerkninger = 229_963
andel = 0.048
print(round(personer_med_anmerkninger/andel))

Tolkning

Det er omtrent \(4{,}8\) millioner personer over \(18\) år i Norge.

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre om både valuta og masse, og finne pris per kilogram.

Steg 1 — Gjør om pund til kilogram

\[3\cdot0{,}454=1{,}362\]

Posen veier omtrent \(1{,}362\) kg.

Steg 2 — Gjør om dollar til kroner

\[4{,}18\cdot10{,}16=42{,}4688\]

Posen kostet omtrent \(42{,}47\) norske kroner.

Steg 3 — Finn pris per kilogram

\[\dfrac{42{,}4688}{1{,}362}\approx31{,}18\]

Vi deler totalprisen på antall kilogram.

Kontroll digitalt

pris_dollar = 4.18
kurs = 10.16
kg = 3*0.454
pris_per_kg = pris_dollar*kurs/kg
print(round(pris_per_kg, 2))

Tolkning

Eplene kostet omtrent \(31\) kroner per kilogram.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne prosentøkningen som tar verdien tilbake til startverdien.

Steg 1 — Sett startverdien til 100

Etter en nedgang på \(23\ \%\) er verdien

\[100\cdot0{,}77=77\]

Det er enklest å regne med startverdi \(100\).

Steg 2 — Finn økningen som trengs

Verdien må øke fra \(77\) til \(100\), altså med \(23\) av \(77\).

\[\dfrac{23}{77}\cdot100\ \%\approx29{,}87\ \%\]

Steg 3 — Kontroller med vekstfaktor

\[0{,}77\cdot1{,}2987\approx1\]

Da er aksjen tilbake på opprinnelig verdi.

Kontroll digitalt

nedgangsfaktor = 0.77
okning_prosent = (1/nedgangsfaktor - 1)*100
print(round(okning_prosent, 2))

Tolkning

Aksjen må øke med omtrent \(30\ \%\), ikke \(23\ \%\), fordi økningen regnes av en lavere verdi.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at én breddegrad består av \(60\) bueminutter.

Steg 1 — Finn avstanden for én breddegrad i meter

\[60\cdot1852=111\ 120\]

Det er \(60\) nautiske mil i én breddegrad.

Steg 2 — Gjør om til kilometer

\[111\ 120\text{ m}=111{,}12\text{ km}\]

Vi deler på \(1000\) for å gå fra meter til kilometer.

Tolkning

Avstanden mellom to breddegrader er omtrent \(111{,}12\) km.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne omkretsen rundt jorden langs en meridian.

Steg 1 — Bruk \(360\) breddegrad-intervaller rundt jorden

En hel runde tilsvarer \(360^\circ\).

Hver grad er omtrent \(111{,}12\) km.

Steg 2 — Multipliser

\[360\cdot111{,}12=40003{,}2\]

Dette gir omkretsen i kilometer.

Steg 3 — Rund av

\[40003{,}2\approx40000\]

Tolkning

Jordens omkrets er omtrent \(40\ 000\) km.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne avstanden mellom breddegradene og sammenlikne med jordens omkrets.

Steg 1 — Finn forskjellen i breddegrader

\[63{,}4-59{,}9=3{,}5\]

Byene ligger omtrent på samme lengdegrad, så vi kan bruke breddegradene direkte.

Steg 2 — Finn avstanden

\[3{,}5\cdot111{,}12=388{,}92\]

Avstanden er omtrent \(388{,}92\) km.

Steg 3 — Finn prosentandelen

\[\dfrac{388{,}92}{40003{,}2}\cdot100\ \%\approx0{,}972\ \%\]

Kontroll digitalt

km_per_grad = 111.12
avstand = (63.4 - 59.9)*km_per_grad
omkrets = 360*km_per_grad
print(round(avstand/omkrets*100, 3))

Tolkning

Avstanden mellom Oslo og Trondheim utgjør omtrent \(1\ \%\) av jordens omkrets.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvor hvert ledd i omkretsformelen kommer fra.

Steg 1 — Finn de rette sidene

Rektangeldelen bidrar med to langsider og én kortside:

\[2y+x\]

Den andre kortsiden er erstattet av halvsirkelen.

Steg 2 — Finn buen i halvsirkelen

Diameteren i halvsirkelen er \(x\), så omkretsen av en hel sirkel ville vært \(\pi x\).

Halvsirkelen gir halvparten:

\[\dfrac{\pi x}{2}\]

Steg 3 — Sett sammen omkretsen

\[O=2y+x+\dfrac{\pi x}{2}\]

Tolkning

Formelen teller bare ytterkanten av blomsterbedet.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke omkretsformelen med \(O=12\) og \(x=1\).

Steg 1 — Sett inn i formelen

\[12=2y+1+\dfrac{\pi\cdot1}{2}\]

Gjerdet er \(12\) meter langt.

Steg 2 — Løs for \(y\)

\[2y=12-1-\dfrac{\pi}{2}\]

\[y=\dfrac{12-1-\dfrac{\pi}{2}}{2}\]

Steg 3 — Regn ut

\[y\approx4{,}7146\]

Avrundet blir dette ca. \(4{,}7\) meter.

Kontroll digitalt

Tolkning

Når bredden \(x\) er \(1\) m, må langsidene være omtrent \(4{,}7\) m.

Hva spør oppgaven om? Vi skal legge sammen arealet av rektangelet og halvsirkelen.

Steg 1 — Finn rektangelarealet

\[A_{rektangel}=x\cdot y=1\cdot4{,}7=4{,}7\]

Steg 2 — Finn arealet av halvsirkelen

Radiusen er \(\dfrac{x}{2}=0{,}5\).

\[A_{halvsirkel}=\dfrac{\pi\cdot0{,}5^2}{2}\approx0{,}393\]

Steg 3 — Legg sammen

\[A\approx4{,}7+0{,}393=5{,}093\]

Tolkning

Arealet blir omtrent \(5{,}1\) kvadratmeter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en tabell for ulike verdier av \(x\), der \(y\) og arealet regnes ut.

Steg 1 — Bruk formelen for \(y\)

Fra omkretsen \(12=2y+x+\dfrac{\pi x}{2}\) får vi

\[y=\dfrac{12-x-\dfrac{\pi x}{2}}{2}\]

Steg 2 — Bruk arealformelen

\[A=x\cdot y+\dfrac{\pi\left(\dfrac{x}{2}\right)^2}{2}\]

Steg 3 — Lag tabell

Regnearkoppsett

Et mulig regneark er:

A2=1, A3=A2+1, B2=(12-A2-PI()*A2/2)/2, C2=A2*B2+PI()*(A2/2)^2/2.

Tolkning

Tabellen viser at arealet øker først og deretter begynner å minke.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en arealfunksjon av \(x\), tegne grafen og finne toppunktet.

Steg 1 — Skriv \(y\) som funksjon av \(x\)

\[y=\dfrac{12-x-\dfrac{\pi x}{2}}{2}\]

Dette kommer fra at hele gjerdet er \(12\) meter.

Steg 2 — Sett inn i arealformelen

\[A(x)=x\cdot\dfrac{12-x-\dfrac{\pi x}{2}}{2}+\dfrac{\pi x^2}{8}\]

Første ledd er rektangelet, og andre ledd er halvsirkelen.

Steg 3 — Tegn graf og finn maksimum

Steg 4 — Kontroller med Python

import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
A = x*((12 - x - sp.pi*x/2)/2) + sp.pi*x**2/8
opt_x = sp.solve(sp.diff(A, x), x)[0]
print(round(float(opt_x), 2))
print(round(float(A.subs(x, opt_x)), 2))

Tolkning

Størst mulig areal er omtrent \(10{,}1\) m\(^2\), når \(x\approx3{,}36\) m.