Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke anbefalingen per kilogram og gjøre om fra milliliter til liter.

Steg 1 — Finn væskemengden i milliliter

\[30\cdot70=2100\]

Det er 30 mL for hvert kilogram kroppsvekt.

Steg 2 — Gjør om til liter

\[2100\text{ mL}=2{,}1\text{ L}\]

Vi deler på 1000 fordi 1000 mL er 1 L.

Tolkning

Ifølge nettsiden bør Tobias drikke omtrent 2,1 liter væske i løpet av et døgn.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne 88 % med uttrykket «ni av ti» og deretter skille prosentpoeng fra prosentvis økning.

Steg 1 — Tolk overskriften

\[\dfrac{9}{10}=0{,}90=90\,\%\]

Ni av ti betyr 90 %.

Steg 2 — Sammenlign med 88 %

\[88\,\%\approx90\,\%\]

Overskriften samsvarer omtrent, fordi 88 % rundes til omtrent ni av ti.

Steg 3 — Finn startprosenten før økningen

\[88\,\%-8\text{ prosentpoeng}=80\,\%\]

En økning på 8 prosentpoeng betyr at prosenttallet har gått fra 80 % til 88 %.

Steg 4 — Regn økningen i prosent

\[\dfrac{8}{80}\cdot100\,\%=10\,\%\]

Vi sammenligner økningen med startverdien 80 %.

Tolkning

Overskriften er en avrundet formulering. Økningen på 8 prosentpoeng tilsvarer 10 % relativ økning.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke sammenhengen i Ohms lov til å vurdere to påstander.

Steg 1 — Skriv sammenhengen

\[I=\dfrac{U}{R}\]

Strømmen øker med spenningen og minker med motstanden.

Steg 2 — Vurder påstand 1

Hvis \(R\) er konstant og \(U\) øker, blir \(\dfrac{U}{R}\) større.

Påstand 1 er derfor sann.

Steg 3 — Vurder påstand 2

Hvis \(U\) er konstant og \(R\) øker, blir \(\dfrac{U}{R}\) mindre.

Påstand 2 er derfor usann.

Tolkning

Mer spenning gir mer strøm, mens større motstand bremser strømmen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal forklare hvordan uttrykket kan passe med tabellen for store hunder.

Steg 1 — Se på verdiene for store hunder

For store hunder viser tabellen blant annet \(2\) år \(\to 24\) år og \(3\) år \(\to 30\) år.

Økningen er 6 menneskeår per hundeår.

Steg 2 — Bruk stigningstallet 6

\[H(x)=6x+b\]

Stigningstallet 6 kommer fra at menneskealderen øker med 6 når hundealderen øker med 1.

Steg 3 — Finn konstantleddet

\[24=6\cdot2+b\]

\[b=12\]

Dermed får vi \(H(x)=6x+12\).

Steg 4 — Vurder gyldighet

Modellen passer fra omtrent 2 hundeår og videre i tabellen for store hunder.

Den passer ikke godt for de første leveårene, fordi \(H(1)=18\), mens tabellen sier 16 menneskeår.

Tolkning

Modellen beskriver voksen alder for store hunder i tabellen, men ikke hele hundens liv.

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre om modellen er proporsjonal.

Steg 1 — Kjennetegn på proporsjonalitet

En proporsjonal sammenheng kan skrives som \(H(x)=kx\).

Da må grafen gå gjennom origo, og forholdet \(\dfrac{H(x)}{x}\) må være konstant.

Steg 2 — Sammenlign med Sondres modell

\[H(x)=6x+12\]

Modellen har konstantleddet 12, og er derfor ikke på formen \(kx\).

Steg 3 — Kontroller med to verdier

\[\dfrac{H(2)}{2}=\dfrac{24}{2}=12\]

\[\dfrac{H(4)}{4}=\dfrac{36}{4}=9\]

Forholdet er ikke konstant.

Tolkning

Hundealder og menneskeår følger ikke en enkel fast multiplikasjon i denne modellen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette opp regnestykket, ikke nødvendigvis bare svare med tallet.

Steg 1 — Finn vekstfaktoren første år

Et verdifall på 20 % gir vekstfaktor \(0{,}80\).

Bilen beholder 80 % av verdien.

Steg 2 — Finn vekstfaktoren andre år

Et verdifall på 14 % gir vekstfaktor \(0{,}86\).

Dette regnes av bruktprisen etter første år.

Steg 3 — Sett opp regnestykket

\[490000\cdot0{,}80\cdot0{,}86\]

Vi ganger med begge vekstfaktorene i riktig rekkefølge.

Steg 4 — Eventuell verdi

\[490000\cdot0{,}80\cdot0{,}86=337120\]

Dette er verdien etter to år.

Tolkning

Etter to år er bilen verdt 337 120 kroner ifølge modellen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal velge en modell som passer til en avtakende utvikling. En eksponentiell modell er rimelig fordi antallet synker raskt først og deretter mer gradvis.

Steg 1 — Gjør årstall om til \(x\)-verdier

\[1952\to x=2,\quad 1982\to x=32,\quad \ldots,\quad 2022\to x=72\]

Dette følger definisjonen \(x=\text{år}-1950\).

Steg 2 — Bruk eksponentiell regresjon

Med punktene \((2,65956),(32,25289),(42,19780),(52,13841),(62,9825),(72,9591)\) får vi omtrent

\[F(x)=66360\cdot0{,}97143^x\]

Dette gir en positiv modell som avtar med årene.

Steg 3 — Dokumenter digital metode

import numpy as np
x = np.array([2, 32, 42, 52, 62, 72], dtype=float)
y = np.array([65956, 25289, 19780, 13841, 9825, 9591], dtype=float)
m, c = np.polyfit(x, np.log(y), 1)
a = np.exp(c)
b = np.exp(m)
print(round(a), round(b, 5))

Tolkning

Modellen sier at antallet fiskere minker med en faktor på omtrent 0,97143 per år, altså om lag 2,9 % nedgang per år i modellen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke modellen til å anslå antallet i 2050 og vurdere om det er trygt å bruke modellen så langt fram.

Steg 1 — Finn \(x\)-verdien for 2050

\[x=2050-1950=100\]

Modellen bruker antall år etter 1950.

Steg 2 — Sett inn i modellen

\[F(100)=66360\cdot0{,}97143^{100}\]

Dette gir modellens anslag for 2050.

Steg 3 — Regn ut

\[F(100)\approx3658\]

Avrundet blir dette omtrent 3700 personer.

Steg 4 — Vurder gyldighet

Modellen bygger på data fra 1952 til 2022. Å bruke den i 2050 er en ekstrapolering 28 år framover.

Den kan gi en pekepinn, men bør brukes med forsiktighet.

Tolkning

Hvis utviklingen følger modellen videre, vil antallet fiskere fortsette å synke.

Kontroll (Python)

a = 66359.65875906972
b = 0.9714345703476839
print(a*b**100)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig endring per år mellom \(x=30\) og \(x=70\).

Steg 1 — Finn modellverdiene

\[F(30)\approx27817\]

\[F(70)\approx8727\]

Dette er modellens antall fiskere ved de to tidspunktene.

Steg 2 — Bruk formelen for stigningstall

\[a=\dfrac{F(70)-F(30)}{70-30}\]

Stigningstallet viser endring per \(x\)-enhet, altså per år.

Steg 3 — Regn ut

\[a\approx\dfrac{8727-27817}{40}\approx-477\]

Det negative tegnet viser at antallet synker.

Tolkning

Mellom 1980 og 2020 synker antallet fiskere ifølge modellen i gjennomsnitt med omtrent 477 personer per år.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Hva spør oppgaven om? Arealet er lengde ganger bredde, så vi må kombinere to vekstfaktorer.

Steg 1 — Finn vekstfaktorene

Lengden øker med 10 %, altså faktor \(1{,}10\).

Bredden reduseres med 20 %, altså faktor \(0{,}80\).

Steg 2 — Finn arealfaktoren

\[1{,}10\cdot0{,}80=0{,}88\]

Arealet blir 88 % av det opprinnelige.

Steg 3 — Finn prosentvis endring

\[0{,}88-1=-0{,}12\]

Dette tilsvarer en nedgang på 12 %.

Tolkning

Selv om lengden øker, blir arealet mindre fordi bredden reduseres mer.

Hva spør oppgaven om? Vi skal fordele 500 millioner pølser jevnt på alle sekundene i ett år.

Steg 1 — Finn antall sekunder i ett år

\[365\cdot24\cdot60\cdot60=31536000\]

Vi bruker et vanlig år med 365 døgn.

Steg 2 — Del antall pølser på antall sekunder

\[\dfrac{500000000}{31536000}\approx15{,}85\]

Dette gir gjennomsnitt per sekund.

Steg 3 — Rund av

\[15{,}85\approx16\]

Det er naturlig å runde til hele pølser.

Tolkning

I gjennomsnitt spiser vi omtrent 16 pølser hvert sekund i Norge.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor stor del 13 millioner er av 500 millioner.

Steg 1 — Sett opp brøken

\[\dfrac{13}{500}\]

Vi kan bruke millioner i både teller og nevner, fordi enheten er lik.

Steg 2 — Gjør om til prosent

\[\dfrac{13}{500}\cdot100\,\%=2{,}6\,\%\]

Vi multipliserer med 100 for å få prosent.

Tolkning

17. mai står for en liten, men tydelig del av årsforbruket.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke jordens omkrets og opplysningen om at alle pølsene tilsvarer 2,5 ganger rundt jorda.

Steg 1 — Finn jordens omkrets

\[O=2\pi r=2\pi\cdot6378\approx40074\text{ km}\]

Vi bruker formelen for omkretsen av en sirkel.

Steg 2 — Finn samlet pølselengde

\[2{,}5\cdot40074\approx100185\text{ km}\]

Alle pølsene etter hverandre skal dekke 2,5 jordomkretser.

Steg 3 — Del på antall pølser

\[\dfrac{100185\text{ km}}{500000000}\approx0{,}000200\text{ km}\]

Dette er lengden per pølse.

Steg 4 — Gjør om til centimeter

\[0{,}000200\text{ km}=0{,}200\text{ m}=20{,}0\text{ cm}\]

Vi gjør om fra kilometer til meter og centimeter.

Tolkning

NRK har omtrent regnet med at en pølse er 20 cm lang.

Kontroll (Python)

import math
omkrets_jord_km = 2*math.pi*6378
lengde_per_polse_m = 2.5*omkrets_jord_km*1000/500_000_000
print(lengde_per_polse_m)

Hva spør oppgaven om? Vi må beregne mengden teobromin og sammenligne med en grense som avhenger av hundens vekt.

Steg 1 — Finn mengden teobromin

\[200\cdot1{,}2=240\]

Mira har fått i seg omtrent 240 mg teobromin.

Steg 2 — Sett opp grensen for en hund på \(m\) kg

\[20m\text{ mg}\]

Grensen er 20 mg per kilogram kroppsvekt.

Steg 3 — Finn hvilken vekt som gir grensen 240 mg

\[20m=240\]

\[m=12\]

Hvis Mira veier mindre enn 12 kg, er mengden over grensen.

Steg 4 — Vurder med antakelser

Veier Mira 10 kg, er grensen \(200\) mg, og \(240\) mg er over grensen. Veier hun 20 kg, er grensen \(400\) mg, og \(240\) mg er under grensen.

Tolkning

Uten å vite vekten kan vi ikke avgjøre sikkert. Siden 200 g sjokolade er mye, og siden hunder under 12 kg ligger over grensen, bør Snorre kontakte veterinær hvis Mira er liten eller hvis han er usikker på vekten.

Kontroll (Python)

teobromin = 200*1.2
kritisk_vekt = teobromin/20
print(teobromin, kritisk_vekt)

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne punktet \(P(x,y)\) på \(BC\) som gir størst areal for rektangelet.

Steg 1 — Finn linjen \(BC\)

Linjen går gjennom \((0,6)\) og \((6,0)\), derfor er

\[y=6-x\]

Dette stemmer med samtalen: når \(x=1\), blir \(y=5\).

Steg 2 — Finn bredden i rektangelet

Venstre toppunkt ligger symmetrisk på \(AC\), altså ved \((-x,y)\).

Da er bredden \(x-(-x)=2x\).

Steg 3 — Sett opp arealfunksjonen

\[A(x)=2x(6-x)=12x-2x^2\]

Arealet er bredde ganger høyde.

Steg 4 — Finn toppunktet

For \(A(x)=-2x^2+12x\) er toppunktets \(x\)-verdi

\[x=\dfrac{-12}{2\cdot(-2)}=3\]

Dette gir størst areal fordi grafen er en parabel som vender nedover.

Steg 5 — Finn \(y\)-verdien

\[y=6-3=3\]

Dermed er punktet \(P=(3,3)\).

Tolkning

Det største rektangelet får høyde 3 og bredde 6, og arealet blir \(18\).

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, diff, solve
x = symbols('x')
A = 2*x*(6 - x)
print(solve(diff(A, x), x))
print(A.subs(x, 3))

Hva spør oppgaven om? Lengdene danner en geometrisk rekke med første ledd 100 og kvotient 0,9.

Steg 1 — Sett opp summen

\[100+100\cdot0{,}9+100\cdot0{,}9^2+\cdots+100\cdot0{,}9^7\]

De 8 første leddene har eksponentene 0 til 7.

Steg 2 — Bruk sumformelen

\[S_8=100\cdot\dfrac{1-0{,}9^8}{1-0{,}9}\]

Dette er sumformelen for en endelig geometrisk rekke.

Steg 3 — Regn ut

\[S_8\approx569{,}53\text{ cm}\]

Det tilsvarer omtrent 5,70 meter.

Tolkning

De 8 første linjestykkene har samlet lengde omtrent 570 cm.

Kontroll (Python)

S = sum(100*0.9**i for i in range(8))
print(S)

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage et program som legger sammen stadig kortere linjestykker til summen blir minst 900 cm.

Steg 1 — Velg enhet

\[9\text{ m}=900\text{ cm}\]

Det er enklest å regne i cm, siden første linjestykke er 100 cm.

Steg 2 — Lag løkke

Programmet legger til ett linjestykke om gangen og ganger neste lengde med 0,9.

sum_lengder = 0
lengde = 100
antall = 0

while sum_lengder < 900:
    sum_lengder += lengde
    antall += 1
    lengde *= 0.9

print(antall, sum_lengder)

Steg 3 — Les av resultatet

Programmet gir \(22\) linjestykker og en sum på omtrent \(901{,}5\) cm.

Tolkning

Med 21 linjestykker er summen fortsatt under 9 meter, men med 22 linjestykker blir den minst 9 meter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenligne summen av de 50 første linjestykkene med summen av de 100 første.

Steg 1 — Finn summen av 50 linjestykker

\[S_{50}=100\cdot\dfrac{1-0{,}9^{50}}{1-0{,}9}\approx994{,}85\]

Dette er i cm.

Steg 2 — Finn summen av 100 linjestykker

\[S_{100}=100\cdot\dfrac{1-0{,}9^{100}}{1-0{,}9}\approx999{,}97\]

Summen nærmer seg 1000 cm.

Steg 3 — Regn prosentvis økning

\[\dfrac{999{,}97-994{,}85}{994{,}85}\cdot100\,\%\approx0{,}52\,\%\]

Vi sammenligner økningen med summen for 50 linjestykker.

Tolkning

Økningen er liten fordi de nye linjestykkene er svært korte.

Kontroll (Python)

def S(n):
    return 100*(1 - 0.9**n)/(1 - 0.9)
prosent = (S(100) - S(50))/S(50)*100
print(S(50), S(100), prosent)

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette \(a=3\) og \(b=2\) inn i formelen og sammenligne med 15,865 cm.

Steg 1 — Finn \(h\)

\[h=\left(\dfrac{3-2}{3+2}\right)^2=\left(\dfrac{1}{5}\right)^2=0{,}04\]

Først må hjelpevariabelen \(h\) beregnes.

Steg 2 — Sett inn i formelen

\[O\approx \pi(3+2)\left(1+\dfrac{3\cdot0{,}04}{10+\sqrt{4-3\cdot0{,}04}}\right)\]

Vi setter inn \(a\), \(b\) og \(h\).

Steg 3 — Regn ut

\[O\approx15{,}8654\text{ cm}\]

Avrundet til tre desimaler blir dette 15,865 cm.

Steg 4 — Sammenlikn

Mari fant \(15{,}865\) cm. Formelen gir praktisk talt samme verdi.

Tolkning

Ramanujans formel gir en svært god tilnærming for denne ellipsen.

Kontroll (Python)

import math
a = 3
b = 2
h = ((a-b)/(a+b))**2
O = math.pi*(a+b)*(1 + (3*h)/(10 + math.sqrt(4 - 3*h)))
print(O)

Hva spør oppgaven om? En sirkel er et spesialtilfelle av en ellipse der de to halvaksene er like lange.

Steg 1 — Sett \(a=b=r\)

For en sirkel er både stor og liten halvakse lik radius \(r\).

Da er \(a=b=r\).

Steg 2 — Finn \(h\)

\[h=\left(\dfrac{r-r}{r+r}\right)^2=0\]

Når halvaksene er like, blir telleren null.

Steg 3 — Sett inn i formelen

\[O\approx\pi(r+r)\left(1+\dfrac{3\cdot0}{10+\sqrt{4-3\cdot0}}\right)\]

Brøkleddet blir null.

Steg 4 — Forenkle

\[O=2\pi r\]

Dette er den vanlige formelen for omkretsen av en sirkel.

Tolkning

Formelen gir riktig sirkelomkrets når ellipsen er en sirkel.

Hva spør oppgaven om? Vi skal koble fartsgrafen til formen på banen. Lav fart betyr vanligvis skarp sving, mens høy og jevn fart betyr rettere deler.

Steg 1 — Tell fartsfallene

Grafen har tre tydelige steder der farten går ned.

Det betyr at banen bør ha tre viktige svingpartier.

Steg 2 — Sammenlign dybden på fartsfallene

Det midterste fartsfallet er størst.

Det tyder på at den midterste svingen i runden er den skarpeste.

Steg 3 — Sammenlign med banene

Banene A og D har for mange tydelige svinger. Banen E har tre nokså like svinger, men grafen viser ikke tre like fartsfall.

Banen F har tre hovedsvinger, der en av dem er tydelig skarpere, og passer derfor best med grafen.

Steg 4 — Vurder startpunkt og rekkefølge

Med start ved den røde markeringen passer rekkefølgen med først et moderat fartsfall, deretter et kraftig fartsfall og til slutt et mindre/bredere fartsfall.

Tolkning

Fartsgrafen beskriver ikke en nøyaktig tegning av banen, men mønsteret i fartsfallene peker best mot bane F.