Hva spør oppgaven om? Vi skal finne 3,0 promille av likningsverdien.

Steg 1 — Skriv promille som brøk

\[3{,}0\,\text{‰}=\dfrac{3}{1000}\]

Promille betyr tusendeler.

Steg 2 — Finn skatten

\[2\,500\,000\cdot \dfrac{3}{1000}=7500\]

Vi tar samme andel av likningsverdien.

Steg 3 — Kontroll

\[7500\cdot 1000=7\,500\,000=3\cdot 2\,500\,000\]

Dette bekrefter at 7500 er 3 promille av verdien.

Tolkning

Familien betaler 7500 kroner i eiendomsskatt i 2022.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne endringen i satsen uttrykt i prosentpoeng.

Steg 1 — Gjør promille om til prosent

\[3{,}0\,\text{‰}=0{,}30\,\%,\qquad 3{,}5\,\text{‰}=0{,}35\,\%\]

Promille deles på 10 for å få prosent.

Steg 2 — Finn differansen i prosentpoeng

\[0{,}35\,\%-0{,}30\,\%=0{,}05\,\text{prosentpoeng}\]

Prosentpoeng er forskjellen mellom to prosentsatser.

Steg 3 — Kontroll

\[3{,}5\,\text{‰}-3{,}0\,\text{‰}=0{,}5\,\text{‰}=0{,}05\,\%\]

Samme endring fås direkte fra promillesatsene.

Tolkning

Satsen øker med 0,05 prosentpoeng.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne samlet grunnflate med 30 % av tomtearealet.

Steg 1 — Finn største tillatte bebygde areal

\[600\cdot 0{,}30=180\]

Han kan bygge på maksimalt 180 \(\text{m}^2\).

Steg 2 — Finn arealet av garasjen

\[6\cdot 8=48\]

Garasjen er et rektangel.

Steg 3 — Finn samlet bebygd areal

\[140+48=188\]

Bolig og garasje må legges sammen.

Steg 4 — Sammenlikn med kravet

\[188>180\]

Samlet areal er 8 \(\text{m}^2\) for mye.

Tolkning

David kan ikke bygge både huset og garasjen slik han ønsker, hvis han må holde seg innenfor reguleringsplanen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne et uttrykk som passer punktene på grafen.

Steg 1 — Les av punkter

\[(4,2),\ (25,5),\ (49,7),\ (81,9),\ (100,10)\]

Alle y-verdiene er kvadratroten av x-verdiene.

Steg 2 — Se mønsteret

\[\sqrt{4}=2,\quad \sqrt{25}=5,\quad \sqrt{49}=7\]

Dette peker mot en kvadratrotfunksjon.

Steg 3 — Skriv et mulig uttrykk

\[f(x)=\sqrt{x}\]

Uttrykket passer både formen og punktene i grafen.

Tolkning

Grafen kan representere en funksjon der y-verdien er kvadratroten av x-verdien.

Hva spør oppgaven om? Vi bruker uttrykket \(f(x)=\sqrt{x}\), og vurderer hvilke x-verdier som er lovlige.

Steg 1 — Finn \(f(16)\)

\[f(16)=\sqrt{16}=4\]

16 er et positivt kvadrattall.

Steg 2 — Finn \(f(400)\)

\[f(400)=\sqrt{400}=20\]

400 er også et positivt kvadrattall.

Steg 3 — Finn \(f\left(\dfrac{9}{4}\right)\)

\[f\left(\dfrac{9}{4}\right)=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}\]

Vi tar kvadratroten av teller og nevner.

Steg 4 — Vurder \(f(-25)\)

\[\sqrt{-25}\]

I 1P arbeider vi med reelle tall. Kvadratroten av et negativt tall er derfor ikke definert her.

Tolkning

Funksjonen kan bare brukes for \(x\ge 0\) i denne sammenhengen.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne hvor mange liter én US gallon tilsvarer.

Steg 1 — Bruk to punkter fra grafen

\[(42,159)\quad \text{og}\quad (142,538)\]

Stigningstallet finner vi fra endring i y delt på endring i x.

Steg 2 — Regn stigningstallet

\[a=\dfrac{538-159}{142-42}=\dfrac{379}{100}=3{,}79\]

Dette er liter per US gallon.

Steg 3 — Kontroller med punktet \((42,159)\)

\[42\cdot 3{,}79=159{,}18\approx 159\]

Det stemmer med avrundingen i grafen.

Tolkning

Én US gallon tilsvarer omtrent 3,79 liter.

Hva spør oppgaven om? Vi skal gjøre om 100 millioner fat til liter.

Steg 1 — Finn liter per fat

\[42\cdot 3{,}79\approx 159\]

Ett fat tilsvarer omtrent 159 liter.

Steg 2 — Skriv 100 millioner på standardform

\[100\,000\,000=1{,}0\cdot 10^8\]

Dette gjør multiplikasjonen enklere å skrive.

Steg 3 — Regn liter per dag

\[159\cdot 1{,}0\cdot 10^8=1{,}59\cdot 10^{10}\]

Vi multipliserer liter per fat med antall fat.

Tolkning

Etterspørselen tilsvarer omtrent 15,9 milliarder liter råolje per dag.

Hva spør oppgaven om? Når strømmen blir slått av, er tiden \(x=0\).

Steg 1 — Sett inn \(x=0\)

\[T(0)=3{,}5+34{,}5\cdot 0{,}87^0\]

Starttidspunktet er 0 timer.

Steg 2 — Bruk at alle positive tall opphøyd i 0 er 1

\[T(0)=3{,}5+34{,}5\cdot 1=38\]

Da får vi starttemperaturen.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational
T0 = Rational(35,10) + Rational(345,10)
print(T0)

Tolkning

Vannet er 38 °C idet strømmen blir slått av.

Hva spør oppgaven om? Vi skal løse ulikheten \(T(x)<20\).

Steg 1 — Sett opp grenseverdien

\[3{,}5+34{,}5\cdot 0{,}87^x=20\]

Dette gir tidspunktet der temperaturen akkurat er 20 °C.

Steg 2 — Løs digitalt

from sympy import symbols, log, N
x = symbols("x")
verdi = log((20-3.5)/34.5)/log(0.87)
print(N(verdi, 6))

Steg 3 — Tolk ulikheten

\[x>5{,}296\]

Temperaturen er under 20 °C etter dette tidspunktet.

Tolkning

Det tar litt mer enn 5,3 timer før vannet er under 20 °C.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne gjennomsnittlig temperaturendring per time fra 0 til 4 timer.

Steg 1 — Finn \(T(0)\) og \(T(4)\)

\[T(0)=38,\qquad T(4)=3{,}5+34{,}5\cdot 0{,}87^4\approx 23{,}265\]

Dette er temperaturene i start- og sluttpunktet.

Steg 2 — Bruk formelen for stigningstall

\[a=\dfrac{T(4)-T(0)}{4-0}\]

Stigningstallet er endring i temperatur delt på endring i tid.

Steg 3 — Regn ut

\[a\approx \dfrac{23{,}265-38}{4}\approx -3{,}68\]

Negativt tegn betyr at temperaturen synker.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import N
T = lambda x: 3.5 + 34.5*(0.87**x)
print(N((T(4)-T(0))/4, 6))

Tolkning

I løpet av de første fire timene synker temperaturen i gjennomsnitt med omtrent 3,68 °C per time.

Hva spør oppgaven om? Vi må undersøke størrelsen på temperaturfallet fra \(x\) til \(x+1\).

Steg 1 — Sett opp temperaturfallet i én time

\[T(x)-T(x+1)\]

Dette må være større enn 5 dersom temperaturen skal synke mer enn 5 °C på én time.

Steg 2 — Bruk modellen

\[T(x)-T(x+1)=34{,}5\cdot 0{,}87^x\cdot (1-0{,}87)\]

Konstantleddet 3,5 forsvinner når vi trekker fra.

Steg 3 — Finn største mulige fall

\[34{,}5\cdot 0{,}87^0\cdot 0{,}13=4{,}485\]

Fallet er størst ved \(x=0\), fordi \(0{,}87^x\) blir mindre når \(x\) øker.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import Rational
fall_start = Rational(345,10)*(1-Rational(87,100))
print(fall_start)

Tolkning

Det største fallet i løpet av én time er omtrent 4,49 °C, altså aldri mer enn 5 °C.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke konstantleddet i en avtakende eksponentialmodell.

Steg 1 — Se på modellen

\[T(x)=3{,}5+34{,}5\cdot 0{,}87^x\]

Når \(x\) blir stor, blir \(0{,}87^x\) nær 0.

Steg 2 — Finn grenseverdien

\[T(x)\to 3{,}5\quad \text{når}\quad x\to \infty\]

Temperaturen nærmer seg 3,5 °C.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, limit, Rational
x = symbols("x", positive=True)
# Siden 0.87^x går mot 0, går modellen mot 3.5
print(3.5)

Tolkning

Tallet 3,5 kan tolkes som temperaturen i omgivelsene, eller temperaturen vannet nærmer seg over lang tid.

Hva spør oppgaven om? Vi skal finne to ukjente antall: toromsleiligheter og treromsleiligheter.

Steg 1 — Sett opp variabler

\[x=\text{antall toromsleiligheter},\qquad y=\text{antall treromsleiligheter}\]

Da kan vi lage ett uttrykk for antall leiligheter og ett for antall rom.

Steg 2 — Sett opp likninger

\[x+y=40\] \[2x+3y=90\]

Det er 40 leiligheter og 90 rom totalt.

Steg 3 — Løs systemet

\[x=40-y\] \[2(40-y)+3y=90\] \[80+y=90\Rightarrow y=10\]

Da er det 10 treromsleiligheter.

Steg 4 — Finn \(x\)

\[x=40-10=30\]

Resten må være toromsleiligheter.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from sympy import symbols, solve
x, y = symbols("x y")
print(solve([x+y-40, 2*x+3*y-90], [x, y]))

Tolkning

Bygården har 30 leiligheter med to rom og 10 leiligheter med tre rom.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke formen på grafen mellom fart og tid.

Steg 1 — Kjennetegn på proporsjonalitet

\[y=kx\]

En proporsjonal sammenheng er en rett linje gjennom origo.

Steg 2 — Kjennetegn på omvendt proporsjonalitet

\[y=\dfrac{k}{x}\]

Da synker grafen som en hyperbel.

Steg 3 — Bruk grafen

Grafen viser at farten går ned når tiden går opp, på en avtagende kurve.

Dette passer med omvendt proporsjonalitet.

Tolkning

Hvis man skal tilbakelegge samme strekning, vil større fart gi kortere tid.

Hva spør oppgaven om? Vi skal vurdere om regelen passer med proporsjonalitet eller omvendt proporsjonalitet.

Steg 1 — Sjekk proporsjonalitet

Hvis størrelsene var proporsjonale, ville dobbel fart gitt dobbel bremselengde.

Huskeregelen sier firedobbel bremselengde.

Steg 2 — Sjekk omvendt proporsjonalitet

Hvis størrelsene var omvendt proporsjonale, ville dobbel fart gitt halv bremselengde.

Det skjer heller ikke.

Steg 3 — Konklusjon

\[\text{dobbel fart}\Rightarrow \text{fire ganger bremselengde}\]

Dette passer med en kvadratisk sammenheng, ikke med de to alternativene.

Tolkning

Bremselengden øker raskere enn farten.

Hva spør oppgaven om? Vi skal avgjøre hvilken type sammenheng formelen viser.

Steg 1 — Sammenlikn med proporsjonalitet

\[C=\dfrac{F-32}{1{,}8}\]

Formelen har et ledd \(-32\), så den er ikke på formen \(C=kF\).

Steg 2 — Sammenlikn med omvendt proporsjonalitet

\[C\ne \dfrac{k}{F}\]

Formelen har ikke variabelen i nevneren.

Steg 3 — Konklusjon

Sammenhengen er lineær, men ikke proporsjonal.

Grafen ville ikke gått gjennom origo.

Kontroll (GeoGebra CAS)

Tolkning

Fahrenheit og celsius har en fast forskyvning i skalaene, derfor er de ikke proporsjonale.

Hva spør oppgaven om? Vi skal lage en tabell for rektangler med omkrets 64 m og sammenlikne areal.

Steg 1 — Bruk omkretsen

\[2l+2b=64\Rightarrow l+b=32\]

Lengde og bredde må til sammen være 32 m.

Steg 2 — Lag en oversikt

Tabellen viser at arealet øker fram til \(16\cdot 16\) og deretter minker.

Steg 3 — Vurder Pers påstand

\[16\cdot 16=256\]

Dette er størst av arealene i oversikten.

Tolkning

Oversikten støtter at arealet blir størst når rektangelet er et kvadrat.

Hva spør oppgaven om? Vi skal uttrykke arealet som en funksjon og bruke grafen til å finne maksimum.

Steg 1 — La én side være \(x\)

\[x+b=32\Rightarrow b=32-x\]

Dette kommer fra omkretsen \(2x+2b=64\).

Steg 2 — Sett opp arealfunksjonen

\[A(x)=x(32-x)=32x-x^2\]

Arealet er lengde ganger bredde.

Steg 3 — Finn toppunktet digitalt

from sympy import symbols, expand, diff, solve
x = symbols("x")
A = x*(32-x)
print(expand(A))
print(solve(diff(A, x), x))
print(A.subs(x, 16))

Steg 4 — Les av grafen

Maksimumspunktet er \((16,256)\).

Da er den ene siden 16 m, og den andre siden er \(32-16=16\) m.

Tolkning

Per har rett: arealet blir størst når alle sidekantene er like lange.

Hva spør oppgaven om? Vi skal tolke hva programmet leter etter.

Steg 1 — Se på funksjonen

\[f(x)=3x-15\]

Programmet tester verdier for \(x\) fra 0 til 10.

Steg 2 — Se på betingelsen

\[f(x)=0\]

Når funksjonsverdien er 0, skriver programmet ut \(x\).

Steg 3 — Finn nullpunktet

\[3x-15=0\Rightarrow 3x=15\Rightarrow x=5\]

Dette ligger mellom 0 og 10, så programmet finner det.

Kontroll (Python)

def f(x):
    return 3*x - 15

for x in range(0, 11):
    if f(x) == 0:
        print(x)

Tolkning

Lars ønsker å finne nullpunktet til funksjonen, og programmet skriver ut 5.

Hva spør oppgaven om? Programmet vil fortsatt skrive ut heltallsverdier mellom 0 og 10 der funksjonen er 0.

Steg 1 — Sett opp likningen

\[x^2-6x+8=0\]

Dette er nullpunktene til den nye funksjonen.

Steg 2 — Faktoriser

\[x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\]

Begge faktorene kan bli 0.

Steg 3 — Finn resultatene

\[x=2\quad \text{eller}\quad x=4\]

Begge verdiene testes av programmet.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

def f(x):
    return x**2 - 6*x + 8

for x in range(0, 11):
    if f(x) == 0:
        print(x)

Tolkning

Programmet skriver ut to nullpunkter: 2 og 4.

Hva spør oppgaven om? Vi skal se hvorfor det gamle programmet ikke finner alle relevante nullpunkter.

Steg 1 — Finn nullpunktene

\[x^2-144=0\Rightarrow x^2=144\Rightarrow x=\pm 12\]

Nullpunktene er \(-12\) og \(12\).

Steg 2 — Se på det gamle søkeområdet

Programmet tester bare \(0\le x\le 10\).

Da finner det verken \(-12\) eller \(12\).

Steg 3 — Foreslå endring

Han kan for eksempel starte på \(-20\) og fortsette til \(20\).

Da blir begge nullpunktene testet.

Kontroll (Python)

def f(x):
    return x**2 - 144

x = -20
while x <= 20:
    if f(x) == 0:
        print(x)
    x = x + 1

Tolkning

Programmet må få et søkeområde som inneholder nullpunktene.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke potensregresjon på tabellverdiene.

Steg 1 — Legg inn data

Vi bruker snorlengde som \(x\)-verdier og svingetid som \(y\)-verdier.

Modellformen er \(S(x)=a\cdot x^b\).

Steg 2 — Kjør potensregresjon

import numpy as np
x = np.array([0.1, 0.3, 0.5, 0.8, 1.0, 1.3, 1.6, 2.0])
y = np.array([0.69, 1.17, 1.44, 1.82, 2.08, 2.27, 2.53, 2.80])
b, loga = np.polyfit(np.log(x), np.log(y), 1)
a = np.exp(loga)
print(round(a, 3), round(b, 3))

Steg 3 — Skriv modellen

\[S(x)\approx 2{,}03\cdot x^{0{,}468}\]

Koeffisientene er avrundet til tre desimaler.

Tolkning

Modellen sier at svingetiden øker når snorlengden øker, men ikke lineært.

Hva spør oppgaven om? Vi skal sette inn \(g=9{,}81\) og forenkle konstanten.

Steg 1 — Sett inn \(g=9{,}81\)

\[T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{9{,}81}}\]

På jorden er tyngdens akselerasjon omtrent \(9{,}81\).

Steg 2 — Skill ut \(\sqrt{L}\)

\[T=\dfrac{2\pi}{\sqrt{9{,}81}}\cdot \sqrt{L}\]

Alt utenom \(L\) er en konstant.

Steg 3 — Regn konstanten

\[\dfrac{2\pi}{\sqrt{9{,}81}}\approx 2{,}006\approx 2\]

Konstanten er svært nær 2.

Kontroll (GeoGebra CAS / Python)

from math import pi, sqrt
print(2*pi/sqrt(9.81))

Tolkning

På jorden kan pendelens svingetid derfor regnes omtrent som \(2\sqrt{L}\).

Hva spør oppgaven om? Vi skal sammenlikne regresjonsmodellen med den teoretiske formelen.

Steg 1 — Skriv modellene ved siden av hverandre

\[S(x)\approx 2{,}03\cdot x^{0{,}468}\] \[T(x)\approx 2\sqrt{x}=2x^{0{,}5}\]

Begge er potensmodeller.

Steg 2 — Sammenlikn koeffisientene

\[2{,}03\approx 2\]

Startfaktoren er nesten den samme.

Steg 3 — Sammenlikn eksponentene

\[0{,}468\approx 0{,}5\]

Regresjonsmodellen ligger nær kvadratrotmodellen.

Kontroll (Python)

def S(x):
    return 2.029148886269139 * x**0.46759072535840157
def T(x):
    return 2 * x**0.5
for x in [0.5, 1.0, 2.0]:
    print(x, round(S(x), 3), round(T(x), 3))

Tolkning

Målingene passer godt med teorien, men små avvik er naturlige i et praktisk forsøk.

Hva spør oppgaven om? Vi skal bruke opplysningene etter 3 minutter til å lage en samlet oversikt.

Steg 1 — Fart og Cooper-test ved samme tempo

\[0{,}38\,\text{km}=380\,\text{m}\] \[380\cdot \dfrac{12}{3}=1520\]

12 minutter er fire ganger så lenge som 3 minutter.

Steg 2 — Energiforbruk på én time

\[32\cdot \dfrac{60}{3}=640\]

Én time er 20 perioder på 3 minutter.

Steg 3 — Kilokalorier per kilometer

\[\dfrac{32}{0{,}38}\approx 84{,}2\]

Vi deler energibruken på tilbakelagt distanse.

Steg 4 — Fart for 2200 m på 12 minutter

\[2200\,\text{m}=2{,}2\,\text{km}\] \[\dfrac{2{,}2}{12}\cdot 60=11\]

Hun må løpe med en fart på minst 11 km/h.

Steg 5 — Kalorier i sjokoladen

\[60\cdot \dfrac{550}{100}=330\]

Sjokoladen inneholder 330 kcal.

Kontroll (regneark/Python)

I regneark kan en oversikt lages slik:

distanse_12_min = 380*(12/3)
kcal_60_min = 32*(60/3)
kcal_per_km = 32/0.38
fart_krav = 2.2/12*60
sjokolade = 60*550/100
print(distanse_12_min, kcal_60_min, round(kcal_per_km, 1), fart_krav, sjokolade)

Tolkning

Ved samme tempo kommer Sofie 1520 m på 12 minutter. For å nå 2200 m må hun løpe betydelig raskere, minst 11 km/h. Sjokoladen har 330 kcal, som er mer enn hun brukte på de første 3 minuttene, men mindre enn hun ville brukt på én time i samme tempo.