Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne prosentvis økning, ikke økning i kroner.

Steg 1 — Finn økningen for vare A

\[180-120=60\]

Vare A øker med 60 kroner.

Steg 2 — Regn prosentvis økning for vare A

\[\dfrac{60}{120}=0{,}50=50\,\%\]

Vi deler på den opprinnelige prisen.

Steg 3 — Regn prosentvis økning for vare B

\[\dfrac{26-16}{16}=\dfrac{10}{16}=0{,}625=62{,}5\,\%\]

Vare B øker mindre i kroner, men fra et mye lavere startbeløp.

Tolkning

Vare B har størst prosentvis økning, selv om vare A øker mest i kroner.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skrive et svært stort tall på standardform.

Steg 1 — Tolk én billiard

En billiard er tusen millioner millioner:

\[1\text{ billiard}=10^{15}\]

Steg 2 — Skriv 20 billiarder som potens

\[20\text{ billiarder}=20\cdot 10^{15}\]

Dette er riktig verdi, men ikke standardform fordi tallet foran tierpotensen er 20.

Steg 3 — Gjør om til standardform

\[20\cdot 10^{15}=2\cdot 10^{16}\]

På standardform skal tallet foran tierpotensen være minst 1 og mindre enn 10.

Tolkning

20 billiarder er et tall med 17 siffer.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et rimelig intervall for total masse, og gjøre om fra milligram til kilogram.

Steg 1 — Finn minste mulige masse

\[200\,000\cdot 7\text{ mg}=1\,400\,000\text{ mg}\]

Vi bruker færrest maur og lavest masse per maur.

Steg 2 — Finn største mulige masse

\[300\,000\cdot 9\text{ mg}=2\,700\,000\text{ mg}\]

Vi bruker flest maur og høyest masse per maur.

Steg 3 — Gjør om til kilogram

\[1\,400\,000\text{ mg}=1{,}4\text{ kg}\] \[2\,700\,000\text{ mg}=2{,}7\text{ kg}\]

Det er \(1\,000\,000\) mg i 1 kg.

Tolkning

Alle maurene i en normalt stor maurtue veier omtrent noen få kilogram til sammen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal kjenne igjen tre typer sammenhenger.

Steg 1 — Situasjon A

Hvis \(n\) personer deler 2200 kroner, blir prisen per person

\[\dfrac{2200}{n}\]

Når antallet personer øker, går prisen per person ned. Produktet er konstant.

Steg 2 — Situasjon B

Med tilbudet «ta tre, betal for to» øker ikke prisen jevnt for hver flaske. For eksempel betaler du for 2 av 3 flasker, men for 4 av 6 flasker.

Dette er ikke en ren proporsjonal sammenheng.

Steg 3 — Situasjon C

Hvis én porsjon trenger en fast mengde mel, trenger dobbelt så mange porsjoner dobbelt så mye mel.

Da er forholdet mellom porsjoner og mel konstant.

Tolkning

A handler om deling av en fast pris, B handler om et trappetrinnstilbud, og C handler om en oppskrift som kan skaleres.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke linje 7 i begge programmene i den praktiske situasjonen.

Steg 1 — Tolk variabelen \(e\)

Variabelen \(e\) står for antall enheter Lisa håper å selge i en måned.

Steg 2 — Tolk linje 7 i Program 1

I Program 1 står det at \(e\) skal multipliseres med \(1{,}04\).

\[e\cdot 1{,}04\]

Det betyr at salget øker med 4 prosent fra én måned til den neste.

Steg 3 — Tolk linje 7 i Program 2

I Program 2 står det at det legges til 40.

\[e+40\]

Det betyr at Lisa håper å selge 40 flere enheter hver måned.

Tolkning

Program 1 beskriver prosentvis vekst, mens Program 2 beskriver fast økning i antall enheter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hva utskriften \(t\) betyr i programmene.

Steg 1 — Se hva løkken gjør

Hver gang løkken kjører, legges månedssalget \(e\) til totalen \(t\).

Steg 2 — Se hvor mange måneder som tas med

Løkken går så lenge \(m\le 12\), altså for 12 måneder.

Steg 3 — Tolk utskriften

Verdien som skrives ut, er summen av månedssalgene for hele året 2025.

Tolkning

Lisa får vite hvor mange enheter hun totalt håper å selge i 2025 etter hver av de to modellene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne en lineær formel \(F=aC+b\), der \(C\) er celsius og \(F\) er fahrenheit.

Steg 1 — Finn konstantleddet

Punktet \((0,32)\) viser at når \(C=0\), er \(F=32\).

\[b=32\]

Steg 2 — Finn stigningstallet

Bruk punktene \((0,32)\) og \((100,212)\):

\[a=\dfrac{212-32}{100-0}=\dfrac{180}{100}=1{,}8=\dfrac{9}{5}\]

Steg 3 — Skriv formelen

\[F=\dfrac{9}{5}C+32\]

Tolkning

For hver grad celsius temperaturen øker, øker temperaturen i fahrenheit med 1,8 grader.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke formelen fra a og finne \(C\) når \(F=68\).

Steg 1 — Sett inn \(F=68\)

\[68=\dfrac{9}{5}C+32\]

Steg 2 — Trekk fra 32

\[36=\dfrac{9}{5}C\]

Steg 3 — Løs for \(C\)

\[C=36\cdot \dfrac{5}{9}=20\]

Tolkning

68 °F er en mild temperatur, og det tilsvarer 20 °C.

Hva spør oppgaven om? Året 2010 svarer til \(x=0\). Vi skal vise dette både ved regning og grafisk/digitalt.

Steg 1 — Bruk at 2010 betyr \(x=0\)

\[P(0)=3600\cdot 0{,}85^0+600\]

Alt opphøyd i 0 er 1.

Steg 2 — Regn ut verdien

\[P(0)=3600\cdot 1+600=4200\]

Steg 3 — Digital/grafisk metode

Lag grafen til \(P\) og les av skjæringen med \(y\)-aksen. Det er verdien når \(x=0\).

Kontroll (GeoGebra CAS)

def P(x):
    return 3600 * 0.85**x + 600

print(P(0))

Tolkning

I 2010 abonnerte 4200 personer på papirutgaven ifølge modellen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig endring i antall papirabonnenter per år fra 2014 til 2024.

Steg 1 — Finn funksjonsverdiene

\[P(4)=3600\cdot0{,}85^4+600\approx2479{,}22\] \[P(14)=3600\cdot0{,}85^{14}+600\approx969{,}97\]

Steg 2 — Bruk formelen for stigningstall

\[a=\dfrac{P(14)-P(4)}{14-4}\]

Steg 3 — Regn ut

\[a\approx\dfrac{969{,}97-2479{,}22}{10}\approx -150{,}93\]

Kontroll (GeoGebra CAS)

Tolkning

Fra 2014 til 2024 mistet papirutgaven i gjennomsnitt omtrent 151 abonnenter per år.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne papirabonnenter og digitale abonnenter år for år.

Steg 1 — Lag digital modell

La \(D\) være antall digitale abonnenter, der \(y\) er antall år etter 2019:

\[D(y)=1000\cdot1{,}055^y\]

Steg 2 — Sammenlikn med papirmodellen

Steg 3 — Finn første år digitalt er størst

I 2021 er papir fortsatt størst. I 2022 er digitalt størst:

\[1174>1112\]

Kontroll (Python)

def P(x):
    return 3600 * 0.85**x + 600

def D(y):
    return 1000 * 1.055**y

for year in range(2019, 2025):
    papir = P(year - 2010)
    digital = D(year - 2019)
    print(year, round(papir), round(digital), digital > papir)

Tolkning

Overgangen skjer i 2022. Da har den digitale utgaven flere abonnenter enn papirutgaven.

Hva spør oppgaven om? Vi skal først finne hvor mange mg pulver pasienten trenger per døgn, og deretter gjøre om til milliliter per dose.

Steg 1 — Finn mengde pulver per døgn

\[75\cdot15=1125\text{ mg}\]

Pasienten trenger 15 mg for hvert kilogram kroppsvekt.

Steg 2 — Fordel på tre doser

\[\dfrac{1125}{3}=375\text{ mg}\]

Hver dose skal inneholde 375 mg pulver.

Steg 3 — Gjør om fra mg til milliliter medisin

Medisinen inneholder 6 mg pulver per milliliter:

\[\dfrac{375}{6}=62{,}5\text{ mL}\]

Kontroll (Python)

mg_per_dogn = 75 * 15
mg_per_dose = mg_per_dogn / 3
ml_per_dose = mg_per_dose / 6
print(ml_per_dose)

Tolkning

Pasienten skal ha litt over 60 mL medisin i hver dose.

Hva spør oppgaven om? Vi skal se samlet virkning av flere prosentendringer.

Steg 1 — Skriv vekstfaktorene

\[10\,\%\text{ opp}=1{,}10\] \[20\,\%\text{ opp}=1{,}20\] \[30\,\%\text{ ned}=0{,}70\]

Steg 2 — Multipliser vekstfaktorene

\[1{,}10\cdot1{,}20\cdot0{,}70=0{,}924\]

Steg 3 — Tolk vekstfaktoren

Samlet vekstfaktor er \(0{,}924\), som er mindre enn 1.

\[1-0{,}924=0{,}076=7{,}6\,\%\]

Kontroll (GeoGebra CAS)

Tolkning

Varen koster mindre enn før den første prisøkningen. Den nye prisen er 92,4 prosent av den opprinnelige.

Hva spør oppgaven om? Mandag har lavere fart enn fredag, så vi forventer at mandag tar litt lengre tid.

Steg 1 — Sett inn verdiene

\[t=\left(\dfrac{1}{58}-\dfrac{1}{65}\right)\cdot18\cdot60\]

Steg 2 — Regn ut tidsforskjellen

\[t\approx2{,}005\]

Enheten er minutter.

Steg 3 — Rund praktisk

\[2{,}005\text{ min}\approx2{,}0\text{ min}\]

Kontroll (Python)

s = 18
v1 = 58
v2 = 65
t = (1/v1 - 1/v2) * s * 60
print(t)

Tolkning

Camilla brukte omtrent 2 minutter lengre tid på mandag enn på fredag.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke at dobbelt fart gir halv tid på samme strekning.

Steg 1 — Sett opp forholdet mellom tidene

Hvis farten er dobbelt så høy, blir tiden halvparten så lang. La den korteste tiden være \(x\) minutter. Da er den lengste tiden \(2x\).

Steg 2 — Bruk tidsforskjellen

\[2x-x=20\]

Forskjellen mellom den lange og korte turen er 20 minutter.

Steg 3 — Løs likningen

\[x=20\]

Da er den lengste tiden

\[2x=40\]

Kontroll (GeoGebra CAS)

Tolkning

På dagen med høyest fart brukte hun 20 minutter. På dagen med lavest fart brukte hun 40 minutter.

Hva spør oppgaven om? Samme antall flere følgere hver måned betyr lineær vekst.

Steg 1 — Velg variabel

La \(x\) være antall måneder etter tidspunktet for 8 måneder siden. Da er

\[f(0)=290\,000\] \[f(8)=340\,000\]

Steg 2 — Finn økning per måned

\[\dfrac{340\,000-290\,000}{8}=6250\]

Steg 3 — Skriv funksjonen

\[f(x)=290\,000+6250x\]

Kontroll (GeoGebra CAS)

Tolkning

Modellen sier at Isabel får 6250 nye følgere hver måned.

Hva spør oppgaven om? Samme prosentvis økning hver måned betyr eksponentiell vekst.

Steg 1 — Sett opp modellen

La \(x\) være antall måneder etter tidspunktet for 8 måneder siden:

\[g(x)=290\,000\cdot k^x\]

Steg 2 — Bruk dagens antall følgere

\[290\,000\cdot k^8=340\,000\]

Steg 3 — Finn vekstfaktoren

\[k=\left(\dfrac{340\,000}{290\,000}\right)^{\frac{1}{8}}\approx1{,}02008\]

Steg 4 — Skriv funksjonen

\[g(x)=290\,000\cdot1{,}02008^x\]

Kontroll (Python)

start = 290000
slutt = 340000
k = (slutt/start)**(1/8)
print(k, start*k**8)

Tolkning

Modellen svarer til en månedlig økning på omtrent 2,0 prosent.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne årslønn: 12 månedslønner pluss tillegg for 3 reiseoppdrag.

Steg 1 — Regn årslønn i bedrift A

\[12\cdot32\,000+3\cdot20\,000=444\,000\]

Steg 2 — Regn årslønn i bedrift B

\[12\cdot63\,000+3\cdot16\,000=804\,000\]

Steg 3 — Regn årslønn i bedrift C

\[12\cdot75\,000+3\cdot8\,000=924\,000\]

Kontroll (regneark/Python)

I et regneark kan du bruke samme struktur: =12*B2+3*C2.

print(12*32000 + 3*20000)
print(12*63000 + 3*16000)
print(12*75000 + 3*8000)

Tolkning

Med tre reiseoppdrag gir bedrift C høyest årslønn.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne tre lineære lønnsmodeller.

Steg 1 — Sett opp modellene

La \(x\) være antall reiseoppdrag.

\[A(x)=384\,000+20\,000x\] \[B(x)=756\,000+16\,000x\] \[C(x)=900\,000+8\,000x\]

Steg 2 — Finn når B og C er like

\[756\,000+16\,000x=900\,000+8\,000x\] \[8000x=144\,000\] \[x=18\]

For færre enn 18 oppdrag er C best. For flere enn 18 oppdrag er B bedre enn C.

Steg 3 — Finn når A kan slå B

\[384\,000+20\,000x=756\,000+16\,000x\] \[4000x=372\,000\] \[x=93\]

Først ved mer enn 93 oppdrag er A bedre enn B.

Steg 4 — Konkluder for hele tall

Med hele reiseoppdrag får vi:

• C er best for \(0\) til \(17\) oppdrag.
• B er best for \(19\) til \(93\) oppdrag.
• A er best fra og med \(94\) oppdrag.

Ved \(18\) oppdrag er B og C like gode. Ved \(93\) oppdrag er A og B like gode.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Tolkning

Bedrift C lønner seg når det er få reiseoppdrag, B når det er middels mange, og A bare når det er svært mange reiseoppdrag.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange av de stemmeberettigede som ikke stemte.

Steg 1 — Finn andelen som ikke stemte

\[100\,\%-62{,}4\,\%=37{,}6\,\%\]

Steg 2 — Regn ut antallet

\[4\,341\,850\cdot0{,}376=1\,632\,535{,}6\]

Steg 3 — Rund til hele personer

\[1\,632\,535{,}6\approx1\,632\,536\]

Kontroll (Python)

stemmeberettigede = 4341850
ikke_stemt = stemmeberettigede * (1 - 0.624)
print(round(ikke_stemt))

Tolkning

Omtrent 1,63 millioner stemmeberettigede brukte ikke stemmeretten sin.

Hva spør oppgaven om? Vi skal skille mellom økning i prosentpoeng og prosentvis økning.

Steg 1 — Finn forrige oppslutning for Høyre

Høyre har nå \(25{,}9\,\%\) og økte med 5,8 prosentpoeng.

\[25{,}9-5{,}8=20{,}1\]

Prosentvis framgang blir

\[\dfrac{5{,}8}{20{,}1}\cdot100\,\%\approx28{,}9\,\%\]

Steg 2 — Regn for Fremskrittspartiet

Fremskrittspartiet har nå \(11{,}3\,\%\) og økte med 3,1 prosentpoeng.

\[11{,}3-3{,}1=8{,}2\] \[\dfrac{3{,}1}{8{,}2}\cdot100\,\%\approx37{,}8\,\%\]

Steg 3 — Sammenlikn med andre partier med framgang

Venstre økte med

\[\dfrac{1{,}1}{3{,}9}\cdot100\,\%\approx28{,}2\,\%\]

Dette er også mindre enn Fremskrittspartiets økning.

Kontroll (Python)

partier = {
    "Høyre": (25.9, 5.8),
    "Fremskrittspartiet": (11.3, 3.1),
    "SV": (6.9, 0.8),
    "Venstre": (5.0, 1.1),
    "Andre": (9.5, 1.5),
}
for navn, (naa, pp) in partier.items():
    forrige = naa - pp
    prosentvis = pp / forrige * 100
    print(navn, round(prosentvis, 1))

Tolkning

Høyre har størst framgang målt i prosentpoeng, men Fremskrittspartiet har størst prosentvis framgang sammenliknet med egen oppslutning sist.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne volumet av kassen når høyden blir 100 mm.

Steg 1 — Finn lengde og bredde etter bortskjæring

Det skjæres bort 100 mm i hvert hjørne på begge sider:

\[1200-2\cdot100=1000\text{ mm}\] \[800-2\cdot100=600\text{ mm}\]

Steg 2 — Finn volumet i kubikkmillimeter

\[V=1000\cdot600\cdot100=60\,000\,000\text{ mm}^3\]

Steg 3 — Gjør om til liter

\[1\text{ L}=1\,000\,000\text{ mm}^3\] \[60\,000\,000\text{ mm}^3=60\text{ L}\]

Tolkning

Kassen rommer 60 liter sand når Sofie skjærer bort kvadrater med sidelengde 100 mm.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en tabell med ulike sidelengder og tilhørende volum.

Steg 1 — Bruk volumformelen

Hvis sidelengden som skjæres bort er \(x\) mm, blir volumet

\[V=x(1200-2x)(800-2x)\]

Steg 2 — Lag en systematisk tabell

Steg 3 — Les av største verdi

Tabellen viser at volumet er størst rundt \(x=160\) mm.

Kontroll (regneark)

Hvis \(x\) står i celle A2, kan volum i liter regnes med =A2*(1200-2*A2)*(800-2*A2)/1000000.

Tolkning

Sofie bør skjære bort kvadrater med sidelengde litt under eller rundt 160 mm for å få størst volum.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en modell for volumet i liter.

Steg 1 — Finn kassemålene

Høyden blir \(x\), lengden blir \(1200-2x\), og bredden blir \(800-2x\).

Steg 2 — Sett opp volumet i kubikkmillimeter

\[V_{\text{mm}^3}(x)=x(1200-2x)(800-2x)\]

Steg 3 — Gjør om til liter

\[V(x)=\dfrac{x(1200-2x)(800-2x)}{1\,000\,000}\]

Kontroll (GeoGebra)

Tolkning

Funksjonen viser hvordan volumet endrer seg når Sofie velger ulike størrelser på hjørnekvadratene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne maksimumspunktet til volumfunksjonen på det praktiske området.

Steg 1 — Bruk modellen

\[V(x)=\dfrac{x(1200-2x)(800-2x)}{1\,000\,000}\]

Steg 2 — Finn maksimum digitalt

I GeoGebra kan vi bruke ekstremalpunkt på grafen i området \(0\le x\le400\).

Steg 3 — Les av maksimumspunktet

\[x\approx156{,}95\] \[V(x)\approx67{,}60\]

Kontroll (GeoGebra CAS)

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
V = x*(1200 - 2*x)*(800 - 2*x)/1000000
kritiske = solve(diff(V, x), x)
for verdi in kritiske:
    if 0 < verdi < 400:
        print(float(verdi), float(V.subs(x, verdi)))

Tolkning

Sofie bør skjære bort kvadrater med sidelengde omtrent 157 mm. Da blir volumet omtrent 67,6 liter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvilke \(x\)-verdier som gir en fysisk mulig kasse.

Steg 1 — Høyden må være positiv

Sidelengden som skjæres bort kan ikke være negativ.

\[x\ge0\]

Steg 2 — Bredden må ikke bli negativ

Den korte siden er 800 mm, og bredden etter bretting blir \(800-2x\).

\[800-2x\ge0\] \[x\le400\]

Steg 3 — Vurder endepunktene

Ved \(x=0\) og \(x=400\) blir volumet \(0\). For en faktisk kasse med volum bør vi bruke

\[0

Tolkning

Modellen gir mening for sidelengder større enn 0 mm og mindre enn 400 mm. Utenfor dette området blir kassen umulig eller uten volum.